能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
被2,3,4,5,7,8,9,11,13,25,27,125等整除数的特征...
被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25，27，125等整除数的特征...被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25，27，125等整除数的特征.性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除的数，若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
能被2、3、4、5、6、7等数整除的数的特征
能被2、3、4、5、6、7等数整除的数的特征能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征A.能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数0，2,4,6,8都能被2整除），那么这个数能被2整除。
B.能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数能被3或9整除。
C.能被4或25整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除。
D.能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除。
E.能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除。
F.被7整除的数。
方法一:一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
H.被11整除的数的特征,把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
—→奇位数字的和9+6+8=23 ，—→偶位数位的和4+1+7=12 ，23-12=11因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
I.被13整除的数的特征,把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
例如：判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=128440 ，12844+0×4=12844，1284+4×4=1300，1300÷13=100所以，1284322能被13整除。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征讲解学习
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
数的整除特征
数的整除特征1)被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2)被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3)被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4)被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5)被7整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6)被11整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
第二种方法：奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
第三种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7)被13整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
8)被10整除：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）。
9)被12整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
10)被17整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
11)被19整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
12)被23整除：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
数的整除特征(1--11)
数的整除特征
1.能被2整除的数的特征：
个位是：0、2、4、6、8.
2.能被3整除的数的特征：
各位数字之和是3的倍数。
3.能被4整除的数的特征：
一个数的末尾2位数能被4整除。
4.能被5整除的数的特征：
个位是0或5.
5.能被6整除的数的特征：
个位数字是：0、2、4、6、8.且各位数字之和是3的倍数。
6.能被7整除的数的特征：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
7.能被8整除的数的特征:
若一个整数的末尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。
8.能被9整除的数的特征：
若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
9.能被10整除的数的特征：
个位是0。
10 . 能被11整除的数的特征：
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
能被234567等数整除的数的特征资料
精品文档能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征A.能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数0，2,4,6,8都能被2整除），那么这个数能被2整除。
B.能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数能被3或9整除。
C.能被4或25整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除。
D.能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除。
E.能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除。
F.被7整除的数。
方法一:一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
精品文档．精品文档（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位方法二：、数与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数），如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。
此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。
如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．G.被8整除的数，如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除．例如： 9864的末三位是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．72375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。
数学能被2、3、3、5、7等数整除的数的特征
【数学】能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、17、19、25、125整除的数的特征★★能被2整除的数的特征:个位上是偶数，能被3或9整除的数的特征:所有位数的和是3或9的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍感）能被4或25整除的数的特征：如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与7 5均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数的特征：个位上的数为0或5，能被6整除的数的特征：既能被2整除也能被3整除能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
这种方法叫“割减法”．此法还可简化为：从一个数减去7的10倍、20倍、30倍、……到余下一个100以内的数为止，如果余数能被7整除，那么，这个数就能被7整除．能被8或125整除的数的特征：如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除．例如： 9864＝9×1000+86472375＝72×1000+375由于8与125相乘的积是1000，1000能被8或125整除，那么，1 000的倍数也必然能被8或125整除．因此，如果一个数末三位数能被8或125整除，这个数就一定能被8或125整除．9864的末三位数是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．7 2375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被12 5整除。
能被23456789等数整除的数的特征
能被 2、3、4、5、6、7、8、9 等数整除的数的特征性质1：如果数a b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a —b）也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2 整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675=46X100+ 75由于100 能被25 整除，100 的倍数也一定能被25 整除，4600 与75 均能被25 整除，它们的和也必然能被25 整除．因此，一个数只要末两位数能被25 整除，这个数就一定能被25 整除．又如：832 =8X 1 00＋32由于100能被4整除，1 00的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4 整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5 整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2 整除又能被3 整除，那么这个数能被6 整除能被7 整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2 倍，如果差是7的倍数，则原数能被7 整除。
如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3X2= 7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613—9X 2= 595 ，59 - 5X 2= 49，所以6139 是7 的倍数，余类推。
被2,3,4,5,7,8,9,11,13,25,27,125等整除数的特征...
精心整理精心整理被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25，27，125等整除数的特征...被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25，27，125等整除数的特征.性质1：如果数a 、b 都能被c 整除，那么它们的和（a+b ）或差(a －b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2能被3能被4能被5能被6能被7整除。
如1332＝595，59－5×能被8能被9能被10能被11整除。
能被12能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
能被17整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除能被19整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
精心整理如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除能被23整除的数，若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除能被25整除的数，十位和个位所组成的两位数能被25整除。
能被125整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。
精心整理。
能被23456789等数整除的数的特征讲解学习
能被23456789等数整除的数的特征讲解学习被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数具有以下特征：1.能被2整除：一个数能被2整除，意味着它是偶数。
偶数的特点是个位数字可以是0、2、4、6或82.能被3整除：一个数能被3整除，意味着它的各位数字之和能被3整除。
例如，27是3的倍数，因为2+7=9，而9能被3整除。
3.能被4整除：一个数能被4整除，意味着它的末两位能被4整除。
例如，236可以被4整除，因为36能够整除44.能被5整除：一个数能被5整除，意味着它的个位数字是0或5、例如，75能够被5整除。
5.能被6整除：一个数能被6整除，意味着它能被2和3同时整除。
因此，它必须是一个偶数且各位数字之和能被3整除。
6.能被7整除：一个数能被7整除的特征比较复杂，但是以下特征可以帮助判断：将这个数的个位数字翻倍，然后从原数中减去翻倍后的个位数字。
如果所得的差能被7整除，则原数能被7整除。
例如，196是7的倍数，因为19-2×6=19-12=77.能被8整除：一个数能被8整除，意味着它的末三位能被8整除。
例如，520可以被8整除，因为520是8的65倍。
8.能被9整除：一个数能被9整除，意味着它的各位数字之和能被9整除。
例如，81是9的倍数，因为8+1=9综上所述，一个数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除的特征可以通过前述规则判断。
这些规则不仅在数学学科中有应用，还在解决实际问题、判断数字的性质和特征等方面起着重要的作用。
为了提高对这些规则的熟悉程度，可以进行练习和应用这些规则解决具体问题的实践。
整除规律(能被2、3、4、5、6、7、8、9、……整除)
整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。
整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
整除规则第二十一条（21）：若一个整数的末5位与前面的数的差能被9091整除，则这个数能被9091整除
整除规则第二十二条（22）：（9的无敌乱切）把一个整数分成若干段之和能被9整除，则这个数能被9整除
整除规则第二十三条（23）：（11的无敌乱切）把一个整数分成若干段，每段的末尾为奇数位加，偶数位减，结果能被11整除，则这个数能被11整除
的差能被73整除，则这个数能被73整除
整除规则第十九条（19）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被137整除
整除规则第二十条（20）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除
能被2、3、4、5、6、7等数整除的数的特征(新)
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征A.能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数0，2,4,6,8都能被2整除），那么这个数能被2整除。
B.能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数能被3或9整除。
C.能被4或25整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除。
D.能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除。
E.能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除。
F.被7整除的数。
方法一:一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
方法二：、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数），如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。
此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。
如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．G.被8整除的数，如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除．例如： 9864的末三位是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．72375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。
被2,3,4,5,7,8,9,11,13,25,27,125等整除数的特征...
精心整理精心整理被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25，27，125等整除数的特征...被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25，27，125等整除数的特征.性质1：如果数a 、b 都能被c 整除，那么它们的和（a+b ）或差(a －b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2能被3能被4能被5能被6能被7整除。
如1332＝595，59－5×能被8能被9能被10能被11整除。
能被12能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
能被17整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除能被19整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
精心整理如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除能被23整除的数，若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除能被25整除的数，十位和个位所组成的两位数能被25整除。
能被125整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。
精心整理。
2、3、4、5、6、7、8、9、11、13、17、19、23、29的倍数特征
2、3、4、5、6、7、8、9、11、13、17、19、23、29的倍数特征1、2的倍数：若一个整数的个位数字是0、2、4、6或8，则这个数就能被2整除。
2、3的倍数：若一个整数的各位数字的和能被3整除，则这个整数就能被3整除。
3、4的倍数：若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数就能被4整除。
4、5的倍数：若一个整数的末位是0或5，则这个数就能被5整除。
5、6的倍数：若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
6、7的倍数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
7、8的倍数：若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
8、9的倍数：若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
9、11的倍数：两种方法：①若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
②若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。
如果差太大或心算不易看出是否11的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断165是否11的倍数的过程如下：16－5=11，所以165是11的倍数；又例如判断2112是否11的倍数的过程如下：211－2＝209 ， 20－9＝11，所以2112是11的倍数，余类推。
10、13的倍数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
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能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除
能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除
能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75
由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32
由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．
能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除
能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，
如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除
能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除
能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除
能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个
位数为零）
能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
能被12整除的数，若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除
能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
能被17整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除
能被19整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除
能被23整除的数，若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除
能被25整除的数，十位和个位所组成的两位数能被25整除。
能被125整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r
举例：
Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）
Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？
A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？
解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．
（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．
点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．
例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？
解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：
∴ 符合题意的不同排法共有9种．
点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．
例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．
（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？
分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．
（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．
（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．
（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．
（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．
排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.
二、知识结构
三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.
例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?
解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有
3×3×3×3×3=35(种)
(二)排列、排列数公式
说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.
例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )
A.60个
B.48个
C.36
个 D.24个
解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P1
2
；小于50 000的五位
数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P1
3
;在首末两位数排定后，
中间3个位数的排法有P3
3，得P1
3
P3
3
P1
2
＝36(个)
由此可知此题应选C.
例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?
解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为
3P1
=9(种).
3。