北京中考数学命题趋势强化图形变换
北京中考图形变换题型
(2008)22．（本小题满分4分）已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．（1）若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A B C D ，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C '''的面积；（2）实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A B C '''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．解：（1）重叠三角形A B C '''的面积为 ；（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为 ；m 的取值范围为 ．(2008)25．请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：D A BE F C P G 图1 D C G PA B E F图 2 A GC F B ' C ' E BD A '图1 AG C F B ' C ' E B D A ' 图2 A C B 备用图 A C B备用图（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC 的值（用含α的式子表示）． 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；PGPC= ．（2）(2009)22. 阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG. 请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ 请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果）.(2009)23. 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.(2009)24. 在ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.(2010)22、阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD =8cm ，BA =6cm.现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着与AB 边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着与BC 边夹角为45°的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，问P 点第一次与D 点重合前．．．与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时．．．所经过的路径总长是多少.小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形CD B A 11.由轴对称的知识，发现E P P P 232=，E P A P 11=. 请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P 点第一次与D 点重合前．．．与边相碰_______次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时．．．所经过的路径的总长是_______cm ；（2）进一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD >AB ，动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上，若P 点第一次与B 点重合前．．．与边相碰7次，则AB ：AD 的值为______. (2010)25、问题：已知△ABC 中，∠BAC =2∠ACB ，点D 是△ABC 内一点，且AD =CD ，BD =BA .探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值. 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明. （1）当∠BAC =90°时，依问题中的条件补全右图. 观察图形，AB 与AC 的数量关系为________________；当推出∠DAC =15°时，可进一步推出∠DBC 的度数为_________； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为_______________.（2）当∠BAC ≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与（1）中A BCA BD CEF图3的结论相同，写出你的猜想并加以证明.(2011)22．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ．若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC 、BD 、AD ＋BC 的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的△BDE 即是以AC 、BD 、AD ＋BC 的长度为三边长的三角形(如图2)．请你回答：图2中△BDE 的面积等于____________． 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC 的三条中线分别为AD 、BE 、CF ．(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)； (2)若△ABC 的面积为1，则以AD 、BE 、CF 的长度为 三边长的三角形的面积等于_______．(2011)24．(7分)在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．(1)在图1中，证明：CE ＝CF ； (2)若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点(如图2)，直接写出∠BDG 的度数； (3)若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB 、DG (如图3)，求∠BDG 的度数．B BADADC C EFE G FABC DE GF 图1图2图3BBCADOADCEO图2图1E ADF O B x y(2011)25．(7分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，我把由两条射线AE 、BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C (注：不含AB 线段)．已知A (－1，0)，B (1，0)，AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上．(1)求两条射线AE 、BF 所在直线的距离；(2)当一次函数y ＝x ＋b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围； 当一次函数y ＝x ＋b 的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，写出b 的取值范围； (3)已知□AMPQ (四个顶点A 、M 、P 、Q 按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，求点M 的横坐标x 的取值范围．(2012)24．在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。
北京市2019年中考数学总复习题型突破(06)图形变换课件
关于直线 DE 的对称点为 F,连接 EF 并延长交 BC 于点 G,连接 DG,过点 E 作 EH⊥DE 交 DG 的延长线
于点 H,连接 BH.
(1)求证:GF=GC;
(2)用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系,并证明. 解:(1)证明:连接 DF,如图:∵点 A 关于直线 DE 的对称点为 F,
类型1 证明线段之间的数量关系（针对2018 27题,2017 28题,2015 28题）
2.[2018·北京延庆初三统一练习] 如图 Z6-2,正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 延长线上一点,连接 DE,过点 B
作 BF⊥DE 于点 F,连接 FC.
(2)作点 C 关于直线 DE 的对称点 G,连接 CG,FG.
∵△ PAE 是等腰直角三角形,从而 PE= 2AE.∴BH= 2AE.
类型1 证明线段之间的数量关系（针对2018 27题,2017 28题,2015 28题）
2.[2018·北京延庆初三统一练习] 如图 Z6-2,正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 延长线上一点,连接 DE,过点 B
作 BF⊥DE 于点 F,连接 FC.
①依据题意补全图形; ②用等式表示线段 DF,BF,CG 之间的数量关系,并加以证明.
图Z6-2
类型1 证明线段之间的数量关系（针对2018 27题,2017 28题,2015 28题）
(2)①补全图形如图所示. ②数量关系为:BF=DF+CG. 证明:如图,在 BF 上取点 M 使得 BM=DF,连接 CM.∵四边形 ABCD 是正方形,∴BC=DC. ∵∠FBC=∠CDF,BM=DF,∴△ BMC≌△DFC.∴CM=CF,∠BCM=∠DCF. ∴∠MCF=∠MCD+∠DCF=∠MCD+∠BCM=∠BCD=90°,∴△ MCF 是等腰直角三角形.∴∠BFC=45°. ∵点 C 与点 G 关于直线 DE 对称,∴CF=GF,∠CFE=∠GFE.∵BF⊥DE,∠BFC=45°,∴∠CFE=45°, ∴∠CFG=90°,∴∠CFG=∠MCF,∴CM∥GF.∵CM=CF,CF=GF,∴CM=GF, ∴四边形 CGFM 是平行四边形,∴CG=MF.∵BF=BM+MF,∴BF=DF+CG.
初三中考总复习——图形变换
初三中考总复习——图形变换西城外国语学校袁慎鹏图形变换是对几何图形认识方法上的一种改变．通过平移、轴对称、旋转变换达到复杂图形简单化、一般图形特殊化，分散条件集中化的目的．从图形变换的角度思考问题，可以整体把握图形的性质，特别是可以帮助我们从更高的层次理解平行线、截长补短、倍长中线等常用辅助线的作用，使问题解决更加简洁明确．当图形运动变化的时候，从运动变换的角度更容易发现不变量和特殊图形．一、《考试说明》的要求：1．顺序有变化，符合学生学习的顺序；2．变换的性质比较笼统没有2014年的说明具体；3．“作图”变为“画图”，画图的要求更加具体；4．基本的轴对称图形由六个变为五个，删掉了“等腰梯形”；5．C级要求的“解决简单问题”统一变为“解决有关问题”．二、图形变换在近6年中考中的分布及呈现方式：近6年的中考中，变换在选择、填空、操作题、第23题、第24题、第25题中都有出现过，主要的考察方式有：辨别轴对称图形与中心对称图形；通过阅读理解获取有效信息，选择合适的的变换对图形进行重新构造从而解决问题；把函数的图象进行变换，要求发现平移后的函数与原函数之关系；应用变换的思想综合运用几何知识添加适当的辅助线解决问题．三、复习建议：3．对于几何综合题的复习要引导学生从几何图形与变换的角度重新认识常见辅助线的添加方法，比如：（1）中点、中线——中心对称——倍长中线——中位线（2）等腰三角形、角平分线、垂直平分线——轴对称——截长补短；（3）平行四边形——平移；（4）正多边形、共端点的等线段——旋转； 4．对于坐标系中研究函数图象的平移和对称的问题要引导学生抓住问题的本质，把该问题转化函数图象上点的变换问题，进而进一步转化为函数图象上关键点的变换问题． 四、第一轮复习安排和例题共用三个课时，第一课时：三种变换的概念和性质的简单应用；第二课时，作图和操作问 题；第三课时：综合.例1（2013北京） 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）学生存在的问题：审题只看见是什么，忽略不是什么；旋转对称与中心对称易混淆；怕文字表述的图形. 例2如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2cm ，60A ∠=︒．将△ABC 沿AB 边所在直线向右平移，记平移后它的对应三角形为△DEF ．（1）若将△ABC 沿直线AB 向右平移3 cm ，求此时梯形CAEF 的面积；【答案】（2）若使平移后得到的△CDF 是直角三角形，则△ABC 平移的距离应为______cm ．【答案】1或4学生存在的问题：弄不清3cm 是那条线段的长，不会分类.例3（2011上海）Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0︒<m <180︒）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝_________． 【答案】80和120 西总P31T10学生存在的问题：会将整个△ABC 旋转后的图形都画，把图形弄复杂. 例4（2013湖南郴州）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°， D 是AB 上一点．将Rt △ABC 沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B ′处， 则∠ADB ′等于（ ）【答案】DBA ．25°B ．30°C ．35°D ．40°学生存在的问题:轴对称的性质应用不全面，想到了边，但忘了角. 《探诊》P17 T10题例5 西总P29例4 学生存在的问题：一是没看清把那个三角形平移或对称，二是不会判断中心对称. 西总P88例1例6（2014顺义二模）如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE ＝BF＝1，小球P 从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P 第一次碰到BC 边时，小球P 所经过的路程为 ；当小球P 第一次碰到AD 边时，小球P 所经过的路程为 ；当小球P 第n （n 为正整数）次碰到点F 时，小球P 所经过的路程为 ．- 学生存在的问题：作图不合理，不会将角关系转化为线段的关系.例7（2011北京中考）．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ．若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC 、BD 、AD BC +的长度为三边长的三角形的面积．图1图2ADBCOADBOE小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的BDE △即是以AC 、BD 、AD BC +的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中BDE △的面积等于________． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，ABC △的三条中线分别为AD 、BE 、CF ．⑴ 在图3中利用图形变换画出并指明以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；图3AF E C B⑵ 若ABC △的面积为1，则以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积学生存在的问题：主要是在第三问，能画出图但找不出新三角形与原图形之间的面积关系，究其原因就是对于中线等分面积的性质不太会用.例8（2013北京中考）在平面直角坐标系x O y 中，抛物线222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 。
北京延庆县第一中学中考数学规律问题图形变化类专题
一、规律问题图形变化类1．将若干个小菱形按如图的规律排列：第（1）个图形有1个小菱形，第（2）个图形有3个小菱形，第（3）个图形有6个小菱形，…，则第（20）个图形有（ ）个小菱形，A ．190B ．200C ．210D ．2202．如图，在第一个1ABA ∆中，20B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =，得到第二个12A A C ∆；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点4A 为顶点的等腰三角形的顶角的度数为（ ）A ．170︒B ．175︒C ．10︒D ．5︒3．观察下列一组图形，其中图形（1）中共有2颗星，图形（2）中共有6颗星，图形（3）中共有11颗星，图形（4）中共有17颗星，…，按此规律，图形（20）中的星星颗数是（ ）A ．210B ．236C ．249D ．2514．法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》，其主要突破在“五边形数”的证明上．如图为前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第20个“五边形数”应该为（ ），第2020个“五边形数”的奇偶性为（ ）A ．533；偶数B ．590；偶数C ．533；奇数D ．590；奇数5．如图，古希腊人常用小石子（小黑点）在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图1表示数字1，图2表示数字5，图3表示数字12，图4表示数字22，……，依次规律，图6表示数字（ ）A ．49B ．50C ．51D ．526．长度相同的木棒按一定规律拼搭图案，第1个需7根木棒，第2个需13根木棒，…，第11个需要木棒的个数为（ ）A ．156B ．157C ．158D ．1597．如图，点Q 在线段AP 上，其中10PQ =，第一次分别取线段AP 和AQ 的中点1P ，1Q 得到线段11PQ ；再分别取线段1AP 和1AQ 的中点2P ，2Q 得到线段22P Q ；第三次分别取线段2AP 和2AQ 的中点3P ，3Q 得到线段33PQ ；连续这样操作11次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和1122331111PQ P Q PQ P Q ++++=（ ）A ．1010102-B ．1110102-C ．1010102+D ．1110102+8．把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②图案有7个黑色三角形，第③个图案有10个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑥图案中黑色三角形的个数为（ ）A ．16B ．19C ．31D ．369．现有四条具有公共端点O 的射线OA OB OC OD 、、、，若点123,,P P P ，…，按如图所示规律排列，则点2021P 应该落在（ ）A ．射线OA 上B ．射线OB 上C ．射线OC 上D ．射线OD 上10．把圆形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个圆形，第②个图案中有5个圆形，第③个图案有11个圆形，第④个图案有19个圆形，…，按此规律排列下去，第7个图案中圆形的个数为（ ）A ．42B ．54C ．55D ．5611．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，…，按此规律，第5个图的蜂巢总数的个数是（ ）A ．61B ．62C ．63D ．6512．如图，四边形OAA 1B 1是边长为1的正方形，以对角线OA 1为边作第二个正方形OA 1A 2B 2，连接AA 2，得到AA 1A 2；再以对角线OA 2为边作第三个正方形OA 2A 3B 3，连接A 1A 3，得到A 1A 2A 3，再以对角线OA 3为边作第四个正方形OA 2A 4B 4，连接A 2A 4，得到A 2A 3A 4，…，设AA 1A 2，A 1A 2A 3，A 2A 3A 4，…，的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，如此下去，则S 2020的值为（ ）A ．202012 B ．22018 C ．22018+12D ．101013．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第8个图中正方形和等边三角形的个数之和为（ ）A ．57B ．66C ．67D ．7514．如图，每个图案都由若干个“●”组成，其中第①个图案中有7个“●”，第②个图案中有13个“●”，…，则第⑨个图案中“●”的个数为( )A ．87B ．91C ．103D ．11115．如图，△ABC 面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使A 1B ＝AB ，B 1C ＝BC ，C 1A ＝CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，得到△A 1B 1C 1．第二次操作：分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2，使A 2B 1＝A 1B 1，B 2C 1＝B 1C 1，C 2A 1＝C 1A 1，顺次连接A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2019，最少经过（ ）次操作．A ．4B ．5C ．6D ．716．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（ ）A ．20183)倍B ．20193)倍C ．2020(3)倍D ．20213)倍17．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A 在直线15y x b =+上，点1B ，2B ，3B在x 轴上，11OA B ∆，122B A B ∆，233B A B ∆都是等腰直角三角形，若已知点()11,1A ，则点3A 的纵坐标是（ ）A ．32B ．23C ．49D ．9418．如图，由等圆组成的一组图中，第①个图由1个圆组成，第②个图由5个圆组成，第③个图由11个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第⑧个图由（ ）个圆组成A ．71B ．72C ．73D ．7419．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（ ）A ．6B ．152C ．32D ．7296420．已知有公共端点的射线OA 、OB 、OC 、OD ，若点P 1、P 2、P 3、…，按如图所示规律排列，则点P 2020落在（ ）A．射线OA上B．射线OB上C．射线OC上D．射线OD上21．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2015=（）A．22013B．22014C．22015D．2201622．用棋子按下列方式摆图形，第一个图形有1枚棋子，第二个图形有5枚棋子，第三个图形有12枚棋子，…依此规律，第7个图形比第6个图形多（）枚棋子A．20 B．19 C．18 D．1723．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2 019的坐标为( )A．(1010，0) B．(1310．5，3C．(1345，3D．(1346，0)24．如图，依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连结矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去．已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（）A ．14B ．116C ．132D ．16425．下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中第1个图形中有5个圆，第2个图形中有9个圆，第3个图形中14个圆，……，则第7个图形中圆的个数是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．45【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题图形变化类 1．C 【分析】仔细观察图形知：第（1）个图形有1个小菱形，第（2）个图形有3＝1＋2个，第（3）个图形有6＝1＋2＋3个，…由此得到规律求得第（20）个图形中小菱形的个数即可． 【详解】解：第（1）个图形有1（个）菱形， 第（2）个图形有3＝1＋2（个）， 第（3）个图形有6＝1＋2＋3（个）， 第（4）个图形有10＝1＋2＋3＋4（个）， …第n 个图形有1＋2＋3＋4＋…＋n ＝(1)2n n + （个）小菱形， ∴第（20）个图形有20212102⨯=（个）小菱形． 故选：C ． 【点睛】本题考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律． 2．A 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A 5的度数． 【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B=20°，AB=A 1B ，∴∠BA 1A= 1802B︒-∠=80°，∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1=18022BA A ︒∠==40°； 同理可得∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴∠A n =1802n ︒-，以点A 4为顶点的等腰三角形的底角为∠A 5，则∠A 5=4802︒=5°，∴以点A 4为顶点的等腰三角形的顶角的度数为180°-5°-5°=170°． 故选：A ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键． 3．C 【分析】设图中第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数），然后列出各个图形星星的个数，去判断星星个数的规律，然后计算第20个图形的星星个数． 【详解】解：第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数）则a 1=2=1+1，a 2=6=1+2+3，a 3=11=1+2+3+5，a 4=17=1+2+3+4+7 ∴a n =1+2+3+……+n +（2n -1）=2(1)15(21)1222n n n n n ++-=+- 令n =20，则2215151?20+?20-12222n n +-==249 故选：C 【点睛】本题主要考查根据图形找规律，解题的关建是找出图形规律，然后计算． 4．B 【分析】根据前几个“五边形数”的对应图形找到规律，得出第n 个“五边形数”为23122n n -，将n=10代入可求得第20个“五边形数”，利用奇偶性判断第2020个“五边形数”的奇偶性． 【详解】解：第1个“五边形数”为1=2311122⨯-⨯， 第2个“五边形数”为5=2312222⨯-⨯， 第3个“五边形数”为12= 2313322⨯-⨯， 第4个“五边形数”为22= 2314422⨯-⨯， 第5个“五边形数”为35= 2315522⨯-⨯， ···由此可发现：第n 个“五边形数”为23122n n -， 当n=20时，23122n n -= 231202022⨯-⨯=590， 当n=2020时，232n =3×2020×1010是偶数，12n =1010是偶数，所以23122n n -是偶数，故选：B ． 【点睛】本题考查数字类规律探究、有理数的混合运算，通过观察图形，发现数字的变化规律是解答的关键． 5．C 【分析】通过前4个图形找出一般性规律，即可得出图6表示的数． 【详解】解：第1个图形有1个点； 第2个图形有5=2+3个点； 第3个图形有12=3+4+5个点； 第4个图形有22=4+5+6+7个点； 第5个图形有35=5+6+7+8+9个点；第6个图形有6789101151+++++=个点； 故选：C ． 【点睛】本题考查探索与表达规律，解决此题的关键是善于观察，找出图形上的点与序号之间的关系． 6．B 【分析】分别求出每一个图形的木棒数，然后再找出一般规律求解即可． 【详解】解：第1个图形共有7=1×(1+3)+3根木棒， 第2个图形共有13=2×(2+3)+3根木棒， 第3个图形共有21=3×(3+3)+3根木棒， 第4个图形共有31=4×(4+3)+3根木棒， …第n 个图形共有n×(n+3)+3根木棒， 第11个图形共有11×(11+3)+3=157根木棒， 故选：B 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 7．B 【分析】根据线段中点定义先求出P 1Q 1的长度，再由P 1Q 1的长度求出P 2Q 2的长度，从而找到P n Q n 的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵线段PQ=10，线段AP 和AQ 的中点P 1，Q 1， ∴P 1Q 1=AP 1-AQ 1 =12AP-12AQ =12（AP-AQ ） =12PQ =12×10 =5．∵线段AP 1和AQ 1的中点P 2，Q 2； ∴P 2Q 2=AP 2-AQ 2 =12AP 1-12AQ 1 =12（AP 1-AQ 1） =12P 1 Q 1 =12×12×10 =212×10 =52．发现规律：P n Q n =12n×10 ∴P 1Q 1+P 2Q 2+…+P 11Q 11 =12×10+212×10+312×10+…+1112×10 =10（12+212+312+…+1112） =10（1111212-） =10（1-1112） =10-11102故选：B ．【点睛】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度． 8．B【分析】观察图案发现第①个图案中黑色三角形的个数为1314+⨯=；第②个图案中黑色三角形的个数为1327+⨯=；第③个图案中黑色三角形的个数为13310+⨯=；即可求解．【详解】解：第①个图案中黑色三角形的个数为1314+⨯=；第②个图案中黑色三角形的个数为1327+⨯=；第③个图案中黑色三角形的个数为13310+⨯=；……第⑥个图案中黑色三角形的个数为13619+⨯=，故答案为：B ．【点睛】本题考查图形的规律，观察图案找出规律是解题的关键．9．A【分析】根据图形可以发现点的变化规律，从而可以得到点P 2021落在哪条射线上．【详解】解：由图可得，P 1到P 5顺时针，P 5到P 9逆时针，∵（2021-1）÷8=252…4，∴点P 2021落在OA 上，故选：A ．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．C【分析】根据题意找到图案中圆形个数的规律，从而求解【详解】解：第①个图案中有0+12=1个圆形，第②个图案中有1+22=5个圆形，第③个图案有2+32=11个圆形，第④个图案有3+42=19个圆形，第n个图案有（n-1）+n2个圆形，∴第7个图案中圆形的个数为：6+72=55故选：C．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中圆形个数的变化找出变化规律是解题的关键．11．A【分析】根据前几个图形，可以写出蜂巢的个数，从而可以发现蜂巢个数的变化规律，进而得到第五个图形中蜂巢总的个数，本题得以解决．【详解】解：由图可得，第一个图有1个蜂巢，第二个图有1+6×1＝7个蜂巢，第三个图有1+6×1+6×2＝19个蜂巢，…，则第五个图中蜂巢的总数为：1+6×1+6×2+6×3+6×4＝61，故选：A．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中蜂巢个数的变化规律，求出相应的图形中蜂巢总的个数．12．B【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【详解】解：如图∵四边形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝12⨯1×1＝12，∵∠OAA1＝90°，∴OA12＝12+12＝2，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝12⨯2×1＝1，同理可求：S3＝12⨯2×2＝2，S4＝4…，∴S n＝2n﹣2，∴S2020＝22018，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到a n的规律是解题的关键．13．D【分析】根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论．【详解】解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；∵第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；∵第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3，…，∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3．∴当n=8时，第8个图中正方形和等边三角形的个数之和为9×8+3=75，故选D．【点睛】本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．14．D【分析】根据第①个图案中“●”有：1+3×（0+2）个，第②个图案中“●”有：1+4×（1+2）个，第③个图案中“●”有：1+5×（2+2）个，第④个图案中“●”有：1+6×（3+2）个，据此可得第⑨个图案中“●”的个数．【详解】解：∵第①个图案中“●”有：1+3×（0+2）=7个，第②个图案中“●”有：1+4×（1+2）=13个，第③个图案中“●”有：1+5×（2+2）=21个，第④个图案中“●”有：1+6×（3+2）=31个，…∴第9个图案中“●”有：1+11×（8+2）=111个，故选：D ．【点睛】本题考查规律型：图形的变化，解题的关键是将原图形中的点进行无重叠的划分来计数． 15．A【分析】先根据已知条件求出△111A B C 及△222A B C 的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．【详解】解：ABC ∆与△11A BB 底相等1()AB A B =，高为11:2(2)BB BC =，故面积比为1:2， ABC ∆面积为1，112A B B S ∴=．同理可得，112C B C S =，12AA C S =， 11111_1_1_122217A B C C B C AA C A B B ABC S S S S S ∆∴=+++=+++=；同理可证△222A B C 的面积7=⨯△111A B C 的面积49=，第三次操作后的面积为749343⨯=，第四次操作后的面积为73432401⨯=．故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2019，最少经过4次操作．故选：A ．【点睛】考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．16．C【分析】先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC 判断出△ABC 的形状及∠2的度数，求出AB 的长，进而可得出，经过2020次后，即可得出所得到的正六边形的边长．【详解】∵此六边形是正六边形，∴∠1=180°-120°=60°，AD=CD=BC ，∴△BCD 为等边三角形，∴BD=12AC ， ∴△ABC 是直角三角形又∵BC=12AC ， ∴∠2=30°， ∴33CD ，同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的23)倍，，∴经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的20203)倍．【点睛】本题考查了正多边形和圆，正多边形内角的性质，直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等，能总结出规律是解此题的关键．17．D【分析】作11A C ⊥x 轴，22A C ⊥ x 轴，33A C ⊥ x 轴，设2A 纵坐标为m ，再根据等腰直角三角形的性质，将坐标表示为()22,A m m +，代入直线解析式算出m ，再用同样的方法设()35,A n n +，代入解析式求出n ．【详解】解：如图，作11A C ⊥x 轴，22A C ⊥ x 轴，33A C ⊥ x 轴，把()11,1A 代入15y x b =+，求出45b =，则直线解析式是1455y x =+， 已知()11,1A ，根据等腰直角三角形的性质，得到111111OC A C B C ===，设2A 纵坐标为m ，22A C m =，22OC m =+，得()22,A m m +，代入直线解析式，得()14255m m =++，解得32m =，设3A 纵坐标为n ，33A C n =，35OC n =+，得()35,A n n +，代入直线解析式，得()14555n n =++，解得9n 4=． 故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象和几何综合，解题的关键是抓住等腰直角三角形的性质去设点坐标，再代入解析式列式求解．18．A 【分析】先观察前几个图形，找到规律，用含有n 的代数式将规律表示出来，然后算第⑧个．【详解】解：可以将整个图形分成三部分看，上面部分整体和中间一行以及下面部分整体， 上部分和下部分都是一样的规律，第n 个图形有1231n ++++-个圆， 所以上部分加上下部分一共有()()123121n n n ++++-⨯=-个圆，中间一行，第n 个图形有21n -个圆，所以第n 个整个图形中有21n n +-个圆，令8n =，解得第⑧个图形中有71个圆．故选：A ．【点睛】本题考查找规律，解题的关键是能够用含有n 的代数式将图形的规律表示出来． 19．C【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，=30MON ∠︒，111OA A B =，得到1=30∠︒，由12B A OM ⊥，得到1OA 的长度，进而得到22122A B B A =，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =，进而得出答案．【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∴111A B =，∴21121A B A A ==，∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∴3323324A B B A OA ===，∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =，进而发现规律是解题关键．20．B【分析】根据图形可以发现点的变化规律：P 1到P 5顺时针，P 5到P 9逆时针，每8个点为一周期循环，从而可以得到点P 2020落在哪条射线上．【详解】解：由图可得，P 1到P 5顺时针，P 5到P 9逆时针，每8个点为一周期循环，∵（2020﹣1）÷8＝252…3，∴点P 2020落在射线OB 上，故选：B ．【点睛】本题考查了图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21．B【详解】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1=1，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a 2=2a 1，a 3=4a 1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16a 1，以此类推：a 2015=22014．故选B ．【点睛】根据已知得出a 3=4a 1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16a 1…进而发现解题规律22．B【详解】试题分析：设第n 个图形的棋子数为Sn ，则第1个图形，S 1＝1；第2个图形，S 2＝1+4，S 2－S 1=4＝3×1+1；第3个图形，S 3＝1+4+7；S 3－S 2=7＝3×2+1；第3个图形，S 3＝1+4+7+10；S 4－S 3＝10=3×3+1；……∴第n 个图形比第（n －1）个图形多()3n 113n 2-+=-棋子.∴第7个图形比第6个图形多372=19⨯-棋子.故选B.考点：探索规律题（图形的变化类）.23．D【分析】连接AC ，根据条件可以求出AC ，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2019=336×6+3，因此点3B 向右平移1344（即3364 ）即可到达点2019B ，根据点3B 的坐标就可求出点2019B 的坐标．【详解】连接AC ，如图所示．∵四边形OABC 是菱形，∴OA =AB =BC =OC ．∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形．∴AC =AB ．∴AC =OA ．∵OA =1，∴AC =1．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵2019=336×6+3，∴点B 3向右平移1344(即336×4)到点B 2019．∵B 3的坐标为(2，0)，∴B 2019的坐标为(1346，0)，故选：D【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．24．D【分析】 易得第二个菱形的面积为（12）2，第三个菱形的面积为（12）4，依此类推，第n 个菱形的面积为（12）2n-2，把n=4代入即可． 【详解】解：已知第一个菱形的面积为1；则第二个菱形的面积为原来的（12）2，第三个菱形的面积为（12）4，依此类推，第n个菱形的面积为（12）2n-2，当n=4时，则第4个菱形的面积为（12）2×4-2=(12)6=164．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．25．C【分析】根据图形中圆的个数变化规律，进而求出答案．【详解】解：如图所示：第一个图形一共有2+3=5个圆，第二个图形一共有2+3+4=9个圆，第三个图形一共有2+3+4+5=14个圆，∴第七个图形一共有2+3+4+5+6+7+8+9=44个圆，故选：C．【点睛】此题主要考查了图形变化类，根据题意得出圆的个数变化规律是解题关键．。
北京中考数学命题趋势 强化图形变换理解
北京中考数学命题趋势强化图形变换理解次的学生进行分层拔高，使每一个学生都有较大的提升空间。
（2）让学生参与数学思维活动，经历问题解决的整个过程。
复习中应多引导学生运用“运动的观点”来分析图形，要多引导学生学会阅读、审题、获取信息，养成多角度、多侧面分析问题的习惯，逐步提高学生的数学能力。
（3）要特别重视“函数图像变换型”问题教学的研究。
通过开展“函数图像变化”的专题教学，树立函数图像间相互转换的思维，尽量减少学生对函数“数形”认知的欠缺，比如，平时渗透抛物线的轴对称、旋转等知识点。
当某个函数图像经过变换出现多个函数图像时，要引导学生从图形间的相互联系中寻找切入点，排除识图的干扰，对图像所蕴含的信息进行横向挖掘和纵向突破，将“有效探索”进行到底。
此类试题考查的思路是从知识转向能力，从传统应用转向信息构建，这就提醒我们课堂上重要的不是讲解，而是点拨、引导、提升，一定要从重视知识积累转向问题探究的过程，关注学生自主探究能力的培养。
（4）突出数学核心概念、思想、方法的考查。
中学数学核心概念、思想方法是数学知识的精髓，也势必会成为考查综合应用能力的重要载体，这包括方程、不等式、函数，以及基本几何图形的性质、图形的变化、图形与坐标知识之间横纵向的联系，也包括中学数学中常用的重要数学思想。
如：函数与方程思想、数形结合、分类讨论思想很化归与转换思想。
而数学基本方法是数学的具体表现，具有模式化和可操作性，常用的基本方法有配方法、换元法、待定系数法、归纳法和割补法。
（5）将核心知识点“组合”作为实践综合题引导学生理解数学本质。
教学中要有意识地将多个知识点进行“组合”与“串接”自己编一些有针对性的、适合本班学生来练习的综合题，或者精选一些比较成功的试题，有目的的将它们进行剪裁、组合与改编，特别是专题复习阶段，更要能静心、精心、精选，以题为载体，以题论法。
“狭路相逢勇者胜”，目标引导行动，行动决定命运。
中考的战鼓已经擂响，我们别无选择。
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2019 北京中考数学命题趋势强化图形变换理解对未来中考预测时，需要考虑以下2 个主要因素：一个是数学课程标准的变化；二是过去中考试题中展现出来的相对安定的特点。
虽然过往的考试大纲和说明还不能作为2019 年中考命题的依据，但在某种程度上，过往的大纲和说明是会对今后中考命题具有一定影响作用。
因此，在对2019 年中考试题预测时，需要参考以往的考试说明和大纲上的内容和要求上的变化。
此外，近几年中考试题自身呈现的相对安定的特点，在某种程度上体现了课程标准突出强调的内容，体现重点内容重点考查的命题基本原则。
因此，关注近年来的中考试题特点，有助于掌握未来中考试题发展趋势。
以下分析仅供考生和老师参考！
一、命题内容及趋势：
（1）从数量角度反映变化规律的函数类题型：
（2）以直角坐标系为载体的几何类题型：
（3）以“几何变换”为主体的几何类题型：
（4）以“存在型探索性问题”为主体的综合探究题：
（5）以“动点问题”为主的综合探究题：
二、需要注意的问题及建义：
（1）在复习中要更多关注“几何变换”，强化对图形变换的理解。
加强对图形的旋转、平移、对称多种变换的研究，对例外层次的学生进行分层拔高，使每一个学生都有较大的提升空间。
（2）让学生参与数学思维活动，经历问题解决的整个过程。
复习中应多引导学生运用“运动的观点”来分析图形，要多引导学生学会阅读、审题、获取信息，养成多角度、多侧面分析问题的习惯，逐步提高学生的数学能力。
（3）要特别重视“函数图像变换型”问题教学的研究。
通过开展“函数图像变化”的专题教学，树立函数图像间相互转换的思维，尽量减少学生对函数“数形”认知的欠缺，比如，平时渗透抛物线的轴对称、旋转等知识
点。
当某个函数图像经过变换出现多个函数图像时，要引导学生从图形间的相互联系中寻找切入点，排除识图的干扰，对图像所蕴含的信息进行横向挖掘和纵向突破，将“有用探索”进行到底。
此类试题考查的思路是从知识转向能力，从传统应用转向信息构建，这就提醒我们课堂上严重的不是讲解，而是点拨、引导、提升，一定要从重视知识积累转向问题探究的过程，关注学生自主探究能力的培养。
（4）突出数学核心概念、思想、方法的考查。
中学数学核心概念、思想方法是数学知识的精髓，也势必会成为考查综合应用能力的严重载体，这包括方程、不等式、函数，以及基本几何图形的性质、图形的变化、图形与坐标
知识之间横纵向的联系，也包括中学数学中常用的严重数学思想。
如：函数与方程思想、数形结合、分类讨论思想很化归与转换思想。
而数学基本方法是数学的具体表现，具有模式化和可操作性，常用的基本方法有配方法、换元法、待定系数法、归纳法和割补法。
（5）将核心知识点“组合”作为实践综合题引导学生理解数学本质。
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老
师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而大凡学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低
一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
教学中要有意识地将多个知识点进行“组合”与“串接”自己编一些有针对性的、适合本班学生来练习的综合题，或者精选一些比较胜利的试题，有目的的将它们进行剪裁、组合与改编，特别是专题复习阶段，更要能静心、精心、精选，以题为载体，以题论法。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士
之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教
谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”学“正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
“狭路相逢勇者胜”，目标引导行动，行动决定命运。
中考的战鼓已经擂响，我们别无选择。
我们要以高昂的斗志，百倍的信心，坚强的毅志，高超的技能，全身心地奋战中考，我们全体教师要以最优异的课堂教学、最优异的教育理念、最无私的投入、最真诚的情感与我们全体学生同舟共济！最后，预祝孩子们腾着蛇年这股瑞气，顺势而上，中考旗开得胜！唐宋或更早之前，针对“经学”律“学”算“学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。
而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学”律“学”医“学”武“ 学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明确。
唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。
至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显著，也称得上朝廷要员。
至此，无论是“博士”讲“师”，还是“教授”助“教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。