二元函数极限的求法和极限不存在的判断
证明二重极限不存在
证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。
可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。
[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。
二重极限的计算方法(学年论文)
二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。
及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明目录序言 (1)一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)(三)采用对数法求极限 (2)(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)(五)等价无穷小代换 (3)(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)(七)多元函数收敛判别方法 (4)(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)(九)极坐标代换法 (6)(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)总结 (10)参考文献 (11)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。
虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。
二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。
由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。
求二元函数极限的几种方法
精品资料欢迎下载1.二元函数极限概念分析定义 1 设函数f在D R2上有定义，P0是 D 的聚点， A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数，总存在某正数,使得 P U 0 (P0; ) D 时，都有f (P) A,则称 f 在 D 上当 P P0时，以 A 为极限，记 lim f (P) A .P P0P D上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题若函数 f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续，则limf ( x, y) f ( x0 , y0 ) .( x, y) (x0 , y0 )例 1求 f ( x, y) x22xy 在点(1,2)的极限 .解：因为 f ( x, y)x22xy 在点(1,2)处连续，所以lim f ( x, y)x 1y 2lim( x22xy)x 1y 2122125.例 2求极限 lim1．2y 2x , y1,1 2x解：因函数在 1,1 点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即lim1= 1．x, y1, 1 2x2y 232.2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等.例 32 xy 4求 limxyx 0y2xy 4解： limxyx 0y(2xy 4)(2 xy 4) limxy(2 xy4)x 0 yxylim x 0xy(2 xy4)y 0lim1x 0 2xy4y1 .4例 4lim(1 2x 2 )(1 3y 2 ) 1．2x2 3 y2x, y0 ,0解： 原式lim1 2 x 2 1 3 y 211 2 x 21 3 y2 1x, y 0,0 2x23 y21 2x21 3y21lim16x 2 y 2x, y0,01 2x 21 3 y21 2x23y21 2x21 3y211 0 1 ．222.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数. 在二元函数中常见的等价无穷小 (u( x, y)0) ，有 sin u(x, y)u(x, y) ； 1 cosu( x, y)u 2 ( x, y) ；2ln 1 u( x, y) u( x, y) ； tan u(x, y) u( x, y) ； arcsin u( x, y) u(x, y) ；arctan u( x, y) u( x, y) ； n 1 u(x, y)1u( x, y) ； e u( x, y ) 1 u( x, y) ；同一元函n数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用 .例 51 xy1求 limx yx 0y 0解：当 x0 ， y0 时，有 xy 0 .1 x y 11( x y) ，所以2lim1 x y 1x yx 0y 01(x y) lim 2x yx 0y1 . 2lim 1 x y 1x yx 0y 0lim1 x y 1( 1 x y 1)( 1x y 1)这个例子也可以用恒等变形法计算，如：x 0 y 0lim11 x y 1x 0y 01 .22.4 利用两个重要极限sin u( x, y)1lim 1， lim1 u( x, y) u( x, y ) e 它们分别是一元函数中两个重u (x , y) 0 u( x, y) u ( x, y)要极限的推广 .x 2例 6 求极限 lim(11) x y .xxyy a解： 先把已知极限化为x 2x 22xy( x y )lim(11 ) xlim(1 1，而 limxlimy) xyy)(1 yaxyy axyy axy( xy axxxx当 x, ya 时 xy,1，所以 lim(1 1 )xy e.xyy axyxx 2lim (11)xy xy( x y)故原式 = x yaxy1e a .例 7 求 lim sin( xy) 极限 .x 0 xy a解：因为 sin( xy)y. sin( xy) ，当 x0, ya 时， xyxxysin( xy)1 ，再利用极限四则运算可得：xysin( xy)lim y.sin(xy)lim y. limsin( xy)a.·1= a .limxxyxyx 0x 0 y axy 0y ay a这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如：当 x 0 ， y a 时， xy 0 ， sin( xy) xy .1 1 , y ) y a x0 ，所以所以， lim sin( xy) lim xy lim y a.x x x 0 x 0 y ay a y a2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例 8 求 lim( 3x y)sin 1cos 1y 0 xyx 0解:因为 lim( 3x y) 0 是无穷小量，x 0 y 0故可知 ， lim( 3 x y)sin 1 cos 10.x 0 x yy 0例 9 求 lim( x 3)2 ( y 2)(x 3) 2( y 2) 2x3y 2解原式 = lim(x 3)( y 2) 2 (x 3)(x3)2 ( y 2)x 3y 2 因为(x 3)( y 2)( x3)2 ( y2)23)2 ( y 2) 22 (x3)2 ( y 2)2(xlim( x 3) 0 是无穷小量，x 3y 2所以 ， lim ( x 3)2 ( y 2)0 .(x3)2 ( y 2) 2x 3 y2sin 1 cos 11 是有界量 ，x y1是有界量，又2虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6 利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单 . 但利用时一定要满足下面的定理。
证明二元函数极限不存在的方法与技巧
219理论研究证明二元函数极限不存在的方法与技巧杨万娟,杨子艳,木绍良（云南大学旅游文化学院 信息学院,云南 丽江 674100）摘 要：本文主要解决在证明二元函数极限不存在的问题时选择特殊路径的方法和技巧。
关键词：二元函数极限；无穷小量；无穷小量的阶；特殊路径DOI:10.16640/ki.37-1222/t.2019.19.1961 二元函数极限概念分析 二元函数的极限存在,是指点沿任意路径无限接近某一点时,函数总是无限接近某一固定的数A 。
此时称A 为二元函数在时的极限,记作。
定理（1）设函数在内有定义,则；（2）设函数在有定义,且,则。
由定理可知,在求二元函数极限时,通过选择特殊的路径可转化为一元函数极限问题,所以,当沿着不同的路径趋于时（即当时,沿着不同的趋近于）函数趋于不同的值,那么就可以断定此函数的极限不存在。
但是找到特殊路径对学生来说不是一件容易的事,因此很有必要探究该问题。
本文对常见的两种类型作了讨论,其思路为：考虑分母中的最高次幂与分子中的最低次幂保持一致,通过化解可知极限是否与有关,若与有关,则可知极限不存在。
2 证明二元函数极限不存在时找特殊路径的方法2.1 类型一：证明(,)(0,0)lim a bm mx y x y x y →±极限不存在时找特殊路径的方法 （1）当且时,令； （2）当时,令。
例1 证明233(,)(0,0)limx y x yx y →−极限不存在。
证明：，故令， 显然,当k 不同时,31k k −便不同,所以极限233(,)(0,0)lim x y x yx y →−不存在。
例2 证明极限(,)(0,0)lim +x y xyx y→不存在。
证明：，故令，， 显然,当k 不同时,1k−便不同,所以极限(,)(0,0)lim +x y xyx y →不存在。
2.2 类型二：证明(,)(0,0)+lima b x y x y x y→±极限不存在时找特殊路径的方法 （1）当时,令； （2）当时,令。
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
第五章多元函数微分学讲解
第五章 多元函数微分学知识点拔5.1 多元函数的概念一、二元函数的概念 1、二元函数的定义设在某一变化过程中，有三个变量y x ,和z ，如果对于变量y x ,在某一范围D 内任取一对数值，按照一定的对应法则，总有一个确定的值z 与它对应，则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作：),(y x f z =或),(y x z z =，其中y x ,称为自变量，z 称为因变量或称为y x ,的二元函数，变量y x ,取值范围D 称为该函数的定义域.2、二元函数的几何意义 二元函数),(y x f z =在几何上一般表示空间直角坐标系中的一个曲面.二、二元函数的极限 1、二元函数极限的定义设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心邻域内有定义，如果动点),(y x P 在该邻域内以任何方式无限地趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 总是无限地趋于一个常数A ，则称A 是函数),(y x f z =在),(y x P 趋于),(000y x P 时的极限（也称二重极限），记作A y x f y y X x =→→),(lim 0或A y x f y x y x =→),(lim),(),(00，若记点),(y x P 与点),(000y x P 之间的距离为20200)()(||y y x x PP -+-==ρ，则有A y x f =→),(lim 0ρ .注释：（1）极限的几何意义：当),(y x P 在),(000y x P 附近的某个范围内变化时，函数值),(y x f 与常数A 的距离恒小于任意给定的正数ε；（2）二元函数极限存在是指：动点P 必须以任意方式趋于点0P 时，),(y x f 都无限趋于常数A ，则二元函数的二重极限存在，但即使动点P 沿过0P 的无穷多条路径趋于0P 时极限都等于A ，也不能说明0P P →时，A y x f →),( .（3）二元函数极限不存在的判定方法：如果当点),(y x P 以两种不同的方式趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 分别趋于不同的常数，则可以断定函数),(y x f 在点),(000y x P 处的极限不存在。
二元函数极限不存在的证明方法
二元函数极限不存在的证明方法摘要函数是数学中最基本内容，极限方法是研究函数最主要的方法之一，在数学中的学习中,函数是最基本的内容，在研究函数的方法中,最常见的方法就是极限方法，不仅如此，极限的理论是后续更加轻松的学习微积分的基础，在高等数学中，我们也经常用到极限的法子解决，只是没有明确的被提出来这个概念。
证明函数的极限难度是比较大的，在数学的学习中，我们可以碰到各种各样的函数。
二元函数是一元函数的义就是自变量为2的函数，一元函数的自变量是1,很明显，二元的要比一元复杂，再加上它是由平面涉及润，尺寸时，极限是非常基础的，所以工科学生也是必须懂的。
例如:我们以吃穿住行费用为自变量,计算总消费这个因变量是。
为了幸福指数,怎么消费更合适就会想到多维函数.本文用通俗易懂的语言描述二元关系以及判断几种不存在的方法，让读者更深刻理解极限概念.关键词：函数极限；累次极限；不存在;路径;齐次函数;点列AbstractFunction is the most basic mathematical content, ultimate method is to study the function of one of the most important ways, limit theory is the basis of calculus, limit method in higher mathematics is the focus, difficulties. Proof of function limit is difficult, in the learning of mathematics, we can meet a wide variety of functions. Is a unary function binary function of promotion, is the basis for learning functions of several variables. Although the limit of binary function is more complex than the limit of a function, but this mathematical ideas and methodsare the essence of mathematical knowledge, is the important part two of it form the basis for mathematical knowledge is still based on the function of one variable limits. Seeking the limit of binary function is actually the limit of function of hospitals seeking this more complex method is extended to the binary function. II Yuan function of limit is high mathematics teaching in the is important of content, heavy difficulties, but in existing of textbook in the, on its calculation method no detailed and full of described. limit of thought in many field has widely of application, two Yuan function of limit and a Yuan function of limit meaning same, it research of is plane Shang moving points trend a a sentinel Shi, corresponding of function value of changes trend. paper in with field limit concept of positive described and denied described of unified analysis defined,, good seeking two Yuan function limit method, Easy to understand description of binary relations and deep understanding of the concept of limit.Key words: limit; repeated limi does not exist; path; homogeneous functions;目录TOC \o "1-3" \h \z \u 引言51 二元函数极限的基本理论61.1 二元函数的极限61.1.1 二元函数在有限点的极限71.2二元函数极限的性质82.1 路径法112.2 点列法132.3 累次极限法152.4 归结法192.5 定义法202.6 齐次法22总结26谢辞27参考文献28引言我们前面学习了一元函数的极限，但是不论在数学理论问题中还是现实生活中,更多的量的变化不止是由一个因素决定,而是由多个因素决定的,如研究质点运动需要用到三个空间变量和一个时间变量以及多个函数值(如加速度,速度,动能,位置等).在研究消费选择时,所讨论的效用函数是消费在吃和穿等的函数.我们讨论二元函数的极限不存在问题,因为不像一元函数那样有罗必塔法则可用来确定未知式。
二元函数极限证明
二元函数极限证明)in1y?ysin1x, 求在点( 0 , 0 )的两个累次极限 .二重极限与累次极限的关系:（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。
例函数 f(x,y)?x?y?x?yx?y22的两个累次极限是 y?yyx?xx22limlimx?y?x?yx?yx?y?x?yx?yy?0x?0?limy?0?lim(y?1)??1y?0?lim(x?1)?1x?0limlimx?0y?0?limx?0（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例f(x,y)?xyx?yxyx?y，两个累次极限都存在limlimy?0x?0?0,limlimxyx?yx?0y?0?0但二重极限却不存在，事实上若点p(x,)沿直线 y?kx趋于原点时，kxf(x,y)?x?(kx)?k1?k二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f(x,y)?xsin1y?ysin1x由|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,( x ,y)?(0,0).可见二重极限存在 ,但1xlimsinx?0和limsiny?01y不存在，从而两个累次极限不存在。
（4）二重极限极限lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存x?x0y?y0在 , 则必相等.( 证 )（5）累次极限与二重极限的关系若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等第三篇：二元函数极限的研究二元函数极限的研究作者：郑露遥指导教师：杨翠摘要函数的极限是高等数学重要的内容，二元函数的极限是一元函数极限的基础上发展起来的，本文讨论了二元函数极限的定义、二元函数极限存在或不存在的判定方法、求二元函数极限的方法、简单讨论二元函数极限与一元函数极限的关系以及二元函数极限复杂的原因、最后讨论二重极限与累次极限的关系。
证明极限不存在
证明极限不存在证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线 y=2xy=-2x 趋于(0,0)时极限分别为 -3 和 -1/3 不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)证明该极限不存在lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)=1-lim8 / [(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2) 极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。
浅论二元函数极限不存在的判定
浅谈二元函数极限不存在的判定摘要：求二元函数极限是高等数学的学习中的难点。
本文对利用点的领域、路径、聚点等判定二元函数极限不存在进行了简要地归纳总结，寻找出了一些规律。
关键词：高等数学，二元函数，极限，聚点，邻域，路径 1.理论依据1.1定义1：设f 为定义在2D ⊂ℜ上的二元函数,0P 为D 的一个聚点,A 是一 个确定的实数。
若对任给的正数ε,总存在某正数δ,使得当00(;)P U P D δ∈时,都有()f P ε-A <则称f 在D 上当0P P →时,以A 为极限,记作lim ()p p p Df P →∈=A (1)在对于P D ∈不致产生误解时,也可简单地写作lim ()p p f P →=A '(1)当0,p p 分别用坐标(,)x y ,00(,)x y 时, '(1)式也常写作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →=A (1)''1.2定义2：设函数(,)z f x y =在D 内有定义,000(,)P x y 是D 内的点, A 是一个确定的实数,如果0,0,εδ∀>∃>使得0(,)(,)P x y U P D δ∈⊂即满足不等式：0ρδ<<的一切点P ,都有：|(.)|f x y A ε-<成立,则称A 为(,)z f x y =在0P P →时的极限,记作0lim y y x x →→(,)f x y =A ,也记作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=,或者0lim ()P Pf P A →=。
1.3 定理1：0lim ()p p p Df p A →∈=的充要条件是：对于D 的任一子集E ，只要0p 是E 的聚点，就有0lim ()p p p Ef p A →∈=。
1.4定理2：设E D ⊂,0P 是E 的聚点，若0lim ()P PP Ef P →∈不存在（包括非正常极限），则0lim ()P PP Df P →∈也不存在。
二元函数求极限的方法总结
二元函数求极限的方法总结二元函数求极限是微积分中的重要内容之一，它涉及到对两个变量同时进行极限运算。
在实际应用中，二元函数求极限的方法有多种。
下面将对常用的方法进行总结和拓展。
一、直接代入法：当二元函数在某一点的极限存在且可以直接代入，即函数在该点连续时，可以直接将函数值代入，得到极限值。
二、分别求极限法：当二元函数在某一点的极限不存在或者无法直接代入时，可以分别对两个变量进行极限运算。
即先对其中一个变量进行极限运算，然后再对另一个变量进行极限运算。
通过这种方法，可以得到二元函数在某一点的极限值。
三、路径法：路径法是一种常用的求二元函数极限的方法。
其基本思想是通过选择不同的路径，对二元函数在该路径上的极限进行求解。
如果在所有路径上的极限都存在且相等，则该极限即为二元函数在该点的极限。
常用的路径包括x轴，y轴，直线y=kx，抛物线y=x^2等。
通过选择不同的路径进行计算，可以帮助我们判断二元函数在某一点的极限是否存在。
四、夹逼定理：夹逼定理也适用于二元函数的极限求解。
当我们希望求二元函数在某一点的极限时，可以找到两个函数，一个函数上界大于该二元函数，一个函数下界小于该二元函数，并且两个函数在该点的极限相等。
利用夹逼定理可以得到二元函数在该点的极限值。
五、极限存在的条件：当我们希望判断二元函数在某一点的极限是否存在时，可以利用一些条件来进行判断。
常见的条件包括函数连续性、函数的有界性、函数的单调性等。
通过分析这些条件，可以得到二元函数在某一点的极限是否存在的结论。
总之，二元函数求极限的方法有多种，我们可以根据具体情况选择适当的方法。
通过深入理解这些方法，我们可以更好地进行二元函数的极限运算，并应用于实际问题中。
二元函数极限证明
二元函数极限证明二元函数极限是非常重要的数学概念，它在微积分、数学分析、数学物理等领域中都有着广泛的应用。
本文将探讨二元函数极限的定义、性质和证明方法等内容。
一、二元函数极限的定义二元函数极限是指当二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处充分接近某一数L时，称f(x,y)以(x0,y0)为极限的极限为L。
其数学表达式为：lim f(x,y) = L (x,y) → (x0,y0)其中，x和y是自变量，f(x,y)是因变量，(x0,y0)是指自变量趋向的目标点，L是指当自变量趋向(x0,y0)时，因变量接近的目标数。
二、二元函数极限的性质1. 二元函数极限不存在的情况二元函数极限可能不存在，如果在(x0,y0)处存在不同的极限，或者不存在以(x0,y0)为中心的去心邻域，那么二元函数极限就不存在。
2. 二元函数极限存在的情况若二元函数在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义，并且存在常数L，使得对于任意给定的正实数ε，总存在正实数δ，使得当点(x,y)满足0<d((x,y),(x0,y0))<δ时，就有|f(x,y)-L|<ε，那么就称L是二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限。
3. 二元函数极限等价于一元函数极限对于二元函数f(x,y)，可以将一个自变量看成定值，将另一个自变量看成另一个自变量的函数，则可以将二元函数极限转化为一元函数极限。
4. 二元函数极限具有唯一性如果二元函数在点(x0,y0)处存在极限，那么它的极限是唯一的。
三、二元函数极限的证明方法1. 利用定义证明根据极限的定义，可以利用ε-δ语言对二元函数的极限进行证明。
具体地，可以先假设在(x0,y0)处存在一个数L，然后对于任意给定的ε>0，都可找到一个正实数δ>0，使得当点(x,y)满足0<d((x,y),(x0,y0))<δ时，有|f(x,y)-L|<ε。
最后证明这个数列L确实满足该条件，即证得二元函数在点(x0,y0)处的极限存在。
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
则函数lim f(P)=A。 使用迫敛性求二元函数的极限， 关键是经过适当
P→P0
放缩， 构造出同时满足上述两个条件的 g(x,y)和 h(x,y)。 2 y+y4) 例 3、 求二元函数的极限lim sin(x x→0 x2+y2
y→0
xy = lim xy( 姨xy+1 +1) = lim 姨xy+1 +1=2 (x,y)→(0,0) xy+1-1 姨xy+1 -1 (x,y)→(0,0) 二、 判断二元函数的极限不存在 二元函数的海涅归结原理： lim f(x,y)=a 圳坌 点列 {Pn(x,y)} 若 Pn→ lim
x→x0 x→y0 P→P0
为区别二元函数极限与一元函数极限，称二元函数极限为二重极 限。 教材中并没有给出二元函数极限的求法，下面结合教学过程给出 二重极限的求法和判断二重极限不存在的方法。 一、 求二元函数极限的方法 1、 若能够事先看出极限值， 则可以用 ε-δ 方法证明， 直接写出二元 函数的极限值 4 4 例 1、 求极限lim x2+y2 x→x x +y
(x,y)→(x0,y0) Pn→P0
分析：对于上述二元函数当(x,y)→(0,0)时， 分子、 分母极限都是零， 故上述极限是 0 型。 0 注意到对于充分小的变量 x 有 sinx ≤ x ， 故 sin(x2y+y4)≤x2y+y4， 2 4 2 4 sin(x y+y ) x y+y ≤ 2 2 。 原函数满足不等式 0≤ x2+y2 x +y 上面不等式的左端为 0， 根据二元函数的迫敛性： 如果不等式的右 则函数的极限为 0。 端的极限也是 0， x2y+y4 x2y y4 ≤ 2 2 + 2 2 ≤ y + y2 故当 (x,y) →(0,0) 时极限 x2+y2 x +y x +y 为 0。 令 g(x,y)=0， h(x,y)= y + y2 ， 由迫敛性知， 二元函数的极限为 0。 4、 利用极坐标变换求二元函数的极限 考虑用极坐标变换： x=ρcos(θ)， y=ρsin(θ) 当二元函数中含有 x2+y2 项时， 通过综合运用恒等变换、 不等式放缩等方法将二元函数 f(x,y) 转化为只 含有参 ρ 的函数 g(ρ)， 进而求二元函数的极限。
极限不存在该证明
极限不存在该证明证明极限需要什么方法呢?极限存在与否该怎么证明呢?下面就是给大家的证明极限不存在内容，希望大家喜欢。
二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线y=2xy=-2x趋于(0,0)时极限分别为-3和-1/3不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在im(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2) 证明该极限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)=1-lim8/[(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。
关于二元函数极限的求法的探讨
关于二元函数极限的求法的探讨作者：马晨来源：《活力》2013年第21期[关键词] 二元函数；函数的极限；洛必达法则；连续性二元函数极限的定义：设f为定义DR2上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是一个确定的实数。
若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当P∈U0（P0；δ）∩D时，都有|f（P）-A当P，P0分别用坐标（x，y），（x0，y0）表示时，上式也常写作。
1 二元函数极限不存在的判别法1.1二重极限存在是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，函数都无限接近于A，因此，如果P（x，y）以某一特殊方式例如沿着一条直线趋于P0（x0，y0）时，即使函数无限接近于某一确定值，还不能由此断定函数极限的存在，但如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，函数值趋于不同的值，则可断定这个函数当x→x0，y→y0时极限不存在。
解：当动点（x，y）沿着直线y=mx而趋于定点（0，0）时，由于此时，因而有，这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不相等，因此所讨论的极限不存在。
1.2二重极限与累次极限没有必然的联系。
由定理知若累次极限与二重极限都存在时则三者必相等。
由此可推出若累次极限都存在但不相等时二重极限必不存在解：，两个累次极限存在但不相等所以二重极限不存在。
2 二元函数极限的计算方法2.1利用二元函数极限的定义求解2.2利用极限的四则运算法则求解二元函数与一元函数有着类似的运算法则，利用函数极限的迫敛性与四则运算的混合我们就可以将一些复杂的函数极限计算问题转化成简单的函数极限运算，下面我们举一个二元函数求极限过程中运用到四则运算法则的例子。
2.3将二元极限化为一元极限的求法依据函数f（x，y）的特殊类型，利用两个变量x，y的和x+y=t，平方和x2+y2=t及乘积xy=t等做变换，将二元函数f（x+y）求极限的问题，整体或部分转化为一元函数求极限的问题。
（1）当x→∞，y→a（a≠0常数）时，二元函数f（x，y）的极限做变换xy=t，相应的有t→∞，利用已知一元函数的极限公式再继续计算。
二元函数判断极限是否存在的方法
二元函数判断极限是否存在的方法引言在数学中，极限是一个重要的概念，用来描述函数在某一点（自变量趋于某一值）处的特性。
对于一元函数，我们已经熟悉了判断极限存在性的方法，但对于二元函数，我们需要使用不同的技巧和方法。
本文将介绍一些常用的方法来判断二元函数的极限是否存在，以帮助读者更好地理解该概念。
1.两个变量趋于同一点首先，我们来考虑当两个自变量同时趋于同一点时，二元函数的极限是否存在。
设函数为$f(x,y)$，当$(x,y)$趋于点$(x_0,y_0)$时，如果对于任意给定的数字$\v ar ep si lo n>0$，存在一个正数$\d e lt a>0$，使得当$0<\s qr t{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\d el ta$时，有$|f(x,y)-L|<\va re ps il on$成立，那么我们说函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处的极限存在，且极限值为$L$。
这个定义与一元函数的极限定义类似，只是我们需要考虑自变量在平面上的趋近情况。
2.自变量趋于不同的点当两个自变量分别趋于不同的点$(x_0,y_0)$和$(a,b)$时，我们需要考虑函数在这两个趋近点个别情况下的极限情况。
2.1独立变量的极限我们首先来考虑当变量$y$趋于点$b$，而$x$保持不变时的极限情况。
设函数为$f(x,y)$，当$y$趋于$b$，$x$保持不变时，如果对于任意给定的数字$\va re ps il o n>0$，存在一个正数$\de lt a>0$，使得当$0<|y-b|<\de lt a$时，有$|f(x,y)-L_1|<\v ar ep si lo n$成立，那么我们说函数$f(x,y)$在$x=x_0$时关于$y$的极限存在，且极限值为$L_1$。
2.2同时趋近极限接下来，我们考虑在两个自变量分别趋于不同点的情况下，函数的极限是否存在。
二元函数求极限时分母与分子都为零-概述说明以及解释
二元函数求极限时分母与分子都为零-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学领域中，我们经常研究各种函数的极限情况。
当我们考虑一个函数的极限时，通常是分别讨论分子和分母趋向于零的情况。
然而，有时候我们也会遇到一种特殊情况，即分母和分子同时趋向于零的二元函数。
当分母和分子都为零时，我们无法通过直接代入极限的定义来求解。
这种情况下，我们需要应用更加深入的数学方法和原理来求解极限值。
本文就是要就这种情况展开讨论，探究分母和分子都为零时极限的存在性及其计算方法。
我们将首先回顾二元函数的定义以及极限的概念，然后将专门关注分母和分子都为零的情况，展示其特别之处。
在结论部分，我们将总结分母和分子都为零时极限存在的条件，并介绍一些常用的计算方法。
此外，我们还将探讨该问题的应用和意义，帮助读者更好地理解这个重要的概念，并展示其在实际问题中的价值。
通过本文的阅读，读者将能够更加深入地理解分母和分子都为零时的极限情况，并学会应用相关的数学方法来解决类似的问题。
这将为读者打下坚实的数学基础，并为他们在未来的学习和研究中提供有力的支持。
我们希望这篇文章能够为读者们带来启发，激发他们对数学的热情，并鼓励他们进一步探索这一有趣而重要的领域。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将围绕二元函数求极限时，当分母和分子都为零的情况展开讨论。
文章结构如下：第一部分：引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的第二部分：正文2.1 二元函数的定义2.2 极限的概念2.3 分母和分子都为零的情况第三部分：结论3.1 分母和分子都为零时的极限存在性3.2 极限的计算方法3.3 应用和意义在本文的正文部分，首先将介绍二元函数的定义，包括对自变量和函数表达式的说明。
接着，将阐述极限的概念，包括单变量函数极限和二元函数极限的区别和特点，并通过示例进行解释。
紧接着，本文将探讨当分母和分子都为零时的情况。
将针对这种特殊情况进行详细讨论，分析其存在性和计算方法。
如何证明极限不存在（完整版）
如何证明极限不存在如何证明极限不存在sin-l-1-lsin-l-1-l| 12，同时成立。
这与|1-l|+|-1-l|≥|-|=2发生矛盾。
所以，使limsin=l成立的实数l不存在。
反证法：一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在假设两数列之和{n}的极限存在，那么bn=n-an极限也存在矛盾所以原命题成立令=x,lim趋于xx+=limx^2=0令=x^2-x,lim趋于xx+=limx^3-x^2x^2=-1两种情况极限值不同，故原极限不存在2答案：首先需要二项式定理：^n=∑nia^*b^i用数学归纳法证此定理：n=1^1a^*b^0+a^*b^1a+b故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，成立，即：^n1=∑n1ia^*b^i则，当n=n1+1时:式二两端同乘*=*=^=∑)ia^-i)*b^i因此二项式定理下面用二项式定理计算这一极限：^n用二项式展开得：^n=1^n++*^2+*^3+…+*^+*^+*^n由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与的相应次方刚好相约，得1，低次项与1n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。
因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与的相应项的次方相约，得1。
余下分母。
于是式一化为：^n=1+1+12!+13!+14!+15!+16!+…+1n!当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。
这一数值定义为e。
第三篇：证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0→0f不存在,通常的方法是:找几条通过定点的特殊曲线,如果动点沿这些曲线趋于时,f趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0→0f不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0→0fg的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f-g=0,这样做就很容易出错。
如何证明极限不存在(完整版)
如何证明极限不存在如何证明极限不存在sin-l-1-lsin-l-1-l| 12，同时成立。
这与|1-l|+|-1-l|≥|-|=2发生矛盾。
所以，使limsin=l成立的实数l不存在。
反证法：一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在假设两数列之和{n}的极限存在，那么bn=n-an极限也存在矛盾所以原命题成立令=x,lim趋于xx+=limx^2=0令=x^2-x,lim趋于xx+=limx^3-x^2x^2=-1两种情况极限值不同，故原极限不存在2答案：首先需要二项式定理：^n=∑nia^*b^i用数学归纳法证此定理：n=1^1a^*b^0+a^*b^1a+b故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，成立，即：^n1=∑n1ia^*b^i则，当n=n1+1时:式二两端同乘*=*=^=∑)ia^-i)*b^i因此二项式定理下面用二项式定理计算这一极限：^n用二项式展开得：^n=1^n++*^2+*^3+…+*^+*^+*^n由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与的相应次方刚好相约，得1，低次项与1n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。
因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与的相应项的次方相约，得1。
余下分母。
于是式一化为：^n=1+1+12!+13!+14!+15!+16!+…+1n!当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。
这一数值定义为e。
第三篇：证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0→0f 不存在,通常的方法是:找几条通过定点的特殊曲线,如果动点沿这些曲线趋于时,f趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0→0f不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0→0fg的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f-g=0,这样做就很容易出错。
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万方数据
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
作者：唐新华
作者单位：山东政法学院
刊名：
科技信息
英文刊名： SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
年，卷(期)：2009，""(18)
被引用次数：0次
参考文献(2条)
1.吴赣昌高等数学 2006