数学分析下——二元函数的极限课后习题.doc
二元函数求极限
二元函数求极限
如果能说明二元极限不存在，那么极限也就不用求了，说明极限不存在的方法有：
①令 y=kx 或其他的形式，将其代入，说明极限与 k 有关，代入后除了 k 以外不含有其他字母；
②找两个特殊路径代入，说明两极限不同即可说明极限不存在；
③极坐标换元代入，要根据变量趋势合理换元，说明极限跟极角\theta 有关即可。
2.二元极限存在，计算其极限
若根据题意，极限一定存在，那么可采用以下方法计算：
①等价无穷小替换；
②常用结论：如无穷小量乘以有界量依然为无穷小；
③不严谨的方法：极坐标换元，这种做法本质上还是一类路径而不是任意路径，有时会出错；
④夹逼准则，根据结构合理放缩。
数学分析16.2二元函数的极限
第十六章 多元函数的极限与连续2二元函数的极限一、二元函数的极限定义1：设f 为定义在D ⊂R 2上的二元函数，P 0为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得 当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(P)-A|<ε，则称f 在D 上当P →P 0时以A 为极限，记作：DP P P 0lim ∈→f(P)=A. 当明确P ∈D 时，也简写为0P P lim →f(P)=A.当P ,P 0分别以坐标(x,y), (x 0,y 0)表示时，也常写为)y ,x ()y ,x (00lim→f(P)=A.例1：依定义验证：)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.证：函数f(x,y)= x 2+xy+y 2定义R 2上. |x 2+xy+y 2-7|=|(x 2-4)+xy-2+(y 2-1)|=|(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)|=|(x-2)(x+y+2)+(y-1)(y+3)| ≤|x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|.方法一：在点P 0(2,1)的δ方邻域中，U ⁰(P 0;δ)内所有点组成的点集为：{(x,y)|0<|x-2|<δ, 0<|y-1|<δ}. ∴当点P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，有|x 2+xy+y 2-7|≤|x-2|(|x-2|+|y-1|+5)+|y-1|(|y-1|+4)<δ(3δ+9)=3δ2+9δ. ∴∀ε>0，只要取δ=612ε189++->0，当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，就有|x 2+xy+y 2-7|<ε，即)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.方法二：先取δ=1，则U ⁰(P 0;1)内的点集为：{(x,y)|0<|x-2|<1, 0<|y-1|<1}.于是有|y+3|≤|y-1|+4<5，|x+y+2|≤|x-2|+|y-1|+5<7. ∴|x 2+xy+y 2-7|≤7|x-2|+5|y-1|<7(|x-2|+|y-1|). ∴∀ε>0，只要取δ=min{1,14ε}，则当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，就有 |x 2+xy+y 2-7|<ε，即)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.例2：设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x y x xy 2222，，，证明：)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0. 证：函数f(x,y)定义R 2上.方法一：在方邻域U ⁰(O;δ)内的点集为{(x,y)|0<|x|<δ, 0<|y|<δ}.又2222y x y x xy +-=|xy|2222yx y x +-≤|xy|2xy y x 22-=2y x 22-≤2|y ||x |22+，∴∀ε>0，只要取δ=ε，则当P(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有2222yx y x xy +-<δ2=ε，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0. 方法二：对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∵2222yx y x xy +-=41r 2|sin4φ|≤41r 2，∴∀ε>0，只要取δ=2ε，则当0<r=22y x +<δ时，不管φ取什么值，都有|f(x,y)-0|<ε， ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.定理16.5：DP P P 0lim ∈→f(P)=A 的充要条件是：对于D 的任一子集E ，只要P 0是E 的聚点，就有EP P P 0lim ∈→f(P)=A.证：[必要性]若DP P P 0lim ∈→f(P)=A ，E ⊂D 以P 0为聚点，则∀ε>0，∃δ>0，当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，有|f(P)-A|<ε，从而当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩E 时，仍有 |f(P)-A|<ε，∴EP P P 0lim ∈→f(P)=A.[充分性]若DP P P 0lim ∈→f(P)≡/ A ，则存在ε0>0，使得对任意的n ，存在P n ∈U ⁰(P 0;n1)∩D 满足|f(P n )-A|≥ε0. 令E={P n |n=1,2,…}，则E ⊂D 以P 0为聚点，对数列{f(P n )}有EP P P 0lim ∈→f(P)=∞→n lim f(P n )≠A. 反之则有当EP P P 0lim ∈→f(P)=A ，有DP P P 0lim ∈→f(P)=A.推论1：设E 1⊂D ，P 0是E 1的聚点，若10E P P P lim ∈→f(P)不存在，则DP P P 0lim ∈→f(P)也不存在.推论2：设E 1,E 2⊂D ，P 0是它们的聚点，若存在极限10E P P P lim ∈→f(P)=A 1, 20E P P P lim ∈→f(P)=A 2, 但A 1≠A 2, 则DP P P 0lim ∈→f(P)不存在.推论3：极限DP P P 0lim ∈→f(P)存在的充要条件是：对于D 中任一满足条件P n ≠P 0, 且∞→n lim P n =P 0的点列{P n }，它所对应的数列{f(P n )}都收敛.证：[必要性]由定理16.5可知DP P P 0lim ∈→f(P)=A ，即∞→n lim f(P n )=A ，得证！[充分性]设{P n }为D 中各项不同于P 0但收敛于P 0的点列，记∞→n lim f(P n )=A. 对任一D 中的点列{Q n }，Q n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，作D 中的点列C n =⎩⎨⎧=-=k2n Q 1k 2n P k k ，，，则C n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，从而，∞→n lim f(C n )存在，∴∞→n lim f(P n )=∞→k lim f(C 2k-1)=∞→k lim f(C 2k )=∞→n lim f(Q n )=A. 若DP P P 0lim ∈→f(P)≠A ，则由定理16.5的充分性证明可知：必存在D 中的一个点列{Q n }, Q n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，使得∞→n lim f(Q n )≠A ，矛盾！∴DP P P 0lim ∈→f(P)=A 存在.例3：讨论f(x,y)=22yx x y+当(x,y)→(0,0)时是否存在极限. 解法一：当动点(x,y)沿着直线y=mx 趋近于(0,0)时， ∵f(x,y)=f(x,mx)=2m1m +，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0x lim →f(x,mx)=2m 1m+. 显然， 当m 不同时，对应的极限值不同. ∴所讨论的极限不存在. 解法二：假设极限存在为A ，∵f(x,y)定义在R 2-(0,0)上， 又在{(x,y)|y=x, (x,y)≠(0,0)}上，f(x,y)=22y x x y +=21，∴A=21. 又在{(x,y)|y=2x, (x,y)≠(0,0)}上，f(x,y)=22y x x y +=52≠A. 矛盾！ ∴所讨论的极限不存在.例4：二元函数f(x,y)=⎩⎨⎧+∞<<-∞<<其余部分，，0x ,x y 012，讨论当(x,y)→(0,0)时是否存在极限.解：函数定义在R 2上，记E={(x,y)|0<y<x 2,-∞<x<+∞}, 显然动点(x,y)在E 上沿着任何曲线趋于原点时,f(x,y)趋于0，而在E c 上沿着任何曲线趋于原点时，f(x,y)趋于1. ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.定义2：设D 为二元函数f 的定义域，P 0(x 0,y 0)为D 的一个聚点. 若对任何正数M ，总存在P 0的一个δ邻域，使得当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时， 都有f(P)>M 则称f 在D 上当P →P 0时，存在非正常极限+∞，记作：)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=+∞或 0PP lim →f(P)=+∞.若f(P)<-M ，则0P P lim →f(P)=-∞；若|f(P)|<M ，则0P P lim →f(P)=∞.例5：设f(x,y)=22y32x 1+，证明：)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=+∞. 解：函数定义在R 2-(0,0)上，在聚点O(0,0)的任一δ方邻域U ⁰(O;δ)内， {(x,y)|0<|x|<δ,0<|y|<δ}，∴22y 32x 1+>25δ1，即对任意M>0，只要取δ<5M 1, 则当P(x,y)∈U ⁰(O;δ)，就有22y 32x 1+>25δ1>M ，即 )0,0()y ,x (lim→f(x,y)=+∞.二 、累次极限概念：f 两个自变量x,y 同时以任何方式趋于x 0,y 0的极限称为重极限； x 与y 依一定的先后顺序相续趋于x 0与y 0时f 的极限称为累次极限.定义3：设f(x,y),(x,y)∈D ，D 在x 轴、y 轴上的投影分别为X,Y ，即 X={x|(x,y)∈D}, Y={y|(x,y)∈D}，x 0与y 0分别是X,Y 的聚点. 若对每一个y ∈Y(y ≠y 0)，存在极限0x x lim →f(x,y)，它一定与y 有关，故记作φ(y)=0x x lim →f(x,y)，若又存在极限L=0y y lim →φ(y)，则称极限L 为f(x,y)先对x(→x 0)，后对y(→y 0)的累次极限，记作L=0xx y y lim lim →→f(x,y).类似地可定义先对y 后对x 的累次极限K=0yy x x lim lim →→f(x,y).注：f 两个自变量x,y 同时以任何方式趋于x 0,y 0的极限称为重极限.例6：证明f(x,y)=22y x x y+关于原点的两个累次极限都存在且相等. 证：(例3中已证(x,y)→(0,0)时,f 的重极限不存在.) 当y ≠0时，0x lim →f(x,y)=220x yx x ylim+→=0；∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0； 当x ≠0时，0y lim →f(x,y)=220y y x x ylim+→=0；∴0y 0x lim lim →→f(x,y)=0，∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0y 0x lim lim →→f(x,y)=0，得证！例7：讨论f(x,y)=yx y x y -x 22+++关于原点的重极限和两个累次极限.解：在不同的直线y=mx 上，)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0x lim →f(x,mx)=m1m-1+，显然 f(x,y)关于原点的重极限的取值与m 有关，∴不存在.0x lim →f(x,y)=y x y x y -x lim220x +++→=y-1；∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0y lim →(y-1)=-1. 0y lim →f(x,y)=yx y x y -x lim220y +++→=x+1；∴0y 0x lim lim →→f(x,y)=0y lim →(x+1)=1.例8：讨论f(x,y)=xsin y 1+y sin x1关于原点的重极限和两个累次极限. 解：∵|xsin y 1+ysin x 1|≤|x|+|y|，∴∀ε>0，总存在δ=2ε，使得 当(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有|xsin y 1+ysin x1|<2δ=ε，∴重极限存在等于0. 又对任何y ≠0，当x →0时，仅第二项不存在极限，同理 对任何x ≠0，当y →0时，仅第一项不存在极限， ∴两个累次极限都不存在.定理16.6：若f(x,y)在点(x 0,y 0)存在重极限与累次极限0yy x x lim lim →→f(x,y)，则它们必相等. 证：设)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A ，则∀ε>0，使得当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，有|f(x,y)-A|<2ε. 又对任一满足0<|x-x 0|<δ的x ，有0y y lim →f(x,y)=φ(x)，即有 |f(x,y)-φ(x)|<2ε，∴|f(x,y)-A|+|f(x,y)-φ(x)|<ε，又 |f(x,y)-A|+|f(x,y)-φ(x)|≥ |f(x,y)-A+φ(x)-f(x,y)|=|φ(x)-A|， ∴对任一满足0<|x-x 0|<δ的x ，|φ(x)-A|<ε，即0x x lim →φ(x)=A ，∴0y y x x lim lim →→f(x,y)=)y ,x ()y ,x (0lim →f(x,y).推论1：若两个累次极限和重极限都存在，则三者相等.推论2：若两个累次极限都存在但不相等，则重极限必不存在.习题1、试求下列极限：(1)2222)0,0()y ,x (y x y x lim +→；(2)2222)0,0()y ,x (y x y x 1lim +++→；(3)1y x 1y x lim 2222)0,0()y ,x (-+++→； (4)44)0,0()y ,x (yx 1x y lim++→；(5)y 2x 1lim )2,1()y ,x (-→；(6)22)0,0()y ,x (y x 1sin )y x (lim ++→； (7)2222)0,0()y ,x (yx )y x sin(lim ++→. 解：(1)当(x,y)≠(0,0)时，∵2222yx y x +≤2xy →0, (x,y)→(0,0)，∴2222)0,0()y ,x (y x y x lim +→=0. (2)2222)0,0()y ,x (y x y x 1lim +++→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→1y x 1lim 22)0,0()y ,x (=+∞. (3)1y x 1y x lim2222)0,0()y ,x (-+++→=222222)0,0()y ,x (yx )1y x 1)(y (x lim+++++→=()1y x 1lim 22)0,0()y ,x (+++→=2. (4)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则(x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0. 又当(x,y)∈U ⁰(0;1)时，0<r<1，∴44y x 1x y ++≥222)y (x |x y |1+-≥22222)y 2(x )y x (2++-=422r r -2>42r 1→+∞ (r →0)； ∴44)0,0()y ,x (yx 1x y lim ++→=+∞. (5)∵y 2x 1-=2)-y (1)-2(x 1-≥2-y 1-x 21+→∞, (x,y)→(1,2)，∴y2x 1lim)2,1()y ,x (-→=∞. (6)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∵22yx 1sin)y x (++=2r 1sin )φsin φ(cos r +=2r 1sin )φsin φ(cos r +≤2r →0. ∴22)0,0()y ,x (y x 1sin )y x (lim ++→=0. (7)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∴2222)0,0()y ,x (yx )y x sin(lim ++→=220r r r sin lim →=1.2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：(1)f(x,y)=222y x y +；(2)f(x,y)=y 1sin x 1sin )y x (+；(3)f(x,y)=22222y)x (y x y x -+； (4)f(x,y)=y x y x 233++；(5)f(x,y)=x 1sin y ；(6)f(x,y)=3322yx y x +；(7)f(x,y)=sinxy e -e y x .解：(1)∵2220y 0x y x y lim lim +→→=0x lim →0=0；2220x 0y yx y lim lim +→→=0y lim →1=1；∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(2)当x ≠0时，y1sin x 1sin )y x (lim 0y +→不存在； 当y ≠0时，y1sin x1sin )y x (lim 0x +→也不存在； 又y1sinx 1sin )y x (+≤|x|+|y|→0, (x,y)→(0,0)，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.(3)222220y 0x y)x (y x y x lim lim -+→→=0x lim →0=0；222220x 0y y)x (y x y x lim lim -+→→=0y lim →0=0；又f(x,x)=1,(x ≠0)，f(x,0)=0, (x ≠0)，∵0x lim →f(x,x)≠0x lim →f(x,0)；∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(4)y x y x lim lim 2330y 0x ++→→=0x lim →x=0；yx y x lim lim 2330x 0y ++→→=0y lim →y 2=0；现让动点(x,y)沿曲线y=x 2(x 2-1)向点(0,0)移动，则有0x lim →f(x,x 2(x 2-1))=)1-x (x x )1-x (x x lim 22232630x ++→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→3220x )1-x (x x 1lim =∞≠0； ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(5)x1sin y lim lim 0y 0x →→=0x lim →0=0；当y ≠0时，x1sin y lim 0x →不存在；∴函数在点(0,0)累次极限x1sin y lim lim 0x 0y →→不存在.又x1siny ≤|y|→0, (x,y)→(0,0)，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.(6)∵33220y 0x y x y x lim lim +→→=0x lim →0=0；33220x 0y yx y x lim lim +→→=0y lim →0=0；现让动点(x,y)沿曲线y=x(x-1)向点(0,0)移动，则有0x lim →f(x,x(x-1))=333240x )1-x (x x )1-x (x lim +→=320x )1-x (1)1-x (x lim +→=1≠0； ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在. (7)∵sinx y e -e lim y x 0y →=∞；sinx y e -e lim yx 0x →=∞； ∴sinx y e -e lim lim y x 0y 0x →→和sinx ye -e lim lim yx 0x 0y →→都不存在. 令动点(x,y)沿x 轴正向趋于(0,0)时，可知)0,0()y ,x (lim →f(x,y)也不存在.3、证明：若)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，且y 在b 的某邻域内存在a x lim →f(x,y)=φ(y)，则ax b y lim lim →→f(x,y)=A.证：由)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，∀ε>0，∃δ1>0，当0<|x-a|<δ1, 0<|y-b|<δ1, 且(x,y)≠(a,b)时，有|f(x,y)-A|<2ε. 又由y 在b 的某邻域δ2内存在a x lim →f(x,y)=φ(y)，即|f(x,y)-φ(y)|<2ε. 令δ=min{δ1, δ2}，当0<|y-b|<δ时， 令x →a ，就有|φ(y)-A|=|φ(y)-f(x,y)+f(x,y)-A|≤|φ(y)-f(x,y)|+|f(x,y)-A|<ε, 即by lim →φ(y)=ax b y lim lim →→f(x,y)=A.4、试应用ε-δ定义证明222)0,0()y ,x (y x y x lim +→=0.证：∵当(x,y)≠(0,0)时，222yx y x +≤2xy y x 2=2x; ∴∀ε>0，∃δ=2ε>0，使得当(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有222y x y x +<2δ=ε，∴222)0,0()y ,x (yx yx lim +→=0.5、叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.解：(1)二元函数极限的惟一性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)存在，则它只有一个极限. 证明如下：设A, B 都是二元函数f(x,y)在点P 0(a,b)处的极限，则∀ε>0，∃δ>0， 使得当(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(x,y)-A|<2ε;|f(x,y)-B|<2ε， ∴|A-B|=|A-f(x,y)+f(x,y)-B|≤|f(x,y)-A|+|f(x,y)-B|<ε； 又由ε的任意性知A=B ，得证！(2)二元函数极限的局部有界性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，则存在P 0(a,b)的某邻域U ⁰(P 0;δ)，使f(x,y)在U ⁰(P 0;δ)∩D 上有界. 证明如下： ∵)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，∴对ε=1，∃δ>0，使得当(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时， 就有|f(x,y)-A|<ε=1，即A-1<f(x,y)-A<A+1，得证!(3)二元函数极限的局部保号性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A>0(或<0)，则对任意正数r(0<r<|A|), 存在P 0(a,b)的某邻域U ⁰(P 0;δ)，使得 对一切(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，恒有f(x,y)>r>0(或f(x,y)<-r<0). 证明如下： 设A>0，取ε=A-r>0，则∃δ>0，使得对一切(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，有 |f(x,y)-A|<ε=A-r ，即f(x,y)>A-(A-r)=r>0，得证! 同理可证A<0的情形.6、试写出下列类型极限的精确定义： (1)),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=A ；(2)),0()y ,x (lim+∞→f(x,y)=A.解：(1)设f 为D 上的函数，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在正数M ，使得当(x,y)∈D, 且x>M, y>M 时，恒有|f(x,y)-A|<ε， 则称当(x,y)→(+∞,+∞)时，f(x,y)以A 为极限，记作：),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=A.(2)设f 为D 上的函数，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在正数δ，使得当(x,y)∈D, 且0<|x|<δ, y>δ1时，恒有|f(x,y)-A|<ε， 则称当(x,y)→(0,+∞)时，f(x,y)以A 为极限，记作：),0()y ,x (lim+∞→f(x,y)=A.7、试求下列极限：(1)4422),()y ,x (y x y x lim +++∞+∞→；(2)),()y ,x (lim+∞+∞→(x 2+y 2)e -(x+y)； (3)xsiny),()y ,x (xy 11lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞+∞→；(4)yx x )0,()y ,x (2x 11lim++∞→⎪⎭⎫⎝⎛+.解：(1)当x>0, y>0时，4422y x y x ++≤2222y2x y x +=222x 12y 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞)，∴4422),()y ,x (y x y x lim +++∞+∞→=0.(2)当x,y 充分大时，e x >x 2, e y >y 2， ∴|(x 2+y 2)e -(x+y)|<2222yx y x +=22x 1y 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞)，∴),()y ,x (lim+∞+∞→(x 2+y 2)e -(x+y) =0.(3)xsiny),()y ,x (xy 11lim⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞+∞→=ysiny ),()y ,x (xy ),()y ,x (xy 11lim xy 11lim⋅+∞+∞→+∞+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =e ·1=e.(4)∵x)0,()y ,x (x 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→=e ，∴yx x )0,()y ,x (2x 11lim ++∞→⎪⎭⎫⎝⎛+=yx x )0,()y ,x (e lim++∞→= e.8、试作一函数f(x,y)使当x →+∞,y →+∞时， (1)两个累次极限存在而重极限不存在； (2)两个累次极限不存在而重极限存在； (3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在.解：(1)函数f(x,y)=222yx x + ，满足+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)=0; +∞→+∞→x y lim lim f(x,y)=1；∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)不存在.(2)f(x,y)=x yyx +sinxsiny ，满足+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)和+∞→+∞→x y lim lim f(x,y)都不存在.而|x y y x +sinxsiny|≤xy y x +=y1x 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞). ∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=0.(3)函数f(x,y)=sinxsiny 满足当(x,y)→(+∞,+∞)时，三个极限都不存在. (4)函数f(x,y)=y1sinx 满足：+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)=0；+∞→+∞→x y lim lim f(x,y)不存在；而∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=0.9、证明：定理16.5及其推论3. 证：见定理16.5及其推论3.10、设f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U ⁰(P 0)上有定义，且满足： (1)在U ⁰(P 0)上，对每个y ≠y 0, 存在极限0x x lim →f(x,y)=ψ(x)；(2)在U ⁰(P 0)上，关于x 一致地存在极限0y y lim →f(x,y)=φ(x).试证明：0y y x x lim lim →→f(x,y)=0xx y y lim lim →→f(x,y).证：由条件(1)知, ∀ε>0，∃δ>0，对每个y ≠y 0，只要(x,y)∈U ⁰(P 0,δ1)， 就有|f(x,y)-ψ(x)|<3ε；由条件(2)知，对上面的ε，∵0<|y-y 0|<δ， ∴对所有x ，只要(x,y)∈U ⁰(P 0)，就有|f(x,y)-φ(x)|<3ε. ∴0x x y y lim lim →→f(x,y)存在，记为A ，则|0xx lim →f(x,y)-A|=|ψ(x)-A|<3ε， 又|φ(x)-A|≤|f(x,y)-φ(x)|+|f(x,y)-ψ(x)|+|ψ(x)-A|<3ε+3ε+3ε=ε， ∴0x x lim →φ(x)=A ，即0y y x x lim lim →→f(x,y)=0xx y y lim lim →→f(x,y).。
二元函数极限 共33页
PP0
PP0
PE1
PD
推论2 设E1, E2 D，P0是它们的聚点，
若
存
在
极
限 l i mf
PP0
(P)
A1，Pl i Pm0 f
(P)
A2
PE1
PE2
但A1
A2，
则l i mf PP0
(P)不
存
在 .
PD
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推论3 极限lim f (P) A的充要条件是： PP0 PD
证明 lim f(x,y)0 (x,y) (0,0)
证 作极坐标变换 xrco ,syrsin ， 这(x 时 ,y) (0,0)等价于 都 对r有 任 0， 何
由 于 | f(x,y)-0||xyx x2 2 y y2 2|
1r2|sin4|1r2
4
4
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都有 f (P ) M ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时， 存在非正常极限 ,记作
lim f ( P ) 或 lim f ( P )
( x , y ) ( x0 , y0 )
P P0
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例 5设 f(x ,y ) 2 x 2 1 3 y 2,证 (x ,y l) 明 i(0 ,0 m )f(x ,y ) 证因 明为 2x21 3 由 2y 4(x21 y2)M
PP0 PD
简记为
limf(P)A
PP0
也记为
limf(x,y)A
(x,y) (x0,y0)
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极限的方邻域定义：
设 f ( x, y ) 为 D R2 上的二元函数，P0 (x0, y0 )为 D
§2多元函数的极限习题参考解答
814§2 多元函数的极限习题参考解答1. 依定义验证22(,)(2,1)lim ()7x y x xy y →++=。
解 因为()()12472222−+−++=−++y xy x y xy x()()()()()()31221112222+−+++−≤−++−+−+−+=y y y x x y y y y x x x先限制在点(2，1)的1=δ的方邻域 (){}11,12,<−<−y x y x 内讨论，于是有，,541413<+−≤+−=+y y y ()()5122+−+−=++y x y x7512<+−+−≤y x所以， 1527722−+−≤−++y x y xy x ()127−+−<y x 。
设ε为任给正数，取),14,1min(εδ=则当)1,2(),(,1,2≠<−<−y x y x δδ时，就有， 2277214x xy y δδε++−<⋅=<。
2. 依定义证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x 。
证 因为)(21)(|0|2222222122y x y x y x y x xy +=++≤−+， 可见，对∀ε >0， 取εδ2=， 则当δ<−+−<22)0()0(0y x , 即),(),(δO U D y x P D∩∈时， 总有|22yx xy +−0|<ε，因此。
0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x3. 证明极限 242)0,0(),(limy x yx y x +→不存在。
815证：当点P (x ，y )沿y 轴趋于点(0, 0)时，00lim lim 20242)0,0(),(==+→→y y x y x y y x ； 当点P (x ， y )沿y 轴趋于点(0, 0)时，00lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f 。
16-2二元函数的极限
§2 二元函数的极限
一、二元函数的极限 二、累次极限
回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),
所谓 lim f (x) A, 表示
x x0
y
当 x 不论是从 x0的左边 A
还是从x0的右边无限接 近于x0时, 对应的函数 值无限接近于数 A. 如图
极限
lim
P P0
f P 存在的充要条件是:
对于
D
PD
中任一满足条件
Pn
P0
且
lim
n
Pn
P 的点列
Pn,
它所对
应的函数列 f Pn 都收敛.
注: 推论1-3的证明可由定理16.5直接得到, 自证推论3.
3．二元函数的非正常极限
定义2 设 z f x, y, x, y D, P0 x0, y0 是 D 的一个
f P A.
D
PE
注: 该定理与一元函数极限的海涅归结原则(以及证明方法)类似.
推论1 设 E1 D,
P0
是
E1 的聚点,若
lim
PP0
f
P
A
不存在, 则 lim f P A 也不存在.
PE1
PP0
PD
P0
推论2 设 E1, E2 D, P0 是它们的聚点,
E1
若存在极限 lim f P A 和 lim f P B,
例3
设
f
x,
y
xy
x2
y2
,
0,
lim f x, y 0.
x, y0,0
x, y 0,0, x, y 0,0,
(整理)二元函数极限的求法.
二元函数极限的求法数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.引言多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明.2.二元函数极限的定义定义1 设E 是2R 的一个子集，R 是实数集,f 是一个规律，如果对E 中的每一点(,)x y ,通过规律f ,在R 中有唯一的一个u 与此对应,则称f 是定义在E 上的一个二元函数,它在点(,)x y 的函数值是u ,并记此值为(,)f x y ，即(,)u f x y =.有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数222y x R x --=就是一个上半球面，球心在原点，半径为R ，此函数定义域为满足关系式222R y x ≤+的x ,y 全体,即}|),{(222R y x y x D ≤+=.又如,xy Z =是马鞍面.知道多元函数的定义之后,在我们求多元函数极限之前我们必须知道多元函数极限的定义.定义2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>∀ε,0>∃δ,当()00,r M M δ<<时,有()f M A ε-<,就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为()0lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→.定义的等价叙述 1 ：设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>∀ε，0>∃δ，当0δ<时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极限。
《二元函数极限》PPT课件
2 2
5. 二重极限的性质 （1） 极限存在的唯一性。 若函数f(x,y)在点(x0,y0)存在极限，则其极限是唯一的. （2） 极限存在的的局部保号性。
若
( x , y )( x0 , y0 )
推论2 lim f ( P ) A
P P0 pD
对D中任一满足Pn P0 , lim Pn P0的点列{Pn },函数列{ f ( Pn )}都收敛.
n
y
例4
1, 0 y x 2 讨论 f ( x, y ) 在(0,0)的极限. 0, 其它
O
y
解: 当动点(x,y)沿任何直线趋于(0,0)时, f(x,y)的极限为0 当动点(x,y)沿抛物线
恒有
| f ( P ) A || f ( x, y) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时,以A为极限,记作
P P0 pD
lim f ( P ) A, 或 lim f ( P) A, 或
P P0
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
f ( x, y ) A.
0 ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2
时,恒有
| f ( x, y ) A | .
2. 用定义证明极限 基本思路: 根据 找 , 使当 | x - x0 | ,| y - y0 | ,( x, y) D,( x, y) ( x0 , y0 ),
对任何 ,都有r 0
2 2 2 x2 y 2 | r cos sin (cos sin ) | | xy 2 0| = 2 x y 1 1 = | r 2 sin 2 cos 2 | = | r 2 sin 4 | 2 4 2 2 1 2 x y 1 2 2 ( x y ) = | xy 2 0|≤ r 2 4 4 x y 2 2 x y 1 2 2 | xy 2 0 | 2 ( x y ) ( x2 y 2 ) 4 只要： x y 4
16.2二元函数的极限
有 : (x2 xy y2) 7 7 14
故 lim (x2 xy y2 ) 7 ( x, y)(2,1)
例
2.用“
”定义验证极限lim x0
xy 2 x2 y2
0.
y0
证明: 0,要使:
xy 2 x2 y2
0
x
2
xy
y
2
y
0
1 2
y0
取 2 0, 当(xx, y)0U ,((y0,00),)(方时),
则称函数 z f (x, y)在点P0 (x0, y0 )存在极限，且
称 A为函数 z f (x, y)当 x x0， y y0 时的极
限（全面极限），记为 lim f (x, y) A x x0 y y0
或 lim f (x, y) A，或 lim f (P) A
x, y x0 , y0
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
y0
其中
lim
x0
sin( x
x2 2y
y
)
y0
u x2 y sin u
lim 1, u0 u
x2 y x2 y2
1x 2
x0 0,
lim
f
(P)
A.
PE
推论 1.设 E1 D ， P0 是 E1 的聚点。若极限
lim f (P)不存在，则极限 lim f (P)也不存在 .
PP0
PP0
二元极限习题及答案
二元极限习题及答案二元极限习题及答案在数学中，二元极限是研究函数在二维平面上的极限行为的重要概念。
它在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。
本文将介绍一些常见的二元极限习题，并提供详细的解答。
1. 习题一：计算二元函数f(x, y) = (x^2 + y^2)/(x + y)在点(0, 0)处的极限。
解答：要计算该二元函数在(0, 0)处的极限，可以尝试使用极坐标变换。
令x = rcosθ，y = rsinθ，其中r为距离原点的距离，θ为与x轴的夹角。
将x和y代入原函数中得到：f(r, θ) = (r^2cos^2θ + r^2sin^2θ)/(rcosθ + rsinθ)= r(cos^2θ + sin^2θ)/(cosθ + sinθ)= r/(cosθ + sinθ)当r趋近于0时，函数f(r, θ)趋近于0。
因此，原函数在(0, 0)处的极限为0。
2. 习题二：计算二元函数f(x, y) = (x^2 - y^2)/(x - y)在点(1, 1)处的极限。
解答：要计算该二元函数在(1, 1)处的极限，可以尝试使用直接代入法。
将x和y分别替换为1，得到：f(1, 1) = (1^2 - 1^2)/(1 - 1)= 0/0由于分子和分母都为0，无法直接计算极限。
这时可以尝试对函数进行化简。
将分子进行因式分解，得到：f(x, y) = ((x - y)(x + y))/(x - y)当x ≠ y时，可以约去分子和分母的(x - y)项，得到f(x, y) = x + y。
因此，在点(1, 1)处，函数的极限为2。
3. 习题三：计算二元函数f(x, y) = xy*sin(1/x)在点(0, 0)处的极限。
解答：要计算该二元函数在(0, 0)处的极限，可以尝试使用夹逼定理。
根据夹逼定理，如果存在两个函数g(x, y)和h(x, y)，满足对于所有的(x, y) ∈ D，有g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y)，且lim(g(x, y)) = lim(h(x, y)) = L，那么lim(f(x, y)) = L。
二元函数求极限例题
二元函数求极限例题极限是数学上最重要的概念之一，极限是指当某个变量的值趋近于某个值时，它的函数的值会趋近于某个值。
针对二元函数求极限，也就是求解一元函数y=f(x)当x趋近于某个值时，y的值趋近于某个值，我们只需要将该函数中x替换为这个某个值，就可以求出当x趋近于某个值时，函数y的值。
接下来我们就通过一个具体的例题来探讨如何求解二元函数极限。
假设有函数y=f(x)，其中f(x)为一个三次函数：f(x)=2x^3-3x^2+5那么，我们就是要计算这个函数当x趋近于1时的极限，那么我们就可以将f(x)中的x替换为1：f(1)=2(1)^3-3(1)^2+5可以得到极限为4，因此，当x趋近于1时，y的极限为4。
接下来，我们将介绍另一种更直接地求解极限的方法，即使用定义求解极限，我们将以函数f(x)=x^2+2为例来说明这种方法：首先，我们将f(x)的解析式写成如下形式：f(x)=limn→∞[(x+1/n)^2+2]也就是说，当x趋近于某个值时，要求极限，只需要将x的值替换为这个值，然后用n的值求解，当n的值趋近于无穷大时，就可以得到极限值。
接下来，我们以函数f(x)=x^2+2为例，求x趋近于1时的极限： f(x)=limn→∞[(1+1/n)^2+2]将x替换为1之后，可以得到f(1)=limn→∞[(1+1/n)^2+2]当n的值趋近于无穷大时，上式的结果可以简化为f(1)=limn→∞[1+2/n+1/n^2+2]可以得到极限为5，因此，当x趋近于1时，y的极限为5。
以上就是求解二元函数极限的方法，以上求解极限的方法可以用于求解其他任何函数的极限。
总之，求解二元函数极限要求我们要熟练掌握极限的概念，能够灵活地把握数学公式，最重要的就是熟悉求解极限的方法，有一定的练习和实践才能真正掌握这种技能。
二元函数的极限
二元函数的极限第一篇：二元函数的极限§2 二元函数的极限(一)教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．(二)教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．基本要求：(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．(三)教学建议：(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．一二元函数的极限先回忆一下一元函数的极限： limf(x)=A 的“ε-δ” 定义(c31)：x→x00设函数f(x)在x0的某一空心邻域U(x0,δ1)内由定义，如果对∀ε>0,当 x∈U(x0,δ)，即 |x-x0|<δ时，都有 |f(x)-A|<ε，∃δ>0,δ≤δ1，则称x→x0时，函数f(x)的极限是A.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：设二元函数f(x,y)为定义在D⊂R2上的二元函数，在点P0(x0,y0)为D的一个聚点，A是一个确定的常数，如果对∀ε>0,∃δ>0，使得当P(x,y)∈U(P0,δ)I D 时，0都有 |f(P)-A|<ε，则称f在D上当 P→P0时，以A为极限。
记作P→P0P∈Dlimf(P)=A也可简写为limf(P)=A或P→P0(x,y)→(x0,y0)2limf(x,y)=A 例1用定义验证2lim(x,y)→(2,1)2(x+xy+y)=7 222证明:|x+xy+y-7|≤|x+x-6+xy-x+y-1|≤|x+3||x-2|+|x+y+1||y-1|限制在（2，1）的邻域 {(x,y)||x-2|<1,|y-1|<1}|x+3|<6,|x+y+1|<6取δ=min{1,ε/6}，则有|x+xy+y|<ε由二元函数极限定义lim(x,y)→(2,1)(x+xy+y)=7⎧x-y,(x,y)≠(0,0)⎪xy22例2 f(x,y)=⎨x+y，⎪0,(x,y)=(0,0)⎩证明lim(x,y)→(0,0)f(x,y)=0x-yx+y证|f(x,y)|≤|xy所以lim(x,y)→(0,0)|≤|xy|lim(x,y)→(0,0)|f(x,y)|≤lim(x,y)→(0,0)|xy|=0|f(x,y)|=0对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：P→P0limf(P)=A 是指：P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)，包括沿任何直线，沿任何曲线趋于p0(x0,y0)时，f(x,y)必须趋于同一确定的常数。
高等数学第16章第2节二元函数的极限
§2 二元函数的极限一 二元函数的极限定义1 设f 为定义在⊂D R 2二元函数，0P 为的D 一个聚点，A 是一个确定的实数。
若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当()D P U P o δ;0∈时，都 有(),ε<-A P f则称f 在．D ．上．当0P P →时，以A 为极限，记作 ().lim 0A P f D P P P =∈→ ()1 在对于D P ∈不致产生误解时，也可简单地写作().lim A P f PP =→ ()'1 当0,P P 分别用坐标()()00,,,y x y x 表示时，()'1也常写作().,lim )(),(0,0A y x f y x y x =→ ()"1 例1 依定义验证.7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x证 因为722-++y xy x)1(2)4(22-+-+-=y xy x )1)(1()1(2)2()2)(2(-++-+-+-+=y y y y x x x.3122+-+++-≤y y y x x先限制在点(2,1)的1=δ方邻域(){}11,12,<-<-y x y x内讨论，于是有,541413<+-≤+-=+y y y5)1()2(2+-+-=++y x y x.7512<+-+-≤y x所以1527722-+-≤-++y x y xy x ).12(7-+-<y x设ε为任给的正数，取)14,1min(εδ=，则当)1,2(),(,1,2≠<-<-y x y x δδ时， 就有 .27722εδ<∙<-++y xy x □例2 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明 ．000=→)y ,x (f lim ),()y ,x ( 证 对函数的自变量作极坐标变换.sin ,cos ϕϕrl y r x ==。
二元函数求极限例题
二元函数求极限例题在数学中，求极限是一个重要的概念，给出任意一个函数，可以求出它的极限，相信很多同学对这一概念都不陌生。
下面，让我们以一下例题来了解二元函数求极限的实际操作。
例题1：求函数f（x，y）=（2x+2y）/（x^2+y^2）的极限解法：我们首先假定x和y都走向零，我们可以建立一个二元函数：f（x，y）=（2x+2y）/（x^2+y^2）首先知道当x和y都朝0走的时候，那么f（0，0）=2，但是只有当x和y都走到0的时候，f（x，y）才能够等于2，但是如果x 和y的值都不为零的时候就无法得出结论。
因此我们必须分别求出当x和y朝0走的时候，f（x，y）的极限，由于函数中有x^2+y^2，因此当x和y都走向0的时候，分母会比较小，所以我们可以先设置一个小的正数δ，这里我们可以取δ=1/2.其次，极限的定义：当x走向0的时候，f（x，y)的极限，只要给定一个δ>0，使x的绝对值小于δ，并且y的绝对值小于δ，那么f（x，y）的值就要接近极限2.因此，我们可以把δ写成x^2+y^2<1/4，即当x和y绝对值均小于1/2时，f（x，y）的值与极限2接近。
下面我们来检验这个性质，比如当x=1/10，y=1/10时，我们可以计算出f（x，y）=2.2，而当x=1/100，y=1/100时，f（x，y）= 1.999，从计算结果可以看出，当x和y的绝对值都小于1/2时，f（x，y）的值越来越接近极限2。
由此可以得出结论：当x和y趋向零的时候，f（x，y）的极限为2例题2：求函数f（x，y）=（2x-y）/（x^2+y^2）的极限解法：同样，我们先假设x和y朝0走，得到二元函数：f（x，y）=（2x-y）/（x^2+y^2）同样，当x和y都朝0走的时候，那么f（0，0）=0，但是只有当x和y都走到0的时候，f（x，y）才能够等于0，但是如果x和y 的值都不为零的时候就无法得出结论。
因此，我们也必须分别求出当x和y朝0走的时候，f（x，y）的极限。
01-9.2 二元函数的极限
二元函数的极限是高等数学中重要的极限思想数学思想0()lim ().x x f x A x x f x A →→→=在时，，则但我们在高等数学上册中讨论函数连极续限时性，主要是的思维..实际上也是非常重要例如狄利离散思维克雷函数0()1D x ⎧=⎨⎩，，x 为无理数，x 为有理数.{}1=D x x 令为无理数，01lim ()0.x x D D x →=在上，1()0;D D x ≡则在上，02lim () 1.x x D D x →=在上，0lim ()x x D x →不存在.{}2=D x x 为有理数，2()1;D D x ≡在上，0(+)x ∀∈-∞∞因此对，有，⎫⎬⎭0()1D x ⎧=⎨⎩，，x 为无理数，x 为有理数.00x x x 任何邻域内要实现，则的都应该有无数个点.属于所讨论的点集.这样的点称为点的聚点集E1.E p 为平面点集.如果点的任何定义邻域内都有E E p 无数个点属于，则称为的聚点.E E 可能属于，可能不显然聚点也属于，.012.x D D 是和例中的聚点子比如上面000,(,)D .()2.z f x y p x y 设为二元函数定=的定义域的义聚点000,o p p D δεδ∀>∃>∈ （）若对，，当点时，恒有(,)f x y A ε-<0(,)A f x y p 在点二重极限的为成立，则称，记为0000(,)(,)lim (,)=A lim (,)=A.x x x y x y y y f x y f x y →→→，或者注：二重极限一元函由于定义与定义本质上数极限完全相同.因此一元函数极限的很多性质在二重极限中都成立：如极限的唯一性；四则运算法则；夹逼准则；等价无穷小代换；有界函数与无穷小乘积仍为无穷小等.222222200sin()(1lim .ln(1())1x y x y x y x y →→+⋅-+++例求22222222001()2=lim ()x y x y x y x y →→+⋅++解：（ 原式1=.2证明函数极限不存在注：的方法.或者取极限值两种不同的路线存在但不相等，二重极则函数限不存在.（若，不能说明极限注意相：等存在.）若取，函数的一种特定的路线极限不存在，222(1)(,),x y f x y x y =+2判断下列函数在（0,0）点二重极限例是否存在.222222,0,(2)(,)0,0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩22200||1,lim 0,x y x y x y →→≤=+(1)由于且解：00lim (,)0.x y f x y →→=从而2200(2)lim (,)m 1,2li 2y x y x x f x y x =→=→==000200lim (,)l m ,0i =0x y x y f x y y ==→→=+而00lim (,)x y f x y →→从而不存在.2022220lim (,)lim 1y k y kx x kx k f x y x k x k=→=→==++，00lim (,)x y f x y →→从而不存在.0(0)y kx k =→≠第二题也可以取注：222(1)(,),x y f x y x y =+2判断下列函数在(0,0)点二重极限例是否存在.222222,0,(2)(,)0,0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩。
二元函数求极限例题
二元函数求极限例题函数极限是微积分的基本概念，学习微积分最重要的就是理解函数极限的概念及其求解原理，其中二元函数极限求解一直是数学学习者的难点，本文将讲解二元函数求极限的基本原理及求解示例，以便更好地理解这一概念。
二、二元函数极限概念函数极限（limit）是指在函数中变量取某一值时，函数值趋近的极限。
极限的概念是微积分的重要内容，它不仅是求解微积分的基础，而且也在有限阶导数、无穷阶导数等求解中扮演着重要的角色。
从函数极限的定义出发，一般来说，求解一般函数极限的过程就是将变量的值趋近于某一值，以此分析函数的趋势。
根据变量的数量不同，函数极限分为一元函数极限和二元函数极限。
一般情况下，一元函数极限就是将变量的值趋近于某一值，而二元函数极限则比较复杂，它需要分析函数在某一特定点的趋势。
三、求解函数极限的方法一般来说，求取函数极限有三种常用方法：1.用定义求极限：只有当满足定义条件时，才能求取函数极限;2.用中点定理求极限：通过中点定理可以迅速求取函数的极限;3.用函数解析求极限：函数解析能够求取函数的完整解析，从而能够求取函数极限。
虽然上述三种方法都可以求取函数极限，但它们相对于二元函数极限求解有一定的局限性，因此，通常情况下，会借助一些特殊的方法进行求解，比如“函数的性质”、“函数的导数”等。
四、二元函数求极限示例下面举例说明二元函数求极限的方法：例：求函数f(x,y)=xy+x的极限解：考虑到函数的性质，当x趋近于0时，y也趋近于0，因此可以把函数改写为f(x,y)=xy，可以得知极限L=0综上，可以得出函数f(x,y)=xy+x的极限L=0。
五、总结以上就是二元函数求极限的原理及求解示例，其中最重要的就是要正确理解函数极限的定义，正确利用函数性质、函数导数等概念，有效地求解二元函数极限。
第二节 二元函数的极限
证: 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函
数f (x, y)对应的极限也不同即可.
考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形. 如图 对应函数值
y
xy f ( x, y ) 2 x y2
o
x
kx 2 2 , ( x, y ) (0,0) 2 x (1 k )
1 0 2 2 x y 1 2 2 x y x2 y2
0,
当
,
时， 原结论成立．
0 ( x 0) 2 ( y 0) 2
( x 2 y 2 ) sin
1 0 . 2 2 x y
例2．设 证明
x2 y2 , ( x, y ) (0,0), xy 2 2 f ( x, y ) x y 0 , ( x, y ) (0,0).
x 2 xy y 2 7 7 2 14
由二元函数极限定义知
( x , y )( 2,1)
lim ( x xy y ) 7
2 2
例 求证
x 0 y 0
lim ( x 2 y 2 ) sin
1 0. 2 2 x y
证
( x 2 y 2 ) sin x 2 y 2 sin
P P0
lim f ( P )
与
f ( x, y)
P P0
lim f ( P )
例5 设函数 证明
1 2x 2 3 y 2
( x , y ) ( 0 , 0 )
lim
f ( x, y )
证明： 因为
M 0
2x 2 3 y 2 4 x 2 y 2
数学分析下-二元函数的极限课后习题
第二节 二元函数的极限1、试求下列极限（包括非正常极限）：（1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ； （2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2x 2+y2 ； （3）(,)(0,0)lim x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1； （4）(,)(0,0)lim x y xy+1x 4+y 4 ； （5）(,)(1,2)lim x y 12x-y ； （6）(,)(0,0)lim x y (x+y)sin 1x 2+y 2 ；（7）(,)(0,0)limx y sin(x 2+y 2)x 2+y 2 x 2+y 2. 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：（1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ； （2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1y ；（3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ； （4）f(x,y)=x 3+y 3x 2+y ；（5）f(x,y)=ysin 1x ； （6）f(x,y)=x 2y 2x 3+y 3 ；（7）f(x,y)=e x -e ysinxy . 3、证明：若1。
(a,b)lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。
y 在b 的某邻域内，有lim x af(x,y)=(y)则 yb lim alim xf(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明(x,y)(0,0)lim x 2yx 2+y2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.6、试写出下列类型极限的精确定义： （1）(x,y)(,)limf(x,y)=A ； （2）(x,y)(0,)limf(x,y)=A.7、试求下列极限：（1）(x,y)(,)lim x 2+y 2x 4+y 4 ； （2）(x,y)(,)lim (x 2+y 2)e -(x+y)；（3）(x,y)(,)lim(1+1xy )xsiny ； （4）(x,y)(,0)lim211+x x yx.8、试作一函数f(x,y)使当x+,y+时，（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3.10、设f(x,y)在点0P (x 0,y 0)的某邻域U 。
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第二节 二元函数的极限
1、试求下列极限（包括非正常极限）：
（1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ； （2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2
x 2+y
2 ； （3）(,)(0,0)lim x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1
； （4）(,)(0,0)lim x y xy+1
x 4+y 4 ； （5）(,)(1,2)lim x y 12x-y ； （6）(,)(0,0)
lim x y (x+y)sin 1
x 2+y 2 ；
（7）(,)(0,0)
lim
x y sin(x 2+y 2)x 2+y 2 x 2+y 2
. 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：
（1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ； （2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1
y ；
（3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ； （4）f(x,y)=x 3+y 3
x 2+y ；
（5）f(x,y)=ysin 1x ； （6）f(x,y)=x 2y 2
x 3+y 3 ；
（7）f(x,y)=e x -e y
sinxy . 3、证明：若1。
(a,b)
lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。
y 在b 的某邻域内，有lim x
a
f(x,y)=
(y)
则 y
b lim a
lim x
f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明
(x,y)(0,0)lim x 2y
x 2+y
2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.
6、试写出下列类型极限的精确定义： （1）
(x,y)
(
,)
lim
f(x,y)=A ； （2）
(x,y)
(0,
)
lim
f(x,y)=A.
7、试求下列极限：
（1）(x,y)(,)lim x 2+y 2
x 4+y 4 ； （2）(x,y)(,)
lim (x 2+y 2)e -(x+y)；
（3）
(x,y)
(
,)
lim
(1+1
xy )xsiny ； （4）
(x,y)
(
,0)
lim
211+
x x y
x
.
8、试作一函数f(x,y)使当x
+
,y
+
时，
（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；
（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3.
10、设f(x,y)在点0P (x 0,y 0)的某邻域U 。
(0P )上有定义，且满足：
（i ）在U 。
(0P )上，对每个y ≠y 0，存在极限0
lim x
x
f(x,y)=ψ(y)； （ii ）在U 。
(0P )上，关于x 一致地存在极限0
y y
lim f(x,y)=(x)(即对任意ε>0，存
在δ>0，当0<|y-y
0|<δ时，对所有的x ，只要(x,y)∈U 。
(
0P )，都有|f(x,y)-(x)|<
成立). 试证明
lim x
x 0
lim y y f(x,y)=0
lim y y 0
lim x x
f(x,y).。