组合课件(第一课时).ppt
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排列组合(基本原理)PPT课件
问题1 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车。一天 中，火车有3班，汽车有2班。那麽，一天中乘坐这些交 通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
火车1
火车2
甲 3+2=5 地
火车3
乙
汽车1
地
汽车2
原理1
问题2 从甲地去 乙地，要从甲地先承火车去丙地，再从
丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那
N= m1× m2 × m3 = 4×3×5 = 60 答: 从书架上取数学书与语文书各一本，共有60 种不同的取法。
思考：若任取三门学科中的两门呢？有多少种不同的取法？
例2 有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（各位 上的数字许重复）？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成： 第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5
第二类办法是带语文书，可以从3本书中任选一本，有3种选法。
第三类办法是带英语书，可以从5本书中任选一本，有5 种选法。
根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是： N = m1+ m2 + m3 = 4+3+5=12
答：从书架上任取一本书，有12种不同的取法。
例1 李平同Байду номын сангаас有若干本各不相同学习参考书，其中数学4本，
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …，做第n 步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不同的方法。 ２．分类计数原理和分步计数原理的
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完
火车1
火车2
甲 3+2=5 地
火车3
乙
汽车1
地
汽车2
原理1
问题2 从甲地去 乙地，要从甲地先承火车去丙地，再从
丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那
N= m1× m2 × m3 = 4×3×5 = 60 答: 从书架上取数学书与语文书各一本，共有60 种不同的取法。
思考：若任取三门学科中的两门呢？有多少种不同的取法？
例2 有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（各位 上的数字许重复）？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成： 第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5
第二类办法是带语文书，可以从3本书中任选一本，有3种选法。
第三类办法是带英语书，可以从5本书中任选一本，有5 种选法。
根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是： N = m1+ m2 + m3 = 4+3+5=12
答：从书架上任取一本书，有12种不同的取法。
例1 李平同Байду номын сангаас有若干本各不相同学习参考书，其中数学4本，
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …，做第n 步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不同的方法。 ２．分类计数原理和分步计数原理的
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完
(最新整理)《排列组合专题》PPT课件
2021/7/26
25
例9．有男女各五个人，其中有３对是夫妻，沿 圆桌就座，若每对夫妻都坐在相邻的位置，问有 多少种坐法？
设３对夫妻分别为Ａ和a,Ｂ和b,Ｃ和c，先让Ａ，Ｂ， Ｃ三人和另外４个人沿圆桌就座的方法为６！种．
又对上述每种坐法，a坐在Ａ的邻座的方式有左右两 种，b,c也如此．
所以共有６！＊２＊２＊２＝５７６０种．
将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不 出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况。十位 数字与个位数字均有九种，因此除去0共有
3×9×9－1=242(个)．
2021/7/26
12
例10、
在小于10000的自然数中，含有数字1的数有 多少个？
不妨将0至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到 四位的自然数在前面补0,使之成为四位数。
所以符合题意的个数为：
1× P18× P28＝448
2021/7/26
19
例4、用0、1、2、3、4、5六个数字，可以 组成多少个没有重复数字的三位偶数？
1.个位为0,十位为1、2、3、4、5中的一个，百位为剩下的 四个数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P15×P14
2.个位为2,百位为1、3、4、5中的一个，十位为剩下的四个 数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P14×P14
2021/7/26
10
例8、求正整数1400的正因数的个
数．
因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个 数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的 连乘积1400=23527.所以这个数的任何一个正因数都是由2， 5，7中的若干个相乘而得到(有的可重复)。
于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤 完成的：
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
21
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
大学排列组合ppt课件
排列与组合的综合实例解析
总结词
通过综合实例，理解排列与组合在实际 问题中的应用。
VS
详细描述
通过一个复杂的问题，如安排一场活动或 者组织一次旅行，综合运用排列和组合的 知识来解决实际问题，并强调排列与组合 在解决实际问题中的重要性和关联性。
05
排列组合的解题技巧
解题思路分析
明确问题要求
01
首先需要清楚题目是关于排列还是组合的问题，排列需要考虑
04
排列组合的实例解析
排列实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解排列的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如学生选课、物品的排列等，解释排列的概念，并介绍排列的计算公式，以及如何应用 这些公式解决实际问题。
组合实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解组合的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如彩票中奖概率、选举代表等，解释组合的概念，并介绍组合的计算公式， 以及如何应用这些公式解决实际问题。
少？
答案解析
答案1
从5个人中选3个人参加会议共有 $C_{5}^{3} = 10$种不同的选法。
答案3
大于2000的三位数，首位数字可以为 2，3或4，共有$A_{3}^{1} times A_{4}^{2} = 36$种。
答案2
将4把椅子排好，共有$A_{5}^{3} = 60$种坐法。
答案4
不同的分法种数为$A_{5}^{4} = 120$种。
常见错误解析与避免方法
混淆排列与组合
遗漏情况
排列和组合是不同的概念，需要明确 题目要求，正确使用公式。
在解题过程中，需要注意不要遗漏某 些情况，例如在排列时需要考虑元素 的顺序，在组合时需要考虑元素的取 法。
排列与组合ppt课件
数。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
数学课件：1.2.2.1 组合及组合数公式
解:(1)此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组 合问题.
(2)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三 位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是 排列问题.
反思 区别排列与组合的关键是看取出元素之后,在安排这些元 素时,是否与顺序有关,“有序”则为排列,“无序”则为组合.
m!
计算;公式Cnm
=
m
n! !(n-m
)!(m∈N,n∈N+,且
m≤n),一般用于化简证
明.
12
【做一做 2-1】 计算:C52 + C54=
.
解析:C52
+
C54
=
5×4 2×1
+
54××43××32××21=10+5=15.
答案:15
【做一做 2-2】 若 6C������������--37=10A2������-4,则 x 的值为
第一课时 组合及组 合数公式
1.理解组合的概念及组合数公式. 2.会利用组合数公式解决一些简单的组合问题.
12
1.组合的有关概念 (1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组, 叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的 定义可知,排列与取出元素的顺序有关,而组合与取出元素的顺序 无关. (2)从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数, 叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号 C������������表示.
∵m∈{m|0≤m≤5,m∈N},∴m=2.
1234 5
1.给出下面几个问题:
①由1,2,3,4构成的含两个元素的集合; ②五个队进行单循环比赛的分组情况; ③由1,2,3组成的不同两位数; ④由1,2,3组成无重复数字的两位数.
(2)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三 位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是 排列问题.
反思 区别排列与组合的关键是看取出元素之后,在安排这些元 素时,是否与顺序有关,“有序”则为排列,“无序”则为组合.
m!
计算;公式Cnm
=
m
n! !(n-m
)!(m∈N,n∈N+,且
m≤n),一般用于化简证
明.
12
【做一做 2-1】 计算:C52 + C54=
.
解析:C52
+
C54
=
5×4 2×1
+
54××43××32××21=10+5=15.
答案:15
【做一做 2-2】 若 6C������������--37=10A2������-4,则 x 的值为
第一课时 组合及组 合数公式
1.理解组合的概念及组合数公式. 2.会利用组合数公式解决一些简单的组合问题.
12
1.组合的有关概念 (1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组, 叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的 定义可知,排列与取出元素的顺序有关,而组合与取出元素的顺序 无关. (2)从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数, 叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号 C������������表示.
∵m∈{m|0≤m≤5,m∈N},∴m=2.
1234 5
1.给出下面几个问题:
①由1,2,3,4构成的含两个元素的集合; ②五个队进行单循环比赛的分组情况; ③由1,2,3组成的不同两位数; ④由1,2,3组成无重复数字的两位数.
排列组合ppt课件
排列组合基本公式 • 排列组合的应用 • 排列组合的扩展知识 • 练习题与答案解析
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
组合优化问题ppt课件
一般性描述：
➢ 有一个推销员，要到 n 个城市推销商品，他要找出一个包含所有 n 个城市的具有最短路程的环路。
同样的问题，在中国还有另一个描述方法：
➢ 中国邮递员问题（Chinese Postman Problem CPP）：一个邮递员从 邮局出发，到所辖街道投递邮件，最后返回邮局，如果他必须走遍 每条街道至少一次，应如何选择投递路线，使所走的路程最短。
在过去的几十年中，在求旅行商问题的最优解方面取得了极大 的进展。
➢ 48个城市的问题、120、318、532、666、2392、 24978个城市的问题
尽管有这些成就，但旅行商问题还远未解决。问题的许多方面 还要研究，很多问题还在期待满意的回答。
特点
NP完全问题 它的解是多维的、多局部极值的 很难用数学公式描述 TSP 问题 吸引了许多不同领域的研究者，包括
某些算法，只要稍微做些改变，就有可能导致 解的精度或搜索效率的大幅度提高。
因此，对于什么样的问题，应该采用什么样的 方法，怎样使用这种方法才更有效果，在这方 面人们已经进行了很多的研究。
典型问题
旅行商问题
(Traveling Salesman Problem)
旅行商问题
TSP的历史很久
➢ 最早的描述是 1759 年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋 盘中的 64 个方格，走访 64 个方格一次且仅一次，并且最终返回到 起始点。
组合最优化无法利用导数信息 精确地求解组合优化问题的全局最优解的“有效”算法一
般是不存在的。
组合优化的研究
怎么才能把一些社会现象、活动等捕捉归纳 为组合优化问题？
怎种组合优化问题拥有什么性质？
为了构造快速解法，什么样的性质是有用的？
➢ 有一个推销员，要到 n 个城市推销商品，他要找出一个包含所有 n 个城市的具有最短路程的环路。
同样的问题，在中国还有另一个描述方法：
➢ 中国邮递员问题（Chinese Postman Problem CPP）：一个邮递员从 邮局出发，到所辖街道投递邮件，最后返回邮局，如果他必须走遍 每条街道至少一次，应如何选择投递路线，使所走的路程最短。
在过去的几十年中，在求旅行商问题的最优解方面取得了极大 的进展。
➢ 48个城市的问题、120、318、532、666、2392、 24978个城市的问题
尽管有这些成就，但旅行商问题还远未解决。问题的许多方面 还要研究，很多问题还在期待满意的回答。
特点
NP完全问题 它的解是多维的、多局部极值的 很难用数学公式描述 TSP 问题 吸引了许多不同领域的研究者，包括
某些算法，只要稍微做些改变，就有可能导致 解的精度或搜索效率的大幅度提高。
因此，对于什么样的问题，应该采用什么样的 方法，怎样使用这种方法才更有效果，在这方 面人们已经进行了很多的研究。
典型问题
旅行商问题
(Traveling Salesman Problem)
旅行商问题
TSP的历史很久
➢ 最早的描述是 1759 年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋 盘中的 64 个方格，走访 64 个方格一次且仅一次，并且最终返回到 起始点。
组合最优化无法利用导数信息 精确地求解组合优化问题的全局最优解的“有效”算法一
般是不存在的。
组合优化的研究
怎么才能把一些社会现象、活动等捕捉归纳 为组合优化问题？
怎种组合优化问题拥有什么性质？
为了构造快速解法，什么样的性质是有用的？
组合数学导论PPT课件
2021/3/9
授课：XXX
25
• 殷老师的工作(二)
• ⑤殷剑宏.有向de Bruijn图的谱.浙江大学 学报(理学版).2005
• ⑥殷剑宏.一类（0，1）矩阵的谱.合肥工 业大学学报(自然版).2005
• ⑦殷剑宏、汪荣贵.超立方体的Laplace矩 阵的谱.浙江大学学报(理学版).2007
1946年，荷兰数学家de
Bruijn解决。
2021/3/9
授课：XXX
11
• 23阶二进度de Bruijn有向图
100
1100
110
1000 0100 1101 1110
0000
1010
000 010
101 111
1111
1001 0101 0110
0001
0010 1011
0111
001
0011
011
00001111001011010000
2021/3/9
授课：XXX
12
• 23阶二进度de Bruijn有向图
111 0
1
1
0
0
0
1
0
1
0100
2021/3/9
授课：XXX
13
• 每个时代都有自己的数学，组合 数学就是信息时代的数学。
——吴文俊 院士
中国首届最高科技奖获得者
2021/3/9
• ①殷剑宏.一类特殊de Bruijn有向图的谱. 山东大学学报(理学版).2004
• ②殷剑宏.二分图的Laplace矩阵的最大特 征值.合肥工业大学学报(自然版).2004
• ③殷剑宏.相容关系的最大相容类的生成 算法.合肥工业大学学报(自然版).2004
二年级数学上册简单的组合人教版课件(10张PPT)
二年级 上册
第八单元
简单的组合
有3个数5、7、9，任选取其中2个组成没有重 复数字的两位数，能组成几个两位数？
57、59 75、79 95、97
◇ 理解题意
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
你都知道了什么？
“其中2个”是什么意思？“求和”指的是什么？
“得数有几种可能”是什么意思？
◇ 对照排列和组合的区分
有3个数5、7、9，任意选取其中2个组个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
3种
视察我们研究过的两道题，你有什么问题？
都是从5、7、9这三个数中选2个,怎么第一题能 组成6个数， 第二题却只有3种可能呢？
1.每两个人握1次手，3人一共握几次手？请你画一 画、写一写，自己试试。
◇ 理解题意
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
请完整地说一说这道题是什么意思。
◇ 合作探究
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
小组合作完成： 可以写一写、画一画来试试。
◇ 合作探究
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
解决这个问题，大家可以怎样想呢？ 我们一起来回顾刚才同学们的好办 法。
每两个人握1次手，3 人一共握几次手？
3人一共握3次手。
2. 买1个拼音本，可以怎样付钱？
“可以怎样付钱”是什么意思？
5个1角 或1个2角和3个1角 或2个2角和1个1角 或1个5角
这节课，你有什么收获？
第八单元
简单的组合
有3个数5、7、9，任选取其中2个组成没有重 复数字的两位数，能组成几个两位数？
57、59 75、79 95、97
◇ 理解题意
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
你都知道了什么？
“其中2个”是什么意思？“求和”指的是什么？
“得数有几种可能”是什么意思？
◇ 对照排列和组合的区分
有3个数5、7、9，任意选取其中2个组个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
3种
视察我们研究过的两道题，你有什么问题？
都是从5、7、9这三个数中选2个,怎么第一题能 组成6个数， 第二题却只有3种可能呢？
1.每两个人握1次手，3人一共握几次手？请你画一 画、写一写，自己试试。
◇ 理解题意
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
请完整地说一说这道题是什么意思。
◇ 合作探究
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
小组合作完成： 可以写一写、画一画来试试。
◇ 合作探究
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
解决这个问题，大家可以怎样想呢？ 我们一起来回顾刚才同学们的好办 法。
每两个人握1次手，3 人一共握几次手？
3人一共握3次手。
2. 买1个拼音本，可以怎样付钱？
“可以怎样付钱”是什么意思？
5个1角 或1个2角和3个1角 或2个2角和1个1角 或1个5角
这节课，你有什么收获？
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有
顺
序
排列
问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
无
顺
组合
序
（一）、组合的定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
?
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
abd
abd bad dab
你发现ad了b bda dba
acd
什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bcd
bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
A3
对于 4 ，我们可以按照以下步骤进行
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解 思考一:aB与Ba是相同的排列 还
是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同 的组合呢?
组合与组合数公式
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不 同的选法？
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题一
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素,按 照一定的顺 序排成一列.
1098 7 210 4!
巩固练习
1．方程 C2x8
C3x 28
8
的解集为（
D
）
A ．4
B ．9
C ．
D ．4,9
2．若 Cn10 Cn8 ，则 C2n0 的值为 190
例
求证
:
C
m n
m 1 nm
C
m n
1
.
证明:
Cm n
n！ m（! n m）! ,
m 1 nm
C
m 1 n
m 1 nm
多少种车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？ 组合问题
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元
素的所有组合.
a
解：（1）取出3个球中有黑球的方法数
C72
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 Amm．
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：C
m n
Anm Amm
nn 1n 2
m!
n m 1
这里m,n是自然数，且 mn ，这个公式叫做组合
数公式．
从 n个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cm n1
Cnm (不含元素a)
C m1 n
(含元素a)
例1 计算：（1）C74和 C73
（2）C1300 和 C939 C929
例2．计算：
C73
C74
C85
C
6 9
解：原式＝ (C73 C74 ) C85 C96 C84 C85 C96 (C84 C85 ) C96 C95 C96 C160 C140
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
A 从而 C A
3
3
C4 3 4
P4 3
34
P3 3 3
概念讲解 （三）、组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个
元素的组合数 C．nm
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的
子集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
b
c
b cd
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
d
(6个)
概念讲解
（二）、组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所
有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
注意：
Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素
(m
n! 1)!(n
m
1)!
m 1
n!
(m 1)! (n m)(n m 1)!
n! m !(n
m)!
C
m n
.
例题讲解
例．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1） 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种 取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球， 有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，共有多少 种取法？
的所有组合个数是:
C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 两个元素的所有组合个数是： C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 组合
c bd ac d b cd
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc
排列
abc bac cab acb bca cba
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我
们
规
定
：
Cn0
1.
组合数的两个性质:
⑴
Cnm
C nm n
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
证明:
Q
Cnm
C m1 n
n! m!(n
m)!
(m
n! 1)![n
(m
1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
m!(n m 1)!
m!(n m 1)!
(n 1)! m!(n m 1)!
Cm n 1
Cm n1
Cnm
Cnm1
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同 的一个组合数；
②此性质的作用：恒等变形，简化运算；
③等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.