高等数学A-第2章-11-5(微分与习题课).

三.求微分的习例 例2.设 y ln( x e x2 ), 求dy. 例3.设 y e13x cos x, 求dy.
例4.设y esin(axb) ln(1 e x2 ),求dy.
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
(x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
(5) 当x 很小时,y dy (线性主部).
2. y f ( x)在x0处可导与可微的关系
定理 y f ( x)在x0处可微 y f ( x)在x0处可导, 且f ( x0 ) A.
该函数的导数. 导数也叫"微商".
注意
(1)一元函数的可导性与可微性是等价的.
(2)微分的两个特点是: dy是x的线性函数, 且y dy o(x);
dy是y的主要部分, 且y dy o(y).
证明: lim y dy x0 y
lim y
x0
f ( x)x y
lim 1 x 0
f ( x) y
高等数学 A
第2章 一元函数微分学
2.1 导数及微分
2.1.13 微分概念 2.1.14 微分的求法 微分形式不变性
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
2.1 导数及微分
2.1.13 微分概念
微分的定义 可导与可微的关系 微分的计算公式 微分的几何意义
结构框图
习题课 内容小结
典型习例
导
基本初等函数的微分公式
(12)d(ln x) 1 dx x
(13)d(arcsin x) 1 dx (14)d(arccos x) 1 x2
1 dx 1 x2
(15)d
(arctan
x)
1
1 x
2
dx
(16)d
(arc
cot
x
)
1
1 x
2
dx
2. 四则运算法则
定理3. 设u, v是可微函数, C为常数,则u v, u v, Cu, u也可微, 且
数
四则运算法则
及 微
2.1.14 微分的求法 微分形式不变性
复合函数的微分法则 （ 一阶微分形式不变性）
分
Leabharlann Baidu
求微分的习例2-10
微分在近似计算中的应用
2.1.15 微分应用于近似计算 及误差的估计
微分在估计误差中的应用
内容小结及课堂练习
一.微分的概念
引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
解: y 1, dy x dx x.
通常把自变量x的增量x称为自变量的微分,
记作dx, 即dx x.
dy 所以微分的计算公式如下：
|
x
x0
f ( x0 )dx
dy f ( x)dx ydx
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
dy f (u)g( x)dx 或 df [g( x)] f (u)g( x)dx
注意：当u为自变量时, 有 dy f (u)du 当u为中间变量时,设u g( x), 则dy f (u)g( x)dx
即dy f (u)du 无论u为中间变量还是自变量，都具有同一微分形式. 这种性质称为一阶微分形式不变性.
1. 微分定义 定义：若 y f ( x)在x0处的增量 y Ax o(x),
其中A为常数 , 则称 y f ( x) 在 x0可微. 而Ax称为y f ( x)在x0的微分.记为
dy |x x0 Ax.
由定义可得: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
v (1)d(u v) du dv
(2)d(uv) vdu udv
(3)d(Cu) Cdu
(4)d
u v
vdu udv v2
( v 0)
3. 复合函数的微分法则 定理4. 设 (1) u g( x)在x处可微,
(2) y f (u)在相应点u g( x)处可微, 则 y f [g( x)]在x处可微, 且
0
x
(3)用微分定义考虑函数是否可微时, 关键看
lim y dy 0 是否成立. x0 x
4. 微分的几何意义 如图所示 MQ x, NQ y,
tan f ( x0 )
dy f ( x0 )x
MQ tan
y T
N
y f (x)
P
o(x)
M
dy y
x Q
）
o
x0 x0 x
(4)d(cos x) sin xdx (6)d(cot x) csc2 xdx
(7)d(sec x) sec x tan xdx (8)d(csc x) csc x cot xdx
(9)d(a x ) a x lnadx
(10)d(e x ) e xdx
(11)d (log a
x)
1 dx x ln a
正方形面积 A x02,
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
x0
x0x
x (x)2
x
A
x
2 0
x0x x0
(1) x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
lim y x0 x
f ( x0 ).
从而
y x
f ( x0 ) ,
且 lim
x0
0,
y f ( x0 )x x f ( x0 )x o(x),
y f ( x) 在 x0处可微.
3. 微分的计算公式
dy |x x0 f ( x0 )x
例1. 设 y x, 求 dy.
dy f ( x)x yx
证明: 设 f ( x) 在 x0处可微, 则
y Ax o(x), y A o(x) .
x
x
lim y lim [ A o(x)] A.
x0 x x0
x
即 f ( x0 ) A. y f ( x) 在 x0处可导, 且 f ( x0 ) A.
设 y f ( x) 在 x0处可导, 则
x
PQ
当y是曲线的纵坐标增量时, dy就是切线纵坐标对应的增量.
当 x 很小时, 在点M的附近,
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
二.微分运算法则
1. 基本初等函数的微分公式
(1)d(C ) 0dx
(2)d( x ) x 1dx
(3)d(sin x) cos xdx (5)d(tan x) sec2 xdx