二次函数(存在性问题)
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函数图象中点的存在性问题(强化训练)
切入点一:利用基本图形来作图(充分利用图形的特殊性质),并描述作图方法
切入点二:做好数据准备,计算尽量利用相似、数形结合(交轨法)
切入点三:紧扣不变量,善于使用前题所采用的方法或结论
切入点四:在题目中寻找多解的信息(不重不漏)
1.1因动点产生的平行四边形问题
1. 如图1,直线L:y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线G:y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.
(1)该抛物线G的解析式为;
(2)将直线L沿y轴向下平移个单位长度,能使它与抛物线G只有一个公共点;
(3)若点E在抛物线G的对称轴上,点F在该抛物线上,且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形,求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长.
(4)连接AC,得△ABC.若点Q在x轴上,且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似,求点Q 的坐标.
2. 在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),AB=4,与y轴交于点C,且过点(2,3).
(1)求此二次函数的表达式;
(2)若抛物线的顶点为D,连接CD、CB,问抛物线上是否存在点P,使得∠PBC+∠BDC=90°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点K为抛物线上C关于对称轴的对称点,点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
1.2因动点产生的等腰三角形问题
1.在平面直角坐标系xOy中,一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A(-1,0).
(1)请直接写出点B、C的坐标:B 、C ;并求经过A、B、C三点的抛物线解析式;(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把顶点E放在线段AB上(点E是不与A、B两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C.此时,EF所在直线与(1)中的抛物线交于点M.
①设AE=x,当x为何值时,△OCE∽△OBC;
②在①的条件下探究:抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
1.3因动点产生的直角三角形问题
1. 如图,抛物线y=ax2-bx-2交x轴于A(-1,0)、B(4,0),交y轴于点C;
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D是线段AB上一点,过D点作DE∥AC交抛物线于M,交y轴于N,若CM=AN,求D点坐标;(3)将抛物线沿x轴的正方向平移,交原抛物线于点P,点Q在x轴上,问是否存在点Q使△CPQ是以PC为斜边的等腰直角三角形?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图1,直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、点C,经过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为B,顶点P的横坐标为-2.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)连接BC,得△ABC.若点D在x轴上,且以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似,求出点P 的坐标并直接写出此时△PBD外接圆的半径;
(3)设直线l:y=x+t,若在直线l上总存在两个不同的点E,使得∠AEB为直角,则t的取值范围
是;
(4)点F是抛物线上一动点,若∠AFC为直角,则点F坐标为.
1.4因动点产生的相似三角形问题
1.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H.
(1)直接填写:a= ,b= ,顶点C的坐标为;
(2)在y轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),PQ⊥AC于点Q,当△PCQ与△ACH相似时,求点P的坐标.
2.如图1,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3,0),B(-1,0),与y轴相交于点C,⊙O1为△ABC 的外接圆,交抛物线于另一点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径;
(3)如图2,抛物线的顶点为P,连接BP,CP,BD,M为弦BD中点,若点N在坐标平面内,满足△BMN∽△BPC,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.
3.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(l,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,在抛物线的对称轴上找一点E,使|A E﹣DE|的值最大,求E的坐标;
(3)如图3,在抛物线上是否存在一点T,过点T作x轴的垂线,垂足为点M,过点M作MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
1.5因动点产生的梯形问题
1.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0)、B(0,3)、C(1,0).(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标;
(2)如图1,将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D 顺时针旋转60°,与直线y=-x 交于点N .在直线DN 上是否存在点M ,使∠MON=75°.若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P 、Q 分别是抛物线y=ax 2+bx+c 和直线y=-x 上的点,当四边形OBPQ 是直角梯形时,求出点Q 的坐标.
2.如图,在平面直角坐标系xoy 中,AB 在x 轴上,AB=10,以AB 为直径的⊙O'与y 轴正半轴交于点C ,连接BC ,AC .CD 是⊙O'的切线,AD 丄CD 于点D ,tan ∠CAD=
2
1,抛物线y=ax 2+bx+c 过A ,B ,C 三点.