二次函数(存在性问题)

函数图象中点的存在性问题（强化训练）

切入点一：利用基本图形来作图(充分利用图形的特殊性质)，并描述作图方法

切入点二：做好数据准备，计算尽量利用相似、数形结合（交轨法）

切入点三：紧扣不变量，善于使用前题所采用的方法或结论

切入点四：在题目中寻找多解的信息(不重不漏)

1.1因动点产生的平行四边形问题

1. 如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．

（1）该抛物线G的解析式为；

（2）将直线L沿y轴向下平移个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点；

（3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长．

（4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q 的坐标．

2. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

1.2因动点产生的等腰三角形问题

1.在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（-1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B 、C ；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1.3因动点产生的直角三角形问题

1. 如图，抛物线y=ax2-bx-2交x轴于A（-1，0）、B（4，0），交y轴于点C；

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D是线段AB上一点，过D点作DE∥AC交抛物线于M，交y轴于N，若CM=AN，求D点坐标；（3）将抛物线沿x轴的正方向平移，交原抛物线于点P，点Q在x轴上，问是否存在点Q使△CPQ是以PC为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、点C，经过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为B，顶点P的横坐标为-2．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接BC，得△ABC．若点D在x轴上，且以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，求出点P 的坐标并直接写出此时△PBD外接圆的半径；

（3）设直线l：y=x+t，若在直线l上总存在两个不同的点E，使得∠AEB为直角，则t的取值范围

是；

（4）点F是抛物线上一动点，若∠AFC为直角，则点F坐标为．

1.4因动点产生的相似三角形问题

1.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．

（1）直接填写：a= ，b= ，顶点C的坐标为；

（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

2.如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC 的外接圆，交抛物线于另一点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；

（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

3．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（l，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，在抛物线的对称轴上找一点E，使|A E﹣DE|的值最大，求E的坐标；

（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

1.5因动点产生的梯形问题

1.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D 顺时针旋转60°，与直线y=-x 交于点N ．在直线DN 上是否存在点M ，使∠MON=75°．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P 、Q 分别是抛物线y=ax 2+bx+c 和直线y=-x 上的点，当四边形OBPQ 是直角梯形时，求出点Q 的坐标．

2.如图，在平面直角坐标系xoy 中，AB 在x 轴上，AB=10，以AB 为直径的⊙O'与y 轴正半轴交于点C ，连接BC ，AC ．CD 是⊙O'的切线，AD 丄CD 于点D ，tan ∠CAD=

2

1，抛物线y=ax 2+bx+c 过A ，B ，C 三点．