《两角差的余弦公式》三角函数PPT
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两角和与差的余弦课件
公式意义
两角和的余弦等于两个角 的余弦之积减去两个角的 正弦之积
公式证明
根据三角函数的和差化积 公式和三角函数的积化和 差公式可以证明
两角差的余弦公式
公式定义
$\cos(α-β)=\cos α\cos β+\sin α\sin β$
公式意义
两角差的余弦等于两个角 的余弦之积加上两个角的 正弦之积
公式证明
解决物理问题等。随着科学技术的不断发展，该公式将在更多的领域得
到应用和发展。
THANKS
感谢观看
在信号处理中的应用
信号的合成与分解
使用两角和与差的余弦公式，可以将一 个信号分解为多个信号的叠加，也可以 将多个信号合成为一个信号。
VS
信号的调制与解调
在信号调制过程中，使用两角和的余弦公 式可以将一个低频信号加载到高频载波上 ；在信号解调过程中，使用两角差的余弦 公式可以从高频信号中提取出低频信号。
重要性质
该公式具有一些重要的性质，例如，当两个角度的和或差 为90度时，余弦值为0；当两个角度的和或差为180度时 ，余弦值为-1等。
应用范围
该公式在解决三角形问题、极坐标系问题以及在信号处理 等领域都有广泛的应用。
对两角和与差的余弦公式的展望
01
进一步研究
尽管我们已经得到了两角和与差的余弦公式，但是对该公式的进一步研
05
CATALOGUE
两角和与差的余弦公式的变式与扩展
两角和的余弦公式的变式
公式变形
$\cos(A+B) = \cos A \cos B \sin A \sin B$
证明
利用和差角公式和三角函数的和 角公式进行变形。
应用
用于计算两角和的余弦值，或者 利用已知的两角和的正弦、余弦
人教A版高中数学必修四3.两角差的余弦公式精品PPT课件
若θ∈[π,2π)，则2π -θ∈[0，π ]，且
OAOBcos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)
5
人教A版高 中数学 必修四 3.两角 差的余 弦公式 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
结 论 归 纳
人教A版高 中数学 必修四 3.两角 差的余 弦公式 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
对于任意角 α ,β
c o s ( α - β ) c o s α c o s β + s in α s in β
差角的余弦公式
C α - β
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可 以求出cos(α－β)
6
人教A版高 中数学 必修四 3.两角 差的余 弦公式 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
人教A版高 中数学 必修四 3.两角 差的余 弦公式 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
1、
已
知
cos＝
－
5， 13
，3 2
，
则
c
o
s
＋
6
的
值
是
＿
＿
＿
＿
；
2 、c o s 2 1 5 - s i n 2 1 5 _ _ _ _ _ _ _ ；
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
分析：c o c so s
cα o β s co s s α i α β n sinα
5 4 12 3 135135
人教A版高 中数学 必修四 3.两角 差的余 弦公式 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
16
65
11
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OAOBcos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)
5
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结 论 归 纳
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对于任意角 α ,β
c o s ( α - β ) c o s α c o s β + s in α s in β
差角的余弦公式
C α - β
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可 以求出cos(α－β)
6
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1、
已
知
cos＝
－
5， 13
，3 2
，
则
c
o
s
＋
6
的
值
是
＿
＿
＿
＿
；
2 、c o s 2 1 5 - s i n 2 1 5 _ _ _ _ _ _ _ ；
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
分析：c o c so s
cα o β s co s s α i α β n sinα
5 4 12 3 135135
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两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
《两角差的余弦公式》高一年级下册PPT课件
老师：XXX
中和反发生中和反应生成1molH2O(l), 这时的反应热叫做中和热。 2. 单位: KJ/mol
酸碱中和反应 放热
3. 注意 ①必须是稀溶液,如浓硫酸稀释或NaOH固体溶解时放热； ②强酸和强碱反应 ③标准:生成1molH2O(l)放出的热量.
已知三角函数值求角时，忽略角的范围致误
5
10
典例 4 已知 α，β 均为锐角，且 sinα＝ 5 ，cosβ＝ 10 ，则 α－β＝
____________.
5
25
[错解] ∵α 为锐角，sinα＝ 5 ，∴cosα＝ 5 .
10
3 10
又 β 为锐角，cosβ＝ 10 ，∴sinβ＝ 10 .
2 5 10 5 3 10 2 ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝ 5 × 10 ＋ 5 × 10 ＝ 2 .
[知识点拨]对公式C(α－β)的三点说明
(1)公式的结构特点：
公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用
口诀“余余正正符号相反”记忆公式．
第三章 三角恒等变换
(2)公式的适用条件：
α＋β 公式中的 α，β 不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如 cos( 2
α－β
α＋β
23 (3)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°· cos30°＋sin45°· sin30°＝ 2 × 2
2 1 6＋ 2 ＋ 2 ×2＝ 4 .
第三章 三角恒等变换
『规律总结』 运用两角差的余弦公式求值的关注点 (1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记． (2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
中和反发生中和反应生成1molH2O(l), 这时的反应热叫做中和热。 2. 单位: KJ/mol
酸碱中和反应 放热
3. 注意 ①必须是稀溶液,如浓硫酸稀释或NaOH固体溶解时放热； ②强酸和强碱反应 ③标准:生成1molH2O(l)放出的热量.
已知三角函数值求角时，忽略角的范围致误
5
10
典例 4 已知 α，β 均为锐角，且 sinα＝ 5 ，cosβ＝ 10 ，则 α－β＝
____________.
5
25
[错解] ∵α 为锐角，sinα＝ 5 ，∴cosα＝ 5 .
10
3 10
又 β 为锐角，cosβ＝ 10 ，∴sinβ＝ 10 .
2 5 10 5 3 10 2 ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝ 5 × 10 ＋ 5 × 10 ＝ 2 .
[知识点拨]对公式C(α－β)的三点说明
(1)公式的结构特点：
公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用
口诀“余余正正符号相反”记忆公式．
第三章 三角恒等变换
(2)公式的适用条件：
α＋β 公式中的 α，β 不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如 cos( 2
α－β
α＋β
23 (3)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°· cos30°＋sin45°· sin30°＝ 2 × 2
2 1 6＋ 2 ＋ 2 ×2＝ 4 .
第三章 三角恒等变换
『规律总结』 运用两角差的余弦公式求值的关注点 (1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记． (2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
两角和与差正弦余弦公式课件
于信号的合成、滤波等操作。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共38张PPT)
tan(
4
) 2求
1 2 sin cos cos 2 的值。
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的 ( √ )
(2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立 ( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( × ) tan α＋tan β (4) 公式 tan(α ＋ β) ＝ 可以变形为 tan α ＋ tan β ＝ 1－tan αtan β
为锐角，由
所以 原式
tan
5 4
1 2 得 cos , 2 5
(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α tan 2α＝ 2 . 1－tan α
[题组练透]
π 3 1．已知 sin α＝ ，α∈2 ，π，则 5
cos 2α
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
考点一
三角函数公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)
4
) 2求
1 2 sin cos cos 2 的值。
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的 ( √ )
(2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立 ( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( × ) tan α＋tan β (4) 公式 tan(α ＋ β) ＝ 可以变形为 tan α ＋ tan β ＝ 1－tan αtan β
为锐角，由
所以 原式
tan
5 4
1 2 得 cos , 2 5
(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α tan 2α＝ 2 . 1－tan α
[题组练透]
π 3 1．已知 sin α＝ ，α∈2 ，π，则 5
cos 2α
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
考点一
三角函数公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)
《两角差的余弦公式》课件
1 2 3
利用三角函数诱导公式推导
通过三角函数的周期性和对称性，利用诱导公式 将角度转换到易于计算的角度范围，然后利用两 角和与差公式进行推导。
利用单位圆性质推导
利用单位圆的性质，将两角差的余弦表示为向量 夹角的余弦值，然后利用向量的数量积和模长进 行推导。
推导过程的证明
证明两角差的余弦公式需要利用三角函数的周期 性和对称性、单位圆的性质以及代数运算和三角 恒等变换进行证明。
学习目标
掌握公式的推导过程，理解公式 的几何意义，能够熟练应用公式 进行计算
THANKS
感谢观看
进阶习题3
已知cos(π/3 + α) = 1/3，求 cos(2π/3 - 2α)的值。
习题解析
解析1
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 - α)转化为 关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
解析2
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/4 - α)转化为关 于sin(3π/4 - 2α)的表达式，然后进行计算。
适用于任意角度α、β的三角函数计算
公式应用注意事项
角度范围
在使用两角差的余弦公式时，需 要注意角度α、β的范围，以避免
出现负数平方根的情况
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问 题，以避免误差的积累
特殊角的处理
对于一些特殊角，如90°、180° 等，需要特别注意公式的应用方
式
下章预告
学习内容
学习两角和与差的正弦、余弦、 正切公式
解析6
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 + α)转化为 关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
05
数学：3.1.1《两角差的余弦公式》课件
1
x
sin sin
第十二页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
思考8：上述推理能说明对任意角α，β， 都有 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 成立吗？
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的 结构特征，你能联想到一个相关计算原理 吗？
ks5u精品课件
第十三页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
ks5u精品课件
第七页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β， 角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP
＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？
cos(α－β)=OM
y P1 P
O
M
x
ks5u精品课件
第八页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
ks5u精品课件
第二十页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
3.在差角的余弦公式中，α，β既可以 是单角，也可以是复角，运用时要注意 角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β)
( 6) 6 等. 同时，公式的应用具有 灵活性，解题时要注意正向、逆向和变 式形式的选择.
作业： P127练习：1，2，3，4.
第十八页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
理论迁移
例1 利用余弦公式求cos15°的值.
例2 已知sin
4 5
,cos
5,
，,
13
2
β是第三象限角,求cos(α－β)的值.
例3 已知 cos( )cos sin( )sin 1 ,
3
且 3 ,2 , 求 cos( )的值.
2
4
高中数学两角差的余弦公式优秀课件
提示：公式 cos(π2－α)＝sinα 是公式 cos(α－β)的特例． 即 cos(π2－α)＝cosπ2cosα＋sinπ2sinα＝sinα.
2.两角差的余弦公式的推导 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 Ox 为始边作角 α、β， 它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、B.则
例1 求cos105°＋sin195°的值．
【解】 cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°) ＝cos105°＋cos105°＝2cos105°
＝2cos(135°－30°)＝2(cos135°cos30°＋sin135°sin30°)
＝2(－cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝2(－ 22× 23＋ 22×12)＝
O→A＝_(_c_o_s_α_，__s_i_n_α_)__，O→B＝_(_c_o_s_β_，__s_i_n_β_)_．
由向量的数量积的概念有O→A·O→B＝|O→A|·|O→B|cos(α－β)＝__c_o_s_(_α_－__β_)_． 由向量的数量积的坐标表示有O→A·O→B＝___c_o_sα_c_o_s_β_＋__s_i_n_α_s_in_β__________， 于是 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
＝－
6＋ 4
2 .
题型二 逆用公式化简求值 例2 求sin460°·sin(－160°)＋cos560°·cos(－280°)的值．
【解】 原式＝－sin100°·sin160°＋cos200°·cos280° ＝－sin100°·sin20°－cos20°·cos80° ＝－(cos80°·cos20°＋sin80°·sin20°) ＝－cos60°＝－12.
2.两角差的余弦公式的推导 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 Ox 为始边作角 α、β， 它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、B.则
例1 求cos105°＋sin195°的值．
【解】 cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°) ＝cos105°＋cos105°＝2cos105°
＝2cos(135°－30°)＝2(cos135°cos30°＋sin135°sin30°)
＝2(－cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝2(－ 22× 23＋ 22×12)＝
O→A＝_(_c_o_s_α_，__s_i_n_α_)__，O→B＝_(_c_o_s_β_，__s_i_n_β_)_．
由向量的数量积的概念有O→A·O→B＝|O→A|·|O→B|cos(α－β)＝__c_o_s_(_α_－__β_)_． 由向量的数量积的坐标表示有O→A·O→B＝___c_o_sα_c_o_s_β_＋__s_i_n_α_s_in_β__________， 于是 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
＝－
6＋ 4
2 .
题型二 逆用公式化简求值 例2 求sin460°·sin(－160°)＋cos560°·cos(－280°)的值．
【解】 原式＝－sin100°·sin160°＋cos200°·cos280° ＝－sin100°·sin20°－cos20°·cos80° ＝－(cos80°·cos20°＋sin80°·sin20°) ＝－cos60°＝－12.
两角和与差的正弦、余弦函数-PPT课件
如何求sin 的值？
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
两角差的余弦公式 课件
命题方向1 ⇨两角差的余弦公式的正用和逆用
1 典例 1 (1)计算：cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝_2___．
1 (2)求值：sin7°cos23°＋sin83°cos67°＝__2____．
2－ 6 (3)求值：cos105°＝____4______．
公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口
诀“余余正正号相反”记忆公式．
(2)公式的适用条件：
公式中的
α，β
不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如
α＋β cos( 2
－α－2 β)中的“α＋2 β”相当于公式中的角 α，“α－2 β”相当于公式中的角 β．
(3)公式的“活”用： 公式的运用要“活”，体现在现用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面： ①公式本身的变用，如 cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ． ②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．
[思路分析] 尝试逆用公式求解，非特殊角转化为特殊角的差，然后正用Cα－β进行求值．
[解析] (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12；
(2)原式＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos(83°－23°)＝cos60°＝12；
[解析] (1)∵180°<α<270°，∴cosα＝－35；又∵90°<β<180°， ∴cosβ＝－1123； cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－35)×(－1123)＋(－45)×153＝1665 (2)∵π4<α<34π，∴π2<α＋π4<π ∴cos(α＋π4)＝－35 cosα＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)·cosπ4＋sin(α＋π4)sinπ4＝－35× 22＋45× 22＝ 102．
两角和与差的余弦课件
通过解三角形例题，介绍两角和与差 的余弦公式在解三角形中的应用。
03
两角和与差的余弦公 式在解三角形的…
通过进一步讲解解三角形的例题，介 绍两角和与差的余弦公式在解三角形 的进一步应用。
03
三角函数的诱导公式
公式推导
公式推导思路
根据三角函数的定义和基本关系，通过已知的诱导公式和和 差角公式推导出两角和与差的余弦公式。
03
趣和参与度
教学反馈与改进
通过课堂练习、小组讨论、实际操作等方式， 了解学生对两角和与差的余弦公式的掌握情况
根据学生的反馈和教学效果，及时调整教学策 略和方法，优化教学方案
加强对学生实际应用能力的培养，提高学生运 用两角和与差的余弦公式解决实际问题的能力
THANKS
谢谢您的观看
余弦函数是三角函 数的重要组成部分
教学目标
掌握两角和与差的余弦公式的 推导过程
理解两角和与差的余弦公式在 实际问题中的应用
提高学生数学运算能力和解决 实际问题的能力
教学计划
回顾三角函数的基础知识 分析两角和与差的余弦公式在解决实际问题中的应用
推导两角和与差的余弦公式 总结两角和与差的余弦课件的思路和方法
公式应用
应用场景
两角和与差的余弦公式是三角函数中的基本公式之一，广泛应用于解三角形、求 三角函数值、进行三角函数的化简与证明等方面。
应用示例
通过具体例题，展示两角和与差的余弦公式的应用，包括解三角形、求三角函数 值、化简证明等方面。
04
两角和与差的余弦课件详细内容
课件内容概述
涉及知识点：两角和与差的余弦公式及其应用 课件内容：分为多个模块，包括基础概念、公式推导、例题解析、习题训练等
05
03
两角和与差的余弦公 式在解三角形的…
通过进一步讲解解三角形的例题，介 绍两角和与差的余弦公式在解三角形 的进一步应用。
03
三角函数的诱导公式
公式推导
公式推导思路
根据三角函数的定义和基本关系，通过已知的诱导公式和和 差角公式推导出两角和与差的余弦公式。
03
趣和参与度
教学反馈与改进
通过课堂练习、小组讨论、实际操作等方式， 了解学生对两角和与差的余弦公式的掌握情况
根据学生的反馈和教学效果，及时调整教学策 略和方法，优化教学方案
加强对学生实际应用能力的培养，提高学生运 用两角和与差的余弦公式解决实际问题的能力
THANKS
谢谢您的观看
余弦函数是三角函 数的重要组成部分
教学目标
掌握两角和与差的余弦公式的 推导过程
理解两角和与差的余弦公式在 实际问题中的应用
提高学生数学运算能力和解决 实际问题的能力
教学计划
回顾三角函数的基础知识 分析两角和与差的余弦公式在解决实际问题中的应用
推导两角和与差的余弦公式 总结两角和与差的余弦课件的思路和方法
公式应用
应用场景
两角和与差的余弦公式是三角函数中的基本公式之一，广泛应用于解三角形、求 三角函数值、进行三角函数的化简与证明等方面。
应用示例
通过具体例题，展示两角和与差的余弦公式的应用，包括解三角形、求三角函数 值、化简证明等方面。
04
两角和与差的余弦课件详细内容
课件内容概述
涉及知识点：两角和与差的余弦公式及其应用 课件内容：分为多个模块，包括基础概念、公式推导、例题解析、习题训练等
05
两角差的余弦公式 课件
提醒:在根据三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得 到错误答案.
(2)常见角的变换
①α=(α-β)+β;② ；
2
2
③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).
类型三 给值求角问题
【典例】已知sin(π-α)= 4 3 ,cos(α-β)= 13 ,
7
14
0<β<α< ,求角β的大小.
2
【审题路线图】β=α-(α-β)⇒分别求cosα, sin(α-β) 代入求值.
【解析】因为sin(π-α)= 4,所3以sinα= 4 3 .
7
7
因为0<α< ,所以cosα=
2
1 sin2＝1 . 7
因为cos(α-β)= 13，
14
且0<β<α< ,所以0<α-β< ,
2
2
所以sin(α-β)= 1 cos2( )＝3 3 .
14
所以cosβ=cos[α-(α-β)]
【典例】1.cos75°cos15°-sin75°sin195°的值
为( )
A.0 B. 1 C. 3 D. 1
2
2
2
2.已知sinα-sinβ=1- 3 ,cosα-cosβ= 1 ,则
2
2
cos(α-β)= ( )
A. 3
B. 1
C. 1
2
2
2
3.求值: cos( 25 ).
12
D. 3 2
12
12
12
cos cos( ) cos cos sin sin
12
46