2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷(20200707041307)

2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷

、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分

，■/ x +1

1 ■若代数式（x-3）2有意乂，则实数％的取值范围是（

A . x二1

B . x二1 且x工3

C . x > -1

D . x > -1 且x工3

2 .实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a|的结果为（）

A. -2a+b

B. -b

C. -2a-b

D. b

-------- i ----- ----------------- 1 --------- >

a 0 b

3 .如图，4根火柴棒形成象形口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉

字是（）I --------------

4 .打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）

5.对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计,结果如表：

年龄131415161718

人数456672

6.如图所示，圆A和圆B的半径都为1 , AB=8 .圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线I相切，切点为C、D、E,则圆O的半径为（）

A . 3

B . 4

C . 5 D. 6

A . 17, 15.5

B . 17, 16

C . 15, 15.5 D. 16, 16

7 .已知二次函数y=ax 2 +bx+c （ a 工0）的图象如图所示，现有下列结论：

① abc > 0;② b 2-4ac v 0;③ 2a+b=0 ;④ a+b > 0.

则其中正确结论的个数是（ ）

A . 1个

B . 2个

C. 3个

D. 4个

8.如图，矩形纸片ABCD 中，AB=2 , AD=6 ,将其折叠，使点D 与点B 重合， 得折痕EF .则tan / BFE 的值是（ ）

A .

1 B . 1 C.

2 D. 3

2

9 .如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A , B , C 均是棱的

10 .甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场， 到现在为止，甲已经赛了 5场，乙已经赛了 4场，丙已经赛了 3场，丁已经赛了 2场，戊已经赛了 1场，小强已经赛了（ ）

A . 1场

B . 2场

C. 3场

D. 4场

A .

UJ 匸

1

B V

十C .C

中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（

17 .如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b ( k工0)的图象与反比

例函数y= 的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C , x

4 点B的坐标为(-6 , n),线段OA=

5 , E为x轴正半轴上一点，且tan / AOE=

3 (1)求反比例函数的解析式；

(2)求厶AOB的面积.

18 .如图，过圆0直径的两端点M、N各引一条切线，在圆0上取一点P,过0、P两点的直线交两切线于R、Q .

(1)求证：△ NPQ s △ PMR ;

(2)如果圆0的半径为.5,且S △PMR =4S △PNQ ,求NP

19 .如果方程x2+bx+c=0的两个根是x i、X2,那么x i+X2=-b , x i X2=c ,请根据以上结论，解决下列问题：

1 -

(1 )已知关于x的方程x2-( a+1)x+ a2+仁0的两根之差的绝对值为-5，求a

4

的值；

(2 )已知关于x的方程x2+px+q=0 ( q^0)有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数

20 .福州一中初一(1)班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD 中，AB=4， / A=60°, △ DMN 为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合.

(1)证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN ;

(2 )在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.

(3)求厶BMN的面积的最大值.

图1 囹2 备用图

2 3 1

21 .如图，在平面直角坐标系中，直线y= x- 与抛物线y=- x2+bx+c交于A、

3 2 4

B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8

（1）求该抛物线的解析式

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为C ,交直线AB于点D ,作PE丄AB于点E ,设△ PDE的周长为I，点P的横坐标为x,求I关于x的函数关系式，并求出I的最大值.

22 •古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10,…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1 , 4, 9, 16,…，这样的数位正方形数(四边形数).J

(1)请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为

(2)试证明：当k为正整数时，k ( k+1 ) ( k+2 ) ( k+3 ) +1必须为正方形数；

(3)记第n 个k 变形数位N ( n, k) ( k>3).例如N ( 1 , 3) =1 , N ( 2, 3) =3 ,

N ( 2, 4) =4 .

①试直接写出N ( n, 3) N (n , 4)的表达式；

3 1

②通过进一步的研究发现N ( n , 5) =—n2- —n , N ( n , 6) =2n 2-n，…，请你推

2 2

测N ( n , k) ( k>3)的表达式，并由此计算N ( 10 , 24 )的值.

1 3 610

图1

1 4 9 16

图2