等比数列求和公式
等比数列求和公式
等比数列求和公式万年历2013年3月6日星期三10:43 癸巳年正月廿五设置闹钟站内搜索支持本站公益活动等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)(q为比值，n为项数）(4)性质：①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2(5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠0）".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)(前提：q≠1)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
等比数列求和公式和等差数列求和公式
等比数列求和公式和等差数列求和公式
等比数列求和公式：设等比数列的首项为a，公比为r，求前n项和为Sn，则等比数列求和公式为：
Sn=a*(r^n1)/(r1)
其中，n为项数。
举例说明：
假设有一个等比数列，首项a为3，公比r为2，求前5项的和。
根据等比数列求和公式，代入a=3，r=2，n=5：
S5=3*(2^51)/(21)
=3*(321)/1
=3*31
=93
所以前5项的和为93。
等差数列求和公式：设等差数列的首项为a，公差为d，求前n项和为Sn，则等差数列求和公式为：
Sn=n*(a+l)/2
其中，n为项数，l为最后一项（第n项）。
举例说明：
假设有一个等差数列，首项a为2，公差d为3，求前6项的和。
首先需要确定最后一项l，可以通过等差数列通项公式
an=a+(n1)*d来计算，代入a=2，d=3，n=6：
l=a+(n1)*d
=2+(61)*3
=2+5*3
=2+15
=17
然后，代入公式Sn=n*(a+l)/2，代入n=6，a=2，l=17：
S6=6*(2+17)/2
=6*19/2
=6*9.5
=57
所以前6项的和为57。
等比数列的求和公式与应用
等比数列的求和公式与应用等比数列是数学中常见的数列类型，它的特点是每一项与它的前一项的比都是相等的。
对于一个等比数列，求和公式是其中一个重要的概念。
本文将介绍等比数列的求和公式以及它的应用。
一、等比数列的求和公式对于一个等比数列，如果它的首项是a，公比是r，共有n项，那么它的求和公式为：S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，S_n表示等比数列的前n项和。
二、等比数列求和公式的推导为了更好地理解等比数列求和公式的来源，我们来推导它。
假设等比数列的首项是a，公比是r，前n项和是S_n。
我们可以将等比数列按照如下形式进行反向排列：a * (1 - r^(n-1)), a * (1 - r^(n-2)), ..., a * (1 - r^2), a * (1 - r), a如果我们将这两列数列对应项相加，我们可以得到：(a * (1 - r^n) / (1 - r)) + (a * (1 - r^(n-1)) / (1 - r)) + ... + (a * (1 - r^2) / (1 - r)) + (a * (1 - r) / (1 - r)) + a经过简化，我们可以得到：S_n = (a * (1 - r^n) / (1 - r))这就是等比数列求和公式的推导过程。
三、等比数列求和公式的应用等比数列求和公式在数学和实际生活中都有广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景。
1. 财务计算等比数列求和公式可以用于财务计算中。
例如，某人每年的工资增长率是10%，他从毕业到退休共工作30年，那么他的总工资可以通过等比数列求和公式来计算。
2. 数学问题等比数列求和公式可以用于解决一些数学问题。
例如，有一种紧凑的存储设备，每年存储容量增长30%，现在要计算设备在未来5年的总存储容量，就可以使用等比数列求和公式。
3. 基金投资等比数列求和公式还可以应用于基金投资中。
例如，某基金每年的收益率是5%，如果一个人每年投资1000元，持续投资10年，那么他的投资总额可以通过等比数列求和公式来计算。
等比数列和的求和公式
等比数列和的求和公式
等比数列和的求和公式是一种计算等比数列和的有效方法，它可以有效地帮助人们计算出等比数列的总和。
等比数列是一种特殊条件下的数列，指的是每一项与它的前一项之比相同的数列，记为~{a_n}~。
等比数列的总和可以用公式~S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)~求得，其中
~q~是两项之比。
虽然使用等比数列和的求和公式不难理解，但仍有一些要指出的关键点。
首先，任意一个等比数列都有一个界定的常数~q~，如果~q=1~，那么这个等比数列就变
成了一个等差数列。
而当~q=0~时，前n项及其总和全部变为了a_1。
其次，等比
数列的总和也是有界的，即当~q=-1~时，等比数列的总和是收敛的，而当~q>1~时，等比数列的总和是正无穷的。
最后，如果求解等比数列的总和，可以考虑将等比数列分解为多个等差数列，然后使用等差数列求和公式计算出等比数列总和。
总之，等比数列和的求和公式是一个很有效的等比数列求和方式，也是许多数学计算的基础。
因此，熟悉和正确使用这一公式，对于人们掌握等比数列知识和解决类似问题来说是十分重要的。
等比数列求和公式例题
等比数列求和公式例题等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。
注：q=1 时，an为常数列。
利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。
1、等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1)。
通项公式：an=a1×q^(n-1)2、等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2。
3、文字公式：末项=首项+(项数-1)×公差；项数＝（末项－首项）÷公差+1；首项=末项-(项数-1)×公差；和=(首项+末项)×项数÷2；末项:最后一位数；首项:第一位数等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差。
前n项和公式为: Sn=a1*n+ [n* (n-1)*d]/2或Sn= [n* (al+an)]/2。
等差数列：an=a1+(n-1)d；知道首尾==> Sn = (a1+an)n/2；知道首项==> Sn = [2na1+n(n-1)d]/2；等比数列：an = a1*q^(n-1)Sn = a1(1-q^n)/1-q当-1<q<1时，Sn非零当n趋于无穷，Sn = a1/1-q等差数列求和公式有①等差数列公式an=a1+(n-1)d、②前n项和公式为:Sn=na1 +n(n-1③若公差d= 1时:Sn=(a1+an④若m+n=p+q则:存在am+an=a⑤若m+n=2p则:am+an=2ap,以上n均等差数列是常见数列的一种可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每-项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差公差常用字母d表示。
等比数累求和公式
等比数累求和公式等比数列是指一个数列中的每一项与它前一项的比值都相等的数列。
比如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，因为每一项都是前一项的两倍。
等比数列的求和公式是一个非常有用的工具，可以用来计算等比数列的前n项和。
这个公式可以用来解决很多实际问题，比如计算利息、计算复利、计算人口增长等等。
等比数列求和公式的形式是Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项的和，a表示首项，r表示公比，n表示项数。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个等比数列，首项为2，公比为3，我们想要计算前5项的和。
根据等比数列求和公式，我们可以计算出Sn = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 242。
所以，这个等比数列的前5项的和是242。
除了计算前n项的和之外，等比数列求和公式还可以用来计算无穷项的和。
当公比的绝对值小于1时，等比数列的和会趋向于一个有限的值。
例如，如果公比为0.5，那么等比数列的和将是无穷个0.5的和，即1。
这是因为每一项都是前一项的一半，所以无论有多少项，和都是1。
另外一个应用等比数列求和公式的例子是计算复利。
假设你将1000元存入银行，年利率为5%，每年复利一次。
如果你想知道存款在5年后的总额，可以使用等比数列求和公式。
首项是1000元，公比是1.05（因为每年利息是本金的 1.05倍），项数是5。
根据公式计算，总额为1000 * (1 - 1.05^5) / (1 - 1.05) ≈ 1282.04元。
等比数列求和公式还可以用来计算人口增长。
假设某个城市的人口每年增长5%，如果我们知道了初始人口和增长率，可以使用等比数列求和公式来预测未来的人口数量。
这个公式非常有用，可以帮助我们规划城市发展，制定人口政策等。
等比数列求和公式是一个非常实用的数学工具，可以用来解决很多实际问题。
通过这个公式，我们可以计算等比数列的前n项和，预测未来的人口增长，计算复利等等。
等比数列求和公式及其概念是什么
等比数列求和公式及其概念是什么等比数列求和公式q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)q=1时Sn=na1(a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。
注：q=1时，{an}为常数列。
利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。
等比数列的概念1、等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数(不为0)，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q来表示。
定义可以用公式表达为：a(n+1)/an=q(式中n为正整数，q为常数)。
特别注意的是，q是一个与项数n无关的常数2、等比中项：三个数 a、G、b依次组成等比数列，则G叫做的等比中项，且G2=a+b(等比中项的平方等于前项与后项之积)。
如何学好高中数学1.背诵数学公式数学的出题方式有很多种，但是解题方法却是相对固定的，需要熟练掌握数学公式。
在学习高中数学的时候，我们一定要先把数学公式背诵清楚，做到在考试的时候能够记得起计算公式，这是学好高中数学的关键步骤。
如果连数学公式都不记得，那做题和解题就无从谈起了。
2、高质量的题海战术与文科相比，数学这门学科更重视“刷题”。
一般来说，数学是“刷题”越多，成绩越好，但我们在采取题海战术的同时，一定注意效率。
首先，我们需要明白我们正在做的题属于什么类型;其次，要根据自己的考试情况灵活学习，基本的策略是：哪里薄弱，就重点学习哪里;实在搞不懂的部分，就暂时放弃。
有针对性的练习，才进步得快。
所以要想数学成绩进步快，专项训练绝对是必要的。
有些学生好高骛远，一开始就每天练一套高考试卷，以为这样考得越多越能吃透高考，殊不知，这种练习有很大的侥幸成分，倘能各个击破，全都扎实了，还怕高考不成?3.学会独立思考高中数学的学习需要具备一定的逻辑思维能力，通过独立思考可以提高学习效果。
等比等差数列求和公式是什么
1、等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1)。
通项公式：an=a1×q^(n-1)2、等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2。
3、文字公式：末项=首项+(项数-1)×公差；项数＝（末项－首项）÷公差+1；首项=末项-(项数-1)×公差；和=(首项+末项)×项数÷2；末项:最后一位数；首项:第一位数等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差。
前n项和公式为: Sn=a1*n+ [n* (n-1)*d]/2或Sn= [n* (al+an)]/2。
等差数列：an=a1+(n-1)d；知道首尾==> Sn = (a1+an)n/2；知道首项==> Sn = [2na1+n(n-1)d]/2；等比数列：an = a1*q^(n-1)Sn = a1(1-q^n)/1-q当-1<q<1时，Sn非零当n趋于无穷，Sn = a1/1-q等差数列求和公式有①等差数列公式an=a1+(n-1)d、②前n项和公式为:Sn=na1 +n(n-1③若公差d= 1时:Sn=(a1+an④若m+n=p+q则:存在am+an=a⑤若m+n=2p则:am+an=2ap,以上n均等差数列是常见数列的一种可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每-项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差公差常用字母d表示。
①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq；②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列；③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab（G ≠ 0）；⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零；注意：上述公式中an表示等比数列的第n 项。
数学等比数列求和公式
数学等比数列求和公式
等比数列求和公式是数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们快速求出数列中所有项的和。
在数学中，等比数列是一种特殊的数列，它定义为：每一项均为前一项的某个恒定因子（称为比率）的倍数，而且它们一般以自然数（例如1、2、3……）编号。
比如，数列{n}={1,2,4,8,16,32……}就是一个等比数列，其中比率q=2。
等比数列求和公式是解决等比数列求和问题的有效方法，其格式如下：
Sn=a1(1-qn+1)/1-q
其中，Sn表示等比数列前n项和，a1表示等比数列的第1项，q 表示数列的比率。
比如，设等比数列的第1项为6，比率为2，计算前4项和。
根据等比数列求和公式，我们可以得出：Sn=6(1-24+1)/1-2=54。
以上就是等比数列求和公式的情况。
从上面可以看出，等比数列求和公式是一种有效的帮助我们快速、准确求出等比数列前n项和的方法。
等比数列在数学中是一个重要的概念，因此等比数列求和公式也是一个重要的途径，帮助人们更加准确、快速地计算等比数列中各项的和，是广大科学家所广泛使用的方法。
同时，等比数列求和公式也可以帮助我们进一步理解等比数列的特性和本质，从而有助于我们对数学理论有更深刻的理解。
等比数列求和公式
等比数列求和公式等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比例都相等。
如果等比数列的首项为a，公比为r，那么它的第n项可以表示为a*r^(n-1)。
接下来我们来推导等比数列的求和公式。
假设等比数列的首项为a，公比为r，它的前n项和为S_n。
我们可以将数列从第一项到第n项表示为：a, ar, ar^2, ar^3, ..., ar^(n-1)接着我们将数列的每一项与公比r相乘，得到：ar, ar^2, ar^3, ..., ar^(n-1), ar^n然后我们将这两个数列相减：S_n - ar^n = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1) -ar^n可以观察到，右边这一部分是一个等差数列，且首项为a，公差为ar，共有n-1项。
等差数列的前n-1项和可以表示为：S = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1)如果我们乘以公比r，得到：rS = ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) + ar^n然后我们将上述两个公式相减：S_n - ar^n - rS = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1)- ar^n - (ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) + ar^n)可以合并同类项得到：S_n - ar^n - rS = a - ar^n再对左边的等式进行因式分解，得到：S_n-rS=a(1-r^n)因为我们求的是前n项的和，所以公式变为：S_n=a(1-r^n)/(1-r)最后，将等比数列的求和公式总结如下：S_n=a(1-r^n)/(1-r)这就是等比数列的求和公式。
使用这个公式，我们可以快速计算等比数列的前n项和。
等比求和的两个公式
等比求和的两个公式等比数列是数学中一种常见的数列，它的求和公式有两个。
下面我将分别介绍这两个公式及其应用。
第一个公式是等比数列的求和公式，也叫做等比级数的求和公式。
等比级数是以一个非零实数为首项，以一个非零实数为公比的数列。
公比指的是相邻两项之间的比值。
等比数列的求和公式如下：S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)其中，S_n表示等比级数的前n项和，a表示首项，q表示公比。
这个公式的应用非常广泛。
例如，在金融领域中，等比级数的求和公式可以用来计算复利的本金和利息。
假设有一笔本金为P的投资，年利率为r，投资期限为n年。
每年的利息都会按照等比级数的方式进行累计。
根据等比级数的求和公式，我们可以计算出n年后的本金和利息总额。
第二个公式是等比数列的部分和公式。
等比数列的部分和指的是数列的前n项和。
部分和公式如下：S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)这个公式在实际应用中也非常常见。
例如，在工程中，我们经常会遇到等比数列的部分和问题。
比如，某个工程项目需要在每个阶段都进行相同的工作量，且工作量呈等比增长。
我们可以使用等比数列的部分和公式来计算出前n个阶段总共需要完成的工作量。
等比数列的求和公式包括等比级数的求和公式和等比数列的部分和公式。
这两个公式在金融、工程等领域有着广泛的应用。
通过运用这些公式，我们可以更方便地计算等比数列的和，解决实际问题。
在实际应用中，我们还可以使用计算机软件或者计算器来快速计算等比数列的和，提高计算效率。
等比数列求和公式
等⽐数列求和公式等⽐数列等⽐数列的通项公式等⽐数列求和公式 (1) 等⽐数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推⼴式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为⽐值，n为项数） (4)性质： ①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等⽐数列中，依次每 k项之和仍成等⽐数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等⽐中项""G^2=ab（G ≠ 0）". (6)在等⽐数列中，⾸项a1与公⽐q都不为零. 注意：上述公式中an表⽰等⽐数列的第n项。
等⽐数列 如果⼀个数列从第2项起，每⼀项与它的前⼀项的⽐等于同⼀个常数，这个数列就叫做等⽐数列。
这个常数叫做等⽐数列的公⽐，公⽐通常⽤字母q表⽰(q≠0)。
（1）等⽐数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1） 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作⾃变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的⼀群孤⽴的点。
（2）等⽐数列求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q≠ 1) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等⽐数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等⽐中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等⽐中项。
等比数累求和公式
等比数累求和公式等比数列求和公式是指用一个公式来计算等比数列的前n项和。
等比数列指的是一个数列中每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
等比数列的公比为r，首项为a。
我们先来看一个例子。
假设有一个等比数列的首项a为2，公比r为3，我们要计算这个数列的前5项的和。
那么按照等比数列求和公式，我们有：S = a * (r^n - 1) / (r - 1)将a代入为2，r代入为3，n代入为5，我们可以得到：S = 2 * (3^5 - 1) / (3 - 1)计算后得到S = 242。
现在我们来推导一下等比数列求和公式的由来。
假设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
我们可以将数列的每一项表示如下：a, ar, ar^2, ar^3, ..., ar^(n-1)现在我们把这个等比数列反过来，每一项除以公比r：a/r, ar/r, ar^2/r, ar^3/r, ..., ar^(n-1)/r这个新的数列可以表示为：a/r, a, ar/r, ar, ar^2/r, ..., ar^(n-2), ar^(n-1)/r我们将这两个数列相减，可以得到：(1-r^n)/(1-r) = (a - ar^(n-1))/r重新整理一下：a - ar^(n-1) = r(1-r^n)/(1-r)我们要求的是等比数列的前n项和S，所以等式右边可以看作连续求和的结果。
将等式右边的分子进行展开，可以得到：(1 - r^n) = 1 + r + r^2 + r^3 + ... + r^(n-1)把等式右边代入整理后的等式，我们可以得到最终的等比数列求和公式：S = a * (1 - r^n) / (1 - r)这就是等比数列求和公式的推导过程。
使用这个公式可以很方便地计算等比数列的前n项和。
只需要知道首项和公比，就可以直接代入公式进行计算。
这个公式也是等比数列求和的核心原理，也可以用来推导其他更复杂的数列求和公式。
除了使用等比数列求和公式，我们还可以通过等比数列的递推关系逐项相加来计算前n项和。
等比数列的求和公式
等比数列的求和公式
在数学中，等比数列是一种特殊的数列，其中每个数字都是前一个数字乘以相同的固定比例得到的。
求和公式是一种用于计算等比数列前n项和的公式。
接下来，我将以清晰、简洁的方式介绍等比数列的求和公式。
等比数列主要是由三个要素组成：首项 (a)，公比 (r) 和项数 (n)。
首项是数列的第一个数字，公比是指相邻两个数字的比例，项数是数列的前n项。
对于一个等比数列，我们可以用以下公式来计算前n项的和：
Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)
其中，Sn代表前n项的和，a代表首项，r代表公比，n代表项数。
举个例子来说明等比数列的求和公式的应用。
假设我们有一个等比数列，首项是2，公比是3，我们想要求这个数列的前5项和。
首先，我们确定等式中的变量值，a = 2，r = 3，n = 5。
接下来，我们将这些值代入公式中：
S5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)
计算结果为：
S5 = 2 * (-242) / (-2)
经过简化，我们得到：
S5 = 121
所以，这个等比数列的前5项和是121。
等比数列的求和公式可以方便地计算出任意项数的数列和。
使用这个公式，我们可以解决各种与等比数列相关的问题。
总结一下，等比数列的求和公式是通过首项、公比和项数来计算前n项和的公式。
这个公式在数学中具有广泛的应用，可以帮助我们快速求解等比数列的和。
掌握这个公式，将有助于我们更好地理解和解决与等比数列相关的问题。
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方法
位相减
和的方法 列求和问题
公式理解
1．应用等比数列前 n 项和公式时应注意什么事项？
提示：在应用等比数列求和公式时，
应分 q＝1 与 q≠1 两种情况分别求解； 若 q≠1，要说明为什么 q≠1.
2．当 q≠1 时，等比数列的前 n 项和公式有两种 形式 Sn＝a111－－qqn及 Sn＝a11－－aqnq，应用时应如何选择？
答案：(1)C (2)见解析
2. 已知数列{an}等比 (1)若 S3+ S6= 2S9，求 q (2)若 a>0, 比较 S7 a8 与 S8 a7 的大小。
例题讲解
类型二 求和方法——错位相减法
[例 3]
设数列{an}等比，满足
a2＝
1 4
，a5＝2.
(1)求数列{a3n-1}的前 n 项和；
(2)求数列{an an+1 }的前 n 项和；
(3)求数列{(2n+1) an }的前 n 项和。
[例 4] 设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
解：(1)由已知得，当 n≥1 时， an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2 ＝22(n＋1)－1. 而 a1＝2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝22n－1.
[例 2] 已知等比数列{an}中，an>0，Sn＝80，S2n＝6560，则 前 n 项中最大项为 54，求 n.
跟踪练习
1. (1)等比数列{an}中，q＝－12，S5＝11，则 a1，a5 分别为(
)
A．14,1
B．16，－1
C．16,1
D．14，－1
(2)设等比数列{an}的公比 q<1，前 n 项和为 Sn，已知 a3＝2，
从而
Sn＝14×5n＋1－54或
1 Sn＝
080×[1－－56n]
11
.
(2)由 Sn＝a111－－qqn，an＝a1·qn－1 以及已知条件得
189＝a111－－22n， 96＝a1·2n－1，
∴a1·2n＝192，即 2n＝1a912，
∴189＝a1(2n－1)＝a1(1a912－1)， ∴a1＝3,2n－1＝936＝32，∴n＝6.
2.4.2
等比数列的求和公式 (第一课时)
新课讲解
等比数列前 n 项和公式 知识点
基本内容
基本 公式
等比数列 前 n 项和公 式
Sn＝naqa1≠111－1－qq＝qn1＝
a1－anq 1－q
根据 q 是否为 1，有两种形式
推导等比 错位相减法：解决由等比数列与
基本
两边乘公比，错
数列前 n 项 等差数列对应项的积组成的数
(q2－4)(q2－1)＝0.
(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，
因为 q<1，解得 q＝－1 或 q＝－2.
当q＝－1时，代入①得a1＝2， 通项公式an＝2×(－1)n－1； 当q＝－2时，代入①得a1＝12， 通项公式an＝12×(－2)n－1. 综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1. 当q＝－2时，an＝12×(－2)n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.
①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.
②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.
即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．
跟踪练习
1. 求和 Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann. 解：分a＝1和a≠1两种情况． 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋ 2 1； 当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann， 上式两边同乘以1a，得 1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋ann＋1，
S4＝5S2，求{an}的通项公式．
解析：(1)S5＝a1[11－－－－12125]＝11⇒a1＝16， a5＝a1·q4＝16×(－12)4＝1.
(2)由题设知 a1≠0，Sn＝a111－－qqn(q<1)，
a1q2＝2 ①
则a11－q4＝5×a11－q2 ②
1－q
1－q
由②得 1－q4＝5(1－q2)，
7 2
.
(1)求{bn}的通向公式。
(2) 若cn=an.bn,n=1,2,3…..求；数列{cn}前n项和Tn
例题讲解
类型三 等比数列的综合应用
[例 5] 设数列{an}的相邻两项 an，an＋1 是方程
x2Leabharlann bn x(1)n 2
0 的两根，又
a1=2
求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
跟踪练习
例题讲解
类型一 等比数列前 n 项和公式的基本运算 [例 1] 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n.
a11＋q＝30， 解：(1)由题意知
a11＋q＋q2＝155，
解得a1＝5， q＝5，
a1＝180， 或q＝－56.
两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋a12＋…＋a1n－ann＋1， 即Sn＝aan－an1a－－n1a2 －1. 综上所述，得 Sn＝anan2n＋－a1n1a，－－an1＝a21－，1，a≠1.
2. 已知数列{bn}前n项和为Sn，且bn=2-2sn,
数列{an}是等差数列,a5=
5 2
, a7 =
1.
设数列{an}的首项
a1=a≠
1 4
，且
an1 a12nan ,14n为, n为偶奇数数，
bn=a2n-1
1 4
(1)求 a2，a3
提示：已知 a1，q，n 且 q≠1 时用 Sn＝a111－－qqn， 已知 a1，q，an 且 q≠1 时，用公式 Sn＝a11－－aqnq.
3．等比数列前 n 项和的公式是如何推导的？
提示：设 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an① 则把①式两边同乘以 q 得： qSn＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋an－1q＋anq qSn＝a2＋a3＋a4＋…＋an＋an＋1② ①－②得(1－q)Sn＝a1－an＋1 ∴当 q≠1 时，Sn＝a11－－aqn＋1＝a1(11－－qqn). 又当 q＝1 时，∵a1＝a2＝…＝an，∴Sn＝na1.