2021年八年级数学下册 反证法教案 浙教版
2021年浙教版八年级数学下册第四章《46反证法》公开课课件(共13张PPT)
路边苦李
王戎7岁时，与小 伙伴们外出游玩，看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子，只有 王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么?
王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
4.6反证法
假设李子是甜的
例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于
或等于60°。
已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中三个内角都大于60°
即 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
∴ ∠A+∠B+∠C>180°
，
这与 三角形的内角和为180度 矛盾．
∴ 假设不成立
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设a与b不止一个交点， 不妨假设有两个交点A和A’。
因为两点确定一条直线，即经过点 a
● A，
A和A'的直线有且只有一条，这与
●
A
已知两条直线矛盾,假设不成立。
八年级数学下册 4.4《反证法》学案 浙教版
八年级数学下册 4.4《反证法》学案浙教版4、4 反证法【学习目标】1、理解反证法的含义与原理，掌握反证法的一般步骤；2、会用反证法证明简单的代数命题和几何命题；3、树立“正难则反”和“转换思维”的意识。
【学习过程】1、阅读书中故事路边苦李王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?其思维过程的表述如下图：这种推理方法就是反证法。
在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。
这种证明方法叫做反证法。
2、请你模仿推理：他运用了怎样的推理方法？在古希腊时，有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。
这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。
一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？3、整体感知用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。
这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。
既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。
概括地说就是要利用“结论的反面不成立”的证明来证明结论成立。
４、请你写出下列结论的反面1、a⊥b；2、d是正数；3、a≥0；4、a∥b。
答：______________________________________________________５、完成课内练习１、６、例、求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交。
已知：求证：证明：７、根据上述解答，归纳反证法证题的步骤。
①假定结论不成立（即结论的反面成立）；②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的结论成立。
八年级数学下册第四章平行四边形4.6反证法导学案浙教版
4.6反证法【要点预习】1.反证法的概念：在证明一个命题时，有时先假设不成立，从这样的假设出发，经过得出和已知矛盾，者与，，等矛盾,从而得出假设不成立是错误的，即所求证的命题 . 种证明方法叫做反证法.2.平行线的有关定理.在内，如果一条直线与两条直线中的一条相交，那么和另一条也相交. 在内，如果两条直线都和第三条直线，那么这两条直线也互相 . 【课前热身】1.“a<b”的反面应是…………………………………………………………………………（）A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b2.用反证法证明“等边三角形的最大角不小于60°”时，应该假设 .3.已知a∥b，a∥c，且∠1=44°，则∠2= .【讲练互动】【例1】用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，则这两条直线不平行.已知：如图，直线,a b被直线c所截，∠1≠∠2.求证：直线a不平行于直线b.证明：假设 ,那么∠1=∠2( )..这与矛盾.∴假设不成立.∴直线a不平行于直线b.【变式训练】1．完成下列证明：如图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．当∠B是____时，则________ _，这与_____ ___矛盾；当∠B是____时，则______ ___，这与_______ _矛盾．综上所述，假设不成立．∴∠B一定是锐角．【例2】用反证法证明：连结直线外一点和直线上所有各点的线段中垂线段最短.已知：如图，P 为直线AB 外一点，PC ⊥AB 于C ，PD 和AB 不垂直.求证：PC <PD .【变式训练】2. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．已知：△ABC 中，AB=AC .求证：∠B 、∠C 必为锐角.3．一块白铁皮零料形状如图, 要从中裁出一块平行四边形白铁皮, 并使四个顶点分别落在原白铁皮的四条边上.可以怎样裁?P D C B。
2022-2023学年八年级数学浙教版下册4.6反证法 教案
2022-2023学年八年级数学浙教版下册4.6反证法教案1. 教学目标•了解反证法的基本概念及应用方法；•能够熟练运用反证法解决问题；•培养学生的逻辑思维和推理能力。
2. 教学内容•反证法的基本概念；•反证法的运用方法。
3. 教学重点•理解反证法的概念；•能够正确运用反证法解决问题。
4. 教学难点•熟练掌握反证法的运用方法。
5. 教学过程步骤一：导入新知首先，我会介绍反证法的基本概念。
反证法是一种常用的数学证明方法，它的基本思想是通过假设反命题的真假，从而推出矛盾的结论，进而证明原命题的正确性。
通过反证法，我们可以解决一些较为复杂的问题。
步骤二：示例解析接下来，我会通过示例来讲解反证法的运用方法。
例如，假设有一个命题：“对于任意正整数n，如果n的平方是偶数，则n是偶数。
”我们可以使用反证法来证明这个命题的正确性。
我们先假设n的平方是偶数，但n是奇数。
根据假设，可以得出n的平方等于奇数乘以奇数，即n的平方也应该是奇数。
然而，根据假设，n的平方是偶数，与n的平方是奇数相矛盾。
因此，我们可以得出结论，原命题成立。
通过这个例子，我们可以看到反证法的运用方法：首先，假设反命题的真假；然后，推导出矛盾的结论；最后，得出原命题的正确性。
步骤三：练习与讨论接下来，我会给学生分发练习题，让他们自己运用反证法解决问题。
同时，我会在课堂上引导学生进行讨论，分享他们的解决思路。
步骤四：总结与拓展在本节课的最后，我会对反证法进行总结，并提供一些拓展题供学生继续巩固和拓展。
6. 课堂作业布置一些反证法相关的题目作为课堂作业，要求学生用反证法解决问题。
7. 教学反思通过本节课的教学，学生对反证法有了更加深入的了解，能够正确运用反证法解决问题。
然而，部分学生在练习中还存在一些困难，需要进一步引导和巩固。
同时，为了提高学生的兴趣和参与度，可以设计一些更有趣的例子进行讲解。
在后续的教学中，还需要继续加强练习和巩固。
浙教版八年级数学下册第四章《4.6反证法》公开课课件
成立。
∴a//b.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于
或等于60°。
已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ，
则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
三、应用新知
尝试解决问题
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C，
感 受 则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
反 这与 已知AB≠AC
矛盾．
证 假设不成立．
法: ∴ ∠B ≠ ∠ C
．
A
B
C
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确
例2 求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，
不妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经过 a
● A，
●
点A和A’的直线有且只有一条，这与
A
与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。 b
。
∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ，
即 ∠A+∠B+∠C>180° 。
这与 三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立．
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
点拨：至少的反面是没有！
例5:
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行线中的一条相交,那么和另一条也相交.
浙教版数学八下4.6《反证法》word导学案
4.4 反证法【学习目标】1、了解反证法的含义.2、了解反证法的基本步骤.3、会利用反证法证明简单命题．4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”. 【学习内容】书本P86—P87【学习过程】一、复习导入1.“a<b”的反面应是…………………………………………………………………………（）A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b二、知识梳理：2.反证法的概念：在证明一个命题时，有时先假设不成立，从这样的假设出发，经过得出和已知矛盾，者与，，等矛盾,从而得出假设不成立是错误的，即所求证的命题 . 种证明方法叫做反证法.3.有关定理.在内，如果一条直线与两条直线中的一条相交，那么和另一条也相交. 在内，如果两条直线都和第三条直线，那么这两条直线也互相 .三、应用新知★老师提醒1：用反证法证明命题的一般步骤：一反设（否定结论）；二归缪（利用已知条件和反设，已学过的公理、定理、定义、法则进行推理，得出与已学过的公理、定理、或与已知条件、或与假设矛盾）；三写出结论（肯定原命题成立）.4.用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，则这两条直线不平行.已知：如图，直线,a b被直线c所截，∠1≠∠2.求证：直线a不平行于直线b.证明：假设 ,那么∠1=∠2( )..这与矛盾.∴假设不成立.∴直线a不平行于直线b.答案：a∥b两直线平行，同位角相等∠1≠∠2a∥b5. 在证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”时，第一步应假设………………………（） A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角 D．三角形中三个角都是直角或钝角答案：B6．完成下列证明：如图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．当∠B是____时，则________ _，这与_____ ___矛盾；当∠B是____时，则______ ___，这与_______ _矛盾．综上所述，假设不成立．∴∠B 一定是锐角．答案：直角 钝角 直角 ∠B+∠C =180° 三角形的三个内角和等于180° 钝角 ∠B+∠C >180° 三角形的三个内角和等于180°★老师提醒2：应用反证法证题时，首先要正确分清命题的题设和结论，正确全面地否定结论. 如果结论的反面不止一种情形，那么必须把各种可能性都列出来，并且逐一加以否定之后，才能肯定原结论正确.7.求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l 1,l 2,l 3在同一平面内,且l 1∥l 2,l 3与l 1相交于点P.求证: l 3与l 2相交.证明: 假设____________,即_________.∵_________（已知）,∴过直线l 2外一点P 有两条直线和l 2平行,这与“_______________________ _____________”矛盾.∴假设不成立,即求证的命题正确.∴l 3与l 2相交.★老师提醒3：证明两直线相交的又一判定方法.8.求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.★老师提醒4：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理.四、回顾小结这一节课有什么收获?五、能力提升9. 不论x 为何实数，在直角坐标系中，点(,3)x x -不可能在……………………………（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵x >x -3，∴x <0且x -3>0不可能成立，即点(x ，x -3)不可能在第二象限. 答案：B10.对于同一平面内的三条直线a ，b ，c ，给出下列五个论断：①a ∥b ；②b ∥c ；③a ⊥b ；④a ∥c ； ⑤a ⊥c . 以其中两个论断作为条件，一个作为结论，组成一个你认为正确的命题________.解析：成立的命题有：①②→④；①④→②；②④→①；②③→⑤；②⑤→③；③⑤→②. 答案：如条件①②，结论④.11.如图，4,,60?,APC PCD BAP ααα∠=∠=∠=-，AB ∥CD ，则α的度数是 .解析：过P 作AB 的平行线，可证得∠APC=∠A+∠C .答案：15°12.用反证法证明：连结直线外一点和直线上所有各点的线段中垂线段最短.已知：如图，P 为直线AB 外一点，PC ⊥AB 于C ，PD 和AB 不垂直.求证：PC <PD .证明：假设PC ≥PD .(1)当PC=PD 时，那么∠PCD =∠PDC =90°，即PD ⊥AB ，这与PD 和AB 不垂直矛盾. ∴PC ≠PD .(2)当PC >PD 时，那么∠PDC >∠PCD . 而∠PCD =90°，这与三角形三个内角和等于180°矛盾. ∴PC <PD .P D C B A。
浙教版八年级数学下册反证法
P
l1
l2
因为已知___l_1_∥_l_2 __,
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“_经__过_直__线__外_一__点_,_有_且__只__有_一__条_直_ _线_平__行_于__已_知__直__线_”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
B班做
5、用反证法证明：等腰三角形的底角 必定是锐角．
所以，李子是苦的
在证明一个命题时,先假设命题不成立， 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾，或者与定义、公理、定理等矛盾， 从而得出假设命题不成立是错误的， 即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
一、提出假设
假设待证命题不成立，或是命题的 反面成立。
二、推理论证 三、得出矛盾
以假设为条件，结合已知条件推理， 得出与已知条件或是正确命题相矛盾 的结论
分析：解题的关键是反证法的第一步否定结 论，需要分类讨论.
已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那 么只有两种情况：
(1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；
（1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°， 这与三角形内角和定理矛盾， ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？
这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？
初中数学初二数学下册《反证法》优秀教学案例
（三）小组合作
小组合作是一种有效的教学策略，可以培养学生的团队协作能力和沟通能力。在本章节的教学中，我将把学生分成若干小组，每组学生在探究反证法的过程中，相互讨论、交流、分享。具体做法如下：
1.分组讨论：让学生在小组内讨论反证法的概念、步骤和应用。
2.分工合作：每个小组选择一道题目，运用反证法进行证明，并派代表进行汇报。
（Hale Waihona Puke ）作业小结1.布置作业：设计不同难度的题目，让学生巩固反证法的应用。
a.基础题目：运用反证法证明简单数学命题。
b.提高题目：运用反证法解决实际问题，如几何图形中的反证法证明。
c.拓展题目：研究反证法在其他数学领域的应用，如数列、函数等。
2.要求学生在完成作业时，注意书写规范，保持解答过程的简洁。
2.在探究反证法的过程中，引导学生独立思考，培养学生的逻辑思维和逆向思维。
3.引导学生通过观察、分析、归纳等思维方法，发现数学问题中的规律，提高学生解决问题的能力。
4.注重学法指导，让学生在自主学习、合作学习、探究学习的过程中，形成适合自己的学习方法。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的探究精神。
3.教师在批改作业时，关注学生的解答过程，及时给予反馈，指导学生提高。
五、案例亮点
1.创设生活化的教学情境
本案例以贴近学生生活的实例为背景，创设教学情境，让学生在具体情境中感受反证法的意义和价值。这种做法有助于激发学生的学习兴趣，提高学生对数学知识的认同感，使学生在轻松愉快的氛围中掌握反证法。
2.以问题为导向，注重学生逻辑思维能力的培养
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略，能够引导学生主动思考，培养其逻辑推理能力。在本章节的教学中，我将设计一系列由浅入深的问题，引导学生逐步掌握反证法的步骤和应用。例如，在讲解反证法证明数学命题时，可以提出以下问题：
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2021年八年级数学下册反证法教案浙教版
【教学目标】
1、了解反证法的含义.
2、了解反证法的基本步骤.
3、会利用反证法证明简单命题．
4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.
【教学重点和难点】
本节教学的重点是反证法的含义和步骤.
课本“”合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点.
【教学准备】
课件
【教学设计】
一、情境导入
故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,
此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法?
我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维．反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界．那么什么叫反证法呢？（板书课题）
二、探究新知
（一）整体感知
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了．
你能说出下列结论的反面吗?
1.a⊥b
2. d是正数
3. a≥0
4. a∥b
（二）师生互动
1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
把本题改编成填空题：
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2相交.
证明: 假设____________,即_________.
∵_________（已知）,
∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行,
这与“_______________________ _____________”矛盾.
∴假设不成立,即求证的命题正确.
∴l3与l2相交.
教师简单引导学生小结：证明两直线相交的又一判定方法.
2、根据上述填空，请同学们归纳一下用反证法证题的步骤．（教师板书步骤）生：①假定结论不成立（即结论的反面成立）；②从假设出发，结合已知条件，
经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的结论成立．
明确用反证法证题的基本思路及步骤．
（三）学以致用，完善新知
1、课内练习1
明确在运用反证法的过程，往往要仔细分析结论的反面，特别要注意语句的转换及表达．
2、合作学习
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
（1）你首选的是哪一种方法？
（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？
（3）能不用反证法吗？你准备怎样证明？
教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，并指出本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理.
三、实践应用，知识迁移
1、课内练习2
2、链接生活
反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子：
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天下在外出旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么? （小芳全家没外出旅游.）
他是如何推断该命题的正确性的?
在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一至两个例子.
3、议一议：
甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：
A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；
B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；
C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；
D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军.
其中每个人都只说对一句，说错一句.你知道五人各获哪项冠军吗？
四、学习小结
同学们，学了这节课，你们有何收获与体会？
（1）引导学生作知识总结，学习了反证法证题的思路与步骤．
（2）教师扩展：在直接法无法证明或很难证明的情况选用反证法．
五、课后作业
1.配套作业本A(1)组必做。
2.书本作业题．
3.课外活动：收集反证法在生活中应用的例子，在班上交流。
【板书设计】
【资料下载】
反证法也称为归谬法，英国数学家哈代（G．H．Hardy，1877－1947•）对于这种证法给过一个很有意思的评估．在棋类比赛中，经常采用一种策略，叫“弃子取势”，即牺牲一些棋子以换取优势．哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略．棋手可以牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘
棋．归谬法就是作为一种可以想象的最了不起的策略而产生的．32314 7E3A 縺23468 5BAC 宬38565 96A5 隥22575 582F 堯 B 40628 9EB4 麴28742 7046 灆33122 8162 腢34993 88B1 袱hq。