圆的标准方程优秀教案课件.doc

第四章圆与方程

4.1 圆的方程

4.1.1 圆的标准方程

教材分析

本节内容数学必修 2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识．

课时分配

本节内容用 1 课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用．

教学目标

重点: 圆的标准方程的理解、掌握．

难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．

知识点：会求圆的标准方程.

能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程.

教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法.

自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法.

考试点：会求圆的标准方程.

易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程.

拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程．

教具准备多媒体课件和三角板

课堂模式学案导学

一、引入新课

问题1：什么是圆？

【设计意图】回顾圆的定义便于问题 2 的回答．

【设计说明】学生回答．

问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？

【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）．

【设计说明】教师引导，学生回答．

问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？

【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题．

【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题．

二、探究新知

1 / 6

问题4：已知圆的圆心坐标为A( a,b) ，半径为r （其中a、b、r 都是常数，r 0），如何确定圆的方

程？

师：类比直线点斜式方程的推导方法，引导学生回答求曲线的方程的一般步骤．

师生：教师引导学生回答如何求曲线的方程．

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M 的坐标；

(2)写出适合条件P 的点M 的集合P={M|P(M)|} ；

(3)用坐标表示条件P(M) ，列出方程f(x，y)=0；

(4)化方程f(x，y)=0 为最简形式；

(5)说明化简后的方程就是所求曲线的方程．

师：设M (x,y)是圆上任意一点，根据圆的定义如何建立x，y满足的关系式？

y 生：利用两点间的

距离公式，写出点M 的坐标适合的条件．

师：如何进一步化简上述关系式得出圆的方程？

生：学生自己化简得出圆的方程为 2 ( )2 2

(x a) y b r ．

A M

【设计意图】让学生掌握圆的标准方程的推导方法．

【设计说明】学生自己化简得出结论便于学生理解记忆．

x

O

三、理解新知

圆的标准方程： 2 ( ) 2 2

(x a) y b r ，其中圆心为A(a,b) ，半径为r ．

强调：熟记圆的标准方程的结构特点，并能观察出圆心和半径．

师：那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？

生：只要a、b 、r三个量确定了且r 0，圆的方程就给定了．

师：圆心在原点圆的方程是什么？

2

生： 2 y r

2

x

【设计意图】便于学生理解掌握圆的标准方程，为准确地运用新知，作必要的铺垫．

【设计说明】学生自己归纳总结．

基础检测：

2 y

2

1. 圆( x 2) 2的圆心A 的坐标为______,半径r 为________.

2 y 2 a a

2

2. 圆( x 1) ( 3) ( 0) 的圆心,半径是？

【设计意图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标,半径长的关系．

【设计说明】学生口答．

四、运用新知

例1. 写出圆心为A( 2, 3), 半径长等于 5 的圆的方程，并判断点1(5, 7), M ( 5, 1)

M 是否在这个圆上．

2

分析：判断圆心是否在圆上，可以从计算点到圆心的距离入手．

【设计意图】圆的标准方程的直接应用，并会判断点与圆的位置关系．

【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．

探究：怎样判断点M (x0 , y0 )在圆 2 ( )2 2

( x a) y b r 上？圆内？还是圆外？

2 / 6

【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出下列结论．

（1） 2 2 2

(x0 a) ( y b) r ，点在圆外

（2） 2 2 2

(x0 a) ( y b) r ，点在圆上

（3） 2 2 2

(x0 a) ( y b) r ，点在圆内

【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力

练习：

2 y 2

1.点P(m,5)与圆x 25的位置关系（）

Ａ．在圆外Ｂ．在圆上Ｃ．在圆内Ｄ．在圆上或圆外

2.求经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)的圆的标准方程．

3.求以点(2, 1) 位圆心且与直线3x 4y 5 0 相切的圆的标准方程．

【设计意图】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程．

【设计说明】学生爬黑板．

例2. ABC 的三个顶点的坐标是A( 5,1), B (7, 3), C(2, 8) ，求它的外接圆的方程．

师生共同分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．从圆的标准方程

2 ( )

2 2

(x a) y b r 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a,b,r 三个参数．

解法一：设所求圆的方程是 2 ( )2 2

(x a) y b r (1)

因为A( 5,1), B(7, 3), C (2, 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是

2 2 2

(5 a) (1 b) r a 2

(7 2

a) (3

2

b) r

2 b 3

2 2 2

r 5

(2 a) ( 8 b) r

2 y 2

所以，ABC 的外接圆的方程为(x 2) ( 3) 25．

【设计意图】掌握待定系数法求圆的标准方程．

y

【设计说明】学生自己运算解决．

师：除上述方法求圆的标准方程外还有没有其它方法？

L 2

师：教师画图引导．

生：学生讨论发现，还可利用几何法求ABC 的外接圆的方程．

A

师：确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．那么如何确定圆心？

O

D

生：学生探讨发现：弦AB 的垂直平分线与弦BC 的垂直平分线的交点即为圆心M ．

M B

师：如何确定半径？

E

生：圆心M 与圆上任一点的距离即为半径．

L 1 C

解法二：（师生共同完成）

x