奇妙的幻方
神奇的幻方(课堂PPT)
大家能不能 背一首？
1
请欣赏：
要想解释这首诗的 意思，先让我们先
四海三山八仙洞，
看看这首诗的来历 吧。
九龙王子一枝莲。
二七六郎赏月半，
周围十五月团圆。
2
请阅读：传奇故事
相传三千多年前大禹治水的时候， 在黄河支流洛水中有一只神龟。 龟背上刻有神奇的图案。（出示 投影片：龟背图）这个龟背图很 特别，用黑白圈来表示数，并用 直线连接这9个数。古人认为是一 种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王 彻底制服.你能说出它们分别代表 哪些数吗？
3
后人称这幅图被称为“洛书”， 实际上是现在的一个三阶幻方
洛书
三阶幻方
492
357
816
4
5
关于幻方
❖ 幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。
❖ 是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的 纵横均有n个数，而把每行、每列、有时 还包括两条对角线的数加起来，它们的和 都是相等的，这个和叫做幻和。
❖ 幻方的幻和等于 n (n2 +1) ÷2 。
15
洛书
16
四阶幻方
幻和是：4×（42＋1）÷2＝34
17
五阶幻方
幻和是：5×（52＋1）÷2＝65
18
六阶幻方
幻和是：6×（62＋1）÷2＝111
19
构成
20
三阶幻方构成方法之一
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
21
22
23
三阶幻方构成方法之二
画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
③哥妹团圆 二探七哥六妹愁，九望五峰一路陡。 四河三桥八停留，半月十五才到头。
11
分类 构成 神奇
奇妙的幻方
ｌ２ ２ ８ ５ ９ 田
１ ２４ １ ８ １ １ ７ ５ ７ ２３ ５ ７ ｌ ｌ ２３ ４ ６ ４ ６ １ ０ ３ ２ ２２ ４ ｌ １ １ ２１ ３ １ ０ ２ ９ Ｏ ｌ １ ２５ ２ ９ ｌ ８
一
个 小 方 格 内 ． 上 角 的 阴 影 小 方 格 视 为 已 有 数 字 ． 如 图 ６． １填 入 右 例 将
后 应 该 写 ２． 此 时 已 经 超 出 大 方 格 ， 此 就 填 到 上 加 格 内 ， 在 同 一 列 但 因 并
的 最 下 面 一 个 小 格 内 填 写 上 ２ ． （ 任编辑 责 尹娜 ）
．
，
并进 行 了深入 研究
机 械 师
，
还 构造 出
一
些 高 阶幻方
．
．
丢 勒 14 7 1 年 出 生 在 德 国 纽 伦 堡 丢 勒 博 学 多 才
、
．
不 仅
—
是 画 家
，
而 且 是 数 学 家
、
建筑学 家
．
丢 勒 有
一
幅很 有 名 的画
—
八 年级数学 配 合华师大教材
．
43
《 郁 》 这 幅 画 中 有 一 个 四 阶 幻 方 （ 图 ４ ． 个 幻 忧 ， 如 ）这
方 格 计 数 但 不 写 出 ． 在 对 角 线 上 的 小 方 格 中依 次 写 出 数 到 的 数 ． 上 不 从 到 下 ， 左 到 有 ， 满 为 止 ． 后 从 右 下 角 开 始 ， １开 始 数 数 ． 在 对 角 从 写 然 从 只
奇妙的三阶幻方
【例1】在下图的3×3阵列中填入了1~9的自然数，构成了大家熟悉的三阶幻方。
现在另有一个3×3的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使其中最大者为20，最小者大于5，且每行、每列及每条对角线上的三个数的和都相等。
【思路点睛】最基本的三阶幻方中，填入的是1~9这九个不同的自然数，其中最大的为9，最小的为1。
要使新编制的幻方中最大数为20，而9+11=20，因此，如果在所给幻方中各数都增加11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为20，最小数大于5。
如下图：438951276151419201612131817◎蒋成法【例2】在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如下图。
请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。
【思路点睛】因为三个数的和是36，所以可求出三个数的平均数是36÷3=12，这个12也就是中心数，即填在幻方中间的数。
填出了中间数，那么第二行右边的数就是36-12-6=18；对角线左下角的数是36-12-5=19。
得到了这两个数，剩下的就好办了。
用36减去已知数，得到剩下的数：36-19-6=11；36-18-5=13；36-11-5=20；36-19-13=4。
从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。
利用“三个数的和=中心数×3”这个关系式，在已知和的情况下，可先求出中心数；在得到中心数的情况下，利用三个数的和，求出其他数。
65612561912518116192012451813。
奇妙的幻方
64 3678 120 92 134 50 10622 19 15 21 2 13 9 17 23 25 16 8 4 1 22 14 10 5 6 12 18 20 7 11 24 19 15 2 23 25 16 8 4 1 22 14 10 6 12 18 19 15 21 2 13 9 25 168 1 2214 20 7 319 15 2 25 16 8 1 2214 3 A B C D1 234 5 67 89 ⑵ ⑴ 8 6 1 3 75 4 29 56幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格．一般地，在n ×n （n 行n 列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n ×n 个连续的自然数（注意，这n ×n 个连续自然数不一定要从1开始），每个数占1格，并使每一行、每一列以及两条对角线上的几个自然数的和都相等，这样排列成的数字图形叫做n 阶幻方（标准幻方）．其中，相等的和叫做幻和，n 叫做阶．幻和＝幻方内所有数字之和÷阶数，奇数阶幻方的中心数＝幻和÷阶数．非标准的幻方不限于连续自然数，右图所示即为一个非标准的三阶幻方．幻方分为奇数阶幻方和偶数阶幻方．偶数阶幻方又分双偶数阶幻方和单偶数阶幻方（4K 型的数叫做双偶数，4K ＋2型的数叫做单偶数）．幻方具有对称性．如下图的四阶幻方就具有丰富多彩的对称性．同一曲线所串连的四个数的和都相等，并且和每行、每列、两条对角线上四个数的和相等，都等于这个幻方的幻和．这就是幻方的对称性．幻方具有轮换性．如右图所示的幻方，可以看成是先将五阶幻方的前三行移到下面，再把移动后的左边的三列移到右边以后得到的（反过来移动也行）．这样，随你怎样选取5×5的一个方块后必然得到一个五阶幻方，这就是幻方的轮换性． 幻方的构造方法： 1．奇数阶幻方的构造方法：⑴ 杨辉三阶幻方构造法：我国古代著名数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍的一种排法，它可以简单地归纳为四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”．“九子斜排”，即以右图中A 、B 、C 、D 任一处为起点，按照从小到大的顺序和确定的方向（图中以A 处为起点，从向右向下方向），将1～9这九个数依次斜排；“上下对易，左右相更”，即将A 处与C 处，B 处与D 处的两个数位置互换；“四维挺出”，即将四边中间的数移到各自箭头所批的位置．这样，一个三阶幻方就编排完了．训练⑴① 用从1开始的连续自然数组成一个十阶幻方，其幻和是多少？② 用“杨辉三阶幻方构造法”及3～11编排一个三阶幻方，填入右图中．③ 如右图⑴的3×3的阵列中填入1～9九个自然数，构成了我们熟知的三阶幻方．现有一个3×3的阵列如右图⑵，请选择九个不同的自然数填入这九个方格中，使得其中最大数为20，最小数大于5，而且每一行、每一列及每条对角线上的三个数的和都相等．④ 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24，填入右图中．⑤ 如右图所示，在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请你在空格中填上适当的数，使方阵的行、列、对角线上的三个数之和均为36． ⑥ 把3、4、5、8、9、10、13、14、15编排一个三阶幻方，其幻和是多少？14 11 61 8 7 151012 1332 4 5 9 16 14 11 61 8 7 151012 13 3 245 9 16 14 11 61 87 151012 13 3 2 4 5 9 16 14 11 618 7 151012 13 3 24 5 9 1614 11 61 8 7 151012 13 3 2 4 5 9 16 14 11 61 8 7 151012 13 3 2 4 5 9 16 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹4 ⑺ 将九个连续自然数填人右图中三行三列的九个方格中，使每一横行、每一竖列及每一条对角线上的三个数之和都等于51．⑻ 在右图中的空格中填入不大于18而且互不相同的偶数（其中已填好一个数），使每行、每列和对角线上三个数之和都等于30．⑼ 把1～9这九个数字填入3×3的方格中，这样，每一行的三个数字组成一个三位数，如果要使第二行的三位数是第一行的2倍，第三行的三位数是第一行的3倍，应怎样填数？⑽ 诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城上，为了迷惑敌人，不论从哪一面观察，都有100名全副武装的士兵守城（如下图所示）．为了打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵突袭敌人，并且不论从哪一面看士兵反而增加了25名，试填出兵力分布图，并求出抽调了多少名士兵？⑵ 罗伯法（用于编排奇数阶连续自然数幻方）：这是由法国人罗伯总结出的构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法．具体方法如下：先把1（或最小的数）放在第一行正中；然后按以下规律排列剩下的12 n 个数：① 每一个数放在前一个数的右上一格； ② 如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； ③ 如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； ④ 如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； ⑤ 如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同④．根据这个规则，可以编一个编排奇数阶连续自然数幻方的口诀：㈠ 横向叫行竖叫列，从1开始连续写，1写首行下中间，右列沉底将2写；㈡ 数顺右上方向走，碰到边框猛回头，上行最左写后数，再沿右上方向走； ㈢ 若碰有数下一格，方向不变继续走，碰顶向右掉到底，再按前面规则走。
奇妙的幻方收获 感悟
一、教材内容和内容解析1.教材内容本节课以探寻三阶幻方的本质特征为中心，感受幻方的神奇之处，让学生在活动和实践中探索幻方的一般规律，积累构造三阶幻方的经验，初步获得“由特殊到一般”的探究问题的方法和经验。
2.教材的地位及作用本节课是北师大版教材七年级下册综合与实践课程，学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”活动课。
本课主要以是以古老的幻方知识为引子，以探寻三阶幻方的本质特征为载体，让学生借助对幻方中的数量关系探究的过程，经历认识美——了解幻方、揭秘美——探究幻方、创造美——设计幻方三个大环节，从而达成领会问题、探究方法、提升问题、解决问题的目标。
二、教学目标和目标解析1.教学目标（1）综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算等知识,探索三阶幻方的特征；（2）经历观察、猜想、类比、归纳等活动,初步积累构造三阶幻方的经验；（3）通过自主探究、合作交流的学习方式,感悟数学思想、体验数学之美，创造属于小组独特的三阶幻方。
2.目标解析根据新课标的要求，由浅入深、层层深入，制定了以上教学目标。
本节课教学目标（1）是本节课的基本要求；教学目标（2）的确立则在（1）的基础上形成的对于探究过程的一般方法和过程；教学目标（3）则是以本节活动课为平台，开展丰富的小组合作，激发学生的兴趣和创造性。
三、教学问题诊断分析1.学情分析学生已完成了“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，有过“探索规律”的经历，对图形对称性也有初步了解。
本节课主要面临的问题是从哪里入手，以及从哪些角度研究三阶幻方的本质特征和构造思路，如何讲清特征背后的道理、提炼幻方构造的普适性方法。
本节课是学生初中阶段第一次接触综合实践活动，其研究意识和研究思路还不成形，教学定位在示范引领学生初步掌握研究性学习的方法，以面向全体学生的数学活动为主线，在层层递进的探究过程中引导学生积累数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，进而从中感受和反思解决问题的方法和经验。
三年级下册数学试题-专题培优：第四讲 奇妙的幻方(无答案)全国通用
第四讲奇妙的幻方专题解析：在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等（这个相等的和叫做幻和），通常这样的图形叫做三阶幻方。
幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶，还有四阶、五阶，……，直到任意阶。
开心进入：1、把1－5这5个自然数，分别填入图2－4中五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。
问如何填法？开心探究：例1、请你将1～9这九个数字填在方格里，使每横行、每竖行和对角线上的三个数的和都相等。
小结：（1）幻和=九个数之和÷3（2）幻和=中心数×3（3）九个连续的自然数中，第五个数是中心数，第二、四、六、八个数是四个角上的数。
（4）相邻边上两个中间数的平均数=对角上的数例2、将7～15九个数填入左图空格中使每横行、纵列、对角线的和都相等。
练一练：将10～18九个数填入左图空格中使每横行、纵列、对角线的和都相等。
例3、请你编出一个三阶幻方，使其幻和为24。
例4、在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图9。
请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为36。
练一练：请你编出一个三阶幻方，使其幻和为45。
例5、根据所给数字，完成下面三阶幻方。
小结：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。
利用幻和=中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数；在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其他数的求出。
练一练：下图每行每列，对角线的和都是18，请填出空格中的数。
课后练习：一、体验成功1、用1～9这九个数字补全图12中的幻方，并求出幻和。
2、将2～10这九个数分别填入3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。
3、将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。
神奇的幻方 ppt课件
AC
DB
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方； B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
1
6
2
11 24 7 20 3
16 4 12 25 8 16
21
17 5 13 21 9
22 10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
24
20
25
4 5
10
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12
9
8
5
32
六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
❖ 其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
1 9 34 33 32 2
6
31
10
27
30
7
29
8
35 28 3 4 5 36
❖ 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图， 或n阶幻方。
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质
洛书
492 357 816
神奇的幻方1
谢谢观看
关于幻方
❖ 幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。 ❖ 是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的纵
横均有n个数，而把每行、每列、有时还包括 两条对角线的数加起来，它们的和都是相等 的，这个和叫做幻和。 ❖ 幻方的幻和等于 n (n2 +1) ÷2 。 ❖ 这种排列方式的纵横图称为n阶纵横图，或n 阶幻方。
在陕西西安市郊出土的6阶幻方
28 4 3 31 35 10 36 18 21 24 11 1 7 23 12 17 22 30 8 13 26 19 16 29 5 20 15 14 25 32 27 33 34 6 2 9
在陕西西安市郊出土的6阶幻方
东阳农民三年倒腾出“完美幻方”
三枚2011贺岁六阶幻方
通过人们的研究， 现在的幻方种类许许多幻方的 性质，而且它们（每 一行、每一列及两条 对角线上，下同）的 平方和也等于另外的 定值。
不仅具有一般幻方的 性质，而且它们的连乘 积也等于另一个定值。
双重幻方
杨辉幻圆
其同一圆周 上的数字之 和及任意一 条直径上的 数字之和为 147
岫玉雕刻 “奥运幻方”
岫玉雕刻 “奥运幻方”
同中在时间北，的京这四奥1阶运6个幻会方方开 格图幕又共的可1日6组个子成方，1格一6个，件矩每精形个美、 8格的个中玉梯刻雕形有“、一280个个08平3奥位行运数四幻 边字方形，图，横”每行在个、中几竖国何行玉图、都形斜岫 四行岩个的问角数世的字。数之字和之均和为也 都20等08于。2008。
杨 辉 八 阵 图
六角幻方
任一条直线上的数字之和都等于同一个 数。
欧拉的马步幻方
按照国际象棋中马步走法，可以一直走到64。 欧拉幻方有2个特点：1、全部是马步构成； 2、每一个单独的4阶幻方行、列和值为130
探寻神奇的幻方数学课题
探寻神奇的幻方数学课题
幻方是一种神秘而神奇的数学结构，它们在数学界和古代文化
中都引起了广泛的兴趣。
幻方是一个n×n的方阵，其中包含1至
n^2的连续整数，使得每一行、每一列和对角线上的数字和都相等。
这些特殊的性质使得幻方成为了数学家们和艺术家们的宝贵研究对象。
幻方的历史可以追溯到古代，早在公元前650年，古代中国文
献中就有了对幻方的描述。
随后，幻方的研究在印度、中东和欧洲
等地也得到了发展。
著名的意大利数学家和艺术家莱昂纳多·斐波
那契曾经对幻方进行过深入的研究，并将其运用到了他的艺术作品中。
幻方不仅仅是一种数学结构，它还具有许多神秘的数学特性。
例如，幻方中心的数字一定是n的中值，而且一些特殊的幻方还可
以展现出对称性和周期性。
此外，幻方还可以通过不同的方法和技
巧来构造，这些构造方法涉及到了数论、代数和组合数学等领域。
在现代数学中，幻方的研究也得到了广泛的关注。
数学家们利
用抽象代数、线性代数和群论等工具来研究幻方的性质和结构，从
而揭示了幻方背后的深刻数学原理。
同时，幻方的应用也不仅仅局限于数学领域，它还在密码学、图像处理和信息安全等领域中发挥着重要作用。
总之，幻方是一种神奇而神秘的数学结构，它不仅具有丰富的历史和文化内涵，还蕴含着许多深刻的数学原理。
对于数学爱好者来说，探寻幻方的奥秘无疑是一次充满乐趣和挑战的数学之旅。
北师大版七年级数学上册 综合实践-奇妙的幻方 说课课件 (共25张PPT)
（二）问题探究---（合作探究）
示范引领研究
展示成功 案例 观察、猜想 质疑、验证 归纳、说理 结论 相互佐证 观察、猜想 结论
小组合作研究
关键词：案例、特例、推理、 字母表示数、佐证
观察案例 整 体 观 察 发现核心 数5 发现数字分布 的奇偶特征 发现成对的数 及其分布特征
发现组合 数中，5 出现4次， 偶数出现 3次，奇 数出现2 次
三、教学目标
• 1、通过综合运用有理数混合运算、用字母表 示数及其运算等知识，探索三阶幻方的本质 特征. • 2、经历观察、猜想、归纳、类比等活动，初 步积累构造三阶幻方的经验. • 3、通过对蕴含在具体事物中的规律性结论进 行分析和解释，初步获得“由特殊到一般” 的探究问题的方法和经验. • 4、感悟数形结合思想、体会合作学习价值.
二、学情分析
基本情况
初中段第一次接触综合 实践活动，研究意识和 研究思路还不成形. 七年级学生好奇心强， 求知欲旺，学习激情易 被激发.
定位或课前准备
定位在示范引领学生初步掌 握探究性学习的方法.
活动设计要面向全体、层层 递进.
学生的整体水平良好， 课前学生收集整理幻方的背 具备初步的观察、分析、 景资料，尝试完成用1～9填 概括的能力. 三阶幻方的体验任务 .
研究性学习要求学生既要能独立的多角 度尝试和思考，也要能关注别人不同的思 路和见解.同时，课题研究的综合性、开放 性；学生之间客观存在的学情差异共同决 定了教法的选择.
五、教学过程设计
• 以问题为载体，以研究为主线. • 课前：学生查阅收集整理幻方背景知识 1.问题引领 课 堂 2.问题探究 3.应用拓广 4.归纳小结 5.作业 • 课后：研究问题猜想 自主实践 合作探究 实践演练
奇妙的幻方
641341 36507810612()2292n阶幻方（标准幻方）.其中，相等的4K型的数叫做幻方具有轮换性.如右图所示的幻方，可以看成是先将五阶幻方的前三行移到下面，再把移动后的左边的三列移到右边以后得到的（反过来移动也行）.这样，随你怎样选取5 X5的一个方块后必然得到一个五阶幻方，这就是幻方的轮换性.幻方的构造方法:学与练（一）1 .奇数阶幻方的构造方法:114221018114222581641225816192152361921513219175132197203112472031142210181142225816412258161921523619215知识要点幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格. 一般地, 在n x n （n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n xn个连续的自然数（注意,这n x n个连续自然数不一定要从1开始），每个数占1格，并使每一行、每一列以及两条对角线上的几个自然数的和都相等，这样排列成的数字图形叫做和叫做幻和，n叫做阶.幻和=幻方内所有数字之和十阶数，奇数阶幻方的中心数=幻和十阶数. 非标准的幻方不限于连续自然数，右图所示即为一个非标准的三阶幻方.幻方分为奇数阶幻方和偶数阶幻方•偶数阶幻方又分双偶数阶幻方和单偶数阶幻方（双偶数，4K+ 2型的数叫做单偶数）.幻方具有对称性.如下图的四阶幻方就具有丰富多彩的对称性. 同一曲线所串连的四个数的和都相等,并且和每行、每列、两条对角线上四个数的和相等，都等于这个幻方的幻和•这就是幻方的对称性.⑴杨辉三阶幻方构造法:我国古代著名数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍的一种排法，它可以简单地归纳为四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”•“九子斜排”即以右图中A、B、C、D任一处为起点，按照从小到大的顺序和确定的方向（图中以A处为起点，从向右向下方向），将1〜9这九个数依次斜排；“上下对易，左右相更”，即将A处与C 处，B处与D处的两个数位置互换；“四维挺出”，即将四边中间的数移到各自箭头所批的位置•这样,个三阶幻方就编排完了.训练⑴①用从1开始的连续自然数组成一个十阶幻方，其幻和是多少?②用“杨辉三阶幻方构造法”及3〜11编排一个三阶幻方，填入右图中.如右图⑴的3 X3的阵列中填入1〜9九个自然数，构成了我们熟知的三阶幻方•现有一个3 X3的阵列如右图⑵，请选择九个不同的自然数填入这九个方格中，使得其中最大数为20 ,最小数大于5, 而且且每行、每492357816列及每条对角线上的三个数④请编出一个三阶幻方，使其幻和为24，填入右图中.如右图所示, 在3 X3的阵列中,的和都相等.6，请你在空格中填上适当的数，使方阵的行、列、对角线上的三个数之和均为36.⑥ 把3、4、5、8、9、10、13、14、15编排一个三阶幻方，其幻和是多少?v A I 1 *第一行第三列的位置上填11⑺ 将九个连续自然数填人右图中三行三列的九个方格中，使每一横行、每一竖列及每一条对角线上的三个数之和都等于 51 .⑻ 在右图中的空格中填入不大于 18而且互不相同的偶数（其中已填好一个数），使每行、每列和对角线上三个数之和都等于 30 .⑼ 把1〜9这九个数字填入3 X 3的方格中，这样，每一行的三个数字组成一个三位数，如果要使第二行的三位数是第一行的 2倍，第三行的三位数是第一行的3倍,应怎样填数?⑽ 诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城上，为了迷惑敌人，不论从哪一面观察，都有100名全副武装的士兵守城（如下图所示）•为了打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵突袭敌人，并且不论从哪一面看士兵反而增加了 25名，试填出兵力分布图，并求出抽调了多少名士兵？⑵ 罗伯法（用于编排奇数阶连续自然数幻方） ：这是由法国人罗伯总结出的构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法. 具体方法如下：先把1 （或最小的数）放在第一行正中；然后按以下规律排列剩下的n 21个数：① 每一个数放在前一个数的右上一格； ② 如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； ③ 如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； ④ 如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；⑤如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同④.根据这个规则，可以编一个编排奇数阶连续自然数幻方的 口诀：㈠ 横向叫行竖叫列，从 1开始连续写，1写首行下中间，右列沉底将 2写；㈡ 数顺右上方向走，碰到边框猛回头，上行最左写后数，再沿右上方向走；㈢ 若碰有数下一格，方向不变继续走，碰顶向右掉到底，再按前面规则走。
2奇妙的幻方
奇妙的幻方幻方的历史在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
九宫洛书蕴含奇门遁甲的布阵之道。
它是科学的结晶与吉祥的象征，发源于我国古代的洛书——九宫图。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆用数目表示出来，得到九个数。
这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶... 后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：S=n(n +1) /2（高斯求和公式）伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并从洛书中数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治。
圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。
从洛书发端的幻方在数千年后的今天更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的数学问题。
十三世纪，我国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。
著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究。
如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。
目前，它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。
1977年，4阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息与美好祝愿！幻方的构造对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N=4n+2的形式1. n 为奇数时，最简单:(1) 将1放在第一行中间一列;(2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：按 45°方向行走，如向右上每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1(3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
神奇的幻方
奇妙的幻方教学目标：1、认识幻方，体验幻方的特征，会构造简单的三阶幻方和四阶幻方。
2、在数学活动中初步积累构造三阶幻方和四阶幻方的学习经验；通过观察、猜想、尝试、质疑、归纳、类比等体验数学活动的探索性和创造性。
3、借助洛书、杨辉幻方等史料，让学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发学生将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心。
教学重点：发现幻方的特征，编写三阶幻方。
教学难点：编写三阶幻方和四阶幻方。
教学过程：一、故事导入，激发兴趣1、师：传说，大约公元前2000年前的时候，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产。
于是，大禹日夜奔忙，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天。
事后，一只神龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹，这张图，就是闻名于世的洛书。
出示图14 9 23 5 78 1 6图1 图22、师：大家先来看看这个图案，请仔细观察说说你都看见了什么?3、师：每个格子里这些点点，数起来挺麻烦的，能不能用我们学过的什么来代替呢?(数字) 跟老师一起把它们变成数字，第一行第一个变成?(4)第一行第二个变成?(9)第一行第三个变成?(2)第二行呢?(3、5、7)第三行呢?(8、1、6) 。
抽象成数字九宫格图2。
4、现在都变成我们熟悉的数字了，古人将这张表格称为“幻方”，因为它由九个格子组成，所以又称为“九宫图”。
幻方在古代文化中扮演了一个重要的角色，因为当时人们把它看作宇宙无法比拟的力量的象征。
那么幻方究竟神奇在什么地方呢？我们今天一起来研究一下。
二、观察幻方，发现特征。
1、师：你能从图2这个幻方中看懂些什么？发现些什么奇妙之处？ 预设： （1）是由1到9九个数排成的。
（2）横行、竖行、斜行的三个数的和都是15。
（3）5在中间。
（4）5相对的两个端点的两个数的和是10。
（5）双数在四个角上，单数在中间。
当学生说出答案时，要进行验证,整理和归纳。
如果学生说出局部，要引导说出全部。
三年级奥数教程 第七讲 奇妙的幻方
第七讲奇妙的幻方
学习目标：
1、幻方的特性。
2、构造幻方的方法
重点：
总结：
要遵循下面两个规律特点：
1、中间数是这九个数的平均数；
2、横竖斜三个数的和是这九个数和的三分之一。
3、将幻方转化成数阵图
例一将1-9九个数填在九宫格里,使各行各列及对角线上的三个数之和都相等
例二、从1-13这十三个自然数中选出十二个数，填入图1（1）的3×4方格中，使得每一横行四个数之和相等，每一竖列三个数的和也相等。
例三、把3、6、9、12、15、18、21、24、27分别填入下图所示的格子中，使横竖斜三
行的数相加都等于45 谁会哪？求解。
向左转|向右转
练习七
1、把1.2.3.4.5.6.8.12.24 填入九宫格中使得每三个数连起来的积相等
2、9到17这几个数怎样排列横竖斜相加等于39？
3、填入两个九宫格中，使横竖都能组成单词（not.car.are,one.red.ten）的问题。
数学北师大版七年级上册探寻神奇的幻方--拓展资源
①鸟语花香
四季九花二重开，三杨五柳七处栽。
八哥一唱六鸟应，九宫奇境仙人来。
②英雄奇才
八方三才游四海，一将五战胜九怪。
六女七拜杨二郎，九宫奇才谁不爱。
③哥妹团圆
二探七哥六妹愁，九望五峰一路陡。
四河三桥八停留，半月十五才到头。
④预测大师
六路七星二神通，一算五行九宫明。
八卦三爻四象生，天地人间事事语。
下图是在德国著名艺术家兼数学家迪勒﹝1471-1528﹞1514年的一幅版画上出现的四阶幻方图，据说是欧洲第一幅完整的四阶幻方图。
正因为幻方中蕴含着奇妙的数学美，因此吸引了很多人的兴趣。幻方还被数学家建议作为与“外星人”联系的特殊语言之一呢！
幻方诗情
诗歌使人巧慧，数学使人灵敏。在艺术中，与数学最接近的就是诗歌了。许多数学家认为，不能在心灵上作为一个诗人就不能成为一位数学家。九宫图是一首迷人的诗，那么四阶幻方也是一首完美的诗，一首震憾人们心灵的诗。四阶完美幻方共有三类。它所具有的幻性是十分丰富的，其分布规律，其结构关系，表现出惊人的和谐对称性，及整齐一律的美，并蕴含深奥的哲理思想。在我们的心灵中四阶完美幻方就是一首有严格韵律的四句诗，它激起了我们想象空间的升华，我们用它的数字结构进行诗歌艺术的创作，所创作成的每首诗歌，宛如新生的绿树，盛开着文学艺术和数学理趣的并蒂花。
四阶完美幻方
1．别离情
四哥探望十四姐， 七转石岭九道砭。
十五月亮一夜圆， 十二月逢六别诗十一首， 两地相望十六年。
{注解}：此诗所用数字构成一个四阶完美幻方，其四行四列及八条泛对角线所含四数之和都等于34。而且每一正方形，每一等腰梯形（如14，7，10，3）。每一平行四边形（如4，15，13，2）上的四个角，所含四数之和均为34。每一交*十字点上，画一个“X”向四边沿伸使其各有两个数字，那么每组两数之差均相等，如15-8=9-2=11-4=13-6=7，这种性质称为河图特性。
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上海市继光初级中学
陈洁
传说两千多年前，
夏禹治水时,
黄河中跃出一匹神马,马背上驮着一幅图,
人称「河图」;
又洛水河中浮出一只神龟,
龟背上有一张象征吉祥的图案，人称「洛书」。
他们发现,
这些图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的,
这就是我们现在所称的。
在西方被称为：
通过人们的研究，
现在的幻方种类许许多多…….
平方幻方双重幻方
不仅具有一般幻方的性质，而且它们（每一行、每一列及两条对角线上，下同）的平方和也等于另外的定值。
不仅具有一般幻方
的性质，而且它们的连
乘积也等于另一个定值。
将自然数排
列在多个同心圆
或多个连环圆上，
使各圆周上数字
之和相同，几条
直径上的数字和
也相同。
幻圆
六角幻方
任一条直线上的数字之和都等于同一个数。
按照国际象棋中马步走法，可以一直走到
64。
欧拉的马步幻方
别离情
②每一正方形，每一等腰梯形、每一平行四边形上的四个角，所含四数之和均为34。
③每一交*十字点上，画一个“X ”向四边沿伸使其各有两个数字，那么每组两数之差均相等①具有一般幻方的性质。
这就是完美幻方。
一首诗，一个幻方
两地相望十六年。
四哥探望十四姐，七转石岭九道砭。
十五月亮一夜圆，十二月逢六天面。
十诉别情八回怨，十三云月三重天。
五作别诗十一首，
古往今来，
对幻方的研究不仅仅局限在数学家或科学领域
德国画家阿尔布莱希特.杜勒的著作《梅伦
可利亚》
(Melencolia)
（意为“忧郁”），
当时的占星家认为四阶魔方阵可以驱除忧郁，所以他就将这个魔方阵放入作品之中。
岫玉雕刻“奥运幻方”
在北京奥运会开
幕的日子，一件精美的玉雕“2008奥运幻方图”在中国玉都岫岩问世。
中间的四阶幻方
图共16个方格，每个格中刻有一个3位数字，横行、竖行、斜行的数字之和均为2008。
同时，这16个方
格又可组成16个矩形、8个梯形、8个平行四边形，每个几何图形四个角的数字之和也都等于2008。
在陕西西安市郊出土的6阶幻方
东阳农民三年倒腾出“完美幻方”
三枚2011贺岁六阶幻方
现在，
让我们一起来研究最简单的幻方——平面和幻方
三阶幻方四阶幻方五阶幻方
六阶幻方…………n阶幻方
492 357 816
115144
12679
810115
133216
17241815
23571416
46132022
10129213
11182529
193433322 61125241431 102216171927 30182021157 29231312268 352834536
在《射雕》中郭黄二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。
瑛姑出了一道题：这就是三阶幻方了。
4 9 2
3 5 7
8 1 6
你知道黄蓉是怎么做出来的吗？数字1—9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。
这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘
奇算法》里介绍了这种方法：
③把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
①将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排②把上、下两数对调，左、右两数也对调;①
②
③④⑤
⑦⑧⑨
⑥
除了刚刚得出三阶幻方外，你还能写出其他的三阶幻方吗？
还是让我来告诉你吧！
将刚刚的三阶幻方绕中心旋转一定角度，
如：90o 、180o 等。
你得到新的三阶幻方了吗？
①②
③④⑤⑦
⑧⑨⑥
实际上，
平面幻方的构造，分为三种：
①奇数(3、5、7……）阶幻方;
②双偶数（4、8、12……4n）阶幻方;
③单偶数（6、10、14……4n+2)阶幻方.
刚刚的三阶幻方就属于奇数阶幻方了。
那么你能不能写出其他的奇数幻方呢？以五阶幻方为例，跟我一起来试试吧。
一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出格时往下填，右出格时左边放，排重便在下格填，角上出格一个样。
123
456789
101112131415
16
171819212022
232425按照口诀，剩下的就交给你吧！
这种方法叫做罗伯法，它适合编制所有的奇数阶幻方。
那，如果给你数字1—16，你能写出一个四阶幻方？
①以1-16依次作四行排列;
②打两条对角线，被对角线穿过的数字不动;③其他数字，按对角线的交点为对称中心，对称对调.
这种方法叫做对称交换法。
七阶、九阶、十一阶……已经难不到了你了你做出来了吗？1
2345
6789
10111213141516
八阶幻方怎么做？
继续用对称交换法来试试吧！把它看成是4个四阶幻方，
幻方的奥秘博大精深
那么，
为什么这么多人要研究幻方呢？研究幻方能带给人类什么价值呢？
一、幻方应用于哲理思想的研究。
易学来源于河图洛
书，而洛书就是三阶
幻方，幻方的布局规
律，构造原理蕴涵着
一种概括天地万物的
生存结构，是说明宇
宙产生和发展的数学
模型。
二、幻方应用于美术设计。
幻方能组成许多美丽而奇特的图案, 这些图案被应用于轻工业品,封面包装设计中等。
三、幻方的美学价值。
每个幻方是一个艺术佳品，它们以整齐划一，均衡对称，和谐统一的特性，迸发出耀人的数学美的光辉，具有很高的美学价值。
四、幻方的智力开发功能。
围棋盘是一个19阶方阵，象棋盘是一个八阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵)，它们的走法原理均同幻方的布局原理相关。
电脑上的“挖地雷”游戏，同九宫图密切相关。
五、幻方在数学教学中的影响。
幻方中数字把数学教
材中的各个内容联系起
来。
如方程幻方，根式
幻方，分数幻方，黑洞
数幻方等。
当今的<奥林匹克数
学>书中，幻方是一个重
要内容。
六、幻方对科学的启迪。
美国自动控制论的发
明人是通过研究中国的
“三三迷宫图”(三阶幻
方的联线图)突发奇想。
爱因斯坦的<相对论>，
运用了11个公式推算时
空相对增减元数，而河
洛数对他很有启发。
河南傅熙如运用洛书研究哥德巴赫猜想。
自动化设备控制系统自动化控制装置
幻方已应用于“建
路”，“爵当曲线”，
“七座桥”等的位置解
析学及组合解析学中。
七座桥幻方引出了拉普拉斯的导引系数和哥斯定理，格里定理，斯笃克定理，还引出了普生，布鲁汀两氏的电子方程式。
台湾电机专家吴隆生创造了64阶方阵仪可用于计算机，测量仪，通讯交换仪以及水电，火力，航空等的管制系统。
陕西省政协田健先生写成一书，正在应用幻方研究中医理论。
它就是
奇妙无比趣味无
穷
谢谢观赏！。