数学建模 天然肠衣

天然肠衣

天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

表1

为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。表2为某批次原料描述。

根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。

公司对搭配方案有以下具体要求：

(1)对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；

(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；

(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；

(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；

(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。

解：

问题分析：天然肠衣的原材料有三种规格的组装方法。设三种规格组装的成

品捆数分别为y1、y2、y3，则总根数分别为20y1、8y2、5y3，总长度分别为89y1、89y2、89y3。设第一种规格所用的原料的长度分别为x11、x12……x18，第二种规格所用的原料的长度分别为x21、x22……x214，第三种规格所用原料的长度分别为x31、x32……x320。

模型建立：

max y1+y2+y3

.

x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18>=20y1；

x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x210+x211+x212+x213+x 214>=8y2；

x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x310+x311+x312+x313+x 314+x315+x316+x317+x318+x319+x320>=5y3

3x11++4x13++5x15++6x17+>=89y1；

7x21++8x23++9x25++10x27++11x29++12x211++13x213+>=89y2；

14x31++15x33++16x35++17x37++18x39++19x311++20x313++21x315 ++22x317+++>=89y3

x11<=43 x12<=59 x13<=39 x14<=41 x15<=27 x16<=28

x17<=34 x18<=21；

x21<=24 x22<=24 x23<=20 x24<=25 x25<=21 x26<=23 x27<=21 x28<=18 x29<=31 x210<=23 x211<=22 x212<=59 x213<=18 x214<=25；

x31<=35 x32<=29 x33<=30 x34<=42 x35<=28 x36<=42 x37<=45 x38<=49 x39<=50 x310<=64 x311<=52 x312<=63 x313<=49 x314<=45 x315<=27 x316<=16 x317<=12 x318<=2 x319<=6 x320<=1

模型求解：

max y1+y2+y3

.

x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18-20y1>=0

x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x210+x211+x212+x213+x214-8y1>=0 x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x310+x311+x312+x313+x314+x315+x 316+x317+x318+x319+x320-5y3>=0

3x11++4x13++5x15++6x17+>=0

7x21++8x23++9x25++10x27++11x29++12x211++13x213+>=0,

14x31++15x33++16x35++17x37++18x39++19x311++20x313++21x315++22x317+ ++>=0

x11<=43 x12<=59 x13<=39 x14<=41 x15<=27 x16<=28 x17<=34 x18<=21 x21<=24 x22<=24 x23<=20 x24<=25 x25<=21 x26<=23 x27<=21 x28<=18 x29<=31 x210<=23 x211<=22 x212<=59 x213<=18 x214<=25

x31<=35 x32<=29 x33<=30 x34<=42 x35<=28 x36<=42 x37<=45 x38<=49 x39<=50 x310<=64 x311<=52 x312<=63 x313<=49 x314<=45

x315<=27 x316<=16 x317<=12 x318<=2 x319<=6 x320<=1

end

求解得：

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 54

OBJECTIVE FUNCTION V ALUE

1)

V ARIABLE V ALUE REDUCED COST Y1

Y2

Y3

X11

X12

X13

X14

X15

X16

X17

X18

X21

X22

X23

X24

X25

X26

X27

X28

X29

X210

X211

X212

X213

X214

X31

X32

X33

X34

X35

X36

X37

X38

X39

X310

X311