专题3-平差数学模型与最小二乘原理(实习用—概论与开始统讲)概论
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平差数学模型与最小二乘原理
第二章
平差数学模型与最小二乘原理
§ 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程， 需要建立水准网，为了确定待定点的平面 坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、 测边网、边角网），我们常把这些网称为 几何模型。每种几何模型都包含有不同的 几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边 的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
A L~
rn n1
A0
r 1
0 r 1
将 L~ L 代入，并令 W (AL A0 )
则
A W 0
上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础
的平差计算称为条件平差法。
2. 附有参数的条件平差法
在平差问题中，设观测值个数为n，必要 观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方 程，现又增设了u个独立量作为未知参数， 且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条 件方程，因此，共需列出r+u个条件方程， 以含有参数的条件方程为平差函数模型 的平差方法，称为附有参数的条件平差 法。
4. 附有限制条件的间接平差
其函数模型的一般形式为
L~ F (X~)
n1
( X~) 0
S 1
线性形式的函数模型为
测量平差概述
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据 一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定 另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接 测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充 分说明要确定一个几何模型，并不需பைடு நூலகம்知道其 中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就 可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描 述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间 的关系式称为函数模型。
平差数学模型与最小二乘原理
§ 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程， 需要建立水准网，为了确定待定点的平面 坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、 测边网、边角网），我们常把这些网称为 几何模型。每种几何模型都包含有不同的 几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边 的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
A L~
rn n1
A0
r 1
0 r 1
将 L~ L 代入，并令 W (AL A0 )
则
A W 0
上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础
的平差计算称为条件平差法。
2. 附有参数的条件平差法
在平差问题中，设观测值个数为n，必要 观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方 程，现又增设了u个独立量作为未知参数， 且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条 件方程，因此，共需列出r+u个条件方程， 以含有参数的条件方程为平差函数模型 的平差方法，称为附有参数的条件平差 法。
4. 附有限制条件的间接平差
其函数模型的一般形式为
L~ F (X~)
n1
( X~) 0
S 1
线性形式的函数模型为
测量平差概述
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据 一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定 另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接 测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充 分说明要确定一个几何模型，并不需பைடு நூலகம்知道其 中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就 可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描 述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间 的关系式称为函数模型。
第2章平差数学模型1
述
要确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的 一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种 描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。
2019/2/12
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第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
⑴如图三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两个内角的大小 就可以了
c n n 1 c u u 1 c 1
~ ~ A L B X A 0 0
1 s uu
~ CX W0
s 1
附有条件的条件平差的基本思想是： 对于一个平差问题，若增选了 u 个 ~ 参数，不论 u<t 、 u=t 或是 u>t ，也 考虑到， L L 则： 不论参数是否独立，每增加一个参 ~ A B X W 0 数则肯定相应地增加 1 个方程，故 c n n 1 c u u 1 c 1 方程的总数为 r+u 个。如果在 u 个参 ~ CX W0 数中有 s 个是不独立的，或者说在 1 s s uu 1 这u 个参数中存在着s 个函数关系式， 则应列出 s 个形如（ 2-2-20 ）的限 这就是附有条件的条件平差的函数模型 制条件方程，除此之外再列出 c=r+u-s
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概
1.几何模型 在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点 的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们 常把这些网称为几何模型。 2.几何量 每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的 高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标 等元素。这些元素都被称为几何量。 3.函数模型
测量平差 平差数学模型与最小二乘原理PPT课件
间接平差法：
L~ F ( X~)
n1
t1
ntr
第21页/共33页
• 附有参数的条件平差法：
• 附有条件的间接c平F1(差L~法, X：~) 0 n t r c r u 0 u t
nsL~11(uX~1F)
( X~) u1
0
n t r u t s, u t
第22页/共33页
• 若平差的函数是非线性的，平差之前就要进行线性化。 • 线性化的方法是应用台劳级数展开，保留一次项
•
必要元素之间函数独立
• 问题 ：
仅有必要观测能否完成测量工作？观测结果是否可靠？
• 多余观测： r=n-t
n>t
• 条件方程：
•
观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测
量平差得以实现
第11页/共33页
几何量符号表 示
•1、必要观测次数 t（个数和类型）
•2 、 实 际 观 测 次 数 n
•3、多余观测次数 r
D(ˆ1 ) D(ˆ2 ) D(ˆ ) min
第29页/共33页
• 一、参数估计及最优性质
•
数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必然是一致性估计量，
所以测量平差中参数的最佳估值要求是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，
最佳估计也称为最优线性无偏估计。
第30页/共33页
•二 、 最 小 二 乘 原 理
• 三、必要观测
• 必要观测/必要元素：唯一确定一个确定几何、物理模型 • 的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号 • 用符号t表示。
• 必要元素的特点： • （1）元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关 • （2）必要元素之间函数独立
平差数学模型与最小
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第二章 平差数学模型与最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建 立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立 平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我 们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含 有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方 位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都 被称为几何量。
r=n-t
(2-1-1)
式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为 多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学 中也叫自由度。
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既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一 的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可 以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量 都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一 定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因 此，一定也存在着r个这样的函数关系式。
从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够 唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为 必要观测元素。
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必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个 数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为 t=2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必 要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则 就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模 型有关，与实际观测量无关。
L ~ 1L ~ 2L ~ 31 8 00
(2-1-3)
~~ siSn1L~1 siSn2L~2 0
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第二章 平差数学模型与最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建 立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立 平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我 们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含 有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方 位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都 被称为几何量。
r=n-t
(2-1-1)
式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为 多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学 中也叫自由度。
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既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一 的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可 以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量 都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一 定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因 此，一定也存在着r个这样的函数关系式。
从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够 唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为 必要观测元素。
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必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个 数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为 t=2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必 要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则 就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模 型有关，与实际观测量无关。
L ~ 1L ~ 2L ~ 31 8 00
(2-1-3)
~~ siSn1L~1 siSn2L~2 0
空间误差分析平差数学模型与最小二乘原理PPT课件
• （3）独立量 一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测元 素不可能表达为其余必要观测元素的函数。这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量。
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§4-1 测量平差概述
• 5.多余观测 • 假设对模型中的几何量总共观测 n 个， n < t，无法确定模型； n = t，唯一地确定模型，但无法发现粗差 n > t，可以确定模型，还可以发现粗差
条件平差的自由度为多余观测数r，即条件 方程个数。
第22页/共77页
§4-2 函数模型
• 例1：已知点A、B高程；观测值：h1—h5
× hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
H
A
~ h3
~ h4
H
B
0
hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
h~1
~ h2
~ h3
§4-2 函数模型
h1
B X~1
A
h4
h5
h~~1 h2
X~1 X~1
HA X~2
D X~3 h2
~ h3
X~2
H
A
h3
h6
C X~2
t = 3，选3个参数
X~1 X~2
HB HC
X~3
HD
1 0
1 1
0 1
B
0
0
1 0
0 1
L~
~ h1
~ h2
L~ B X~ d
0
~ h2 ~ h5
~ h3 ~ h6
0 0
h1
~ h3
~ h4
~ h6
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§4-1 测量平差概述
• 5.多余观测 • 假设对模型中的几何量总共观测 n 个， n < t，无法确定模型； n = t，唯一地确定模型，但无法发现粗差 n > t，可以确定模型，还可以发现粗差
条件平差的自由度为多余观测数r，即条件 方程个数。
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§4-2 函数模型
• 例1：已知点A、B高程；观测值：h1—h5
× hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
H
A
~ h3
~ h4
H
B
0
hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
h~1
~ h2
~ h3
§4-2 函数模型
h1
B X~1
A
h4
h5
h~~1 h2
X~1 X~1
HA X~2
D X~3 h2
~ h3
X~2
H
A
h3
h6
C X~2
t = 3，选3个参数
X~1 X~2
HB HC
X~3
HD
1 0
1 1
0 1
B
0
0
1 0
0 1
L~
~ h1
~ h2
L~ B X~ d
0
~ h2 ~ h5
~ h3 ~ h6
0 0
h1
~ h3
~ h4
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平差数学模型与最小二乘原理
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而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而且要考虑以它的类型.由此可知, 而且要考虑以它的类型.由此可知,当某个几何模型给定 之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 只与几何模型有关,与实际观测量无关. t只与几何模型有关,与实际观测量无关. 对于任一几何模型,它的t 对于任一几何模型,它的t个必要元素之间必要不存在函 数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余( 数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余(t-1)个元素 ~ ~ 的函数.例如,对于( 中的情况, 的函数.例如,对于(1)中的情况,若以L和 L作为必要 2 ~ ~ 1 元素, 元素,则 L1 L2间无函数关系;又如在(2)情况中, 与 间无函数关系;又如在( 情况中, ~ ~ ~ ~ ~ ~ 选 L , , ,则 L+ L L =180 ,三者之间存在函数关系, + 三者之间存在函数关系, L2 L3 3 1 1 2 就不能说t=3 实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. t=3, 就不能说t=3,实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 在一个几何模型中,除了t个独立量以外, 在一个几何模型中,除了t个独立量以外,若再增加一个 则必然产生一个相应的函数关系式.仍以( 量,则必然产生一个相应的函数关系式.仍以(2)情况 ~~ ~ ~ ~ ~ 中,必要量选为 L1 L2 S1 若增加一个量L3,则存在 L+ L2 ,,, 1 ~=180 ,若再增加一个量 ~,则有 + L3 S2 ~ ~ ~ sin L2 S2 = S1 ~ 返回目录 sin L1
而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而且要考虑以它的类型.由此可知, 而且要考虑以它的类型.由此可知,当某个几何模型给定 之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 只与几何模型有关,与实际观测量无关. t只与几何模型有关,与实际观测量无关. 对于任一几何模型,它的t 对于任一几何模型,它的t个必要元素之间必要不存在函 数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余( 数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余(t-1)个元素 ~ ~ 的函数.例如,对于( 中的情况, 的函数.例如,对于(1)中的情况,若以L和 L作为必要 2 ~ ~ 1 元素, 元素,则 L1 L2间无函数关系;又如在(2)情况中, 与 间无函数关系;又如在( 情况中, ~ ~ ~ ~ ~ ~ 选 L , , ,则 L+ L L =180 ,三者之间存在函数关系, + 三者之间存在函数关系, L2 L3 3 1 1 2 就不能说t=3 实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. t=3, 就不能说t=3,实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 在一个几何模型中,除了t个独立量以外, 在一个几何模型中,除了t个独立量以外,若再增加一个 则必然产生一个相应的函数关系式.仍以( 量,则必然产生一个相应的函数关系式.仍以(2)情况 ~~ ~ ~ ~ ~ 中,必要量选为 L1 L2 S1 若增加一个量L3,则存在 L+ L2 ,,, 1 ~=180 ,若再增加一个量 ~,则有 + L3 S2 ~ ~ ~ sin L2 S2 = S1 ~ 返回目录 sin L1
1.2教案《误差理论与测量平差》第二章 平差数学模型与最小二乘原理
授课题目：第二章 平差数学模型与最小二乘原理教学方法：理论讲授 教学手段：多媒体课件教学；以电子课件为主，投影及板书相结合为辅，使学生能够充分利用课堂有效的时间了解尽可能多的相关知识。
本章教学时数：4学时内容提要：主要介绍必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念；测量平差的函数模型及两种平差的基本方程：条件方程和误差方程式；其它函数模型：附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差，以及平差的随机模型的概念及形态；平差基本方程的线性化，最小二乘原理。
教学要求：理解必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念，掌握条件方程和误差方程式含义和最小二乘原理，会进行平差基本方程--条件方程和误差方程式的线性化。
本章重点：重点掌握测量平差数学模型的类型、建立方法，平差随机模型的意义和形态，以及最小二乘原理在测量平差中的应用。
教学难点：教学难点是对平差函数与随机模型含义与建立方法的理解。
本章教学总的思路：地理空间几何图形内部存在着严格的数学关系，测绘获得的是地理空间几何图形的基本元素，如角度（或方向值）、边长、高差的最佳估值，必须满足地理空间几何图形的基本数学关系，这是建立测量平差基本方程--条件方程和误差方程式的基础，在讲清楚这一点的基础上讲解基础方程的建立，进而推开讲解附有参数的条件方程、附有限制条件误差方程模型，并说明平差的随机模型的概念。
为解算的需要必须线性化条件方程式和误差方程式，其基本方法是利用泰勒级数展开基本方程并取其至一次项，从而完成线性化；在解释天然的平差模型为什么没有唯一解的原因基础上，讲解最小二乘原理，并举例验证，以此突破本课程难点内容的教学。
最后对教学重点内容作概括性总结，使学生加深理解与认知的程度。
§1测量平差概述本节教学时数：0.5学时本节重点：（1）测量元素-—角度（方向）、长度、高差、几何图的数学关系（2）观测值个数、必要观测数、多余观测数及其作用；（3）观测值、改正数、最优改正数、最优估值，平差的概念本节教学思路：以日常生活中最常见到的简单几何图三角形为例，说明测量观测值、平差值、几何图数学关系，平差模型与平差的概念，为下一节的讲讲解作好知识铺垫。
第二章-平差数学模型与最小二乘原理2009
ˆ ⎞ d lg sin L i ⎟ ˆ = lg sin( L + v ) = lg sin L + ⎛ ⎜ vi lg sin L i i i i ⎟ ⎜ dL ˆ ˆ =L i ⎠L ⎝ i i ˆ ⎞ ⎛ d lg sin L vi′′ i ⎟ = lg sin Li + ⎜ ⎟ ⎜ dL ˆ ρ ′′ ˆ =L i ⎠L ⎝ i i
§2.1 测量平差的数学模型
在日常生活和科学研究中，时常见到很多模型，一般主要有实物的模拟模型和数学模型。测量 平差的数学模型包括：函数模型和随机模型。一个实际的平差问题，都要建立某种函数模型，函数 模型是描述观测量与未知量之间的数学关系的模型。函数模型分为线性模型和非线性模型两类，测 量平差通常是基于线性模型的，当函数模型为非线性函数时，总是将其用泰勒公式展开，并取其一 次项化为线性形式。
ˆ + l ， l = ( BX 0 + d − L ) V = Bx
其中
⎛ a1 ⎜ B = ⎜ a2 ⎜a ⎝ 3
b1 ⎞ ⎛ S01 − S1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ b2 ⎟ ， l = ⎜ S02 − S2 ⎟ ⎜S −S ⎟ b3 ⎟ ⎝ 03 3 ⎠ ⎠
这样，就把原来非线性的误差方程化为线性式。解答完毕。 在上面所举的例子中，满足条件方程的改正数 V 都有无穷多组。最小二乘条件平差，即依据条 件方程式，按 V PV = min 求出改正数及其平差值。
（2）方位角条件 1 个。 BA 边及 BC 边的方位角及边长为已知，则由 BA 边的方位角加 2 角及 5 角，应等于 BC 边的方位角。即
v 2 + v5 + w3 = 0 ， w3 = TBA + L2 + L5 − TBC
误差理论与平差基础课件 第3、4章
求函数向量 x = [ x1
x 2 ]T 的方差。
-5-
第三章 协方差传播律 三、两个函数 y ,
r ,1
r ,t
t ,1
z 的互协方差阵
⎡ 4 0 0⎤ ⎢0 2 0⎥ 例3设有观测向量L，已知其协方差阵为，D = ⎢ ⎥ 3, 3 ⎢ 0 0 3⎥ ⎣ ⎦ 求下列函数的协方差。
DYZ = FDXX K T
T DYY = FDXX F T = DYY r ×r
-4-
第三章 协方差传播律
例1已知 L1 ...L3
⎤ ⎡3 DL = ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 4⎥ ⎦ ⎣
求函数 x = 5L1 − L2 + 2 L3 − 7 的方差。
例2已知 L1 ...L3
⎡ 3 − 1 1⎤ DL = ⎢− 1 2 0⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 1 0 4⎥ ⎦ ⎣ x 2 = − L2 + 3L3 − 2 函数 x1 = 2 L1 − L2 + 5,
单位权中误差 比例因子 权为1的观测值对应的中误差
3
测量中常用的方法
（1）水准测量的权 （2）同精度观测值的算术平均值的权 （3）距离丈量的权 （4）三角高程测量的权
-15-
第三章 协方差传播律 九、协因数和协因数传播律 1 2 3 4 5
协因数 协因数阵 协因数阵的特点 互协因数阵 权阵
-16-
第三章 协方差传播律--协因数和协因数传播律
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角 线上的元素为观测值的权。
L = [ L1 ......Ln ]T
2 ⎡σ L1 ⎢ 2 ⎢σ 0 1 = 2 DL = ⎢ ... σ0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
QLL
武汉大学平差第2章平差数学模型
5.多余观测个数
假设对模型中的几何量总共观测n个，
n<t,显然无法确定模型的解；
n=t,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发 现。
n>t，
r=n-t
r称为多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学中也叫自由度。
2020/3/22 3
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
2020/先3/22看书上例子
足的 r 个关系式。
6
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
一般而言，其一般形式为
2. 附有参数的条件平差法
F(L~,X~)0
c1
如果有n个观测值
L
n
1
，必要观测个
数为t，则应列出r=n-t个条件方程。
现又增设了u个独立量作为未知参
如果条件方程是线性的，其形式为
⑵要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两 角、任意的两边一角或者是三边。
⑶要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须 知道图中15个元素中的6个不同的元素，至少要包含一个点的坐标和一条边 的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可缺少的元素，通常称其为外部配 置元素，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影 响该三角形的内部形状和大小。所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方 位角时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，这就相当于将该三角 形定位于某个局部坐标系中，实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两 点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两 个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。
平差数学模型与最小二乘原理
t0=3
一个点的坐标、一边方位角
边角三角 网
点数 ×2
t0=3
一个点的坐标、一边方位角
据起算数据情况，把控制网分为：
自由控制网：不足或仅有必要的起算数据 附和控制网：有多余的起算数据
§4-1 测量平差概述
四、计算t和r的例题
1．水准网
2.பைடு நூலகம்角网
B
B 2 C 3 4 5
3 4 C6 8 7
2
1 A
函数模型是指模型(几何、物理)中量(观测量、未知参数)的 真值(或期望值)之间的函数关系式。
函数关系式有线性非线性之分； 线性函数模型与非线性函数模型(线性化后处理)。
随机模型是指描述观测值的先验精度及其相关性的特
征。常用观测值的方差阵或协因数阵或权阵表示。
§4-3 函数模型的线性化
设有函数
设
c1
0 L L L 1 8 0 0 1 2 3 L 0 1 X
X
一般的：
1 2 3 W 0 1 X W c
一、函数模型
3.附有参数的条件平差的函数模型
在具体平差问题中,观测次数n，必要观测次数t，则 多余观测次数r,再增加u个独立参数,且 0 ＜ u ＜ t ， 则总共有r +u = c个条件方程，一般形式是：
(a)
8
5
7
6 D
1 A
D
9
(b)
五、多余观测与平差的关系
多余观测个数：r =n - t 当 n＜ t 时，不能确定平差问题的模型
n = t 时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知
n＞ t 时，有多余观测，因观测误差使观测值间产 生矛盾，使模型出现多解。 通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应 的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一最优解。
误差平差：平差数学模型与最小二乘原理
1 3 5
思考：以下是否可行？为什么？
h2 h4 h5 0 h h h 0
1 3 5
H A h3 h4 H B 0
h1 h2 h3 h4 0
二、间接平差的函数模型
1、间接平差的函数模型 观测值与待定参数的数学期望之间的函数关系式。 即：先选定t个独立参数，将每一个观测量表达成所选参数的函 数，这种函数关系式称为“观测方程”。 2、间接平差 以上述的观测方程为平差的函数模型，称为间接平差（又称 为参数平差）。
由于多余观测，将会使观测量真值之间产生一个几何或者物 理的约束方程，即函数模型； 而观测值不可避免地存在偶然误差，使得约束条件因实际存 在闭合差而并不满足； 如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到 消除闭合差的目的，这就是测量平差的主要任务！
那么，一个测量平差问题又是怎样来达到消除闭合差的目的呢？ 首先要由观测值和未知量间组成函数模型； 然后采用一定的平差原则对未知量进行估计。
则为：AL A0 0
则为：L BX d
三.附有参数的条件平差的函数模型
1、先仍然按条件平差列r个条件方程；
L1 L2 L3 1800 0
2、然后再增选一个参数，则就会增加 一个条件方程，即
L1 X 0
3、则上式可写成：
X
1 1 1 0 180 A ，B ，A0 1 0 0 1 0
建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法： 1、条件平差； 2、间接平差； 3、附有参数的条件平差； 4、附有限制条件的间接平差。
一、条件平差的函数模型
1、条件平差的函数模型 观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。 2、条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。
思考：以下是否可行？为什么？
h2 h4 h5 0 h h h 0
1 3 5
H A h3 h4 H B 0
h1 h2 h3 h4 0
二、间接平差的函数模型
1、间接平差的函数模型 观测值与待定参数的数学期望之间的函数关系式。 即：先选定t个独立参数，将每一个观测量表达成所选参数的函 数，这种函数关系式称为“观测方程”。 2、间接平差 以上述的观测方程为平差的函数模型，称为间接平差（又称 为参数平差）。
由于多余观测，将会使观测量真值之间产生一个几何或者物 理的约束方程，即函数模型； 而观测值不可避免地存在偶然误差，使得约束条件因实际存 在闭合差而并不满足； 如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到 消除闭合差的目的，这就是测量平差的主要任务！
那么，一个测量平差问题又是怎样来达到消除闭合差的目的呢？ 首先要由观测值和未知量间组成函数模型； 然后采用一定的平差原则对未知量进行估计。
则为：AL A0 0
则为：L BX d
三.附有参数的条件平差的函数模型
1、先仍然按条件平差列r个条件方程；
L1 L2 L3 1800 0
2、然后再增选一个参数，则就会增加 一个条件方程，即
L1 X 0
3、则上式可写成：
X
1 1 1 0 180 A ，B ，A0 1 0 0 1 0
建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法： 1、条件平差； 2、间接平差； 3、附有参数的条件平差； 4、附有限制条件的间接平差。
一、条件平差的函数模型
1、条件平差的函数模型 观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。 2、条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。
03 第三章 平差数学模型与最小二乘原理
测量平差讲义第三章：平差数学模型与最小二乘原理本章阐述平差的基本概念，指出：平差数学模型不同，平差方法就不同，但其解是相同的。
平差问题是由多余观测产生的，各类数学模型共同特点是方程数少于未知数个数，所以没有唯一解，只能求特定条件下的特解。
这实际上是参数估计问题。
平差采用的特定条件是最小二乘准则，以后可证明其解符合最优估值的条件。
§3-1 测量平差概述基本概念：1、几何模型：为求某些点的坐标、高程而建立的由角度、边长、高差等观测值和坐标、高程等已知值构成的水准网、导线网、三角网。
2、必要元素是能够唯一确定一个几何模型所必要的元素。
必要元素的个数用t 来表示，通常称为必要观测数。
对于一个确定的几何模型，必要观测数t 是确定的。
t 只与几何模型有关，与实际观测值无关。
例如三角形前方交会确定一个待定点坐标，必要观测数为2，可测两个角、一边一角或两边，都可唯一确定这个几何模型。
但要注意，t 个元素之间必须不存在函数关系，否则实际个数少于t 。
3、多余观测数：设对一个几何模型观测了n 个几何元素，该模型的必要观测数为t ，则：n<t 时,几何模型不能确定，即某些几何元素不能求出。
n=t 时，虽几何模型可唯一确定，但没有检核条件。
即使有错也不能发现，可靠性为零。
测量工作中一般要求必n>t ,此时称r=n-t 为多余观测数，又称自由度。
4、条件方程：一个几何模型若有多余观测值，则观测值的正确值与几何模型中的已知值之间必然产生相应的函数关系，这样的约束函数关系式在测量平差中称为条件方程。
5、闭合差：以观测值代入条件方程，由于存在观测误差，条件式将不能满足。
测量平差中将代入后所得值称为闭合差。
测量平差任务之一，所谓消除不符值，就是合理的调整观测值，对观测值加改正数，达到消除闭合差的目的。
可见消除不符值就是消除闭合差。
§3-2 测量平差的数学模型用数学关系描述几何模型的几何关系和内在联系，称为数学模型。
测量平差中最小二乘法的数学原理及简例
测量平差中最小二乘法的数学原理及简例张 宏(武汉测绘院,湖北武汉430010)摘 要:测量平差依据的准则是最小二乘法,利用多元函数积分学中的条件极值理论做为工具,可解释其数学原理。
关键词:平差;最小二乘法;条件极值中图分类号:P22 文献标识码:B 文章编号:1004—5716(2007)02—0083—02 平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生,不论采用何种平差模型,平差的最终目的都是求取观测值的最或然值,并评定其精度,由于多余观测的而产生的平差数学模型都不可能直接获得唯一解,例如:单三角测量中,分别观测了三角形的三个内角∠A 、∠B 、∠C ,而条件方程的却只有一个,即^A +^B +^C =180°,此时只有一个方程却有三个待求量,显然,有无穷多组解,而测量平差的目的,就是要在这无穷多组解中附加某种约束,找出一组最为合理的解,这种约束是采用某种准测实现的,其中最广泛采用的准则就是最小二乘原理。
所谓最小二乘原理,就是在满足∑ni =1V 2i =min 的前提下,解出观测值的估值,参照上面的例子,设^A =∠A +V a ,^B =∠B +V b ,^C =∠C +V c (式中^A 、^B 、^C 为观测值的真值,∠A 、∠B 、∠C 为观测值,V a 、V b 、V c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的改正值)那么所求出来的改正值要在满足V a +V b +V c =180-(∠A +∠B +∠C )=w 的条件下,同时又满足∑ni =1V 2i =min ,很明显,这是一个多元函数的条件极值问题,高等数学中求解条件极值的方法称为拉格朗日乘子法,其原理推导复杂,有兴趣的读者可参考相关书籍,这里只讲其应用。
平差问题形式上千变万化,公式烦琐,令人眼花缭乱,但依据最小二乘原理,实质上也只有一句话,将理论闭合差w 分成n 个数V 1,V 2……V n 之和,如何分法才能使V 21+V 22……V 2n =min 。
第四章平差数学模型与最小二乘法
图4-2
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
测量平差基础中的数学模型
~
~
写成矩阵：
y1 1 1 1 ~ y 1 ~ 2 2 Y 2 , B , X , ~ yn 1 n n
12 12 1n 2 21 2 12 D DLL 2 n1 n 2 n
其似然函数为：
G
1 (2 )
n/2
D
T 1 1 exp ( L ) D ( L L ) L 2 1/ 2
A W 0
条件的个数r=n-t <n，即方程的个数少，求解的参数多，方程多 解。其它模型同。 为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差 所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻 求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模 型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。 数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏 性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘 估计。
B X Y
~
间接平差函数模型
y
y
vi i
yi
o
2 i
2 v ( y ) min i i
i
则：V V ( B X Y ) ( B X Y ) min
T T
v1 v 令：V 2 v n
~ ~ ~
F X
~ L, X 0
x
F1 X2 F2 X2 Fn X2
~ ~ ~
F1 ~ L1 F F ~2 A ~ L1 c ,n L Fn ~ L1
平差数学模型
F F (L, X 0 ) A B~x
3.间接平差法
L~ F ( X~)
n1
L F ( X 0 ) B~x
L~ F ( X~)
n1
( X~) 0
S 1
( X~)
(X
0)
X~
X0
~x
WX ( X 0 )
B ~x l
n1 nt t1 n1
C ~x W 0
su u1 s1
l L F(X 0) B ~x l
二、五种平差模型线性化后的形式
F F ( L~, X~)
c1
n1 u1
F F (L, X 0 ) A B~x
1.条件平差
F F (L~) 0
F(L) A 0
W F(L)
2.附有参数的条件平差 F F (L~, X~) 0
c1
F F (L, X 0 ) A B~x 0
W F (L, X 0 )
L~ L 并令： l L d
加参数之间满足的s个条件方程， 以此作为平差函数模型的平差方法 称为附有条件的间接平差。
则上式可写为：
B X~ l
n1 nu u1 n1
其函数模型的一般形式为：
C X~W 0
su u1 s1
这就是附有条件的间接平差的函数模型。
其中第二式称为限制条件方程。
2020/4/12 8
T P min
V T PV min
观测值独立但不等精度时：
V T PV p1v12 p2v22 pnvn2 min
观测值同精度独立时：
V T PV
v12
v22
v
2 n
min
所谓极大似然估计，就是要在概率分布密度函数达到极大的条件下来对真误差
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Lˆ S~11
L 1
S1
, 1
S1
L~ L
, S2~2
2
S2
,
2
L~ 3 S2
L 3
3
因r=n-t=5-3=2，可组成2个条件方程为
(L11) (L2 2 ) (L3 3 ) 180 （2-1-2）
sin(L )
(S ) (S )
2
2
2
S2
1
S1
sin(L )
1
1
（2-1-3）
若用观测值组成上述两个条件方程，则不能成立，即
L1 L2 L3 180 0
S2
S1
sin L2 sin L1
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（2-1-4）
造成条件方程不闭合，或者说存在闭合差，例如 （2-1-4）式中的，就是该三角形角度条件方程的闭合差。
由于观测不可避免地存在偶然误差，当n>t时，几何模型 中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不满足， 如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达 到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数 学模型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这 种估计要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差
方法的数学模型，为以后各章系统学习各种平差理论打好
基础。最后介绍最小二乘原理，这是测量平差法所遵循的
准则。第一节Fra bibliotek测量平差概述
第二节
测量平差的数学模型
第三节
函数模型的线性化
第四节
参数估计与最小二乘原理
2-1 测量平差概述
量中+ L~，，3=则必18必要0º然量，S~2产选若生为再S~1一L~增ss1、ii个nnL~加2LL~、相~一12S~应1，个返的若量回函目增S~录2数，加关则一系有个式量。L~3，仍则以（存2在）L~情1+况L~2
由此可知，一个几何模型的独立量个数最多为t个，除 此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式， 这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
在测量工程中，最常见的是要确定某些几何量的大小。 例如，为了求定一些点的高程而建立了水准网，为了求定 某些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前者包 含点间的高差、点的高程等元素，后者包含角度、边长、 边的方位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些元素 都是几何量，以下统称这些网为几何模型。
为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元 素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其 它元素可以通过它们来确定。例如：
在测量工程中，为了求得一个几何模型中各量的大小就 必须进行观测。如果总共观测了该模型中n个量的大小， 若观测个数少于必要元素的个数，即n<t，显然它无法确定 该模型，即出现了数据不足的情况；若观测了t个独立量， n=t，则可唯一地确定该模型。由于它们都是独立量，故不 存在任何条件方程，在这种情况下，如果观测结果中含有 粗差甚至错误，都将无法发现，在测量工作中是不允许这 样做的。为了能及时发现粗差和错误，并提高测量成果的 精度，就必须使n>t，若令
的元选就不函素L~1、能数，L~说。则2、t例L~L=~31与3，如，L则，~实2间对L~际1+无于必L函~（+2要L数~13元）=关1素中8系0只的º；选情，又了况三如两，者在个若之（，以间2）而L存~1和情漏在况L~选函2作中了数为，一关必个系要。，
因此必要元素t个量为函数独立量，简称独立量。
在一个几何模型中，除了t个独立量以外，若再增加一个
r=n-t
（2-1-1）
式中n为观测值个数，t称为必要观测数，r称为多余观 测数。多余观测数在测量中又称“自由度”。
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一个几何模型如果有r个多余观测，就产生r个条件方
程。由于观测值不可避免地存在观测误差，由观测值组成
上述条件方程必不能满足，仍以（2）中情况为例，若观
测了角度L1、L2、L3和边长S1、S2，考虑观测误差，有
（1）在图2-1的△ABC中，为了确定它的形状（相似形），只
要Lˆ3等知。道它其们中都任是意同2个一内类角型的的大元小素就（行角了度，）如。L~1, L~2或L~1, L~3或Lˆ2
（2）为了确定ΔABC的形状和大小（全等形），只要知道其
中如任L~1意、的L~2、2S角~1,1S边~1、、S~22、边L~13,角S~或1、3S~边2、的S~3，大小…就，行等了等，。
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（3）在图2-2的水准网中，为 了确定A、B、C、D4点之间高
度个或它的高们h~4、相差是h~对就同5、关行一h~6 或系了类， ， 型h~1、只如的要元h~h~、21、知素h~…h6~道（3、等其高h~等中4 。3
差）。
能够唯一地确定一个几何 模型所必要的元素，简称必要 元素；必要元素的个数用t来表 示。对于上述三种情况，分别 是t=2,t=3和t=3。对于第二种情 况，3个元素中除了角度还至少 要包含一个边长，没有边长仍 然只能确定其形状；
某种特征或内在联系的模型。前者称为模拟模型，后者称 为数学模型。总称为抽象模型。
在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量或 物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学 模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同， 它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以 平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研 究任何平差方法时必须同时予以考虑。
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而无法确定其大小，因此，必要元素不仅要考虑其个数， 而且要考虑以它的类型。由此可知，当某个几何模型给定 之后，能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型， t只与几何模型有关，与实际观测量无关。
对于任一几何模型，它的t个必要元素之间必要不存在函 数关系，亦即其只任一元素不能表达成其余（t-1）个元素
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2-2 测量平差的数学模型
一、条件平差法 二、间接平差法 三、附有参数的条件平差法 四、附有限制条件的间接平差法 五、平差的随机模型
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在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型，一 般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而得 的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表或 者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的