第四章 动态系统的典范表达式
自控原理(第四章)
根轨迹方程实质上是一个向量方程，直接使用很不方 便。考虑到：
1 1e j ( 2k 1) ; k 0, 1, 2,
因此，根轨迹方程 (4-8) 可用如下两个方程描述：
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1
m
n
k 0, 1, 2,
i 1
（4-9）
和
K*
s pi s zj
j 1 i 1 m
n
（4-10）
方程 (4-9) 和 (4-10) 是根轨迹上的点应该同时满足 的两个条件；前者称为相角条件；后者叫做模值条件。 根据这两个条件，可以完全确定 s 平面上的根轨迹 和根轨迹上对应的 K* 值。应当指出，相角条件是确定 s 平面上根轨迹的充分必要条件。这就是说，绘制根轨 迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各 点的K* 值时，才使用模值条件。
3）闭环极点与开环零点、开环极点以及开环根轨迹增 益 K * 均有关。
根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、 极点的分布及开环根轨迹增益，通过图解的方法找出闭 环极点。 一旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难 确定，因为闭环零点可由式(4-6)直接得到。在已知闭环 传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反 变换的方法求出。
(s z j )
1
（4-8）
( s pi )
式中， z j 为已知的开环零点； pi 为已知的开环极点， K *从 零变到无穷大。我们把式 (4-8) 称为根轨迹方程。
根据式 (4-8)，可以画出当 K * 从零变到无穷时，系 统的连续根轨迹。应当指出，只要闭环特征方程可以化 成式(4-8)形式，都可以绘制根轨迹，其中处于变动地位 的实参数，不限定是根轨迹增益 K * ，也可以是系统其它 变化参数。
系统动态特性分析
系统动态特性分析。
（1）时域响应解析算法――部分分式展开法。
用拉氏变换法求系统的单位阶跃响应，可直接得出输出c(t)随时间t 变化的规律，对于高阶系统，输出的拉氏变换象函数为：sden num s s G s C 11)()(⋅=⋅= （21） 对函数c(s)进行部分分式展开，我们可以用num,[den,0]来表示c(s)的分子和分母。
例 15 给定系统的传递函数：2450351024247)(23423+++++++=s s s s s s s s G用以下命令对ss G )(进行部分分式展开。
>> num=[1,7,24,24] den=[1,10,35,50,24][r,p,k]=residue(num,[den,0])输出结果为r= p= k=-1.0000 -4.0000 [ ] 2.0000 -3.0000 -1.0000 -2.0000-1.0000 -1.00001.0000 0输出函数c(s)为： 0111213241)(+++-+-+++-=ss s s s s C 拉氏变换得： 12)(234+--+-=----t t t te e e et c（2）单位阶跃响应的求法：控制系统工具箱中给出了一个函数step()来直接求取线性系统的阶跃响应，如果已知传递函数为：dennums G =)( 则该函数可有以下几种调用格式：step(num,den) (22) step(num,den,t) (23)或step(G) (24)step(G,t) (25)该函数将绘制出系统在单位阶跃输入条件下的动态响应图，同时给出稳态值。
对于式23和25，t 为图像显示的时间长度，是用户指定的时间向量。
式22和24的显示时间由系统根据输出曲线的形状自行设定。
如果需要将输出结果返回到MATLAB 工作空间中，则采用以下调用格式：c=step(G) (26) 此时，屏上不会显示响应曲线，必须利用plot()命令去查看响应曲线。
孙炳达 自动控制原理第4章
D(s) Kg N(s) 0
K g1 2.74
j
K g 2 0.06
S1=-1.67 Kg1=2.74
σ
S1=-0.33 Kg1=0.06
15
7.渐近线
根轨迹沿渐近线倾角方向趋向无穷远的直线。
（1）渐近线条数：n-m条 （2）渐近线会与实轴交于一点(交点)： 坐标为（-σ，j0）
n
m
( p0 ) (z j )
去判断；系统静态性能，由“系统型号” 即开环极点的个数和放大系数值决定， 在根轨迹图中“坐标原点上的开环极点个数”，就反映了“系统型号” ；利用根轨 迹分析动态特性时，往往采用“闭环主导极点”的思想，即认为系统的性能主要 由一对“闭环主导极点” 来决定，从而利用二阶系统相关的公式去分析或综合 系统。下面通过例题说明。
1948年伊文思根据反馈系统开环和闭环传递函数之间的关系，提出了 求解特征方程根的图解方法——根轨迹法。根轨迹法是分析、设计线性定 常系统的一种图解方法。
2
第一节 根轨迹的基本概念
定义: Gk(s)的某个参数由0→∞时，系统的闭环特征根在S平 面上的变化轨迹。
例 已知系统的结构图如下图所示，请绘出K由0→∞时的根轨迹。
5
一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。但 最常用的可变参量是系统的开环传递函数Kg（也称为根轨迹增益）
Kg——常规根轨迹 Kg以外的参数——参量根轨迹 以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说， 解析法就不适用了，工程上常采用图解的方法来绘制。
6
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
i1
j 1
nm
180 (2k 1) nm
16
例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的渐近线。
自动控制原理教学课件-第4章
根轨迹与虚轴交点为 s1,2 j 2 ,求交点处的临界值 k c 及对应的第三个闭环极点
解:
n-m≥2： 3
3
由根之和 sj pj 0123
j1
j1
s 3 3 s 1 s 2 3 j2 j2 3
即闭环第三个特征根为-3 开环有零值极点： 由根之积得 (s1)(s2)(s3)kcb0
121
p3
通信技术研究所
23
该系统的起始角终止角及根轨迹如图所示
Root Locus 3
2
1
Imaginary Axis
0
-1
-2
-3
-5
-4.5 -4
-3.5 -3
-2.5 -2
-1.5 -1
-0.5
0
Real Axis
通信技术研究所
24
8、根轨迹和虚轴的交点： 根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环
1 k
j1
相角条件（充要条件）：
m
n
(s zi) (s p j) (2 h 1 ),h 0 , 1 , 2 ...
i 1
j 1
其中 (s： zi)为从开环 zi到 有 s点 的 限向 零量 点角
(spj)为从开p环 j到 s的 极向 点量角 在测量相角时规定以逆时针方向为正。
通信技术研究所
p2
通信技术研究所
14
5、根轨迹的会合点和分离点
若根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为
分离点或会合点。
k
b
k k0 k0 z p2 ap1
GK(s)
k(s+5) (s1)(s4)
如图所示某系统的根轨迹，由
开环极点 p1, p2 出发的两支
动态分析计算公式
动态分析计算公式动态分析计算公式是一种用于估计或预测系统行为的方法。
它通过建立数学模型，使用不同的变量和参数，来描述系统在不同条件下的响应和动态行为。
这些模型可以用于分析和优化各种系统和过程，如控制系统、物理系统和经济系统等。
在动态分析计算公式中，通常使用微分方程或差分方程来描述系统的行为。
这些方程可以通过实验数据或系统特性来确定参数和变量的数学关系。
根据问题的具体情况，可以采用不同的建模技术和数学工具，如线性系统分析、非线性系统分析、离散事件系统分析等。
以下是一些常用的动态分析计算公式：1.一阶线性系统的动态响应公式：通常使用微分方程来描述一阶线性系统的动态响应，其一般形式为：dy/dt + a*y = b*u其中，y表示系统的输出，u表示系统的输入，a和b是系统的参数，t表示时间。
2.二阶线性系统的动态响应公式：二阶线性系统的动态响应可以由二阶微分方程来描述，其一般形式为：d^2y/dt^2 + a1*dy/dt + a0*y = b*u其中，y表示系统的输出，u表示系统的输入，a0、a1和b是系统的参数，t表示时间。
3.离散事件系统的状态转移公式：对于离散事件系统，其状态转移可以由差分方程来描述，其一般形式为：x(k+1)=f(x(k),u(k))其中，x(k)表示系统在第k个时刻的状态，u(k)表示系统在第k个时刻的输入，f是系统的状态转移函数。
4.控制系统的传递函数：控制系统的传递函数是描述系统输入与输出之间关系的重要工具，其一般形式为：G(s)=Y(s)/U(s)其中，G(s)是系统的传递函数，Y(s)和U(s)分别是系统的输出和输入的拉普拉斯变换。
5.系统的频域响应公式：系统的频域响应可以通过系统的传递函数和输入信号的频谱进行计算，其一般形式为：Y(w) = G(jw) * U(w)其中，Y(w)和U(w)分别是系统的输出和输入的频谱，G(jw)是系统的传递函数的频域表达式。
以上仅仅是动态分析计算公式的一些常见例子，实际应用中还会根据具体问题和系统特性进行调整和扩展。
动态系统的建模和求解
动态系统的建模和求解动态系统是指随着时间变化而变化的系统。
建模和求解动态系统是一种重要的技术，可以用于预测系统的行为、优化系统的性能以及设计控制策略。
本文将介绍动态系统的建模方法和求解技术。
一、动态系统的建模方法建模是将实际系统抽象成数学模型的过程。
对于动态系统，建模的关键是描述系统的演化规律。
以下是常用的动态系统建模方法：1. 微分方程建模微分方程是描述动态系统中变量之间关系的数学工具。
通过将系统的演化规律表示为微分方程，可以求解系统的状态随时间的变化。
常见的微分方程建模方法包括基于物理定律的建模、经验模型的建模以及系统辨识方法等。
2. 差分方程建模差分方程是离散时间下描述动态系统的数学工具。
对于一些离散事件系统或者时间步长较大的系统，差分方程建模是一种有效的方法。
例如，递推关系式和迭代算法都可以表示为差分方程。
3. 状态空间建模状态空间是描述动态系统状态演化的一种数学工具。
状态空间模型可以将系统的状态表示为一组状态变量，并通过状态方程和输出方程描述状态变量之间的关系。
状态空间建模方法适用于多变量系统和控制系统设计。
二、动态系统的求解技术求解动态系统的目的是获得系统状态随时间的解析解或数值解。
以下是常见的动态系统求解技术：1. 解析解法对于一些简单的动态系统，可以通过解析方法求解其解析解。
例如，利用微分方程的性质，可以通过积分的方法求解一阶线性微分方程。
2. 数值解法对于一般的动态系统，往往难以得到解析解。
数值解法通过将系统的演化过程离散化，将微分方程或差分方程转化为差分方程或代数方程组，并通过数值算法逼近其解。
常见的数值解法包括龙格-库塔方法、欧拉法、变步长法等。
3. 仿真方法仿真方法可以通过计算机模拟系统的演化过程，以获取系统的状态随时间的信息。
使用数值积分方法，可以模拟连续时间系统的演化；使用离散事件模拟方法，可以模拟离散时间系统的演化。
三、应用案例动态系统的建模和求解技术在各个领域都有广泛应用。
电力系统自动装置原理-第04章_同步发电机励磁自动控制系统的动态特性(1-2)
• 分离角和汇合角恒等于90。
29
根轨迹的渐近线
• 若开环有限极点数n >开环有限零点数m，则将有 nm条根轨迹分支沿着渐近线伸向无穷远处。渐近
线与实轴的交点和交角分别为：
交点
n
m
pj zi
a j1
i1 (n m)
交角 = (2k+1) /(nm) ( k = 0, 1, 2, nm1 )
第四章 同步发电机励磁自动控制系统的动态特性
1
第1节 概述
一、同步发电机励磁自动控制系统动态特性应满足 的基本要求
二、同步发电机励磁自动控制系统的动态特性指标
2
动态特性应满足的基本要求
①控制系统应能稳定运行（自身空载和带载情况下稳 定运行、对电力系统的稳定运行具有积极作用或负 面影响较弱不致影响电力系统的稳定运行）；
②动态特性要良好。
3
动态特性指标
①励磁电压响应比：励磁电压在最初0.5秒内上升的平均速率。
②由励磁电压响应曲线定义的指标：发电机空载、额定转速条 件下，突然加入励磁使发电机端电压从零升至额定值时的时间
响应曲线的上升时间（tr）、超调量（p）和调整时间（ts）可
以作为动态特性指标 。
上升时间（tr）：由稳态值的10%上升到90%（或5%至95%或 0%至100%）的时间 。通常，对欠阻尼二阶系统，取0%至 100%；对过阻尼二阶系统， 取10%至90% 。
19
第3节 励磁自动控制系统的稳定性
一、概念回顾 二、励磁控制系统空载稳定性分析 三、励磁控制系统空载稳定性的改善
20
概念回顾
1．基本概念 ①控制理论分类 ②古典控制论的分析方法 ③根轨迹的定义 ④根轨迹的求取方法 2．根轨迹的直接作法（设以开环放大倍数K为参变量） 作图规则包括：
动态控制原理范文
动态控制原理范文动态控制原理是一种用于描述动态系统行为的原理。
动态系统是指随时间变化的系统，例如，机械系统、电气系统、化学反应系统等。
动态控制原理主要包括了动态系统建模、传递函数、频域分析、稳定性分析、性能指标和控制器设计等方面。
动态系统建模是研究动态系统行为的第一步。
它通过对系统的输入和输出之间的关系进行数学建模，以描述系统的动态特性。
常用的建模方法有物理模型、状态空间模型和传递函数模型等。
物理模型是根据系统的物理特性，通过运动方程或能量守恒等原理，建立系统的微分方程。
状态空间模型是将系统的状态量表示为一组状态变量，通过矩阵形式的状态方程描述系统的动态行为。
传递函数模型是通过输入输出的关系，用复频域函数表示系统的行为。
传递函数是描述动态系统输入输出关系的一种重要工具。
它通过对系统的输入信号和输出信号之间的关系进行数学表达，反映系统对输入的处理过程。
传递函数通常采用Laplace变换来表示系统的动态特性。
传递函数包含了系统的极点和零点，可以通过分析传递函数的性质来了解系统的稳定性、阻尼特性、动态响应速度等信息。
使用传递函数可以方便地进行频域分析和控制器设计。
频域分析是动态控制原理中的一个重要方法。
它通过将系统的输入和输出信号进行频谱分析，研究系统对不同频率的输入信号的响应特性。
常见的频域分析方法有傅里叶变换、拉普拉斯变换、频率响应函数等。
频域分析包括幅频特性分析、相频特性分析和极坐标表示等，可以用来描述系统的幅频特性、相频特性和稳定边界等特性。
稳定性分析是动态控制原理中一个重要的研究方向。
稳定性分析主要研究系统是否具有稳定性、渐进稳定性以及稳定边界等特性。
常用的稳定性分析方法有根轨迹法、Nyquist稳定判据、频率响应法等。
稳定性分析可以用来确定系统的稳定域，以及给出设计控制器的参数范围。
性能指标是评价控制系统质量的标准。
常见的性能指标包括超调量、响应时间、稳定精度、系统增益等。
这些指标可以反映系统的控制性能，用于对比不同控制器的优劣，并进行系统设计和调优。
现代控制理论 4 控制系统的稳定性分析
4
对于零初始条件的定常系统，设初始时刻
响应矩阵为 ，传递函数矩阵为 W t
，单位脉冲 t0 0
的每一个元素
，则系统为 BIBO W ( s ) 稳定的
充分必要条件为，存在一个有限常数k，使 满足
wij (t ) (i 1,2,...q, j 1,2,...p)
函数
0
wij (t ) dt k
2） V ( x )是负定的。
则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着
x ，
&
有 V ( x ) ，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
说明：判据1是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没
找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。
23
判据2：设系统的状态方程为 x & f ( x)
临 界 稳 定
S平面 不 Re 稳 定 区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的 根全部位于s平面的左半部。
14
[例4-6] 设系统方程为： x & 0
- 2 6 + - x u, 1 1 1
3
4.1 动态系统的外部稳定性
有界输入，有界输出稳定性定义： 对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定 a 的有限常数 及一个标量 ，使得对于任意的 ， k t t0 , ut 当系统的输入 满足 时，所产生的输出 满 u(t ) k y(t ) ak 足 ,则称该因果系统是外部稳定的，也就是有 yt 界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。
第四章 控制系统的稳定性分析
系统工程第四章 系统仿真及SD方法精品课件
3.模型特点
（1）多变量 （2）定性分析与定量分析相结合 （3）以仿真实验为基本手段和以计算机为工 具 （4）可处理高阶次、多回路、非线性的时变 复杂系统问题
2018/6/10
23
系统动力学一个突出的优点在于它能处理高阶 次、非线性、多重反馈复杂时变系统的问题。 高阶次：系统阶数在四阶或五阶以上者称为高阶次系 统。典 型的社会一经济系统的系统动力学模型阶 数则约在十至数百之间。如美国国家模型的阶数在 两百以通常存在一个或一个以 上起主导作用的回路，称为主回路。主回路的性质 主要地决定了系统内部反馈结构的性质及其相应的 系统动态行为的特性，
2018/6/10 8
3、系统仿真的作用
(1)仿真的过程也是实验的过程，而且还 是系统地收集和积累信息的过程。尤其是 对一些复杂的随机问题，应用仿真技术是 提供所需信息的唯一令人满意的方法。 (2)对一些难以建立物理模型和数学模型 的对象系统，可通过仿真模型来顺利地解 决预测、分析和评价等系统问题。
2018/6/10
3
要一块曲奇饼，充饥
饥饿的小老鼠
吃饼口渴，要一杯牛奶
耗尽全力，口干舌燥
精神抖擞，翻箱倒柜
吃饱喝足，要剪刀和刷子打扮自己
2018/6/10 4
思考
1、在这个故事里，发生了什么？ 2、试举一个类似的例子，说明一件事影响另一件事，另一 件事又影响其他事，最后你转了一圈，又返回到开始的地 方。 3、用一个故事或画一幅画，讲述因果回路。
因果回路图(CLD): 表示系统反馈结构的重要工具， 因果图包含多个变量，变量之间由 + 标出因果关系的箭头所连接。变量 是由因果链所联系，因果链由箭头 所表示。 斟水速率 因果链极性：每条因果链都具有极性， + 或者为正(+)或者为负 （-）。极 性是指当箭尾端变量变化时，箭头 端变量会如何变化。极性为正是指 两个变量的变化趋势相同，极性为 负指两个变量的变化趋势相反。
微分方程解析动态系统的关键
微分方程解析动态系统的关键微分方程是数学中重要的一部分，在各个领域都有广泛的应用。
解析动态系统的关键是通过求解微分方程来研究系统的演化过程。
一、微分方程的定义和基本概念微分方程是描述变量之间关系的方程，涉及到未知函数的导数或微分形式。
一般形式可以表示为：dy/dx = F(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，F(x, y)是已知函数。
微分方程的解表示未知函数y随自变量x变化的规律。
二、动态系统的描述动态系统是由若干相互作用的对象组成的系统，在时间上产生演化和变化。
通过微分方程来描述动态系统可以提供系统的演化规律和行为特征。
三、解析解的求解方法1. 可分离变量法：当微分方程可以分离出自变量和未知函数的变量时，可以通过分离变量并进行积分得到解析解。
2. 一阶线性微分方程法：一阶线性微分方程具有形式dy/dx + P(x)y = Q(x)，可以通过利用线性代数中的常微分方程的解析解形式来求解。
3. 多项式系数法：对于一些具有多项式系数的微分方程，可以通过尝试给出某一特定形式的解来化简微分方程，从而获得解析解。
4. 变换法和微分变换法：通过变换或使用微分变换如拉普拉斯变换、傅里叶变换等方法，可以将微分方程转化为常微分方程或代数方程，进而求解解析解。
四、解析解的优势和局限性1. 解析解能够给出系统行为的精确描述，从中可以分析系统稳定性、周期性等性质。
2. 解析解能够提供系统行为的显式表达式，方便定量计算和进一步的数学推导。
3. 解析解在一些简单系统或者特殊情况下相对容易求得。
4. 但是，在许多情况下，微分方程很难求得解析解，需要借助数值计算和数值模拟方法。
五、数值解的求解方法如果无法获得微分方程的解析解，可以通过数值计算的方法来求得近似解。
常见的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法、变步长方法等。
六、微分方程解析动态系统的应用微分方程解析方法在众多科学和工程领域都有广泛的应用，例如：1. 物理学：描述物体的运动规律、电磁场和电路的行为等。
系统动力学与动态系统描述-因果关系图
因果关系图
• 因果关系图也称系统循环图。它以系统动力学原理 为基础，从系统要素之间的简单因果关系出发，建 立因果链、因果回路，形成的要素之间相互制约的 图表。
• 理解：
– 实际问题往往是很复杂的，不能用一个简单的因果链或因 果回路来描述，而是一系列因果链和因果回路的组合。反 映实际问题的因果链和因果回路的组合称为因果关系图。
传染病蔓延问题(1)
传染病蔓延问题(1)
传染病蔓延问题(2)
IP1 ：潜伏期患者人数 GR1：发病人数
传染病蔓延问题(2)
捕食者与被捕食者
因果关系图画法小节
1. 考虑直接关系
2. 把变量设想成可以“增”或“减”的变量，暂 时不必考虑是否能实现或如何度量
单位GDP能耗 + SO2发生量（实现） 环境质量 + 生活舒适（度量）
– 因果关系图可以帮助我们划分系统的边界；
– 利用因果关系图分析问题，易于实现实际决策者与系统分 析人员之间的沟通和对话。
因果链
• 因果链构成： 原因
结果
• 正因果链： A • 负因果链： A
S＋B O－ B
因果回路
• 正反馈因果回路和负反馈因果回路：
确定因果关系的规则
• 把变量设想成可以“增加”和“减少”量，暂时不必关心 是否可能实现、量纲、度量和变化时间等；
• 在确定两者之间关系时，要假定其它要素不变； • 要注意互为因果、一因多果、多因一果等情况。
出生人口
＋
＋
总人口
施肥 光照
＋
＋产量
投资
＋消费 ＋资产
因果关系图举例
• 人口问题 • 库存问题 • 传染病蔓延问题 • 捕食者与被捕食者问题
系统动力学与动态系统描述-方程
系统动力学与动态系统描述-方程系统动力学与动态系统描述李旭教授复旦大学管理学院从库存系统开始认识SD方程对右图的库存系统考虑：–库存是如何变化的？–如何进行订货决策？–如何用数学方法描述？库存变化规律：销售量的描述：决策过程描述：辅助计算描述：方程及其理解SD方程的概念：–SD方程是在流图基础上对系统要素之间的关系定量描述的一组数学关系式；–SD方程是从一组已知的初始状态开始确定下一组状态的递推关系式；–SD方程中要有一个恰当的时间间隔，以完成方程的递推；SD方程的理解：–SD方程的实质是微分方程组，由于规模和非线性等原因不能求得解析解，所以只能求其数值解。
即差分化处理后仿真；–按照上述规则递推就可以得到各个变量随时间变化的曲线。
即系统的变化过程。
SD方程的种类?水平方程(L)速率方程(R)辅助方程(A)常量方程(C)初值方程(N)SD方程中的时间描述为了完成递推计算，需要首先明确三个基本时间参数：时点、区间、差分步长。
时间参数的描述：–K：现在时刻；–J：前一个时刻；–L：下一个时刻；–JK：时刻J和K之间的区间；–KL：时刻K和L之间的区间；–DT：差分步长。
水平方程（L）反映系统状态随时间的变化，是变化对时间的积累。
因此具有固定的形式：SD中采用差分方程的形式：L 方程的理解对水平方程的理解：–水平方程是一个一阶差分方程，具有固定的表现形式；–水平方程是一个有记忆的量，方程中一定有其前一时刻的状态值；–水平方程是将决策变成行动，即将速率变量转换成水平量的方程，因此方程中一定含有速率量；–水平方程是变化对时间的积累，因此方程中一定含有DT，并且DT 只能出现在水平方程中。
速率方程（R）观测状态偏差行动→R 目标状态方程原理：–系统变化的自然规律。
例如，人口的死亡。
–人们控制系统的主观愿望。
例如，订货决策。
?一般形式：R 方程的理解速率方程的实质是自然规律或决策策略，由这些规律或决策策略改变系统的状态；速率方程最终是水平变量和常量的函数，但为了更好地描述决策过程或表达清楚，速率方程中经常包括辅助变量；速率方程中不出现具有积分意义的差分步长DT。
动态系统的非线性控制研究
动态系统的非线性控制研究在当今科技飞速发展的时代，动态系统的非线性控制成为了一个备受关注的研究领域。
从航空航天到工业生产，从生物医学到通信网络，非线性控制系统无处不在，其性能和稳定性直接影响着相关领域的发展和进步。
要理解动态系统的非线性控制，首先得明白什么是动态系统。
简单来说，动态系统就是其状态会随时间变化的系统。
比如一辆行驶中的汽车，它的速度、位置、加速度等都会随时间而改变，这就是一个典型的动态系统。
而当这些变化不遵循简单的线性规律时，我们就称其为非线性动态系统。
非线性动态系统具有许多复杂的特性，这使得对它们的控制变得极具挑战性。
与线性系统相比，非线性系统可能表现出多稳态、混沌、分岔等现象。
这些现象不仅增加了系统行为的复杂性，也给控制带来了巨大的困难。
在非线性控制中，一个关键的问题是如何建立准确的数学模型。
由于非线性系统的复杂性，往往很难得到一个精确的、通用的数学表达式来描述其行为。
因此，研究人员通常需要采用近似、简化的方法来建立模型，同时还要考虑模型的不确定性和外界干扰的影响。
为了应对这些挑战，研究人员提出了各种各样的非线性控制方法。
其中，反馈线性化是一种常见的方法。
它的基本思想是通过巧妙的坐标变换和状态反馈，将非线性系统转化为线性系统，然后利用成熟的线性控制理论进行设计。
不过，这种方法在实际应用中可能会受到一些限制，比如对系统模型的精度要求较高，而且对于某些强非线性系统可能无法完全实现线性化。
另一种重要的方法是滑模控制。
滑模控制具有对系统参数变化和外部干扰不敏感的优点，能够在一定程度上克服系统的不确定性。
然而，滑模控制也存在一些问题，比如控制输入的抖振现象，这可能会导致系统的磨损和性能下降。
自适应控制也是非线性控制中的一个重要手段。
自适应控制能够根据系统的运行情况实时调整控制器的参数，以适应系统的变化。
但自适应控制的算法通常比较复杂，计算量较大，在实际应用中需要考虑实时性和计算资源的限制。
动态决策系统 数学公式
动态决策系统数学公式
动态决策系统通常涉及到一系列随时间变化的决策，这些决策通常基于当前的状态和历史决策。
在数学上，动态决策系统可以用状态方程、决策函数和性能指标来描述。
1. 状态方程：描述系统状态如何随时间变化。
它通常是一个微分方程或差分方程。
例如，考虑一个简单的动态系统，其状态变化可以由以下一阶微分方程描述：
```scss
dx/dt = f(x, u)
```
其中 `x` 是状态，`u` 是控制输入，`f` 是状态方程。
2. 决策函数：描述在给定状态下应采取的行动。
这通常是一个映射，将当前状态映射到可能的控制输入。
例如，假设有两个可能的控制输入 `u1` 和 `u2`，那么决策函数可能是：
```css
u(t) = u1 if condition1;
u(t) = u2 if condition2;
```
3. 性能指标：用于评估决策质量的标准。
这可以是任何可以度量的量，如总成本、总时间、总误差等。
例如，考虑一个简单的性能指标：
```scss
J = int (x^2 + u^2) dt
```
这个性能指标表示在整个时间区间上的总成本，其中 `x^2` 是状态成本的度量，`u^2` 是控制成本的度量。
动态决策系统的目标是找到一个决策函数，该函数在给定初始状态和性能指标的条件下，能够使性能指标达到最优。
这通常涉及到求解一个优化问题，可以使用动态规划、最优控制等方法来解决。
第四章 动态系统的典范表达式
❖ 为了简化表示，引入单位延时算子 z1 ，其定义为
z 1 y(k) y(k 1)
❖ 设多项式
a(z 1 ) 1 a1z 1 an z n b(z 1 ) b0 b1z 1 bn z n
❖ 则方程式（1）或（2）可表示为
a(z 1 ) y(k) b(z 1 )u(k)
❖ 上式就是系统辨识中经常采用的基本方程。 ❖ 需要辨识的参数数目为： N 2n 1
2）多输入－多输出系统
❖ 设系统有r个输入和m个输出，定义向量
u1 (k) u(k) u2 (k)
y1 (k)
y(k
)
y2
(k
)
ur (k)
y
r
(k
)
❖ 分别为系统的输入和输出向量，则系统可用差分
方程表示
n
n
y(k) Ai y(k i) Biu(k i)
i 1
i 1
❖ 式中：Ai 为 m m 矩阵，Bi 为 m r 矩阵。
1、线性系统的差分方程
❖ 1）单输入－单输出系统
❖ 可用下列n阶差分方程表示
y(k) a1 y(k 1) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) bnu(k n)
❖ 或写成
n
n
y(k) ai y(k i) bi y(k i)
i 1
i 1
❖ 式中：tk 表示第k个时刻；ai (i 1,2, , n) 和 bi (i 1,2, , n) 都是常系数。
（7）
❖ 称为自回归滑动平均（ARMA）模型 ❖ 假设上式中 A(z 1) 1则有
y(k) C(z 1 ) (k)
❖ 称为滑动平均（MA）模型。 ❖ 假设（7）中，C(z 1) 1 ，则有
动态系统
系统定义
系统定义
按确定性规律随时间演化的系统，又称动力学系统。动态系统理论来源于经典力学。美国数学家G.D.伯克霍 夫发展了法国数学家H.庞加莱在天体力学和微分方程定性理论方面的研究，奠定了动力学系统理论的基础。
其特点是: ①系统的状态变量是时间函数,即其状态变量随时间而变化。 ②系统状况由其状态变量随时间变化的信息来来描述。 ③状态变量的持续性。
系统应用
系统应用
现代控制理论的发展促进了对动态系统的研究，使它的应用从经典力学扩大到一般意义下的系统。
演化规律用微分方程描述的动态系统称为微分动力系统。例如：
凧 =F(x，t)
式中x为状态变量矢量，t为时间，F为确定性矢量函数。对微分动力系统的研究从理论上揭示了系统的许多 基本性质。如对系统吸引子的研究说明了系统终态，即定常状态的种类（见 非平衡态）。又如对系统稳定性条 件的研究和相空间拓扑结构对参量依赖关系的研究都对系统的设计具有重要指导意义。
不用微分方程描述的动态系统模型中最简单的是映射，一般用差分方程或迭代方程表示：
x(t+1)=F【x(t)】 t=0,1,2,…
式中x为状态变量矢量,F为确定性矢量函数,t为离散时间变量。关于用映射描述的动态系统的理论比较困难， 其进展远不如微分动力系统。对于一维映射系统，系统的终态既可能是平衡态，也可能是非平衡态。对于二维和 二维以上的映射，现代研究大多采用数值方法，在理论上存在很大困难，还很少有能广泛应用于工程实践的一般 性理论成果。
系统特征
系统特征
动态系统的首要特征就是该系统由多种变量或参数构成，这些变量相互，并处在恒动之中。动态系统可以是 城市的交通系统或森林的生态系统，也可以是一个言语社区。同时，二语学习者自身可视为一个动态系统，包括 认知环境、社会环境以及社会政治环境、客观物质环境等。的系统
动态系统中的稳定性定理
动态系统中的稳定性定理动态系统是指一类与时间有关的系统，在这个系统中，状态随时间的变化而变化。
动态系统包括生态系统、天气系统、交通系统、经济系统等，这些系统都是动态系统的实例。
在动态系统研究中，稳定性定理是一个重要的定理，它可以模拟稳定状态和动态状态的变化。
一、什么是动态系统动态系统是一个随时间变化的系统，它可以在不同时间点呈现出不同的状态。
因此，动态系统的研究重点在于研究系统状态与时间之间的关系，研究系统如何演化和变化以及系统演化所产生的规律性和不规律性。
动态系统的研究涉及许多领域，包括物理学、生物学、经济学、社会学等。
比如，天气系统就是一个典型的动态系统，它的状态随着时间的推移而变化，由此降雨、气温、风力的变化产生各种天气现象。
二、什么是稳定性在动态系统中，稳定性是一个重要的指标。
它是指系统在时间变化过程中，其状态是否会回到原来的状态。
如果系统在经过一段时间的演化后能回到和原来一样的状态，那么这个系统就是稳定的。
反之，则是不稳定的。
稳定性可以分为静态稳定和动态稳定。
静态稳定一般指系统在没有外力作用时，它的状态不会发生改变；而动态稳定则是指系统在经过一段时间的演化后，它的状态会回到一个稳定的状态，这个状态会随着时间的变化而变化。
三、动态系统中的稳定性定理在动态系统研究中，稳定性定理是一个极为重要的定理。
它可以判断一个系统是否稳定，并且可以预测系统的演化趋势。
稳定性定理包括很多不同的定理，如Lyapunov稳定性定理、LaSalle稳定性定理、Poincare-Bendixson定理等等。
这些定理都是动态系统稳定性理论的重要组成部分，每个定理都有其独特的应用背景和特点。
以Lyapunov稳定性定理为例，它是指判断一个系统是否稳定的一种方法，该定理的核心思想是引入一个Lyapunov函数。
如果这个函数在系统状态的某个附近单调减少且不等于0，则该状态是稳定的；如果函数在系统状态的某个附近单调增加，则该状态是不稳定的。
系统的状态空间模型
第一章 系统的状态空间模型习题1一网络系统如图所示，设Uc 和L I 为状态变量。
试求系统的状态方程。
习题2已知系统的状态空间表达式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21321.3.2.1101110200040014u u x x x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21321300001Y Y x x x Y 试绘出系统的状态空间图。
习题3如图系统的状态结构图，x1,x2,x3为状态变量，u, y 为输入输出。
第二章 状态方程的解习题1已知系统的A 阵为：① ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡032100010 ②⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡072100030 试求At e 。
习题2F= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5610 G=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11 试求系统当u （k ）=3的解。
第三章 能控性和能观性习题1能控且能观的两个系统1S ，2S ： 1S ：11111.u b x A x +=， 111x c y = 其中，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=43101A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101b ，[]121=c ，2S ：22222.u b x A x +=，222x c y = 12-=A ，12=b ，12=c① 试求对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21x x x 的状态方程。
② 考察图中系统得能控性及能观性。
③ 求关于1S ，2S 这两个子系统得传递函数，并验证②。
习题2直流电动机系统如下：RL① 以w 为输出时的状态能控性及输出能观性；② 以转角θ为输出时系统的能观性。
第四章 动态系统的确定性分析习题1⎪⎩⎪⎨⎧--==2.31.22.1x x x x x 试确定e x 的稳定性。
习题2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21.2.1211x x K x x试用李雅普诺夫理论求系统稳定时K 的取值范围 第五章 极点配置与观测器设计习题1试为下面系统设计一个全阶观测器，使闭环极点配置在-4和-5上。
数学中的动态系统理论
数学中的动态系统理论数学中的动态系统理论是一门涉及到时空过程中随着时间变化而变化的对象的学科。
动态系统理论研究的对象不仅仅是物理系统，也不仅仅局限于一些特殊的数学模型。
实际上，任何一个随着时间演化的系统都可以成为动态系统，例如人口增长、气象变化、股市波动等等。
1. 动态系统的定义和分类动态系统可以在数学上进行定义，本质上是一个由状态空间和演化规律两部分组成的系统。
状态空间指的是一些量化的状态，在时空中被假设存在，而演化规律指的是随着时间的推移，系统从一个状态转化为另一个状态的数学规律。
根据这个定义，动态系统可以被分类为离散动态系统和连续动态系统两类。
离散动态系统中，状态空间中的状态只能够被预先规定好的一些离散值所表示，演化规律是一个递推方程，表示现在的状态如何转化为下一个状态；而在连续动态系统中，则是使用微积分的方法将时间连续化，状态空间中的状态可以被表示为连续的实数，演化规律则是一个微分方程，表示一个微小的时间段内状态如何变化。
2. 动态系统的混沌现象在动态系统的演化规律中，稍有不同的初值可能会导致系统最终的演化轨迹完全不同。
这就是动态系统的混沌现象。
混沌现象的产生是由于系统的微小的初始差异被放大，随着时间的推移而逐渐放大。
混沌现象被认为是一种随机现象，其本质上是由于高度复杂的系统产生的结果。
混沌现象已经在很多领域具有重要的应用，例如在天气预报中可以利用混沌现象来研究复杂的气象系统，从而提高天气预报的准确率。
3. 动态系统的应用动态系统理论已经成为数学中的重要分支之一，有着广泛的应用。
其应用领域涉及到自然科学、社会科学以及工程学等众多领域。
在物理学中，动态系统理论被用来探究太阳系的运行、原子分子的运动以及材料的物理学特性等。
在生物学中，动态系统理论能够帮助研究细胞的生命周期以及群体行为等。
在经济领域中，动态系统理论可以被用来描绘市场的波动以及公司的生命周期等。
此外，在过程控制、弹性体力学以及机器人技术等方面，动态系统理论也有着广泛的应用。
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2、状态空间模型
❖ 考虑一个单输入－单输出线性定常系统，用如下高 阶微分方程描述：
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
❖ 为便于讨论，引入微分算子符号 p d / dt，则上式可 表示为
y
bm p m bm1 p m1 b1 p b0 p n an1 p n1 a1 p a0
y b0 x1 b1 x2 bm xm1
❖ 令 x x1, x2 , , xn
❖ 则有
0
.
x
0
a0
1
a1
0
1
x
u 0
an1
1
y b0 , ,bm ,0, ,0x
❖ 则系统的状态空间方程为
.
x
Ax
Bu
y Cx Du
❖ 将上式离散化，则有线性定常确定性离散系统的 状态方程：
❖ 此处AR表示自回归部分（Autoregressive）,即模 型中 A(z 1) y(k) ；MA表示滑动平均部分（Moving Average），模型中 C(z1) (k) ；x表示外界输入， 即 B(z 1)u(k)
❖ 假设 u(k) 0 则有
A(z 1 ) y(k) C(z 1 ) (k)
1、线性系统的差分方程
❖ 1）单输入－单输出系统
❖ 可用下列n阶差分方程表示
y(k) a1 y(k 1) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) bnu(k n)
❖ 或写成
n
n
y(k) ai y(k i) bi y(k i)
i 1
i 1
❖ 式中：tk 表示第k个时刻；ai (i 1,2, , n) 和 bi (i 1,2, , n) 都是常系数。
❖ 采用典范差分方程，需要辨识的参数数目将比上述 数目少得多。
3）随机模型
❖ 设 { (k)} 是白噪声序列，则下述随机差分方程称 为外源自回归滑动平均（ARMAX）模型
A(z 1 ) y(k) B(z 1 )u(k) C(z 1 ) (k)
❖ 式中
A(z 1 ) a0 a1 z 1 an z n B(z 1 ) b0 b1 z 1 bn z n C(z 1 ) c0 c1z 1 cn z n
❖ 系统需要辨识的参数数目为
N n2 nr mn mr (n m)(n r)
3、确定性典范状态方程
❖ 主要有可控型典范状态方程和可观测型状态方程。
❖ 对于单输入－单输出系统来说，非典范状态方程
的参数可达
个，而典范状态方程的参数仅
为2n个。 n2 2n
第四章 动态系统的典范表达式
❖ 经典控制理论中常用的模型有：传递函数和差分方 程。
❖ 待估参数
❖ 待估结构参数
❖ 根据节省原理，可辨识的模型结构中，未知参数较 少的模型结构将有较高的模型精度。
❖ 同时，未知参数越少，进行参数估计时运算就越简 单。
❖ 典范状态方程和典范差分方程。
❖ 优点：可用较少的或最少的参数数目表征系统的动 态特性。
u
❖ 假设 m n
❖ 将上式改写为
~
y
pn
1 an1 p n1 a1 p a0
u
y
bm p m bm1 p m1 b1 p b0
~
y
❖ 或将其表示为如下形式
~ (n)
~ (n1)
~ (1)
~
y an1 y a1 y a0 y u
y
bm
~ (n)
y bm1
x(k 1) Ax(k) Bu(k) y(k) Cx(k) Du (k)
❖ 式中：x(k) 为n维状态向量，u(k)为r 维输入向量或控 制向量；y(k)为m维输出向量或观测向量；A为 n n 系统矩阵，B为 n r 输入矩阵；C为 m n 输出矩 阵；D为 m r 输入－输出矩阵。
❖ 为了简化表示，引入单位延时算子 z1 ，其定义为
z 1 y(k) y(k 1)
❖ 设多项式
a(z 1 ) 1 a1z 1 an z n b(z 1 ) b0 b1z 1 bn z n
❖ 则方程式（1）或（2）可表示为
a(z 1 ) y(k) b(z 1 )u(k)
❖ 上式就是系统辨识中经常采用的基本方程。 ❖ 需要辨识的参数数目为： N 2n 1
（7）
❖ 称为自回归滑动平均（ARMA）模型 ❖ 假设上式中 A(z 1) 1则有
y(k) C(z 1 ) (k)
❖ 称为滑动平均（MA）模型。 ❖ 假设（7）中，C(z 1) 1 ，则有
A(z 1 ) y(k) (k)
❖ 称为自回归（AR）模型。
❖ 对于计算机控制系统，由于经常存在随机干扰， 所以ARMAX是最基本的数学模型。
2）多输入－多输出系统
❖ 设系统有r个输入和m个输出，定义向量
u1 (k) u(k) u2 (k)
y1 (k) y(k)来自y2(k)
ur (k)
y
r
(k
)
❖ 分别为系统的输入和输出向量，则系统可用差分
方程表示
n
n
y(k) Ai y(k i) Biu(k i)
i 1
i 1
❖ 式中：Ai 为 m m 矩阵，Bi 为 m r 矩阵。
❖ 引入单位时延算子 z1 ，则上式可表示为
A(z 1 ) y(k) B(z 1 )u(k)
❖ 式中
A(z 1 ) I A1z 1 An z n B(z 1 ) B B1z 1 Bn z n
❖ 需要辨识的参数数目为
N n m m (n 1) m r nm2 (n 1)mr
~ (m1)
y
b1
~ (1)
y b0
~
y
❖ 选取状态变量为
~
~ (1)
~ (n1)
x1 y, x2 y , , xn y
❖ 于是，由此可得到
.
~ (1)
x1 y x2
.
~ (2)
x2 y
x3
.
~ (n1)
x
n
1
y
xn
.
x
n
a0 x1 a1 x2
an1 xn
u
❖和