《一元二次方程的根与系数的关系》示范公开课教学PPT课件【北师大版九年级数学上册】

解：由原方程可得a=1，b= 2 3，c = -1．
∴b2-4ac= (2 3)2 -4×1×(-1)=12+4=16．
∴x (2 3) 16 2 3 4 ．
21
2
∴x1 3 2 ，x2 3 2 ．
∴x1 x2 3 2 3 2 2 3，
x1x2 ( 3 2)( 3 2) 1．
5 ．已知方程x2-5x-6=0的根是x1和x2，求下列式子的值
（1）x12 x22 x1x2
；（2） x1 x2
x2 x1
．
五、课堂练习
解：由一元二次方程根与系数的关系知： x1+x2=5，x1x2 = - 6．
（1）原式= x12 x22 2x1x2 x1x2 (x1 x2 )2 x1x2 52 (6) 31；
（2）原式=
ห้องสมุดไป่ตู้
x12 x22 x1x2
(x1 x2 )2 2x1x2 x1x2
52 2 (6) 37．
6
6
六、课堂小结
本节课我们学习了一元二次方程根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，
那么x1+x2= b a
，x1x2=
c． a
再见
两根之积等于常数项除以二次项系数．
三、探究新知
猜想：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立．
证明：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当b2-4ac≥0时有两根：
x1 b
b2 4ac 2a
，
b x2
b2 4ac ． 2a
∴两根之和
x1+x2=b b2 4ac b b2 4ac 2b b ；
2
2．已知m，n是方程x2+ 2 2x +1=0的两根，则代数式 m2 n2 3mn
的值为（C ）．
A．9
B．±3
C．3
D．5
五、课堂练习
3．若关于x的一元二次方程x2+(m2-9)x+m-1=0的两个实数根互为 相反数，则m的值是____-3______．
4．设a，b是方程x2+x-2015=0的两个不相等的实数根，则 a2+2a+b的值为____2_0_1_4__．
三、探究新知
（3）方程两边同除以2，得 x2 3 x 1 0． 22
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
3 4
2
1 2
0
，即
x
3 4
2
1 ．∴ 16
x
3 4
1 4
．∴x1=1，x2=
1 2
．
∴
3 x1 x2 2
， x1 x2
1 2
．
每个方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根分别是x1，x2，
那么x1+x2=
3 2
，x1x2=-1．
五、课堂练习
1．已知x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且
x1+x2=3，x1x2=1，则a，b的值分别是（D ）．
A．a=-3，b=1 Ca．= 3 ，b=-1
2
B．a=3，b=1 D．a= 3 ，b=1
每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？ 对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？你能证明 你的猜想吗？
三、探究新知
（1） x2-2x+1=0 解：原方程可化为(x-1)2=0． 解得x1=x2=1． ∴x1+x2=2，x1x2=1．
三、探究新知
（2） x2 2 3x 1 0
2a
2a
2a a
三、探究新知
两根之积x1·x2=
b
b2 4ac 2a
b
b2 2a
4ac
(b)2
( b2 4a2
4ac )2
b2
b2 4ac 4a2
c．
a
结论：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，
那么x1+x2=
b a
，x1x2=
c． a
四、典例精析
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0．
解：（1）这里a=1，b=7，c=6． Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25＞0，
∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根分别是x1，x2， 那么x1+x2=-7，x1x2=6．
四、典例精析
（2）2x2-3x-2=0． 解：这里a=2，b=-3，c=-2．
Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=9+16=25＞0，
二、复习引入
由求根公式我们很容易发现一元二次方程的根完全由它的系数 a，b，c确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此之外， 一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？
三、探究新知
做一做 解下列方程：
（1）x2-2x+1=0； （2）x2 2 3x 1 0 ；
（3）2x2-3x+1=0．
北师大版·统编教材九年级数学上册
第二章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的根与系数 的关系
一、学习目标
1．了解一元二次方程根与系数的关系． 2．利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
二、复习引入
我们前面学过了用公式法解一元二次方程，请同学们回忆一下 一元二次方程的求根公式是什么？
答：一元二次方程的求根公式是 x b b2 4ac (b2-4ac≥0)． 2a