随机信号分析与应用第一章

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随机信号分析与处理习题解答罗鹏飞.pdf

故有
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n ， 0 < p < 1
求 X 的均值和方差。解法一：直接按照定义计算
n
n
∑ ∑ E( X ) = mP{X = m} = mCnm pm (1− p)n−m
m=0
m=0
∑n
=m
n!
pm (1− p)n−m
第 1 章随机变量基础
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
fY|X ( y | x) =
f (x, y) f X (x)
，
f X |Y
(x
|
y)
=
f (x, y) fY (y)
y x+Δx
∫ ∫ f (x, y)dxdy
提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx) = −∞ x
02
⋅
P{ X i
=
0}
=
p
，
D(Xi )
=
E
(
X
2 i
)
−
E2(Xi)
=
p
−
p2
=
p(1 −
p)
n

随机信号分析第一章随机信号基础2

y
o
(x,y)
x
利用分布函数，对任意实数 x1 x 2 , y1 y2 则
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
y o
( x1, y2 ) ( x1, y1)
F ( x ) f ( t )dt

x
F(x)
=

0
x0
0 x 1
x
tdt tdt
0 1
x
0
1
(2 t )dt
1 x 2
x2
1
即
x0 0, x2 , 0 x 1 2 F ( x) x2 2x 1 , 1 x 2 2 1, x2
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量 .
二维随机变量用（X，Y）表示下面着重讨论二维 r.v(X，Y),多维随机变量可类推。
二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数
一维随机变量X X的分布函数
F ( x ) P( X x )
F ( x , y) P ( X x , Y y) x, y
4．F ( x , y ) F ( x 0 , y ), F ( x , y ) F ( x , y 0 );
即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。
5．对任意实数 x1 x2 , y1 y2
，有
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0.

随机信号与分析课后答案王琳DOC

第一章随机过程基础本章要点概率论、随机变量、极限定理等等是随机信号分析与处理应用的理论基础。

本章主要内容：概率,随机变量及其概率分布,随机变量函数的分布，随机变量的数字特征，特征函数等概念。

基本内容一、概率论 1、古典概型用A 表示所观察的随机现象（事件），在A 中含有的样本点（基本事件）数为A n ，则定义事件A 出现的概率()P A 为 ()An P A n=（1-1）2、几何概型用A 表示所观察的随机现象（事件），它的度量大小为()L A ,则规定事件A 出现的概率()P A 为 ()()()E L A P A L S =（1-2）3、统计概率对n 次重复随机试验C E ，事件A 在这n 次试验中出现的次数()n f A 称为频数。

用事件A 发生的频数()n f A 与试验次数n 的比值()n F A 称为频率()()()n n f A P A F A n≈=（1-3）4、概率空间对随机试验E ，试验的各种可能结果（称基本事件、样本点）构成样本空间E S （也称基本事件空间），在样本空间中的一个样本点或若干个样本点之适当集合称为事件域A （A 中的每一个集合称为事件）。

若事件A ∈A ，则()P A 就是事件A 的概率。

并称{},,E S P A 为一个概率空间，而样本空间E S ，事件域A，概率P 是构成概率空间的三个要素。

二、随机变量1、随机变量的概念设已知一个概率空间(),,E S P A ，对E s S ∈，()X s 是一个取实数值的单值函数，则对任意实数1x ，()1X s x ≤是一个随机事件，且(){}1:s X s x ≤∈A，则称()X s 为随机变量。

显然，随机变量()X s 总是联系着一个概率空间，这将使对随机事件的研究转化为对随机变量的研究。

为了方便，此后若无特别需要将随机变量()X s 简记为X 。

2、随机变量的概率密度函数定义随机变量X 的累积概率分布函数为()()F x P X x =≤而把它的导数定义为随机变量X 的概率密度函数。

随机信号分析与处理第一讲

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
27
对数正态分布概率密度
高分辨率雷达杂波分布
27
1.4多维随机变量及其分布
•二维分布函数设（X，Y）为二维随机变量，x，y为实数，定义
F ( x, y) P{ X x, Y y}
为二维随机变量的的分布函数。
y
( x, y )
随机信号分析与处理
张文明
国防科技大学电子科学与工程学院
1
1
2
张文明，博士，综合信息系统研究所副教授。主要研究方向为雷达数据处理、电子系统仿真。办公室：实验大楼308 电话：73491－602
2
1、课程学习的必要性
从课程研究的对象分析根据信号的取值是否确定，可以将信号分为确定信号和随机信号。
•定义 X(e)的随机性在e中体现，对应不同的e， X(e)的取值不同
•设离散型随机变量X的所有可能取值为xk (k 1,...,n) ，其概率为
P( X xk ) pk
X pk
19
(k 1,2,....,n)
x2
p2
... ...
x1
p1
xn
pn
离散随机变量概率分布
19
•(0,1)分布随机变量的可能取值为0和1两个值，其概率分布为
10
12
瑞利分布概率密度＝2
25
指数分布（Exponential）
e x， x 0 f ( x) 0， x 0
1.5
1
0.5
0 0
1
2
3

随机信号分析第一章

的理论与方法，必然是“张冠李戴”
t
无法得到正确的处理结果。
14
随着科学技术的进步，人们越来越发现，在自然界中所遇到的大量信号均属于随机信号。如：
（1）－自由电子随机游动，在电阻上产生的“热噪声”。（2）－某交叉路口每天24小时测量的噪音的分贝记录。（3）－证卷交易所中，某股票每周涨落的记录。（4）－反映人的生理、心理活动的“脑电波”。 (5)－反映地球物理特性的“地震信号”。 (6)－人说话时发出的“语音信号”。（7）－雷达自动跟踪到的某飞行器的“运动轨迹”。 (8)－雷达接收到的目标信号的“幅度与相位”。
7
分析确定信号所用的数学工具有：微富积氏分变、换线、性拉代氏数变、换复、变等函等数
分析随机信号所用的数学工具有：随机概过率程论理论

上述的所有
数学工具

概率论研究的对象－－随机变量 X
随机过程理论研究的对象－－随机过程 X (t)
8
（一）课程的特点、地位、作用和任务：
20
教材及主要参考书
教材：随机信号分析基础（第4版）王永德王军（编著）
电子工业出版社
参考教材：
李晓峰,周宁等编著随机信号分析(第4版) 电子工业出版社
随机信号分析赵淑清郑薇（编著）哈尔滨工业大学出版社
随机信号处理陆光华彭学愚西安电子科技大学出版社
21
参考书籍
李晓峰,周宁等编著,随机信号分析(第4版)，电子工业出版社
29
30
1.1 概率的基本概念
定义(概率的统计定义) ：
在一定条件下,重复做 N 次实验, NA为 N 次实验中
事A发生的次数,如果随着
N
逐渐增大,频率

精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第1章

第一章随机变量基础
第一章随机变量基础
1.1 概率基本术语 1.2 随机变量及其分布 1.3 随机变量函数及其分布 1.4 随机变量及其函数的数字特征 1.5 高斯随机变量
第一章随机变量基础
第一章随机变量基础
1.1.1 概率空间 1. 随机现象有两个主要特点： ① 个别试验的不确定性；
② 大量试验结果的统计规律性。概率论和数理统计是描述和研究随机现象统计规律性的数学学科，它们研究大量随机现象内在的统计规律、建立随机现象的物理模型并预测随机现象将要产生的结果。
第一章随机变量基础
下面对一维实随机变量做简要说明。 (1) 样本ξk是样本空间上的点，所对应的实数xk是某个实数集R1上的点。因此，一维实随机变量X(ξ)就是从原样本空间Ω到新空间R1的一种映射，如图1-5所示。 (2) 随机变量X(ξ)总是对应一定的概率空间(Ω, F, P)。为了书写简便，没有特殊要求时不必每次写出随机变量X(ξ) 的概率空间(Ω, F, P)。 (3) 随机变量X(ξ)是关于ξ的单值实函数，简写为X。本书规定用大写英文字母X, Y, Z, …表示随机变量，用相应的小写字母x, y, z， …表示随机变量的可能取值，用 R1表示一维实随机变量的值域。简单地说，随机变量实际上就是样本空间为一维实数域 R1其子集的概率空间。
推广到多个事件，设A1, A2, …，AN为同一样本空间上的一组事件，若对任意的M(2≤M≤N)及任意M 个互不相同的
整数i1, i2, …， iM, 满足
P( Ai1 Ai2 AiM ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( AiM )
(1-10)
第一章随机变量基础
3.
若事件A1, A2, …，AN两两互斥(互不相容)，即i j ，

随机信号分析第一章2010

F XY ( x , y ) FY ( y | x ) = FX ( x ) p XY ( x , y ) pY ( y | x ) = p X ( x)
n维随机变量及其分布维随机变量及其分布
定义 n维随机变量 ( X 维随机变量
1
, X
2
,L , X
n
)
的n维（联合）分布函数为维联合）分布函数为
+∞ −∞
p(x) ≥ 0
性质2 概率密度函数在整个取值区间积分为1 性质2：概率密度函数在整个取值区间积分为1，即
∫
p ( x ) dx = 1
x2 x1
性质3：概率密度函数在(x 区间积分，性质：概率密度函数在(x1,x2)区间积分，得到该区间的取值概率
P { x1 < X ≤ x 2 } =
1.1随机变量的概念 § 1.1随机变量的概念
抛硬币：可能出现正面或反面；例1 抛硬币：可能出现正面或反面；从一批产品中任取10件例2 从一批产品中任取件，抽到的废品数可能是0,1,2,…,10中的一的废品数可能是中的一个数；个数；掷色子：可能出现1,2,3,4,5,6点例3 掷色子：可能出现点
F XY ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y }
(x,y)的二维联合概率密度，简称为二维概率密度的二维联合概率密度，简称为二维概率密度二维概率密度: 的二维联合概率密度
p XY
性质1：性质：
∂ F XY ( x , y ) ( x, y) = ∂x∂y
2
二维概率密度具有以下性质：二维概率密度具有以下性质：
F ( x1 , x 2 ,L , x n ) = P{ X

随机信号分析与处理

函数 g(x) 的图像如下
解法一：根据概率分布函数的定义计算。
当 y ≤ 0 时， FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{X < x0} + P{X > x1} = P{X < x0}+1− P{X < x1} = F (x0 ) +1− F (x1)
当 y ≤ A 时， FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{x0 < X < x1} = FX (x1) − FX (x0 )
f X1X 2 (x1 , x2 ) J
=
y1
y
2 2
f X1X 2 ( y1 , y1 / y2 )
∫ ∫ fY2 ( y2 ) =
+∞
−∞ fY1Y2 ( y1 , y2 )dy1 =
+∞ y1 y −∞ 2
2
f X1X 2 ( y1 , y1 / y2 )dy1
在上式中令 u = y1 / y2 , 则
（2） Y1 = X 1 X 2
设
Y1 = X 1
Y2 = X 1 / X 2
对应的反函数关系为
x1 = y1 x2 = y1 / y2
∂x1
J
=
∂(x1, x2 ) ∂( y1, y2 )
=
∂y1 ∂x2
∂y1
∂x1
∂y2 ∂x2
1 =
1/ y2
∂y2
0
−
y1
/
y
2 2
= − y1
y
2 2
fY1Y2 ( y1 , y2 ) =
所以 Y 的概率分布函数为
FY ( y) = [1− FX (x1) + FX (x0 )]U ( y) + [FX (x1) − FX (x0 )]U ( y − A)

随机信号分析与处理第一讲

随机信号分析与处理第一讲目录一、内容概述 (2)1. 课程介绍与背景 (2)2. 课程内容及结构介绍 (3)二、随机信号概述 (4)1. 随机信号定义与分类 (5)2. 随机信号的基本特性 (5)三、随机过程基础 (7)1. 随机过程的概念与分类 (8)2. 随机过程的数学描述方法 (9)3. 概率分布与统计特征 (10)四、随机信号分析方法和工具 (11)1. 随机信号的统计特性分析方法 (12)2. 随机信号的信号处理工具介绍 (13)3. 频谱分析与信号处理工具箱的应用 (14)五、随机信号处理基础 (15)1. 随机信号处理概述 (16)2. 信号滤波与平滑处理 (18)3. 信号检测与估计理论 (20)六、应用实例与案例分析 (21)1. 通信系统中的随机信号处理应用实例 (22)2. 图像处理中的随机信号处理案例分析 (23)3. 控制系统中的随机信号处理案例分析 (24)七、课程展望与复习要点 (25)一、内容概述随机信号分析与处理是通信、电子、信息等工程领域中不可或缺的核心理论基础。

本课程将带领同学们系统地探索随机信号的生成原理、特性分析方法以及处理技术。

从基础的随机过程概念入手，逐步深入到信号的分解、估计与滤波，最终实现信号的重建与识别。

通过本讲的学习，同学们将能够掌握随机信号分析与处理的基本框架和思路，为后续的专业学习和工作实践奠定坚实的基础。

1. 课程介绍与背景随着信息技术的迅猛发展，信号处理作为通信、电子、计算机等学科的核心基础，其在现代科学实验和工程技术中的应用日益广泛。

而随机信号作为信号处理领域的一个重要分支，其分析方法与处理技术对于揭示信号的内在规律、提高信号处理性能具有重要意义。

本门课程《随机信号分析与处理》旨在系统介绍随机信号的基本理论、分析方法以及处理技术。

课程内容涵盖了随机信号的建模、统计特性分析、功率谱估计、滤波器设计、信号分解与重构等多个方面。

通过本课程的学习，学生将能够掌握随机信号处理的基本原理和方法，为在通信、雷达、声纳、生物医学工程等领域中的应用打下坚实基础。

随机信号分析第一章概率论1

由于事件、事件的关系及运算与集合、集合的关系及运算是相当的，故根据集合的运算性质可以推得事件的运算性质如下：（1）交换律: A∪B=B∪A ， AB=BA ；（2）结合律： (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ， (AB)C=A(BC) ；（3）分配律: (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) ， (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) ；（4）对偶原理： (AB)c=Ac∪Bc， (A∪B)c=Ac∩Bc ；即 AB A B , A B A B.

（b）试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先已知的；（c）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但究竟出现哪一个结果，试验之前是不能确切预言的

人们将满足上述（a）、（ b ）、（ c ）三个条件的试验，称为随机试验，简称为试验，以字母E来表示.
随机试验的每一个可能的结果称为基本事件，也称作样本点，用字母e表示. • 随机试验E的全体基本事件所构成的集合，称为E的的样本空间，记为Ω. 例将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这也是个随机试验. 故样本空间 S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.

i

用语言表述为：事件和的对立事件等于对立事件的积，事件积的对立事件等于对立事件的和.

例在检查某种圆柱形零件时，要求它的长度和直径都必须合格. 设A、B、C分别表示事件“直径合格”，“长度合格”，“产品合格”，则

(a)C⊂A,C⊂B； (b) Cc,Bc,Ac分别表示“产品不合格”，“长度不合格”，“直径不合格”； (c) C=A∩B； (d) Cc=Ac∪Bc； (e) C=A−Bc.

随机信号分析-1 随机过程(1)

X(ξ , t) 是随机过程的一个样本
X(ξ , t) 是一个随机变量 X(ξ , t) 是一个确定值
14
随机过程的定义
随机过程判断举例例1.1 随机初相正弦波X(t)=A cos(ω0t+Φ )， A和ω0是正常数， Φ服从[0, 2π]上的均匀分布。判断其是否为随机过程. 从定义1的角度考虑： Φ是随机变量，每次观测其取值是随机的，从而得到不同的样本函数，且该函数是时间函数；从定义2的角度考虑，固定t时，X(t)是随机变量Φ的函数，也
18
随机过程的概率分布
根据定义2，对随机过程采样，可得多维随机变量。在满足一定采样间隔要求下，随机过程的统计特性可由该多维随机变量的统计特性反映；因此可将概率论中对随机变量的概率统计特性的研究方法推广到随机过程的研究中。随机过程的一维概率分布定义3 设{X(t), t ∈T }是随机过程，对任意固定t1∈T 和实数x1 ∈R，称Fx (x1 ; t1)=P {X(t1) ≤ x1} 为该过程的一维分布函数；若Fx
f X x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn
1
2
n 2
1 ' 1 exp X C X 1 2 2 C
C是协方差矩阵，X=(x1 , x2 , …, xn）
24
随机过程的数字特征
有限维概率密度函数族可完全确定随机过程的全部统计特性，但有时得到该函数族相当困难，甚至不可能幸运的是，很多时候只需要掌握随机过程的几个统计值即可；这些统计值即为随机过程的数字特征，有数学期望、均方值、方差、相关函数等。数字特征既能描述随机过程的重要特性，又便于实际测量；对随机过程的数字特征的计算方法，是先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算。

随机信号分析pdf第一章

x
−∞
⎧ ( x − m) 2 ⎫ 1 exp ⎨− ⎬ dx 2σ 2 ⎭ 2πσ ⎩
（1.3.16）
标准正态分布函数通常用Φ(x)表示，即
Φ ( x) = ∫
2 均匀分布
x
−∞
⎧ x2 ⎫ 1 exp ⎨− ⎬ dx 2π ⎩ 2⎭
（1.3.17）
如果随机变量 X 的概率密度函数为
⎧ 1 ⎪ f ( x) = ⎨ b − a ⎪ ⎩ 0
x≥0 x<0
其中 a、b 为常数，则称 X 服从韦伯分布，参数 a 称为尺度参数，b 称为形状参数，雷达的地杂波的幅度特性通常可以用韦伯分布来描述，概率密度曲线如图 1.3(e)所示。 6 对数正态分布如果随机变量 X 的概率密度为
⎧ 1 ⎧ ln 2 ( x / m) ⎫ exp ⎨− ⎪ ⎬ f ( x) = ⎨ x 2πσ 2σ2 ⎭ ⎩ ⎪ 0 ⎩
∫
x2
x1
f ( x)dx ，这说明随机变量 X 落在区间 ( x1 , x 2 ] 上的
概率等于图 1.2 中阴影区的面积。从这条性质我们也可以看出，对于连续型随机变量，有
P( X = x) = 0
f ( x)
0
x1
x2
x
图 1.2 随机变量 X 落在区间 ( x1 , x 2 ) 上的概率对于离散型随机变量，由于它的概率分布函数是阶梯型，那么它的概率密度函数是一串 δ 函数之和， δ 函数出现在随机变量的取值点，强度为取该值的概率。即
(1.3.15)
2
其中 m、σ为常数，则称 X 服从正态分布，正态分布通常也简记为 N (m, σ ) 。均值为 0，方差为 1 的正态分布 N (0,1) 称为标准正态分布。正态分布随机变量的概率密度是一个高斯曲线，所以又称为高斯随机变量，概率密度曲线如图 1.3(a)所示。正态分布函数，

随机信号分析第一章

02
随机信号的统计描
述
概率密度函数
定义
概率密度函数（PDF）是描述随机信号在各个时刻取值概率分布的函数。
性质
概率密度函数具有非负性、归一化性质，即概率密度函数在全域上的积分等于1。
计算方法
可以通过直方图法、核密度估计法等方法计算概率密度函数。
概率分布函数
定义
概率分布函数（CDF）是描述随机信号取值小于或等于某个值的概率的函数。
随机信号的特性
统计特性
随机信号的统计特性包括均值、方差、概率分布等，这些特性描述了信号的平均行为和不确定性。
时间特性
随机信号的时间特性包括自相关函数、互相关函数、功率谱密度等，这些特性描述了信号在不同时间点的相关性以及频率成分。
随机信号的应用
通信
在通信领域，随机信号可用于扩频通信、无线通信等领域，以提高通信的抗干扰能力和保密性。
05
随机信号的采样定
理
采样定理的内容
采样定理定义
对于一个时间连续的模拟信号，如果以不高于其最高频率分量的频率进行采样，则可以无失真地恢复原始信号。
采样定理的数学表达式
如果信号的最高频率为Fmax，则采样频率应不小于2Fmax。
采样定理的意义
采样定理是数字信号处理的基础，它确保了从离散样本中能够准确重建原始信号。
雷达与声呐
在雷达与声呐领域，随机信号可用于目标检测、测距、定位等方面，以提高探测的精度和可靠性。
地球物理学
在地球物理学领域，随机信号可用于地震勘探、矿产资源探测等方面，以揭示地球内部结构和物质分布。
金融与经济
在金融与经济领域，随机信号可用于股票价格分析、市场预测等方面，以揭示市场动态和经济发展趋势。

《随机信号分析与处理》教学大纲

《随机信号分析与处理》教学大纲（执笔人：罗鹏飞教授学院：电子科学与工程学院）课程编号：070504209英文名称：Random Signal Analysis and Processing预修课程：概率论与数理统计、信号与系统、数字信号处理学时安排：60学时，其中讲授54学时，实践6学时学分：3一、课程概述（一）课程性质地位本课程是电子工程、通信工程专业的一门学科基础课程。

该课程系统地介绍随机信号的基本概念、随机信号的统计特性分析方法以及随机信号通过系统的分析方法；介绍信号检测、估计、滤波等信号处理理论的基本原理和信息提取方法。

其目的是使学生通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理的基本概念、基本原理和基本方法，培养学生运用随机信号分析与处理的理论解决工程实际问题的能力，提高综合素质，为后续课程的学习打下必要的理论基础。

本课程是电子信息技术核心理论基础。

电子信息系统中的关键技术是信息获取、信息传输、信息处理，这些技术的理论基础就是随机信号的分析、检测、估计、滤波等理论，这正是本课程的主要内容。

因此，本课程内容是电子信息类应用型人才知识结构中不可或缺的必备知识。

二、课程目标（一）知识与技能通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理基本概念和基本分析方法。

内容包括：1.理解和掌握随机过程基本概念和统计描述；2.掌握随机过程通过线性和非线性系统分析方法3.理解和掌握典型随机过程的特点及分析方法；4.掌握参数估计的概念、规则和性能分析方法；5.掌握信号检测的概念、规则和性能分析方法；6.掌握高斯白噪声中最佳检测器的结构和性能分析。

通过本课程的学习，要达到的能力目标是：1.具有正确地理解、阐述、解释生活中的随机现象的能力，即培养统计思维能力；2.运用概率、统计的数学方法和计算机方法分析和处理随机信号的能力；3.初步具备雷达、通信、导航等技术领域的信号处理系统的分析、设计、仿真的科学研究能力；4.培养自主学习能力；5.培养技术交流能力（包括论文写作和口头表达）；6.培养协作学习的能力；（二）过程与方法依托“理论、实践、第二课堂”三个基本教学平台，通过课堂教学、概念测试、课堂研讨、案例研究、作业、实验、课程论文、网络教学等多种教学形式，采用研究型、案例式、互动研讨、基于团队学习、基于MATLAB的教学以及基于多媒体的教学等多种教学方法和手段，使学生加深对随机信号分析与处理的基本概念、基本原理以及应用的理解，并使学生通过自主学习、小组作业、案例研究、实验、课题论文等主动学习形式，培养自学能力和协同学习的能力，使学生不仅获得知识、综合素质得到提高。

随机信号分析与应用第一章答案

随机信号分析与应⽤第⼀章答案随即信号分析与应⽤习题答案马⽂平李冰冰⽥红⼼朱晓明第⼀章1.1(1)答：(2)答：T 连续⽽E 离散，从⽽此过程为离散型随即过程。

(3)答：由于样本函数未来得值不能由过去的情况准确的预测，从⽽此过程为不确定随机过程。

1.2答：已知A~N(0,1),B~N(0,1)且A 、B 相互独⽴。

故2222121212121(,)()*())exp()2222AB A B x x x x f x x f x f x π+==--=- 1112()Bt ()Bt X t A X t A =+??=+? ? [X(1t ),X(2t )]是（A ，B ）的线性变换∴[X(1t ),X(2t )]服从⼆维正太分布11X 21(X)exp()22T X K X f K π-=-,其中K = 11122122K K K K ??⽽ 222(){[()()]}1x t E X t E x t δ=-=+1t 1t K K ?=+??=+??且1221121K K t t ==+ 最后将k 代⼊1121()exp()22T x X K X f x K π-=-即可得到答案。

1.4(1)答：该过程式确定性随机过程(2)答：X(t)的分布函数为0 x<10.6 1 x<2F ()0.9 2 x<31 3 xX t ??≤?=?≤??≤?∴X(t)的⼀维概率密度函数为X ()0.6(1)0.3f t t δδδ=-+（x-2）+0.1(x-3)1.6答：22212122211222222221212121222E[X(t)] = E[A +B ]()()47R (,)[()()][(A +B )(A +B )][],16.1B B B X t t tE A t E B t t t t E X t X t E t t t t E A t t ABt t ABt t B t t A B A =+=+===+++= 2互不相关E()=D(A)+[E(A)]E()=D()+[E()2222X 1212121212121122121222121224()51.1282851(,)[(()())()()] (,)()() 0.12(,)0.12X x x X x x X t X R t t t t t t t t t t K t t E X t m t X t m t R t t m t m t t t t t K t t t t δ=∴+++=--=-=+==+2]（，）=161.7答：''2'22()[()][()][]2[()][()][()]3dX t dE X t E X t E t212()()[()][cos3] cos31()[()][()]1[()]1cos3sin33()(,)[()()][]cos3cos3xtytxtXY tm t E X t E V t tm t E Y t E X d tE m dtR t t E X t X t E V t tλλλλλλ==========的均值：的相关函数：1212121212120012001212121212cos3cos3 (,)[()()]12cos3cos32sin3sin39()(,)(,)(Yt tt tY Y Yt tR t t E Y t Y tE X U X V dudv t tu vdudvt tt tt tY tK t t R t t m t======-的协⽅差：2121212121212Y2)()2sin3sin3sin3sin399sin3sin39()sin3()(,)9YYm tt t t tt t t tt tt tY ttt K t ttδ=-===的⽅差:1.9 答：12121211111122[()][()]0(,)(,)()()[()] [()()][()]cos [()]sin 0(,)[()()]{[()cos ()sin ][()cos (Z Z E A t E B t t t t t R m t E Z t E X t Y t E A t t E B t t R t t E Z t Z t E A t t B t t A t t B t τ======+=+===++A B 由题知：R R 2212121212121212121212121212)sin ]}[()()cos cos ()()cos sin ()()sin cos ()()sin sin ]()()[()()][()][()]0[()()][()][()]0(,),Z (0)()Z(t)=()()A B Z Z t t t t R t t t t R t t R R t t t t R R X t Y t τττττ+=-==<∞∴+2故与⽆关，只与有关同时E[(t)]=是宽平稳随机过程1.10答：0020000[()][sin()]sin()() sin()2exp[()]exp[()]21exp()[exp()exp(22E X t E a w t a w t fd a w t d j w t j w t d j a jw t jw j+∞Φ-∞+∞-∞+∞-∞=+Φ=+-=++--+==---??00)] [()]()t d w t E X t X t +∞-∞==∴? 是关于t 的函数是⾮平稳的随机过程1.111.11答：12122X X X X X X 2X ()36exp cos 2036 ()()()cos 20()0()36exp 36()()3666[()](0)R t R t R t R t X t R t X t R E X t R ττττ=+=+===+=∞=??==±==±=12212X 2X X X X X （-20）+3636 是的周期分量的⾃相关函数此分量均值m （-20）是的⾮周期分量的⾃相关函数此分量均值m m m m +m 2X Xt R δ==-=-=2X m 1.12答：2222220000X 000E(A) = 0, E(A ) = D[A ] = E(B) = 0, E(B ) = D[B ] = ()E(A)E(B)=0E[X(t)]= E(A cos t + Bsin t)= E[A]cos t + E[B]sin t = 0()R (,)[X(t)X(t+)]E{(A cos t + Bsin t)[A cos (t + ) + Bs E AB W W W W t t E W W W δδτττ=+==常数022000000002000020X 2in (t + )]}= A cos t cos (t + ) + ABcos t sin (t + ) + ABsin t cos (t + ) + B sin t sin (t + )= [cos t cos (t + ) + sin t sin (t + )]= cos R ()(0)X(t)X W W W W W W W W W W W W W W R τττττδττδττδ==<∞2同时E[X (t)]=故是宽平稳随机过330033332222000000333300E[X (t)]= E[(A cos t + Bsin t)]= E[A cos t + B sin t +3A cos t sin t + 3AB cos t sin t ]=E(A )cos t + E(B )cos t X(t)t X(t)W W W W W W W W W W ∴程判断严平稳过程可由X(t)的三阶矩函数来判断在⼀般情况下，的三阶矩与有关不是严平稳随机过程1.13答：2222220X X(t)Y(t)E(A) = 0, E(A ) = D[A ] = 5E(B) = 0, E(B ) = D[B ] = 5()E(A)E(B)=0E[X(t)]= E(A cos t - Bsin t) = E[A]cos t - E[B]sin t = 0()R (,)[X(t)X(t+)]E{(A cos t - Bsin t)[A co E AB W t t E δδττ===+==(1)证明、宽平稳随机过程常数2222X s (t + ) - Bsin (t + )]}= A cos t cos (t + ) - ABcos t sin (t + ) - ABsin t cos (t + ) + B sin t sin (t + ) = E[cos t cos (t + ) + B sin t sin (t + )]= 5cos R () (0)5X(t)Y(t)X A R ττττττττττ==<∞2同时E[X (t)]=故是宽平稳随机过程同理是宽平稳随机过XY 121211222212121212121221X(t)Y(t)R (,)E[X()Y()]= E[(A cos - Bsin )(Bcos + A sin )]= E[A cos sin + ABcos cos - ABsin sin - B sin cos ]= 5 (cos sin - sin cos )= 5sin(t - t )= 5sin()=t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t τ=程(2)证明、联合平稳XY XY XY R ()X(t)Y(t)R ()()sin()X Y X Y m m r ττττδδ∴-====、是联合平稳(3)互相关系数1.15答：X(t)E(A) = E(B) = 0()E(A)E(B)=0E[X(t)] = E(Asin t+ Bcos t) = E[A]sin t + E[B]cos t = 0()A X(t)X(t)1lim X(t)dt21lim (Asin t + Bcos t)dtT T TTT E AB TT -→∞-→∞=??====??==∴??(1)证明是均值遍历常数是均值遍历的X 2222X(t)R (,)[X(t)X(t+)]E{(Asin t + Bcos t)[Asin (t + ) + Bcos(t + )]}= E[A sin t sin (t + ) + ABcos t sin (t + ) + ABsin t cos(t + ) + B cos t cos(t + )]= E[A ]sin t sin (t + ) +E[B ]cos t cos(t t E τττττττττ+==(1)证明是⽅差⽆遍历性X 222X 2X 22222222222t + )R ()[()][()][()] R (0)E[A ]sin t +E[B ]cos tA X (t)1lim (Asin t + Bcos t)dt 21lim (A sin t + 2ABsin t cos t +B cos t)dt 21lim (2TTT T TT T E X t E X t E X t T T A T T ττδ-→∞-→∞→∞==-===??===+??⼜22222X)1()2A X (t)()B T A B X t δ=+??≠∴的⽅差⽆遍历性1.16 答：(E1.19答：*00*00000000000102()20,Z()exp (),()exp[()][()Z()][exp(())exp ()]exp()[()Z()][exp ()exp ()][exp (22)][cos(22f t j w t Z t j w t E Z t t E j w t j w t w jw E Z t t E j w t j w t w E j w t w E w t w φπφπ其它00)sin(22)]0j w t w φτφ+++=1.20 答：11*1111[()][exp()]()exp()(,)[()Z()][exp()exp(()][]exp ()exp()ni i i ni i i Z nni i j j i j nni j j i j i j E z t E A jw t E A jw t R t t E Z t t E A jw t A jw t E A A j w w t jw ττττ========+=+=-+=-∑∑∑∑∑∑要使Z(t 2121 (,)()E Z(t)() ()[]0()[]exp()(0)[]Z Z j i j i i i j nZ i i i n Z i i R t t R t t w w i j w w i j E A A A R E A jw R E A ττττ==+=≠≠==??===∑∑Z )为复平稳过程则与⽆关，[]=m 与⽆关即当时且，不相关时有界此时能使Z(t)为复平稳过程1.24 答：11122122230.70.3 0.40.6(2)0.70.30.70.3 0.40.60.40.60.610.39 0.520.48(3)0.610.390.70. 0.520.48P P P P P P P P P ?? ? ?????= ? ?== ? ?= ? ?== ? ?本题构成⼀个两状态的马⽒链，其⼀步转移概率矩阵为 = 411221230.5830.4170.40.60.5560.444(4)0.5830.4170.70.3 0.5560.4140.40.60.57490.4251 0.56680.4332P (3)0.583 P P (4)0.4332 P (2)0.39= ? ?===从⽽1.25答：1/21/41/2三状1.26 答：00000001010111111121(1)(2)(3)2236233911111111(1)(2)(3)22242228f f f f f f ==?==??===?==??=1.271/21/32/31/31/61/2(1)111111236236111111(2)33333311111132632615138363636141414 =36363614139363636(3)???? ??? ??? ???= ??? ??? ??? ???????? ?(2)、此链接共有3个状态，且此三个状态均为遍历态，此马尔科夫链是不可约的遍历链。

随机信号分析理论的应用综述

欢迎共阅随机信号分析理论的应用综述（结课论文）学院：3.1均匀分布白噪声通过低通滤波器3.2语音盲分离3.3系统辨识3.4基于bartlett的周期图法估计功率谱3.5基于MATLAB_GUI的Kalman滤波程序第四章展望参考文献第一章概述1.1随机信号分析的研究背景在一般的通信系统中，所传输的信号都具有一定的不确定性，因此都属于随机信号，否则不可能传递任何信息，也就失去了通信的意义。

随机信号是一种不能用确定的数学关系式来描述的、无法预测未来时刻精准值的信号，也无法用实定的规律性，即统计规律性，它是本门学科一个最根本的概念。

随机信号分析重点研究一般化（抽象化）的系统干扰和信号，往往仅给出他们的系统函数模型和数学模型，而不是讨论具体的系统，更不会局限于一些具体的电路系统上。

概率论与数理统计随机过程理论等只是处理本命学科有关问题的一种工具因而学习本门课程除了注意处理问题的方法，更重要的是对一数学推演的结果和结论的物理意义有深入的理解。

随机信号通过线性、非线性系统统计特件的变化；在通信、雷达和其他电子系统中常见的一些典型随机信号，如白噪声、窄带随机过程、高斯随机过程、马尔可夫过程等。

第二章随机信号分析的主要内容随机信号分析与处理时研究随机信号的特点及其处理方法的专业基础课程，是目标检测、估计、滤波等信号处理的理论基础，在学习过程中，我们需要学会统的重要工具希尔伯特变换，来分析窄带随机过程的统计特性及其一些重要性质。

讨论窄带随机过程经包络检波器和平方律检波器后统计特性的变换。

随机信号通过非线性系统：当动态非线性系统可分时，分为线性系统与无记忆的非线性系统的级联，一般用多项式和伏特拉级数的方法。

马尔可夫过程：一随机过程 {X(t),t∈T}，其值域（状态）可以连续取值，也可以离散取值，如果他的条件概率满足下列关系：P[X(tn+1)<=Xn+1 X(tn)=xn,X(tn-1)=xn-1,...,X(to)=xo]=P[X(tn+1)<=xn+1 X(tn)=xn] 则X（t）为马尔可夫过程。

随机信号分析课件

几何概率的基本性质：
1 0 P[ A] 1
2
P[S] 1
3
P

n k 1
Ak

n k 1
P
Ak
1.1.3 统计概率
f (n) A

nA n
事件频率的性质：
1
0
f (n) A
1
2
f (n) S
1
n
3
(n)
(n)
f f n Ai
Ai i 1

lim P X
i

xn
1/ i lim P X i

xn
1/ i

lim
i
FX
( xi
1
/
i)

FX
( xn
1
/
i)
连续型随机变量
b
a fX (x)dx P[a X b]
FX (b) FX (a)
分布函数可以唯一的确定随机变量取值的概率分布情况。
i1 i1
U P[A] P[AI
S] PAI

N
Bi

N
P[ A I
Bi ]
i1 i1
N
P[ A] P[Bi ]P[ A | Bi ] i 1
1.2.3 贝叶斯公式
P[Bi
|
A]

P[Bi I A] P[ A]
P[ A] 0
Px1 X x2 F x2 F x1
x2 f x dx
x1
• 随机变量X落在区间的概率就是曲线下的曲边梯形的面积。

随机信号分析第1章概率论

b
1.5随机变量函数
一个对机变量的函数Y=g(X)描述为：观察由实验得到实数x，然后完成由 Y=g(x)定义的算术运算。典型例子如下图所示：
y y y
x x
x
y=bx (a)线性变换
kx, x 0 y 0, x 0 (b)半波整流
y=x2 (c)平方律
为了说明求随机变量函数统计量的直接方法。考察上图a的情形，假设X 的概率密度函数已知，求Y的概率密度函数。
df ( y ) PY ( y ) | | PX [ x f ( y )] dy
1.6统计平均
对于离散随机变量X：定义统计平均（也叫期望，均值，集平均值）为
E[ X ] xi P( xi )
I 1
N
这一定义可以推广到X的函数的平均。例如，若Y=g(X),则
E[Y ] yi P( yi )
由于 Y y} { 的概率等于 X y / b}概率，即有 Y (Y y) P X (X y/b). { P 由概率密度函数定义直接得到：
PY ( y )
d 1 PX ( X y / b) PX ( x y / b) dy |b|
Y的取值范围是X的取值范围乘以b。
b( x)
2. 概率密度函数定义 :
d f ( x) F ( x) , dx
性质 :
①
f ( x) 0
非负
②

a

f ( x)dx 1
归一性
③
b
f ( x)dx F (b) F (a) p[a X ( A) b]
区间性
离散分布连续分布
p( x) P(x) (x - x i )

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