05.第五讲 鲍威尔共轭方向法
优化设计-鲍威尔法
Ⅱ、鲍威尔法缺陷
• 当某一循环方向组中的矢量系出现线性相关的情况（退 化、病态）时，搜索过程在降维的空间进行，致使计算 不能收敛而失败。
e3
新一轮搜 索方向
新一轮搜索 e3 方向和原方
向线性相关
e2
e2
(1)
X0
(1)
S4
(1)
X3
(1)
S4
(1)
X3
e1
(1)
X1
(1)
X2
e1
(1)
X0
(1)
X1
1 1
2 0.5
沿 S (1) 作一维搜索：
x (1) 3
x (1) 2
(1) 3
S
(1)
3 1.5
(1) 3
2 0.5
3 1.5
2 3(1) 0.5
(1) 3
代入f(X),令dfd(3(31(1)) ) 0 得
(1) 3
=
2 5
故有
19
x (1) 3
5
17
，
f (x3(1) ) 7.9
第一个方向S1(k)的办法，而是计算函数值并根
据是否满足条件计算：
Sk (n)
➢ f1=f(Xk(0))
X2
f3
➢ f2=f(Xk(n)) ➢ f3=f(Xk(n+2))
X (n2) k
f2
X (n1) k
X k(n)
f1
2
X k (0)
1
X k (1)
X1
• 找出前一轮迭代法中函数值下降最多的方向 m及下降量△m，即：
10
故以
x(2) 0
x
(1)为新起点，沿（
优化设计-(Powell)法+鲍威尔修正算法
1）任选初始点X(0)=X0(1) ，给定迭代收敛精度 1 , 2 。 取初始基本方向组为单位坐标向量系，即Si(1)=ei ( i = 1, 2, … , n ), 并置迭代轮次k=1。
2）从X0(k)出发，依次沿Si(k) ( i = 1, 2, … , n ) 作一维 搜索，得n个极小点Xi(k) ( i = 1, 2, … , n ),构造新的搜 索方向 S(k) = Xn(k) -X0(k) ，并沿此方向进行一维搜索得 极小点Xn+1(k) 。 3）判断迭代终止条件 || Xn+1(k) – X0(k) ||≤ 1 ？ 或 | f (Xn+1(k) ) – f (X0(k) ) |≤ 2 | f (Xn+1(k) ) | ？ 若满足，则终止迭代并输出最优解： X * = Xn+1(k) 和 f * = f (X * )
依此进行下去，直到获得满足迭代收敛精度要求的 近似极小点为止。 根据这一原理构造的迭代算法称为鲍威尔基本 算法。 x2
S(1) S2(1) X3 (1) X2 (1) X2
* X (2)
S(2)
X1 (2) S1(1)
()
X0
(1)
X1
x1
2.3.3鲍威尔基本算法的缺点 鲍威尔基本算法仅具有理论意义，不要说对于 一般的函数，就是对于二次函数，它也可能失效。 因为在迭代过程中的 n个搜索方向有时会变成线性相
X0(k+1) = Xn+1(k) Si(k+1) ( i = 1, 2, … , n ) 即 { S1(k), …, Sm-1(k), S(k), Sm+1(k), …, Sn(k)} 并置 k k+1 ，返回第2）步。
鲍威尔算法
dj
设xk,
xk+1为从不
x
k
g k+1 dk
同点出发，沿同 一方向dj进行一维 搜索而到的两个 极小点.
x
k+1
梯度和等值面相垂直的性质, dj和 xk, xk+1两点 处的梯度gk,gk+1之间存在关系:
(d j )T g k = 0, (d j )T g k +1 = 0
另一方面，对于上述二次函数，其xk, xk+1 两点处 的梯度可表示为: g k = Gx k + b, g k +1 = Gx k +1 + b 因而有
由于满足Powell条件，则淘汰函数值下降量最 d30 大的方向e1，下一轮的基本方向组为e2， 。 构成新的方向
3 1 2 d = x − x = − = 1.5 1 0.5
0 3 0 2 0 0
d30 方向一维搜索得极小点和极小值 沿 3.8 1 x = ， f ( x1 ) = −7.9 1.7
3.96 3.8 4.12 x = 2x − x = 2 − 1.7 = 2.18 1.94
1 3 1 2 1 0
1 F3 = f ( x3 ) = −7.964
检验Powell条件，淘汰函数值下降量最大的方 1 d30 ，d3 。 向e2，下一轮的基本方向组应为 构成新的方向 3.96 3.8 0.16 1 1 1 d 3 = x 2 − x0 = − 1.7 = 0.24 1.94
1 1 d 2 = x 2 − x0
1 0
x2 d1
1 x0
x1 2
x*
0 x2
鲍威尔法
鲍威尔法二级斜齿轮减速器的优化设计姓名：王剑锋学号：109011159班级：机制096班一、基本原理前已述及，对于n维无约束最优化问题，采用原始共轭方向法在产生n个共轭方向时，有可能是线性相关或接近线性相关的，如遇这种情况，会导致在降维空间寻优使迭代计算不能收敛到真正最优点而失败。
鲍威尔在1964年提出了对上述原始共轭方向法的改进方法—鲍威尔共轭方向法。
这个改进方法与原始共轭方向法的关键区别是在构成第k + 1环基本方向组时，不再总是不管好坏一律去掉前一环的第一个方向，并再将前一环的新生方向补于最后，而是首先判断前一环的基本方向组是否需要更换；如需更换，还要进一步判断前一环原基本方向组中沿某一个方向作一维搜索函数值下降量最大，去掉该方向再将新生方向补入最后构成第k+1环的基本方向组以避免线性相关并最接近共轭。
判别前一环基本方向组是否需要更换的依据，则按导出的下列两个条件式。
（1）（2）是否得到满足来进行处理，式中各符号的涵义可参阅图5-13(P62)说明如下——k环起始点的函数值；——k环沿基本方向组依次一维搜索后的终点的函数值；——对的映射点的函数值，；——k环基本方向组中沿诸方向一维搜索所得各目标函数值下降量中之最大者，对应方向。
若条件式（1）或(2)中至少有一个成立，则第k +1环的基本方向组仍用原来第k环的基本方向组。
k十1环的初始点应选取、两点中函数值小者，亦即当时，取；时，取。
若式(1)及式(2)均不成立，则去掉原来第k环基本方向组中函数值下降量最大的方向，再将第k环所产生的新生方向补入k+1环基本方向组的最后，即以构成第k+l环的基本方向组。
k+1环的初始点应取第k环中沿方向一维搜索的极小点，亦即取。
图2显示了二维正定二次函数用鲍威尔共轭方向法求极小点的搜索路线，其几何意义亦完全可推广到n维正定二次函数。
二、迭代过程及算法框图鲍威尔共轭方向法的具体迭代步骤如下:(1)给定初始点，迭代精度，维数n，。
数据分析知识：数据分析中的鲍威尔法
数据分析知识：数据分析中的鲍威尔法在数据分析中，鲍威尔法（Box-Jenkins方法）是一种常用的时间序列分析方法。
它的主要目的是利用历史数据来预测未来数据，以便制定在合适的时间做出相应决策的策略。
本文将对于鲍威尔法进行详细介绍。
一、鲍威尔法鲍威尔法是由英国统计学家George Box和美国统计学家GM Jenkins于1970年提出来的。
它是一种识别、估计和预测时间序列模型的方法，包括（AR）自回归模型、（MA）移动平均模型和（ARIMA）自回归移动平均模型等。
定量的时间序列数据越来越广泛地应用于经济、金融、气象等日常领域和科学研究中，准确预测和解释时间序列数据的变化越来越重要。
鲍威尔法的基本思路是把观察到的时间序列数据转变成计算机可以处理的数据模型，然后利用这些模型来预测未来的数据。
这样，它可以帮助我们更好地理解与预测一系列未知的数据，包括预测市场趋势、月销量、流量分析、旅游业务、未来的气温和气候变化等。
二、鲍威尔法模型的建立鲍威尔法的建立是一个动态迭代过程，包含模型的建立、模型诊断、模型修正和模型的应用等步骤。
下面，我们将详细讲述具体流程。
1.模型的建立首先，我们需要定义时间序列模型的“参数集”，包括“自回归”参数、“移动平均”参数和“截距”参数等。
自回归是指复杂系统内部的历史行为会影响未来行为的现象，移动平均是指未来行为可能会受到突发事件或预测错误影响的现象。
基于已有的数据，我们需要计算各个参数的值，建立时间序列模型。
2.模型诊断在模型诊断的过程中，我们需要评估和诊断模型的各个方面和参数选择的合理性，以确定模型是否能够有效预测未来数据。
其中，常用的诊断工具包括统计检验、残差诊断以及预测诊断等。
通过对时间序列数据的观察和诊断，可以找出模型中可能存在的错误和不一致之处，并根据诊断的结果及时地修正和更新模型。
3.模型修正在模型修正的过程中，如果我们发现时间序列的参数集合不足以对未来数据进行准确的预测，我们需要对模型进行修正。
共轭方向法
吴翠兰 2013年11月6日
主要内容
共轭方向的概念
共轭向量的概念
共轭向量的几何意义和性质 构造共轭方向法的原理和方法 共轭方向法的迭代计算步骤 共轭方向法的适应性问题
若两个非零向量 X R n， Rn，满足如下关系： Y 其中，A为 n n 的对称正定阵，则称X和Y关于A共轭。 X和Y称之为共轭方向。 注：若 X T Y 0 ，则称X与Y正交。 共轭是正交的推广。
THE END
谢谢！
性质2．若向量组S1,S2 ,…，Sn对二次正定函数f(X)＝ 1/2 XT AX+BTX+ C的对称正定矩阵A共轭，则从任意初 始点X0 出发，依次沿这些共轭向量进行一维优化搜索， 进行一维优化搜索，至多n 次一维优化搜索，就可得
到二次正定函数的极小点X* 。
原理：同心椭圆族的几 何性质 在任意两个同心椭圆上 作两条相平行的切线l1,l2 ， 则两切点的连线必过椭 圆族的中心 切线的方向S1与两切 点连线的方向S2 ，就 是一对共轭方向。 正定二次二元函数(等值线为同心椭圆 族)，经两次共轭方向搜索，就可搜索到 极小点(椭圆中心)。
构造共轭方向数值方法的归纳
用某一个不变的方向S1, 以两 个不同的初始点作两次一维 优化，得到两个最优点。 连接这两个最优点的连线方 向S2 就是与S1共轭的方向。 对于n维问题，接着以S2 为 搜索方向，重复上述步骤就 可得到与S2 共轭的方向S3 ， 反复迭代，即可求得n个相 互共轭的方向。
(5) k=k+1，如果k＞n，转步 骤(6)，否则转步骤(2) 。 (6) 检验终止准则，若满 足则退出计算， 若不满足，将当前 最优点作为新的初始点， 转步骤(1)重新再进行新 的n次共轭方向的搜索计 算。
机械优化设计鲍威尔法
机械优化设计鲍威尔法
机械优化设计鲍威尔法（Powell method）是一种常用的非线性优化
算法，它以鲍威尔的名字命名，用于解决无约束非线性优化问题。
该方法
在各个领域都有广泛的应用，如工程优化设计、机器学习等。
下面将详细
介绍机械优化设计鲍威尔法的原理及应用。
鲍威尔法的具体步骤如下：
1.初始化参数：选择初始设计参数和方向。
2.寻找一维极小值点：沿着方向找到目标函数在该方向上的极小值点。
3.更新方向：通过比较前后两个极小值点的差异来更新方向。
4.迭代优化：重复步骤2和步骤3，直到达到指定的收敛条件。
鲍威尔法的优点是收敛速度较快、计算量较小，同时可以处理非线性
的优化问题。
然而，该方法也存在一些不足之处，如可能陷入局部最优解、对初值敏感等。
机械优化设计鲍威尔法在工程领域中有广泛的应用。
例如，在机械结
构设计中，可以利用鲍威尔法来优化结构参数，以满足特定的性能指标。
在汽车工业中，可以使用鲍威尔法来优化车辆的燃油效率和性能。
在航空
航天领域，可以利用该方法来优化飞行器的飞行性能。
此外，该方法还可
以用于机器学习中的参数优化，如调整神经网络的权重和偏置等。
总之，机械优化设计鲍威尔法是一种常用的非线性优化算法，通过迭
代逼近最优解。
虽然该方法有一些不足之处，但在实际应用中具有广泛的
适用性，尤其在工程优化设计和机器学习等领域。
通过使用该方法，可以
优化设计参数，改进性能指标，提高工程效率和产品质量。
鲍威尔法
根据这一原理构造的迭代算法称为鲍威尔基 本算法。
（二）鲍威尔法的缺陷
鲍威尔基本算法不可能对每一个都起作用，因为在迭代 过程中的n个搜索方向有时会变成线性相关的，而不能形 成共轭方向，导致随后的迭代搜索在降维（退化）的空间 中进行，可能求不到极小点，故而进行改进。
（三）鲍威尔修正算法
为了避免这种“退化”现象的发生，鲍威尔对这一算法 进行了修正。即在每一轮产生新的搜索方向 后，首先 判断原搜索方向组是否可以直接用下一轮迭代的方向组， 若可以，即用。否则，还要进一步判断原搜索方向组中哪 个方向上的函数值下降量最大，然后再用新搜索方向替换 这个下降量最大的搜索方向，以保证逐次生成共轭方向， 即每一轮迭代的搜索方向组线性无关。
并求出 （5）计算 判断
是否成立 若成立，则由 出发沿 方向进行一维搜索，求出目标 函数f(x)的极小点 ，并作为k+1轮的初始点 ，然后进行 k+1轮搜索，挤掉 ，同时把 放在方向组的最后 构成新一轮的方向组。
（6）若上述判断条件不成立，则k+1轮的初始点和方向组为 = 即此时k+1轮的n个搜索方向全部用第k轮的搜索方向。 （7）每轮迭代结束，都应检验收敛条件，若能满足：
鲍威尔法
鲍威尔（Powell）法又称方向加速度法， 它是利用共轭方向可以加快收敛速度的性质 形成的一种搜索方法。该方法不用对目标函 数求导，当目标函数的导数不连续时也能应 用，因此，鲍威尔法是一种十分有效的直接 搜索法。
一 共轭方向的概念与共轭向量的性质
（一）共轭方向 设A为n阶实对称正定矩阵，若有两个n维向量 和 能满足 A =0 则称向量 与 对矩阵A共轭，共轭向量的 方向称为共轭方向。
二 鲍威尔法
（一）鲍威尔法的基本原理和迭代过程
现代设计方法：共轭方向法
则将发生锯齿现象 。
取下一次的迭代搜索方向d1直指极小点x* x x1 1d1
那么这样的d1方向应该满足什么条件呢 对于前述的二次函数: f ( x) 1 xTGx bT x c
2
有 f (x1) Gx1 b
x*是f(x)极小点，应满足极值必要条件，故有
f ( x ) Gx b 0
⅟₂x₁x₃-x₁+x₂+2x₃ Ԑ=0.00001
例1 求下列问题的极值
f
(x)
x2 1
2
x2 2
4x1
2x1x2
，已知初始点[1,1]T
迭代精度
0.001。
解： 1）第一次沿负梯度方向搜寻
计算初始点处的梯度
f
(x0)
2x1
4 x2
2x2 2x1
4 x0
4
2
x1
x0
0d
判
grad = dConDfai(f,x,y);
断
if k == n-1% k 值限制计算共轭方向次数 break
end
k = k + 1;
end
结
x0 = y;%将求出的最后极小点重新赋予x0
果
fun = ConDfai(f,x,x0); fprintf('经过%d次迭代后...\n',k)%显示k的次数
xk1 xk kd k (k 0,1,2, )
设与dk共轭的下一个方向dk+1由dk和点xk+1的负梯度的线形 组合构成，即：
d k1 f ( xk1) kd k
d k f ( xk )
d k1 f ( xk1) kd k
共轭条件： (d k )T Gd k1 0
powell法
§4.3.2.1 引言
顾名思义，Powell法是M. J. D. Powell发表的，因其卓越贡献，此方 法以其名字命名。文章发表在The Computer Journal , Vol. 7,No. 4,pp.352355,时间是1964年1月。 Powell方法是比坐标变换法加速收敛的算法，对目标函数要做求导运算。 （至少一次）。对于初学者看书仅仅看书不是明智的选择，因为编书人这 一部分所写的内容不完善。我仅仅提出我的问题： 1.何为共轭方向 2.共轭方向与目标函数有何关系 3.如何确定共轭方向 4.如何由共轭方向确定目标函数极值 5.这种方法的优缺点是什么
§4.3.2.2 共轭方向
§4.3.2.3 Powell法证明
§4.3.2.4 共轭性证明
本节说明如何确定共轭方向。
此结论充分说明同 一方向相邻极小值 点间的方向向 量与此方向共轭
§4.3.2.5 Powell法
第一轮迭代： 选初始点x ( 0 )，令
1 1 1 1
x0
(1)
1
一维搜索，分别求得 f x 的极值点x1 , x2 。
2 2
构筑共轭方向： S 2 x2
2
x0 ，沿此方向
2
2
作第三次搜索，求得 f x 的极值点x3 。 每轮迭代结束时，检验 是否满足收敛条件： x0
k 1 k
4、单纯形法：任世瑜
5、共轭梯度法：张程浩
6、牛顿法：崔静娜
7、变尺度法：牛丽丽
主要内容
§ 4.3.2.1 引言 § 4.3.2.2 共轭方向
§ 4.3.2.3 Powell法证明
§ 4.3.2.4 共轭性证明
§ 4.3.2.5 Powell法
十一、Powell算法（鲍威尔算法）原理以及实现
⼗⼀、Powell算法（鲍威尔算法）原理以及实现⼀、介绍 Powell算法是图像配准⾥⾯的常⽤的加速算法，可以加快搜索速度，⽽且对于低维函数的效果很好，所以本篇博客主要是为了介绍Powell算法的原理以及实现。
由于⽹上已经有了对于Powell算法的讲解，所以我只是把链接放出来（我觉得⾃⼰⽬前还没有这个讲解的能⼒），⼤家⾃⼰去了解。
放在这⾥主要也是为了节省⼤家搜索的时间。
（都是我⾟⾟苦苦搜出来的^-^）。
⼆、预备知识 了解⼀维搜索算法：进退法，消去法，黄⾦分割法 阅读以下博客：三、鲍威尔算法 具体原理阅读这⾥： 参考博客： 原理与例⼦（⼀个例⼦的计算过程）：四、matlab代码实现⼀个简单函数的求解 代码来源： 这个代码的程序与思路很是简洁，我觉得写得很好。
原⽂代码放在这⾥： ⽂件：MyPowell.m function MyPowell()syms x1 x2 x3 a;f=10*(x1+x2-5)^4+(x1-x2+x3)^2 +(x2+x3)^6;error=10^(-3);D=eye(3);x0=[000]';for k=1:1:10^6MaxLength=0;x00=x0;m=0;if k==1,s=D;endfor i=1:3x=x0+a*s(:,i);ff=subs(f,{x1,x2,x3},{x(1),x(2),x(3)});t=Divide(ff,a); %调⽤了进退法分割区间aa=OneDemensionslSearch(ff,a,t); %调⽤了0.618法进⾏⼀维搜索 xx=x0+aa*s(:,i);fx0=subs(f,{x1,x2,x3},{x0(1),x0(2),x0(3)});fxx=subs(f,{x1,x2,x3},{xx(1),xx(2),xx(3)});length=fx0-fxx;if length>MaxLength,MaxLength=length;m=m+1;endx0=xx;endss=x0-x00;ReflectX=2*x0-x00;f1=subs(f,{x1,x2,x3},{x00(1),x00(2),x00(3)});f2=subs(f,{x1,x2,x3},{x0(1),x0(2),x0(3)});f3=subs(f,{x1,x2,x3},{ReflectX(1),ReflectX(2),ReflectX(3)});if f3<f1&&(f1+f3-2*f2)*(f1-f2-MaxLength)^2<0.5*MaxLength*(f1-f3)^2x=x0+a*ss;ff=subs(f,{x1,x2,x3},{x(1),x(2),x(3)});t=Divide(ff,a);aa=OneDemensionslSearch(ff,a,t);x0=x0+aa*ss;for j=m:(3-1),s(:,j)=s(:,j+1);ends(:,3)=ss;elseif f2>f3, x0=ReflectX;endendif norm(x00-x0)<error,break;endk;x0;endopx=x0;val=subs(f,{x1,x2,x3},{opx(1),opx(2),opx(3)});disp('最优点：');opx'disp('最优化值：');valdisp('迭代次数：');k ⽂件 Divide.m ：%对任意⼀个⼀维函数函数进⾏区间分割，使其出现“⾼—低—⾼”的型式function output=Divide(f,x,m,n)if nargin<4,n=1e-6;endif nargin<3,m=0;endstep=n;t0=m;ft0=subs(f,{x},{t0});t1=t0+step;ft1=subs(f,{x},{t1});if ft0>=ft1t2=t1+step;ft2=subs(f,{x},{t2});while ft1>ft2t0=t1;%ft0=ft1;t1=t2;ft1=ft2;step=2*step;t2=t1+step;ft2=subs(f,{x},{t2});endelsestep=-step;t=t0;t0=t1;t1=t;ft=ft0;%ft0=ft1;ft1=ft;t2=t1+step;ft2=subs(f,{x},{t2});while ft1>ft2t0=t1;%ft0=ft1;t1=t2;ft1=ft2;step=2*step;t2=t1+step;ft2=subs(f,{x},{t2});endendoutput=[t0,t2];View Code ⽂件：OneDemensionslSearch.mfunction output=OneDemensionslSearch(f,x,s,r)if nargin<4,r=1e-6;enda=s(1);b=s(2);a1=a+0.382*(b-a);fa1=subs(f,{x},{a1});a2=a+0.618*(b-a);fa2=subs(f,{x},{a2});while abs((b-a)/b)>r && abs((fa2-fa1)/fa2)>rif fa1<fa2b=a2;a2=a1;fa2=fa1;a1=a+0.382*(b-a);fa1=subs(f,{x},{a1});elsea=a1;a1=a2;fa1=fa2;a2=a+0.618*(b-a);fa2=subs(f,{x},{a2});endendop=(a+b)/2;%fop=subs(f,{x},{op});output=op;View Code 全部放到同⼀个⼯程⽬录⾥⾯，设置为当前⽬录，然后输⼊Powell即可运⾏得到结果。
机械优化设计方法——鲍威尔法,坐标轮换法
鲍威尔法
机械优化设计方法——鲍威尔法
鲍威尔(Powell)法是直接利用函数值 来构造共扼方向的一种共扼方向法。基本 思想是在不用求导数的前提下，在迭代中 逐次构造Hessian矩阵G的共扼方向。
原始共轭法的缺点
对于n维无约束最优化问题，采用原始共轭 方向法在产生n个共轭方向时，有可能是线 性相关或接近线性相关的，遇这种情况， 会导致在降维空间寻优使迭代计算不能收 敛到真正最优点而失败 。
(4)判断是否满足收敛准则。
即
X k 1 X k
。若满足，则
X k1 0
为
极小点，否则应置 k k 1 ，返回，
继续进行下一轮迭代。
计算 f (X ) x12 25x22 的极小值
解 ： 选取初始点为 X 0 2,2T,初试搜索方向
为 d10 1,0T，d20 0,1 T。初始点处 的函数
值
F1
f
(
X
0 0
)
104
第一轮迭代：沿 d10 方向进行一维搜
索，得
X10
X
0
1d10
2
1
1 0
2
1
2
将
X
0 1
代入原方程得：
f1 f (X10) (2 1)2 2522 4 41 12 100
最佳步长
：
df ( d
)
4
21
0
1 2
X10
2 2
210
0 2
X
0 1
鲍威尔法计算步骤与程序原理
(1)任选一初始点 X 0 ,
X
0 0
X
0
，选取初
试方向组，它由n个线性无关的向量
共轭方向法
共轭方向法引言本节之后的方法大多属于共轭方向法。
3.6.1 共轭方向的概念若两个向量n R X ∈，n R Y ∈，满足如下关系：0=AY X T (3-6-1)其中，A 为n n ×的对称正定阵，则称X 和Y 是关于A 共轭的，X 和Y 称之为共轭方向。
注意：若0=Y X T ，则称X 与Y 正交。
实际上，共轭是正交的推广。
例1： 有两个二维向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111S ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=112S ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112A ，判断1S 与2S 是否关于A 共轭，是否正交？解：[]01121121121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=AS S T ，因此，1S 与2S 关于A 共轭。
[]0111121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅=S S T ，因此，1S 与2S 正交。
3.6.2 共轭向量的概念如果有m 个n 维向量m S S S S ,...,,,321，满足正定且A j i AS S j i AS S j T i j T i ,)(0)(0⎪⎩⎪⎨⎧=≠≠= (3-6-2) 则称这m 个向量是A 的共轭向量。
如果A 为n 维单位阵，则称这m 个为正交向量。
3.6.3 共轭向量的几何意义设目标函数为1()2T T F X X AX B X C =++ (3-6-3)其中，A 为n n ×阶的对称正定阵。
()F X 的梯度为：B AX X F +=∇)( (3-6-4)设从某点0X 出发，沿0P 方向进行搜索得到()F X 的极小点1X ，则有0)()(0101=+=∇P B AX P X F T T (3-6-5)设从某点'0X 出发，仍沿0P 方向进行搜索得到()F X 的极小点2X ，则有0)()(0202=+=∇P B AX P X F T T (3-6-6)式(3-6-6)减(3-6-5)，可得：0)(012=−AP X X T (3-6-7)这说明)(12X X −与0P 是关于A 共轭的。
改进鲍威尔法更新寻优方向组条件的证明与补充
改进鲍威尔法更新寻优方向组条件的证明与补充鲍威尔法是一种常用的寻优算法，它通常用于求解无约束优化问题。
该算法通过权衡历史搜索方向和当前梯度信息，寻找最优解的方向。
然而，鲍威尔法在更新搜索方向时需要一系列条件的约束，在某些情况下可能会导致算法失效。
本文将对鲍威尔法的更新搜索方向的条件进行改进，并加以证明与补充。
首先，我们回顾鲍威尔法的基本思想。
在每一次迭代中，鲍威尔法首先计算当前的梯度方向g，然后选择一个搜索方向p。
在原始的鲍威尔法中，p的选择是基于历史搜索方向的加权和，即：p = -g + βp_his其中，p_his表示历史搜索方向的加权和，β是一个权衡历史搜索方向和当前梯度信息的参数。
然而，这种简单的更新方式可能导致搜索方向在某些情况下不准确或无效。
为了解决这个问题，我们对原始的鲍威尔法进行改进。
改进的思路是通过增加一系列条件来限制搜索方向的选择，以提高搜索的准确性和有效性。
具体来说，我们可以添加以下三个条件：1.搜索方向与梯度方向的夹角小于90度：这个条件的目的是确保搜索方向与梯度方向足够接近，从而使得搜索方向在靠近最优解的路径上。
为了满足这个条件，我们可以引入一个夹角限制参数φ，然后更新搜索方向p如下：p = -g + βp_his, if |cos(φ)| < 1否则，我们选择梯度方向作为搜索方向，即p = -g。
2.搜索方向的长度小于历史搜索方向的加权和的长度：这个条件的目的是确保搜索方向的长度不会大于历史搜索方向的长度，从而避免搜索方向过长。
为了满足这个条件，我们可以引入一个长度限制参数λ，然后更新搜索方向p如下：p = min(-g + βp_his, λ)其中，min()函数表示取两个向量中长度较小的一个。
3.在搜索方向与梯度方向夹角大于90度的情况下，搜索方向与历史搜索方向夹角小于90度：这个条件的目的是在搜索方向与梯度方向夹角大于90度的情况下，尽可能减小搜索方向与历史搜索方向的夹角。
简述共轭方法和共轭方向法
简述共轭方法和共轭方向法
共轭方法（Conjugate Method）是一种常用于求解无约束最优化问题的迭代方法。
它的基本思想是通过选择共轭方向进行搜索，以加快收敛速度。
共轭方向法（Conjugate Direction Method）是共轭方法的具体实现方式。
它通过迭代计算一组相互共轭的搜索方向，以逐步逼近最优解。
在每次迭代中，选择一个共轭方向进行搜索，并通过线搜索确定步长，使得目标函数在该方向上的值最小化。
然后更新当前解，并计算新的共轭方向，再进行下一次迭代。
共轭方向的选择是该方法的关键。
在每一步迭代中，计算出的共轭方向与之前的共轭方向相互垂直，这样可以确保每一次迭代都在尽量不同的搜索方向上进行，从而加快收敛速度。
具体而言，如果两个方向 d1 和 d2 满足 d1⋅d2 = 0，则它们是共轭方向。
而如果目标函数是二次型，则共轭方向的选择可以通过计算 Hessian 矩阵来得到。
总结来说，共轭方法是一种常用的无约束最优化算法，而共轭方向法则是共轭方法的一种具体实现方式。
通过选择共轭方向进行搜索，共轭方向法可以快速逼近最优解。
鲍威尔方法——精选推荐
鲍威尔⽅法机械优化设计中的鲍威尔⽅法鲍威尔（Powell ）法是直接利⽤函数值来构造共轭⽅向的⼀种⽅法。
对函数 f(x)=21x 2Gx+b T +c 的极⼩化问题，基本思想是：在不⽤导数的前提下，在迭代中逐次构造G 的共轭⽅向。
鲍威尔算法的基本思想：性质⼀：同⼼椭圆簇；性质⼆：平⾏切点的连线必经过椭圆簇中⼼；性质三：椭圆中⼼即为极⼩点。
⼀.共轭⽅向的⽣成如图1，设x k ,x k+1为从不同点出发，沿同⼀⽅向dj 进⾏⼀维搜索⽽到的两个极⼩点。
根据梯度和等值⾯相垂直的性质, dj 和xk, xk+1两点处的梯度g k ,g k+1之间存在关系: （d j ）T g k =0 (d j )T g k+1=0:另⼀⽅⾯，对于上述⼆次函数，其xk, xk+1两点处的梯度可表⽰为:g k =Gx k +b g k+1=Gx k+1+b ：因⽽有（d j ）T (g k+1-g k )=(d j )T G(x k+1-x k )=0,取d k =x k+1-x k 这说明只要沿d j ⽅向分别对函作两次⼀维搜索，得到两个极⼩点x k和x k+1，那么这两点的连线所给出的⽅向d k就是与d j⼀起对G 共轭的⽅向。
⼀.基本算法1）任选⼀初始点x 0，再选两个线性⽆关的向量，如坐标轴单位向量e 1=[1,0]T 和e 2=[0,1]T 作为初始搜索⽅向。
12）从x 0出发，顺次沿e 1， e 2作⼀维搜索，得x 10,x 20点，两点连线得⼀新⽅向 d 1=x 20-x 0。
⽤ d 1代替e 1形成两个线性⽆关向量d 1 ,e 2 ,作为下⼀轮迭代的搜索⽅向。
再 x 20出发，沿d 1作⼀维搜索得点 x 01，作为下⼀轮迭代的初始点。
3）从x 1出发，顺次沿,e 2。
d 1 作⼀维搜索，4）得到点x 11，x 21，两点连线得⼀新⽅向:d 2=x 21-x 11。
4）沿d 2d2作⼀维搜索得点.x 2 ，即是⼆维问题的极⼩点x* 。
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k f2 f (X n ) ， f 3 f ( X nk1 ) f (2 X nk X 0k ) ； 5.如果满足判别准则，则在下一次循环时，用新方 向 Snk1 补入k+1次循环基本方向组的最后，并去 k 掉 Sm ，从而构成新的方向组。并取第k+1次循环 的起始点为 X X 。 k k* S X （ n1 为第k次循环中沿新方向 n1 一维搜索的极 小点） 如果不能满足判别准则，则第k+1次循环时仍用 原来的方向组，而初始点按下式选取：
鲍威尔共轭方向法
1.共轭方向的定义：
设A为 n n 阶实对称正定矩阵，而 S 1
2 S ， 为n维欧式空
间 R n 中的两个非零向量，如果满足 [ S 1 ]T AS 2 0 ，则称 1 2 S S 向量 与 关于是实对称正定矩阵A是共轭的，或简称 S 1 2 S 与 关于A共轭。
2.坐标轮换法的缺陷
； 2.取n个坐标轴的单位向量 ei (i 1,2,n) 为搜索方向
k X0 ； Sik ei ，置k=1（k为迭代轮数）， X 0
k k S X 3. 从 0 出发，分别沿 i (i 1,2,n) 作一维搜索，依次
k 得n个极小点 X i ，计算各相邻极小点目标函数的差值 ，并
坐标轮换法的收敛速度很慢，其原因在于其搜索方向总是 平行于坐标轴，不适用函数的变化情况。
3.共轭方向法
1 S 设给定两个平行方向 ，沿这两个方向分别进行一维搜
2 2 索，求得极小点 X 1 和 X 。显然， X 1 和 X 分别是两条
2 平行线与函数等值线的相切点，连接这两个切点构成向量 S 1 2 2 2 1 S S S X X ，即 ，可证明 与 关于函数f（X）的海 塞矩阵H共轭。
工作原理： 首先采用坐标轮换法进行第一轮迭代，然后以第一轮迭代
的最末一个极小值与初始点相连，构成一个新的方向，并以 此方向为最末一个方向，而去掉第一个方向，得到第二轮迭 代的n个方向，如此进行下去，知道求出问题的最小点。
共轭方向法的缺陷：
共轭方向法的基本要求是，各方向组的向量之间是线性无 关的，但是在实际的运算中，常常产生的新方向有可能出现 线性相关，使得搜索运算将在维数下降了的空间运行，从而导 致计算不能收敛到真正的极小值点而失败。鲍威尔法针对这个 问题提出了改进方法。 鲍威尔共轭方向法的改进之处： （1）在每轮迭代完成并产生共轭方向后，先对共轭方向的 好坏进行判断，检验它是否与其他方向线性相关，若共轭方向 不好，则不用它，仍用原来的一组迭代方向。 （2）若共轭方向好，则可用它替代前一轮迭代中使函数值 下降最多的一个方向，而不一定替换第一个方向。
（
k* S Xn 1 为第k次循环中沿新方向 n1 一维搜索的极小点）
k
如果不能满足判别准则，则第k+1次循环时仍用原来的方 向组，而初始点按下式选取：
f2 f3 f2 f3
k 1 k X0 Xn k 1 k X 0 X n 1
鲍威尔迭代法的步骤： 1.给定初试点 X 0 和允许误差 1 、 2
则可终止迭代，得X 0k 1为最优点，输出结果
k 1 X0 X*
， f ( X 0k 1 ) f ( X * ) ；
k 1 X0 X0
否则，置
k 1 k ，
；返回第3步。
km —— 表示循环中函数值下降量最大者，即
km max{f ( X ik1 f ( X ik )
k S 其相应的方向为 m 。
i 1,2 n}
k k f (X m ) f ( X 1 m)
k 如果满足判别准则，则在下一次循环时，用新方向 S n 1 补 k S 入k+1次循环基本方向组的最后，并去掉 m ，从而构成新 k 1 k* 的方向组。并取第k+1次循环的起始点为 X 0 Xn 1 。
k 0
k f f ( X 0 ) ； 的函数值 1
f 2 ——第k次循环中沿基本方向组中个迭代方向依次一维搜索
k f f ( X n ) ； 的函数值 2
f 3 ——为映射点函数值， f 3 f ( X nk1 ) f (2 X nk X 0k ) ， X nk1 为 k k k k X 0k 对 X n 的映射点， X n1 2 X n X 0 ；
k 1 0 k* n 1
f2 f3 2 f3
k 1 k X0 Xn k 1 k X 0 X n 1
6.验证是否满足迭代终止条件：若能满足
X
或
k 1 0
X
k 0
1
f ( X 0k 1 ) f ( X 0k ) 2 k 1 f (X 0 )
在鲍威尔法中，判断是否用新的方向去替换原方向组中的某 一个方向的判定准则为：
k 2 k 2 ( f1 f 3 2 f 2 )( f1 f 2 m ) 0.5 m ( f1 f 3 )
式中：
f 3 f1
f1 ——表示在第k次循环中起始点 X
后的终点 X
k n
找出其中的最大差值及其相应的方向：
km max{f ( X ik1 f ( X ik )
k k f (X m ) f ( X 1 m)
i 1,2 n}
k k k Sm Xm Xm 1
k k k k f f ( X X 2 X X 4. 计算反射点 n1 1 0 ) n 0 ，并计算