第3章 圆轴扭转

结论： 若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；
若材料抗拉（压）能力差，构件沿45斜截面发生破坏（脆性材料）
材料的抗拉、抗压、抗剪能力比较
[ t ]
[ c ]
[ c ]
[ ]
[ t ]
[ ]
塑性材料
脆性材料
1、低碳钢试件：沿横截面断开。 材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力发生破坏； 2、铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。
圆轴扭转时横截面上的应力
2、物理关系( Hooke 定律 )
d ( r ) G ( r ) Gr dx 3、静力关系( 切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 )
T A dA r r
dA
d G A r 2 dA dx
令
(ρ)
R
ρ
O
T
I P A r dA
转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，
设为 T . 已知： max 1 max 2
max 1
T Wt 1
max 2
T Wt 2
l (b)
3 3 4 T T π d π D ( 1 ) 1 2 Wt 1 Wt 2 Wt 1 Wt 2 16 16 3 3 4 d D ( 1 ) 1 2 因此 16 16 D2 3 1 解得 4 1.194 d1 1 0 .8
平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、 大小以及间距不变，半径仍为直线，即横截面刚性地绕轴 线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上的应力
2）应变、应力分布规律：
①圆周线的间距未改变 无纵向线应变 （横截面无正应力） ②圆周线的形状、大小不变，绕轴线作了相对转动 横截面上切应力垂直于半径 ③各纵向线均倾斜同一微小角度
y
1、切应力互等定理
在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。

τ
dx

'
τ
x
单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力 而无正应力的状态称为纯 剪切应力状态。
dy z
a
d

b
'
c
关于切应力的若干重要性质
2、剪切虎克定律
由图所示的几何关系得到
max
T
I p 2 πr 3 d r
D 2 d 2
π 4 D d 4 32
πD 4 4 1 32
d D
max
π D4 d 4 πD 3 Wt 1 4 D/2 16D 16 Ip




圆轴横截面的几何性质
注意：对于空心圆截面
O
π 4 4 Ip D d 32
T
x
T m
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为
负值。
+
T
—
求扭矩的基本方法——截面法
例1 求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩，并画扭矩图。
解：用截面法求扭矩
=1.8kNm 1 1 =3kNm 2 2 =1.2kNm
Me

Me

r l
Me （在数值上等于 T ）成正比.
l
薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时,与
从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间的线性关系.
T 2πr 2
G
G –剪切弹性模量
关于切应力的若干重要性质
对各向同性材料，三个弹性常数的关系
圆轴扭转破坏实验（了解）
通过扭转实验发现：
(1) 低碳钢试件系横截面剪断； (2) 铸铁试件则沿着与轴线成45º 的螺旋线断裂； 研究类似铸铁试件扭转破坏的原因,需考虑斜截面 上的应力。
圆轴扭转时斜截面上的应力
e ´
n

b

x
设：ef 边的面积为 dA 则 ´ f t eb 边的面积为dAcos
例题5 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性
两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面
面积之比
π 2 2 2 2 ( D d ) 2 2 D ( 1 ) A2 4 2 2 2 1 . 194 ( 1 0 . 8 ) 0.512 2 π 2 A1 d 1 d1 4
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.
或T Σ Me右
规定外力偶矩的正负为: 以右手的四指表示外力偶矩的转 向，则大拇指的方向离开横截面为正；指向横截面为负。
扭矩图的快速画法
2 3.5 1 0.5
• 在外力偶矩作用处的截面 上，扭矩发生突变，突变 量等于外力偶矩的数值。 利用这一突变特性，可较 快地画出扭矩图。
A
a
B
a
C
a 0.5 +
2
d T GI P dx
d T dx GI P
圆轴扭转时横截面上的应力
T r (r ) IP
max
T T r max T IP IP / R Wt
IP Wt R
O R
max
I P —截面的极惯性矩，单位：m4, mm4
Wt —抗扭截面系数，
单位：m3, mm3
材料抗拉能力差，构件沿45斜截面因拉应力而破坏。
圆轴扭转破坏原因
铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿-45º方向拉
伸引起的断裂。
也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉 应力
m ax 总是等于横截面上相应的应力，所以在铸铁圆杆
的抗扭强度的计算中也就以横截面上的 作为依据。
§3.4
圆轴扭转时的变形及刚度条件
第3章
扭转
扭转的概念和实例
传动轴
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的外力偶，且外力 偶作用面垂直于杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
扭转的概念和实例
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形
的。 本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的
情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要 研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工 作的情况。
横截面上应力的推断：
（1）横截面上只有切应力，而没有正应力。
（2）切应力沿环的切线方向。
§3.2
薄壁圆筒的扭转
3、切应力的计算公式：
（1）根据对称性可知，切应力沿圆周均匀分布； (2）可认为切应力沿壁厚均匀分布。 τ


T dA.r0 r0 td r0 t 2
2 2 A 0
[ ]
3）确定外荷载: Tmax≤ Wt [ ]
D 3 实心, 16 Wt 3 D (1 4 ) 空心. 16
例题3 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径 d2=100mm.扭转力偶矩为MA = 22 kN· m, MB = 36 kN· m ,MC =14 kN· m. 已知材料的许用切应力[] = 80MPa,试校核该轴的强度.
一、扭转变形
圆轴扭转的变形用两端面 的相对转角来表示。 扭矩不变的等直轴

l
R
max T R G G IP
Tl GI p
( rad )
GIp 称作抗扭刚度
圆轴扭转时的刚度计算
单位长度扭转角
二、刚度条件：
T [ ] GI P
T 180 [ ] GI P
§3.1
内力的计算——扭矩与扭矩图
二、扭转杆件的内力
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩( Torsion torque)， 用符号T 表示。 m m 1、扭矩的确定（截面法）
取左段为研究对象：
m m
x
0, T m 0
m T
T m
取右段为研究对象：
x
x
m
0, m T 0
14 kN· m
因此,该轴满足强度要求.
例题4 实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M
和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比
= 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴
的重量比. 分析：设实心圆截面直径为d1,空心 圆截面的内、外径分别为 d2、 D2 ; 又扭 d l (a) d2 D2
π 3 Wt D d3 16
D d


圆轴扭转时的强度计算
1、强度条件：
max [ ]
变截面圆轴: max
T W t
max
等截面圆轴: max 2、强度条件应用：
Tmax Wt
Tmax 1）校核强度: max Wt
≤

2）设计截面尺寸: Wt ≥ Tmax
§3.1
内力的计算——扭矩与扭矩图
一、外力偶矩的计算
直接计算
§3.1
内力的计算——扭矩与扭矩图
按功率和转速计算
Me2 Me1
n
Me3
PkW M e N m 9 549 nr / min
Me—作用在轴上的力偶矩( N ·m ) n—轴的转速( r/min ) P—轴传递的功率(kW)
圆轴扭转时斜截面上的应力
sin 2 ; cos2
分析：
1 ) max , min :
450 , max ; 450 , min ; 2 ) max :