数论综合练习
五年级数论 - 综合练习
五年级数论 - 综合练习数论综合练习题整除1．判断331331能否被7整除。
331个3312．求各位数字都是7，并且能被63整除的最小自然数是多少？3．四位数A752是24的倍数，请问A最大是多少？4五位数3A07B是275的倍数，求这个数。
5．已知51位数5525个559925个99能被13整除，请问中间方格内的数字是多少？6．六位数2021能同时被9和11整除。
请问，这个六位数是多少？7．牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。
但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“678”其中方框表示被烧出的洞。
牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。
请问：这45名工人的总工资可能是多少元呢？质数与合数1．一个奇数同它相邻的两个奇数相乘，得到的两个积相差84，这个奇数是（） 2．两个自然数的和是89，积是88，这两个自然数是（）和（）。
3．请问：37×38×?×230×231的结果的末尾有多少个连续的0？4．三个连续自然数的积是39270，这三个连续自然数的和是多少？5．两个连续奇数的乘积是111555，这两个连续奇数之和是多少？6．46305乘以一个自然数A，乘积是一个整数的平方。
求最小的A以及此时的这个整数是多少？7．甲数比乙数大5，乙数比丙数也大5.，三个数的乘积是6384。
求这三个数。
8．求下列各式所得结果的个位数字。
2?32233?4 34467?876?431约数与倍数1．一个两位数除169后余数是4，所有这样的两位数分别是多少？2．求只有8个约数但不大于30的所有自然数。
3．在1---100中，所有的只有3个约数的所有自然数的和是多少？4．A、B两个数的最大公约数是12，已知A有8个约数，B有9个约数，求A和B。
5．有三根钢管，分别长200、240、和360厘米。
现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段？6．将22块橡皮和33只铅笔平均分给参加打扫教室卫生的同学，结果橡皮多一块，铅笔少两只。
【奥数】六年级下册数学奥数课件-第11讲《数论综合练习》全国通用
________
.
答案：4；2
9
例题讲解
mathematics
一、填空题Ⅰ（本题共8小题，每题6分） 3.把 2 化成循环小数，小数点后第2010个数字是__________.
7
答案：4
4.2010的全部因数有__________个，这些因数的和是 __________. 答案：16；4896
例题讲解
例题讲解
mathematics
二、填空题Ⅱ（本题共4小题，每题7分） 9.三个自然数A、210、2010的乘积是一个完全平方数，则A最小是__________. 答案：469
10.将27写成一些合数的和，这些合数的积最大是__________. 答案：3456
例题讲解
mathematics
11.自然数甲有10个因数，那么甲的10倍的因数个数可能是________________________. 答案：40、22、18、30或24
mathematics
5.（1）如果 a123b 能被72整除，则 ab __________.
（2）如果 2010 a2010 b2010 能被99整除，则 ab __________. 答案：12；36
6.两个自然数的最大公因数是100，最小公倍数是20100，这两个自然数的差是6400， 那么这两个自然数的和是__________. 答案：7000
12.小高家的电话号码是一个六位数，其中左边三个数字是由小到大的3个连续自然数，右边 三个数字相同，6个号码的数字之和恰好等于末尾的两位数，这个电话号码是_____________. 答案：789333
极限挑战
mathematics
三、填空题Ⅲ（本题共3小题，每题8分） 13.甲、乙两个数的最小公倍数是170，甲、丙两个数的最小公倍数是204，乙、丙两个数的 最小公倍数是60，那么甲、乙、丙三个数的和最小是_____________练习
数论问题10种题型例题精讲和练习题汇总
数论问题10种题型例题精讲和练习题汇总
小编寄语：数论问题是学习中的难点，华杯赛尤其热衷数论题目，数论问题细分起来可以分为10种题型，他们分别是：数的整除,约数倍数,余数问题,质数合数、分解质因数,奇偶分析,中国剩余定理,位值原理,完全平方数,整数拆分,进位制。
下面是网编辑为您收集的这14种题型的例题精讲以及专项训练，希望对您的学习有帮助。
1、数论问题之数的整除：五年级整除的性质解析（1-5）
2、数论问题综合练习题含答案
3、数论问题之约数倍数：关于最小公倍数的应用题解析
4、数论问题之约数倍数:概念、求解方法
5、数论问题之余数问题：定义、性质、定理。
数论练习题及解答
数论练习题及解答数论是数学的一个重要分支，研究整数之间的性质和关系。
以下是几道数论练习题及其解答，旨在帮助读者加深对数论知识的理解。
题目一：证明：如果一个整数的平方是奇数，那么该整数必定是奇数。
解答：假设存在一个整数n，满足n²是奇数，但是n本身是偶数。
那么n可以表示成n=2k（k为整数）。
根据已知条件，n²是奇数，代入n=2k得到(2k)²=4k²是奇数。
但是显然，4k²为4的倍数，而奇数不可能是4的倍数，因此得出矛盾。
所以假设错误，原命题得证。
题目二：证明：任意一个素数至少可以表示成4k+1和4k-1两种形式的乘积。
解答：假设存在一个素数p，既不属于4k+1的形式，也不属于4k-1的形式。
那么p可以表示成p=4k、4k+2或4k+3（k为整数）。
1. 若p=4k，显然p为4的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾；2. 若p=4k+2，可以将p分解为p=2(2k+1)，其中2k+1也为整数，即p为2的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾；3. 若p=4k+3，可以将p分解为p=3(4k+1)，其中4k+1也为整数，即p为3的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾。
综上所述，当p既不属于4k+1的形式，也不属于4k-1的形式时，假设错误，原命题得证。
题目三：找出下列数中的最大公约数：4620和770。
解答：利用辗转相除法求解最大公约数。
首先，用较大的数除以较小的数，计算它们的余数：4620 ÷ 770 = 6 (300)接下来，用余数除以第一步的余数，再计算新的余数：770 ÷ 300 = 2 (170)再次用余数除以第二步的余数，继续计算新的余数：300 ÷ 170 = 1 (130)继续进行相同的除法运算：170 ÷ 130 = 1 (40)130 ÷ 40 = 3 (10)40 ÷ 10 = 4最后，除数为10，余数为0，所以10即为4620和770的最大公约数。
数论练习题
数论练习题一、判断题1、任意两个不同质数必互质。
( )2、若n 是大于1的正整数，且所有不大于n 的质数都不能整除n,则n 是质数。
( )3、若是是奇数，则22b a abc +奇数。
（ ） 4、若),(mod m bc ac ≡，则)(mod m b a ≡。
( )5、使得)8(mod 15≡x 成立的所有自然数为4的倍数。
（ ）6、三个成等差数列的基本勾股数只有3、4、5。
( )7、一个大于1的整数不是质数就是合数。
（ ）8、两个数的公因数一定是它们的最大公因数的因数 。
( )9、-27除以6的带余除法算式是-27=-4×6-3。
（ ）10、。
则，都是整数，且，若bc ac b a c b a , ( ) 11、)(mod )(mod 22m b a m b a ≡≡，则若。
（ ）12、不定方程264=+y x 的全部整数解为{)(6241Z t tx t y ∈-=+=。
( )13、一个质数P 与一个整数a ，它们要么互质，要么P|a 。
（ ）14、质数必为奇数，偶数必为合数。
（ ）15、设b a ，则a 是倍数，b 是约数。
（ ）16、若b a ，b c 则b ac 。
（ ）17、二元一次不定方程异号时有当b a c by ax ,,=+无穷多个自然数解。
二、填空题1、（108，42，24）=______,[108,42,24]=_________。
2、1000！末尾有____________个0。
3、[]{}_______3.1______,2=-=4、同余方程)10(mod 68≡x 的解是____________________。
5、模7的剩余类有且只有___________________________,7的非负最小完全剩余系是__________________________。
6、对于给定的模m ，两整数a,b 属于同一剩余类的充要条件是___________。
小学数论练习题
小学数论练习题
在小学数学学科中，数论是一个重要的分支，它研究的是整数及其性质。
通过数论的学习，学生可以培养逻辑思维能力、数学推理能力等。
下面是一些小学数论练习题，通过解答这些题目可以加深对数论知识的理解。
1. 判断下列数中哪些是偶数，哪些是奇数：
a) 24
b) 37
c) 46
d) 51
2. 找出下列数中的素数：
a) 12
b) 17
c) 21
d) 29
3. 20个奇数相加，其和是多少？
4. 用两个不同的质数相乘得到的结果是多少？
5. 十以内所有的偶数是否都能被2整除？
6. 15和30的最大公约数是多少？
7. 小明有12个瓶子，他把这些瓶子按照每行放3个的方式排列。
请问他排列的方式有多少种？
8. 有一个班级有30名男生和25名女生，他们需要站成一队，男生
和女生不能站在一起。
请问共有多少种排队方式？
9. 一堆苹果，小明每次可以拿2个或3个，最后一次只能拿1个。
请问，如果这堆苹果的数量是7个，那么小明一共有多少种取苹果的
方式？
10. 小明有一篮子装满了鸡蛋，他数了一下，发现一共有88个鸡蛋。
他把这些鸡蛋按照每层放12个的方式分成若干层，最后一层只能放3个。
请问他分了几层？
以上是一些小学数论练习题，希望能帮助学生们巩固数论知识，提
升数学能力。
在解答这些题目的过程中，学生们可以思考数的奇偶性、素数的性质、最大公约数、排列组合等概念。
通过不断练习和思考，
学生们可以在数论领域中取得更好的成绩。
小升初数学 数论综合练习题及答案解析
数论综合1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?3．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．4．在555555的约数中，最大的三位数是多少?5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组?8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?9．设a与b是两个不相等的非零自然数．(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳142米，黄鼠狼每次跳324米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔3128米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)12．甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少?13．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．(考虑除以4的余数)14．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?15．在一根长木棍上，有三种刻度线．第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?数论综合答案涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。
五年级数论数论综合一学生版
数论综合一知识要点一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；常见数的整除问题【例 1】 已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【例 2】 173□是个四位数字。
数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。
”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？【例 3】 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？【例 5】 （2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级2试）a ，b ，c ，d 各代表一个不同的非零数字，如果abcd 是13的倍数，bcda 是11的倍数，cdab 是9的倍数，dabc 是7的倍数，那么abcd是______。
数论练习题
数论练习题一、判断题1、任意两个不同质数必互质。
( )2、若n 是大于1的正整数，且所有不大于n 的质数都不能整除n,则n 是质数。
( )3、若是是奇数，则22b a abc +奇数。
（ ）4、若),(mod m bc ac ≡，则)(mod m b a ≡。
( )5、使得)8(mod 15≡x 成立的所有自然数为4的倍数。
（ ）6、三个成等差数列的基本勾股数只有3、4、5。
( )7、一个大于1的整数不是质数就是合数。
（ ）8、两个数的公因数一定是它们的最大公因数的因数 。
( )9、-27除以6的带余除法算式是-27=-4×6-3。
（ ）10、。
则，都是整数，且，若bc ac b a c b a , ( ) 11、)(m od )(m od 22m b a m b a ≡≡，则若。
（ ）12、不定方程264=+y x 的全部整数解为{)(6241Z t tx t y ∈-=+=。
( )13、一个质数P 与一个整数a ，它们要么互质，要么P|a 。
（ ）14、质数必为奇数，偶数必为合数。
（ ）15、设b a ，则a 是倍数，b 是约数。
（ ）16、若b a ，b c 则b ac 。
（ ）17、二元一次不定方程异号时有当b a c by ax ,,=+无穷多个自然数解。
二、填空题1、（108，42，24）=______,[108,42,24]=_________。
2、1000！末尾有____________个0。
3、[]{}_______3.1______,2=-=4、同余方程)10(mod 68≡x 的解是____________________。
5、模7的剩余类有且只有___________________________,7的非负最小完全剩余系是__________________________。
6、对于给定的模m ，两整数a,b 属于同一剩余类的充要条件是___________。
六年级上册数学课堂作业武汉2022
六年级上册数学课堂作业武汉2022武汉2022年小学六年级上册数学课堂作业一、数论综合题（10分）A：判断代数式的正确性：① 4的4次方÷4的2次方=4的2次方② (-6)的4次方÷(-6)的2次方=(-6)的2次方B：判断代数式的正确性：① (6+1)x(-3+4)=8② 3+(-5)=5答案：A①正确，A②错误；B①正确，B②错误。
二、基础练习（20分）A：计算(-7+3)x(-3+7)的结果（10分）答案：(-7+3)x(-3+7)=26。
B：求解：2（2x-6）=4（x+3）(10分）答案：解得 x=0 。
三、应用题（25分）A：张梅在一次拍卖会中，买了一件花瓶，在前面的竞价会中，他竞价了7次，比最后的竞价价格高了共18元；最后的竞价价格为150元，请问，张梅最终买到花瓶，总花费多少钱？（10分）答案：张梅最终买到花瓶，总花费为150元+18元=168元。
B：王林家有一台彩电，维修费用为225元，他支付维修费用的时候，现金支付的钱为200元，他又拿了5元1角硬币，以及20块钱的硬币，那么，他支付维修费用的总金额为多少？（15分）答案：王林支付维修费用的总金额为200元+5元1角+20块=225元。
四、定理证明（15分）A：证明正方形的对角线互相等（10分）证明：正方形是一种四边形，角度都为90度，所有相邻两条边之间的夹角也都为90度。
正方形有4条边，把4条边看作4条线段，这4条线段从左上到右下排列，由第一、第三条之间的距离与第二、第四条之间的距离的比相等，得出结论：正方形的对角线互相等。
B：证明全等三角形的角都是60度（5分）证明：全等三角形是三角形中所有边长相等的一种形态。
由外角和边长的关系推算，每个外角都得到360度÷3=120度，相减120度-60度=60度，即全等三角形的角都是60度。
高斯小学奥数六年级下册含答案第11讲_数论综合练习
5. (1) 答案：12 •解答：要被 72 整除，要求同时是 8 和 9 的倍数•由 8 的整除性，说明 23b 是 8 的倍数，b 2 •由 9 的
整除性质，说明 a 1 2
3 2 是 9 的倍数，a 1 •
(2) 答案：36.解答：由 10 20 b 1 a2 10 20 63 ab 是 99 的倍数，所以 ab 36 .
n 3 两数互质，因而两个数中必有一个数是
8 的倍数，也
必有一个数是 25 的倍数•于是有四种情形:
84n
25 n 3
、 8n 3 、 84 n 、
25 4 n 25 4 n 25 n
8 n 3 •每种情形对应的
3
最小 n 的值分别是 28、171、196、203 .所以所求的最小值是 28.
9
3
的小数部分即可，小数部分之和为
■ 12，所以结果为-.
99 9
9
3.
答案：4 •解答：Z 0&3571 草，是循环小数，循环节长度是 6 •小数点后第 2010 个数字是 4.
4. 答案：16、4896 .解答：
2010 2 3 5 67，约数有 1
1
7
1 67 4896 .
1 1 1 1 16 个，约数之和是
6. 6400，那么这两个自
然数的和是 _________•
两个自然数的最大公约数是 100,最小公倍数是 20100，这两个自然数的差是
7._____________________________________________________ 已知 a 是质数，b 是偶数，且 a2 b 2010， 则 a b ____________________________________________________
数论综合(一)同步练习
六年级奥数通用版数论综合（一）同步练习（答题时间：30分钟）一、3个连续的自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114，那么这3个数中最小的数是多少？二、箱子里有乒乓球若干个，其中25％是一级品，五分之几是二级品，其余91个是三级品，箱子里共有多少个乒乓球？三、4个不同质数的倒数和为2002x ，则x 等于多少？四、把33、51、65、77、85、91这6个数分为两组，每组3个数，使两组数的乘积相等。
五、两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，这两个数的和是多少？六年级奥数通用版数论综合（一）同步练习参考答案一、解：设中间数为x ，则有（x ＋1）x －（x －1）x ＝114，解得x ＝57，所以最小的数为56。
二、解：205%251y x =-- ，其中y 应该是91的约数，经过验证y=7. 所以箱里共有乒乓球91÷207＝260（个）。
三、解：200211311117121=+++，所以1623=x 。
四、解：将这6个数分别分解质因数，得到33＝3×11、51＝3×17、65＝5×13、77＝7×11、85＝5×17、91＝7×13。
题目中要求分组之后，两组数的乘积相等，那么每组数的所有质因数的组成必须相同。
观察前面计算的分解质因数算式，发现每个质因数都出现了两次，所以有相同质因数的两个数不能在同一组内。
按照这个原则，可以分组为（33，85，91）、（51，65，77），即33×85×91=51×65×77。
五、解：这两个数的最大公因数是21，分解质因数为21＝3×7；这两个数的最小公倍数是126，分解质因数为126＝3×7×2×3。
可以看出这两个数的公有质因数是3×7，126的独有质因数是2×3。
6＝1×6＝2×3，从而判断这两个数有两种情况：第一种情况：考虑6=1×6的情况，将最大公因数21分别与1和6相乘，就得到所求的两个数为21和126。
数论题练习
数论题练习（一）1. 求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .2. 对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．3．满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有（ ）．(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组4．正整数n 分别除以2,3,4,5,6,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9，则n 的最小值为 ．5．n 是一个三位数,b 是一个一位数,且22,1a ab b ab ++都是整数,求a b +的最大值与最小值.6．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．7．试求出所有这样的正整数a 使得关于x 的二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根.8．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？9．已知m、n均为正整数,且m>n,2006m2+m=2 007n2+n.问m-n是否为完全平方数?并证明你的结论.10．已知k为常数，关于x的一元二次方程(k2-2k)x2+(4-6k)x+8=0的解都是整数.求k的值. 11．已知n为自然数，9n2-10n+2 009能表示为两个连续自然数之积.则n的最大值为 .12．设a是3的正整数次幂，b是2的正整数次幂，试确定所有这样的,a b，使得二次方程20-+=的根是整数.x ax b13．是否存在这样的正整数n ,使得2371n n +-能整除321n n n +++?请说明理由。
第七讲数论综合-小学数学五年级下册-竞赛试题及答案-人教版---
第七讲数论综合小学数学五年级下册竞赛试题及答案人教版基础班练习七1．有算式□□×□□＋□×□。
将数字1～6填入到前面的算式的6个方框中, 能得到的最大结果是多少？分析：原式可得最大结果。
2．用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这八个数字组成两个四位数, 使它们的乘积最大, 这两个数是多少？分析：7642和8531。
3．求满足下列条件的最小的自然数：用3除余2, 用5除余1, 用7除余1分析：71。
4．（第五届希望杯培训题）布袋里装有玻璃弹子若干个, 如果每次取2个, 最后剩下1个；如果每次取3个, 最后剩下1个；如果每次取7个, 最后剩下3个.这个黑布袋中至少有个玻璃弹子.分析：我们不妨设黑布袋中至少有x个玻璃弹子, 那么x要满足的条件是：（1）x除以2余1, （2）x除以3余1, （3）x除以7余3。
我们先找到满足条件（2）、（3）的数字, 满足条件（3）的数字：10、17、24、31、38、45…, 在这其中满足条件（2）的数字是：10、31、…, 其中31也满足条件（1）, 那么这个黑布袋中至少有31个玻璃弹子.5．证明当a大于b时, （-）必是9的整倍, (+)必是11的整数倍。
分析：=10a+b, =10b+a, （-）=9（b+a）, (+)=11（b+a）。
6．有一个两位数, 如果把数码1加写在它的前面, 那么可得到一个三位数, 如果把1加写在它的后面, 那么也可以得到一个三位数, 而且这两个三位数相差414, 求原来的两位数。
分析：设原来的两位数为x, 则有（10x＋1）－（100＋x）＝414, 解得X=57。
提高班练习七1．用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这八个数字组成两个四位数, 使它们的乘积最大, 这两个数是多少？分析：7642和8531。
2．把50拆成若干个自然数的和, 要求这些自然数的乘积尽量大, 应如何拆？分析：16个3, 1个2。
小学数学数论练习题
小学数学数论练习题I. 选择题(每题2分，共40分)1. 以下哪个数是一个奇数？A. 32B. 58C. 45D. 762. 以下哪个数是一个素数？A. 15B. 23C. 30D. 423. 若一个数的各位数字之和能够被3整除，那么该数一定能被____整除。
A. 2B. 3C. 4D. 54. 以下哪个数是一个偶数？A. 27B. 14C. 35D. 415. 将以下数字按从大到小排列：17, 8, 29, 13A. 13, 17, 8, 29B. 13, 17, 29, 8C. 29, 17, 13, 8D. 29, 17, 8, 136. 依次删除下面数列中的每一个偶数，直到数列中只剩下奇数为止：10, 25, 14, 6, 9, 11A. 25, 9, 11B. 10, 25, 9, 11C. 25, 6, 9, 11D. 14, 6, 9, 117. 以下哪个数是一个完全平方数？A. 36B. 49C. 81D. 1008. 若一个数的个位数字为5，那么该数一定能被____整除。
A. 2B. 3C. 5D. 109. 以下哪个数不是质数？A. 37B. 45C. 53D. 6110. 将以下数字按从小到大排列：18, 9, 23, 7A. 9, 7, 18, 23B. 7, 9, 18, 23C. 23, 18, 9, 7D. 7, 23, 18, 9(每题3分，共30分)11. 16除以8的商是____。
12. 83是不是一个素数？答：____。
13. 23是一个奇数，61是一个偶数，那么它们的和是____。
14. 47是一个素数，72不是素数，那么它们的积是____。
15. 12的因数有____个。
III. 计算题(每题10分，共50分)16. 计算36和52的最大公约数。
17. 计算31和49的最小公倍数。
18. 一个水果摊上有30个苹果和20个橙子，想要将它们放进相同数量的袋子里，并且每个袋子内只放苹果或橙子。
《数论综合》配套练习题
《数论综合》配套练习题
一、解答题
1、有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？
2、一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自
然数去除220后所得的余数，
则这个自然数是多少？
3、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4.5米，黄鼠狼每次跳 2.75米，它们每秒钟都只跳一次。
比赛途中，从起点开始每隔12.375米设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？
4、有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好
是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？
5、少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；
1。
奥数六年级千份讲义498第十三讲数论综合(课后练习)
第十三讲 数论综合（课后练习）
1. “135135418⨯3824+51613”计算结果分别除以5、7、9、11、13后，所得的余数依次为___、___、___、___、___；
2. 19901991…20052006÷55的余数是_____；
3. 由0~9十个数字组成的十位数称为十全数。
求：
1） 能被11整除的最小十全数
2） 能被11整除的最大十全数
4. 301⨯302⨯303⨯…⨯1998=12n ⨯M ，其中n 和M 都是整数，那么n 最大等于 ；
5. 一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．那么，原来的四位数等于
6. 计算：313233318[][][][]19191919
⨯⨯⨯⨯++++=______；
7. 一个四位数被它后两位数（如果十位数字是0，就只用个位数字）除后，得到一个完全平方数，且这个完全平方数正好是四位数的前两位数加1后的平方。
请写出所有这样的四位数：
8. 已知9|2006A B ，11|2006A B 。
那么两位数AB 等于
9. A =2007200620062007+，那么A 除以9的余数是 ；A 是否为一个平方数 （填“是”或“否”）。
为什么？
10.
m n =1+12+13+...+1131,其中m n 为最简分数，求证：分子m 是质数137的倍数。
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数论综合练习五年级奥数：数的整除性试题一、填空题1.、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3、能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4、能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5、1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6、所有能被3整除的两位数的和是______.7、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8、如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10、有四个数921438、76186、750235、2660161，其中只有_____是完全平方数.二、解答题1、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？2、在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。
3、被除数,除数,商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数.4、(美国长岛小学数学竞赛)写出所有的除109后余数为4的两位数.5、1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.6、把一个两位数的十位和个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数，如果原来的两位数和交换后的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【质数、合数】和【约数和倍数】和【余数】7、某个质数加上6或者前去6得到的数仍然是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来。
8、甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135.那么甲最小为多少？9、480有多少个约数？10、试求出一个最小的整数，它正好有12个约数。
11、四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个是多少？12、有一类三位数，它们除以6余5，除以8余5，除以9余5，请问这些三位数中，最小的一个是多少？13、两个数的积为126，最大公约数为3，则这两个数的最小公倍数是多少？14、将自然数a和b分解质因数，得到a=2×5×7×m，b=3×5×m，如果a与b的最小公倍数是2730，那么m为多少？15、一个四位数是一个完全平方数，并且前两位数字相等，后两位数字相等，求这个四位数。
16、在555555的约数中，最大的三位数是多少?数论综合练习五年级奥数：数的整除性试题一、填空题1.、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.【解析】7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,3771 9=419.2、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.【解析】1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3、能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.【解析】990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4、能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.【解析】99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5、1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.【解析】3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)2100-(3+99)233=5050-1683=33676、所有能被3整除的两位数的和是______.【解析】1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)302=16657、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.【解析】96910或46915五位数能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.当B=0时,能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8、如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.【解析】90因为105=3 57,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。
根据能被5整除的数的特征，可知这个六位数的个位数只能是0或5两种，再根据能被3整除的数的特征，可知这个六位数有如下七个可能：199200，199230，199260，199290，199215，199245，199275.最后用7去试除知,199290能被7整除.所以,199290能被105整除,它的最后两位数是90.[注]此题也可以这样思考:先把后面两个方框中填上0后的199200除以105,根据余数的大小来决定最后两个方框内应填什么.199200105=1897 (15)105-15=90如果199200再加上90，199290便可被105整除，故最后两位数是90.9、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.【解析】4316因为99=9 11,所以42□28□既是9的倍数,又是11的倍数.根据是9的倍数的特点,这个数各位上数字的和是9的倍数.42□28□这个六位数中已知的四个数的和是4+2+2+8=16,因此空格中两个数字的和是2或11.我们把右起第一、三、五位看做奇位，那么奇位上已知两个数字的和是2+2=4，而偶位上已知两个数字的和是4+8=12，再根据是11的倍数的特点，奇位上数字的和与偶位上数的和之差是0或11的倍数，所以填入空格的两个数应该相差3或相差8.从以上分析可知填入的两个数字的和不可能是2,应该是11.显然它们的差不可能是8,应该是3,符合这两个条件的数字只有7和4.填入空格时要注意7填在偶位上,4填在奇位上,即原六位数是42 7 28 4 ，又427284 99=4316，所以所得的商是4316.二、解答题1、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？【解析】设补上的三个数字组成三位数,由这个七位数能被2,5整除,说明c=0;由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a+b 能被3整除;由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除; 由所组成的七位数应该最小,因而取a+b=3,a-b=1,从而a=2,b=1.所以这个最小七位数是1992210.[注]小朋友通常的解法是:根据这个七位数分别能被2,3,5,11整除的条件,这个七位数必定是2,3,5,11的公倍数,而2,3,5,11的最小公倍数是2 3511=330. 这样,1992000 330=6036…120，因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数,即 1992000+(330-120)=1992210.2、在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。
【解析】能被4整除的数有7756，3728，8064；能被8整除的数有3728，8064；能被9整除的数有234，8865，8064。
3、被除数,除数,商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数.【解析】方法1:通过对题意的理解我们可以得到:被除数=除数×商+余数=除数×33+52;又有被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数;所以除数×33+52=2058-除数;则除数=(2058-52)÷34=59,被除数=2058-59=1999.方法2:此题也可以按这个思路来解:从被除数中减掉余数52后,被除数就是除数的33倍了,所以可以得到:2143-33-52-52=(33+1)×除数,求得除数=59 ,被除数=33×59+52=1999 .4、(美国长岛小学数学竞赛)写出所有的除109后余数为4的两位数.【解析】分析:还是把带有余数的问题转化成整除性的问题,也就是要找出能整除(109-4)的所有的两位数.进一步,要找出能整除105的两位数,很简单的方法就是把105分解质因数,从所得到的质因子中去凑两位数.109-4=105=3×5×7.因此这样的两位数是:15;35;21.5、1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.【解析】1013-12=1001,1001=7×11×13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.6、把一个两位数的十位和个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数，如果原来的两位数和交换后的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】位值原理，947、某个质数加上6或者前去6得到的数仍然是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来。
【解析】7 11 13 17 23 478、甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135.那么甲最小为多少？8、甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135.那么甲最小为多少？【解析】题中要求丙与135的乘积为甲的平方数,而且是偶数：（乙+乙）,这样我们分解为135=5×3×3×3,因此丙最小应该是2×2×5×3,所以甲最小是：2×3×3×5=90.9、480有多少个约数？【解析】分解质因数480=2×2×2×2×2×3×5 指数加一相乘：（5+1）×（1+1）×（1+1）=2410、试求出一个最小的整数，它正好有12个约数。