概率1-1 概率论与数理统计
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的可能性大小的数——概率．
一、频率
1.定义: 在相同的条件下，进行了n 次试验，若随机事件
A在n 次试验中发生了m次，则称 m/n 为事件Ａ
的频率，记作 fn ( A)，即
fn ( A)
m n
2.性质:
(1) 0 fn( A) 1,
(2) fn(S) 1, (3) 若 A1, A2 , , Ak 是两两不相容的事件，即
Ai Aj , i j,
则 fn( A1 A2 Ak ) fn( A1 ) fn( A2 ) fn( Ak )
经验表明，随着试验次数n的增大，频率值徘徊在某个 确定的常数附近．
例 “抛硬币”试验，设A表示“抛掷一枚硬币，其结果 出现正面”，将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做4遍 的结果如下：
S BA
2.和事件: A∪B={x | xA或xB}指事件A与B至少有一个
发生; 类似地,
n
B
(1) Ai -----事件A1, A2, …，An的和事件；
i 1
(2)
Ai
-----可列个事件A1,
A2,
…，An,
…的和。
i1
S A
3. 积事件: A∩B ={x | xA且xB} 事件A与事件B同时发
§1.1 随机试验 §1.2 样本空间、随机事件 §1.3 频率与概率 §1.4 等可能概型(古典概型) §1.5 条件概率 §1.6 独立性
第一章 概率论的基本概念
引言：
在我们所存在的客观世界中，有各种各样的现 象。如在标准大气压下，水加热到100°c就沸腾， 同性电荷互相排斥，异性电荷相互吸引。再如： 在相同条件下抛同一枚硬币，其结果可能正面朝 上，也可能反面朝上,并且在每次抛掷之前无法肯 定抛掷的结果。我们将上述两种现象分别称为确 定性现象和随机现象。
§1.2 样本空间、随机事件
一、样本空间
1.样本空间: 随机试验E的所有可能结果组成的集合. 记为S．
2.样本点: 样本空间S的元素，即E的每个可能结果．
例 写出§1.1节中所列的试验Ei 的样本空间: 试验E1: 抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.
S1={H, T},（H表示出现正面， T表示出现反面）
§1.1 随机试验
1.试验: 在这里试验可指各种各样的科学试验，也包括对事
物特征的观察与检测等．范围比较广泛．
例 E1: 抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.
E2: 将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况. E3: 将一枚硬币抛掷三次,观察反面出现的次数. E4: 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. E5: 记录某城市120急救电话台(某固定)一分钟内接到的
试验E2: 将一枚硬币抛掷三次, 观察正、反面出现的情况.
S2= {HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}
试验E3:将一枚硬币抛掷三次,观察反面出现的次数.
S3={0, 1, 2, 3} 试验E4:抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
S4={1, 2, 3 , 4, 5, 6} 试验E5:记录电话台(某固定)一分钟内接到的呼叫次数.
5.不可能事件: 空集Φ不包含任何样本点，它也作为样 本空间的子集，它在每次试验中都不发生， 称为不可能事件．
例1 E2:抛硬币三次,观察正面H、反面T出现的情况. 事件A1：“第一次出现的是T”，即 A1={THH，THT，TTH，TTT}
事件A2 ：“三次出现同一面”，即 A2 ={TTT，HHH}
二、概率 1.定义 设E 是随机试验，S是它的样本空间. 对于E 的每一
事件A 赋于一个实数，记为P(A), 称为事件A的概率, 如果 集合函数 P(•) 满足下列条件:
1 °非负性： 对于每一个事件A，有 P(A)≥0 ； 2 ° 规范性: 对于必然事件S , 有 P(S) = 1； 3 °可列可加性: 设A1 , A2 , … 是两两互不相容的事件，
(3) 设A, B是两个事件, 若A B, 则有 P(B– A)=P(B) – P(A) ; P(B)≥ P(A).
推论: 对于任意事件A,B有 P(B – A) = P(B) –P(AB).
(4) 对于任一事件A，有P(A)≤1.
(5) (逆事件的概率) 对于任一事件A，有P(A )=1 –P(A).
取出后不再放回，直到3件次品全部取出为止， 记录抽取次数； 3. 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
答：（1）S={2,3,….,12}； （2）S={3,4,….,10}； （3）S={(x, y, z)| x>0, y>0, z>0, x+y+z=1}
二、随机事件
在实际工作中，对于随机试验，人们通常所关心的是满足 某种条件的的那些样本点所组成的集合．例如：若规定某种 灯泡的寿命（小时）小于600为次品，则在试验E6中我们关 心灯泡的寿命是否有t≥600小时．满足这一条件的样本点组 成S的一个子集A={t | t≥600}, 我们称A为试验E6的一个随机事 件．很显然，当且仅当子集A中的一个样本点出现时，有 t≥600．这时称A事件发生.
(2) 已知 P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AB)=0.6, 求 P(A B); (3) 已知 P(AB)=P(AB), P(A)=p, 求 P(B).
例2:试验E:“从4件产品中（2件正品，2件次品）任 取两件，观察产品情况”。
事件A: “两件都是正品” B: “至少有一件次品”
三、事件间的关系与事件的运算
(一)事件间的关系
1.事件的包含: 若AB，称事件B包含事件A，指事件A发
生必导致事件B发生, 也称A是B的子事件．记为 AB.
显然, 对于任何事件A有 Ф A S． 事件的相等A=B: 若AB且 B A 。
呼叫次数. E6: 在一批灯泡中任意抽取一只, 测试其寿命.
2. 随机试验：如果试验具有如下特点： 1°在相同的条件下可以重复地进行;
2°每次试验的结果不止一个, 但事先能明确试 验的所有可能结果;
3°进行一次试验之前，不能确定哪一个结果会 出现.
这种试验称为随机试验。常用字母E表示.
本书后面所提到的试验都是指随机试验. 我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。
确定性现象：在一定条件下必然发生。
随机现象它：是不可预知的，在一定条件下，出现的 可能结果有多个，这多个可能结果是确定的；而 在一次试验中，哪个结果出现是偶然的，不确定 的；
但在大量重复试验中，结果出现又存在某种规 律性----统计规律性。
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统 计规律性的一门数学学科.
定义
1.随机事件: 试验E的样本空间 S 的子集为E的随机事件， 简称事件．
2.事件发生: 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个 样本点出现时，称这一事件发生．
3.基本事件: 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件．
4.必然事件: 由于样本空间S包含所有的样本点，它是S自 身的子集．在每次试验中它总是发生的，称 为必然事件．
概率论与数理统计 第1讲
主 讲: 赵玉环
由于时间所限 只讲第一章到第八章的内容
基本要求：1 学生必须带书到课； 2 完成布置的作业； 3 上课时手机静音。
否则平时成绩将会降低．
由于学生人数多 每次只能分成组改部分作业，每位同学可根据 书本后面的参考答案, 检查自己的作业.
第一章 概率论的基本概念
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ． 4. 德.摩根律(对偶原理) ： A∪B=A∩B, A∩B=A∪B
n
n
n
n
类似有： Ai Ai ,
Ai Ai
i 1
i 1
i 1
i 1
5. 对必然事件的运算法则：A∪S=S, A∩S=A
6.对不可能事件的运算法则：A∪Φ=A,A∩Φ=Φ．
类似地,
生，这一事件称为事件A与B的积，或记为AB; n
Ai ：事件A1, A2, …，An积事件；
i1
B
An ：事件A1, A2, …，An, …积事件。
n1
S A
4.差事件: A-B={x| xA且xB} 事件A发生而事件B不
发生，这一事件称为事件 A与事件B的差.
5.互不相容(互斥)的事件: 若A∩B=Φ，称事件A与B是互不
(6) (加法公式) 对于任意两事件A,B 有
P(A∪B )=P(A)+P(B)-P(AB)
推论1: 设A1, A2, A3为任意三个事件，则有： P(A1∪A2∪A3)=P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1A2A3)
相容事件，或互斥事件，指事件A与事件B不能同时发生。
6. 对立事件(互逆事件): 若A∪B=S且 A∩B=Φ，则称事件
A与B为互逆事件。又称A与B互为对立事件。
A的对立事件记作 A . A S A
[注] (1) 基本事件都是互不相容的; A与B-A也是互
不相容的．
(2) 对于任意事件A，显然
A A=Φ, A∪A=S, A=S-A, A=A, (3) A-B=A B=A-AB=A∪B-B.
(4) A∪B= A∪(B-A) , A=AB∪AB
(二)事件的运算法则
1. 交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A ． 2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ． 3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ;
实验序号
n=5
m fn (A)
1 2 0.4
2 3 0.6 3 1 0.2
4 5 1.0
n=50 m fn (A) 22 0.44
25 0.50 21 0.42 25 0.50
n=500
m
fn ( A)
251 0.502
249 0.498 256 0.512 253 0.506
从上面的例子可以看出，试验次数n越大，出现正 面的频率越接近0.5，即频率稳定于1/2 ．经验表明：只要 试验是在相同的条件下进行的，则随机事件出现的频率 稳定于一个固定的常数，常数是事件本身所固有的，是 不随人们的意志而改变的一种客观属性，它是对事件出 现的可能性大小进行度量的客观基础．为了理论研究的 需要，从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出如 下度量事件发生可能性大小的概率的定义.
推论2: 对于任意n个事件A1 , A2 , … ，An，则有： n
P(A1∪A2∪ …∪An)= P( Ai ) P( Ai Aj )
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
1i jkn
例4 (1) 已知 P(AB)=0, 求 P(ABC);
S5={0, 1, 2 ,…} 试验E6:在一批灯泡中任意抽取一只, 测试其寿命.
S6={t | t≥0} （t表示灯泡的寿命）
[注] 样本空间是相对于某个随机试验而言，而其元素取决
于试验的内容和目的．
练习题：写出下列随机试验的样本空间：
1. 同时掷两枚骰子，记录其点数之和； 2. 10件产品中有3件是次品，每次从中取一件，
即对于 i j, Ai Aj ,i, j 1,2, , 则有
P(A1∪A2 ∪ …)=P( A1)+P(A2 )+ …
2. 性质
(1) P(φ)=0．
(2) (有限可加性) 若A1,A2,…,An是两两互不相容的事件, 则
P(A1∪A2∪…∪An)= P(A1)+P(A2)+ … +P(An)
(7) “三人中恰好有两人中靶”.
(8) “三人中至少有两人中靶”.
(9) “三人均未中靶”.
(10)“三人中至多有一人中靶”.
§1.3 频率与概率
对于随机试验来讲，随机试验的结果不止一个，且 试验前不可预知．就其一次具体的试验而言，其结果带有 很大的偶然性，似乎没有规律而言．但在大量的重复试验 中，就会发现有一定的规律性．人们希望找到一个合适的 数来表源自文库事件在一次试验中发生的可能性大小．因此，首 先引入频率的概念，它是通过实验结果来说明事件发生的 频繁程度；借助于频率，给出度量事件在一次试验中发生
例3 甲、乙、丙各射一次靶，记A为“甲中靶”，B为
“乙中靶”，C为“丙中靶”，则用上述事件的运算来分
别表示下列 各事件:
(1) “甲未中靶”.
(2) “甲中靶而乙未中靶”.
(3) “三人中只有丙未中靶”.
(4) “三人中恰好有一人中靶”.
(5) “三人中至少有一人中靶”.
(6) “三人中至少有一人未中 靶”.
一、频率
1.定义: 在相同的条件下，进行了n 次试验，若随机事件
A在n 次试验中发生了m次，则称 m/n 为事件Ａ
的频率，记作 fn ( A)，即
fn ( A)
m n
2.性质:
(1) 0 fn( A) 1,
(2) fn(S) 1, (3) 若 A1, A2 , , Ak 是两两不相容的事件，即
Ai Aj , i j,
则 fn( A1 A2 Ak ) fn( A1 ) fn( A2 ) fn( Ak )
经验表明，随着试验次数n的增大，频率值徘徊在某个 确定的常数附近．
例 “抛硬币”试验，设A表示“抛掷一枚硬币，其结果 出现正面”，将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做4遍 的结果如下：
S BA
2.和事件: A∪B={x | xA或xB}指事件A与B至少有一个
发生; 类似地,
n
B
(1) Ai -----事件A1, A2, …，An的和事件；
i 1
(2)
Ai
-----可列个事件A1,
A2,
…，An,
…的和。
i1
S A
3. 积事件: A∩B ={x | xA且xB} 事件A与事件B同时发
§1.1 随机试验 §1.2 样本空间、随机事件 §1.3 频率与概率 §1.4 等可能概型(古典概型) §1.5 条件概率 §1.6 独立性
第一章 概率论的基本概念
引言：
在我们所存在的客观世界中，有各种各样的现 象。如在标准大气压下，水加热到100°c就沸腾， 同性电荷互相排斥，异性电荷相互吸引。再如： 在相同条件下抛同一枚硬币，其结果可能正面朝 上，也可能反面朝上,并且在每次抛掷之前无法肯 定抛掷的结果。我们将上述两种现象分别称为确 定性现象和随机现象。
§1.2 样本空间、随机事件
一、样本空间
1.样本空间: 随机试验E的所有可能结果组成的集合. 记为S．
2.样本点: 样本空间S的元素，即E的每个可能结果．
例 写出§1.1节中所列的试验Ei 的样本空间: 试验E1: 抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.
S1={H, T},（H表示出现正面， T表示出现反面）
§1.1 随机试验
1.试验: 在这里试验可指各种各样的科学试验，也包括对事
物特征的观察与检测等．范围比较广泛．
例 E1: 抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.
E2: 将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况. E3: 将一枚硬币抛掷三次,观察反面出现的次数. E4: 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. E5: 记录某城市120急救电话台(某固定)一分钟内接到的
试验E2: 将一枚硬币抛掷三次, 观察正、反面出现的情况.
S2= {HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}
试验E3:将一枚硬币抛掷三次,观察反面出现的次数.
S3={0, 1, 2, 3} 试验E4:抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
S4={1, 2, 3 , 4, 5, 6} 试验E5:记录电话台(某固定)一分钟内接到的呼叫次数.
5.不可能事件: 空集Φ不包含任何样本点，它也作为样 本空间的子集，它在每次试验中都不发生， 称为不可能事件．
例1 E2:抛硬币三次,观察正面H、反面T出现的情况. 事件A1：“第一次出现的是T”，即 A1={THH，THT，TTH，TTT}
事件A2 ：“三次出现同一面”，即 A2 ={TTT，HHH}
二、概率 1.定义 设E 是随机试验，S是它的样本空间. 对于E 的每一
事件A 赋于一个实数，记为P(A), 称为事件A的概率, 如果 集合函数 P(•) 满足下列条件:
1 °非负性： 对于每一个事件A，有 P(A)≥0 ； 2 ° 规范性: 对于必然事件S , 有 P(S) = 1； 3 °可列可加性: 设A1 , A2 , … 是两两互不相容的事件，
(3) 设A, B是两个事件, 若A B, 则有 P(B– A)=P(B) – P(A) ; P(B)≥ P(A).
推论: 对于任意事件A,B有 P(B – A) = P(B) –P(AB).
(4) 对于任一事件A，有P(A)≤1.
(5) (逆事件的概率) 对于任一事件A，有P(A )=1 –P(A).
取出后不再放回，直到3件次品全部取出为止， 记录抽取次数； 3. 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
答：（1）S={2,3,….,12}； （2）S={3,4,….,10}； （3）S={(x, y, z)| x>0, y>0, z>0, x+y+z=1}
二、随机事件
在实际工作中，对于随机试验，人们通常所关心的是满足 某种条件的的那些样本点所组成的集合．例如：若规定某种 灯泡的寿命（小时）小于600为次品，则在试验E6中我们关 心灯泡的寿命是否有t≥600小时．满足这一条件的样本点组 成S的一个子集A={t | t≥600}, 我们称A为试验E6的一个随机事 件．很显然，当且仅当子集A中的一个样本点出现时，有 t≥600．这时称A事件发生.
(2) 已知 P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AB)=0.6, 求 P(A B); (3) 已知 P(AB)=P(AB), P(A)=p, 求 P(B).
例2:试验E:“从4件产品中（2件正品，2件次品）任 取两件，观察产品情况”。
事件A: “两件都是正品” B: “至少有一件次品”
三、事件间的关系与事件的运算
(一)事件间的关系
1.事件的包含: 若AB，称事件B包含事件A，指事件A发
生必导致事件B发生, 也称A是B的子事件．记为 AB.
显然, 对于任何事件A有 Ф A S． 事件的相等A=B: 若AB且 B A 。
呼叫次数. E6: 在一批灯泡中任意抽取一只, 测试其寿命.
2. 随机试验：如果试验具有如下特点： 1°在相同的条件下可以重复地进行;
2°每次试验的结果不止一个, 但事先能明确试 验的所有可能结果;
3°进行一次试验之前，不能确定哪一个结果会 出现.
这种试验称为随机试验。常用字母E表示.
本书后面所提到的试验都是指随机试验. 我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。
确定性现象：在一定条件下必然发生。
随机现象它：是不可预知的，在一定条件下，出现的 可能结果有多个，这多个可能结果是确定的；而 在一次试验中，哪个结果出现是偶然的，不确定 的；
但在大量重复试验中，结果出现又存在某种规 律性----统计规律性。
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统 计规律性的一门数学学科.
定义
1.随机事件: 试验E的样本空间 S 的子集为E的随机事件， 简称事件．
2.事件发生: 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个 样本点出现时，称这一事件发生．
3.基本事件: 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件．
4.必然事件: 由于样本空间S包含所有的样本点，它是S自 身的子集．在每次试验中它总是发生的，称 为必然事件．
概率论与数理统计 第1讲
主 讲: 赵玉环
由于时间所限 只讲第一章到第八章的内容
基本要求：1 学生必须带书到课； 2 完成布置的作业； 3 上课时手机静音。
否则平时成绩将会降低．
由于学生人数多 每次只能分成组改部分作业，每位同学可根据 书本后面的参考答案, 检查自己的作业.
第一章 概率论的基本概念
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ． 4. 德.摩根律(对偶原理) ： A∪B=A∩B, A∩B=A∪B
n
n
n
n
类似有： Ai Ai ,
Ai Ai
i 1
i 1
i 1
i 1
5. 对必然事件的运算法则：A∪S=S, A∩S=A
6.对不可能事件的运算法则：A∪Φ=A,A∩Φ=Φ．
类似地,
生，这一事件称为事件A与B的积，或记为AB; n
Ai ：事件A1, A2, …，An积事件；
i1
B
An ：事件A1, A2, …，An, …积事件。
n1
S A
4.差事件: A-B={x| xA且xB} 事件A发生而事件B不
发生，这一事件称为事件 A与事件B的差.
5.互不相容(互斥)的事件: 若A∩B=Φ，称事件A与B是互不
(6) (加法公式) 对于任意两事件A,B 有
P(A∪B )=P(A)+P(B)-P(AB)
推论1: 设A1, A2, A3为任意三个事件，则有： P(A1∪A2∪A3)=P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1A2A3)
相容事件，或互斥事件，指事件A与事件B不能同时发生。
6. 对立事件(互逆事件): 若A∪B=S且 A∩B=Φ，则称事件
A与B为互逆事件。又称A与B互为对立事件。
A的对立事件记作 A . A S A
[注] (1) 基本事件都是互不相容的; A与B-A也是互
不相容的．
(2) 对于任意事件A，显然
A A=Φ, A∪A=S, A=S-A, A=A, (3) A-B=A B=A-AB=A∪B-B.
(4) A∪B= A∪(B-A) , A=AB∪AB
(二)事件的运算法则
1. 交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A ． 2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ． 3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ;
实验序号
n=5
m fn (A)
1 2 0.4
2 3 0.6 3 1 0.2
4 5 1.0
n=50 m fn (A) 22 0.44
25 0.50 21 0.42 25 0.50
n=500
m
fn ( A)
251 0.502
249 0.498 256 0.512 253 0.506
从上面的例子可以看出，试验次数n越大，出现正 面的频率越接近0.5，即频率稳定于1/2 ．经验表明：只要 试验是在相同的条件下进行的，则随机事件出现的频率 稳定于一个固定的常数，常数是事件本身所固有的，是 不随人们的意志而改变的一种客观属性，它是对事件出 现的可能性大小进行度量的客观基础．为了理论研究的 需要，从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出如 下度量事件发生可能性大小的概率的定义.
推论2: 对于任意n个事件A1 , A2 , … ，An，则有： n
P(A1∪A2∪ …∪An)= P( Ai ) P( Ai Aj )
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
1i jkn
例4 (1) 已知 P(AB)=0, 求 P(ABC);
S5={0, 1, 2 ,…} 试验E6:在一批灯泡中任意抽取一只, 测试其寿命.
S6={t | t≥0} （t表示灯泡的寿命）
[注] 样本空间是相对于某个随机试验而言，而其元素取决
于试验的内容和目的．
练习题：写出下列随机试验的样本空间：
1. 同时掷两枚骰子，记录其点数之和； 2. 10件产品中有3件是次品，每次从中取一件，
即对于 i j, Ai Aj ,i, j 1,2, , 则有
P(A1∪A2 ∪ …)=P( A1)+P(A2 )+ …
2. 性质
(1) P(φ)=0．
(2) (有限可加性) 若A1,A2,…,An是两两互不相容的事件, 则
P(A1∪A2∪…∪An)= P(A1)+P(A2)+ … +P(An)
(7) “三人中恰好有两人中靶”.
(8) “三人中至少有两人中靶”.
(9) “三人均未中靶”.
(10)“三人中至多有一人中靶”.
§1.3 频率与概率
对于随机试验来讲，随机试验的结果不止一个，且 试验前不可预知．就其一次具体的试验而言，其结果带有 很大的偶然性，似乎没有规律而言．但在大量的重复试验 中，就会发现有一定的规律性．人们希望找到一个合适的 数来表源自文库事件在一次试验中发生的可能性大小．因此，首 先引入频率的概念，它是通过实验结果来说明事件发生的 频繁程度；借助于频率，给出度量事件在一次试验中发生
例3 甲、乙、丙各射一次靶，记A为“甲中靶”，B为
“乙中靶”，C为“丙中靶”，则用上述事件的运算来分
别表示下列 各事件:
(1) “甲未中靶”.
(2) “甲中靶而乙未中靶”.
(3) “三人中只有丙未中靶”.
(4) “三人中恰好有一人中靶”.
(5) “三人中至少有一人中靶”.
(6) “三人中至少有一人未中 靶”.