平面向量应用举例第一课时教学设计

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平面向量及其应用单元教学设计

平面向量及其应用单元教学设计一、教学目标1.了解平面向量的概念和基本性质；2.掌握平面向量的运算法则和性质；3.能够应用平面向量解决实际问题，如平面几何、力的合成等。

二、教学重点1.平面向量的概念和基本性质；2.平面向量的运算法则和性质。

三、教学难点1.平面向量的运算法则和性质的灵活应用；2.高级问题的解题思路。

四、教学过程第一课时：平面向量的概念和基本性质1.引入（5分钟）通过引入平面几何中的问题，如平面上两点的连线，引导学生了解平面向量的概念，激发学生的兴趣。

2.概念解释（10分钟）给出平面向量的定义，并通过一些实际例子进行解释，让学生理解平面向量的基本概念和含义。

强调向量有大小和方向之分。

3.向量的表示（10分钟）介绍向量的表示方法，如用有序数对表示、用字母表示等，并通过图示向学生做具体演示，帮助学生理解。

4.向量的相等和相反（10分钟）让学生通过比较向量的对应坐标来判断向量的相等和相反的概念，引导学生思考向量的性质。

5.向量的性质（10分钟）讲解向量的性质，如平行四边形法则、三角形法则、平行性、垂直性等，并给予一些实例进行解释和演示。

第二课时：平面向量的运算法则和性质1.平行向量与共线向量（10分钟）通过对两个向量的坐标做比较，让学生通过观察判断向量的平行和共线性质，并解释其原理。

2.向量的加法（15分钟）介绍向量的加法法则，通过向量的对应坐标相加得到结果向量的坐标，然后通过图示向学生做具体演示，并做练习题帮助巩固。

3.向量的减法（15分钟）介绍向量的减法法则，通过向量的对应坐标相减得到结果向量的坐标，然后通过图示向学生做具体演示，并做练习题帮助巩固。

4.向量的数量积（10分钟）介绍向量的数量积运算法则，通过两个向量对应坐标相乘并相加得到结果标量，让学生理解向量的数量积运算。

第三课时：平面向量的应用1.平面几何问题（10分钟）通过一些实际问题，如平面上的三角形面积、距离问题等，让学生应用平面向量解决几何问题。

平面向量(第一课)教案

BACο60平面向量的概念及表示(教案)本节课的授课思路：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念，通过自主学习探究形成知识和能力，通过练习发现问题、解决问题，从而形成本节知识的注意点。

并通过课堂练习巩固和加深。

教学目标：1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；2、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.授课类型：新授课教学过程：活动一：了解向量的实际背景，感受平面向量的概念。

1、阅读并思考回答下列问题：（在三角函数中有个常见问题—追击问题，以此引入本课课题）如图，某时刻某缉私船位于海上位置A 处，突然发现一只走私船正位于其正西方位B 处，且正以北偏西ο60的方向逃跑，与此同时，缉私船立即开始追击此走私船。

试分析以下几个问题①若缉私船沿AB追击走私船，能否追击到？为什么？即使速度再大也不能追击到，因为方向错了。

②如果要能够追击到缉私船，需要具备那些条件呢？需要选择适当的方向和速度的大小，缺一不可。

上述事例说明了什么？在现实生活中，还有哪些量也需要考虑这些条件？说明了在决定追击走私船的过程中，缉私船的运动必须具备双重条件方向和大小。

在我们所学的一些量中有位移、速度、加速度、力等均具备方向和大小；用什么样的数学模型来刻画这些具有双重身份的量呢？这就是本节课要跟大家学习的――平面向量。

2、探究并形成结论：（1）向量的概念：具有大小和方向的量叫向量。

平面向量基本定理(教学设计)

《平面向量基本定理（第一课时）》教学设计一、教材分析：本节内容是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修4第二章第3节“平面向量基本定理及坐标表示”的第一课时内容，本节共2个课时。

平面向量基本定理是本节的重点也是本节的难点。

平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，由于高中数学设计的向量是自由向量，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任何一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点和两个不共线的向量得到表示，这是引进平面向量基本定理一个原因（学生可以不讲）。

实际上，本节课在本章中起到一个“承上启下”的作用，一方面要在平面向量线性运算的基础上归纳定理，另一方面，作为平面向量基本定理的特殊情况，研究平面向量的正交分解及坐标表示，是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是学生后续学习向量坐标表示的基础。

二、学情分析：知识方面：学生学习了第一节“平面向量的实际背景及基本概念”和第二节“平面向量的线性运算”，已经有了一定的平面向量基础知识，学力和能力方面：授课对象为省级示范学校高一学生，有比较扎实的数学基本知识，其数学基本素养和学习能力应该在普通高中学生中处于中上水平。

三、教师教学的出发点：根据课程标准的要求备课，备学生，把课程标准的要求溶解在课堂中，让学生在潜移默化中提高数学素养。

本节课的教学设计主要是针对学习情况为中等的学生（占大多数），第一、注重知识的生成，通过创设问题情境，引导学生自主学习，主动探究发现新知（平面向量基本定理）；第二、注重数学思维的培养，通过问题的两个方面，即平面向量合成和分解，培养学生的观察能力，启发学生的逆向思考能力，抽象概括能力，引导学生进行适当的合情推理（定理的证明）；第三、注重对知识的理解、消化、应用，主要通过典型的问题，掌握对新知的应用，可进行适当的拓展，发散思维；第四：激发学生的学习兴趣，在3个方向：新知识的维度拓展的兴趣激发，解决几何问题的兴趣激发，后续学习的兴趣激发。

《平面向量的应用》教学设计

《平面向量的应用》单元教学设计一、单元教学内容及内容解析1．内容平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例、余弦定理和正弦定理及其应用举例．建议用2课时．第一课时：平面几何中的向量方法；第二课时：向量在物理中的应用举例．2．内容解析本单元是在学生已经学习了平面向量的概念和运算的基础上，应用平面向量解决问题．本单元是为了体现向量的工具性，即运用向量方法解决平面几何、物理中的问题．通过本部分内容的学习，可以促使学生认识到向量与实际生活紧密相连，有极其丰富的实际背景，有着广泛的实际应用，有助于激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，使他们真正认识到数学的应用价值，从而提高学生应用数学的意识．因此本单元具有很高的教育教学价值，它对更新和完善知识结构具有重要的意义．本单元强调了向量的工具特性，能用向量语言和方法表述、解决平面几何和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．其中，特别强调了用向量解决几何问题的基本思想——“三步曲”，从而较好地体现了数形结合思想．基于以上分析，可以确定本单元的教学重点是：掌握平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例．二、单元教学目标及目标解析1．目标（1）掌握向量在平面几何中的初步运用，会用向量知识解决平面几何问题；（2）运用向量的方法分析和解决物理中的相关问题；2．目标解析达成目标（1）的标志是，学生能用向量方法解决简单的平面几何问题，能掌握向量法解决几何问题的“三步曲”；深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性．达成目标（2）的标志是，学生能用向量方法解决物理中的问题，体会向量是一种处理物理问题的工具，能体会向量在解决物理当问题中的工具性特点．三、单元教学问题诊断分析本单元要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情景，从而引导学生认识到向量是描述现实问题或数学问题的一种数学模型．同时还要通过解决一些实际问题或几何问题，使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法．这一要求会让一些生活经验匮乏或物理学科知识不足的学生感到困难．向量运算有两个方面：代数表示与几何意义．由于在新知识的学习过程中，它们相对孤立，学生对他们的认识也就不容易形成体系，所以在前面新授课时应有意识地做一些渗透和铺垫，在本单元应强调它们的区别与联系，以便学生更加全面、深刻地认识向量．向量显著的优势表现在：利用向量知识解决几何问题，可以避开繁琐复杂的定性分析，把抽象的理论证明转化为向量代数运算，实现从“定性”到“定量”的转化．学生逻辑推理能力的不足可能造成把几何问题转化为向量问题的困难．基于上述分析，本单元的教学难点：（1）如何将平面几何问题转化为向量问题；（2）将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题，并用向量方法解决．教学中，应揭示知识背景，强化学生的参与意识，借助多媒体手段（几何画板、Geogebra等作图工具），加强学生对向量工具性的理解．这些是突破向量应用难点的支撑条件．四、教学过程设计平面向量应用的教学，按“创设情境——引出问题——应用向量解决问题——归纳”的过程展开．第一课时（一）课时教学内容利用向量方法解决平面几何中的相关问题．（二）课时教学目标1．利用向量的方法解决平面几何中的相关问题，掌握向量法解决几何问题的“三步曲”；2．深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性．（三）教学重点与难点重点：利用向量的方法解决平面几何中的相关问题，掌握向量法解决几何问题的“三步曲”．难点：将平面几何问题转化为向量问题的化归思想，深切体会向量的工具性这一特点．（四）教学过程设计1．复习引入问题1由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，你能将以下平面几何元素及其表示转化为向量及其运算吗？师生活动：师生共同回忆完成．设计意图：为向量在平面几何中的应用提供理论依据．2．探究新知问题2如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：师生活动：引导学生回忆初中的证明方法．设计意图：三角形中位线定理是平面几何中的重要定理之一，在平面几何的学习中，学生曾经用不同的方法进行过证明，但常常因为需要添加辅助线而使得证明显得较为困难．这里用向量方法证明该定理，可以和初中时的几何证法做一个对比，体现向量在解决几何问题中的优越性．追问如何利用向量推导三角形内线段长度关系？师生活动：引导学生思考．（1）平面几何中求线段的长度问题在向量中就是求向量的模的问题．（2）解题的关键是选择基底．（3）可以取基底（4）师生共同完成证明．设计意图：要求用向量方法证明这一定理，旨在体现向量在平面几何问题证明中的应用，排除因添加辅助线而带来的困难，凸显向量方法在证明某些几何问题中的优越性．掌握证明几何问题的向量方法，体会向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．3．理解新知问题3通过问题2的解决，请大家总结用向量法解决平面几何问题的“三步曲”．师生活动：归纳小结向量方法解决几何的步骤：设计意图：经历例1的证明，学生归纳总结，由此体会向量解决几何问题可以按一定的运算程序进行操作，进而使学生明确用向量方法解决几何问题的“三步曲”，使学生对所学知识系统化、条理化．4．运用新知问题4已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？师生活动：（1）引导学生猜想：矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？（2）把这个结论：从矩形推广到平行四边形，这个结论还成立吗？设计意图：通过引导学生从特殊图形出发，得出结论，再过渡到平行四边形，降低例2的思维难度，体验特殊到一般的数学思想．（3）引导学生用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”解决问题：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：（4）思考：你能用文字语言叙述这个关系式的意义吗？平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．设计意图：通过用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系，掌握用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积，进一步体会向量方法解决几何问题的“三步曲”解决问题．追问1 还可以选择其他基底吗？师生活动：引导学生也可以取为基底．追问2问题4还可以用什么方法证明？师生活动：引导学生建立直角坐标系，设计意图：让学生体会用向量方法研究几何问题还可以建立平面直角坐标系．5．反思总结问题5通过以上问题的解决，我们总结一下运用坐标解决平面几何问题可以分哪几个步骤？师生活动：共同简述：形到向量（转化）向量的运算（运算）向量和数到形（翻译）．（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系．设计意图：学生通过归纳发现，由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，学生可按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度．6．课堂练习教科书第39页的练习．设计意图：通过练习及时巩固、反馈．7．作业习题6.4的第1，2，3题．（五）目标检测设计1．如图，已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角．求证：∠ABC=90°．设计意图：考查学生对向量方法证明几何问题的掌握情况．2．如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求的余弦值．设计意图：考查学生对向量方法证明几何问题的掌握情况．第二课时（一）课时教学内容1．通过向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用以及向量在速度的分解与合成中的应用，用向量的方法解决物理中的关于力学、运动学等的相关问题；2．在实际问题中，运用向量的方法分析和解决物理中的相关问题．（二）课时教学目标1．经历用向量的方法解决物理当中的关于力学、运动学等的相关问题；2．体会向量在解决物理当中相关问题的工具性特点．（三）教学重点与难点重点：运用向量的有关知识解决物理中的相关问题．[来源:Zxxk．Com]难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．（四）教学过程设计1．创设情境，体验物理现象问题1如何运用向量工具解决物理中有关力的问题？在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？师生活动：先自主完成，然后小组探讨结论．设计意图：从学生身边的熟悉的例子切入主题，学生更有切身体会，有利于激发学生的学习兴趣．2．合作探究，解释物理现象师生活动：教师引导学生进行受力分析（注意分析对象），并把]上面的问题抽象为如右图所示的数学模型．由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形，只要分析清楚F，G，三者之间的关系（其中F为的合力），就得到了问题的数学解释．设计意图：利用向量知识解决简单的物理问题．3．整理小结，归纳一般步骤问题2 你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?师生活动：学生先自主完成，然后师生一起归纳．用向量解决物理问题的一般步骤是：（1）问题的转化：把物理问题转化为数学问题；（2）模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；（3）参数的获得：求出数学模型的有关解；（4）问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象．设计意图：让学生总结解题方法和过程，提升学生对问题的归纳和总结能力，有效地建立知识框架．4．深入探索，拓展应用问题3运用向量工具解决物理中有关运动的问题如图，一条河两岸平行，河的宽度d=500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1 min）？师生活动：（1）教师启发学生思考：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶．由于水的流动，船被冲向下游，因而水速的方向是怎样呢？（因此要使船垂直到达对岸，就要使与的合速度的方向正好垂直于河岸方向）（2）教师再启发学生思考：此问题要求船实际的行进方向是垂直指向对岸的，这是合速度V的方向还是的方向？为什么？（3）教师启发学生画出和V的方向，让学生思考向量V-的方向如何确定．（4）教师启发学生利用三角形法则作出V-（即），再把的起点平移到A，也可直接用平行四边形法则作出．答：行驶航程最短时，所用时间是3. 1 min设计意图：体会向量在解决物理问题中的工具性特点，用向量方法解决物理中运动学有关“速度的合成与分解”等问题，加强数学的应用意识和逻辑推理及数学运算等核心素养．问题4一条河两岸平行，河的宽度d=500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度||=10 km/h，水流速度||=2 km/h，那么当用时最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1 min）？师生活动：组织学生讨论，共同得出答案．设计意图：作为问题3的变式，将“航程最短”的要求改为“用时最短”，培养和考查学生关于知识迁移的意识和能力．5．反思总结师生共同归纳：用向量知识解决物理问题的一般思路是：设计意图：归纳向量在解决物理问题中的一般思路，提升学生对问题的归纳和总结能力，有效地建立知识框架．6．课堂练习教科书第41页的练习．设计意图：通过练习及时巩固、反馈．7．作业习题6.4的第4，5题．（五）目标检测设计1．用两条成120°的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N．设计意图：考查学生利用向量方法解决物理问题（力学问题）的能力和掌握情况．2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝______ J．设计意图：考查学生利用向量方法解决物理问题（有关做功问题）的能力和掌握情况．3．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．设计意图：考查学生用向量方法解决物理问题（有关运动学问题）的能力和掌握情况．单元教学设计：余弦定理、正弦定理及其应用举例一、内容和内容解析1．内容余弦定理、正弦定理、运用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．建议用3课时：第一课时：余弦定理；第二课时：正弦定理；第三课时：正弦定理解决简单的实际问题．2．内容解析三角形的边角关系是三角形中最重要的关系之一，而余弦定理和正弦定理是刻画三角形边角关系最为重要的两个定理，它们为解三角形提供了基本而重要的工具．为了更好地体现向量的价值，教科书把余弦定理和正弦定理放在本节中，用向量方法推导了余弦定理和正弦定理．解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工具性和应用性，体现数学建模、数学运算、逻辑推理等数学核心素养．基于以上分析，确定本节课的教学重点：掌握余弦定理、正弦定理；能用向量方法证明余弦定理、正弦定理，会用余弦定理、正弦定理解三角形；运用余弦定理、正弦定理解决一些与测量有关的简单实际问题．二、目标和目标解析1．目标（1）用向量方法证明余弦定理、正弦定理．（2）用余弦定理、正弦定理解三角形．（3）余弦定理和正弦定理的应用．2．目标解析达成目标的标志是：（1）学生能用向量等知识证明余弦、正弦定理，能掌握余弦、正弦定理；（2）能初步运用余弦、正弦定理及其推论解斜三角形，能解决斜三角形的计算问题；（3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索．三、教学问题诊断分析一般地，当人们明确了学习某一知识的目的性和必要性以后，学习这一知识的热情必将得到极大的提高．然而，为什么要探究一般三角形中边角关系？如何探究一般三角形中边角关系？学生大多还缺乏明确的思想认识和有效的思维方法．余弦定理、正弦定理是三角形中的边、角定量关系．在初中，学生学过勾股定理、锐角三角函数（直角三角形中的边、角定量关系），并会用这些定量关系解直角三角形，用解直角三角形可以解决简单的实际问题．对于一般三角形，学生定性地研究过三角形中的边、角定量关系，知道边、角满足一定条件的两个三角形全等．在高中，学生进一步学习了任意角的三角函数与三角恒等变换，获得了用向量解决几何问题的方法，但是还缺乏由定性分析到定量研究的能力，生活实践经验较匮乏，将实际问题转化为数学问题的建模能力有待提高．基于上述分析，本单元的教学难点：用向量方法推导余弦定理和正弦定理，应用两个定理解决实际问题．四、教学支持条件在从特殊到一般地推导正弦定理时，可适当辅助几何画板，通过数学实验，得到正弦定理．五、教学过程设计第一课时（一）课时教学内容1．证明余弦定理的向量方法及余弦定理的两种表示形式；2．运用余弦定理解决“边角边”及“边边边”问题．（二）课时教学目标1．余弦定理的发现和证明过程；2．余弦定理的应用．（三）教学重点与难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其应用，体会向量方法推导余弦定理的思想．难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法，及余弦定理在求解三角形时的思路．（四）教学过程设计引言：对于三角形中的边角关系，尽管在初中已经有过诸如对“勾股定理”“锐角三角函数”这样的刻画一个直角三角形中，边与边之间或边与角之间的关系的定量研究，并且利用它们解决了直角三角形中边长和角度的求解问题．但是，在社会生产实践中，我们遇到的三角形更多的是一般三角形．因此，探究一般三角形中边角之间的定量关系，显得十分必要．对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法．这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的．那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？本节课我们就来探究这个问题．1．余弦定理的探究问题1我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示．那么，表示的公式是什么？例如，（1）在中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和c表示？（2）你认为可以用什么方法探究这个问题？师生活动：教师首先让学生明确上述数学问题．在中，已知BC=a，AC=b，BC和AC的夹角是C，如何用已知的边a，b和它们的夹角C表示第三边c？围绕问题（2），学生自行思考或相互商量探究问题（1）的方法，如坐标法、向量法、几何法都可以用于探究问题（1）．教师综合学生的意见，与学生协商并确定选用向量方法探索余弦定理．这里，教师重在引发学生的思考．考虑到教科书中采用向量法的意义和作用，因此教师可以作两手准备：若学生中有提出用向量法探究的，则协商并确定选用向量方法探究余弦定理是十分自然的．若学生中没有提出用向量法探究的，则教师可以启发学生思考：是否可以利用向量法探究．在此基础上，最终和学生共同确定用向量方法探索余弦定理，其他方法则可以酌情选用．具体地，用向量方法探索余弦定理可按如下步骤进行：①把几何元素用向量表示：③向量式化成几何式：设计意图：从“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”出发，进而阐明“给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的”事实，由此自然引出上述探究问题，即怎样根据三角形已知的两边及其夹角来确定第三边．三角形全等的判定只是定性地说明“给定两边及其夹角的三角形具有唯一确定性”的事实，而“用三角形已知的两边及其夹角表示第三边”反映的是三角形中边和角之间的量化关系．如此连贯地提出问题，旨在沟通新旧知识的相互联系，引导学生体会量化的思想和观点．探究问题（1）的方法不是唯一的．课堂上引发学生自行思考探究的不同方法，旨在尊重学生的主体地位．同时期望学生从不同角度，提出探究余弦定理的不同思路和方法，以此培养学生的发散思维．问题2 上面第②步中怎么想到选用数量积运算的？三个步骤遵循的是什么规则？师生活动：教师引导学生关注教科书的“我们的研究目标是用|a|，|b|和C 表示|c|，联想到数量积的性质，可以考虑用向量c（即a-b）与其自身作数量积运算”，思考教科书中这一段话的意义．教师可以如下总结：事实上，既然我们已经确定选用向量方法来探究，而在向量运算中，涉及向量的模及其两个向量夹角的运算只有数量积，因此我们考虑向量c（即a-b）与其自身作数量积运算．此外，上述①②③三个步骤，遵循的是利用向量方法处理平面几何问题的“三步曲”．这是因为，三角形是典型的平面几何图形之一，因而三角形中的边、角关系自然也是几何元素之间的一种关系．设计意图：这是推证过程中的难点．设计这个问题，旨在引导学生不仅知道“是什么”，而且更应当知道“为什么”．问题3：如何用已知的边b，c和它们的夹角A表示第三边a？如何用已知的边c，a和它们的夹角B表示第三边b？师生活动：学生自主猜想结论，并交流证明的思路．最后教师给出余弦定理．设计意图：得出余弦定理完整的形式．2．余弦定理与勾股定理的关系问题4勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？师生活动：教师引导学生分析，勾股定理指出了直角三角形中两条直角边及其所夹的直角与斜边之间的关系，而余弦定理揭示了一般三角形中任意两边及其夹角与第三边之间的关系，其根本的差异在于夹角．因此两个定理之间的关系应通过夹角的差异来分析．学生在教师的启发下自主分析，并总结出两个定理之间的关系．由此得出：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．设计意图：通过余弦定理与勾股定理关系的分析，引发学生提炼蕴含在问题中的“特殊与一般”的数学思想，帮助学生树立辩证观点．3．余弦定理的推论问题5利用余弦定理可以解决“已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边”的问题．然而，有时我们需要根据三角形的边长求角．请思考：能否将余弦定理适当变形，用三条边表示角？师生活动：学生在教师的引导下，根据余弦定理，自行得出定理的推论．在学生得出余弦定理的推论后，教师应进一步作如下阐述：余弦定理的每一个等式中都含有四个不同的量，它们分别是三角形的三条边和一个角．不难看出，已知其中的任意三个量，就可以求出第四个量．余弦定理的推论是用三角形的三条边表示角的余弦，进而可以求出角．设计意图：在解三角形的问题中，除了求未知的边以外，还会遇到求未知角的问题．提出问题5，旨在启发学生把“角的余弦”这个整体当成未知量，利用方程思想，探求关于“角的余弦”的表达式，为解决其他类型的三角形问题提供有力的工具．4．余弦定理及其推论的应用问题6利用余弦定理及其推论，可以解决哪几类解三角形的问题？。

平面向量的应用(教案)(教师版)

平面向量的应用(教案)【第一课时】教学重难点教学目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ 2．如何用向量方法解决物理问题？二、新知探究探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题例1：如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ．证明：法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋12b ，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋12a ，所以AF →·DE →＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0．故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE ．法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1），AF →＝（2，1），DE →＝（1，－2）．因为AF →·DE →＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE ．角度二：平面几何中的平行（或共线）问题：如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12．求证：点E ，O ，F在同一直线上．证明：设AB →＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点，所以FO →＝F A →＋AO →＝13BA →＋12AC →＝－13m ＋12（m ＋n ）＝16m ＋12n ，OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12（m ＋n ）－13m ＝16m ＋12n ．所以FO →＝OE →．又O 为FO →和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．角度三：平面几何中的长度问题：如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝6．用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用：（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F 1＝（3，4），F 2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0），求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：（1）如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB →＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC →|＝|AB →|＝12．5．|AD →|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．（2）设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s ．因为AB →＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）．所以W 1＝F 1·AB →＝（3，4）·（－13，－15）＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦）， W 2＝F 2·AB →＝（6，－5）·（－13，－15）＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）．用向量方法解决物理问题的“三步曲”三、课堂总结1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，即为力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F ||s |cos θ（θ为F 与s 的夹角）．四、课堂检测1．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（） A ．10 m/s B ．226 m/s C ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：选B ．由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图．所以小船在静水中的速度大小 |v |＝102＋22＝226（m/s ）．2．已知三个力f 1＝（－2，－1），f 2＝（－3，2），f 3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝（） A ．（－1，－2） B ．（1，－2） C ．（－1，2）D ．（1，2）解析：选D ．由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－（f 1＋f 2＋f 3）＝（1，2）．3．设P ，Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，AB ∥DC ，试用向量证明：PQ ∥AB ．证明：设DC →＝λAB →（λ＞0且λ≠1），因为PQ →＝AQ →－AP →＝AB →＋BQ →－AP →＝AB →＋12（BD →－AC →）＝AB →＋12[（AD →－AB →）－（AD →＋DC →）]＝AB →＋12（CD →－AB →）＝12（CD →＋AB →）＝12（－λ＋1）AB →，所以PQ →∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线，所以PQ ∥AB ．【第二课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？二、新知探究已知两边及一角解三角形：（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（）A ．42B ．30C ．29D ．25（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（）A ．2B ．3C ．2D ．3解析：（1）因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A ．（2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去．故选D ．答案：（1）A （2）D 互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋（23）2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4．规律方法：解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤（1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．（2）再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．探究点2：已知三边（三边关系）解三角形：（1）在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为（） A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°（2）在△ABC 中，若（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），则A 等于（） A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：（1）在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19，所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC 中的最大角与最小角的和为120°．故选B ．（2）因为（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈（0°，180°），所以A ＝60°．答案：（1）B （2）B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．探究点3：判断三角形的形状：在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ．由余弦定理并整理，得 b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab ，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形．规律方法：（1）利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．（2）判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2． ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2． ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2． ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2．三、课堂总结 1．余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ．3．三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．四、课堂检测1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝（） A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B ．cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12．所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°．2．在△ABC 中，已知（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝3bc ，则角A 等于（） A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B ．因为（b ＋c ）2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°．3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足（a ＋b ）2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________．解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，即c 2＝a 2＋b 2－ab ．① 又因为（a ＋b ）2－c 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43．答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0，展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2．根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【第三课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2．正弦定理的内容是什么？二、新知探究已知两角及一边解三角形：在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形．【解】因为A ＝45°，C ＝30°，所以B ＝180°－（A ＋C ）＝105°．由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝102．因为sin 75°＝sin （30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b ＝c sin B sin C ＝10×sin （A ＋C ）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56．已知三角形的两角和任一边解三角形的思路（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC 中的下列条件，解三角形：（1）a ＝10，b ＝20，A ＝60°；（2）a ＝2，c＝6，C ＝π3．解：（1）因为b sin B ＝asin A，所以sin B ＝b sin A a ＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a sin C c ＝22．因为c ＞a ，所以C ＞A ．所以A ＝π4．所以B ＝5π12，b ＝ c sin Bsin C ＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C ＝π3改为A ＝π4，其他条件不变，求C ，B, b ．解：因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32．所以C ＝π3或2π3．当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A ＝3＋1．当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A＝3－1．（1）已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 ①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．（2）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：判断三角形的形状：已知在△ABC 中，角A ，B 所对的边分别是a 和b ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．答案：A互动探究：变条件：若把本例条件变为“b sin B＝c sin C”，试判断△ABC的形状．解：由b sin B＝c sin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的两种途径注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．三、课堂总结1．正弦定理对正弦定理的理解（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．（3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；（2）sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（4）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R．四、课堂检测1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（）A．33B．63C．32D．62解析：选B．由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1D．1∶3∶2解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B ＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D．已知c－a cos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin（A＋B）－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【第四课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、新知探究测量距离问题：海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 岛与C 岛间的距离是________．解析：如图，在△ABC 中，∠C ＝180°－（∠B ＋∠A ）＝45°，由正弦定理，可得BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56（海里）．答案：56海里变条件：在本例中，若“从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角”改为“A ，C 两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B 岛与C 岛间的距离呢？解：由已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝20，∠BAC ＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可． BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300．故BC ＝103．即B ，C 间的距离为103海里．测量距离问题的解题思路求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．测量高度问题：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m ．解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°．又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006（m ）．答案：1006 互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB 方向行驶的过程中，若测得观察山顶D 点的最大仰角为α，求tan α的值．解：如图，过点C ，作CE ⊥AB ，垂足为E ，则∠DEC ＝α，由例题可知， ∠CBE ＝75°，BC ＝3002，所以CE ＝BC ·sin ∠CBE＝3002sin 75° ＝3002×2＋64＝150＋1503．所以tan α＝DC CE ＝1006150＋1503＝32－63．测量高度问题的解题思路高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．测量角度问题：岛A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A 正南方向B 处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C 处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A 多少海里处？（2）假设海监船在D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．解：（1）根据题意得∠BAC ＝45°，∠ABC ＝75°，BC ＝10，所以∠ACB ＝180°－75°－45°＝60°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，得AB ＝BC sin ∠ACB sin ∠BAC＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56．所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 6 海里处．（2）设海监船航行时间为t 小时，则BD ＝103t ，CD ＝10t ，又因为∠BCD ＝180°－∠ACB ＝180°－60°＝120°，所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos 120°，所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·⎝⎛⎭⎫－12，所以2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12（舍去）．所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，所以∠CBD ＝12（180°－120°）＝30°，所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°．所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．（或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时）测量角度问题的基本思路（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．（2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．三、课堂总结 1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线实际测量中的有关名称、术语南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的（） A ．东偏北45°10′方向上 B ．东偏北45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上 D ．西偏南45°50′方向上解析：选C ．如图所示．2．如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD ＝200米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于（）A ．1002米B ．50（3＋1）米C ．100（3＋1）米D ．200米解析：选C ．设AB ＝x 米，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝45°，所以BC ＝AB ＝x ．在Rt △ABD 中，∠D ＝30°，则BD ＝3AB ＝3x ．因为BD －BC ＝CD ，所以3x －x ＝200，解得x ＝100（3＋1）．故选C ．3．已知台风中心位于城市A 东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A 西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v ＝（）A ．60B ．80C ．100D ．125解析：选C ．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v ）2＝2002＋1502＋2×200×150cos （α＋β）①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β．又cos α＝34 cos β，sin 2 α＋cos 2 α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos （α＋β）＝1225－1225＝0，代入①解得v ＝100．4．某巡逻艇在A 处发现在北偏东45°距A 处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：AC ＝123t ，BC ＝12t ，∠ABC ＝120°，在△ABC 中，由正弦定理得123t sin 120°＝12tsin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC ＝8＝12t ，解得t ＝23，航行的方向为北偏东75°．即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。

高中数学《平面向量》的教案

高中数学《平面向量》的教案人教版高中数学《平面向量》的教案作为一位优秀的人民教师，常常要根据教学需要编写教案，教案有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。

那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编帮大家整理的人教版高中数学《平面向量》的教案，欢迎阅读与收藏。

高中数学《平面向量》的教案篇1第一教时教材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：一、开场白：本P93（略）实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

二、提出题：平面向量1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2．向量的表示方法：1几何表示法：点—射线有向线段——具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长度记作（注意起讫）2字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字）P95 例用1cm表示5n mail（海里）3．模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。

记作：模是可以比较大小的4．两个特殊的向量：1零向量——长度（模）为0的向量，记作。

的方向是任意的。

注意与0的区别2单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。

因为零上零下也只是大小之分。

例：与是否同一向量？答：不是同一向量。

例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

三、向量间的关系：1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥ ∥规定：与任一向量平行2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

人教版高中数学平面向量(第一课时)教学设计

平面向量（第一课时）教学设计【教材分析】1.本节课的内容是人教版高中数学第一册（下），第五章《平面向量》的引言和第一节《向量》两部分，所需课时为1课时。

2.向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，如在现实生活中常见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景。

向量还是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁。

在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量相关概念及其运算、平面向量应用的内容。

这节课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。

但重要的不只是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。

【学情分析】在学生的已有经验中，接触较多的是只有大小的量（数量），此外学生曾学习物理中的矢量的概念、线段的平行与共线，还有三角函数中的有向线段等。

【教学目标】1.知识目标①理解平面向量的概念，学会向量的表示方法；②理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系。

2.能力目标①培养用联系的观点，类比的方法研究向量；②获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维。

3.德育目标①通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力；②通过师生之间，同学之间的互相交流，培养学生合作性学习的习惯。

【教学重、难点】重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程。

；【教学手段】多媒体辅助教学【教学方法】师生互动、引导学生主动发现探索【教学过程】1.问题情境：2010前7月前从南宁到台湾探亲好友，需从南宁到得香港，再从香港到台湾，由位置的变化引出位移。

提问说明两地位移跟距离这两种量的区别，并介绍本章要研究的内容就是向量的概念、运算及简单运用。

意图：向量概念不是凭空产生的。

平面向量的坐标运算教学设计

平面向量的坐标运算（第一课时）教材分析与教法设计教学目标知识目标1、理解平面向量的坐标概念（1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念；（2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标.2、掌握平面向量的坐标运算（1）能正确理解向量加、减法的坐标运算法则；（2）能熟练进行向量的坐标运算；（3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.能力要求1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；2、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感态度设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点.重点平面向量的坐标运算.难点理解向量坐标的意义.方法引导发现、合作探究.教具多媒体课件、实物投影仪、三角尺.教学过程应用四：课本P114练习2.应用五：以表格形式对练习2引申训练起点A终点B向量AB（2，3）（1，1）(3,－4)(－2,7)应用六：课本P113例三.变式训练：将例三中平行四边形ABCD这一条件去掉，改为求点D，使这四个点构成平行四边形.（教学中可根据时间情况进行讲解或作为课后思考题）学生口答，教师进行评价、拓展.教师倡导学生积极思考，从不同角度解决本题，体会难易差别.熟练向量的坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.例三是对本节内容综合训练，培养学生善于思考和严谨的学习态度，并对新知识进行深层次的理解和应用.归纳总结强调本节课的重点内容，为下节课的学习做简要铺垫.在教师提问的基础上，让学生自己进行归纳总结，教师加以补充.帮助学生把所学知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，有益于学生对知识的巩固、理解和掌握.作业课本第114页第1、2、3题板书设计方案一：§5．4平面向量的坐标运算（一）一、平面向量的坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、向量的坐标运算法则2、向量AB的坐标与点A、点B的坐标的关系三、例题例1例2例3方案二：一、平面向量的坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、坐标运算法则2、向量AB的坐标与A、B的坐标的关系三、例题例1例2例3教学环节流程安排复习回顾情境设置向量的坐标表示向量的坐标运算跟踪练习跟踪练习巩固提高归纳总结探究及应用。

高一数学平面向量应用举例教案.pdf

因为 AR AE ER ,
所以 r = 1 b+m(a- 1 b).
2
2
因此 n( a+b)= 1 b+m(a- b), 2
即(n-m) a+(n+ m 1 ) b=0. 2
由于向量 a、b 不共线 , 要使上式为 0, 必须
n m 0, n m 1 0.
2
解得 n=m=1 . 3
4/ 8
所以 AR = 1 AC , 3
3/ 8
图4 例 1 如图 4, ABCD中, 点 E、F 分别是 AD、DC边的中点 ,BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点 , 你能发现 AR、 RT、TC之间的关系吗 ? 活动 : 为了培养学生的观察、发现、猜想能力 , 让学生能动态地发现图形中 AR、RT、TC之间的相等关系 , 教学中可以充分利用多媒体 , 作出上述图形 , 测量 AR、 RT、 TC 的长度 , 让学生发现 AR=RT=TC拖, 动平行四边形的顶点 , 动态观察发现 ,AR=RT=TC这个规律不变 , 因此猜想 AR=RT=TC事. 实上 , 由于 R、 T 是对角线 AC 上的两点 , 要判断 AR、RT、 TC之间的关系 , 只需分别判断 AR、RT、TC与 AC的关
则向量方法的流程图可以简单地表述为 :
这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”
, 也是本节的重
点.
2. 研究几何可以采取不同的方法 , 这些方法包括 :
综合方法——不使用其他工具 , 对几何元素及其关系直接进行讨论 ;
解析方法——以数 ( 代数式 ) 和数 ( 代数式 ) 的运算为工具 , 对几何元素及其关
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 . ③至此 , 为解决重点问题所作的铺垫已经完成 , 向前发展可以说水到渠成 . 教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较 , 讨论认清向量方法的优越性 , 适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤 . 由于平面几何经常涉及距离 ( 线段长度 ) 、夹角问题 , 而平面向量的运算 , 特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角 , 因此我们可以用向量方法解决部分几何问题 . 解决几何问题时 , 先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素 . 然后通过向量的运算 , 特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系 . 最后再把运算结果“翻译”成几何关系 , 得到几何问题的结论 . 这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” , 即 (1) 建立平面几何与向量的联系 , 用向量表示问题中涉及的几何元素 , 将平面几何问题转化为向量问题 ; (2) 通过向量运算 , 研究几何元素之间的关系 , 如距离、夹角等问题 ; (3) 把运算结果“翻译”成几何关系 . 讨论结果 : ①能 . ②能想出至少三种证明方法 . ③略 . （三）应用示例

高二数学教案：平面向量应用举例教案

高二数学教案：平面向量应用举例教案
【摘要】欢迎来高二数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律, 培养学生自主学习习惯和能力。

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本文题目：高二数学教案：平面向量应用举例教案
一、预习目标
预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。

二、预习内容
阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。

另外，在思考一下几个问题：
1. 例1 如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗?
2. 利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什幺?
3. 例3 中，⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少?。

《平面向量应用举例》优质课教学设计

（2）用向量解决常见平面几何问题的技巧：
（3）用向量方法解决平面几何问题的步骤：
2、平面向量在物理中的应用
（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决；
（二）经典例题
1、考点一向量在平面几何中的应用
（1）例题：《优化设计》第84页例1
（2）方法提炼：对于此类问题，一般是需要灵活运用向量的运算法则，运算律，将已知条件等价变形，从而得到结论．
三维目标
1、知识与技能
（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
2、过程与方法
会用向量方法解决某些简单的问题．
3、情感态度与价值观
提高学生在解决问题过程中熟练运用“等价转化”与“数形结合”的思想．
授课题目
平面向量应用举例
明确目标
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、简单的力学问题与其他一些实际问题．
2、考点二平面向量在物理计算题中的应用
（1）例题：《优化设计》第84页例2
（2）方法提炼：向量在物理中的应用时，要注意和相关的物理背景联系起来，把物理背景中的要素抽象为数学中的向量知识，最后通过向量的运算解决实际问题．
二、总结提升
1、本节课你主要学习了
教师引导，由学生自主表述，教师点评
教师引导，由学生自主表述，教师点评
重点难点
重点：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、简单的力学问题与其他一些实际问题．
难点：如何利用向量方法解决实际问题．
课型
□讲授□习题□复习□讨论□其它
教学内容与教师活动设计
学生活动过程
一、先学后讲

平面向量应用举例(教学案)

2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。

二、教案目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。

三、教案重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。

五、教案方法1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。

2.学案导学：见后面的学案3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用2.教师的教案准备：课前预习学案，课探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时八、教案过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。

(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。

《平面向量应用举例》教案13新人教A版

《平面向量应用举例》教案13（新人教A版必修4）2.5.1 平面几何中的向量方法教学目的：让学生经历用向量方法解决几何问题的过程，体会向量是一种处理几何问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

教学重点：向量方法在几何问题中的应用。

教学难点：例2的教学及其方法是本课的难点。

教学过程一、复习提问平面向量的坐标表示、模、夹角公式是什么？二、新课例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图，＝＋，＝－，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？解：设＝，＝，则＝＋，＝－｜｜2＝（＋）2＝｜｜2＋2?＋｜｜2｜｜2＝（－）2＝｜｜2－2?＋｜｜2｜｜2＋｜｜2＝2（｜｜2＋｜｜2）＝2（｜｜2＋｜｜2）即平行四边形的两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍。

注意：在解决有关长度的问题时，我们常常要考虑向量的数量积。

平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，困此，可以用向量的方法解决平面几何中的一些问题。

例2、如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，BE、CF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由R、T是对角线上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可。

解：设＝，＝，则＝＋，＝－设＝n，＝m因为所以n＝＋m即n（＋）＝＋m（－）整理，得：（n－m）＋（n＋）＝0由于、不共线，故有，解得：所以，设＝同理，＝，于是，＝所以，有AR＝RT＝TC作业：P125 1、2P131 12、132.5.2向量在物理中的应用举例教学目的：1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程：一、复习引入：1. 讲解《习案》作业二十五的第4题.2. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？二、讲解新课：例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？探究1：(1)q为何值时，||最小，最小值是多少?(2)| |能等于||吗?为什么?探究2:你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解--理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象. 例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度||＝10 km/h，水流速度||＝2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？思考:1. "行驶最短航程"是什么意思？2. 怎样才能使航程最短？三、课堂小结向量解决物理问题的一般步骤:(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解--理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.四、课后作业1. 阅读教材P.111到P.112;2. 《习案》作业二十六.。