计算方法 数值积分 插值型积分

➢ 因而需要研究一种新的积分方法：数值解法来建立
积分的近似计算方法。
将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替 复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，
用代数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分是本
章讨论数值积分的主要内容。
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机械求积方法
4.1 数值积分概述
4.1.1 数值积分的基本思想
b a
lk(x
)dx
)
d
记为
bf( a
n
x)d xf(kx)Ak
k0
其中
A ka blk (x)a d b(x x ω x k)ω ( (k x x )d )x
称为求积系数。
定义4.1 求积公式
abf(x)d kx n 0Akf(kx) (4.1)
当其系数 Ak
b a
lk(x)dx时，则称求积公
② 中矩形公式
bf(x )(d b a x)af(b)
a
2
y
y=f(x)
aa (a+b)/2b xb
用区间中点的函数值为高的矩形面积代表积分值
③ Simpson公式
bf来自百度文库x 1 )(d b a x)[4 fa (f a b ()) f(b)
a
6
2
y y=f(x)
a
(a+b)/2
b
Simpson公式是以函数f(x)在a, b, (a+b)/2这三点的
1 0l0 (x)d 1 08 x1 2 x3 4 d x3 2 1 0l1 (x )1 0 d ( 1 x 6 x) 1 4 x3 4 d x -1 3 1 0l2 (x)d 1 08 x x1 4 x1 2 d x3 2
而对x4 不成立。因此，该求积公式有3次代数精度。
问题：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 究竟有多高？ 回答：n+1个节点的插值求积公式保证了至少有 n次代数精度。
结论：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 至少为n，但是有可能比n还大？
bf(x) d b x af(a f)(b)
a
2
取f(x)=1，显然上式两端相等。
取f(x)=x, 左 b x d 1 (2 x b a 2 ) b a ( a b 右 )
a
2
2
取f(x)=x2 , 左 b x 2 d 1 x (3 b a 3 ) b a (2 a b 2 ) 右
又f(x)P(x R ) (，x当)f(x)为不高于n次的多项式
时, f(x)=P(x), 其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少
具有n次代数精度。
充分性： 若求积公式至少具有n次代数精度, 则对n次多项式
lk(x)
n j0
x xj xk xj
(k 0 , 1 ,n,)
精确成立，即
jk
其中
a
3
2
所以梯形公式只有1次代数精度。
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插值型求积公式的例子
例3 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
4
f(x) dA xf(0B)f( 1C)f(3)
0
解: 要使公式具有2次代数精度，则对f(x)=1, x, x2 ，
求积公式准确成立，即得如下方程组。
A B C 4 B 3C 8 B 9C 64/3
计算方法 (Numerical Analysis)
第6次 数值积分-插值型积分-误差求积公式的收敛性与稳定性
第四章 数值积分
1. 数值积分引论 2. 机械求积方法 3. 以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型
求积公式 4. 插值型求积公式的例子 5. 求积公式的收敛性和稳定性
数值积分引论
第四章 数值积分
ablk(x)dxj n0Ajlk(xj)
(*)
lk (x (( k ) x - - x x x 0 ) 0 )( . ( . k x - - x . x x . k k - - 1 1 ) ) . ( ( . k - x x - x x k k 1 ) 1 )( . ( . - k x x x - . n . x ) n ) . .
三个求积分公式
构造出一些求积分值的近似公式。
例如分别取：
f(ξ)
f(a) f(b) 2
梯形公y式中的
f(ξ)
f(ξ) f(ab) 2
中矩形y公式中的 f(ξ)
则分别得到如下的梯形公式和中矩形公式。
① 梯形公式
bf(x )d 1(b x a)[ ff((ab ))
a
2
y=f(x)
aa
b bx
用梯形面积代表积分值
函数值的加权平均值作为平均高度f(). Home
以简单函数近似逼近被积函数方法 插值型求积公式
第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法
先用某个简单函数 (x)近似逼近f(x), 用(x) 代替
原被积函数f(x)，即
bf(x)dxb(x)dx
a
a
以此构造数值算法。
要求：
• 函数(x) 应该对f(x)有充分的逼近程度,并且容
具有最高的代数精度。
解:分别取f(x)=1, x, x2 ，使求积公式准确成立,得:
A B C 2
A C 0
A
C 2
A=1/3, B=4/3, C=1/3
3
1 1f(x )3 1 f d ( 1 x )3 4f( 0 3 1 f)(1 S求im积)p公so式n
可验证，该公式对于f(x)= x3 也成立(意外收获)，
从而，得到插值型求积公式如下：
1 f
0
(x )1 3 d 2 x 1 4 f f 1 2 2 3 4 f
例2 设积分区间[a, b]为[0, 2]，取 f( x 1x ),x 2 ,,x 3 ,x 4 ,e x
分别用梯形和辛卜生公式：
2f(x)d fx(0)f(2)
系数的值与 1）积分区间[a,b]有关， 2）节点的选取有关； 3）和具体的f(x)无关
解之得： A 4/B 9 4 , ,/3 C 20/9
所求公式为： 4f(x )1 d 4xf (1 02 ) f2 (1 0)f
0
9
插值型求积公式
例4 试确定求积系数A, B, C，使得
1f(x )A d x f 1( )Bf (C 0f )(1 1
0
2 f(x )1 d fx ( 04)f (f1()2)
0
3
计算其积分结果并与准确值进行比较。
解: 梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比 较如下表所示
f(x) 1 x
x2
x3
x4
ex
定积分 准确值
2 2 2.67 4 6.40 6.389
梯形公式 计算值
2
2
4
8
16 8.389
辛卜生公 式计算值
注k( 意 k x ) l1而 , 当 k的 j 时 k(x j)候 0，l
从而
n
Ajlk(xj) Ak
(**)
j0
所以由（*）和(**)知：Ak
插值型求积公式 。
b a
lk(x)dx,即求积公式为
重要结论： ➢ 梯形公式具有1次代数精度； ➢ 辛卜生公式有3次代数精度（同学们自己验证）。
下面以梯形公式为例进行验证
其中，对k=0,…,n
lk(x)j n0x xkx xjj
ω(x)
(xxk)ω (x k)
jk
ω ( ( x 0 ) x ( x 1 ) … x ( x n )
取 b P(x)dx 作为 b f(x)dx 的近似值，即
a
a
bf(
a
x )d bPx( a
n
f(xk)
k0
x)a b d k n 0fx(k)x lk(x
2
2
2.67
4
6.67 6.421
梯形公式 辛卜生公式
2f(x)d fx(0)f(2)
0
2 f(x )1 d fx ( 04)f (f1()2)
0
3
可以看出，当f(x)是 x2 , x3 , x4 时,辛卜生公式比
梯形公式更精确。
同学们，自己验证
某求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确 等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标。
4.0 引言 若函数f(x)在区间[a, b]上连续且其原函数为F(x), 则可用Newton-Leibnitz公式:
b
af ( x) dxF( b)F( a)
求定积分的值。
➢ 评论：Newton-Leibnitz公式 无论在理论上还 是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不 能完全解决定积分的计算问题。
A 0 x n 0A 1 x 1 n … A n x n nb n n 1 1 a n 1
在公式4.1中， 令f(x)=1, x, x2, x3,…,xn
1
其系数
x
0
矩阵
x
2 0
x
n 0
1 …
x 1 …
x
2 1
…
…
x
n 1
…
1
x
n
x
2 n
当
xk(k 0, …1 ,n,)
互异时，有唯一
F ( 1 x 2 x 2 2 ) 3 x 3 x 2 2 3 x 9 ln 2 x x 2 (2 2 3 x )
4
16 1 2 6
(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示。
➢ 对于以上情况，通过Newton-Leibniz公式求原函
数计算积分的准确值都是十分困难的。
代数精度的定义：如果求积公式（4.1）对于一切 次数小于等于m的多项式
f( a 0 x a 1 x ) a 2 x 2 … a m x m
是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的， 则称该求积公式具有m次代数精度。
若求积公式（4.1）的代数精度为n，则其系数A k 应满足:
A 0 A 1 … A n b a A 0 x 0A 1 x 1 …A n x nb 22 a 2
x
n n
解 {A k }
定理4.1 n+1个节点的求积公式
插值型求积
a bf(x)d kx n 0Akf(k x)公式判断条件
为插值型求积公式公式至少具有n次代数精度。
证:必要性.设n+1个节点的求积公式
abf(x)d kxn 0Akf(kx)
为插值型求积公式，求积系数为：
Ak ablk(xd) x
式。
例1
给定插值节点
x01 4,x1
1 2,x2
3 4
为定积分
1
f(x)dx
0
构造插值求积公式。
解：以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为
l0 ( x x ) 1 2 x 3 4 / 1 4 1 2 1 4 3 4 8 x 1 2 x 3 4 l 1 ( x x ) 1 4 x 3 4 / 1 2 1 4 1 2 3 4 1 x 6 1 4 x 3 4 l 2 ( x x ) 1 4 x 1 2 / 3 4 1 4 3 4 1 2 8 x 1 4 x 1 2
式为插值（型）求积公式。
记(4.1)的余项为 R(f)，由插值余项定理得
R( f)bf(x P ) (d xx ) bf(n 1() ξω ) (x)
a
a(n 1)!
其中 ξ [a,b]
注意：当f(x)是次数不高于n的多项式时， f(n1)(x) 0
R(f) 0 因此，求积公式(4.1)成为准确的等
易计算其积分。
• 通常，将(x) 选取为f(x)的插值多项式, 这样
f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近 似代替。
4.1.2 插值求积公式
设已知f(x)在节点 x k (k 0,… 1 ,n ,有) 函数值
f(xk ) ,作n次拉格朗日插值多项式 n P(x) f(xk)lk(x) k0
积分值 I b f(x)dx的几何表示：由x=a, x=b, a
y=0以及y=f(x)这四条边所围的曲边梯形面积。该面 积难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)。
y = f(x) y
图4-1 数值积分 的几何意义
a
b
最常用的建立数值积分公式的两种方法：
第1种：机械求积方法. 第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法
本段讲授机械求积方法.
由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区
间[a, b]内存在一点ξ，使得
谜
bf(x )(d b a x)fξ( ξ [a ) b,,] a
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 f(ξ)
的矩形面积。但点ξ的具体位置是未知的, 因而f(ξ) 的
值也是未知的。
在实际计算中经常遇到以下三种情况：
(1) 被积函数f(x)没有用初等函数的有限 形式表示的原
函数F(x)，例如：
1sin dxx 和1ex2dx
0x
0
则无法应用Newton-Leibnitz公式。
(2) 被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示， 但表
达式太复杂，例如 f(x)x2 22 x3的原函数：