(完整版)二次函数的最值问题
二次函数的极值问题
③设总利润为W=Q-30000-400x=-10x2+500x =-10(x-25)2+6250 ∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6250 元。
例题:学校要建一个生物花圃园，其中一边靠墙，另三边用 长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米，设这个花圃垂直的 一边为x米. （1）平行于墙的一边为y米，直接写出y与x之间的函数关系 及自变量x的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大， 并求这个最大值； （3）当这个花圃园的面积不小于88平米时，（结合图像）直 接写出x的取值范围。
由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时 可获得最大利润为6250元.
2.某公司试销一种成本单价为500元的新产品 规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于 800元/件,经市场调查,发现销售量y(件)与销售单价 x(元/件)可以近似看作一次函数的关系(如图). (1)根据图象,求y与x的函数关系式; (2)设公司获得的毛利润为s元,试求s与x的函数 关系式; (3)试问:销售单价定为多少时,该公司可获得最大 利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?
做一做
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 15 7 x x x x 解 : 1. 由4 y 7 x x 15. 得, y . 4 2 2 x 15 7 x x x
●
=-2x2+440x+158400 …… =-2(x-110)2+182600 所以,当x=110时,y有最大值182600 ……
二次函数的最值与零点问题解析
二次函数的最值与零点问题解析二次函数是一种常见的数学函数，其表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
本文将对二次函数的最值与零点问题展开详细的解析，以帮助读者更好地理解与应用二次函数。
一、二次函数的最值问题1. 最值定义在数学中，最大值与最小值称为最值。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，最值即为函数取得最大值或最小值的点。
2. 寻找最值的方法为了找到二次函数的最值，我们可以通过以下步骤进行：a) 首先，我们需要确定a的正负性。
如果a大于0，则二次函数开口向上，即为一个“U”形，并且函数的最小值出现在顶点上。
如果a小于0，则二次函数开口向下，形成一个“∩”形，并且函数的最大值出现在顶点上。
b) 其次，我们可以通过求导数的方法来确定顶点的横坐标。
对二次函数f(x)求导后，得到f'(x) = 2ax + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b / (2a)，即为顶点的横坐标。
c) 最后，将横坐标代入原二次函数，求得纵坐标即为函数的最值。
3. 示例举例说明，对于二次函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，我们按照上述步骤来找到函数的最小值：a) 由于a = 2大于0，函数开口向上，即为一个“U”形。
b) 求导数f'(x) = 4x - 4，并令f'(x) = 0，解得x = 1，即顶点横坐标为1。
c) 将x = 1代入原二次函数，得到f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1，故函数的最小值为-1。
二、二次函数的零点问题1. 零点定义在数学中，二次函数的零点即为函数取值为0的横坐标，即f(x) = 0的解。
2. 寻找零点的方法为了寻找二次函数的零点，我们可以使用以下两种方法：a) 因式分解法：当二次函数可以因式分解时，我们可以通过将f(x) = 0进行因式分解，然后令每一个因子等于0，求得零点。
(完整版)九年级第7讲二次函数最值问题
最值问题【经典例题】1. 如图，点C 是线段AB 上的一个动点，AB=1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）。
A.当C 是AB 的中点时，S 最小B.当C 是AB 的中点时，S 最大C.当C 为AB 的三等分点时，S 最小D.当C 为AB 的三等分点时，S 最大2. 某校数学课外活动探究小组,在教师的引导下,对“函数)00(>>+=k x x kx y ，的性质”作了如下探究:因为k xk x k x k x k x x x k x y 2)(2)(2)(222+-=++⋅-=+=, 所以当0>x ,0>k 时,函数x k x y +=有最小值k 2,此时x k x =,k x =. 借助上述性质:我们可以解决下面的问题:某工厂要建造一个长方体无盖污水处理池,其容积为48003m ,深为3m ,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价为_____元．3. 已知x y x 62322=+,y x ，是实数,求22y x +的最大值和最小值.4. 已知非负实数z y x ，，满足433221-=-=-z y x ,记z y x W 543-+=.求W 的最大值与最小值.5. 设b a ，是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式b x a ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间,表示为],[b a .对于任何一个二次函数,它在给定的闭区间上都有最小值.(1)函数242-+-=x x y 在区间]5,0[上的最小值是_______(2)求函数43)21(2++=x y 在区间]23,0[上的最小值.(3)求函数442--=x x y 在区间]1,2[--t t （t 为任意实数）上的最小值min y 的解析式.【专项练习】1. 若一次函数m x m y ++=)1(的图象过第一、三、四象限,则函数mx mx y -=2（ ）A. 有最大值4m B. 有最大值4m - C. 有最小值4m D. 有最小值4m -2. 1)1(2+-+=x a x y 是关于x 的二次函数,当x 的取值范围是31≤≤x 时,y 在1=x 时取得最大值,则实数a 的取值范围是（ ）A.5-≤aB.5≥aC.3=aD.3≥a3. 小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式542+-x x 的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x 的值，小亮负责找值为0时x 的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）A. 小明认为只有当2=x 时，542+-x x 的值为1B. 小亮认为找不到实数x ，使542+-x x 的值为0C. 小梅发现542+-x x 的值随x 的变化而变化，因此认为没有最小值D.小花发现当x 取大于2的实数时，542+-x x 的值随x 的增大而增大，因此认为没有最大值4. 当三个非负实数z y x ，，满足关系式323=++z y x 与433=++z y x 时,z y x M 423+-=的最小值和最大值分别是（ ） A.6,71- B.7,61- C.8,51 D.5,81-5. 16)2(2222+-+++x x x 的最小值为（ ） A.5 B.34 C.17 D.均不是6. 如图,线段AB=10,点P 是AB 的动点,分别以AP 、BP 为边在线段AB 的同侧作正方形APMN 、PBEF,连结ME,则ME 的最小值是______.7. 已知t 为常数，函数t x x y --=22在0≤x ≤3上的最大值为2，则t =________．8. 已知10≤-≤b a ，41≤+≤b a ，那么当b a 2-达到最大值时, =a _______, =b ______.9. 若b a ，满足753=+b a ,设b a S 32-=,求S 的最大值和最小值.10. 已知:实数c b a ，，满足0=++c b a ,6222=++c b a ,求a 的最大值.11. 受地震的影响,某超市鸡蛋供应紧张,需每天从外地调运鸡蛋1200斤.超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋,已知甲养殖场每天最多可调出800斤,乙养殖场每天最多可调出900斤,从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表:(1)若某天调运鸡蛋的总运费为2670元,则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋?(2)设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤,总运费为W 元,试写出W 与x 的函数关系式,怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省?12. 已知M 、N 两点关于y 轴对称,且点M 在双曲线xy 21=上,点N 在直线3+=x y 上,设点M 的坐标为),(b a ,则二次函数x b a abx y )(2++-=( )A. 有最大值-4.5B. 有最大值4.5C. 有最小值4.5D. 有最小值-4.513. 请问设0≥x ,0≥y ,62=+y x 则y x y xy x u 363422--++=的最小值是多少?14. 设b a ，为实数,那么b a b ab a 222--++的最小值是______．15. 如图，四边形的对角线AC 、BD 互相垂直，AC+BD=10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？16. 如图，线段EF=10，在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使MF=2MN ．设MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？17. 某单位花50万元买回一台高科技设备,根据对这种型号设备的跟踪调查显示,该设备投入使用后,若将养护和维修的费用均摊到每一天,则有结论:第x 天应付的养护与维修费为]500)1(41[+-x 元. (1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天,叫做每天的平均损耗,请你将每天的平均损耗y (元)表示为使用天数x (天)的函数;(2)按照此行业的技术和安全管理要求,当此设备的平均损耗达到最小值时,就应当报废,问该设备投入使用多少天应当报废?18.已知二次函数c+y+=2（cxbxb，为常数）。
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版二次函数的最值问题
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2b a x a >=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2b a x a <=-时，244ac b y a-=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。
1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。
（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a-. 2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a- 二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。
解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。
二次函数求最值的六种考法(含答案)
二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值． 【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4， 可知函数顶点坐标为（3，﹣4）， 当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0， 即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0， 解得x 1＝1，x 2＝5． 如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5． 则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2， 解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38； 故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2， 又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4， 解得a =−14， 故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2． 故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8． 故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为 ．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值． 【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）． （2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）． 设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ， 则{−3m +n =0n =−3， 解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t， 解得{k =−12t =52， 故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152； （Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1， 故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4， 解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q， 解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t， 解得{a =1t =2， 故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为 ．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0）， 抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4． 故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是 ．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5， 故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）． 【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）． 【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ， 由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， 令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。
二次函数的最值与极值问题
二次函数的最值与极值问题二次函数是数学中常见的一种函数类型，在很多实际问题中都可以用二次函数来描述。
在解决二次函数的最值与极值问题时，可以运用一些方法和技巧来求解。
本文将介绍一些常见的解题思路和方法。
一、二次函数的最值问题二次函数的最值指的是函数在定义域内的最大值或最小值。
当求解二次函数的最值时，可以利用二次函数的顶点和开口方向进行判断。
1. 定理1：对于开口向上的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a > 0，顶点的 y 值是函数的最小值。
使用该定理时，可以先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最小值。
2. 定理2：对于开口向下的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a < 0，顶点的 y 值是函数的最大值。
同样地，使用该定理时，先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最大值。
需要注意的是，二次函数的最大值或最小值可能在定义域内的某个点上出现，因此除了顶点外还需要考虑其他可能的极值点。
二、二次函数的极值问题二次函数的极值指的是函数在定义域内的局部最大值或最小值。
当求解二次函数的极值时，可以利用二次函数的导数和零点来寻找。
1. 求解极值的一般步骤如下：a) 求二次函数的导函数；b) 解二次函数的导函数为零的方程，得到零点；c) 将零点带入原函数，求得对应的函数值，得到极值。
2. 一个特殊情况是在二次函数的定义域 [a, b] 上求极值时，可以先求出导数，然后导数大于零的部分即是函数的递增区间，导数小于零的部分即是函数的递减区间。
接着，再对边界点和零点进行比较，得到极值。
三、综合练习与例题为了更好地理解二次函数的最值与极值问题，我们来进行一些练习和解题。
【练习题一】已知二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，1. 求二次函数的顶点及对应的最值；2. 求二次函数的极值。
【解答】1. 对于二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，a = -2 < 0，可以判断开口向下，顶点的 y 值是最大值。
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。
二次函数的最值问题(含答案)
---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2b a x a >=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2b a x a <=-时，244ac b y a-=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。
1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。
（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a-. 2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a- 二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。
解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。
求二次函数的最值 练习题
求二次函数的最值练习题求二次函数的最值练习题二次函数是数学中的重要概念之一，它的图像呈现出一条开口向上或向下的抛物线。
而求解二次函数的最值，是我们在解决实际问题中经常遇到的一种情况。
本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解和掌握求解二次函数的最值的方法。
练习题一：已知二次函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求该函数的最小值。
解答：要求二次函数的最小值，我们可以通过找到抛物线的顶点来实现。
二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b/2a 和 y = f(-b/2a) 来求得。
对于给定的函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 1，我们可以通过计算得到 a = 2，b = -4，c = 1。
将这些值代入公式中，我们可以得到 x = -(-4)/(2*2) = 1，y = f(1) =2*1^2 - 4*1 + 1 = -1。
因此，该函数的最小值为 -1。
练习题二：已知二次函数 g(x) = -3x^2 + 6x - 2，求该函数的最大值。
解答：求解二次函数的最大值的方法与求解最小值的方法类似。
我们同样可以通过找到抛物线的顶点来实现。
对于给定的函数 g(x) = -3x^2 + 6x - 2，我们可以通过计算得到 a = -3，b = 6，c = -2。
将这些值代入公式中，我们可以得到 x = -6/(2*(-3)) = 1，y = g(1) = -3*1^2 + 6*1 - 2 = 1。
因此，该函数的最大值为 1。
练习题三：已知二次函数 h(x) = x^2 + 4x - 3，求该函数的最值所对应的 x 值和 y 值。
解答：对于给定的函数 h(x) = x^2 + 4x - 3，我们同样可以通过计算得到 a = 1，b = 4，c = -3。
将这些值代入公式中，我们可以得到 x = -4/(2*1) = -2，y = h(-2) = (-2)^2 + 4*(-2) - 3 = -7。
二次函数的最值问题
二次函数的最值问题二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0，x为自变量。
二次函数图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，而最值问题则是指在给定范围内，函数取得的最大值或最小值。
一、二次函数的最值问题二次函数的最值问题是数学中常见的问题之一，解决这类问题的关键是找到函数的顶点。
顶点即是抛物线的极值点，对于开口朝上的抛物线，顶点表示最小值；对于开口朝下的抛物线，顶点表示最大值。
二、求解二次函数的最值步骤求解二次函数的最值问题可按以下步骤进行：1. 确定二次函数的开口方向，即判断二次系数a的正负。
2. 利用求导的方法，求得二次函数的导函数。
3. 将导函数等于零并解方程，得到函数的顶点。
4. 求得函数的顶点后，判断是最小值还是最大值。
举例说明：以二次函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3为例，来演示求解最值的过程。
1. 开口方向的判断：由于二次系数a为正数，故函数的开口朝上，顶点表示最小值。
2. 求导：首先对函数进行求导，得到导函数f'(x) = 4x - 4。
3. 求解顶点：令导函数f'(x)等于零，并解方程得到x = 1。
4. 判断最值：将x = 1代入原始函数f(x)中，得到f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 1。
因此，函数f(x)的最小值为1，当x = 1时取得。
通过以上步骤，我们可以求解二次函数的最值问题。
然而，在实际问题中，最值问题往往还涉及到函数的定义域和范围等约束条件。
因此，在解决最值问题时，需要充分考虑这些条件，以确保结果的准确性和合理性。
总结：二次函数的最值问题是数学中常见而重要的问题。
通过分析二次函数的开口方向，并利用导数等工具求解顶点，我们能够准确地确定函数的最大值或最小值。
然而，在实际问题中，我们还需要注意约束条件的考虑，以确保最终结果的可行性。
只有在深入理解二次函数的特性和运用相应的求解方法时，才能更好地解决二次函数的最值问题。
二次函数中几何的最值问题完整版
二次函数中几何的最值问题Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】二次函数中几何的最值问题一、解答题1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，0）、B （6，0）、C（0，－2），抛物线y=a+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点。
（1）求直线AC的解析式；（2）求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，试探究在直线AC上是否存在一点P，使得△BPD的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
2、如图，已知抛物线y=-+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B 的坐标为（3，0）。
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。
3、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。
4、如图，抛物线y=+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B （5，﹣6），C（6，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q 一共有几个并请求出其中某一个点Q的坐标．5、如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，抛物线y=-3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标。
二次函数最值问题(含标准答案)
二次函数最值问题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：二次函数最值问题一．选择题（共8小题）1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．20132．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．63．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣34．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）A．3.125 B．4 C．2 D．06．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或37．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8 D．9二．填空题（共2小题）9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上，=6．当线段OM最长时，点M的坐标为．点M在x轴负半轴上，S△ABM三．解答题（共3小题）11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．12．已知关于x的函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）．（1）试说明：不论k取什么值，此函数图象一定经过（﹣2，0）；（2）在x＞0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；（3）试问该函数是否存在最小值﹣3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．13．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y 随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x 的增大而减小．二次函数最值问题（含答案）一．选择题（共8小题）1．A；2．D；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．C；9．1；9；10．（﹣3，0）；三．解答题（共3小题）11．【解答】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），∴直线OF的解析式为y=x．设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．又∵A（2，0），点E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．∵点P是直线OF与直线EA的交点，则，解得，∴点P的坐标是（3，3）．②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y=tx．设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．又点A、E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．则有y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），化简，得x=2﹣．有y=tx=2t﹣．∴点P的坐标为（2﹣，2t﹣）．∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），∴OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，∵OQ=PQ，∴1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，化简，得t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．又∵t≠0，∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，解得m=或m=．则m=或m=即为所求．12.解：（1）将x=﹣2代入，得y=k（﹣2）2+（2k﹣1）•（﹣2）﹣2=0，故不论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣2，0）．（2）①若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k=0符合题意．②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（﹣2，0）、（0，﹣2）∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，须满足k＜0即可．综上，k的取值范围是k≤0．（3）若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，∵x的取值为全体实数，∴y无最小值，若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为﹣3，则=﹣3，且k＞0，解得：k=符合题意，∴当k=时，函数存在最小值﹣3．13．解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4=2，解得m1=2，m2=﹣3，所以满足条件的m值为2或﹣3；（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，抛物线解析式为y=4x2，所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值；抛物线解析式为y=﹣x2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．。
二次函数的最值与极值问题
二次函数的最值与极值问题二次函数是一种具有一次项和二次项的多项式函数，通常用以下的一般形式表示：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数，且a ≠ 0。
在本文中，我们将讨论二次函数的最值与极值问题。
一、最值问题二次函数的最值表示函数的取值范围的极值点。
要确定二次函数的最值，首先需要弄清楚二次函数的开口方向。
当a > 0时，二次函数开口向上，此时函数的最小值为最值；当a < 0时，二次函数开口向下，此时函数的最大值为最值。
我们以一个具体的例子来说明。
考虑二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，根据题目要求，我们需要找到它的最值。
1. 确定二次函数的开口方向：由于a = 2 > 0，所以二次函数的开口向上。
2. 求出二次函数的顶点：二次函数的顶点是一个非常重要的概念，它是确定函数的最值的关键。
顶点的横坐标可以通过以下公式计算得到：x = -b/2a在这个例子中，我们可以计算得出：x = -( -3 ) / ( 2 × 2 ) = 3/4顶点的纵坐标可以通过将横坐标代入函数中计算得到：y = f(3/4) = 2 × (3/4)^2 - 3 × (3/4) + 1 = 11/8所以该二次函数的顶点为(3/4, 11/8)。
3. 确定最值：由于二次函数开口向上，所以顶点代表了函数的最小值。
所以函数f(x)的最小值是11/8，此时x取3/4。
二、极值问题极值点是指函数在某一点上的局部最值点。
对于二次函数来说，极值点就对应着函数的顶点。
回顾刚才的例子，我们已经计算出了二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点为(3/4, 11/8)。
这个顶点就是该函数的极小值点。
在极值问题中，有两种情况需要注意：1. 当二次函数开口向上时，顶点为极小值点；2. 当二次函数开口向下时，顶点为极大值点。
所以，在求二次函数的极值问题时，需要先找到顶点，再根据开口方向确定极值类型。
(完整版)初三二次函数值问题和给定范围最值
x 2二次函数中的最值问题重难点复习般地，如果 y ax 2bx c （a,b,c 是常数， a 0），那么 y 叫做 x 的二次函数 ax 2bx c 用配方法可化成： y a （x h ）2k 的形式y a x h 2k 的形式，得到顶点为 （ h , k ） ，对称轴是 x h .二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大 （ 小）值。
一般而言，最大 （小） 值会在顶点处取得，达到最大 （小）值时的 x 即为顶点横坐标值，最大 （小）值也就是顶点纵坐标值。
自变量 x 取任意实数时的最值情况b 4ac bb处取得最小值4ac b，无最大值； 2a 4ab 4ac b（2）当 a 0 时，函数在 x b处取得最大值 ，无最小值． 2a 4a（3）二次函数最大值或最小值的求法．第一步：确定 a 的符号， a 0有最小值， a 0有最大值； 第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．2. 自变量 x 在某一范围内的最值．2如： y ax 2bx c 在 m x n （其中 m n ）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x x 0b； 2a第二步：讨论：[1] 若 a 0时求最小值（或 a 0时求最大值），需分三种情况讨论： （以 a 0时求最小值为例 ）2①对称轴小于m 即x 0 m ，即对称轴在 m x n 的左侧，在 x m 处取最小值 y min am bm c ； 2②对称轴 m x 0 n ，即对称轴在 m x n 的内部，在 x x 0处取最小值 y min ax 0 bx 0 c ；③对称轴大于 n 即 x 0 n ，即对称轴在 m x n 的右侧，在 x n 处取最小值 y min an 2bn c . [2] 若 a 0时求最大值（或 a 0时求最小值），需分两种情况讨论： （以 a 0时求最小值为例 ） ①对称轴 x 0 m n，即对称轴在 m x n 的中点的左侧，在 x n 处取最大值 y max an 2bn c ； 2二次函数 y y ax2bx c a x 2b2a24ac b 4a∴顶点是 b ，4acb 2，对称轴是直线b2a1）当 a 0 时，函数在 x②对称轴x0m n，即对称轴在m x n 的中点的右侧，在x m 处取最大值y max am2 bm cx2小结： 对二次函数的区间最值结合函数图象 总结 如下：另法：y ax2bx c(a 0) 当 m x n (其中 m n )的最值 求出函数的对称轴xx 0b，在以后的数学学习中 2a①若 m x 0 n ，则分别求出 m, x 0, n 处的函数值 f(m)， f(x 0)， f(n)，则三函数值最大者即最大值，最小者即为 最小值；当 a 0时 f (x)max b f (m)， 1(m 2 n)(如图1) f (n)， 2b a 1(m 2 n)(如图2) f(x)min f(n)， b n( 如图3)2af( b )， m bn(如图 4) 2a 2af(m)， bm( 如图5)2a当a 0时f (x) maxf (n)， 2ba n( 如图6)f(b )，m bn(如图7) f (x)min2a 2af (m)， bm(如图8)f(m)，f(n) b 2a b 2a1(m n)(如图9)21(m n)(如图10)②若x0 m或x0 n时，则求出m, n处的函数值f (m)，f(n) ，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。
完整版)二次函数的线段最值问题
完整版)二次函数的线段最值问题二次函数的线段最值问题例1：给定三个点A（4,0），B（-4，-4），C（0,2），连接AB,BC,AC，求抛物线的解析式和点P的坐标，其中点P是抛物线对称轴上的一点。
解析：首先，我们可以通过点A和点B的坐标，得到抛物线的对称轴方程为x=0.然后，我们可以通过点C的坐标，得到抛物线的顶点坐标为（0,2）。
因此，抛物线的解析式为y=ax^2+2，其中a为待定系数。
接下来，我们可以利用点A或点B的坐标，带入解析式求解a的值。
得到a=-1/8，因此抛物线的解析式为y=-x^2/8+2.点P在对称轴上，因此其横坐标为0.我们可以通过求解点P到线段BC的垂线，得到点P的纵坐标。
具体来说，我们可以利用线段BC的斜率和垂线的斜率的乘积为-1的性质，求解垂线的斜率。
然后，利用点P和线段BC的一个端点的坐标，带入点斜式方程求解垂线的方程。
最后，求解垂线与线段BC的交点的纵坐标即可。
经过计算，得到点P的坐标为（0,-3/2）。
例2：给定抛物线y=x^2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D。
求抛物线的解析式，点P在运动的过程中线段PD长度的最大值，以及是否存在点M使|MA﹣MC|最大，若存在则求出点M的坐标，若不存在则说明理由。
解析：首先，我们可以通过点C的坐标，得到抛物线的解析式为y=x^2.然后，我们可以通过点A和点B的坐标，得到抛物线的顶点坐标为（2,4）。
因此，抛物线的解析式为y=x^2+4.点P沿抛物线从点C到点A运动，因此其轨迹为抛物线上的一段。
我们可以通过求解点P到线段CD的垂线，得到点P在运动过程中线段PD的长度。
具体来说，我们可以利用线段CD的斜率和垂线的斜率的乘积为-1的性质，求解垂线的斜率。
然后，利用点P和线段CD的一个端点的坐标，带入点斜式方程求解垂线的方程。
二次函数含参最值问题精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）二次函数含参最值问题题型一、动轴定范围例1.当20≤≤x 时，函数()3142-++=x a ax y 在2=x 时，取得最大值，求实数a 的取值范围随堂练习练习1.已知2223t tx x y --=，当31-≤≤x 时，有0≤y 恒成立，求实数t 的取值范围。
练习2.已知t x x y ++-=232，当11≤≤-x 时，有0≥y 恒成立，求实数t 的取值范围。
练习3.已知2234a ax x y -+-=，当21≤≤x 时，有0≥y 恒成立，求实数a 的取值范围。
练习4.已知b bx x y +-=23，当12≤≤-x 时，有0≥y 恒成立，求实数b 的取值范围。
练习5.(1) 求2y x 2ax 1=++在12x -≤≤的最大值。
(2) 求函数)(a x x y --=在11x -≤≤上的最大值。
题型二、定轴动范围例1.已知函数322+-=x x y ，在m x ≤≤0时有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围。
随堂练习练习1.如果函数2(1)1y x =-+定义在区间1t x t ≤≤+上，求y 的最小值。
练习2.已知223y x x =-+，当1t x t ≤≤+时，求y 的最大值．练习3.求函数223y x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。
题型三、动轴动范围例1.已知函数6106922--+-=a a ax x y 在b x ≤≤31-上恒大于或等于０，其中实数a ≤3,求实数b 的范围．随堂练习练习1.已知抛物线c bx x y ++-=2交x 轴于点A(-1,0)、B （3,0），当43-≤≤x 时，求y最大值.练习2.对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y ，都满足-M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=x1（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数？若是有界函数，求边界值；（2）若函数y=-x+1（a ≤ x ≤ b ，b > a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足143≤≤t练习3.在平面直角坐标系xoy 中，二次函数12)1(2++-=x x a y 的图像与x 轴有交点，a 为正整数.（1）求a 的值.（2）将二次函数12)1(2++-=x x a y 的图像先向右平移m 个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x ≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m 的值.练习4.已知关于x 的一元二次方程)0(02)1(22＞a a x a ax =-+--.（1）求证：方程有两个不等的实数根.（2）设方程的两个实数根分别为21,x x （其中21x x ＞）.若y 是关于a 的函数，且12x ax y +=,求这个函数的表达式.（3）在（2）的条件下，若使13-2+≤a y ，则自变量a 的取值范围为?在这一学年中，不仅在业务能力上，还是在教育教学上都有了一定的提高。
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典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验周前猛一、选择题1．已知二次函数y=a（x-1）2+b有最小值–1，则a与b之间的大小关( )A. a<bB.a=b C a>b D不能确定答案：C2．当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A、- 74B、3或-3C、2或-3D2或-3或-74答案：C∵当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，∴二次函数在－2≤x≤l上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.当x=－2时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m= - 74，2765y x416⎛⎫=-++⎪⎝⎭此时，它在－2≤x≤l的最大值是6516，与题意不符.当x=1时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m=2 ，此时y=-（x-2）2+5 ，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符.当x= m时，由4=-（x-m）2+m2+1解得m=3m=3y=-（x+3）2+4.它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符；当3，y=-（x-3）2+4它在－2≤x≤l在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m的值为2或-3.故选C．3．已知0≤x≤12，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（）A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案：C解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤12，∴当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5．故选：C．4、已知关于x的函数.下列结论：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。
真确的个数是（）A,1个B、2个 C 3个D、4个答案：B分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，b5-=2a4，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最=224ac-b24k+1=-4a8k，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是答案：122、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为 时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x ，则，另一边长为8-x ；设其面积为S.∴S= x ·(8-x)(0<x<8). 配方得 S=- (x 2-8x)=- (x-4)2+8 ∴当x=4时，S 最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.3、函数2y=24x-x （0x 4）-≤≤的最大值与最小值分别是答案：2,0解：24x-x 最小值为0，当4x-x 224x-x 最大，即x=2时，24x-x 最大为4，所以，当x=0时，y 最大值为2，当x=2时，y 取最小值为04、已知二次函数y=x 2+2x+a （0≤x ≤1）的最大值是3，那么a 的值为 答案：0解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0.5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ．三、解答题：1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）解：（1）()x -150 ⑵()5.9501502-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0φx ，∴2.00≤x π而()()2150160x x y ---=＝1040502++-x x＝()184.0502+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x π， ∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。
若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。
2、如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x﹣h）2+k∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，）∴y=a（x﹣4）2+k，=16a+k①又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6∴A（1，0），B（7，0）∴0=9a+k②由①②解得a=，k=﹣∴二次函数的解析式为：y=（x﹣4）2﹣（2）∵点A、B关于直线x=4对称∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD≥DB∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值∴DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点M∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO∴△BPM∽△BDO∴∴∴点P的坐标为（4，）（3）由（1）知点C（4，），又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60°，∵AC=BC，∴∠ACB=120°①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120°，则∠QBN=60°∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q（10，），如果AB=AQ，由对称性知Q（﹣2，）②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是（4，），经检验，点（10，）与（﹣2，）都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC点Q的坐标为（10，）或（﹣2，）或（4，）．3、如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C-，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x⊥轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大，求出点D的坐标．解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2，将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为；（2）存在，如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为，当1＜m＜4时，AM=4-m ，，∵∠COA=∠PMA=90°，∴①当时，△APM∽△ACO，即4-m=2 ，解得m1=2，m2=4（舍去），∴P（2，1）；②当时，△APM∽△CAO，即，解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去），∴当1＜m＜4时，P（2，1），类似地可求出当m>4时，P（5，-2），当m<1时，P（-3，-14），综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）；（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D 点的纵坐标为，过D作y 轴的平行线交AC于E，由题意可求得直线AC 的解析式为，∴E 点的坐标为，∴∴∴当t=2时，△DAC的面积最大，∴D（2，1）。
4如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G，H，且EG+FH=EF．（1）求线段EF的长；（2）设EG=x，△AGE与△CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．5．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．(1)求证：MN∥AB；(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．（1）由题中条件可得△ACE ≌△DCB ，进而得出△ACM ≌△DCN ，即CM=CN ，△MCN 是等边三角形，即可得出结论；（2）可先假设其存在，设AC=x ，MN=y ，进而由平行线分线段成比例即可得出结论． 解答（1）证明：∵△ACD 与△BCE 是等边三角形， ∴AC=CD ，CE=BC ， ∴∠ACE=∠BCD ， 在△ACE 与△DCB 中， ∵AC=CD ∠ACE=∠BCD CE=BC∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴∠CAE=∠BDC ， 在△ACM 与△DCN 中， ∵∠CAE=∠BDC AC=CD∠ACM=∠DCN∴△ACM ≌△DCN ， ∴CM=CN ，又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°， ∴△MCN 是等边三角形， ∴∠MNC=∠NCB=60° 即MN ∥AB ；（2）解：假设符合条件的点C 存在，设AC=x ，MN=y ，6、如图，在ABC ∆中，∠A 90=°，10=BC , ABC ∆的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A '∆与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y.（1）．用x 表示∆ADE 的面积; （2）．求出0﹤x ≤5时y 与x 的函数关系式； （3）．求出5﹤x ﹤10时y 与x 的函数关系式； （4）．当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？解:(1) ∵ DE ∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C∴△ADE ∽△ABC ∴2)(BC DE S S ABC ADE =∆∆ 即241x S ADE =∆ (2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为5∴当0﹤5≤x 时241x S y ADE ==∆ （3）x ≤5﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形∵S △A'DE =S △ADE =241x∴DE 边上的高AH=AH'=x 21由已知求得AF=5∴A'F=AA'-AF=x-5由△A'MN ∽△A'DE 知2DE A'MN A')H A'F A'(=∆∆S S 2MN A')5(-=∆x S ∴251043)5(41222-+-=--=x x x x y（4）在函数241x y =中 ∵0﹤x ≤5 ∴当x=5时y 最大为：425在函数2510432-+-=x x y 中当3202=-=a b x 时y 最大为：325 ∵425﹤325∴当320=x 时，y 最大为：325 CB A7、如图，抛物线2212-+=bx x y 与x 轴交于A 、B 两点，与Y 轴交于C 点， 且A （－1，0）。