二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题

【学前思考】

二次函数在闭区间上取得最值时的X ,只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点•因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向(与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节，我

们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法.

【知识要点&例题精讲】

二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是：

CaSe l、给定区间确定，对称轴位置也确定

说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数

图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然.

解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内

(i) 当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；(ii )当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值.

例1、二次函数y = χ2-2χ+3在闭区间［-1,2】上的最大值是_________ .

例2、函数f(X)= -X2 +4x-2在区间【0,3】上的最大值是_________ 最小值是

例3、已知2χ2≤3x，则函数f(χ)=χ2+χ+1的最大值是 ____________ ,最小值是

CaSe n、给定区间确定，对称轴位置变化

说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.

解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求

二次函数y=aχ2∙bx ∙c ( a =O)在给定区间［p,q 1上的最值，需对其对称轴与

给定区间的位置关系进行分类讨论.这里我们以a 0的情形进行分析：

(i)若一A P ,即对称轴在给定区间∣p,q 1的左侧，贝U函数f(χ)在给定区间

2a

l-P,q ］上单调递增，此时［f (X)］max = f(q)，［f (X)］min = f ( P)；

(ii) 若^-―

2a 2a

上单调递减，在［_2q］上单调递增，此时［f (X)］min= Cf)，［f(x)］maχ= f(P) 2a 2a

或f(q),至于最大值究竟是f(p)还是f(q),还需通过考察对称轴与给定区间

的中点的位置关系作进一步讨论：若p<-- <-^-q,则［f(x)］max = f (q)；若

2a 2

导g ,则［f (X)］max = f (P)；

2 2a

(iii) 若- —q ,即对称轴在给定区间∣p,q丨的右侧，则函数f(x)在给定区间

2a

l P,q 1 上单调递减，此时［f(x)］max = f(P) , ［f (X)I min = f (q).

综上可知，当a 0时,

b f(q), 若

! 2：

f(p),若-—- L 2a

P q 2 P q 2

[f (X)I maX

[f (X)]max =< f(—〒)，若 P≤-丁 ≤q ； 2a 2a

f (q),若-:b >q 2a

例4、已知χ2 <1且a _ 2 ,求函数f (χ) = x 2 ∙ ax • 3的最值•

例5、求函数f(χ)= -χ(χ - a)在区间［-1,1 ］上的最大值.

例6求函数f (X )=χ2 —2ax —I 在区间Io,2］上的最大值和最小值.

2

例7、设函数f (χ^ x 2 ax b ( a,b ∙ R ),当b = a 1时，求函数f (χ)在区

4 间1—1,1］上的最小值g (a )的解析式.

[f(x)]min =廿(

通过同样的分析可得到：当a ：： 0时,

f (p),若

f(q),若- 2a q

f (P),若 2a

[f(x)]min b P q

f(q),

若一 2T=

f(P ),若-瓠专

2

［解析］函数f (x) =χ2亠ax 亠b =χ2亠ax 亠a 1 =(x 亠a )2 T 的图像是开口向上，对称轴为直线 x -

的抛物线 4 2

2

(i )若 _? ：.• /,即 a 、2 2 此时函数f (X)在［_1,1上单调递增 2 2 a a 于是 g (a) = f ( _1) =1 . a 1 a 亠2 4 4

(ii )若 .1,即a 门

此时函数f (x)在［一1,1上单调递减 2 2 a a 于是 g(a) =f (1) =1 a 1

a 2 4 4

(iii )若 _1 ≤-∙a ≤1,即 _2 ≤a ≤2 —2 — _ _ 此时函数f (X)在［/, _勺 于是 g(a) =f (—日)=1 2

C 2 a a 亠2, a ?2 i 4 综上可知，g(a) = 1,-2乞a 乞2

2

:七 +2, a £-2 4

例8、已知函数f(χ)=χ2 mx —1 ,若对于任意的X ［m,m 1］,都有f(x) ：： 0成 立，则实数m 的取值范围是 ____________ .

CaSe M 、给定区间变化，对称轴位置确定

说明：此种类型，考试中出现的较少，一般是给定区间里含有参数 •解决此类 问题，亦可根据对称轴与给定区间的位置关系，分 对称轴在给定区间的左侧、

内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值• 解法：若二次函数的给定区间是变化的，而其对称轴的位置是确定的，则要求 二次函数在给定区间上的最值，需对变化区间是否包含其对称轴的横坐标进行 分类讨论，分类标准为：变化区间包含其对称轴的横坐标，变化区间不包含其 对称轴的横坐标•解决方法与知识点2类似，这里不再赘述.

例9、已知函数f(x>=(x-1f∙1定义在区间∣t,t ■ 1 ( r R )上，求f(x)的最小值.

例10、已知函数f(x)=x 2-2x∙3 ,当X Fl t ,t ' 1 ( L R )时，求f(x)的最大值.

CaSeIV 、与二次函数最值问题有关的综合题型

利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题:

(1) 求函数的最值或最值的取值范围；

(2) 求函数的解析式；

上单调递减，在［—a ,1］上单调递

增