全等三角形易错警示
全等三角形易错点
全等三角形易错点1、证明格式的书写：穿衣、戴帽、穿鞋2、一道题的变式练习：三角形的角平分线的交点问题三角形的三条角平分线交与一点，且这点到三角形三边的距离相等。
三角形的两个外角的平分线也交与一点，这点到三边所在的直线的距离相等。
（1）、距离相等（2）、角平分线上（3）、面积不变（4）、选址问题3、每章每节有知识导图、有课时安排4、判定三角形全等的方法在判定两个三角形的六个条件中（三条边、三个角），至少需要三个条件可以判断两个三角形全等的组合有四种SSS 、SAS 、ASA 、AAS , 不能判断两个三角形全等的组合有两种AAA 、SSA判断两个直角三角形全等的组合有五种SSS 、SAS 、ASA 、AAS、HLHL仅适用于直角三角形，在使用HL的过程中，要突出直角三角形这个条件。
5、证明线段相等的方法：（1）证明线段相等往往转化为证明这两条线段所在的三角形全等（2）截长补短法（3）角平分线的性质（4）线段的垂直平分线的性质6、截长补短法证明一条线段等于其它两条线段的和，可采用：“截长补短法”；截长法的基本思想是在长线段上截取一段，使之等于其中一段，然后证明剩下的线段等于另一线段。
补短法的基本思路是延长短线段，使延长后的线段等于长线段，再证明延长的部分等于另一线段。
无论延长还是补短，都是借助全等三角形和等腰三角形的知识达到证明的目的。
7、利用全等变换解题（构造法）只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的图形变换叫做全等变换。
在解决求线段的和、差问题时常利用图形的平移、翻折、旋转，将分散的线段集中起来，然后再寻求解决问题的方法。
8、三角形的心三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
三角形的三条角平分线必交于一点己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC 求证：OC平分∠ACB证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F ∵AO平分∠BAC,∴OD=OE；∵BO平分∠ABC,∴OD=OF ；∴OE=OF ∴O在∠ACB角平分线上∴CO平分∠ACB三角形的内心的性质（一）三角形的内心1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△= [(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)（二）三角形的外心的性质1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
《全等三角形》易错点突破和重难点析解
《全等三角形》易错点突破和重难点析解易错点突破1．运用三角形三边关系性质致误例1 若等腰三角形的一条边长为6厘米，另一边长为2厘米，则它的周长为（ ）.A ．10厘米B ．14厘米C ．10厘米或14厘米D ．无法确定错解：由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是底，所以需讨论：①当腰长为6厘米时，底边长为2厘米，则周长为()66214cm ++=；②当腰长为2厘米时，底边长为6厘米，则周长为()62210cm ++=. 故选C.分析：本题错在没有注意到三角形成立的条件：“三角形的任意两边之和大于第三边”，当腰长为2厘米，底边长为6厘米时，不能构成三角形.正解：本题只能把6厘米作为腰，2厘米作为底，故三角形的周长为14厘米，故选B.2．应用判定方法致误例2 如图3，已知AB=DC ，OA=OD ，∠A=∠D. 问∠1=∠2吗？试说明理由.错解：∠1=∠2. 理由如下：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，OA=OD ，∠AOB=∠DOC.所以△AOB ≌△DOC ，所以∠1=∠2.分析：不存在“角角角（AAA ）”和“边边角（SSA ）”的判定方法，即对于一般三角形，“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.”正解：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，∠A=∠D ，OA=OD.所以△AOB ≌△DOC （SAS ），所以∠1=∠2.3．不理解“对应”致误例3 已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，那么这两个三角形是否全等？ 图 3 图4错解：这两个三角形全等.分析：对“ASA”全等判定法中“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等.正解：这两个三角形不一定全等. 如图4所示，在Rt EDC ∆，12∠=∠，CD=AB ，90C C ∠=∠=︒，显然ABC ∆与EDC ∆不全等.重难点析解1．三角形的有关概念例1（2008年邹城市）能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的一条（ ）A ．中线B ．角平分线C ．高线D ．边的垂直平分线分析：根据三角形中线的特征及其面积公式可知，等底同高的两三角形的面积相等.解：只有三角形的一条中线才能把三角形的面积分成相等的两部分. 故选A.评注：三角形的“三线”在解题中有着广泛的应用，因此，要正确认识其定义及特征.2．三角形的三边之间的关系例2（2008年十堰市）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）.A ．1厘米，2 厘米，3厘米B ．2厘米，3 厘米，6 厘米C ．4厘米，6 厘米，8厘米D ．5厘米，6 厘米，12厘米 分析：判断三条线段能否构成三角形，只需检验两条较短的线段之和是否大于最长线段即可，若大于则能构成，否则不能构成.解：根据“三角形的两边之和大于第三边”.然后观察四个选项，满足两边之和大于第三边的只有4厘米，6 厘米，8厘米. 故选C.评注：涉及三角形三边关系的问题时，应注意三角形三边关系的应用.3．三角形的内角和例3（2008年聊城市）如图5，11002145∠=∠=，，那么∠3的度数是（ ）.A ．55°B ．65°C ．75°D ．85° 分析：本题可利用平角及邻补角的定义，把1∠和2∠转化为三角形的内角. 123 图51 2 A B D CE 图6 解：由图5可知：与∠1相邻的补角为80︒，与∠2相邻的补角为35︒，由三角形的内角和为180︒，可得∠3=180803565︒-︒-︒=︒. 故选B.评注：涉及三角形有关的角度计算问题，一般要考虑到三角形内角和的应用.4．全等三角形的性质例4 如图6，已知AB AD =，AC AE =，12∠=∠.试说明BC DE =.分析：要说明BC DE =，只要说明ABC ADE △≌△即可. 由已知条件可知，这两个三角形已经具备两边对应相等，因此再找这两边的夹角相等即可.解：12=∠∠，所以12DAC DAC +=+∠∠∠∠， 即BAC DAE =∠∠. 又AB AD =，AC AE =， 所以ABC ADE △≌△（SAS ），所以BC DE =.评注：因为全等三角形的对应边相等，所以要说明分别属于两个三角形的线段相等，常常通过说明这两个三角形全等来解决问题.5．利用三角形全等解决实际问题例5 如图7，A ，B ，C ，D 是四个村庄，B ，D ，C 在一条东西走向公路的沿线上，BD=1千米，DC=1千米，村庄AC 、AD 间也有公路相连，且AD ⊥BC ，AC=3千米，只有村庄AB 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路. 现准备在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2千米，BF=0.7千米. 试求所建造的斜拉桥长有多少千米？图7分析：由于村庄AB 之间间隔了一个小湖，无法直接测量，故可利用转化思想，由△ADB ≌△ADC ，得AB=AC=3千米，从而计算出EF 的长.解：在△ADB 和△ADC 中，因为BD=DC ，∠ADB=∠ADC 090=，AD=AD. 所以△ADB ≌△ADC （SAS ）.所以AB=AC=3千米.所以()()3 1.20.7 1.1EF AB AE BF =-+=-+=（千米）.评注：三角形全等是证明线段、角相等的重要依据，教材中全等三角形的例题、习题有很多是与生活息息相关的，其基本思路是通过建立数学模型，把实际问题先转化为数学问题.。
第12章全等三角形易错题(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的基本概念、判定条件、性质以及在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对全等三角形理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用模型来演示全等三角形的性质和判定条件。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“全等三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
第12章全等三角形易错题（教案）
一、教学内容
第12章全等三角形易错题
1.判断两个三角形全等的条件，特别是SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种情况。
2.识别并改正学生在应用全等条件时常见的错误，如忽视对应角、对应边的关系，错误使用AAA或SSA作为全等的条件。
3.解答以下易错题：
a.给定三角形的两边及其夹角，判断是否能确定三角形全等。
在实践活动方面，我发现学生们对实验操作非常感兴趣，但有时候操作过程中会出现一些错误。我认为在今后的教学中，可以增加一些实验操作的指导，让学生在动手操作前对全等三角形的性质和判定方法有更深入的了解，从而提高实验的准确性。
最后，关于课堂总结环节，虽然大多数学生能够跟随我的思路进行回顾，但仍有个别学生显得迷茫。这可能是因为他们在课堂学习中未能完全吸收和理解知识点。为了提高这部分学生的学习效果，我计划在课后增加一些辅导和答疑时间，帮助他们巩固课堂所学。
全等三角形易错点剖析
晰 所 Ｅ 伽
Ｄ Ｅ＝１ ７ ｃ ｍ， 那么 ＡＡ Ｂ Ｃ与ＡＤ Ｅ Ｆ全等吗？为什 么？
错解
全等．
ＡＡ Ｂ Ｃ与 ＡＤ Ｅ Ｆ
Ｅ
边） ，
为 ／Ｃ Ａ Ｂ＝ Ｄ Ｂ Ａ ，／Ｃ ： Ｄ， Ａ Ｂ ：Ｂ Ａ（ 公
在 ＡＤ Ｅ Ｆ中 ， 因 为 Ｄ
Ｉ
错因分析
错解 在将 等式 的性 质盲 目地用到 ｌ 二角
形全等中 ， 实 际上 ， 三角形全 等是 不能根 据等 式 的性 质
说 明 的． 点拨 在证题时对要证的全等三角形 已经找到 ， 但
Ｒ ｔ ＡＤ Ａ Ｂ 中， Ａ ｃ ＝Ｄ Ｂ， Ａ 曰 Ｉ
＝
Ｂ Ａ ， 所以 Ｒ ｔ ＡＡ Ｂ Ｃ Ｒ ｔ Ｉ
例 １ 如图 １ （ １ ） 所
因 为 Ｃ ＝ Ｄ， ／Ｃ ４ Ｂ ＝ ／Ｄ Ｂ Ａ， Ｄ Ａ Ｂ＝ Ｃ Ｉ Ｉ Ａ，
所 以 ＡＣ Ｂ Ｅ￣ ＝ ＡＤ Ａ Ｅ （ Ａ Ａ Ａ） ．
示， 若 ＡＡ Ｂ Ｃ 中 的 』 ４＝
３ ０。，／ ＿Ｂ ＝７ ０。。 ＡＣ ＝ １ ７ｃ ｍ，
ＡＢ Ｃ Ｄ Ｄ
Ｃ
易错 点 四 、 条 件 不足 导 致 错 误
例４ 如 网 ４所 示 ， 已 知 Ｒ ｔ ＡＡ Ｂ Ｃ和 Ｒ ｔ △ 口
（ Ａ Ａ Ｓ） ，所 以 ＡＡ ＤＣ —
ａＤＯＣ ＝ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ — ＡＤＯ Ｃ， 即 ＡＡＯＤ ＡＢ ＯＣ ．
中， Ａ Ｃ＝Ｄ Ｂ， 判断 Ｒ ｔ ＡＡ Ｂ Ｃ与 Ｉ ｉ ｔ ＡＤ Ａ Ｂ是 否全 等 ？ 错解 在Ｒ ｔ ａＡ Ｂ Ｃ与 Ａ
．。 ．． ．。 ．。 ．。 ．． ．． ．。 ＋。 ．。 ＋． ．． ．。 ．。 ．。 ．． ＋． ．． ．． ．。 ． ．． Ｉ
探索三角形全等易错剖析
全等三角形易错点剖析一、错用三角对应相等说明全等例1 如图，∠CAB=∠DBA，∠C=∠D，E为AC和BD的交点.△ADB与△BCA全等吗?说说理由.错解:△ADB≌△BCA.因为∠C=∠D, ∠CAB=∠DBA，∠DAB=CBA,所以△CBE≌△DAE（AAA）.分析:两个三角形全等是对的，但说明的理由不正确.三个角对应相等不能作为三角形全等的识别方法.因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等.正解: △CBE≌△DAE.因为∠CAB=∠DBA,∠C=∠D,AB=BA(公共边),所以△CAB≌△DBA(AAS).二、错用两边及一角对应相等说明全等例2 如图2,已知△ABC中,AB=AC,D，E分别是AB，AC的中点，且CD=BE，△ADC与△AEB全等吗？说说理由.错解:△ADC≌△AEB.因为AB=AC,BE=CD,∠BAE=∠CAD,所以△ADC≌△AEB（SSA）.分析:错解在把SSA作为三角形全等的识别方法,实际上，SSA不能作为三角形全等的识别条件.因为两边及一边对角相等的两个三角形不一定全等.正解: △ADC≌△AEB.因为AB=AC,D，E为AB，AC的中点，所以AD=AE.在△ADC和△AEB中,因为AB=AC,AD=AE,CD=BE,所以△ADC≌△AEB（SSS）.三、错用部分当整体说明全等例3 如图3，已知AB=AC，BD=CE,试说明△ABE与△ACD全等的理由.错解:因为AB=AC,所以∠B=∠C,在△ABE和△ACD中,因为AB=AC,∠B=∠C,AD=CE,所以△ABE≌△ACD（SAS）.分析:错解在把三角形边上的一部分当作说明的条件,这不符合三角形全等的识别方法.正解: △ABE与△ACD全等.因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为BD=CE,所以BD+DE=CE+DE,即BE=CD.在△ABE和△ACD中,因为AB=AC,B=C,BE=CD,所以△ABC≌△ACF（SAS）.四、错用减法运算说明全等例4 如图4，已知AC，BD相交于点0，∠A=∠B，∠1=∠2，AD=BC.试说明△AOD≌△BOC.错解：在△ADC和△BCD中，因为∠A=∠B，∠2=∠1，DC=CD，所以△ADC≌△BCD（AAS），所以△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△A0D≌△B0C.分析：错解在将等式的性质盲目地用到三角形全等中，实际上，三角形全等是不能根据等式的性质说明的.正解：在△ADO和△BCD中，∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，AD=BC，所以△AOD≌△BOC(AAS).图4。
三角形全等的判定易错点
想想：BD平分EF吗?
B
E A F G
C
D
如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，
∠DAB =∠EAC．求证：AB =AC．
A D
E
B
C
感悟与反思：
１、平行——角相等； ２、对顶角——角相等； ３、公共角——角相等； ４、角平分线——角相等；
５、垂直——角相等；
６、中点——边相等； ７、公共边——边相等； ８、旋转——角相等，边相等。
C
A A S S S B AB=AB ∠CAB= BC=BD ∠ DAB AC=AD D
？
12
知识梳理:
A
B SSA不能 判定全等
A
C A
B
D
C
B
D
1.若AB=AC，则添加一个什么条件可得 A △ABD≌ △ACD?
△ABD≌ △ACD
D C
B S S A S AD=AD ∠BAD= BD=CD ∠CAD AB=AC
2.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件?
△ACB≌ △ADB
2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE，BE = DF，BE∥DF。 求证：AB∥CD。
证明： AF CE AE CF
又
BE ∥ F
1 2
又 BE DF
AEB ≌ CFD A C AB ∥CD
变式训练2
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
在△ABC和△ADC中, ∠B=∠D, ∠1＝∠2, AC＝AC, ∴ △ABC ≌△ADC （AAS） ∴ AB＝AD.
知识应用
1. 如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以 在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出 BF的垂线DE，使A， C，E在一条直线上， 这时测得DE的长就是AB的长。为什么？ 证明： A 在△ABC和△EDC中, ∠B=∠EDC=900 BC＝DC, D B 1C F ∠1＝∠2, 2 ∴ △ABC ≌△DEF （ASA） ∴ AB＝ED. E
全等三角形易错点剖析
判定三角形全等的错解示例、对“对应”二字认识不准确，应用全等判别法有误例1 △ ABC和△ DEF 中，/ A=30°,Z B=70°AC=17crp/ D=70°，庄二80°DE=17cm那么厶AB（与△ DEF全等吗？为什么？错解：△ AB（与△ DEF全等.证明如下：在厶DEF中,v / D=70 , ZE=80°,••• / F=180°-ZD-Z E=180°^70°-80°=30O.在厶ABC中,v / A=30°,ZB=70°,•/ A=Z F,Z B二/ D.又v AC=17cng DE=17cm•AC=DE.在厶AB（与△ DEF中,A F,B D,AC DE,•△ ABC^A DEF.错解分析：AC是Z B的对边，DE是Z F的对边，而/ B^Z F,所以这两个三角形不全等.△ AB（与△ DEI不全等.因为相等的两边不是相等的两角的对边，不符合全等三角形的判别法.二、判定方法有错误例2 如图，ACLBC DCLEC AC=BC,DC=EC.求证：Z D=Z E.错解：在厶ACEfA BC中，vACLBC , DC 丄EC•••/ ACBW ECD=90.又v AC二BC DC=EC,•△ ACE^A BCD •/ D=Z E./ AC与/ EC労不是错解分析：上面的证明中，错误地应用了“边角边”.那一对三角形的角.正解：v ACL BC DCL EC,•/ ACBy ECD=90,•/ ACEW BCD.v AC=BC, / ACEW BCD,DC=EC,•△ ACE^A BCD, •/ D=Z E.三、错误套用等式性质例3 如图，已知AC,B［相目交于E点，/ A二/ B, /仁/2.求证：AE=BE.错证：在厶AD（和△ BC中,vZ A二/ B,DC=CD, / 2二/ 1,•••△ ADC^A BCD,•••△ ADC-A DECABCD-A DEC,• △ADE^A BCE, • AE=BE.错解分析：在证明三角形全等时，一定要按判定定理进行证明.上面的证明中，将等式性质错误地搬到了三角形全等中.这是完全错误的.正解：同上，易证△ ADC^A BCD,•AD=BC.在厶ADE^A BC中,v AD=BCZ A=Z B,Z AEDZ BEC,•△ ADE^A BCE/. AE=BE.四、脱离题设，将对图形的直观印象视为条件进行证明例4 如图，在△ ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD.DE,D分别垂直于AB,AC,垂足为E,F.求证：BE=CF.A错解1:认为DE=DF并以此为条件在Rt △ BDE< Rt △ CD中，TDE二DF,BD=CD••• Rt △ BDE^ Rt △ CDF（斜边直角边），BE=CF.错解2:认为ADLBC并以此为条件.通过证明厶ABD^AACD（边角边），得AB=AC再由厶AED^AAFD （角角边），得AE=AF从而得到BE=CF.错解分析：错解1中认为DE=DF并直接将其作为条件应用，因而产生错误；错解2中，认为ADL BC没有经过推理加以说明，因而也产生了错误.产生上述错误的原因是审题不清，没有根据题设结合图形找到证题依据.正解：在厶AE併口△ AFD中,AED DFA 90,EAD FAD,AD AD ,• △ AED^A AFD（角角边），• DE=DF.在Rt △ BD与Rt △ CD中,BD CD,DE DF,Rt △ BD磴Rt △ CDF（斜边直角边），「• BE=CF.五、误将“ SSA （边边角）”当成“ SAS （边角边）”来证题例5 如图，DM^ ABC中BCi上一点，E是A D上一点，EB=ECZ ABE2 ACE. 试证明：/ BAE玄CAE.错解：在厶AEB^A AE（中,EB EC,ABE ACE,AE AE,••• △ AEB^A AEC•••/ BACM CAE.错解分析：上解错在证两个三角形全等时用了“边边角”来判定，这是不正确的，因为有两条边以及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等正解：在厶BEC中因EB=EC故/ EBCM ECB.v / ABE2 ACE, ACBM ABC 二AB=ACAE AE,在Rt △ AEBTO Rt △ AEC中, EB EC,AB AC,• △ AEB^AAEC •/ BACM CAE.在学习中，学会对题中图形进行观察以及对已知条件进行分析，弄明白证明思路.同时，对三角形全等的各种条件要记熟并能区分.三角形的全等具有传递性, 比如若有厶ABC^A DEF △ DEF^AMNP则一定有厶AB3AMNP这个性质在解题时有很重要的应用.在一些计算图形中有几对全等三角形的题目时，利用这个性质可以发现一些不明显的全等关系，帮助发现那些不是直接有关联的全等三角形•六、把“角角角”当成判定三角形全等的条件来使用例6 如图，/ CAB 二/ DBA, / C=Z D, E 为AC和BD勺交点.△ ADBfA BCA全等吗？错解：△ ADBBCA.因为/ C = / D, / CAB = / DBA,所以/ DAB 二/ CBA,所以△ ADB 坐△ BCA(AAA).错解分析：错解把三个角对应相等作为这两个三角形全等的依据，显然是错误的，“角角角”不是识别两个三角形全等的条件.正解：△ ADBBCA.因为/ CAB = / DBA, / C = / D, AB = BA( 公共边)，所以△ ADB 坐△ BCA(AAS).七、把“边边角”当成判定三角形全等的条件来使用例7如图，已知△ ABC中，AB = AC, D,E 分别是AB,AC的中点，且CD = BE, △ ADC与厶AE全等吗？说明理由.错解：△ ADC坐△ AEB.因为AB = AC, BE = CD, / BAE = / CAD,所以△ ADC坐△ AEB( SSA).错解分析：错解把“边边角”作为三角形全等的判别方法，实际上，“边边角” 不能作为三角形全等的判别依据，因为两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等.正解：△ ADC坐△ AEB.因为AB = AC, D,E 为AB,AC的中点，所以AD = AE.在厶ADC和厶AEB中，因为AC = AB, AD = AE, CD = BE, 所以△ ADC幻△ AEB( SSS).八、局部当整体例8如图，已知AB = AC, / B = / C , BD = CE, 试说明△ ABE与厶ACD全等的理由.错解：在厶ADC 和厶BCD 中,因为 AB = AC, / B = / C, BD = CE,所以△ ABE 坐△ ACD( SAS). 错解分析：错解没有认真地结合图形来分析条件，错把三角形边上的(BD 是BE 的一部分，CE 是CD 的一部分)当成边来说明，这不符合 条件.正解：因为BD = CE, 所以 BD + DE = CE + DE, 即BE = CD.在厶ABE 和厶ACD 中，因为 AB = AC, / B = / C, BE = CD, 所以△ ABE 坐△ ACD( SAS). 九、把等量相减用在全等上例9如图，已知AC,BD 相交于点0, / A = /B, / 1 = / 2, AD = BC. 试说明△ AOD 幻△ BOC.一部分 “边角错解：在厶A B E 和厶ACD 中，因为/ A = / B, / 2 = / 1, DC = CD,所以△ ADC坐△ BCD (AAS),所以△ ADC - △ DOC幻△ BCD-△ DOC,即厶AOD坐△ BOC.错解分析：错解原因是将等式的性质盲目地用到了三角形全等中，实际上，三角形全等是两个三角形完全重合，是不能根据等式上的数量关系来说明的.正解：在厶AOD和厶BOC中，/ A = / B, / AOD = / BOC, AD =BC,所以△ AOD坐△ BOC(AAS).十.“同理可证”实际不同理例10 已知：AD和A D分别是△ ABCffi^ A B‘ C 的中线，AB=A B‘，BC=B C , AD=A D .求证：△ ABC^AA' B' C .1 1错解：如图，因为BD=1BC B‘ D‘ =；B‘ C , BC=B C , ------- ；--- 所以BD=B D .在厶ABDffiA A B B D中，AB=A' B‘ ,.,BD=B D , AD=A D，因此△ ABD^A A B B D .同理可证△ ADC^A A D C .故厶ABD込ADC^AA B B B D+\A D C，即△ ABCA B B C .错解分析：以上证法有两个错误：⑴用了不同理的同理可证.证明△ ABD^A BB D与厶ADC^A A D C的理由是不同的.要证△ ADC^A A DC , 需证/ ADCy A BD C ,根据SAS来证；⑵由两对全等三角形之和推出厶ABCA B B C，理由不充分.正解：由厶ABD^A A B B D，有/ B二/ BB . 在厶ABC和厶A BB C 中，AB=A B B，/ B二/ BB , BC=B C，因此△ ABC^AA B B B C .十一.不顾条件任意引申例11 已知：如图，AB=AC BD=CE AD=AE求证：BE二CD错解：在厶ABDffiA ACE中，因为AB二AC BD=CE AD=AE 所以△ABD^AACE 故/ 仁/ 2.于是/ DACh BAE 故BE=CD错解分析：等角对等边成立的条件是在同一个三角形中.而这里/ DAC与Z BAE 虽然相等，但是，它们不在同一个三角形中，所以不能得出BE=CD错解犯了不顾条件任意引申的错误.正解：在厶ABDffiA ACE中,因为AB=AC BD=CEAD=AE 所以△ ABD^AACE 故Z 仁Z2.于是Z DACZ BAE 从而△ ADC^AAEB 故BE=DC。
第11章《全等三角形》易错题集(02)：11.2+三角形全等的判定
第11章《全等三角形》易错题集（02）：11.2三角形全等的判定第11章《全等三角形》易错题集（02）：11.2 三角形全等的判定选择题1．（2002•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上2．如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，交点为C，则图中全等三角形共有（）3．下列说法中，正确的有（）①三角对应相等的2个三角形全等；②三边对应相等的2个三角形全等；③两角、一边相等的2个三角形全等；④两边、4．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则在下列条件：①AB=AC；②AD=AE；③BE=CD．其中能判定△ABE≌△ACD 的有（）5．△ABC中，AB=AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图中全等的三角形有（）6．有以下四个说法：①两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；②两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等；④刘徽计算过π的值，认为其为．其中正确的有（）7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAD=∠CAE，BC=DE，且点C在DE上，若添加一个条件，能判定△ABC≌△ADE，这个条件是（）8．给出下列各命题：①有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形一定全等；②有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等；③有两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等；④有两条边分别相等的两个直角三角形一定全等；10．如图，已知AB=AC，D是BC的中点，E是AD上的一点，图中全等三角形有几对（）11．如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=OFE．其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）12．下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；13．对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对14．（2008•鄂州）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）．D15．（2007•玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）16．如图，AB=AC，AD=AE，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（）17．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是18．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=DC，则下列结论中一定错误的是（）19．如图，AB．CD相交于O，O是AB的中点，∠A=∠B=80°，若∠D=40°，则∠C=（）20．如图，AB∥FC，DE=EF，AB=15，CF=8，则BD等于（）21．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）22．长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木填空题23．（2009•遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_________个．24．（2007•南宁）如图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有_________对．25．在△ABC和△DEF中，①AB=DE，②BC=EF，③AC=DF，④∠A=∠D，从这四个条件中选取三个条件能判定△ABC≌△DEF 的方法共有_________种．26．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=_________度．27．如图所示，在四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为_________度．28．（2009•道里区一模）△ABC中，∠C=90°，AC=BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE=5，BF=3，则EF=_________．第11章《全等三角形》易错题集（02）：11.2 三角形全等的判定参考答案与试题解析选择题1．（2002•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上2．如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，交点为C，则图中全等三角形共有（）3．下列说法中，正确的有（）①三角对应相等的2个三角形全等；②三边对应相等的2个三角形全等；③两角、一边相等的2个三角形全等；④两边、4．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则在下列条件：①AB=AC；②AD=AE；③BE=CD．其中能判定△ABE≌△ACD 的有（）5．△ABC中，AB=AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图中全等的三角形有（）6．有以下四个说法：①两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；②两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等；④刘徽计算过π的值，认为其为．其中正确的有（）的值，认为其为7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAD=∠CAE，BC=DE，且点C在DE上，若添加一个条件，能判定△ABC≌△ADE，这个条件是（）8．给出下列各命题：①有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形一定全等；②有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等；③有两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等；④有两条边分别相等的两个直角三角形一定全等；10．如图，已知AB=AC，D是BC的中点，E是AD上的一点，图中全等三角形有几对（）11．如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=OFE．其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）12．下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；13．对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对14．（2008•鄂州）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）．D15．（2007•玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）（16．如图，AB=AC，AD=AE，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（）17．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是18．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=DC，则下列结论中一定错误的是（）19．如图，AB．CD相交于O，O是AB的中点，∠A=∠B=80°，若∠D=40°，则∠C=（）20．如图，AB∥FC，DE=EF，AB=15，CF=8，则BD等于（）21．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（），22．长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木填空题23．（2009•遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个．24．（2007•南宁）如图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有2对．25．在△ABC和△DEF中，①AB=DE，②BC=EF，③AC=DF，④∠A=∠D，从这四个条件中选取三个条件能判定△ABC≌△DEF 的方法共有2种．26．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=50度．27．如图所示，在四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为110度．28．（2009•道里区一模）△ABC中，∠C=90°，AC=BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE=5，BF=3，则EF=8或2．参与本试卷答题和审题的老师有：zhangmin；郭静慧；ln_86；zxw；zhangCF；117173；蓝月梦；星期八；zhjh；Liuzhx；csiya；py168；MMCH；zhqd；wenming；CJX；wdxwwzy；trista；110397；yingzi；lanchong；Linaliu；王岑（排名不分先后）菁优网2014年8月7日。
中考数学全等三角形常考易错点总结
中考数学全等三角形常考易错点总结全等三角形易错清单1.两边和一角对应相等的两个三角形全等吗?【例1】已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2.对于上述的两个判断,下列说法正确的是().A. ①正确, ②错误B. ①错误, ②正确C. ①、②都错误D. ①、②都正确【解析】由于△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等,若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则B1C1=B2C2,根据“边边边”定理,易得△A1B1C1≌△A2B2C2故①正确;若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则∠C1=∠C2,根据相似三角形的判定定理,易得△A1B1C1∽△A2B2C2.又因为△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等,所以△A1B1C1≌△A2B2C2,故②正确.【答案】 D【误区纠错】在全等三角形的判定定理中,不能利用“SSA”判定两个三角形全等, 判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.2.如何说明一条线段等于另两条线段之和.【例2】如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?【解析】(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.(2)由(1),得CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.【答案】(1)在正方形ABCD中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.(2)GE=BE+GD成立.理由如下:∵由(1),得△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS).∴GE=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.【误区纠错】在第(2)问中不能通过截长或补短找出和GE相等的线段,从而通过全等证出关系是不是成立.名师点拨弄清全等形、全等三角形的概念,并能进行判断.2.会利用“SAS、ASA、AAS、SSS、HL”证明三角形全等,能进行二次全等的证明,能利用全等思想来说明线段(或角)相等.提分策略1.全等三角形开放性问题.由于判定全等三角形的方法很多,所以题目中常给出(有些是推出)两个条件,让同学们再添加一个条件,得出全等,再去解决其他问题.这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度.【例1】如图,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E,F,连接CE,BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是 .(不添加辅助线)【解析】由已知可证∠EDC=∠BDF,又DC=DB,因为三角形全等条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等.故添加的条件是:DE=DF或(CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB).。
21《第十二章全等三角形》重难点易错点思维拓展
《第十二章全等三角形》重难点易错点思维拓展一、认真选一选，你一定很棒！1. 如图：AD=AC，AB平分∠DAC，下列结论错误的是（）A：△ADB≌△ACB B：△ADE≌△ACE C：△EDB≌△ECB D：△AED≌△CEB2. 如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A.SSSB.SA SC.AASD.ASA3. 下列各作图题中，可直接用“边边边”条件作出三角形的是（）A．已知腰和底边，求作等腰三角形B．已知两条直角边，求作等腰三角形C．已知高，求作等边三角形D．已知腰长，求作等腰直角三角形4. 如图，已知AB∥CD，AB=CD，AE=FD，则图中的全等三角形有（）A、1对B、2对C、3对D、4对5. 如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，则ΔADC≌ΔABE的根据是（）（A）SSS （B）SAS （C）ASA （D）AAS6. 如图4，AC=AD，BC=BD，那么全等三角的对数是（）A.1 B．2 C．3 D．47. 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）Ａ．1处Ｂ．2处Ｃ．3处Ｄ．4处8. 下列命题中正确的有（）个①三个内角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和一边分别相等的两个三角形全等；④等底等高的两个三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．49. 如图，已知：△ABC≌△DEF，AC∥DF，BC∥EF.则不正确的等式是（）（A）AC=DF （B）AD=BE （C）DF=EF （D）BC=EF10. 如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（）A．PE PF== B．AE AFC．△APE≌△APF D．AP PE PF=+11. 如图，△A BC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5二、仔细填一填，你一定很准！12. 如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：：①AD∥BC，②，DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。
第10讲 三角形与全等三角形(易错点梳理+微练习)(解析版)
第10讲三角形与全等三角形易错点梳理易错点梳理易错点01对三角形中“三线”位置掌握不好对三角形中“三线”位置掌握不好，导致出错三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而三角形的高不一定在三角形内部.锐角三角形的高在三角形的内部；直角三角形的两条高与直角边重合，斜边上的高在三角形内部；钝角三角形的两条高在三角形外部。
易错点02误用多边形的内角和公式及三角形外角的性质n边形的内角和等于(n-2)·180°，而并非为n·180°对三角形外角的性质理解不透彻而出现错误，在应用三角形外角的性质时，不可忽略了“不相邻”这个条件。
易错点03忽略三角形存在的条件而导致计算错误进行等腰三角形的边长或周长计算时，一般需要分类讨论，但不可忽略三角形存在的条件，即任意两边之和大于第三边.对出现的情况需要逐一验证，确定取舍。
易错点04对正多边形的概念理解有误导致判断失误判断正多边形的两个条件——各个角都相等、各条边都相等，两者缺一不可，不要以为每个内角都相等的多边形便是正多边形。
易错点05全等三角形的对应关系考虑不全面而出错用“≌”表示两个三角形全等时，对应点放在对应位置，但用语言描述的两个三角形全等却不需要，不要形成固定思维.解决这类问题要考虑各种对应情况，避免出现考虑不全面，导致结果错误.易错点06错用“SSA”进行判定三角形全等判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”4种方法，不存在“SSA”的判定方法.易错点07运用角平分线的性质和判定时，误将斜线段当作距离在运用角的平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件。
考向01三角形的三边关系例题1：（2021·广东新丰·九年级期中）三角形的两边长分别是3和6，第三边的长是方程x2-7x+10=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．11或14B．14或16C．14D．11【答案】C【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程x2-7x+10=0的两个根，又由三角形的两边长分别是3和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可．【解析】解：∵x2-7x+10=0，∴（x-5）（x-2）=0，解得：x1=5，x2=2，∵三角形的两边长分别是3和6，当x=5时，3+5＞6，能组成三角形；当x=2时，2+3<6，不能组成三角形．∴这个三角形的第三边长是5，∴这个三角形的周长为：3+6+5=14．故选：C．【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识．解题的关键是注意准确应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用．例题2：（2021·江苏·常州外国语学校九年级）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（）【分析】延长BA 到点D ，使DA =BA ,连接PD ，运用三角形中位线定理，当PD 最大时，AC 最大，运用三角形不等式原理计算即可．【解析】如图，延长BA 到点D ，使DA =BA ,连接PD ，PO ，OA ，OB ，OD ，∵BA =AD ，BC =PC ，∴AC 是△PBD 的中位线，∴AC =12PD ，∵∠APB ＝30°，∴∠AOB ＝60°，∴△AOB 等边三角形，∴OA =OB =AB =AD =2，∠AOB =∠OAB =60°，∴∠ADO =∠AOD =30°，∴∠DOB =90°，∴OD =∵DO +PO ≥PD ，∴PD 的最大值为：DO +PO =，∴AC =12PD考向02三角形的高、中线例题3：（2021·山东安丘·二模）如图，四边形ABCD 为菱形，BF ∥AC ，DF 交AC 的延长线于点E ，交BF 于点F ，且CE ：AC ＝1：2．则下列结论不正确的有（）A ．△ABE ≌△ADE ；B ．∠CBE ＝∠CDF ；C ．DE ＝FE ；D ．S △BCE ：S 四边形ABFD ＝1：9【答案】D【分析】由四边形ABCD 为菱形，AB =AD ，∠BAC =∠DAC ，可证()ABE ADE SAS ∆∆≌可判定A ；由ABE ADE ∆∆≌，可得∠ABE =∠ADE ，由四边形ABCD 为菱形，可得∠ABC =∠ADC ，利用等角之差∠CBE =∠CDE ，可判定B ；连结BD 交AC 于O ，四边形ABCD 为菱形，可得BD =2OD ，可证△DOE ∽△DBF ，可证2DF DE =，可判定C ；根据OE 为△DBF 的中位线，△DOE ∽△DBF ，可得4DBF DOE S S ∆∆=，由CE ：AC ＝1：2．可得S △BOA =S △BOC =S △BCE =S △ADO ，S △DOE =2S △BCE ，可求10BCE ABFD S S ∆=四可判定D ．【解析】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB =AD ，∠BAC =∠DAC ，∴在△ABE 和△ADE 中，AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADE SAS ∆∆≌故选项A 正确；∵ABE ADE∆∆≌∴∠CBE =∠ABE -∠ABC =∠ADE -∠ADC =∠CDE ，故选项B 正确；连结BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 为菱形，∴DO =BO ，OE ⊥BD ，∴BD =2OD ，∵BF ∥AE ，∴∠DOE =∠DBF ，∠DEO =∠F ，∴△DOE ∽△DBF ，∴12DO DE DB DF ==，∴2DF DE =，∴2DF EF DE DE =+=，∴EF DE =，故选项C 正确；∵DO =OB ，DE =EF ，∴OE 为△DBF 的中位线，∴BF =2OE ，∵△DOE ∽△DBF ，∴214DOE DBF S OE S BF ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭∴4DBF DOES S ∆∆=∵CE ：AC ＝1：2．∴AC =2CE ，∴AO =OC =CE ，∴S △BOA =S △BOC =S △BCE =S △ADO ，∴S △DOE =2S △BCE ，∴2410ABD DBF BCE DOE BCEABFD S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四故选择D ．【点拨】本题考查菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积，掌握菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积是解题关键．例题4：（2021·安徽包河·九年级期中）如图，在中，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点F ，若E 为AC 的中点，:2:3BD DC =，则:AF FD 的值是（）A ．2.5B ．3C ．4D ．2【答案】A【分析】过点E 作EG BC ∥交AD 于G ，则EG 是△ACD 的中位线，△AGE ∽△ADC ，可以得到1=2AG GE AD CD =，再证明△FGE ∽△FDB ，得到GE GF BD FD =，即可推出3=4GE GF BD FD =，设22AD AG x ==，则AG GD GF FD x ==+=，37GF x =，47DF x =，107AF AG GF x =+=，由此求解即可．【解析】解：如图所示，过点E 作EG BC ∥交AD 于G ，∵E 是AC 的中点，EG BC ∥，∴EG 是△ACD 的中位线，△AGE ∽△ADC ，∴1EG CD =，AG GE =，∴GE GF BD FD=，∵:2:3BD DC =，:1:2GE DC =，∴3=4GE GF BD FD =，设22AD AG x ==，则AG GD GF FD x ==+=，∴37GF x =，47DF x =，∴107AF AG GF x =+=，∴104:: 2.577AF FD x x ==，故选A ．【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定．考向03三角形的角平分线例题5：（2021·湖南·常德市第五中学九年级开学考试）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，∠BAC的平分线AD 交BC 于点D ，CD =BD 的长是（）A ．2B ．C ．3D ．【答案】B【分析】【解析】∵90C ∠=︒，30B ∠=︒∴60CAB ∠=︒∵CAB ∠的平分线AD 交BC 于点D ∴1302CAD BAD CAB ∠=∠=∠=︒∴DAB B∠=∠∴BD AD=∵CD =∴2BD AD CD ===故选：B【点拨】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，正确的理解题意、运用相应的性质是解题的关键．例题6：（2021·陕西灞桥·一模）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是∠ACB 的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（）①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠FAG ＝∠FCB ；③AF ＝AG ；④BH ＝CH ．A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③【答案】D【分析】根据三角形的面积公式进行判断①，根据三角形的内角和定理求出∠FAG ＝∠ACB ，再判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG ＝∠AGF ，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据等腰三角形的判定判断④即可．【解析】解：∵BE 是AC 边的中线，∴AE ＝CE ，∵△ABE 的面积＝1AE AB ⨯⨯，△BCE 的面积＝1CE ⨯⨯AB ，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，∴∠FAG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分线，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正确；根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；即正确的为①③，故选：D．【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．考向04三角形的内角和例题7：（2021·福建·福州十八中九年级期中）如图，ODC是由OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】D【分析】∴∠A =∠ADO 1802AOD ︒-∠==75°．故选D ．【点拨】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等是解题的关键．例题8：（2021·青海互助·九年级期中）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转80°，得到，若点D 在线段BC 的延长线上，则PDE ∠的度数为（）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°【答案】B【分析】由题意得AB AD =，80BAD ∠=︒，B ADE ∠=∠，得50B ADB ∠=∠=︒，则50ADE B ∠=∠=︒，即可得．【解析】解：∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转80°，得到，∴AB AD =，80BAD ∠=︒，B ADE ∠=∠，∴11(180)(18080)5022B ADB BAD ∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒，∴50ADE B ∠=∠=︒，∴180180505080PDE ADE B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选B ．【点拨】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点．考向05三角形的外角例题9：（2021·河南大学附属中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 上一点，将沿AE 折叠至处，AD '与CE 交于点F ，若52B ∠=︒，20DAE ∠=︒，则FED '∠的度数为（）【答案】B【分析】由平行四边形的性质得出52D B ∠=∠=︒，由折叠的性质得52D D '∠=∠=︒，20D AE DAE '∠=∠=︒，由三角形的外角性质求出72AEC ∠=︒，由三角形内角和定理求出108AED '∠=︒，即可得出FED '∠的大小．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，52D B ∴∠=∠=︒，由折叠的性质得：52D D '∠=∠=︒，20D AE DAE '∠=∠=︒，522072AEC D DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，180()180(5220)108AED D D AE '''∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，1087236FED AED AEC ''∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出AEC ∠和AED '∠是解决问题的关键．例题10：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点P 为边AD 上任意一点（点P 不与点A 、重合）连接CP ，若120B ∠=︒，则APC ∠的度数可能为（）A ．30°B ．54°C ．50°D ．65°【答案】D【分析】根据圆内接四边形对角互补，求得D ∠的度数，根据三角形的外角性质可得APC D ∠>∠，进而可确定APC ∠的范围，根据选项即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180B D ∠+∠=︒，∠为的外角，∵APC∠>∠，只有D满足题意．∴APC D故选：D．【点拨】本题考查了圆内接四边形形对角互补，三角形的外角性质，求得D∠的大小是解题的关键．考向06全等三角形的性质=，例题11：（2021·广西大化·九年级期中）如图，已知D，E分别是正三角形的边BC和CA上的点，且AE CD ∠的度数为（）AD与BE交于P，则BPDA．45°B．50°C．55°D．60°【答案】D【分析】根据△ABC是等边三角形，可得AC＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，结合AE＝CD，利用等式性质易得BD＝CE，利用SAS易证△ABD≌△BCE，从而有∠ADB＝∠BEC，再利用三角形外角性质可证∠C＝∠APE，而∠APE 和∠BPD是对顶角，故可得∠BPD＝∠C．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，∵AE＝CD，∴AC−AE＝BC−CD，即BD＝CE，又∵∠ABD＝∠C＝60°，AC＝BC，∴△ABD≌△BCE，∴∠ADB＝∠BEC，∵∠ADB＝∠C＋∠DAC，∴∠BPD ＝∠C ＝60°．故选D ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角性质、等边三角形的性质，解题的关键是证明△ABD ≌△BCE ．例题12：（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级期中）如图△ABC ≌△DEC ，点A 和点D 是对应顶点，当B 和点E 是对应顶点，过点A 作AF ⊥CD ，垂足为点F ，若∠BCE ＝65°，则∠CAF 的度数为（）A ．30°B ．25°C ．35°D ．65°【答案】B【分析】根据三角形全等的性质可得ACB DCE ∠=∠，进而可得BCE ACD ∠=∠，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得CAF ∠的度数．【解析】 ABC DEC ≌△△，∴ACB DCE ∠=∠，ACB ACE DCE ACE∴∠-∠=∠-∠即BCE ACD ∠=∠，AF CD ⊥，65BCE ∠=︒，9025CAF ACD ∴∠=︒-∠=︒故选B【点拨】本题考查了三角形全等的性质，直角三角形的两个锐角互余，证明BCE ACD ∠=∠是解题的关键．考向07全等三角形的判定例题13：（2021·山东·禹城市教育和体育局九年级期中）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将绕点A 顺时针旋转90°得到．若3DF =，则A ．2B ．32C ．1D ．12【答案】A【分析】根据旋转的性质可知，△ADF ≌△ABG ，然后即可得到DF=BG ，∠DAF =∠BAG ，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG ≌△EAF ，再根据DF =3，AB =6和勾股定理，可以求出BE 的长．【解析】解：由题意可得，△ADF ≌△ABG ，∴DF =BG ，∠DAF =∠BAG ，∵∠DAB =90°，∠EAF =45°，∴∠DAF +∠EAB =45°，∴∠BAG +∠EAB =45°，∴∠EAF =∠EAG ，在△EAG 和△EAF 中，AG AF EAG EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAG ≌△EAF(SAS)，∴GE =FE ，设BE =x ，则GE =BG +BE =3+x ，CE =6−x ，∴EF =3+x ，∵CD=6，DF =3，∴CF =3，∵∠C =90°，故选A..【点拨】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想．例题14：（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级期中）如图，在中，90C ∠=︒，AC BC =，将绕点A 顺时针方向旋转60°到的位置，连接C B '，则C BA ∠'的度数为（）A ．15°B ．20°C ．30°D ．45°【答案】C【分析】连接BB '，证明为等边三角形，然后进一步证明BB C ''△≌，得到B BC ABC '''∠=∠，即可求出C BA ∠'的度数．【解析】解：如图所示，连接BB '，由题意得：AB AB '=，60BAB '∠=︒，∴为等边三角形，∴60B BA '∠=︒，BB BA '=；BB BA BC BC B C AC ''''=⎧='='⎪⎨⎪⎩∴BB C ''△≌△（SSS ），∴30B BC ABC '''∠=∠=︒，故选：C ．【点拨】该题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题．解题的关键是作辅助线；灵活运用旋转变换的性质、全等三角形的判定来分析、解答．考向08角平分线与线段垂直平分线例题15：如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 从点A 出发沿着线段AD 向点D 运动(不与点A ，D 重合)，同时点F 从点D 出发沿着线段DC 向点C 运动(不与点D ，C 重合)，点E 与点F 的运动速度相同．BE 与AF 相交于点G ，H 为BF中点、则有下列结论：①BGF ∠是定值；②FB 平分AFC ∠；③当E 运动到AD中点时，2GH =；④当AG BG +=时，四边形GEDF 的面积是12其中正确的是（）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．②③④【答案】C【分析】根据题意很容易证得△BAE ≌△ADF ，即可得到AF =BE ，利用正方形内角为90°，得出AF ⊥BE ，即可判断解；④根据△BAE ≌△ADF ，即可得到S 四边形GEDF ABG S =V，然后根据AG GB +=时，得到()22226AG GB AG AG GB GB +=+⋅+=，再由2224AG BG AB +==即可得到22AG GB ⋅=，则1122ABG S AG GB =⋅=V ．【解析】证明：∵E 在AD 边上(不与A ，D 重合)，点F 在DC 边上(不与D ，C 重合)，又∵点E ，F 分别同时从A ，D 出发以相同的速度运动，∴AE =DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB DA =，90BAE D ∠=∠=o在△BAE 和△ADF 中，90AE DF BAE ADF AB DA =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△ADF (SAS )，∴∠1=∠2，∵2390∠+∠= ，∴1390∠+∠= 即90AGB ∠= ，∴90BGF ∠=o 即∠BGF是定值，故①正确；假设BF 平分∠AFC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥FC ，BC =AB∵BG ⊥AF ，∴BG =BC ，∴假设不成立，∴②不正确；③当E 运动到AD 中点时，则F 运动到CD 中点，∴112CF CD ==，∴BF ==∵∠BGF =90°，H 为BF 的中点∴122GH BF ==，故③正确；④∵△BAE ≌△ADF ，∴=BAE ADFS S △△∴S 四边形GEDF ,ABG S =∴当AG GB +=时，()22226AG GB AG AG GB GB +=+⋅+=，∵2224AG BG AB +==，22AG GB ∴⋅=，∵1122ABG S AG GB =⋅=V ，∴S 四边形GEDF =12故④正确；故选C ．【点拨】考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．例题16：（2021·广东·深圳市高级中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ＝8，连接BD ，分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 长为半径作弧，两弧交于点E 和点F ，作直线EF 交AD 于点I ，交BC 于点H ，点H 恰为BC 的中点，连接AH ，则AH 的长为（）【分析】连接DH，根据作图过程可得EF是线段BD的垂直平分线，证明△DHC是等边三角形，然后证明∠AHD=90°，根据勾股定理可得AH的长．【解析】解：如图，连接DH，根据作图过程可知：EF是线段BD的垂直平分线，∴DH=BH，∵点H为BC的中点，∴BH=CH，BC=2CH，∴DH=CH，在▱ABCD中，AB=DC，∵AD=BC=2AB=8，∴DH=CH=CD=4，∴△DHC是等边三角形，∴∠C=∠CDH=∠DHC=60°，在▱ABCD中，∠BAD=∠C=60°，AD∥BC，∴∠DAH=∠BHA，∵AB=BH，∴∠BAH=∠BHA，∴∠BAH=∠DAH=30°，∴∠AHD=90°，∴AH==故选：A．微练习一、单选题1．（2021·浙江拱墅·九年级期中）如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E 是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（）A．7∶5∶2B．13∶5∶2C．5∶3∶1D．26∶10∶3【答案】D【分析】过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，设CF＝a，则GM＝12a，依据CF∥BG，DE∶EC＝5∶3，D是BC的中点，可得BG＝6CF＝6a，再根据H是△ABC的重心，即可得到BH＝23BM＝133a，HG＝BG﹣BH＝53a，进而得到BH∶HG∶GM＝133a∶53a∶12a＝26∶10∶3．【解析】：如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，∵H是△ABC的重心，∴M是AC的中点，D是BC的中点，∴G是AF的中点，∴GM＝12 CF，设CF＝a，则GM＝12a，∵CF∥BG，DE∶EC＝5∶2，D是BC的中点，∴2552CF CEBG BE==++＝16，∵H 是△ABC 的重心，∴BH ＝23BM ＝133a ，∴HG ＝BG ﹣BH ＝6a ﹣133a ＝53a ，∴BH ∶HG ∶GM ＝133a ∶53a ∶12a ＝26∶10∶3．故选D．【点拨】本题主要考查了重心的性质，解题的关键在于能够熟练掌握重心是三条中线的交点以及重心的性质．2．（2021·云南鲁甸·九年级期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程27120x x -+=，则三角形的周长为（）A．10B．11C．10或11D．以上都不对【答案】B【分析】解方程得到两个解，分两类情况讨论，看是否能构成三角形，若能构成，则三边长加起来即为三角形周长．【解析】∵27120x x -+=，解得123,4x x ==∴三角形三边长可能的情况为：①2，5，3，∵2+3=5，∴2，3，5不能构成三角形②2，5，4，∵2+4>5，∴2，4，5能构成三角形∴三角形的周长为2+4+5=11故选B别以点A 和C 为圆心，大于12AC 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和N ；作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．若7AB cm ，则BC 的长可能是（）A．6cmB．7cm C．8cm D．9cm【答案】A【分析】由基本作图得到MN 垂直平分AC ，则DA =DC ，根据三角形三边的关系得到BC ＜CD +DB ，然后对各选项进行判断．【解析】解：由作法得MN 垂直平分AC ，∴DA =DC ，∴CD +BD =DA +DB =AB =7，∵BC ＜CD +DB ，∴BC ＜7．故选：A．【点拨】本题考查了作图-基本作图－作已知线段的垂直平分线．三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边关系，线段垂直平分线的性质是解题关键．4．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）下列说法正确的是（）A．三角形三条中线的交点是三角形重心B．等弦所对的圆周角相等C．长度相等的两条弧是等弧D．三角形的外心到三边的距离相等【答案】A【分析】根据重心，弦与圆周角之间的关系，等弧的定义以及外心的定义进行逐一判断即可．【解析】解：A、三角形三条中线的交点是三角形重心，故此选项符合题意；故选A．【点拨】本题主要考查了三角形重心，外心，以及圆中弦、弧的知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5．（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 所在的直线交于点P ，AC 、BD 交于点E ，∠AED ＝105°，∠P ＝55°，则∠ACD 等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】C【分析】由图可得：所对的圆周角相等，可得BAC BDC ∠=∠，在PCA V 及PBD △中利用三角形内角和定理分别表示出PCA ∠，PBD ∠，由等式的性质可得：PCA PBD ∠=∠，对顶角相等可得：BEC AED ∠=∠，根据四边形内角和为360︒可得ACP ∠，由平角定义即可得出结果．【解析】解：由图可得： BC所对的圆周角相等，即：BAC BDC ∠=∠，在PCA V 中，180PCA P BAC ∠=︒-∠-∠，在PBD △中，180PBD P BDC ∠=︒-∠-∠，，∴PCA PBD ∠=∠，∵105AED ∠=︒，∴105BEC AED ∠=∠=︒，【点拨】题目主要考查同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理及对顶角相等的性质，理解同弧所对圆周角相等是解题关键．6．（2021·辽宁旅顺口·九年级期中）如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A B C ''，连接AA '，若125∠=︒，则BAC ∠的度数是（）．A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】B【分析】由旋转得A C AC '=，90ACA '∠=︒，求出45CAA '∠=︒，利用外角性质求出A B C ''∠，由旋转的性质得到∠B 的度数，再计算90°-∠B 即可得到结果．【解析】解：由旋转得A C AC '=，90ACA '∠=︒，∴45CAA '∠=︒，∵125∠=︒，∴A B C ''∠=∠1+70CAA '∠=︒，由旋转得∠B =70A B C ''∠=︒，∴BAC ∠=90°-∠B =20°，故选：B ．【点拨】此题考查三角形外角的性质，等边对等角求角的度数，直角三角形两锐角互余的性质，旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．7．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将绕点C 顺时针旋转得到A B C ''V ，点B '恰好在AB 上，A B ''交AC 于F ，在不添加其他线段的情况下，图中与相似的三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可．【解析】由题意得：BC B C '=，AB A B ''=，AC A C '=，B B '∠=∠，30A A '∠=∠=︒，90ACB A CB ''∠=∠=︒∵∠A =30°，∠ACB =90°∴∠B =60°∵BC B C'=∴BB C '△是等边三角形∴60B BB C BCB ''∠=∠=∠=︒∴30B CA '∠=︒，∠60A CA '∠=︒，60AB A ''∠=︒∴A B ''∥BC∵∠ACB =90°∴AC A B ''⊥∴与相似的三角形有CF 、△ABC 、、A B C ''V 所以有4个故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．8．（2021·重庆一中九年级期中）下列命题是真命题的是（）A．三角形的外角大于它的任何一个内角B．()3n n ≥边形的外角和为360︒C．矩形的对角线互相垂直且平分D．三角形的内心到三角形三个项点的距离相等【答案】B【解析】解：A、三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角，则选项错误，不符合题意；B、()3n n ≥边形的外角和为360︒，则选项正确，符合题意；C、矩形的对角线互相平分，但不一定垂直，则选项错误，不符合题意；D、三角形的内心到三角形三个边的距离相等，则选项错误，不符合题意；故选B【点拨】本题考查的是真假命题的判断，同时考查三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，矩形的性质，三角形内心的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．（2021·宁夏·银川市第十五中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作BAD ∠的平分线AG 交BC 于点E ；以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交AD 于点F ．若12,10BF AB ==，则AE 的长为（）A．16B．15C．14D．13【答案】A【分析】连接EF ，设,BF AE 交于点O ，根据平行四边形的性质和作图可知23∠∠=,AF AB =，进而证明四边形ABEF 是菱形，根据勾股定理求得AO 的长，即可求得AE 的长．【解析】解：如图，连接EF ，设,BF AE 交于点O ，AE ∵平分BAD∠12∠∠∴= 四边形ABCD 是平行四边形AD BC∴∥13∠∠∴=，又AB AF= AF BE∴=AF BE∥ ∴四边形ABEF 是平行四边形AB BE= ∴四边形ABEF 是菱形,AE BF AO OE ∴⊥=，12BO OF BF ==在Rt ABO 中，10AB =，162BO BF ==8AO ===216AE AO ∴==故选A【点拨】本题考查了作角平分线，等角对等边，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，证明ABEF 是菱形是解题的关键．10．（2021·黑龙江·大庆市第六十九中学九年级）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝CE ，连接AD ，BE 交于点F ，连接CF ，则CF 的最小值是（）A．3C．4【答案】B【分析】根据三角形全等的判定定理和性质可得：，BAD CBE ∠=∠，利用各角之间的数量关系可得：120AFB ∠=︒，作的外接圆，则点F 在圆上运动，连接OB 、OC ，交劣弧于点F’，当点F 与点F’重合时，CF 的长度最小，由切线定理可得OB BC ⊥，30BCO ∠=︒，在中，利用三角函数的正切可得OB =30︒所对直角边是斜边的一半即可确定OC =CF 的最小值．60AB BC ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴，∴BAD CBE ∠=∠，∴60ABF BAF ABF CBE ∠+∠=∠+∠=︒，∴120AFB ∠=︒，作的外接圆，则点F 的运动轨迹为以O 为圆心，OB 为半径的圆，如图所示，连接OB 、OC ，交劣弧于点F’，当点F 与点F’重合时，CF的长度最小，由切线定理可得：BC 与⊙O 相切于点B ,∴OB BC ⊥，30BCO ∠=︒，在中，tan 30OB BC =︒=∴2OC OB ==∴CF OC OF =-=''∴CF的最小值为故选：B．【点拨】题目主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的相关性质定理、正切三角函数等，添加辅助圆作出相应辅助线是解题关键．11．（2021·陕西碑林·九年级期中）如图，平行四边形ABCD 的周长为16，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【分析】先证明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周长公式进行计算即可.【解析】解：∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AD+DC＝8，∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，故选：C．【点拨】本题考查的是平行四边形性质，线段垂直平分线的性质，证明AE＝EC是解本题关键. 12．（2021·湖北青山·九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，则可证得△ABH≌△ADF，从而AH=AF，∠BAH=∠DAF，易证△AHE≌△AFE，可得HE=EF=3，则可求得BE的长．【解析】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，如图∵四边形ABCD 内接于⊙O∴∠ABC +∠ADC =180゜∵∠ABH +∠ABC =180゜∴∠ABH =∠ADF在△ABH 和△ADF 中AB AD ABH ADF BH DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABH ≌△ADF∴AH =AF ，∠BAH =∠DAF∵∠BAD +∠BCD =180゜，∠BCD =120゜∴∠BAD =180゜-∠BCD =60゜∵∠EAF =30゜∴∠BAE +∠DAF =∠BAD -∠EAF =30゜∴∠EAH =∠BAE +∠BAH =30゜在△AHE 和△AFE 中AH AD EAH EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AHE ≌△AFE∴HE =EF =3∴BE =HE -BH =3-1=2二、填空题13．（2021·四川恩阳·九年级期中）点G 为的重心，如果6AG =，8BG =，10CG =，则的面积为______．【答案】72【分析】延长AG 到G '，连接CG '，使得DG DG '=，则BDG CDG '≅△△，再证明CGG '△是直角三角形即可得解；【解析】如图所示，延长AG 到G '，连接CG '，使得DG DG '=，则BDG CDG '≅△△，∴8GG BG '==，∵132DG AG ==，∴3DG DG '==，∴6GG '=，∵10CG =，∴CGG '△是直角三角形，∴186242GBC CGG S S '==⨯⨯=△△，∴372ABC GBC S S ==△△；故答案是：72．【点拨】本题主要考查了三角形重心的性质和三角形全等判定与性质，准确计算是解题的关键．14．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部【答案】167【分析】作使得GD 是ΔABC 一条优美线，过点G 作GH BC ⊥于点H ，根据GH BC ⊥,AE BC ⊥，CGH CAE △∽△，DEF DGH △∽△，列出比例式，代入数值计算即可．【解析】如图， ΔABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，E 为BC 中点，AE BC ∴⊥，132BE EC BC ===，ABE AEC S S = ∴AE 是ΔABC 的一条优美线4AE ∴==11641222ABC S BC AE =⨯=⨯⨯= △ BD ＝2，624DC BC BD ∴=-=-=作使得GD 是ΔABC 一条优美线，过点G 作GH BC ⊥于点H ，则162GDC ABC S S ==△△623GH DC ∴=⨯÷= GH BC ⊥,AE BC⊥GH AE∴∥CGH CAE ∴△∽△，DEF DGH△∽△HC GH EC AE∴=设HC x =，则334x =解得94x =93344EH EC HC ∴=-=-= DEF DGH△∽△即17 34 EF=解得127EF=1216477AF AE EF∴=-=-=故答案为：16 7【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，找到优美线DG是解题的关键．15．（2021·湖北·黄石经济技术开发区教研室九年级期中）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA<OC，∠AOB＝∠COD＝36°；连接AC，BD交于点M，连接OM；下列结论：①∠AMB＝36°；②AC＝BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD；其中正确的结论有______________(填序号)【答案】①②④【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得【解析】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝36°，∴∠AOB ＋∠BOC ＝∠COD ＋∠BOC ，即∠AOC ＝∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA ＝∠ODB ，AC ＝BD ，故②正确；∵∠OAC ＝∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB ＋∠OBD ＝∠OAC ＋∠AOB ，∴∠AMB ＝∠AOB ＝36°，故①正确；作OG ⊥AM 于G ，OH ⊥DM 于H，如图所示，则∠OGA ＝∠OHB ＝90°，∵△AOC ≌△BOD ，∴OG ＝OH ，∴MO 平分∠AMD ，故④正确；假设MO 平分∠AOD ，则∠DOM ＝∠AOM ，在△AMO 与△DMO 中，AOM DOM OM OM AMO DMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMO ≌△DMO （ASA ），∴AO ＝OD ，所以其中正确的结论是①②④．故答案为：①②④．【点拨】本题属于三角形综合题，是中考填空题压轴题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．16．（2021·湖南长沙·九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，AP与BC的延长线交于点D．过点P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF并延长交DH于点G．下列结论中，正确的是______．（填序号）①∠APB＝45°，②PF＝PA，③DG＝AP+GH，④BD＝AH+AB．【答案】①②④【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义可得∠ABP＝12∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB＝∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB ＝BF，AP＝PF；③根据PF⊥AD，∠ACB＝90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG＝∠DAG＝45°，再根据等角对等边可得DG＝AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH＝GF，然后求出DG＝GH+AF，根据AF PA可得结论；④根据直角的关系求出∠AHP＝∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝AH．【解析】解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线相交于点P，∴∠ABP＝12∠ABC，∠CAP＝12（90°+∠ABC）＝45°+12∠ABC，。
“全等三角形”中常见错误与分析
Ｄ
全 等．
Ｄ
侈 Ⅱ５ 如 图 ４． Ｃ Ｊ ＿
ＢＣ ． ＤＣ Ｌ ＥＣ ＡＣ ＝ ＢＣ ＤＣ＝
ＥＣ．
求证 ： ＬＤ ＝ Ｅ ．
求证 ： ＡＥ ＝ Ｃ Ｆ ．
【 错证 】 在 △Ａ Ｃ Ｅ和 △ＢＣ Ｄ中 ，
因为 Ａ Ｃ上 Ｃ， ＤＣ上 ＥＣ ，
所 以 ＡＣ Ｂ＝ ＥＣＤ＝ ９ ０ 。 ．
【 错 】 因为 Ａ Ｅ＿ Ｉ ＿ Ｂ Ｄ， Ｃ Ｆ ＿ Ｉ ＿ Ｂ Ｄ，
所 以 ＬＡＥＯ＝ Ｃ ＝ ９ ０ ｏ
所 以Ａ Ｅ ／ ／ Ｃ Ｆ ．
所 以 Ｏ ＡＥ＝ ０
正 解 因 为 ＡＢ∥
知 学 习园
【 错题汇集】
误与分析
东 台 市 实 验 中 学 教 育 集 团 马 恒 平
所 以 ＡＡ ＢＣ与 ＡＤ Ｅ Ｆ不全 等 ． “ 全等三角形 ” 是 初 中数 学 “ 空 间 与 图 判 定 要 求 ，
形” 中 的 重要 内容 ． 它 不 仅 是 中学 数 学 的基
二、 误用“ 直 观 感 觉 ”当条 件
一
、
Hale Waihona Puke “ 对应” 不 准 确 例 １ 在 △ Ｃ 和 △ ＤＥＦ 中 ． Ａ＝
３ ０。， Ｂ＝７ ０。， Ａ Ｃ＝５ｅ ｍ： Ｄ＝７ ０。， Ｅ＝８ ０。，
Ｄ Ｅ ＝ ５ ｃ ｍ． 那 么 △ＡＢ Ｃ与 △Ｄ Ｅ Ｆ全 等 吗 ？ 为 什 么？
【 错证 ２ 】
ＤＥＡ ： ＤＦ Ａ ＝９ ０。．
Ｄ＝ Ｆ ＡＤ ． ＡＤ ＝ＡＤ ．
ＥＢ；ＥＣ ． Ｌ ＡＢＥ＝ Ａ ＣＥ ． ＡＥ ＝ Ａ Ｅ．
人教八年级上册第十二章《全等三角形》专题知识易错归纳+实例详解
八年级《全等三角形》专题知识易错归纳+实例详解◆◆知识网络◆◆◆◆基础知识梳理◆◆（一）基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。
运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)◆◆疑点、易错点◆◆1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
切记不要弄错。
2、对全等三角形判定方法理解错误；3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。
全等三角形易错点归纳
全等三角形易错点1.寻找对应点：想找对对应点，一定要知道一个三角形经过怎样的图形变换，得到另一个三角形。
这里面包括（平移，对称，旋转）例如：△ABC经过如何变换得到△A’B’C’呢？△ABC水平向右平移得到△A’B’C’∴△ABC≌△A’B’C’△ABC经过如何变换得到△ABD呢？△ABC沿AB对称得到△ABD∴△ABC≌△ABD如图，△ABD经过如何变换得到△BCD呢？△ABD绕点O顺时针旋转180°，得到△CDB。
∴△ABD≌△CDB当然，也会遇到复合变换的情况，既有对称又有旋转等等。
如果学生不会判断，还可以采取以下方法。
1.审：通过图形大小和形状，猜测图中出现的所有全等图形，看是否符合题意。
2.逆：通过题目问题，逆向分析问题所需要的全等图形3.画：把已知条件和问题都标到图上，只分析图形，寻找全等图形，得出结论。
注意：证明两个三角形全等不是目的，通过三角形全等得到边或角的关系才是目的，同学们请谨记。
2.全等的格式：无论你用何种判定，书写格式一定是按照要求来。
例如：已知：AD=AE,AB=AC求证：∠B=∠C证：在△ABE和△ACD中①AB=AC ②∠A=∠A ③AE=AD ④∴△ABE≌△ACD（SAS）⑤∴∠B=∠C ⑥注意：在①中，两个三角形对应点必须对应。
在②③④中，如果选用了边角边的判定，那么在③中，必须写对应角等；②和③必须写对应边等。
顺序不能错。
例如有的学生顺序写成了②④③（SSA）那就不行了。
②③④中，等号左边的边或角必须是左边三角形中的边或角；等号右边的边或角必须是右边三角形中的边或角。
⑤中，小括号理由必须写。
八年级数学全等三角形必须掌握的知识点易错点拔
八年级数学全等三角形必须掌握的知识点易错点拔单选题1、下列选项中表示两个全等图形的是（）A．形状相同的两个图形B．能够完全重合的两个图形C．面积相等的两个图形D．周长相等的两个图形答案：B解析：利用全等图形的定义分析即可．A、形状相同的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；B、能够完全重合的两个图形，一定是全等图形，故此选项正确；C、面积相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；D、周长相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；故选B．小提示：此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的定义是解题关键．2、如图，△ABC和△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，点B，F，C，D在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF的是( )A．AB＝EDB．AC＝EFC．AC∥EFD．BF＝DC答案：C解析：根据全等三角形的判定方法即可判断.A. AB＝ED，可用ASA判定△ABC≌△EDF；B. AC＝EF，可用AAS判定△ABC≌△EDF；C. AC∥EF，不能用AAA判定△ABC≌△EDF，故错误；D. BF＝DC，可用AAS判定△ABC≌△EDF；故选C.小提示：此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.3、若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，则DF长为（）A．5B．8C．7D．5或8答案：C解析：根据三角形的周长可得AC长，然后再利用全等三角形的性质可得DF长．∵△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，∴AC＝20−5−8＝7，∵△ABC≌△DEF，∴DF＝AC＝7，故选C．小提示：此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．4、如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，则△ABC的面积为（）A．14B．12C．10D．7答案：B解析：过点D作DF⊥AB于点F，利用角平分线的性质得出DE=DF=2，将△ABC的面积表示为△ABD,△ADC面积之和，分别以AB为底，DF为高，AC为底，DE为高，计算面积即可求得．过点D作DF⊥AB于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE=2,∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12·AB·DF+12·AC·DE=12×7×2+12×5×2=7+5=12,故选：B．小提示：本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质作出辅助线是解题关键．5、作∠AOB平分线的作图过程如下：作法：（1）在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．（2）分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点C．（3）作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．用下面的三角形全等的判定解释作图原理，最为恰当的是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS答案：A解析：根据作图过程可得OD=OE，CE=CD，根据OC为公共边，利用SSS即可证明△OCE≌△OCD，即可得答案．∵分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点C；∴CE=CD，在△OCE和△OCD中，{OE=OD CD=CE OC=OC，∴△OCE≌△OCD（SSS），故选：A．小提示：本题考查全等三角形的判定，正确找出相等的线段并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．6、如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC 的距离是（）A．1B．2C．3D．4答案：C解析：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×OD×(AB ＋BC ＋AC )＝12×OD×8＝12OD=3故选：C小提示：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．7、如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°答案：D解析：根据∠α是a 、c 边的夹角，50°的角是a 、c 边的夹角，然后根据两个三角形全等写出即可．解：∵∠α是a 、c 边的夹角，50°的角是a 、c 边的夹角，又∵两个三角形全等，∴∠α的度数是50°．故选：D ．小提示：本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．8、如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为()A．14B．13C．12D．10答案：C解析：∵平行四边形ABCD∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO∴∠EAO=∠FCO∵在△AEO和△CFO中，{∠AEO=∠CFO AO=CO ∠AOE=∠COF∴△AEO≌△CFO∴AE=CF，EO=FO=1.5∵C四边形ABCD=18∴CD+AD=9∴C四边形CDEF=CD+DE+EF+FC=CD+DE+EF+AE=CD+AD+EF=9+3=12.故选C小提示：本题关键在于利用三角形全等，解题关键是将四边形CDEF的周长进行转化．9、如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为 ________cm.答案：45解析：利用SAS证明△ABC≌△DEF，即可得△DEF的周长=△ABC的周长=24cm．再由制成整个金属框架所需这种材料的总长度为△DEF的周长+△ABC的周长-CF即可求解.∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴△DEF的周长=△ABC的周长=24cm．∵CF=3cm，∴制成整个金属框架所需这种材料的总长度为：△DEF的周长+△ABC的周长-CF=24+24-3=45cm.故答案为45.小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△DEF得到△DEF的周长=△ABC的周长=24cm是解决问题10、如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则△DEB的周长为__________cm．答案：15解析：试题分析：根据角平分线的性质可得：DE=AD，结合∠A=90°，∠CED=90°，可得：△ACD和△ECD全等，则AC=CE，即△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE=AC+BE=CE+BE=BC=15cm．点睛：本题主要考查的就是角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ACD和△ECD全等是解决这个问题的关键．在三角形的题目中，如果出现角平分线，除了想到角相等之外，还应该想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；如果题目中出现中垂线，我们也不能忘记中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等．11、如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠DAC，请补充一个条件____，使△ABC≌△ADC．答案：∠D=∠B(答案不唯一)解析：本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．解：添加的条件为∠D=∠B，理由是：在△ABC和△ADC中，{∠BAC=∠DAC∠D=∠BAC=AC，∴△ABC≌△ADC(AAS)，所以答案是：∠D=∠B．小提示：本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．12、如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠B=30°,AC=1，则∠B′=________，CC′=________．答案： 30° 2解析：根据中心对称图形的性质，得到△ABC≌△AB′C′，再由全等三角形的性质解题即可．解：∵A为对称中心，∴△ABC绕点A旋转180°能与△AB′C′重合，∴△ABC≌△AB′C′，∴∠B′=∠B=30°，AC=AC′=1，∴CC′=AC+AC′=1+1=2．小提示：本题考查中心对称图形的性质、全等三角形的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．13、如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=______度．答案：120解析：根基三角形全等的性质得到∠C=∠C′=24°，再根据三角形的内角和定理求出答案.∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，∴∠B=120°，所以答案是：120.小提示：此题考查三角形全等的性质定理：全等三角形的对应角相等，三角形的内角和定理.解答题14、如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离，小明设计如下方案：从点B 出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过点D作DE//AB，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，说明他设计的道理．答案：见解析解析：根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠E，然后利用“角角边”证明△ABC和△EDC全等，根据全等三角形对应边相等解答；解：∵DE//AB，∴∠A=∠E，在△ABC和△EDC中，{∠A=∠E∠ACB=∠ECDBC=CD，∴△ABC≅△EDC(AAS)，∴DE=AB，即DE的长就是A、B两点之间的距离．小提示：本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．15、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，猜想DE、AD、BE之间的关系，并请给出证明．答案：（1）①见解析；②见解析；（2）AD−BE=DE，证明见解析．解析：（1）①利用“AAS”证明△ADC≌△CEB全等即可；②根据△ADC≌△CEB即可得到AD=CE，BE=CD，即可得到AD+BE=CE+CD=DE；（2）同（1）证明△ADC≌△CEB得到AD=CE，BE=CD，即可推出AD−BE=CE−CD=DE．证明（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90∘∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECBAC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴AD=CE，BE=CD，∴AD+BE=CE+CD=DE；（2）关系：AD−BE=DE；证明：∵AD⊥MN，∠ACB=90∘，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90∘，∠ECB+∠ACD=90∘，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECBAC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，BE=CD，∴AD−BE=CE−CD=DE．小提示：本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。
《全等三角形》证明中常见错误精析与真题反馈(共17张PPT)
真题反馈
6. （2018•通辽）如图，△ABC中，D是BC 边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的 平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连 接CF．
求证：△AEF≌△DEB；
真题反馈
7. （2018•泰州）如图，∠A=∠D=90°， AC=DB，AC、DB相交于点O．求证： OB=OC．
真题反馈
真题反馈
3. （2018•云南）如图，已知AC平分∠BAD， AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．
真题反馈
4. （2018•泸州）如图，EF=BC，DF=AC， DA=EB．求证：∠F=∠C．
真题反馈
5. （2018•衡阳）如图，已知线段AC，BD相 交于点E，AE=DE，BE=CE．
（1）求证：△ABE≌△DCE； （2）当AB=5时，求CD的长．
《全等三角形》证本题是一道SAS全等的简单题，有边等的条 件，根据平行，可得内错角相等，即有“一 边一角”条件，易得还有一边作为公共边相 等，即可得证．但是在书写过程中，还是容 易出现许多问题。
错误1：对应顶点不对应
在△ADC和△ABC中
……
∴△ADC≌△ABC ( SAS )
剖析：这是最常见的错误，许多同学认为，这两 个三角形的全等可以看作由其中一个沿AC边 翻折得到，其实不然！由条件可知，四边形 ABCD实为平行四边形，则AC为其对角线，则 这两个三角形是关于对角线AC的中点中心对 称，也可以说其中一个三角形绕AC中点旋转 180°可与另一个三角形重合．
错误1：对应顶点不对应
8. （2018•恩施州）如图，点B、F、C、E在 一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD， AD交BE于O．
求证：AD与BE互相平分．
易错专练—三角形全等的判定方法
·数学
利用减法运算说明全等出错 4.如图,已知AC,BD相交于点O,∠A=∠B,∠1=∠2,AD=BC.△AOD与△BOC全等吗? 请说明理由.
诊断:两个三角形全等是对的,但说明的理由不正确. 因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 正解:△ADB≌△BCA.理由如下: 在△ADB和△BCA中, 因为∠C=∠D,∠CAB=∠DBA,AB=BA, 所以△ADB≌△BCA(AAS).
·数学
把“SSA”当成判定三角形全等的方法 2.如图,已知△ABC中,AC=AB,D,E分别是AB,AC的中点,且CD=BE.△ADC与△AEB 全等吗?请说明理由.
·数学 易错专练——三角形全等的判定方法
把“AAA”当成判定三角形全等的方法
1.如图,∠CAB=∠DBA,∠C=∠D,E为AC和BD的交点.△ADB与△.理由如下: 在△ADB和△BCA中, 因为∠C=∠D,∠CAB=∠DBA, 所以∠DAB=∠CBA. 根据AAA,所以△ADB≌△BCA.
正解:△AOD≌△BOC.理由如下: 在△ADO和△BCO中, 因为∠AOD=∠BOC,∠A=∠B,AD=BC, 所以△AOD≌△BOC(AAS).
·数学
错解:△AOD≌△BOC. 理由如下:在△ADC和△BCD中, 已知∠A=∠B,∠2=∠1,DC=CD, 所以△ADC≌△BCD.所以△ADC-△DOC=△BCD-△DOC. 所以△AOD≌△BOC.
·数学
诊断:错解与前面学过的有关线段、角的运算相混淆,错误地认为两个全等 三角形中减去同一个三角形得到的两个三角形全等.
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全等三角形易错警示
误点1．不能正确确定对应元素（顶点、边、角）
【例1】如图1，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ，指出其他的对应边和对应角．
错解：对应边为AB 与AD ，AE 与AC ，BD 与CE ．对应角还有∠BAD 和∠CAE ． 错解分析：识图能力差，未能将两个三角形分离出来，正确识别对应边、对应角．我们根据两个三角形全等的条件写出对应边、对应角时首先应该将已知“全等”的两个三角形从图形中分离出来，如图2所示．
正确解法：对应边是AB 和AC ，AE 与AD ，BE 与CD ，对应角还有∠BAE 和∠CAD ． 剖析：在确定三角形的对应元素时，由于对确定方法掌握不熟练，应用不灵活，加之图形复杂难辨，很容易将全等三角形的对应元素弄错．因此应注意以下几点：①做题时要细心；②灵活运用找对应元素的方法；③若所给的图形过于复杂，应将其分离使其简单化．
误点2．臆造全等三角形的判定条件
【例2】如图3，AE=AC ，AB=AD ，∠EAB=∠CAD ．
求证：∠B=∠D ．
错解：在△ABC 和△ADE 中，
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=,,CAD AE AC EAB AD AB ，
∴△ABC ≌△ADE ．∴∠B=∠D ． 错解分析：没有认真结合图形分析条件，对判定方法认识不明确，错把∠EAB 和∠CAD 误认为判定方法中的“夹角”来参与证明，不符合“边角边”判定方法的条件．
正确解法：∵∠EAB=∠CAD ，∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD ，即∠EAD=∠BAC ．
在△ABC 和△ADE 中，⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=,,EAD AE AC BAC AD AB ，
∴△ABC ≌△ADE ．∴∠B=∠D ．
剖析：此类错误出现的主要原因是脱离图形所致，
只有熟练掌握全等三角形的判定方法，图
1 图 2
图3
并结合图形理解这些方法，剖析它们的区别和联系，才能有效地避免错误的发生．
误点3．不满足角平分线的性质的条件而得出结论
【例3】如图4，P 是∠AOB 平分线上一点，OC=OD ，PC=3cm ，求PD 的长． 错解：∵P 是∠AOB 平分线上一点，∴PD=PC=3cm ．
错解分析：错解的主要原因是对角的平分线的性质的条件没
有理解，忽略了结论成立的重要条件——PC ⊥OA ，PD ⊥OB ．
正确解法：在△DOP 和△COP 中，⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=,,COP OP OP DOP OC OD ，
∴△DOP ≌△COP ，∴PD=PC=3cm ． 剖析：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，个别同学对“距离”的理解不透，误认为是角的平分线上的点到角两边的任意一点的“距离”都相等，因而造成错解．性质中的“距离”不是任意两点的长度，而是点到直线的垂线段的长度． 图4。