第1章多项式

x2 1 f g, x2 1 2 f 4 g, x2 1 f , g .
• 例5 设
f , g 0. g
法1
m
f
m
g f.
用标准分解式证明
法2 ( ) f m hg m ..............( i ) d ( x ) ( f ( x ), g( x )), f f1d , g g1d .....( ii )
第1章
• • • • • • • • • • • 一、 二、 三、 四、 五、 六、 七、 八、 九、 十、 十一、
多项式
数域 多项式定义 多项式运算 带余除法及整除性 最大公因式及互素 多项式的因式分解 重因式 多项式函数与根 复实系数多项式的因式分解 有理系数多项式因式分解 多元多项式
• 一、 数域 • 包含0，1且在加、减、乘、除（除数不为0）运 算下封闭的数集叫复数域。 • 等价地说，包含一个非零数且在加减乘除（减除） 运算下封闭的数集。 性质 有理数域是最小数域。 例1 求包含 2 的最小数域。
互素有以下性质： f g (1)( , ) 1; ( f , g) ( f , g)
(2)( f , g1 ) 1,( f , g2 ) 1 ( f , g1 g2 ) 1; (3) f g1 g2 ,( f , g1 ) 1 f g2 ; (4) f1 g , f 2 g ,( f1 , f 2 ) 1 f1 f 2 g ;
令
f 2 ( x ) nf1 ( x ) xf1' ( x ) a1 x n1 22 a2 x n 2 ... ( n 2)2 an 2 x 2 ( n 1)2 an1 x n 2an f 3 ( x ) nf 2 ( x ) xf 2' ( x ) a1 x n1 23 a2 x n 2 ... ( n 2)3 an 2 x 2 ( n 1)3 an1 x n 3an ......... f k ( x ) nf k 1 ( x ) xf k 1' ( x ) a1 x n1 2k a2 x n 2 ... ( n 2)k an 2 x 2 ( n 1)k an1 x n k an
• 例2
x a x a (a 0) d n.
d d n n
( )n dq r , 0 r d . x a x x a x a a
n n n r dq r dq n
x r ( x dq a dq ) a dq ( x r a r ) a d
p( x ) f ( x ) or ( p( x ), f ( x )) 1.

下之一成立
(4) 关于任一非零常数c，cp(x)不可约。
p(x)不可约， p( x ) f i ( x ) j , s.t . p( x ) f j ( x ).
标准分解式
f ( x ),deg f ( x ) 1 f ( x ) cp1 ( x ) p2 ( x )... ps ( x ) 其中 pi ( x ) 不可约。
证
令
f1 ( x ) nf ( x ) xf ' ( x ) a1 x n 1 2a2 x n 2 ... ( n 2)an 2 x 2 ( n 1)a n 1 x na n
则
( x 1)k 1 f ( x) ( x 1) f ( x),( x 1)k f1 ( x)
(5)( fh, gh) ( f , g )h; (6)( f , g ) 1 ( fg, f g ) 1; (7)( f , h) 1 ( f , gh) ( f , g );
(7)( f , h) 1 ( f , gh) ( f , g ); 1 uf vh, d ( f , g ) d ( f , g ) af bg af bg( uf vh) (a bgu) f (bv ) gh
( f1 , g1 ) 1 ( f1m , g1m ) 1 将（ii)代入(i)得
f1m d m hg1m d m g1m f1m g1m c g c1d ( x ) f ( x )
• 例6 设
ຫໍສະໝຸດ Baidu
f , g 0. ( f , g) ( f , g ).
m m m
法1 d ( x ) ( f ( x ), g ( x )), f f1d , g g1d
( f1 , g1 ) 1 ( f1m , g1m ) 1 ( f , g ) ( f1 d , g1 d ) ( f1 , g1 )d d . 法2 m m ( f1 , g1 ) 1
• 例7
( x 1)k 1 f ( x ) a0 x n a1 x n 1 ... an1 x an a0 a1 ... an 1 an 0 a1 2a2 ... ( n 1)an 1 nan 0 a1 22 a2 ... ( n 1)2 an 1 n 2an 0 .......... a1 2k a2 ... ( n 1)k an1 n k an 0
五、最大公因式及互素
• d是f,g的最大公因式,当且仅当
d f , d g; (1) h f , h g h d .
d f , d g; (2) h f , h g deg h deg d .
d f , d g; (3) d uf vg 当（f,g)=1,就称f与g互素。
f ( x ) q( x ) g( x ) r ( x ), r ( x ) 0 or deg r ( x ) deg g( x ) g( x ) f ( x ) r ( x ) 0.
• 整除的性质
(1) f g , g f f ( x ) cg( x )(c 0); (2) f g , g h f h ; (3) f ( x ) gi ( x ) f ( x ) bi gi ( x ).
• 多项式看作函数
f ( x ) ai x : P P , b a
i i 0
n
ai b i
i 0
n
• 三、多项式运算：加法、乘法
运算规律
• • • • • • 1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、乘法消去律
• 四、带余除法及整除性.
另一法，直接证明(f,gh),(f,h)相互整除。
f1 g (8)( f1 , f 2 ) 1 g , f1 f 2 g . f2 g f1 f 2 ( ) Let g , then f1 f 2 g ( f1 , f 2 ) 1. ( f1 , f 2 )
法1
法2
验证 f(i)=g(i)=f(-i)=g(-i)=0
(1) (2),(1) (2) ( x 2 1)( h( x ) k ( x )) 2 x( f ( x ) g( x )) 2 ( x 1)( h( x ) k ( x )) 2 f ( x ) 4 g( x )
m m m m m m m m m m
uf1 vg1 1 uf
m m
m
vg
m
d
m
Since d m f m , d m g m , d m ( f m , g m ).
六、
多项式的因式分解
1.不可约多项式的定义与性质.
deg p( x ) 1, p(x)不可约
(1)p(x)不能表示成数域P上两个次数比p(x)低 的多项式的乘积,； (2) p(x) 的因子只能是常数及自身常数倍； (3）与任一多项式f(x)的关系是
r1 r2 rs
• 练习
f , g 0. ( f , g ) 1
( x ) ( x 3 1) f ( x ) ( x 3 x 2 x 1) g( x ) ( x ) ( x 2 1) f ( x ) ( x 2 x ) g( x )
求 ( ( x ), ( x )). 解 ( ( x ), ( x )) ( ( x ) x ( x ), ( x )) (( x 1)( f g ), ( x )) ( x 1)( f g ,( x 1) f ( x ) xg( x ))
八、 • 多项式看作函数
多项式函数与根
值 多项式函数
• 余数定理
用一次多项式x-去除多项式f(x)所得 的余式是常数f(). • 注 若 f() = 0, 则为f(x)的根或零点
• 是f(x) 的根的充分必要条件是 (x-)f(x). 单根,重根,k-重根 • P[x]中n 次多项式(n0)在数域P中的根不可 能多于n个,重根按重数计算. • 如果多项式f(x), g(x)的次数都不超过n,而它 们对n+1个不同的数1, 2,…, n+1有相同的 值,即 f(i) = g(i) 则 f(x) = g(x)
( x 2 1)h( x ) ( x 1) f ( x ) ( x 2) g( x ) 0.....(1) • 例4 2 ( x 1)k ( x ) ( x 1) f ( x ) ( x 2) g( x ) 0....(2)
x 2 1 ( f ( x), g( x)).
{a b 2 a, b Q}.
• 二、多项式的定义（形式记法，函数） • 定义. 设x是一个变量(文字),n是非负整数.表 示式 anxn+an-1xn-1++a1x+a0 , 其中an, an-1,,a1, a0全属于数域P,称为系数在 数域P中的一元多项式,简称数域P上的一元多 项式.
( x 1)( f g ,[( x 1) f ( x ) xg( x )] x( f g )) ( x 1)( f g , f ) ( x 1)( f , g ) x 1.
七、
重 因 式
不可约多项式p(x)称为f(x)的k 重因式，如果 pk(x) f(x), 而 pk+1(x) 不整除f(x) • k = 0, 不是因式 • 单因式：若k = 1; • 重因式：若 k >1.
x d a d x r a r r 0.
• 例3 f(x)=x3m+x3n+1+x3p+2,证明x2+x+1整除f(x). • 解法一 f(x)=x3m+x3n+1+x3p+2 • = x3m-1+x(x3n-1) + x2 (x3p -1)+ x2+x+1 • 又x2+x+1 整除x3t-1 ,所以x2+x+1整除f(x). • 解法二 设a,b是x2+x+1的两个根，经验证 • f(a)= f(b)=0, • 所以 x2+x+1整除f(x).
（1)不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式 (k1), 当且仅当p(x)是f(x)的因式且它是微商f '(x) 的k-1重因式. (2)不可约多项式p(x)是f(x)的重因式 当且仅当p(x)是f(x)和微商f ‘(x)的公因式.
(3)不可约多项式p(x)是f(x)的k (k1)重因式， 当且仅当 p(x)是f(x), f '(x), …, f(k-1)(x)的因 式，但不是f(k)(x)的因式. （4） f(x)没有重因式的充分必要条件是f(x) 与 f '(x) 互素.