第12讲反比例函数1

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中考数学复习讲义课件中考考点全攻略第3单元函数第12讲反比例函数

25．(2021·黔东南州)如图，若反比例函数 y＝ x 3的图象经过等边三角形 POQ 的顶点 P，则△POQ 的边长为_2_.
26．(2021·毕节)如图，直线 AB 与反比例函数 y＝kx(k＞0，x＞0)的图象交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，且 AB＝BC，连接 OA．已知△OAC 的面积为 12，则 k 的值为_8_.
9．(2021·长沙模拟)如图，A 为反比例函数 y＝kx(其中 x＞0)图象上的一点，
在 x 轴正半轴上有一点 B，OB＝4.连接 OA，AB，且 OA＝AB＝2 10，过点 B 作 BC⊥OB，交反比例函数 y＝kx(其中 x＞0)的图象于点 C，连接 OC 交 AB 于点 D，则 k＝__1_2_；ADDB＝__32__.
27．(2021·绍兴)如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 B，C 在第一象限，顶点 D 的坐标为52，2.反比例函数 y＝kx(常数 k＞0，x＞0)的图象恰好经过正方形 ABCD 的两个顶点，则 k 的值是__5_或__2_2_.5_____.
(2)若点 C 在 x 轴上，且△BOC 的面积为 3，求点 C 的坐标．解：(2)过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为点 D．设 C(a，0)． ∵点 A 与点 B 关于原点对称， ∴B(－1，－2)． ∴BD＝|－2|＝2，OC＝|a|. ∴S△BOC＝21BD·OC＝21×2×|a|＝3. 解得 a＝3 或 a＝－3. ∴点 C 的坐标为(3，0)或(－3，0)．
5．(2021·株洲)点 A(x1，y1)，B(x1＋1，y2)是反比例函数 y＝kx图象上的两点，满足：当 x1＞0 时，均有 y1＜y2，则 k 的取值范围是__k_＜__0__.

(沪科版)中考数学总复习课件【第12讲】反比例函数及其应用

b＝32， k′＝ 128，则解得 6k′＋b＝800， b＝32，
∴煅烧时的函数表达式为 y＝128x ＋32(0≤x≤6)．
第12讲┃反比例函数及其应用
4800 (2) 当 x＝480 时，y＝＝ 10，10－6＝4(min)，∴锻造的操 480 作时间有 4 min.
第12讲┃反比例函数及其应用
核心考点三
相关知识
常见类型
用反比例函数解决实际问题
主要知识列举 1.矩形中，当面积 S 一定时，长 a 与宽 b 的关
S 系：a＝ .2.三角形中，当面积 S 一定时，高 h b 几何问题 2S 与相应的底 a 的关系：h＝ a 当路程 s 一定时，时间 t 是速度 v 的反比例函行程问题 s 数，即 t＝ v
第11讲┃一次函数及其应用
核心练习
k 5． [2014·邵阳] 已知反比例函数 y＝的图象经过点( －1， 2)， x
-2 则 k＝ ________ ．
图 12 －5
第12讲┃反比例函数及其应用
k 6．[ 2014·娄底] 如图 12－5 所示，M 为反比例函数 y＝的 x 图象上的一点，MA 垂直于 y 轴，垂足为 A，△MAO 的面积为 2，则
第12讲┃反比例函数及其应用
(2) 求 k 的值； (3) 当 x＝16 时，大棚内的温度约为多少度？
图 12 －7
第12讲┃反比例函数及其应用
解： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度为 18 ℃的时间为 10 小时． k k (2) ∵点 B(12， 18)在双曲线 y＝上，∴18＝，∴k＝216. x 12 216 (3) 当 x＝16 时， y＝＝13.5 ， 16 ∴当 x ＝16 时，大棚内的温度约为 13.5 ℃.

第12讲反比例函数图像与性质

(C )
C．不变 D．无法确定
4．反比例函数 y＝kx和一次函数 y＝kx－k 在同一直角坐标系中的图象大致是( C )
A
B
C
D
5．已知函数 y＝1x的图象如图所示，当 x≥－1 时，y 的取值范围
是( C )
A．y＜－1
B．y≤－1
C．y≤－1 或 y＞0
D．y＜－1 或 y≥0
6.反比例函数 y＝kx(k≠0)的图象如图 12－3 所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，
2．已知函数 y＝－x＋5，y＝4x，它们的共同点是：①函数 y 随
x 的增大而减小；②都有部分图象在第一象限；③都经过点(1，4)，
其中错误的有( B )
A．0 个ຫໍສະໝຸດ B．1 个C．2 个
D．3 个
3．如图，P 是反比例函数 y＝6x在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x
轴，随着 x 的逐渐增大，△APO 的面积将 A．增大 B．减小
第12讲反比例函数图像和性质
反
比概念
例函数图像和性
图性反k像质图性y的反义＝比象质反性反图一意和kx综比例中比比质象次函例合过kk例例的例的函k条><数函应双的函 00函应函应数垂的数用曲意数数用数用的线定在在与线反义与义每每上比坐个个任例形由标利利义分分利意函图图如轴义y是支支用用一数用＝象象的所和y成上上反两点y＝ kx图在在函＝围可几反，，比种，_象第第数kx成得 _解何比 yy例函的向_上随随叫 __kx_的二_决例实意__一k_函数图两_乘xx做 __点＝、_矩_、的的__实际义_象坐(数的积反 __x的k四_形三增增两 __y际问解≠_是标的增比， __坐_的大大个 __0问题决双轴所增减例象象，标面对而而题实曲作k以、性函限限的积应 __减是际线减垂数 __、k增实为量 __常性交小线问的__大常际的 __数解点，意题__数意__)决等两__

反比例函数

k 1 ．反比例函数 y＝ (k 是常数， k≠0)的图象是 x 双曲线．因为 x≠0，k≠0，相应地 y 值也不能为 0，所以反比例函数的图象无限接近 x 轴和 y 轴，但永不与 x 轴、y 轴相交．
2．反比例函数的图象和性质 k 反比例函数 y＝ (k 是常数， k≠0)的图象总是关于 x 原点对称的，它的位置和性质受 k 的符号的影响.
(1)求该轿车可行驶的总路程 s 与平均耗油量 a 之间的函数解析式(关系式)． (2)当平均耗油量为 0.08 升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？【点拨】本题考查建立反比例函数模型解答实际问题． k k 解：(1)把 a＝0.1，s＝700 代入 s＝，得 700＝， a 0.1 70 k＝70，s＝ . a
考点三反比例函数值的大小比较例 3(2014· 衡阳)若点 P1(－1，m)，P2(－2，n)在 k 反比例函数 y＝ (k>0)的图象上，则 m________n(填 x “>”“<”或“＝”)．
【点拨】方法一：∵k＞0，∴在每个象限内y 随x的增大而减小．又∵0＞－1＞－2，∴m＜n.方法二：∵k＞0，∴取k＝2，把x＝－1，x＝－2分别 2 代入y＝，得m＝－2，n＝－1，∴m＜n. x
k 2． (2014· 株洲)已知反比例函数 y＝的图象经过点 x (2,3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是 ( B ) A．(－6,1) C．(2，－3) B．(1,6) D．(3，－2)
k 解析：∵y＝的图象经过点(2,3)，∴k＝2×3＝6. x 又∵1×6＝6＝k， ∴点(1,6)也在这个函数的图象上．故选 B.
A．②③
B．③④
C．①②
D．①④

反比例函数及其图象

【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．若问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系，而是二者的复合，则应分段讨论，并注意在实际问题中提炼出函数模型，往往要加自变量的取值范围．
3．(2013·玉林)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，在8 min时，材料温度降为600 ℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32 ℃. (1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数解析式，并且写出自变量x 的取值范围； (2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？
第12讲反比例函数及其图象
第一、三象限减小第二、四象限增大
D
C
C
C
C
反比例函数图象的确定
解：这个反比例函数图象的另一支在第三象限，∵m－5＞0，∴m＞5
【点评】一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值些性质．
A
C
待定系数法确定反比例函数解析式
【点评】反比例函数表达式中只有一个待定系数，由一对已知对应值即可确定函数解析式，而一次函数中有两个待定系数，要求出其系数，需要已知两对对应值．
实际背景下的反比例函数的图象
【例3】 (2013·益阳)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y＝的一部分．请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度18 ℃的时间有多少小时？ (2)求k的值； (3)当x＝16时，大棚内的温度约为多少度？

反比例函数（基础）知识讲解

反比例函数（基础）【学习目标】1. 1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2. 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3. 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．【要点梳理】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例即xy k =，或表示为kyx =，其中k 是不等于零的常数是不等于零的常数.. 一般地，一般地，形如形如ky x=(k 为常数，0k ¹)的函数称为反比例函数，的函数称为反比例函数，其中其中x 是自变量，y 是函数，定义域是不等于零的一切实数是函数，定义域是不等于零的一切实数. .要点诠释：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式k x无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ¹.故函数图象与x 轴、y 轴无交点；轴无交点；（2）k y x =()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件这一条件. .（3）k y x=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式，从而得到反比例函数的解析式. .要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出即可求出k 的值，从而确定其解析式从而确定其解析式. .用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：k y x=(0k ¹)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k 的值；的值；（4）把求得的k 值代回所设的函数关系式ky x= 中. 要点三、反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴标轴. .要点诠释：（1）若点）若点((a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点的图象上，则点((a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k 为常数，0k ¹) ) 中，由于中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．轴．2、反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，时，双曲线的两个分支分别位于第二、双曲线的两个分支分别位于第二、双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，四象限，四象限，在每个象限内，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；的符号决定的；反过来，反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号的符号. . 要点四、反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线x ky =(0k ¹) ) 上任意一点作上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线xk y =(0k ¹) ) 上任意一点作一坐标轴的垂线，上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. . 【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、在下列函数关系式中，哪些函数表示y 是x 的反比例函数？的反比例函数？（1）5xy =；（（2）3y x =；（（3）23y x =；（（4）12xy =；（（5）21y x =-；（6）2y x=-；（（7）12y x -=；（（8）5a y x -=（5a ¹，a 是常数）是常数）【答案与解析】解：根据反比例函数(0)k y k x=¹的形式及其关系式xy k =，1y kx -=，可知反比例函数有：有：(2)(3)(4)(6)(7)(8)(2)(3)(4)(6)(7)(8)(2)(3)(4)(6)(7)(8)．．【总结升华】根据反比例函数的概念，必须是形如k y x=(k 为常数，0k ¹)的函数，才是反比例函数．如(2)(3)(6)(8)(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意ky x=(k 为常数，0k ¹)常见的变化形式，如xy k =，1y kx -=等，所以(4)(7)(4)(7)也是反比例函数．在也是反比例函数．在也是反比例函数．在(5)(5)(5)中，中，y 是()1x -的反比例函数，而不是x 的反比例函数．例函数．(1)(1)(1)中中y 是x 的正比例函数．的正比例函数．类型二、确定反比例函数的解析式2、已知正比例函数y kx =和反比例函数3y x=的图象都过点A(m ，1) 1) ．求此正比．求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标．例函数的关系式及另一个交点的坐标．【答案与解析】解：解：因为3y x=的图象经过点A(m ，1)1)，则，则31m =，所以m ＝3．把A(3A(3，，1)1)代入代入y kx =中，得13k =，所以13k =．所以正比例函数关系式为13y x =．由1,33,y x y x ì=ïíï=ïî得得3x =±．当3x =时，1y =；当3x =-时，1y =-．所以另一个交点的坐标为．所以另一个交点的坐标为((－3，－，－1)1)1)．．【总结升华】确定解析式的方法是特定系数法，由于正比例函数y kx =中有一个待定系数，因此只需一对对应值即可．因此只需一对对应值即可．举一反三：【变式】已知y 与x 成反比，且当6x =-时，4y =，则当2x =时，y 值为多少？值为多少？【答案】解：设ky x =，当6x =-时，4y =，所以46k=-，则k ＝－＝－242424，，所以有24y x-=．当2x =时，24122y -==-．类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点为常数）的图象上有三点((11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)，且1230x x x <<<，则123y y ，y ，的大小关系是（的大小关系是（））． A ．231y y y << B B．．321y y y << C C．．123y y y << D D．．312y y y << 【答案】D ；【解析】解：当0k <时，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．此题中需要注意的是大．此题中需要注意的是((11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)不在同一象限内．因为221(1)0k a a =--=-+<，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，y 随x 的增大而增大．因为12x x <，所以12y y <．因为33(,)x y 在第四象限，而11(,)x y ，22(,)x y 在第二象限，所以31y y <．所以312y y y <<．【总结升华】已知反比例函数ky x=，当k ＞0，x ＞0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＞0；当k ＞0，x ＜0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＜0．这里不能说成当k ＞0，y 随x 的增大而减小．例如函数2y x =，当x ＝－＝－11时，y ＝－＝－22，当x ＝1时，y ＝2，自变量由－，自变量由－11到1，函数值y 由－由－22到2，增大了．所以，只能说：当k ＞0时，在第一象限内，y 随x 的增大而减小．的增大而减小．举一反三：【变式】已知2(3)m y m x-=-的图象在第二、四象限，的图象在第二、四象限，(1)(1)求求m 的值．的值．(2)(2)若点若点若点((－2，1y )、(－1，2y )、(1(1，，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小．【答案】解：解：(1)(1)(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130m m -=-ìí-¹î，∴，∴ 1m =.(2)(2)由由(1)(1)得此函数解析式为：得此函数解析式为：2y x=-． ∵ ( (－－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－在第二象限，－22＜－＜－11，∴，∴ 120y y <<．而(1(1，，3y )在第四象限，30y <． ∴ 312y y y << 类型四、反比例函数综合4、已知点A(0A(0，，2)2)和点和点B(0B(0，－，－，－2)2)2)，点，点P 在函数1y x=-的图象上，如果△的图象上，如果△PAB PAB 的面积是6，求P 点的坐标．点的坐标．【答案与解析】解：如图所示，不妨设点P 的坐标为00(,)x y ，过P 作PC PC⊥⊥y 轴于点C．∵ A(0 A(0，，2)2)、、B(0B(0，－，－，－2)2)2)，， ∴ AB AB＝＝4．又∵又∵ 0||PC x =且6PABS=△，∴01||462x =，∴，∴ 0||3x =，∴，∴ 03x =±．又∵又∵ 00(,)P x y 在曲线1y x =-上，∴ 当当03x =时，013y =-；当03x =-时，013y =．∴ P 的坐标为113,3P æö-ç÷èø或13,3æö-ç÷èø．【总结升华】通过三角形面积建立关于0x 的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．的距离等于相应坐标的绝对值．举一反三：作AC AC⊥⊥y 轴于C ，连BC BC，则△】解：由双曲线与正比例函数y 1322AOCABCSS ==△△．A 点坐标为点坐标为((A x ，A y )，而于是1113||||2222AOCA A AASAC OC x y xy ===-=△，3A y =-，kx =得A A x y k =，所以所以反比例函数解析式为3y -=．。

第12讲：正反比例函数综合

正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据．一、正比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是ykx=，或表示为y kx=，k是不等于零的常数．2、解析式形如y kx=（k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数；正比例函数y kx=的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．3、一般地，正比例函数y kx=（k是常数，k≠0）的图象是经过（0，0），（1，k）这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx=的图象叫做直线y kx=．正反比例综合知识结构模块一：正反比例函数图像和性质知识精讲内容分析4、正比例函数图像的性质：（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y 值也随着逐渐增大．（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y 值反而逐渐减小．二、反比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是xy k=，或表示为kyx=，其中k是不等于零的常数．2、解析式形如kyx=（k是常数，0k≠）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做比例系数．反比例函数kyx=的定义域是不等于零的一切实数．3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的图像．反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支．4、反比例函数图像的性质：（1）当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小；（2）当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大；（3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交．【例1】函数25(1)my m x-=+：（1）当m为_______时，它是正比例函数，且y随x的增大而增大；（2）当m为_______时，它是反比例函数，且在各个象限中，y随x的增大而增大．【难度】★【答案】【解析】例题解析【例2】（1）函数2y x =与3y x=的图像的交点坐标是_______________；（2）函数121y x y x=-=与的图像的交点坐标是___________．【难度】★ 【答案】【解析】【例3】已知直线2y mx =与双曲线1k y x-=的一个交点A 的坐标为(12)--，，则m k +=________；它们的另一个交点坐标是___________．【难度】★ 【答案】【解析】【例4】若y 与1x成正比例关系，z 与x 成正比例关系，则y 与z 成___________关系．【难度】★ 【答案】【例5】若正比例函数和反比例函数的图像经过点A （-2，1）和点B (312)a b -+，，则2a b 的值为 ___________．【难度】★★ 【答案】【解析】【例6】若直线1100x y =-与双曲线2(0)my m x=≠的图像有两个交点，则m 的取值范围是___________．【难度】★★ 【答案】【解析】【例7】如图，正比例函数1(0)y kx k =≠和反比例函数2(00)ky k x x=≠>，的图像在同一平面直角坐标系中大致是（）．【难度】★★ 【答案】【解析】【例8】若A 、B 两点关于y 轴对称，点A 在双曲线14y x=上，点B 在2y x =-上，则B 点坐标是_________．【难度】★★ 【答案】【解析】【例9】正比例函数1(0)y kx k =>和反比例函数21y x=的图像交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B 点，连接BC ，若△ABC 的面积是S ，求S 的值．【难度】★★ 【答案】【解析】AxyO By xODyxOCyxO【例10】已知正比例函数1(1)y k x =+与反比例函数21m y x-=交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是-1，点B 的纵坐标是2，求这两个函数的解析式．【难度】★★ 【答案】【解析】【例11】已知反比例函数11k y x=和正比例函数22y k x =的图像交于点（2，3），（1）求这两个函数解析式；（2）判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上；（3）求两个函数图像的另一个交点．【难度】★★ 【答案】【解析】【例12】已知函数(1)y k x =-的图像上一点A (03)-，，并且它和反比例函数的图像交于点B （2，m ）求反比例函数的解析式．【难度】★★ 【答案】【解析】【例13】已知函数124my mx y x-==，的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标是1，求这两个函数图像的交点坐标．【难度】★★ 【答案】【解析】【例14】已知直角坐标系内一个正方形的边长为2，中心位于点（2，2），各边与坐标轴平行，双曲线ky x =与正方形有公共点，求k 的取值范围．【难度】★★ 【答案】【解析】【例15】已知12y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 且当1x =时，5y =，当4x =时，18y =，求：（1）y 与x 的函数解析式；（2）当2x =时，y 的值．【难度】★★ 【答案】【解析】【例16】已知：1223y y y =-，1y 与3x -成正比例，2y 与x+8成反比例，且当1x =和5x =-时，y 的值分别是3和-11，求y 和x 之间的函数关系式．【难度】★★ 【答案】【解析】【例17】在同一平面直角坐标系中，已知正比例函数12y x=-和正反比例函数26yx=-的图像相交于P 、Q两点，点A在x 轴的负半轴上，且与原点的距离是4，（1）求P、Q两点的坐标；（2）求△APQ的面积．【难度】★★【答案】【解析】【例18】A、B是双曲线3yx=上的点，分别过A、B两点向x、y轴作垂线段，重叠部分的面积为1S=阴，如图所示，求空白部分的面积之和，即12S S+的值．【难度】★★【答案】【解析】【例19】如图，已知正方形OABC的面积是9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C 在y轴上，点B是双曲线kyx=上的点，P（m，n）是图像上任意一点，过点P分别作x、y轴的垂线段，垂足分别为E、F，若矩形OEPF和正方形OABC重合的部分的面积是S，求出S和m的函数关系式．【难度】★★【答案】【解析】ABO xyABCO EFGPyx【例20】已知函数2(0)a y x x =>的图象与13(0)y x x-=<的图象关于y 轴对称．在2(0)ay x x =>的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2)，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足是Q ，若存在两点B 、C ，且B (0，2)，C (2，0)，使得四边形BCQP 的面积等于2，求P 点的坐标．【难度】★★ 【答案】【解析】【例21】如图，正比例函数1y kx =（k >0）与反比例函数21y x=的图像交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连接BC ．若△ABC 的面积是S ，试指出S 是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．【难度】★★ 【答案】【解析】【例22】如图，直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两，P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C 、D 、E ,连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 面积是1S ，△BOD 面积是2S ，△POE 面积是3S ，试比较123S S S ，，的大小关系．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCP QxyOA B CDOxyABC DEPx y OL【例23】已知：关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k +-+=的两根12x x ，满足22120x x -=，双曲线4(0)ky x x=>经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于点C ，求OBC S ∆．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例24】已知：在矩形AOBC 中，OB =4，OA =3，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过F点的反比例函数ky x =的图像与AC 边交于点E ．（1）求出满足题意的k 的取值范围；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求S 关于k 的函数解析式；（3）是否存在这样的实数k ，使△OEF 和△ECF 面积相等?若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例25】如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数9(0)y x x=<的图像上，斜边1OA 、ky x=都在x 轴上，则点2P 的坐标为_________．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDOxyOxABC OyEF【例26】在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过点A (1，0)且与y 轴平行，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平行，直线1l 与2l 相交于P ．点E 为直线2l 一点，反比例函数(0)ky x x =>的图象过点E 且与直线1l 相交于点F . （1）若点E 与点P 重合，求k 的值；（2）连接OE 、OF 、EF ，若2k >，且△OEF 的面积为△PEF 的面积2倍，求点E 的坐标．【难度】★★★ 【答案】【解析】yA B xO PE ABxyOP F【例27】如图，已知直线112y x =与双曲线2(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是4，过原点O 的另一条直线L 交双曲线2(0)ky k x =>于P 、Q 两点（点P 在第一象限），若由点A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形的面积是24，求点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题1】已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点()215-，，那么这两个函数的另一个交点的坐标为________，两个函数解析式分别是_________________________．【难度】★ 【答案】【解析】【习题2】若正比例函数和反比例函数都经过1(0)y mx m =≠和2(0)ny n x=≠都经过点（2，3）则m =___________，n =__________．【难度】★ 【答案】【解析】随堂检测ABOxy【习题3】已知：221(+2)mm y m m x +-=：（1）如果y 是x 的正比例函数，则m ______，函数解析式为_________；（2）如果y 是x 的反比例函数，则m ______，函数解析式为_________．【难度】★ 【答案】【解析】【习题4】点P 是反比例函数图像2y x=-上的一点，PD ⊥x 轴，则△POD 的面积为_______．【难度】★ 【答案】【解析】【习题5】如图，A 是反比例函数ky x=图像上的一点，过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为P 、C ，若矩形ACOP 的面积是3，则反比例函数的解析式是________．【难度】★ 【答案】【解析】【习题6】已知函数1y ax =与反比例函数2by x=的图像在同一直角坐标系中无交点，则a 和b 的关系式（）． A ．0ba >B ．0a b ->C ．0a b +=D ．0ab <【难度】★★ 【答案】【解析】POxDyAxCO P y【习题7】已知函数1(0)y x x =>与反比例函数24(0)y x x=>的图像在如图所示，下列结论正确的是（）．① 两函数的交点坐标为（2，2）； ② 当212x y y >>时；③ 直线x=1分别与两函数的图像交于B 、C 两点，则线段BC 的长为3； ④ 当x 逐渐增大时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小． A ．只有①② B ．只有①③ C ．只有②④ D ．只有①③④【难度】★★ 【答案】【解析】【习题8】已知12y y y =-，1y 与2x 成正比例，2y 与2x -成反比例，当x = 1时，1y =-；当x = 3时，y = 5；（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当22x =-时，求y 的值．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题9】点P 是反比例函数与正比例函数2y x =-的图像的交点，PQ ⊥x 轴于点Q （2，0）．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）如果点M 在这个反比例函数的图像上，且△MPQ 的面积是6，求M 点的坐标．【难度】★★ 【答案】【解析】AB C Oxy【习题10】已知：如图，等腰Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴的正半轴上，斜边AC 上的中线BD 的反向延长线交y 轴的负半轴于点E ，且B 恰好是DE 的中点，双曲线(0)ky k x=>经过点A ，若△BEC 的面积为5，求k 的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题11】两个反比例函数1k y x =和21y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在1k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交21y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点，交21y x=的图象于点B ，当点P 在1ky x=的图象上运动时，以下结论:①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点. 其中一定正确的是( )A ．①②③④B ． ①②③C ．①②④D ． ①③④【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDP xyOABCDExyO【习题12】已知：正方形1112A B PP的顶点12P P，在反比例函数2(0)y xx=>的图象上，顶点11A B，分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2223A B P P，顶点3P在反比例函数2(0)y xx=>的图象上，顶点2A在x轴的正半轴上，则点3P的坐标为______．【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】已若y与3x-成反比例，x与4z成正比例，则y是z的__________．【难度】★【答案】【解析】【作业2】正比例函数113y x=和反比例函数2kyx=的图像都经过A(m，1)，则m= _________，反比例函数的解析式为______________．【难度】★【答案】【解析】课后作业xOy【作业3】 A 是反比例函数ky x=图像上的一点，AB ⊥x 轴于点B ，若3AOB S ∆=，则k 的值是__________．【难度】★ 【答案】【解析】【作业4】设直线(0)y kx k =<与双曲线5y x=-相交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，则12213x y x y -的值为() A ．-10 B ．-5C ．5D ．10【难度】★★ 【答案】【解析】【作业5】在同一坐标系中函数1y kx =和2-1k y x=的大致图像是（）ABC D【难度】★★ 【答案】【解析】-11-1 1 1-1 1xy xyx yxy-1【作业6】如图，正比例函数y x =与反比例函数1y x=的图象相交于点A 、C 两点， AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，求四边形ABCD 的面积．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业7】已知12y y y =+，1y 与22x 成正比例，2y 与x 成反比例，当x =1时，y 的值为5；当x =4时，y 的值为18，求当x =9时，y 的值．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业8】如图，直线(0)x t x =>与反比例函数1221y y x x==-，的图象分别交于B ，C 两点，A 为y 轴上的任意一点，求△ABC 的面积【难度】★★ 【答案】【解析】ABCD O xyABCx=txyO【作业9】如图所示，正方形OABC 、ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上，点F 在AB上，点B 、E 在函数1(0)y x x =>的图像上，求点E 【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业10】如图所示，已知正比例函数1y ax =的图像和反比例函数2ky x=的图像交于A （3，2）．（1）试确定正比例函数和反比例函数的解析式；（2）根据图像回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3） M （m ，n ）是反比例函数上的动点，其中03m <<，过点M 坐MN ∥x 轴，交y轴于点B ，过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线BM 于点D ，当四边形OADM 的面积是6时，请判断BM 与DM 的大小关系，并说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】A F BC DExy OABM D C xyO【作业11】如图（a )双曲线1(0)ky k x=>与直线`2y k x =交于A 、B 两点，点A 在第一象限，试回答一下问题（1）若点A 的坐标为（4，2），则点B 的坐标为______________；若A 的横坐标为m ，则点 B 的坐标可以表示为______________；（2）如图（b ）所示，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线1(0)ky k x=>于P 、Q 两点，点P 在第一象限，①说明四边形APBQ 一定是平行四边形②设点A 、P 的横坐标分别是m 、n 四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出m 、n 应满足的条件；若不可能，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABOxyAQPOyBx。

反比例函数复习讲义

反比例函数复习讲义知识点一：反比例函数的概念ﻫ 一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x=（ｋ为常数，)的形式,那么称y 是x 的反比例函数．注:（１）反比例函数k y x =中的k x 是一个分式,自变量x ≠0, k y x=也可写成1y kx -=或xy k =,其中ｋ≠0；ﻫ （２)在反比例函数1y kx -=(ｋ≠0）中，x 的指数是-1。

如，5y x=也写成：15y x -=；ﻫ （３）在反比例函数k y x=（k ≠０）中要注意分母ｘ的指数为1，如21y x=就不是反比例函数。

ﻫ知识点二：反比例函数的图象反比例函数(0)ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.ﻫ 注: （1)观察反比例函数(0)ky k x=≠的图象可得：ｘ和y 的值都不能为0,并且图象既是轴对称图形,又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． (２)用描点法画反比例函数y=kx的图象时，应注意自变量x 的取值不能为０，一般应从1或-1开始对称取点.ﻫ （3)在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ,过点P ,Ｑ分别作x 轴,y 轴的平行线,与两坐标轴分别围成的矩形面积为S 1，Ｓ2 则S １＝S ２. 知识点三：反比例函数的性质 1.图象位置与函数性质当ｋ>0时，x 、y 同号,图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小;当ｋ<0时，x 、y 异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2.若点(a ，ｂ）在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，则点（-a,-b ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置ｋ>0，一、三象限；ｋ＜0，二、四象限 k ＞0，一、三象限 k ＜０，二、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大ｋ＜０,y 随x 的增大而减小k>0，在每个象限,y 随ｘ的增大而减小ﻫｋ<0，在每个象限,ｙ随ｘ的增大而增大4．反比例函数y ＝kx 中k 的意义反比例函数y = k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y = kx（ｋ≠0）上任意一点引ｘ轴、y 轴垂线，所得矩形面积为│ｋ│．ﻫ知识点四：反比例函数解析式的确定ﻫ 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式(0)ky k x=≠中，只有一个待定系数k,确定了ｋ的值,也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入(0)ky k x =≠中即可求出k 的值,从而确定反比例函数的解析式.ﻫ知识点五：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点１.反比例函数在现实世界中普遍存在,在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。

第12课时反比例函数的图象及性质

第12课时反比例函数的图象及性质
第12讲┃ 反比例函数的图象及性质
考点聚焦
考点1 反比例函数的概念
k y＝ x 形如________( k≠0，k为常数)的函数叫做反比例函数，其中x是________ 自变量， y是x的函数，k叫做__________ 比例系数
定义
解析式防错提醒
解答
考点聚焦
京考探究
第12讲┃ 反比例函数的图象及性质
热考精讲热考一确定反比例函数解析式
k 2)在反比例函数 y＝x(k≠0) 例1 [ 2011· 北京] 点 A(－1，的图象上，求反比例函数解析式． k 解 ∵点 A(－1，2)在反比例函数 y＝ (k≠0)的图 x
象上，∴k＝xy＝－1×2＝－2.
考点聚焦京考探究
第13讲┃ 一次函数与反比例函数的综合应用例4 [ 2013· 嘉兴] 如图 13 － 2 ，一次函数 y ＝ kx ＋ m 1(k≠0) 与反比例函数 y ＝ x (m≠0) 的图象有公共点 A(1，2)．直线 l⊥x 轴于点 N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点 B，C. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△ABC 的面积．
解
考点聚焦
京考探究
第13讲┃ 一次函数与反比例函数的综合应用
这是一道有关生产决策的应用问题．其难点是建立相应的模型，构建函数解析式．认真审题，理解各个量之间的关系是解题的关键．
考点聚焦
京考探究
第13讲┃ 一次函数与反比例函数的综合应用热考二反比例函数的实际应用例2 我们学习过反比例函数．例如，当矩形面积 S 一定时，长 a
考点聚焦
京考探究
第12讲┃ 反比例函数的图象及性质

第12讲反比例函数的图象及其性质

＝3；把点 B(1，n)代入 y2＝kx，得出 n＝3
(2)如图，由图象可知：①当 1＜x＜3 时，y1＞y2；②当 x＝1 或 x＝3
时，y1＝y2；③当 x＞3 时，y1＜y2
单击此处编辑母版标题样式 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原
点重合，A，C 分别在坐标轴上，点 B 的坐标为(4，2)，直线 y＝－1x 2
• 第五级
4．若点
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在反比例函数
y＝k(k>0)的图象上， x
且 x1＝－x2，则( D )
A．y1<y2 B．y1＝y2
C．y1>y2 D．y同一直角坐标系中，一次函数 y＝kx－k 与反比例函数 y＝
k(k≠0)的图象大致是( x
单击此处编辑母版标题样式 10．如图，函数 y1＝－x＋4 的图象与函数 y2＝kx(x＞0)的图象交于 A(m，1)，
B(1，n)两点．
• 单击此(1处)求编k，辑m，母n 版的值文；本样式
• 第二级
• (第2)利三用级图象写出当 x≥1 时，y1 和 y2 的大小关系．
• 第四级 • 第五级
解：(1)把点 A(m，1)代入 y1＝－x＋4，得 m＝3，则 A(3，1)，∴k＝3×1
单击此处编辑母版标题样式 7．双曲线 y＝m－1在每个象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大， x
则 m 的取值范围是___m__＜__1___．
•
单击此处编辑母版文本样式
• 第二级8．如图，点 P，Q 是反比例函数
y＝k图象上的两点，PA⊥y x
轴于
点• 第A•三，第级Q四N级⊥x 轴于点 N，作 PM⊥x 轴于点 M，QB⊥y 轴于点 B，连接 PB，•Q第M五，级△ABP 的面积记为 S1 ，△QMN 的面积记为 S2 ，则

第12讲反比例函数及其图象

(1)求反比例函数的解析式； (2)请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．
解：(1)作 BD⊥x 轴于点 D，如图，在 Rt△OBD 中，tan∠BOC＝ BD 1 ＝， OD 2 －n 1 ∴ ＝，即 m＝－2n，把点 B(m，n)代入 y1＝－x＋2 得 n＝－m＋2， m 2 ∴n＝2n＋2，解得 n＝－2，∴m＝4，
(2)(2013· 毕节)一次函数 y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数 k y＝x(k≠0)的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则 k，b 的取值范围是( C )
A．k＞0，b＞0
B．k＜0，b＞0
C．k＜0，b＜0 D．k＞0，b＜0
待定系数法确定反比例函数解析式
k 【例 2】 (2014· 广安)如图，反比例函数 y＝x(k 为常数，且 k≠0)经过点 A(1，3)． (1)求反比例函数的解析式； (2)在 x 轴正半轴上有一点 B，若△AOB 的面积为 6，求直线 AB 的解析式．
常数)图象的一支． (1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数 m 的取值范围是什么？ (2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x 的图象在第一象限内的交点为 A，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为点 B，当△OAB 的面积为 4 时，求点 A 的坐标及反比例函数的解析式．
(1) 这个反比例函数图象的另一支在第三象限，∵m－5＞0， (2) ∴m＞5 (2)∵点 A 在直线 y＝2x 上，∴设点 A 的坐标为
(3)计算线段AB的长．
过 A 作 AC⊥x 轴于 C，∵A(1，2)，∴AC＝2，OC＝1，由勾股定理得： AO＝ 22＋12＝ 5，同理求出 OB＝ 5， ∴AB＝2 5
k 7．(2013· 兰州)已知反比例函数 y1＝x的图象与一次函数 y2＝ax＋b 的图象交于点 A(1，4)和点 B(m，－2)． (1)求这两个函数的关系式； (2)观察图象，写出使得 y1>y2 成立的自变量 x 的取值范围；

第12讲：反比例函数

达式；
ｆ
Ｂ
（）３求慢车和快车的速度；
（）线段Ｂ４求Ｃ所表示的Ｙ与之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；并
问题解决
（０８新疆）２０，
７Ａ
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０Байду номын сангаас
（）５若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．第一列快车与慢车相遇３在Ｏ分钟后，第二列快车与慢车相遇．第二列快车比第一求
：争差麦
蜃露．案ｉｉｌ
例ｌ如图２点Ａ是反比例函数图象上的一点，，象限．
２冈象：比例函数图象是．反．３性质：ｋ０时，．当）图象的两个分支分别在第象限内，且在每个象限内，随的增大而
与之间的函数关系．根据图
象进行以下探究：
信息读取
（）】请填写下表，并写出Ｙ与之间的函数关系
（）、１甲乙两地之间的距离为
ｋｎｒ；
（）２请解释罔中Ｂ点的实际意义；
图象理解（）司应设计怎样的方案，使运这批挖掘机２公能的总费用最省？ｌ．图１，线ｚ两坐标轴４如Ｏ直与的交点坐标分别是Ａ（３０，０，）Ｂ（，４，是坐标系原点．）０（）直线ｆ对应的函数的表１求所
ｙ
点，Ａ作Ａ过Ｂ上轴于Ｂ，作

第12讲反比例函数教案

3．反比例函数的图象和性质．
利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y= 具有如下的性质（见下表）①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．
4．画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x≠0，因此，不能把两个分支连接起来；（2）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势．
5.反比例函数y= (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y= (k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│。
15
自主完成后交流展示
自学
反馈
1.以小组形式展示
2.师生共同评价，改正
5
点拨
提升
1.教师对反馈中的突出问题集中讲解
2.点拨提升，形成正确的解题思路和方法
5
课堂
总结
1.相关概念
1
思考领会
学生
自学
1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成(k为常数，k≠0）的形式（或y=kx-1，k≠0），那么称y是x的反比例函数．
2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k为常数，k≠0；（2）中分母x的指数为1；例如y= 就不是反比例函数；(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（4）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数．
教法
先学后教
学法

人教版数学九年级上册第12课时反比例函数及其应用-课件

分点 6
a 2＋ 1 错解：∵y＝－ x 是反比例函数，且k＝－(a2＋1)＜0， ∴y随x的增大而增大， ∵－3＜－1＜2, ∴y1＜y2＜y3.
失分点 6
∵y＝－ a 2 ＋ 1 是反比例函数，且k＝－(a2＋1)＜0， x
∴在第二象限内，y随x的增大而增大，且y＞0；在第四象
限内，y随x的增大而增大，且y＜0，∴y2＞y1＞0，y3＜0，
【解析】①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，可得m＜0，故正确；② 在每个分支上y随x的增大而增大，故正确；③ 若点A(－1，a)、点B(2，b)在图象上，结合图象可知a＞b，故错误；④若点P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上，故正确．故选B.
第一部分夯实基础提分多
第三单元函数
第12课时反比例函数及其应用
基础点巧练妙记
基础点 1 反比例函数的图象与性质 k
1．定义：形如y＝①__x ___(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数，k叫做比例系数，反比例函数自变量的取值范围是②_不__为__0_的___一切实数．
2．图象及性质 k的取值范围
x (2)找出满足反比例函数图象上的点P(a，b)；
(3)将P(a，b)代入表达式得k＝ab； (4)确定反比例函数的表达式y＝ a b .
x
2．在具体问题中间根据k的几何意义通过求出相应三角形或四边形的面积求出k的值，从而求得表达式．
提分必练
8．已知点P(－4，－3)在反比例函数y＝
k
x
上，则k＝____1_2___．
•
提分必练
3．已知反比例函数y＝－ 2 ，下列结论不正确的是( )B x
A．图象必经过点(－1，2) B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．若x>1，则－2＜y＜0

第12讲反比例函数及其应用 (跟踪训练解析版)

第12讲反比例函数及其应用二、考点分析【考点1 反比例函数的图像及性质】【解题技巧】1.对于反比例函数y ＝k x(k 是常数，且k ≠0)k 的几何意义：设P(x ，y)是反比例函数y ＝k x图像上任一点，过点P 作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，则S 矩形PNOM ＝PM ·PN ＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|.2.利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．【例1】（2019 安徽中考）已知点A （1，﹣3）关于x 轴的对称点A '在反比例函数y ＝的图象上，则实数k 的值为（）A ．3B ．C ．﹣3D ．﹣【答案】A ．【分析】先根据关于x 轴对称的点的坐标特征确定A '的坐标为（1，3），然后把A ′的坐标代入y ＝中即可得到k 的值．【解答】解：点A （1，﹣3）关于x 轴的对称点A '的坐标为（1，3），把A ′（1，3）代入y ＝得k ＝1×3＝3．故选：A ．【一领三通1-1】（2019海南中考）如果反比例函数y ＝（a 是常数）的图象在第一、三象限，那么a 的取值范围是（）A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜2D ．a ＞2【答案】D ．【分析】反比例函数y ＝图象在一、三象限，可得k ＞0．【解答】解：∵反比例函数y ＝（a 是常数）的图象在第一、三象限，∴a ﹣2＞0，∴a ＞2．故选：D ．【一领三通1-2】（2019 江苏徐州中考）若A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）都在函数y ＝的图象上，且x 1＜0＜x 2，则（）A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．y 1＝﹣y 2 【答案】A ．【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．【解答】解：∵函数y ＝， ∴该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）都在函数y ＝的图象上，且x 1＜0＜x 2，∴y 1＜y 2，故选：A ．【一领三通1-3】（2019•河北石家庄中考模拟）定义新运算：a ⊕b=例如：4⊕5=，4⊕（﹣5）=．则函数y=2⊕x （x ≠0）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．【分析】根据题意可得y=2⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．【解答】：由题意得：y=2⊕x=，当x ＞0时，反比例函数y=在第一象限，当x ＜0时，反比例函数y=﹣在第二象限，又因为反比例函数图象是双曲线，因此D 选项符合，故选：D ．【一领三通1-4】（2019 吉林中考）已知y 是x 的反比例函数，并且当x ＝2时，y ＝6．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝4时，求y 的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x ＝4代入求出答案．【解答】解：（1）y 是x 的反例函数，所以，设，当x ＝2时，y ＝6．所以，k ＝xy ＝12，所以，；（2）当x ＝4时，y ＝3．【考点2 反比例函数的实际应用】【解题技巧】利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式y ＝k x(k ≠0)，再由已知条件确定表达式中k 的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数表达式．【例2】（2019 湖北孝感中考）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（）A．F＝B．F＝C．F＝D．F＝【答案】B．【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N 和0.5m，∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，则F＝．故选：B．【一领三通2-1】（2019 浙江温州中考）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（）200 250 400 500 1000 近视眼镜的度数y（度）镜片焦距x0.50 0.40 0.25 0.20 0.10（米）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【答案】A．【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，故y关于x的函数表达式为：y＝．故选：A．【一领三通2-2】（2019 河北中考）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O 的距离为S头（m）．（1）当v＝2时，解答：①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求St的函数关系式（不写t的取值范围）甲与（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．【分析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t （s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间t减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求S甲与t的函数关系式；（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程＝队伍速度×返回时间．【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头＝2t+300②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600 m甲返回时间为：（t﹣150）s∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v；因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．【一领三通2-3】（2019 浙江杭州中考）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；②8点至11点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．【解答】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，∴v关于t的函数表达式为：v＝，（0≤t≤4）．（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时将t＝6代入v＝得v＝80；将t＝代入v＝得v＝100．∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：8点至11点30分时间长为小时，将t＝代入v＝得v＝＞120千米/小时，超速了．故方方不能在当天11点30分前到达B地．【考点3 反比例函数的图像与几何图形的关系】【解题技巧】1.常见的有（1）双曲线与三角形的关系（2）双曲线与四边形的关系（3）双曲线与圆的关系（4）两条双曲线之间的关系2.在平面直角坐标系中与几何图形相联系时，通常要构造一个三角形，以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．【例3】（2019 重庆中考）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（）A．16 B．20 C．32 D．40【答案】B．【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）．∵矩形ABCD的对角线的交点为E，∴E为BD中点，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝10，∴E（5，4）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k＝5×4＝20．故选：B．【一领三通3-1】（2019•河北沧州中考模拟）如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣2，0），过点C （2，0）作直线l交AO于点D，交AB于E，点E在反比例函数＜0）的图象上，若△ADE和△DCO（即图中两阴影部分）的面积相等，则k值为（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】连接AC，先由等边三角形及等腰三角形的性质判断出△ABC是直角三角形，再由S△ADE＝S△DCO，S△AEC ＝S△ADE+S△ADC，S△AOC＝S△DCO+S△ADC，可得出S△AEC＝S△AOC，故可得出AE的长，再由中点坐标公式求出E点坐标，把点E代入反比例函数y＝即可求出k的值．【解答】解：连接AC．∵点B的坐标为（﹣2，0），△AOB为等边三角形，∵AO＝OC＝2，∴∠OCA＝∠OAC，∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°，∴点A的坐标为（﹣1，），∵S△ADE＝S△DCO，S△AEC＝S△ADE+S△ADC，S△AOC＝S△DCO+S△ADC，∴S△AEC＝S△AOC＝×AE•AC＝×CO×，即AE•2＝×2×，∴AE＝1．∴E点为AB的中点（﹣，）把E点（﹣，）代入y＝得，k＝（﹣）×＝﹣．故选：D．【一领三通3-2】（2019•深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝．【答案】【分析】要求k得值，通常可求A的坐标，可作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD＝3AD和C（0，﹣3）可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．【解答】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C（0，﹣3），∴OC＝3，可证△ADE∽△CDO，∴，∴AE＝1；又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，∴BO＝OD，∵∠ABC＝90°，∴△ABE～△COD，∴设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，∴，∴n＝∴OE＝4n＝∴A（，1）∴k＝．故答案为：．【一领三通3-3】（2019 河北孝感中考）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF 的面积为．【答案】【分析】设D（2m，2n），根据题意A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可得出9＝3m•3n，k＝2m•2n ＝4mn，解得mn＝1，由E（3m，n），F（m，3n），求得BE、BF，然后根据三角形面积公式得到S△BEF＝BE•BF＝mn＝．【解答】解：设D（2m，2n），∵OD：OB＝2：3，∴A（3m，0），C（0，3n），∴B（3m，3n），∵双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，∴9＝3m•3n，∴mn＝1，∵双曲线y＝（x＞0）经过点D，∴k＝4mn∴双曲线y＝（x＞0），∴E（3m，n），F（m，3n），∴BE＝3n﹣n＝n，BF＝3m﹣m＝m，∴S△BEF＝BE•BF＝mn＝故答案为．【一领三通3-4】（2019•辽宁大连中考模拟）如图，点P在双曲线y＝（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF﹣OE＝6，则k的值是．【答案】9．【分析】过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，根据⊙P与两坐标轴都相切可知，PA＝PB，由∠APB＝∠EPF＝90°可证△BPE≌△APF，得BE＝AF，利用OF﹣OE＝6，求圆的半径，根据k＝OA×PA求解．【解答】解：如图，过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，∵⊙P与两坐标轴都相切，∴PA＝PB，四边形OAPB为正方形，∵∠APB＝∠EPF＝90°，∴∠BPE＝∠APF，∴Rt△BPE≌Rt△APF，∴BE＝AF，∵OF﹣OE＝6，∴（OA+AF）﹣（BE﹣OB）＝6，即2OA＝6，解得OA＝3，∴k＝OA×PA＝3×3＝9．故答案为：9．【一领三通3-5】（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．【分析】（1）作BD⊥OC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求得OD＝1，BD＝，进而求得三角形BOD的面积，根据系数k的几何意义即可求得k＝，从而求得反比例函数的表达式；（2）求得三角形AOC的面积，即可求得A的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A的坐标．【解答】解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，∴BD＝＝，∴S△OBD＝OD×BD＝，S△OBD＝|k|，∴|k|＝，∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，∴k＝，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）∵S△OBC＝OC•BD＝＝，∴S△AOC＝3﹣＝2，∵S△AOC＝OC•y A＝2，∴y A＝2，把y＝2代入y＝，求得x＝，∴点A的坐标为（，2）．【考点4 反比例函数的图像与其它函数的关系】【解题技巧】反比例函数与一次函数图像的综合应用的四个方面：①探求同一坐标系下两函数的图像常用排除法；②探求两函数表达式常利用两函数的图像的交点坐标；③探求两图像中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图像交点坐标的常用方法；④两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图像上、下位置关系，从而写出函数值的大小．反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．另外常见的还有反比例函数与二次函数、两个反比例函数之间的关系。

反比例函数讲义(知识点+典型例题)

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性：当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。

四川省渠县崇德实验学校2020中考九年级数学专题复习：第12讲反比例函数教案设计(含答案)

四川省渠县崇德实验学校2020中考九年级数学专题复习：第12讲反比例函数教案反比例函数的概念及解析式的三种形式1.概念：一般地，形如y ＝kx (k 为常数，k≠①0)的函数叫做反比例函数，自变量x 的取值范围是②x≠0.2.反比例函数解析式的三种形式(k 为常数，k≠0)：y ＝k x ；y ＝kx －1；xy ＝k.【方法指导】确定点在反比例函数图象上的方法：(1)把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于纵坐标，则点在函数图象上；若所求值不等于纵坐标，则点不在函数图象上；(2)把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在函数图象上；若乘积不等于k ，则点不在函数图象上.反比例函数的图象与性质注意：双曲线不是连续的曲线，而是两支不同的曲线，所以比较函数值的大小时，要注意所判断的点是否在同一象限，当k ＞0时，在两支上，第一象限函数值大于第三象限函数值；当k ＜0时，在两支上，第二象限函数值大于第四象限函数值.解决此类问题的一个有效方法是画出草图，标上各点，再比较大小.1.已知反比例函数y ＝m －1x.(1)当m ＝2时，反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小(填“增大”或“减小”)；(2)当反比例函数的图象如图所示时，则m 的取值范围是m<1；(3)若点P(x ，y)在函数的图象上，则点P 1(－x ，－y)在函数的图象上(填“在”或“不在”)； (4)若点C(－2，3)在该函数的图象上. ①反比例函数的解析式是y ＝－6x；②点A(x 1，y 1)和B(x 2，y 2)是反比例函数图象上的两点，且x 1<0<x 2，则y 1>y 2(填“>”“＝”或“<”)； ③当1≤x≤3时，y 的最小整数值是－6.反比例函数中k 的几何意义及解析式的确定1.反比例函数中k 的几何意义：如图，设P(x ，y)是反比例函数y ＝kx 图象上任一点，过点P 作PM⊥x 轴于点M ，PN⊥y 轴于点N ，则S 矩形PNOM ＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝⑨|k|.2.与反比例函数中k 的几何意义有关的面积计算：3.反比例函数解析式的确定： (1)待定系数法：①设出反比例函数的解析式为y ＝kx (k≠0)；②找出满足反比例函数图象的已知点P(a ，b)； ③将P(a ，b)代入解析式得k ＝⑭ab ； ④确定反比例函数解析式y ＝abx .(2)利用k 的几何意义确定：题中已知面积时考虑用k 的几何意义.由面积得|k|，再结合图象所在象限判断k 的正负，从而得出k 的值，代入解析式即可.2.如图，点A 为反比例函数y ＝－4x图象上的一点，过点A 作AB⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△ABO 的面积为2.3.如图，点A 是反比例函数y ＝kx 的图象上的一点，过点A 作AB⊥x 轴，垂足为B.点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC.若△ABC 的面积为4，则k 的值是－8.反比例函数与一次函数的综合运用(1)根据点的坐标确定函数解析式； (2)根据函数图象比较两函数值的大小； (3)求三角形或四边形的面积；(4)由几何图形面积确定点的坐标或求函数解析式.反比例函数的实际应用1.实际问题中常见的反比例函数关系： (1)行程问题：速度＝路程时间；(2)工程问题：工作效率＝工作量工作时间；(3)压强问题：压强＝压力受力面积；(4)电学问题：电阻＝电压电流.2.解反比例函数的实际应用题的一般步骤：(1)审清题意，找出题目中的常量、变量，并确定常量与变量之间的关系； (2)根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； (3)由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； (4)写出函数解析式，并注意解析式中自变量的取值范围； (5)用函数的图象与性质解决实际问题.4.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地.当他按照原路返回时，汽车的速度v(千米/小时)与时间t(小时)的函数关系是v ＝320t (t>0).命题点1 反比例函数的图象与性质1.(下列说法中不正确的是(D) A.函数y ＝2x 的图象经过原点 B.函数y ＝1x 的图象位于第一、三象限C.函数y ＝3x －1的图象不经过第二象限D.函数y ＝－3x的值随x 的值的增大而增大2.在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx(k>0)与y ＝kx(k>0)的图象可能是(C)3.已知反比例函数y ＝kx(k≠0)的图象过点(－1，2)，则当x ＞0时，y 随x 的增大而增大.4.已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点都在反比例函数y ＝2x 的图象上，且x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 2.(填“＞”或“＜”)方法指导在求解反比例函数的因变量y 随自变量x 的变化情况及确定反比例函数的图象时，一般利用k 的取值范围.易错提示在应用反比例函数的性质时，要注意“在每个象限内”这几个字的含义，切忌说k ＞0时，y 随x 的增大而减小.5.已知反比例函数y ＝2x，当x ＜－1时，y 的取值范围为－2＜y ＜0.6.已知点P(m ，n)在直线y ＝－x ＋2上，也在双曲线y ＝－1x上，则m 2＋n 2的值为6.7.在平面直角坐标系xOy 中，点A(3m ，2n)在直线y ＝－x ＋1上，点B(m ，n)在双曲线y ＝kx 上，则k 的取值范围为k≤124且k≠0. 8.已知A ，B ，C ，D 是反比例函数y ＝8x (x ＞0)图象上四个整数点(横、纵坐标均为整数)，分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形(如图)的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形(阴影部分)，则这四个橄榄形的面积总和是5π－10(用含π的代数式表示).命题点2 反比例函数与一次函数综合双曲线y ＝k x (k 为常数，且k≠0)与直线y ＝－2x ＋b 交于A(－12m ，m －2)，B(1，n)两点.(1)求k 与b 的值；(2)如图，直线AB 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点E 为CD 的中点，求△BOE 的面积.【思路点拨】 (2)S △BOE ＝S △ODE ＋S △BOD .【自主解答】解：(1)∵点A(－12m ，m －2)在直线y ＝－2x ＋b 上，∴－2×(－12m)＋b ＝m －2.∴b＝－2.∴y＝－2x －2.∵点B(1，n)在直线y ＝－2x －2上， ∴n＝－2×1－2＝－4.∴B(1，－4). ∵点B(1，－4)在双曲线y ＝kx 上，∴k＝1×(－4)＝－4.(2)∵直线AB 的解析式为y ＝－2x －2，令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝－1， ∴C(－1，0)，D(0，－2).∵点E 为CD 的中点，∴E(－12，－1).∴S △BOE ＝S △ODE ＋S △ODB ＝12OD·(x B －x E )＝12×2×(1＋12)＝32.方法指导一次函数与反比例函数的综合题，常涉及以下几个方面： 1.求交点坐标：联立方程组求解即可.2.确定函数解析式：将交点坐标代入y ＝kx可求k ，由两交点坐标利用待定系数法可求y ＝ax ＋b.3.利用函数图象确定不等式ax ＋b ＞k x 或ax ＋b ＜kx 的解集时，利用数形结合进行分析判断：(1)先找交点，以交点为界；(2)观察交点左、右两边区域的两个函数图象的上、下位置关系；(3)根据图象在上方，函数值较大，图象在下方，函数值较小，即可求出自变量的取值范围.4.涉及与面积有关的问题时，要善于把点的横、纵坐标转化为图形边长的长度，对于所求图形的边均不在x 轴、y 轴或不与坐标轴平行的时候，不便直接求解，可分割为规则图形进行相关转化.9.已知一次函数y 1＝kx ＋b(k≠0)与反比例函数y 2＝mx (m≠0，x>0)的图象如图所示，则当y 1＞y 2时，自变量x 满足的条件是(A)A.1＜x ＜3B.1≤x≤3C.x ＞1D.x ＜310.如图，一次函数y 1＝ax ＋b 和反比例函数y 2＝kx的图象相交于A ，B 两点，则使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是(B)A.－2＜x ＜0或0＜x ＜4B.x ＜－2或0＜x ＜4C.x ＜－2或x ＞4D.－2＜x ＜0或x ＞4 11.一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(1，4)，B(－4，－6). (1)求该一次函数的解析式；(2)若该一次函数的图象与反比例函数y ＝mx的图象相交于C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)两点，且3x 1＝－2x 2，求m 的值.解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝4，－4k ＋b ＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋2.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝m x，消去y ，得2x 2＋2x －m ＝0，则x 1＋x 2＝－1.∵3x 1＝－2x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝－3.∴C(2，6).∵反比例函数y ＝mx的图象经过点C ，∴m＝2×6＝12.12.如图，一次函数y ＝－12x ＋52的图象与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于A ，B 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 的面积为1. (1)求反比例函数的解析式；(2)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标.解：(1)∵反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象经过点A ，△AOM 的面积为1，∴12|k|＝1. 又∵k＞0，∴k＝2.∴反比例函数的解析式为y ＝2x.(2)作点A 关于y 轴的对称点A′，连接A′B，交y 轴于点P ，则PA ＋PB 最小. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋52，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12.∴A(1，2)，B(4，12).∴A′(－1，2)，PA ＋PB 的最小值A′B＝（4＋1）2＋（12－2）2＝1092.设直线A′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋n ＝2，4m ＋n ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－310，n ＝1710.∴直线A′B 的解析式为y ＝－310x ＋1710.当x ＝0时，y ＝1710，∴点P 的坐标为(0，1710).13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A(－2，0)，与反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象交于点B(a ，4).(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)设M 是直线AB 上一点，过点M 作MN∥x 轴，交反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象于点N ，若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.解：(1)∵一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A(－2，0)， ∴0＝－2＋b ，解得b ＝2. ∴一次函数的解析式为y ＝x ＋2.∵一次函数y ＝x ＋2与反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象交于点B(a ，4)，∴4＝a ＋2，解得a ＝2.∴4＝k2，解得k ＝8.∴反比例函数的解析式为y ＝8x(x ＞0).(2)∵A(－2，0)，∴OA＝2.∵以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，且MN∥AO， ∴MN＝AO.设M(m －2，m)，则N(8m ，m)，∴|8m－(m －2)|＝2，解得m 1＝22，m 2＝－22(舍去)，m 3＝2＋23，m 4＝2－23(舍去). ∴点M 的坐标为(22－2，22)或(23，23＋2).命题点3 反比例函数与几何图形综合14.如图，曲线C 2是双曲线C 1：y ＝6x (x ＞0)绕原点O 逆时针旋转45°得到的图形，P 是曲线C 2上任意一点，点A 在直线l ：y ＝x 上，且PA ＝PO ，则△POA 的面积等于(B)A. 6B.6C.3D.1215.如图，反比例函数y ＝kx (x ＞0)经过A ，B 两点，过点A 作AC⊥y 轴于点C ，过点B 作BD⊥y 轴于点D ，过点B 作BE⊥x 轴于点E ，连接AD ，已知AC ＝1，BE ＝1，S 矩形BDOE ＝4，则S △ACD ＝32.16.如图，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D ，E.若四边形ODBE的面积为12，则k 的值为4.17.如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x 的图象上，AC⊥x 轴于点E ，BD⊥x轴于点F ，AC ＝2，BD ＝4，EF ＝3，则k 2－k 1＝4.命题点4 反比例函数的实际应用18.已知圆锥的侧面积是8π cm 2，若圆锥底面半径为R(cm)，母线长为l(cm)，则R 关于l 的函数图象大致是(A)19.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB ，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段. 请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x≤24)的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？解：(1)设线段AB 的函数关系式为y ＝k 1x ＋b(k 1≠0). ∵线段AB 过点(0，10)，(2，14)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10，2k 1＋b ＝14.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，b ＝10. ∴线段AB 的函数关系式为y ＝2x ＋10(0≤x＜5). ∵点B 在线段AB 上，且当x ＝5时，y ＝20， ∴点B 的坐标为(5，20).∴线段BC 的函数关系式为y ＝20(5≤x＜10). 设双曲线CD 的函数关系式为y ＝k 2x(k 2≠0).∵C(10，20)，∴k 2＝200.∴双曲线CD 的函数关系式为y ＝200x (10≤x≤24).∴这天的温度y 与时间x(0≤x≤24)的函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋10（0≤x<5），20（5≤x<10），200x （10≤x≤24）.(2)由(1)知，恒温系统设定的恒定温度为20 °C. (3)把y ＝10代入y ＝200x 中，得x ＝20.20－10＝10(小时).答：恒温系统最多关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害.。

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发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个
正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限.
(1)如图所示，若反比例函数解析式为y=-
0)，图中已画出符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画
2 ，P点坐标为(1， x
出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐标,M1的
【解析】选A.经计算易知图象应为A.
5.(2010·眉山中考)如图，已知双曲线
y= k (k＜0)经过直角三角形OAB斜边OA
x
的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为(-6，4)，则△AOC的面积为( (A)12 (B)9 (C)6 (D)4 )
【解析】选B.易知△ABO的面积等于12.过D作x轴垂线交x轴于点E，由相似可得△DEO的面积为3，因为D、C皆落在双曲线上，所以△BCO的面积等于3，所以△AOC的面积为9.
4 =1， x ∴点N在函数y= 4 的图象上． x 1 2 x x
∵当x=4时，y=
(3)4≤ m ≤8．
12.(12分)(2010·金华中考)已知点P的坐标为(m，0)，在x轴上存在点Q(不与P点重合)，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落
2 在反比例函数y=- 的图象上.小明对上述问题进行了探究， x
坐标是_____.(温馨提示：作图时，别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑哦！)
(2) 请你通过改变P点坐标，对直线M1M的解析式y=kx＋b进行
探究可得k=_____，若点P的坐标为(m，0)时，则b=_____；
(3) 依据(2)的规律，如果点P的坐标为(6，0)，请你求出点 M1和点M的坐标．
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．小明家离学校1.5 km，小明步行上学需x min，那么小明
步行速度y(m/min)可以表示为y= 1500 ；水平地面上重 1 500N的物体,与地面的接触面积为x m2，那么该物体对地面压强y(N/m2)可以表示为y= 1500 ;„，函数关系式y= 1500 还可以表示许多不同情境中变量之间的关系,请你再列举一例 _____. 【解析】两例中两个变量是反比例函数关系.答案不唯一，情境合适即可.
1 得到方程m(1+m)=1，解得m= x
，所以点E的坐标是
).
8.(2010·遵义中考)如图，在第一象限
内,点P,M(a,2)是双曲线y= k (k≠0)上的
x
两点,PA⊥x轴于点A,MB⊥x轴于点B,PA与 OM交于点C,则△OAC的面积为_____. 【解析】由图可得k=6，a=3，通过△OCA∽△OMB可求得△OAC 的面积. 答案：4
一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(2010·红河中考)不在函数y=
12 图象上的点是( x
)
(A)(2,6)
(C)(3,4)
(B)(-2，-6)
(D)(-3,4)
【解析】选D.图象上的点横坐标与纵坐标的乘积为12.
x x x
答案：答案不唯一.如体积为1 500 cm3的圆柱底面积为
x cm2，那么圆柱的高y(cm)可以表示为y= 1500 .
x
7．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形
ADEF的顶点E都在函数y= 1 (x＞0)的图象上，
x
则点E的坐标是(_____，_____). 【解析】先求得B的坐标(1，1)，设E的坐标为(1+m,m)，代入 y= ( 答案：
3 60 3
11.(12分)(2010·河北中考)如图，在直角坐标系中，矩形
OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为(4，2)．过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB， BC交于点M，N．
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；
(2)若反比例函数y=
m (x＞0)的图象过点M，求该反比例函数 x
【解析】(1)如图，M1的坐标为(-1，2) (2)k=-1,b=m (3)由(2)知，直线M1M的解析式为y=-x+6，则M(x，y)满足x·(-x+6)=-2，解得x1=3+ 11，x2=3，
∴y1=3- 11，y2=3+ 11，
∴M1，M的坐标分别为(3- 11，3+ 11 )，(3+ 11，3- 11)．
13．(12分)利用图象解一元二次方程x2+x-3=0时，我们采用
的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线 y=-x+3，两图象交点的横坐标就是该方程的解． (1)填空：利用图象解一元二次方程x2+x-3=0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y=_____和直线y=-x，其
v
(2)若行驶速度不得超过60 km/h，
则汽车通过该路段最少需要多少时间？
【解析】(1)将(40，1)代入t= k ，解得k=40, 函数解析式为：t= 40 ，当t=0.5时，0.5= 40 ，解得m＝80,
v m v
所以：k=40,m=80. (2)令v=60，得t= 40 2 ，结合函数图象可知，汽车通过该路段最少需要 2 小时.
2．(2010·宁波中考)已知反比例函数y= 确的是( )
，下列结论不正
(A)图象经过点(1，1) (B)图象在第一、三象限 (C)当x＞1时，0＜y＜1 (D)当x＜0时，y随着x的增大而增大【解析】选D.因为k=1＞0，所以当x＜0时，y随着x的增大而减小.
3.(2010·玉溪中考)如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是( )
的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
x
(3)若反比例函数y= m (x＞0)的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
【解】(1)设直线DE的解析式为y=kx+b， ∵点D，E的坐标为(0，3)、(6，0)，
∴y=-
1 x+3． 2
∵点M在AB边上，B(4，2)，而四边形OABC是矩形，
∴点M的纵坐标为2．
1 又∵点M在直线y=- x+3上， 2 1 ∴2=- x+3．∴x=2． 2 1 ∴直线DE的解析式为y=- x+3,M(2，2). 2
(2)∵y= m(x＞0)经过点M(2，2)，
∴m=4．∴y= 4 . 又∵点N在BC边上，B(4，2)，∴点N的横坐标为4． ∵点N在直线y=- x+3上，∴y=1．∴N(4，1)．
3
9.(2010·咸宁中考)如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y
轴交于A，B两点，与反比例函数y= k 的图象相交于C，D两点，
分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF， DE，EF.
x
有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等； ②△AOB∽△FOE； ③△DCE≌△CDF； ④AC把你认为正确结论的序号都填上)
答案：①②④
三、解答题(共46分)
10.(10分)(2010·嘉兴中考)一辆汽车匀速通过某段公路，
所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：
t＝ k ，其图象如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和
B(m，0.5)．
(1)求k和m的值；
(A)第一象限 (C)第二、四象限
(B)第一、三象限 (D)第一、四象限
x
【解析】选C.由题可得函数y= -5 ，因k=-5＜0，所以图象在
第二、四象限.
4.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E” 图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是( )
交点的横坐标就是该方程的解．
(2)已知函数y=- 6 的图象(如图所示)，利用图象求方程 6 x+3=0的近似解(结果保留两个有效数字)．
x x
【解析】(1)x2-3
(2)由图象得出方程的近似解为：
x1≈-1.4，x2≈4.4.