18.3《复习课》导学案

证明:如图,连接PE,
∵S△PDE= PG·DE,S△BPE= PF·BE,BE=ED,
∴S△BDE=S△PDE+S△BPE= PG·DE+ PF·BE= (PF+PG)·DE.
∵S△BDE= AB·DE,
∴ AB·DE= (PF+PG)·DE,
∴AB=PF+PG.
5.如图,四边形ABCD是平行四边形,AC、BD交于点O,∠1=∠2.
(1)试探索线段AF、DE的数量关系,写出你的结论并说明理由.
(2)连接EF、DF,分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K,则四边形HIJK是什么特殊四边形?请在图②中补全图形,并说明理由.
图①
图②
解:(1)AF=DE.∵ABCD是正方形,∴AB=AD,∠DAB=∠ABC=90°,∵AE=BF,∴△DAE≌△ABF,∴AF=DE.
◆体系构建
请你完成本章的知识网络图.
◆核心梳理
1.你能说出几种特殊四边形的性质吗?填写下表.
边
角
对角线
轴对称性
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
互相平分
不是轴对称图形
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
互相平分且相等
轴对称图形两条对称轴
菱形
对边平行,
四条边都相等
对角相等
互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
【方法归纳交流】折叠问题要紧紧抓住折叠前后线段和角不变,并且折叠前后的图形是关于折痕对称的来帮助解决问题.
专题四正方形的性质和判定的应用
8.如图所示,正方形ABCD对角线AC,BD相交于点O.若E为AC上一点,过点A作AG⊥EB于点G,AG,BD交于点F,求证:OE=OF.
证明:∵四边形ABCD为正方形,∴∠BOE=∠AOF=90°,BO=AO.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠BOC=120°,AB=4 cm,求四边形ABCD的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是平行加边形,AC、BD交于点O,
∴OA=OC,OB=OD,
又∵∠1=∠2,∴OB=OC,∴OA=OB=OC=OD,
∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,∠BOC=120°,AB=4,∴∠1=∠2=30°,BC=4 ,
∴S四边形ABCD=AB·BC=16 (cm2).
【方法归纳交流】当有对角线出现时,常利用对角线相等的平行四边形是矩形或对角线相等且互相平分的四边形是矩形来判断一个四边形是矩形.
专题三菱形的性质和判定的应用
6.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=18°,求∠CEF的度数.(方法指导:连接AC,证明△ACF≌△ABE)
轴对称图形、两条对称轴
正方形
对边平行,
四条边都相等
四个角都是直角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
轴对称图形、四条对称轴
2.你能逐个说出几种特殊四边形的常用判定方法吗?完成下列表格.
平行四边形
(1)两组对边分别平行;(2)两组对边分别相等;(3)一组对边平行且相等;(4)对角线互相平分;(5)两组对角分别相等
(2)四边形HIJK是正方形.如图,H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点,∴HI=KJ= AF,HK=IJ= ED,∵AF=DE,∴HI=KJ=HK=IJ,∴四边形HIJK是菱形,∵△DAE≌△ABF,∴∠ADE=∠BAF,∵∠ADE+∠AED=90°,∴∠BAF+∠AED=90°,∴∠KHI=90°,∴四边形HIJK是正方形.
【方法归纳交流】平行四边形的性质和判定可综合在一起,可以解决许多有关的几何问题:一类是角之间的关系;一类是线段之间的关系(平行关系、数量关系).
专题二矩形的性质和判定的应用
4.如图,E是矩形ABCD的边AD上一点,且BE=ED,P是对角线BD上任一点,PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分别为F、G.求证:PF+PG=AB.
解:连接AC,由菱形ABCD,有BA=BC,
∵∠B=60°,∴△ABC为正三角形.∴∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC.
∵∠EAF=∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAF,
又∵∠B=∠ACF=60°,∴△BAE≌△CAF.∴AE=AF,∴△AEF是等边三角形.
又∵∠AEC=∠B+∠BAE,∠BAE=18°,∴∠CEF=∠BAE=18°.
【方法归纳交流】判定一个四边形是正方形,一般先说明该图形是矩形,再证明一组邻边相等;或先说明该图形是菱形,再证明一个角是直角.
专题五三角形的中位线
10.如图,点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点,四边形ABCD的边满足AB=CD,证明:四边形EFGH是菱形.
证明:∵E、F分别是AD、BD的中点,G、H是BC和AC的中点,
∵AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO,
∴△AOE≌△COF,
∴EO=FO,
∴四边形AFCE是菱形.
(2)由(1)得AF=AE=10,
设AB=a,BF=b,
得a2+b2=100①,ab=48②,
①+2×②得(a+b)2=196,得a+b=14(另一负值舍去),
∴△ABF的周长为24cm.
∴EF= AB,GH= AB.
∵F、G分别是BD、BC的中点,E、H分别是AD、AC的中点,
∴FG= CD,EH= CD.
又∵AB=CD,
∴EF=GH=FG=EH,
∴四边形EFGH是菱形.
【方法归纳交流】一个四边形的中点四边形只与四边形的对角线有关,对角线相等的四边形的中点四边形是菱形,对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形,对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形.
∴∠DFA=∠FAB.
(2)在△ABE和△FCE中,∵∠FAB=∠F,∠AEB=∠FEC,BE=CE,
∴△ABE≌△FCE.
3.如图,已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长.
第十八章复习课源自文库
1.能说出平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定,并能运用它们解决问题.
2.知道三角形的中位线的概念,能说出三角形的中位线的定理,并能运用此定理解决问题.
3.知道平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性及它们之间的联系与区别,培养分析问题、解决问题的能力.
4.重点:平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、判定及应用.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴AF∥EC.∵BE=DF,∴AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形.
(2)∵四边形AECF是菱形,∴AE=CE,∴∠1=∠2.∵∠BAC=90°,∴∠3=∠90°-∠2,∠4=∠90°-∠1,∴∠3=∠4,∴AE=BE,∴BE=AE=CE= BC=5.
解:OE=OF仍成立.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOE=∠AOF=90°,BO=AO.
又∵AG⊥EB,∴∠OEB+∠EAF=90°,
又∠OFA=∠FAE=90°,∴∠OEB=∠OFA,∴Rt△BOE≌Rt△AOF,∴OE=OF.
9.如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别在AB、BC上,且AE=BF.
见《导学测评》P28
矩形
(1)有三个角是直角;(2)有一个角是直角的平行四边形;(3)对角线相等的平行四边形
菱形
(1)四条边都相等;(2)有一组邻边相等的平行四边形;(3)对角线互相垂直的平行四边形
正方形
(1)是矩形,并且有一组邻边相等;(2)是菱形,并且有一个角是直角;(3)对角线相等且垂直的平行四边形
专题一平行四边形的性质和判定的应用
1.如图,在▱ABCD中,E是BA延长线上一点,AB=AE,连接CE交AD于点F,若CF平分∠BCD,AB=3,则BC的长为6.
2.如图,在▱ABCD中,E为BC中点,AE的延长线与DC的延长线相交于点F.
(1)证明:∠DFA=∠FAB;
(2)证明:△ABE≌△FCE.
证明:(1)∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边,∴AB∥CD,
7.如图,一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接AF和CE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)若AE=10 cm,△ABF的面积为24 cm2,求△ABF的周长.
解:(1)证明:由折叠可知EF⊥AC,AO=CO,
又∵AG⊥BE,∴∠1+∠3=90°,又∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2,∴Rt△BOE≌Rt△AOF,∴OE=OF.
[变式训练]正方形ABCD对角线AC,BD相交于点O,若点E在AC延长线上,如图所示,AG⊥EB交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变,OE=OF还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.