人教版数学高二A版选修4-5 2.3反证法与放缩法
(新课程)高中数学 2-3 反证法与放缩法课件 新人教A版选修4-5
题型三 放缩法在数列中的综合应用 【例 3】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项； (2)证明：n2－13＜aa12＋aa23＋…＋aan＋n 1＜n2(n∈N＋)．
[思维启迪] (1)问考查由递推关系式求通项的方法； (2)问考查放缩法证明不等式． (1)解 ∵an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数 列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N＋)．
基础自测
1．实数a，b，c不全为0等价于
( )．
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．“a，b，c中至少有一个
不为0”．
答案 D
2．已知 a，b，c，d 都是正数，S＝a＋ab＋c＋a＋bb＋d＋c＋dc＋a
[思维启迪] 利用 n2＜ nn＋1＜n＋n2＋1放缩，进而求证．
证明 ∵Sn> 12＋ 22＋…＋ n2 ＝1＋2＋…＋n＝nn＋2 1. 且 Sn<1＋2 2＋2＋2 3＋…＋n＋n2＋1 ＝32＋52＋…＋2n＋2 1 <12＋32＋52＋…＋2n＋2 1＝n＋212 ∴nn＋2 1<Sn<n＋212.
法二 假设 x(2－y)＞1 且 y(2－z)＞1 且 z(2－x)＞1.
∴ x2－y＋ y2－z＋ z2－x＞3
③
而 x2－y＋ y2－z＋ z2－x
≤x＋22－y＋y＋22－z＋z＋22－x＝3
④
④与③矛盾，故假设不成立，
∴原题设结论成立．
方法点评 (1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”， “不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反 面比较具体． (2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与 已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾.
高二数学人教A版选修4-5课件：2.3反证法与放缩法
答 1.相矛盾的结论 假设不正确 反证法 案 2.证明的目的 放缩法
探究 1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？
提示：用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多 种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是 不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根 据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结 论的反面出发进行论证，就不是反证法．
反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放 大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不 等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判 断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技 巧，也是放缩法中的主要形式．
1.反证法 对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法 证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立， 用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”． (1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立．
1.反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件， 应用公理、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题条件(或 已证明过的定理、性质、明显成立的事实等)__________，以说 明____________________，从而证明原命题成立，我们把它称 为________．
2．放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩 小 ，简 化 不等 式 ，从 而 达到 ________ ， 我们 把 这种 方 法称 为 ________.
(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与 已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、 公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导 出的矛盾必须是明显的．
探究 2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？
高二数学人教A版选修4-5课件：2.3 反证法与放缩法
证明:假设 4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)都大于 1,则 a(1-
b)>14,b(1-c)>14,c(1-d)>14,d(1-a)>14.
∴
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������) > 12.
������ ������ 变式训练 2
设
n
是正整数,求证12
≤
1 ������+1
+
������+1 2+…+21������<1.
分析:要求一个
n
项分式 1
������+1
+
������+1 2+…+21������的范围,它的和又求不
出来,可以采用“化整为零”的方法,先观察每一项的范围,再求整体的 范围.
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证法二:假设a+b>2,则a>2-b. ∵a3+b3=2,∴2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0, 这与(b-1)2≥0矛盾, ∴a+b≤2. 证法三:假设a+b>2, 则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6, ∴ab(a+b)>2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0,这与(a-b)2≥0矛盾,∴a+b≤2.
人教新课标A版高二数学《选修4-5》第二讲 三 反证法与放缩法
1 1 1 3．求证： ＋ ≤1＋ . 1＋|a| 1＋|b| 1＋|a＋b|
1＋|b|＋1＋|a| 1 1 证明：∵ ＋ ＝ 1＋|a| 1＋|b| （1＋|a|）（1＋|b|） 1＋|a|＋|b|＋1 1＋|a|＋|b|＋1 ＝ ≤ 1＋|a|＋|b|＋|ab| 1＋|a|＋|b| 1 1 ＝1＋ ≤1＋ . 1＋|a|＋|b| 1＋|a＋b|
2n－1 1 3 5 3．求证： ＋ ＋ ＋…＋ n <3 (n∈N+)． 2 4 8 2
2n－1 1 3 5 证明：设 S＝ ＋ ＋ ＋…＋ n ， 2 4 8 2 1 将等式两边乘以 得 2 2n－1 1 1 3 5 S＝ ＋ ＋ ＋…＋ n＋1 . 2 4 8 16 2
将两式相减得 2n＋3 1 2n－1 1 1 1 1 1 1 S＝ ＋24＋8＋16＋…＋2n－ n＋1 ＝ ＋1－ n＋1 . 2 2 2 2 2 2n＋3 2n＋3 ∴S＝3－ n ，又 n >0， 2 2 2n－1 1 3 5 ∴S<3，即 ＋ ＋ ＋…＋ n <3 (n∈N+)． 2 4 8 2
2 2 n ＋ 1 （ n ＋ 1 ） 1 3 5 < ＋ ＋ ＋… ＋ ＝ 2 2 2 2 2
n ∴
n＋1 （n＋1）2 <Sn< . 2 2
反思感悟：用放缩法证明不等式的过程中，往往采用“添舍”放 缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时 要注意适度，否则不能同向传递．
1 1 1 2．求证：1＋ 2＋ 2＋…＋ 2<2 (n∈N+)． 2 3 n
立．
1＋y 1＋x 1．已知 x>0，y>0，且 x＋y>2，求证： 与 中至少有 x y 一个小于 2.
人教A版选修4-5 2.3 反证法与放缩法 学案
三反证法与放缩法第8课时反证法与放缩法1．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法称为反证法．2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．知识点一反证法证明不等式1．应用反证法推出矛盾的过程中，要把下列哪些作为条件使用( )①假设；②原命题的条件；③公理，定理，定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②③C．①②③④D．②③解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条件，还有公理、定理、定义等作为条件使用，因此应选B.答案：B2．(2019·湖南邵东一中月考)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，给出以下说法：①a，b，c中至少有一个大于13；②a，b，c中至少有一个小于13；③a，b，c中至少有一个不大于13；④a，b，c中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：∵实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则在①②中，当a＝b＝c＝13时，满足a ＋b ＋c ＝1，所以命题不正确；对于③中，假设a ，b ，c 三个数都大于13，则a ＋b ＋c >1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不大于13，所以③是正确的；对于④中，假设a ，b ，c 三个数都小于14，则a＋b ＋c <1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不小于14，所以④是正确的．综上所述，正确的命题有2个，故选B. 答案：B3．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列． 求证：a ， b ， c 不成等差数列． 证明：假设a ， b ， c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b . 又∵三个正数a ，b ，c 成等比数列． ∴b 2＝ac ，即b ＝ac .∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，即a ＝c . 从而得a ＝b ＝c .∴a ，b ，c 也成等差数列，这与已知矛盾． 故假设错误，∴a ， b ， c 不成等差数列． 知识点二 放缩法证明不等式 4．已知S ＝1＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n(n 是大于2的自然数)，则有( )A ．S <1B ．2<S <3C ．1<S <2D ．3<S <4解析：S ＝11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1<2.又因为S ＝1＋11×2＋…＋11×2×3×…×n >1.故选C.答案：C 5．令P ＝1＋12＋13＋…＋1n ，Q ＝n ，则P 与Q 的大小关系是________． 解析：P ＝1＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n ＝nn＝n ，当且仅当n ＝1时取等号，∴P ≥Q .答案：P ≥Q6．(2019·辽宁德才期中)求证：1＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：∵1n 2＝1n ·n <1n n －1＝1n －1－1n(n ≥2)， ∴1＋122＋132＋ (1)2<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋1－1n＝2－1n<2.∴原不等式成立．一、选择题1．已知f (x )在R 上为增函数，且f (x 0)＝f (1)，则( ) A ．x 0>1 B ．x 0＝1 C ．x 0<1D ．x 0≠1解析：①若x 0>1，∵f (x )是增函数， ∴f (x 0)>f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．②若x 0<1，∵f (x )是增函数，∴f (x 0)<f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾． 综合①②知，x 0＝1. 答案：B2．设a ，b 是不相等的实数，且a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ≤1≤a 2＋b 22 B ．ab ≤a 2＋b 22≤1 C ．1<ab <a 2＋b 22D ．ab <1<a 2＋b 22解析：由不等式 a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ，得a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab .又∵a ＋b ＝2，且a ≠b .∴ab <1<a 2＋b 22.答案：D3．(2019·福清东张中学期中)设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设3个数：a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6，∵a ，b ，c 大于0，利用基本不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设所得结论相矛盾，故假设不成立，所以3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 答案：D4．(2019·辽宁德才期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：因为结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”，可得题设为a，b，c 中恰有一个偶数，所以反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数，故选B.答案：B5．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个实数大于1”的条件有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，a，b均可以小于1；对于②，a，b均可以等于1；对于③，若a，b都不大于1，则a＋b≤2，这与③矛盾，则a，b中至少有一个实数大于1，对于④⑤，a，b可以是负数．答案：A二、填空题6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤，先假设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.答案：③①②7．已知M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M与1的大小关系是________．解析：M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1，即M <1.答案：M <18．若a >0，则a ＋1a＋a 2＋1a 2的最小值为________．解析：∵a >0，∴a ＋1a＋a 2＋1a2≥2a ·1a＋2a ·1a＝2＋2，当且仅当a ＝1时取等号．答案：2＋ 2 三、解答题9．(2019·山东聊城期中)若x ，y 都是正实数，且x ＋y >43.求证：2＋xy <4与2＋yx<4中至少有一个成立．证明：假设2＋xy <4和2＋yx<4都不成立，即2＋xy≥4和2＋yx≥4同时成立．因为x >0且y >0，所以2＋x ≥4y ，且2＋y ≥4x ， 两式相加，得4＋x ＋y ≥4x ＋4y ，所以x ＋y ≤43，这与已知条件x ＋y >43相矛盾，所以2＋xy<4与2＋yx＜4中至少有一个成立．10．(2019·河北沧州七校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)知b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列， 则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *， ∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾， ∴假设错误，故数列{b n }中任意不同的三项不可能成等比数列．。
(教师用书)高中数学 2.3 反证法与放缩法配套课件 新人教A版选修4-5
利用反证法证“至多”、“至少”、 “唯一”型命题
已知f(x)＝x2＋px＋q，求证： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； 1 (2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于2.
【思路探究】 算可得结论． (2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论． (1)把f(1)、f(2)、f(3)代入函数f(x)求值推
2．放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 放大 或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方 法称为放缩法．
1．反证法的一般步骤是什么？
【提示】 证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2) 从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．
2．放缩法证明不等式常用的技巧有哪些？
【证明】 a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少 有一个是负数，故有假设a、b、c、d都是非负数． 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0 则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd. 这与已知中ac＋bd＞1矛盾， ∴原假设错误， 故a、b、c、d中至少有一个是负数． 即a，b，c，d中至多有三个是非负数．
1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠ B≥90° ”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法， “＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等． 2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确 推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R. (1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)； (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结 论．
【证明】 (1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.
由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(－b)． 又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)． 两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，
唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”， “至少”，“不能”等词语的不等式． (2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准 确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，
在解题时要灵活应用．
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为 A．a，b，c均不为0
②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明
而断定原命题成立．
2．不等式的证明方法——放缩法 放缩法证明的定义： 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大
或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．
3．放缩法的理论依据主要有 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为 不等量 ； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
y y ＝|x＋ |≥x＋ . 2 2 z 同理可得： y ＋yz＋z ≥y＋ ， 2
2 2
x z ＋zx＋x ≥z＋ ，由于 x、y、z 不全为零，故 2
2 2
上述三式中至少有一式取不到等号， 所以三式相加得： y x ＋xy＋y ＋ y ＋yz＋z ＋ z ＋zx＋x >(x＋ ) 2
2 2 2 2 2 2
1．不等式的证明方法——反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，
然后由 此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定
理、性质等，进行 正确的推理 ，得到和命题的条件 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论， 以说明 假设 不成立，从而证明原命题成立． (2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立； 假设不成立 ，从
[例 1]
已知 f(x)＝x2＋px＋q
求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 1 (2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 . 2
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
∴ nn＋1＞n， ∴an＝ 1×2＋ 2×3＋…＋ nn＋1 nn＋1 >1＋2＋3＋…＋n＝ . 2 n＋n＋1 ∵ nn＋1< ， 2
1＋2 2＋3 3＋4 n＋n＋1 ∴an< ＋ ＋ ＋…＋ 2 2 2 2 n＋1 nn＋2 1 ＝ ＋(2＋3＋…＋n)＋ ＝ . 2 2 2 nn＋1 nn＋2 综上得： ＜an＜ . 2 2
反证法和放缩法在高考中单独命题的可能性不大， 一般以解答题一问的形式出现，但反证法和放缩法是一种 重要的思维模式，在逻辑推理中有着广泛的应用．
∵函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，
x1，x2∈(a，b)且x1＜x2， ∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，
∴原假设不成立．
∴函数y＝f(x)在(a，b)上至多有一个零点．
[研一题]
[例 3] n≥2)． 3 1 1 1 1 求证： － ＜1＋ 2＋…＋ 2＜2－n(n∈N*且 2 n＋1 2 n
[精讲详析]
本题考查放缩法பைடு நூலகம்证明不等式中的应用，
解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不 能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放 大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．
∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)， 1 1 1 ∴ ＜ 2＜ ， k kk－1 kk＋1 1 1 1 1 1 即k－ ＜ 2＜ －k(k∈N*且 k≥2)． k＋1 k k－1 分别令 k＝2,3，…，n 得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＜ ＜1－ ， － ＜ 2＜ － ， 2 3 22 2 3 4 3 2 3 … 1 1 1 1 1 n－n＋1＜n2＜n－1－n，将这些不等式相加得
高中数学人教A版选修4-5 2-3 反证法与放缩法 教案 精品
2.3 反证法与放缩法教学目标：1、通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
2．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。
3．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。
教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。
掌握证明不等式的两种放缩技巧。
教学难点：会用反证法证明简单的命题。
体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。
教学过程:一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。
也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。
但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。
所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。
其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。
具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则q ”，而是先肯定命题的条件p ，并否定命题的结论q ，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。
二、典型例题：例1、设233=+b a ，求证.2≤+b a证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。
例2、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21. 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
人教版数学高二A版选修4-5练习 2.3反证法与放缩法
2.3 反证法与放缩法1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( ) ①结论相反的判断，即假设； ②原命题的条件； ③公理、定理、定义等； ④原结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③2．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”时，假设的内容是( ) A.3a ＝3b B.3a ＜3bC.3a ＝3b 且3a ＜3bD.3a ＝3b 或3a ＜3b3．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，设M ＝827－27a，N ＝(a ＋c )·(a ＋b )，则( )A ．M ≥NB ．M ≤NC ．M >ND.M <N5．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于26．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________. 7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．8．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M 与1的大小关系为________．9．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c，求c 的最大值．10．已知n ∈N ＋，求证：(1)2n n <1×2＋2×3＋…＋n n ＋1<n ＋122.参考答案1．【解析】 由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．【答案】 C2.【解析】 应假设3a ≤3b ， 即3a ＝3b 或3a ＜3b . 【答案】 D3.【解析】 对于①，若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故①对；对于②，当a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．【答案】 C4.【解析】 依题意易知1－a,1－b,1－c ∈R ＋≤13[(1－a )＋(1－b )＋(1－c )]＝23，∴(1－a )(1－b )(1－c )≤827，从而有827(1)a -≥(1－b )(1－c )，即M ≥N ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．故选A.【答案】 A5.【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立，∴a ，b ，c 三者中至少有一个不小于2. 【答案】 C 6. 【解析】 略【答案】 a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 7.【解析】 ∵lg 9＞0，lg 11＞0，∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1，∴lg 9·lg 11＜1. 【答案】 lg 9·lg 11＜18.【解析】 ∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＜＝1.【答案】 M ＜19.【解】 2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，即2a ＋b ≥4时取“＝”， 由2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c ，得2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，∴2c ＝2a＋b2a ＋b －1＝1＋12a ＋b －1≤1＋14－1＝43，故c ≤log 243＝2－log 23.10.【证明】 k <(1)k k +<(1)2k k ++＝12(2k ＋1)(k ＝1,2，…，n )．若记S n ＝1×2＋2×3＋… S n >1＋2＋…＋n ＝(1)2n n ++，S n <12(3＋5＋…＋2n ＋1)＝12(n 2＋2n )<2(1)2n +.。
高中数学人教A版选修4-5课件：2-3反证法与放缩法
否定 一个也 有两个或两 没有或有两 不 不都 是 有 假设 没有 个以上 个及以上 全 是
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典例透析
1
2
对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时 在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾, 尤其在一些选择题中,更是如此.
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>
2 ������+ ������+1
(������ ∈ R,k>1)
等.
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典例透析
题型一
题型二
题型三
题型一 利用反证法证明不等式
【例1】 若a3+b3=2,求证:a+b≤2. 分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简洁,宜用反证法. 证法一：假设a+b>2,则a>2-b,故2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,这不可能,从而a+b≤2. 证法二：假设a+b>2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6. 故ab(a+b)>2. ∵a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0. 这不可能,故a+b≤2.
=
n n
=
答案： A≥ ������
人教A版高中数学高二选修4-5课件 2.3 反证法与放缩法
本课小结
— 反证法与放缩法的定义
反证法与放缩法—— —来自反证法的一般步骤 证明不等式
— 放缩的技巧
随堂检测
1．实数 a，b，c 不全为 0 的等价条件为( )
A．a，b，c 均不为 0
B．a，b，c 中至多有一个为 0
C．a，b，c 中至少有一个为 0
D．a，b，c 中至少有一个不为 0
【解析】 实数 a，b，c 不全为 0 的含义即 a，b，c 中至少有一个不为 0，
典例精析
题型三、利用反证法证明不等式
例 3 已知△ ABC 的三边长 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°. 【精彩点拨】 本题中的条件是三边间的关系2b＝1a＋1c，而要证明的是∠B 与 90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．
典例精析
【自主解答】 ∵a，b，c 的倒数成等差数列，∴2b＝1a＋1c.假设∠B＜90°不成立， 即∠B≥90°，则∠B 是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边， ∴b＞a＞0，b＞c＞0，∴b1＜a1，b1＜1c，∴2b＜1a＋1c， 这与2b＝1a＋1c相矛盾．∴假设不成立，故∠B＜90°成立．
练一练
2．求证：1＋212＋312＋…＋n12＜2－1n(n≥2，n∈N＋)． 【证明】 ∵k2＞k(k－1)，∴k12＜kk－1 1＝k－1 1－1k(k∈N＋，且 k≥2)． 分别令 k＝2,3，…，n 得212＜11·2＝1－12，312＜21·3＝12－13，…，n12＜nn1－1＝n－1 1－n1. 因此 1＋212＋312＋…＋n12＜1＋1－21＋12－13＋…＋n－1 1－1n＝1＋1－1n＝2－1n. 故不等式 1＋212＋312＋…＋n12＜2－1n(n≥2，n∈N＋)．
高中数学新人教A版选修4-5 反证法与放缩法
又∵ a1－b≤a＋21－b， b1－c≤b＋21－c， c1－d≤c＋12－d， d1－a≤d＋21－a，
∴a＋21－b>12，b＋21－c>12， c＋12－d>12，d＋12－a>12. 将上面各式相加得 2>2，矛盾． ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都 大于 1.
同理可得 y2＋yz＋z2≥y＋2z， z2＋zx＋x2≥z＋x2，
由于 x，y，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到
等号，所以三式相加得：
x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2>x＋2y＋y＋2z ＋z＋x2＝32(x＋y＋z)．
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及 已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩， 任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．
“应用创新演练”见“课时跟踪检测（八）” (单击进入电子文档)
利用放缩法证明不等式
[例 2] 已知实数 x，y，z 不全为零．求证： x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2>32(x＋y＋z)． [思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再
用放缩法证明．
[证明]
x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋34y2
≥
x＋2y2＝x＋2y≥x＋2y.
＝aa＋＋bb＋＋21＝32，
所以原不等式得证．
5．已知 n∈N＋，求证： 1×3＋ 3×5＋…＋ 2n－12n＋1 <n＋122. 证明：因为 1×3<1＋2 3＝42， 3×5<3＋2 5＝82，…， 2n－12n＋1<2n－1＋2 2n＋1＝42n， 所以 1×3＋ 3×5＋…＋ 2n－12n＋1<4＋8＋2…＋4n＝ n2＋n，又因为 n2＋n<n＋122，所以原不等式得证．
人教新课标版数学高二A版选修4-5素材 2.3反证法与放缩法
高中数学-打印版三反证法与放缩法一览众山小诱学·导入材料：从前有个国王总认为自己是个“至高无上的权威”，又是个“大慈大悲”的救世主.在处决犯人前，总要叫犯人抽签决定自己的命运，即在两张小纸片上，一张写“活”字，一张写“死”字，抽到“活”字可幸免一死.一个囚犯一天将要被处决，他的死对头买通了狱吏，把两张纸片都写上了“死”字让他去抽，心想，这下犯人必死无疑.谁知那个狱吏把此消息透露给了犯人.国王宣布抽签开始后，那犯人胸有成竹、不慌不忙地抽出一纸片，看也不看便放进嘴里，就吞下肚子，使在场的人慌了手脚，而犯人只受了痛打一顿的处罚而死里逃生了.问题：上述材料中犯人机智地保全了性命，试问你能说清理由吗？导入：因为谁都搞不清犯人抽到的是“死”还是“活”，此时，国王查看剩下的纸片上写的是“死”字，由此反证，可知被犯人吞下的是“活”字了.于是国王下令，将犯人痛打一顿，以责罚他不该擅自吞吃纸片，随后又不得不将犯人释放了.上述材料中犯人机智地运用反证法保全了性命，真可谓棋高一筹.这就是反证法思想在生活中的应用，下面就研究反证法以及放缩法在不等式证明中的应用.温故·知新1何谓矛盾呢？答：在逻辑中指两个概念互相排斥或两个判断不能同时为真也不能同时为假的关系.2.生活中的归谬证法是什么意思呢？答：归谬证法是指：当我们发现对方意见谬误时，不予驳斥和争辩，而是顺着他的思路，把谬误推导出来.对方的意见原来可能只考虑到一方面的效果，而忽略了另一方面的影响以及可能产生的负作用，所以归谬论证就有意朝这些方面推导.这种推导有时可以适当地夸大，使谬误更加明显，这就等于给对方戴上望远镜与显微镜.在整个推导过程中，自己始终表现得十分真诚，而且越真诚效果越好.对方感到你如此真诚地按照他的意见进行设想，而结果又是如此荒谬，往往会禁不住哑然失笑.这笑是笑他本人的愚笨，于是你的目的也达到了，这就是古人所采用的归谬论证法的效果.精心校对。
数学·选修4-5(人教A版)课件：第二讲2.3反证法与放缩法
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10
解析：由反证法和放缩法易知(1)，(2)，(4)错误． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
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11
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪
些作为条件使用( )
①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③
公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②
B．①②④
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6
温馨提示 (1)一定不要把“假设”写成“设”；(2) 必须从否定的结论出发进行推理，即把否定的结论作为推 理的条件，否则就不是反证法．
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7
2．放缩法
把要证的不等式一边适当地放大(或缩小)，使之得出 明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性， 从而使不等式得到证明的方法．
3
1．反证法
[知识提炼·梳理]
(1)反证法的定义． 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已 知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的 推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显 成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证 明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．
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18
则 1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd， 这与已知的 ac＋bd＞1 矛盾， 所以假设不成立， 所以 a，b，c，d 中至少有一个是负数．
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19
归纳升华 1．当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存 在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比 较具体． 2．用反证法证明不等式时，若原命题结论的否定不 止一个，就必须将结论的所有否定逐一驳倒．
高中数学人教A版选修4-5 2-3 反证法与放缩法 导学案
2.3 反证法与放缩法学习目标： 1. 理解并掌握反证法与放缩法;2. 会利用反证法与放缩法证明不等式知识情景：1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：☻新知建构：1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知例1已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .例2、若a 3＋b 3＝2，求证：a ＋b ≤2.2. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m bb m+<+” ④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +； ⑧利用常用结论：如：2=>=()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈>⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯例3 当 n > 2 时，求证：(1)log (1)log n n n n +-<例4求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n达标训练：1.设x.y 为正数，且1=+y x ，用反证法证明9)11)(1122≥--yx （2.已知0<x<1,a>0,a ≠1,试比较)1(log )1(log x x a a +-与的大小，并说明理由3.已知m>0,求证342≥+mm4、若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a。
2018-2019高二数学人教A版选修4-5课件：2.3反证法与放缩法
第一，直接放缩； 第二，裂项放缩(有时添加项)； 第三，利用函数的有界性、单调性放缩； 第四，利用基本不等式放缩．
例 如：
1 1 1 1 1 1 1 1 < ＝ － ， > ＝ － ； n2 nn－1 n－1 n n2 nn＋1 n n＋1
2 1 > ＝2( n＋1－ n)， n n＋ n＋1 2 1 < ＝2( n－ n－1)． n n＋ n－1 以上 n∈N，且 n>1.
2．放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩 小，简化不等式，从而达到 ________ ，我们把这种方法称为 ________.
答 1.相矛盾的结论 假设不正确 反证法 案 2.证明的目的 放缩法
探究 1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？
提示：用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论， 对于结论的反面出现的多 种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是 不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理， 且必须根 据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结 论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的， 有的与 已知条件相矛盾， 有的与假设相矛盾， 有的与定理、 公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导 出的矛盾必须是明显的．
探究 2． 运用放缩法证明不等式的关键是什么？
提示： 运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小) 要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们 把分母放大时相应分式的值就会缩小； 反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放 大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不 等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判 断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技 巧，也是放缩法中的主要形式．
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课后训练
1．设|a |＜1，则P ＝|a ＋b |－|a －b |与2的大小关系是( )．
A ．P ＞2
B ．P ＜2
C ．P ＝2
D ．不确定
2．设x ＞0，y ＞0，1x y A x y ＋＝＋＋，11x y B x y
＝＋＋＋，则A 与B 的大小关系为( )． A ．A ≥B B ．A ≤B
C ．A ＞B
D ．A ＜B
3．lg 9lg 11与1的大小关系是________．
4．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12
.那么它的假设应该是__________．
5．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件．
6．1
A n
＝＋与n ∈N ＋)的大小关系是________． 7．若|a |＜1，|b |＜1，求证：|
|<11a b ab ＋＋． 8．求证：11111<3112123123n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋(n ∈N ＋)．
已知()1
x f x x ＝＋(x ≠－1)． (1)求f (x )的单调区间；
(2)若a ＞b ＞0，c ＝f (a )＋f (c )＞45.
参考答案
1. 答案：B
解析：P ＝|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )－(b －a )|＝2|a |＜2.
2. 答案：D
解析：<1111x y x y A B x y x y x y
＝＋＋＝＋＋＋＋＋＋. 3. 答案：lg 9lg 11＜1
lg9lg11lg99lg100
<1
222
＋
＝＝，
∴lg 9lg 11＜1．
4.答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥
1
2
5.答案：充要
解析：必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立．
6.
答案：A≥
解析：A
n
＋
n
n n n n
≥
共
＋＋＋＝
项
.
7.证明：假设||1
1
a b
ab
≥
＋
＋
，则|a＋b|≥|1＋ab|，
∴a2＋b2＋2ab≥1＋2ab＋a2b2，
∴a2＋b2－a2b2－1≥0，
∴a2－1－b2(a2－1)≥0，
∴(a2－1)(1－b2)≥0，
∴
2
2
10
10
a
b
⎧≥
⎨
≥
⎩
－，
－，
或
2
2
10
10
a
b
⎧≤
⎨
≤
⎩
，
－
－，
∴
2
2
1
1
a
b
⎧≥
⎨
≤
⎩
，
，
或
2
2
1
1
a
b
⎧≤
⎨
≥
⎩
，
与已知矛盾．∴||<1
1
a b
ab
＋
＋
．
8.证明：由
1
111
<
12312222k
k
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯－
＝(k是大于2的自然数)，得
1111
1
112123123n
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
＋＋＋＋＋
231
1111
<111
2222n－
＋＋＋＋＋＋＝＋
1
1
11
23<3
12
1
2
n
n－
－
＝－
－
.
∴原不等式成立．
9. (1)解：
1
()1
11
x
f x
x x
＝＝－
＋＋
，
所以f(x)在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上分别为增函数．
(2)证明：首先证明对于任意的x＞y＞0，有f(x＋y)＜f(x)＋f(y)．f(x)＋f(y)＝
11
x y
x y
＋
＋＋
>11
xy xy x y xy x y xy x y xy x y ＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋ ＝f (xy ＋x ＋y )．而xy ＋x ＋y ＞x ＋y ， 由(1)，知f (xy ＋x ＋y )＞f (x ＋y )， 所以f (x )＋f (y )＞f (x ＋y )．
因为c ≥＝4>0a
＝＝，
所以4
4a c a a ≥≥＋＋， 当且仅当a ＝2时，等号成立． 所以f (a )＋f (c )＞f (a ＋c )≥f (4)＝44415＝＋， 即f (a )＋f (c )＞
45
.。