反证法在数学中的应用
反证法的应用
反证法的应用反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是成立的。
反证法的应用非常广泛，下面将从数学、哲学和科学等多个方面来介绍反证法的应用。
一、数学中的反证法在数学中，反证法是一种常用的证明方法。
例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。
例如，要证明“根号2是无理数”，可以采用反证法，假设根号2是有理数，即可以表示为a/b（a、b为整数，且a、b互质），然后推导出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。
二、哲学中的反证法在哲学中，反证法也是一种常用的思维方法。
例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。
例如，要证明“人类存在自由意志”，可以采用反证法，假设人类不存在自由意志，然后推导出矛盾的结论，从而证明人类存在自由意志。
三、科学中的反证法在科学中，反证法也是一种常用的思维方法。
例如，我们要证明一个假设H成立，可以采用反证法，假设H不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明H是成立的。
例如，要证明“地球是圆的”，可以采用反证法，假设地球是扁的，然后推导出矛盾的结论，从而证明地球是圆的。
四、反证法的优缺点反证法的优点是证明过程简单明了，容易理解，而且可以避免一些复杂的证明过程。
反证法的缺点是有时候会产生一些虚假的结论，因为反证法只能证明命题的真假，而不能证明命题的正确性。
因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
综上所述，反证法是一种常用的证明方法，它在数学、哲学和科学等多个领域都有广泛的应用。
反证法的优点是证明过程简单明了，缺点是有时候会产生虚假的结论。
因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
反证法在数学解题中的应用
反证法在数学解题中的应用我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维克服思维定势的消极面，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。
一、反证法的逻辑基础证明命题“A B”时如果用这种方法：假设A∧B为真，在A且B的条件下，合乎逻辑地推出一个矛盾的结果(不论是与A矛盾还是与其他已知正确的结论矛盾或自相矛盾)，从而B成立(即A B成立)，这种方法就是反证法。
二、反证法的解题步骤第一步审题，弄清命题的前提和结论；第二步否定原命题，由假设条件及原命题构成推理的基础；第三步由假设出发，根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾；第四步肯定原命题的正确性。
三、什么情况下考虑应用反证法1待证命题的结论是唯一存在性命题例1设方程x=p sin x+a有实根(0＜p＜1，a是实数)，求证实根唯一。
证明：假设方程存在两个不同实根x1，x2，则有x1=p sin x1+a，x2=p sin x2+ax1－x2=p sin x1－sin x2=2p cos x1+x22sin x1－x22由于cos x1+x22│≤1，从而有│x1－x2│≤2p│sin x1－x22│又sin x1－x22≤x1－x22，故x1－x2≤p x1－x2，但x1≠x2，于是p≥1，与0＜p＜1矛盾。
所以方程若有实根，则根唯一。
2采取直接证法，无适宜的定理作为根据，甚至无法证明。
例2已知A、B、C、D是空间的四点，ABGN CD是导向直线，求证AC和BD、AD和BC也都是异面直线。
分析：证AC和BD是异面直线，即证明AC和BD不在同一平面内，考虑反证法。
证明：假定AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内，因此A、B、C、D不是异面直线，这与已知条件矛盾。
所以AC和BD是异面直线。
3待证命理的结论是以“至少存在”的形式出现的，“至少存在”的反面是“必定不存在”，所以只要证明“必定不存在”不成立即可。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学解题中常用的一种证明方法，它通过对反命题进行证明，从而推出原命题的真实性。
在初中数学中，反证法的应用十分广泛，尤其在数学证明和解题过程中起到了重要作用。
本文将通过分析初中数学中常见的反证法运用案例，探讨反证法在数学解题中的运用及其意义。
1.证明题中的应用在初中数学中，证明题是数学学习中的一个重要内容。
而反证法在证明题中常常发挥重要作用。
证明某个命题成立时，我们可以采用反证法，假设命题不成立，然后进行推导证明出现矛盾，从而得出原命题的成立。
2. 数学问题的解答中的应用在初中数学解题中，反证法也常常用于解决一些复杂的数学问题。
有一个常见的数列问题：已知数列的通项公式为an=n^2+n+41，要证明对于任意的整数n,an不可能是素数。
采用反证法，假设存在一个整数n，使得an是素数，然后进行推导得出矛盾，从而证明了原命题的成立。
这个案例展示了反证法在解决数学问题中的应用。
二、反证法在初中数学解题中的意义1. 提高解题的逻辑性反证法在初中数学解题中的应用，可以提高解题的逻辑性，让解题过程更加清晰和严密。
在解题过程中，采用反证法可以让学生对问题进行更全面的思考，不仅能够得出结论，还能够通过推导和反驳的过程加深对问题的理解。
2. 培养学生的思维能力反证法的应用可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
通过运用反证法，学生需要进行思考、推导和分析，从而加深对问题的理解和抽象能力。
这对学生的思维发展和逻辑能力的培养有着重要的意义。
反证法的应用可以提高学生解题的灵活性。
在解题过程中，遇到一些较为复杂的问题，可以尝试采用反证法来解决。
这种方法能够拓宽解题思路，增加解题的方式和途径，提高解题的灵活性。
三、结语反证法在初中数学解题中的运用极为广泛，它在证明题、数学问题解答及几何问题的解答中发挥着重要作用。
采用反证法不仅可以提高解题的逻辑性和灵活性，还能够培养学生的思维能力。
在教学实践中，应该重视反证法的教学和运用，让学生在解题过程中更加注重推理、严密、逻辑，从而提高数学学习的效果。
反证法在数学中的应用
反证法在数学中的应用〔关键词〕反证法；命题；结论；含义；特点；逻辑依据在数学题目的求解过程中，直接证明一个命题感到困难，甚至无法证明时，可采用反证法.反证法是一种重要的数学证明方法，它在数学证明中有着不可替代的作用.学生在运用这一方法做题时，由于对该方法的实质理解不深刻，故而常常出错.这不仅严重影响了这一重要方法的有效使用，而且也妨碍了解题效率的提高.下面，本文就反证法的实质、特点、逻辑根据及适宜反证法证明的几种题型予以说明.一、反证法的含义及实质所谓反证法，就是从反面证明命题的正确性.即欲证命题“若p则q”，则从反面推导“若p┑q”不能成立，从而证明“若p则q”成立.它从否定结论出发，经过正确、严格的推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而检验产生矛盾的原因，推出原命题的结论是不容否定的正确结论.反证法的实质是通过矛盾的转化达到解决问题的目的.二、反证法的步骤和特点反证法是一种间接的证明方法，具体步骤如下（欲证命题为“若p则q”，逻辑表达式为p→q）：第一步：否定原命题的结论q（即设┑q），得到p∧q；第二步：在此条件下，通过正确的推理导出矛盾；第三步：由此矛盾断定：命题p→q为真.从反证法的证题方法可以看出，它的最大特点是：否定原命题的结论q，肯定原命题的条件p，据此导出矛盾.它属于矛盾证明的范畴.三、反证法的逻辑根据首先，反证法是通过证明原命题p→q的反命题┑（p→q），（p∧┑q）是对同一事物的两个相互对立或矛盾的判断.根据矛盾律，在同一思维过程中，对同一事物的两个相互矛盾或对立的判断中，至少有一个是真的（不能同假），因此，（p→q）与（p∧┑q）一定有一个是真的，一个是假的.而由反证法已经证明了p ∧┑q是假的（导出矛盾），所以原命题p→q一定是真的，即证明了原命题.另一方面，用反证法推出矛盾，实际上是构造并证明了另外一个新命题“（p ∧┑q）→（r∧┑r）”，即“原命题p→q的反命题p∧┑q是假的”.而（p∧┑q）→（r∧┑r）≡ ┑（p∧┑q）∨（r∧┑r）≡（┑p∨q）∨0≡┑p∨q≡p→q.所以，“反命题的矛盾性”与“原命题的正确性”是两个相互等价的命题.因此，反证法的逻辑根据是矛盾律和排中律，通过证明与原命题逻辑等价的命题“反命题的矛盾性”来间接证明原命题的正确性.四、宜用反证法证明的命题哪些命题宜用反证法证明？要具体地回答这个问题是不容易的，这需要不断的探索和总结.总的来说，不易用直接法去证明的命题可尝试运用反证法证明.在此，本人提出如下几类适宜用反证法证明的命题.1. 对于结论是否定形式的命题，宜用反证法例1：求证方程x2-1993x+1995=0无整数根.分析：若运用求根公式来解此题，运算量较大，故易使用反证法证明.证明：假设原方程有两个整数根α和β，由韦达定理得：α+β=1993,①α·β=1995.②由于α、β均为整数，由②知α、β必定都是奇数.而两个奇数之和是偶数，这与①矛盾.所以，α和β不可能为整数，即假设错误.故原命题获证.2．对于证明结论是“唯一”或“必然”的命题，宜用反证法例2：求证方程2x+x=6仅有唯一实根2.证明：假设方程2x+x=6有一个非2实根a，则将2a+a=6和22+2=6两式相减得：2a－22=2－a.因为a≠2，故a＞2或a＜2.当a＞2时，2a－22＞0与2－a＜0相矛盾；当a＜2时，2a－22＜0与2－a＞0也矛盾.所以，假设方程有一个非2实根是错误的.故原命题正确.例4：已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a、b∈R.（1）求证：若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b）；（2）求证：若f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b），则a+b≥0.证明：（1）因为a+b≥0，所以a≥－b，b≥－a .因为f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，所以f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b）.（2）假设a+b＜0，则a＜－b，b＜－a.因为f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，所以f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a）.所以f（a）+f（b）＜f（－a）+f（－b）.这与条件相矛盾，所以假设不成立.因此有a+b≥0成立.在本例中，由于前一命题是后一个命题的逆命题，且前一个命题是真命题，因此，在（2）中用反证法就容易推出矛盾.事实上，直接证（2）缺少推理条件，而反设增加了条件（即利用（1）的推理和结论）.以上总结了四种适合运用反证法证明的典型题型.事实上，适宜运用反证法证明的数学命题还有很多，但是，反证法不是万能的，不能证明所有的数学命题.在解题中，要想灵活地运用反证法还需要我们在以后的学习中进行不断的探索、总结.。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是初中数学学习中常用的一种思维方式，通常在证明某些命题时会用到。
它的作用在于，通过假设命题不成立，然后通过推理得到矛盾，从而证明了命题是成立的。
下面就来探讨一下反证法在初中数学解题中的应用。
1. 证明逆命题、反命题在数学中，证明逆命题、反命题通常采用反证法。
例如，证明“如果两条直线平行，则它们的斜率相等”的逆命题“如果两条直线的斜率不相等，则它们不是平行的”以及反命题“如果两条直线不平行，则它们的斜率不相等”时，可以采用反证法。
首先假设逆命题和反命题是成立的，即假设存在两条斜率不相等的直线是平行或存在两条不平行的直线的斜率相等，然后通过推理得到矛盾的结论，从而证明了原命题是成立的。
2. 证明等式在初中数学中，证明等式也常常采用反证法。
例如，证明“对于任意实数x，x²≥0”时，可以采用反证法。
假设存在一个实数x，使得x²<0，然后通过x²的定义将其化简为（-x）²>0，即(-x)×(-x)>0，那么根据负数的定义可知，(-x)×(-x)>0的条件是x≠0，即(-x)²>0的条件是x≠0。
但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设x²<0，而这意味着x²≥0不成立，由此证明了原命题是成立的。
3. 证明最大值或最小值假设存在实数a、b，使得a+b=8且ab>16，然后将ab表达式展开为a(8-a)，化简后得到8a-a²>16，移项可得a²-8a+16<0，即(a-4)²<0，这与平方差公式是矛盾的，因此我们假设的ab>16是不成立的，即xy的最大值是16。
反证法在数学中的应用
反证法在数学中的应用反证法是一种逻辑推理方法，常常在数学领域中被广泛运用。
它的基本思想是通过对一个假设的否定来得出结论，从而证明原假设是错误的。
这种方法在解决数学问题和证明定理时，常常能够发挥重要的作用。
本文将就反证法在数学中的应用进行论述，为读者展示它在数学研究中的重要性及实际应用。
反证法最早出现在古希腊数学中，被哥德尔、皮亚诺等数学家广泛运用，并且在近现代数学中也得到了广泛的应用。
它的基本思想是通过假设的否定来推导出逻辑上的矛盾，从而证明该假设是错误的。
反证法是数学证明中最常见的一种证明方法之一，它的实际应用范围非常广泛，可以用于证明数论、代数、几何、分析等各个领域的定理和公式。
下面我们将分别从不同的数学领域来探讨反证法的应用。
在数论中，反证法常常被用来证明诸如素数性质、同余方程等数论问题。
证明素数的无穷性，可以使用反证法来证明。
假设存在有限个素数，然后通过对这一假设的否定，证明得出矛盾，从而得出结论：素数是无穷的。
同样，证明勾股定理、费马大定理等数论问题中，也常常使用反证法。
反证法实际上为数论问题的定理证明提供了一种十分有效和有力的工具。
在代数领域中，反证法也被广泛应用于证明群论、环论、域论等代数结构中的性质和定理。
在群论中，证明群中任意元素的逆元素唯一性可以使用反证法来证明。
在证明定理时，通过对某个假设的否定，再通过逻辑推理得出结论，极大地简化了证明的过程，提高了证明的效率。
在几何领域中，反证法也经常被用来证明诸如平行线性质、三角形性质、平面几何性质等问题。
证明平行线性质中互逆关系的定理，可以利用反证法进行证明。
通过对假设的否定，再进行逻辑推理，得出矛盾，从而证明原假设是正确的。
在实分析中，反证法也有着重要的应用。
在实数的连续性方面，常常通过反证法来证明某些重要的定理。
证明实数具有阿基米德性质，证明柯西收敛准则等，都可以使用反证法来进行证明。
反证法的严谨性和有效性在实分析中得到了充分的展现。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种证明方法，它通过假设所要证明的结论不成立，然后推出与已知事实相矛盾的结论，从而得出所要证明的结论成立的结论。
在初中数学中，反证法被广泛应用。
它不仅能够帮助学生更加深刻地理解数学概念，还能够提高学生的思维能力和解决问题的能力。
首先，反证法在初中数学中常用于证明某些命题是假的。
比如，我们常常可以用反证法证明一些等式不成立。
例如，我们来看下面这个例子：已知 $a,b,c$ 为正整数，且 $a+b=c$，证明 $a^2+b^2$ 不能被 4 整除。
我们可以用反证法来证明这个命题。
假设 $a^2+b^2$ 能被 4 整除，那么 $a$ 和$b$ 一定都是偶数。
令 $a=2m$，$b=2n$，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，则：$a^2+b^2=4(m^2+n^2)$由于 $a+b=c$，因此：因此，$c$ 也是偶数。
但是，由于 $a,b,c$ 是正整数，因此 $c$ 不能为偶数。
因此，假设不成立，命题得证。
其次，反证法在初中数学中还常用于证明一些命题是正确的。
有时候，我们可以通过假设某些前提不成立，然后推出一个与已知事实不符的结论，从而证明原命题是正确的。
比如，我们来看下面这个例子：对于正整数 $n$，如果 $n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。
由于 $n^2$ 是奇数，因此 $4m^2$ 也是奇数。
但是，我们知道，偶数的平方一定是偶数，因此 $4m^2$ 一定是偶数，与已知事实相矛盾。
因此，可以得出结论：如果$n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。
浅谈“反证法”在高中数学的应用
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
浅谈反证法在数学中的应用
浅谈反证法在数学中的应用摘要反证法在数学中是一种极其重要的证明方法，被称为“数学家最精良的武器之一”。
它与一般证明方法不同，反证法可分为归谬反证法和穷举反证法两种。
只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单，易证，它在数学证题中确有独到之处。
本文主要介绍了反证法的基本概念、步骤、依据及分类。
对于反证法的应用需注意事项和解题步骤做一些论述。
关键词：反证法；归谬；矛盾；假设；结论AbstractContradiction in mathematics is an extremely important method of proof, known as "mathematician one of the most sophisticated weapons." It is different with the general method of proof, proof by contradiction can be classified into two kinds of absurd contradiction and exhaustive reductio ad absurdum. Simply grab the essentials, reductio ad absurdum can make a number of difficult problems becomes simple direct proof, easy to prove, it is proof in mathematics problem in that there are unique. This paper describes the concept of reductio ad absurdum, steps, basis and classifications.The reductio ad absurdum of the application notes and problem-solving steps required to do some exposition.Key word: Absurdity ,Contradiction ,Contradiction ,Supposition ,Conclusion目录1. 引言 (2)2．反证法的定义及步骤 (3)2.1反证法的定义 (3)2.2 反证法的步骤 (3)2.3反证法的逻辑依据及分类 (4)2.3.1反证法的逻辑依据 (4)2.3.2反证法的分类 (4)2.4反证法如何正确的作出反设 (5)2.5反证法如何正确的导出矛盾 (7)2.6在数学中适于应用反证法证明的命题 (7)2.6.1基本命题 (7)2.6.⒉否定式命题 (8)2.6.⒊限定式命题 (9)2.6.⒋唯一性命题 (9)3、运用反证法应注意的问题 (10)4．结束语 (11)参考文献 (12)致谢 (12)1、引言有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却挂满了李子，所以说李子一定是苦的。
反证法在数学解题中的应用
反证法在数学解题中的应用
反证法是一种有效的数学证明方法，通常用于证明一个命题的否定。
其基本思想是通过假设命题不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
以下是反证法在数学解题中的一些应用：
1.证明一个命题的否定。
反证法常用于证明一个命题的否定，即假设原命题不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
例如，在证明“一个三角形中至少有一个角大于等于90度”这个命题时，可以通过反设每个角都小于90度，然后推导出矛盾来证明原命题。
2.唯一性证明。
反证法也可以用于证明某个命题的唯一性，即假设存在多个满足条件的对象，然后推导出矛盾，从而证明原命题的唯一性。
例如，在证明“一个多项式方程只有一组解”这个命题时，可以通过假设存在多组解，然后推导出矛盾来证明原命题。
3.反例构造。
在数学中，有些命题需要通过构造反例来证明其不成立。
反证法可以用于构造反例，即假设原命题成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题不成立。
例如，在证明“对于任意正整数n，都存在一个正整数m，使得m^2=n^2+1”这个命题时，可以通过反设不存在这样的m，然后推导出矛盾来证明原命题不成立。
需要注意的是，反证法不是万能的，它不适用于所有的数学问题。
在使用反证法时，需要注意逻辑的严谨性和细节的准确性。
数学反证法的例子及其应用(假设和推理在数学中的重要性)
数学反证法的例子及其应用（假设和推理在数学中的重要性）1. 反证法的定义及基本原理2. 反证法在数学证明中的应用3. 反证法的例子证明根号2是无理数4. 反证法的例子证明存在无限多个质数5. 假设和推理在数学中的重要性反证法的定义及基本原理反证法是一种证明方法，通过假设待证命题不为真，然后推导出矛盾，来证明待证命题为真。
归谬法的基本原理是排中律，即一个命题要么成立，要么不成立。
反证法在数学证明中的应用反证法在数学证明中很常见，可以用来证明很多重要的定理和命题。
在使用归谬法时，我们通常假设待证命题不成立，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明待证命题成立。
反证法的例子证明根号2是无理数假设根号2是有理数，那么可以表示为分数 p/q，其中 p 和q 是互质的整数。
那么可以得到根号2 = p/q2 = p^2/q^2p^2 = 2q^2因此，p^2 是偶数，那么 p 也是偶数。
可以令 p = 2k，其中k 是整数。
那么可以得到(2k)^2 = 2q^24k^2 = 2q^22k^2 = q^2因此，q^2 是偶数，那么 q 也是偶数。
这与初的假设矛盾，因为 p 和 q 是互质的整数，所以根号2不可能是有理数，它是无理数。
反证法的例子证明存在无限多个质数。
那么可以得到由于 N 不是质数，那么可以分解为两个整数的乘积N = a × b中的质数。
不妨设 a 不是质数，那么可以分解为两个整数的乘积a = c × d那么可以得到N = (c × d) × b中任何一个质数的数，那么可以得到任何一个质数，那么它一定是一个新的质数。
这与最初的假设相矛盾，所以有无穷多个素数。
假设和推理在数学中的重要性在数学中，假设和推理非常重要。
它们是证明定理和命题的基础。
通过假设待证命题成立，然后推导出一系列结论，最终得到待证结论。
在这个过程中，我们需要运用各种推理方法，如归纳法、反证法、直接证明法等。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种证明方法，运用反证法可以达到“证明之外还证明”的效果，也就是通过证明不成立的情况来证明规律的正确性。
在初中数学中，反证法可以有效地应用于解题，以下是几个例子：1、证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p,q互质。
则根号2=p/q，两边平方得到2=p*p/q*q，化简可得到p*p=2*q*q，由于2是质数，而p*p是偶数，就可以推出p也是偶数。
那么p=2k，代入原式可得到2=q*k，则q也是偶数。
这与p,q互质矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。
2、证明平方根小数是无限不循环小数。
假设平方根的小数部分有限、循环。
设其小数部分为a.b(c)。
则有a.b(c)=x/10^t+y/(10^(t+1))+z/(10^(t+2))+…，即表示成有限的分数形式。
那么可以将该分数转换为最简分数a’/b’，然后平方可得到(a’)^2/(b’)^2=2+2y/(10^t)+(y/(10^t))^2+(2z/(10^(t+1))+(z/(10^(t+1)))^2+……3、证明勾股数不存在除1以外的公因数。
假设勾股数存在除1以外的公因数d，则可以表示a=dm，b=dn。
那么c^2=a^2+b^2=d^2(m^2+n^2)，即c也能被d整除，此时c/d也是一个整数，且满足c/d是勾股数a/d，b/d的最大公因数。
这与a/d，b/d互质矛盾，因此假设不成立，勾股数不存在除1以外的公因数。
以上几个例子展示了反证法在初中数学解题中的应用，可以看到反证法是一种极为重要的证明方法。
在解题过程中，可以运用一些技巧，如化简、分解因式、求幂、辗转相除等，帮助分析矛盾的来源，找到反证的破绽，从而得出正确的结论。
反证法在中学数学中的应用
反证法在中学数学中的应用
反证法应用于中学数学
反证法在中学数学中的应用是一种有效的严格推理方式，可以让
学生们更加获得理解和掌握数学概念，这种方法在数学竞赛和有
关数学问题分析中发挥着非常重要的作用。
反证法主要是建立反
证论述，使用否定性的定理或者假设来证明一个结论是正确的，
把假设与结论的关系倒转，将其转化为否定的证明作用。
反证法在中学数学中的应用包括几何学、推理学、统计学等多个
领域。
几何学中，反证法可以用来证明点、直线、圆等平面几何
图形之间关系的正确性。
例如，可以证明两个圆之间有交点时，
只有一组交点，实质上就是假定有两组交点，然后从而得出初始
假设结果是不正确的结论，也就是正确结论。
推理学中反证法通常用来证明一个公式是否正确，例如对一个函
数求导，可以假定函数的导数不正确，再利用其它的定理及定义，得出假定的函数的导数结果是不正确的，因此假定函数的导数是
正确的。
反证法在统计学中也有广泛的应用，它可以用来证明一些经典概
率论结论，例如中心极限定理、大数定律等，也可以用反证法来
证明一些逻辑性结论，如当某一概率不足以使某个结论成立时，
有时会证明该概率大于某个值，即使用反证法证明一个概率值不
应小于特定的界限。
另外，在应用反证法时，学生们需要反复的推导，思考探究新的
思路，学习思维模式的建立及变换，从而使得学生能够更加深入
的掌握数学知识、丰富数学思想，培养学生的分析解决问题能力。
总而言之，反证法在中学数学中十分有效，可以帮助学生学习一
种更严谨的数学思维方式，理解分析数学概念，培养学生的数学
解题能力。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨【摘要】本文探讨了反证法在初中数学解题中的应用。
首先介绍了利用反证法证明等式的独特性，通过假设等式错误来推导出矛盾，从而证明等式成立。
其次讨论了利用反证法证明几何命题的正确性，通过假设命题错误来推导出矛盾，从而证明命题正确。
然后探讨了利用反证法解决逻辑推理题和方程组的解存在性问题，通过假设反面来得出结论。
最后讨论了利用反证法证明不等式的性质，通过假设不成立来推导出矛盾，从而证明不等式成立。
结论指出反证法在初中数学解题中的重要性，是培养学生逻辑思维能力的重要方式。
初中学生应该熟练掌握反证法的运用，以提升数学解题的能力和思维水平。
【关键词】反证法、初中数学、应用探讨、等式、几何命题、逻辑推理题、方程组、解存在性、不等式、重要性、逻辑思维能力1. 引言1.1 反证法在初中数学解题中的应用探讨引言：反证法是数学证明中常用的一种方法，通过反证法可以证明一个命题的否定是不成立的，从而进而证明这个命题是成立的。
在初中数学中，反证法也有着广泛的应用，可以帮助学生解决各种复杂的数学问题。
本文将探讨反证法在初中数学解题中的应用，包括利用反证法证明等式的独特性、利用反证法证明几何命题的正确性、利用反证法解决逻辑推理题、利用反证法解决方程组的解存在性问题以及利用反证法证明不等式的性质。
通过这些例子，我们可以更好地理解反证法在数学解题中的重要性，同时也可以培养学生的逻辑思维能力，帮助他们更好地理解和运用数学知识。
反证法不仅是一种证明方法，更是一种思维方式，能够帮助学生提高解题能力，培养批判性思维，从而更好地应对数学学习中遇到的各种问题。
2. 正文2.1 利用反证法证明等式的独特性利用反证法证明等式的独特性是初中数学中常见的解题方法之一。
在数学中，我们经常要证明一些等式的成立性，而有时候直接利用已知条件来进行证明并不是很方便，这时候反证法就派上了用场。
反证法的基本思想是假设要证明的结论为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原结论的真实性。
浅谈反证法及应用
浅谈反证法及应用反证法是一种推理方法，通过否定假设，推导出矛盾或不合理的结论，从而证明原假设的反面是正确的。
它是数学和逻辑思维中常用的一种证明方法，也被广泛应用于其他科学领域和哲学问题的探讨中。
反证法的核心思想是采用对立的观点，以推翻原来的论断。
通常来说，要使用反证法证明一个命题的正确性，首先需要假设这个命题是错误的，也即是假设它的反命题是正确的，然后推导出逻辑上的矛盾或不合理结论，从而得出原来命题的正确性。
反证法的应用领域非常广泛，以下是几个典型的应用实例：1. 数学证明：反证法在数学证明中是一种非常常用的推理方法。
比如证明无理数的存在，我们可以先假设不存在无理数，然后通过推导出矛盾的结论，从而证明无理数的存在性。
2. 几何证明：反证法也被广泛应用于几何证明中。
比如证明平面上不存在一个面积无限大的正方形，我们可以假设存在一个面积无限大的正方形，然后通过推导出矛盾的结论，从而证明这个命题不正确。
3. 物理学问题：反证法也可以应用于物理学问题的推理过程中。
比如在牛顿力学中，可以通过反证法证明一个力学定律的正确性。
假设一个力学定律不成立，然后推导出与实验观测不符的结论，从而验证该定律的正确性。
4. 哲学问题：反证法也常用于哲学问题的探讨中。
比如在逻辑学中，可以通过反证法证明某个命题的有效性和合理性。
假设这个命题不正确，然后通过推导出矛盾的结论，从而验证该命题的正确性。
反证法的优点在于它直观简单，推理过程一目了然。
通过假设反面，再推导出矛盾结果，可以解决一些复杂的问题。
同时，反证法也鼓励人们去质疑和检验事物的真相，培养了批判性思维和分析问题的能力。
然而，反证法也存在一些缺点和限制。
首先，要使用反证法，需要具备推理能力和逻辑思维能力。
其次，反证法只能解决一部分特定类型的问题，对于某些问题可能并不适用。
另外，反证法并不能提供具体的解决方法，仅仅用来证明某个命题的正确性，缺乏实际操作的指导作用。
总的来说，反证法作为一种重要的推理方法，在数学、逻辑学、哲学和其他科学领域都具有广泛的应用。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学解题中经常使用的一种推理方法，它可以帮助我们证明一个命题是错误的。
在初中数学中，我们经常会在解题过程中运用反证法来断定一个命题的正确性，或者找到一个反例来否定一个命题。
一、反证法的基本思想反证法是一种证明方法，通过反证法可以推断出某些事物的非真实性或者不存在性。
其基本思想是反设所证命题的否定命题，然后通过证明所得到的结果与已知事实矛盾，从而得出所证的命题是成立的结论。
二、反证法在初中数学解题中的典型案例1. 一元二次方程无解性证明在初中数学中，我们学习了一元二次方程的求解方法，通常的形式是ax^2 + bx + c = 0。
如果我们想证明一个一元二次方程无实数解，就可以运用反证法。
我们可以按照以下的步骤进行证明：反设方程ax^2 + bx + c = 0有实数解，即方程存在实数根。
那么我们可以求出方程的判别式Δ=b^2-4ac，如果Δ<0，则方程无实数解。
2. 整数平方根不是整数的证明在初中数学中，我们学习了整数的性质，其中有一条是“如果一个整数不是平方数，那么它的平方根不是整数”。
我们可以通过反证法来证明这个命题：反设一个整数的平方根是整数，即√n是整数。
那么我们可以得到n=√n^2是一个平方数。
但是根据正整数的性质，如果n不是平方数，那么n的平方根不是整数。
从而得出矛盾，证明了原命题是正确的。
1. 提高逻辑思维能力通过运用反证法解题，可以帮助学生培养逻辑思维能力。
学生需要反设一个命题的否定命题，并通过逻辑推理来得出结论，这种训练能够提高学生的逻辑推理能力和思维能力。
2. 帮助理解抽象概念在初中数学中，有许多抽象概念需要学生进行理解和运用，如实数的性质、多项式的因式分解、几何图形的性质等。
通过反证法来解题，可以帮助学生更好地理解和应用这些抽象概念，提高他们的数学水平。
3. 培养问题解决能力反证法在数学解题中的运用，需要学生灵活运用所学知识来解决问题。
反证法在中学数学中的应用及教学研究
反证法在中学数学中的应用及教学研究
反证法是求证数学问题中常见的一种间接证明方法，广泛应用于中学数学各知识分支中。
以下是反证法在中学数学中的应用及教学研究：
应用：
1. 反证法在中学数学中主要用于证明某些命题或不等式。
例如，在证明三角形中的一些性质时，常常采用反证法。
2. 在几何学中，反证法也被广泛应用于证明一些关于图形的基本性质。
例如，在证明勾股定理时，常常采用反证法。
3. 在代数中，反证法也被用于证明一些不等式或等式。
例如，在证明一些代数恒等式时，常常采用反证法。
教学研究：
1. 反证法的应用：在中学数学教学中，教师需要引导学生理解反证法的原理和应用。
教师可以通过实例和练习题来帮助学生理解反证法的应用。
2. 反证法的思维方式：反证法是一种间接的证明方法，需要先假设相反的结论，然后推导出矛盾，从而否定假设并证明原命题。
这种思维方式需要教师在教学过程中引导学生逐步掌握。
3. 反证法的技巧：在应用反证法时，需要一些技巧，例如如何假设相反的结论、如何推导出矛盾等。
教师需要在教学过程中引导学生掌握这些技巧。
4. 反证法的意义：反证法是一种重要的数学证明方法，它能够帮助学生训练逻辑思维和创造性思维，提高分析和解决问题的能力。
因此，教师在教学过程中需要强调反证法的意义和作用。
总之，反证法在中学数学中具有广泛的应用和教学研究价值。
通过掌握反证法的原理、技巧和思维方式，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高数学素养和能力。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是一种常见的证明方法，它的核心思想是通过假设反面来得出正面结论。
在初中数学中，反证法也是常用的解题方法。
在本文中，我们将探讨反证法在初中数学解题中的应用。
一、什么是反证法反证法是一种常见的证明方法。
它的核心思想是：在证明某个命题时，我们先假设它的反面成立，再通过逻辑推理得到矛盾结论，从而说明这个假设是错误的，因此原命题成立。
例如，在证明“对于任意整数n，如果n²是偶数，则n是偶数”时，可以采用反证法。
我们假设n是奇数，即n=2m+1，其中m是整数。
那么，n²就是(2m+1)²=4m²+4m+1，显然是奇数，而不是偶数。
这与原假设矛盾，所以我们得到结论：对于任意整数n，如果n²是偶数，则n是偶数。
在初中数学中，反证法广泛应用于各个领域，例如代数、几何、概率等。
下面我们将以一些例子来说明。
在代数中，反证法通常用于证明一个方程没有实数根。
例如，我们考虑如何证明方程x² + 1 = 0 没有实数解。
我们可以采用反证法，假设有一个实数x满足x²+1=0，那么x²=-1，这个方程没有实数解，因此假设成立的前提是错误的，所以原方程没有实数根。
2. 反证法在几何中的应用在几何中，反证法通常用于证明某个结论是错的或者某条性质是不成立的。
例如，在平面几何中，我们想要证明“一个正方形的对角线互相垂直”。
我们可以采用反证法，假设正方形的对角线不互相垂直。
在图中，我们可以找到一个三角形ABC,因此∠ABD +∠AED + ∠BDE + ∠DEC = 360°。
然而，由于正方形的每个内角是90°, 因此∠ABD + ∠BDE = 90°, ∠AED + ∠DEC = 90°。
将它们代回原方程中，我们得到90°+90°+90°+90° = 360°, 说明原假设错了，证明了对角线互相垂直的结论。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种基本的数学证明方法，在初中数学解题中也被广泛应用。
它是一种通过假设引出矛盾来证明某个命题的方法，通常用于证明一些不能直接得到结论的命题。
一、基本思想反证法的基本思想是：如果要证明一个命题P成立，可以假设它不成立，然后推出一个矛盾的结果，从而证明原命题成立。
这样的证明方式可以帮助我们避免直接证明带来的困难，使证明过程更为简单。
二、实例分析1. 证明“根号3是无理数”假设根号3是有理数，则可以写成根号3=a/b（a、b互质），其中a、b都是整数。
平方两边得3=a^2/b^2，从而得到a^2=3b^2。
这说明a的平方是3的倍数，因此a也是3的倍数，即a=3c（c∈Z）。
将其代入a^2=3b^2中得到9c^2=3b^2，即3c^2=b^2，由此可知b 也是3的倍数。
但是a、b是互质的，矛盾！因此假设不成立，根号3是无理数。
2. 证明“在一个无限的等差数列中，任意两个正整数的差都不能是1”假设该等差数列中存在正整数a、b，使得a-b=1。
令等差数列的第一项为c，公差为d，则有a=c+kd，b=c+(k-1)d，其中k是正整数。
带入a-b=1得到d=1，因此等差数列的公差为1。
若d=1，则对于任意正整数，其后面必然至少有一个正整数与之差为1，矛盾！因此假设不成立，证明了该命题。
三、注意事项反证法虽然在初中数学中被广泛应用，但它也存在一些需要注意的细节问题。
1. 假设的前提需要清晰明确。
在运用反证法时，我们需要明确假设的前提是什么，以免出现“抓住了一根草而错过了一个森林”的情况。
2. 矛盾的产生必须严密。
在假设的基础上，我们需要通过一些推理或运算，得到一个相互矛盾的结果，才能证明该命题。
3. 反证法不一定适用于所有问题。
有些问题需要直接证明，反证法并不一定能够得出正确的结果。
4. 其他证明方法的选择需要根据问题的实际情况来决定。
在做题时需要灵活运用不同的证明方法，如归纳法、直接证明等。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析1. 引言1.1 反证法在初中数学解题中的重要性反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。
通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。
这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。
在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。
通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。
它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。
在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。
反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。
它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。
熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。
1.2 反证法的基本原理反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。
这种方法在数学证明中被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。
反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。
假设我们要证明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。
我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。
这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。
反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。
在数学解题中，反证法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。
了解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。
反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。
2. 正文2.1 反证法在代数方程解题中的运用在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。
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论文反证法在数学中的应用开封县八里湾镇第一初级中学杨继敏反证法在数学中的应用摘要反证法是数学教学中所涉及的基本论证方法，它为一些从正面入手，无法使已知条件和结论找出联系的问题，提供了一条解题途径，它通过给出合理的反设，来增加演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而变的山穷水尽的局面，有了柳暗花明又一村的境地，使学生看到增加演绎推理前提的方便功效。
在过去的数学学习中，许多人拘泥于传统的推理方法，常常使问题复杂化，尽管最后能达到目的，但往往费时费力，因为数学的研究往往体现一种思维转换，我们可以用一种“换位”思想来处理我们日常遇到的数学问题。
【关键词：逆向思维；假设；归谬；数学逻辑推理；矛盾；结论。
】1. 引言反证法是数学中一种重要的解题方法，对数学解题有着重要作用。
其基本思想是通过求证对立面的不成立从而推出正面的正确。
因为这种方法推理严密，说服性强，所以除了在数学中应用反证法，在实际生活中的应用也比较广泛。
在不同的数学情境下，反证法的前提假设不同。
因此，在数学中应用反证法，一定要具体问题提出相应具体正确的假设。
这就需要熟练掌握反证法的反设词，除此，还应熟记反证法的证题步骤——假设，归谬，结论。
有关这个课题的研究，以及涉及到各种文章说明其步骤，适用范围，并附以大量例题。
但对反证法在数学中的应用，文字讲解与反证法适宜的数学题型的归纳总结还欠缺。
本文就基于这方面的考虑，根据反证法在数学中适宜的命题应用进行了详细的文字讲解及归纳总结。
2. 反证法初探2.1 反证法的含义及逻辑依据含义：所谓反证法就是从反面证明命题的正确性，即欲证明“p则q”,则从反面推导出“若p非q”不能成立，从而证明“若p则q”成立。
它从否定结论出发，经过正确的严格推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而验证产生矛盾的原因，推出原命题的结论不容否定的正确结论。
逻辑依据：反证法的证明方法之所以可靠，其逻辑依据就是逻辑学中的排中律。
人们在实践中得出这样的规律：“a是b”和“a不是b”两个相反的判断中，总有一个是真的，一个是假的，不存在第三个判断。
这就是逻辑思维规律中的排中律。
通过一个例子，可以很好的说明。
例如：三角形中至少有一个角大于或等于60°证明假定三个内角都小于60°，那么它们的和小于180°，这与“三角形内角和等于180°”的性质相矛盾。
故假设错误，原结论成立。
在同一论证过程中，两个相互反对或者互相矛盾的判断，其中至少有一个是假的，根据事物发展规律，及其利用辩证唯物主义的观点可以说明另外一个是正确的。
2.2 反证法的种类种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称归谬法。
根据命题的反面情况不同，反证法分为简单归谬法和穷举归谬法两种。
简单归谬法：论题结论的反面只有一种情况，只要把这种情况推翻就可以达到目的了。
例如：若x,y,z均为实数，且a=2x-2y+π/3,b=2y-2z+π/3，c =2z-2x+π/3, 则a，b，c中至少有一个大于零？它的反面就是a,b,c都不大于0。
穷举归谬法：论题结论的反面不至一种情况，要一一反驳，最后才能肯定原命题结论的正确。
例如：求证：一个多边形最多只能有三个内角是锐角。
它的反面就是有四个，五个，六个……内角为锐角。
2.3反证法的模式及基本步骤模式：设待证命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A，B本身也都是数学判断。
步骤：用反证法证明数学命题的基本步骤是第一，假设：作出与求证结论相反的假定。
第二，归谬：由假设出发，推出与公理，定义，定理或题设相矛盾的结果。
第三，结论：由于“矛盾”证明了假设不成立，从而肯定了原求证结论的正确。
值得注意的是假设要十分准确，若命题结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易作出假设，现在将常用的互为否定形式的词语列表：2.4 运用反证法解决数学问题应注意的问题第一，必须正确否定结论正确否定结论是运用反证法的首要问题，如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”。
“至多有一个”是指：“只有一个”或者“一个也没有”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”即“至少两个角是直角”。
第二，必须明确推理特点否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不可预测的，也没有一个固定的标准，有的甚至琢磨不定。
一般情况下，我们总是在命题相关的领域里考虑。
例如：平面几何问题往往联系到的公理，定义，定理等，这就是反证法的特点。
因此在推理前不必要也不可能事先规定得出什么样的矛盾。
只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理。
矛盾一经出现，证明即告结束。
第三，了解矛盾种类反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或者部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义，公理，定理，性质等）相矛盾，也可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等。
2.5在数学中，如何培养反证法的能力反证法与直接证法的区别是，反证法是人们难以接受的一个困难。
根据逻辑原理明白了为什么推出矛盾，就能说明假设错误，原结论正确。
这其中如何推出矛盾，如何做一个假设又是一个困难，这就要根据前面反证法的步骤进行假设。
而且应该善于发现矛盾，这就要使得我们平时注意以下两个问题。
第一，必须掌握这一结构式和这一结构规范化的表述，一定抓住重点，尽量分散难点，化难为易。
第二，学会正确引入假设，进行逻辑推理，在命题中找关键词语“任何”、“存在”、“至少”、“唯一”……以上两种能力我们在平时做数学题时应善于发现，认真体会与掌握，从而让反证法为我们解题带来方便。
我将在下一章反证法在数学中的应用中举例说明。
3.反证法在数学中的应用关于反证法在数学中的应用最早是在平面几何教材中出现的，但作为一种基本的解题方法，它在数学其它各部分内容，如：代数，立体几何，三角，概率及解析几何中都有应用。
那么究竟哪类数学命题用反证法证明起来更加简单快捷呢？为了充分了解反证法这种数学思维方式，我对常能用反证法证明的题目给予总结并用具体例子来证明。
这些应用充分体现了反证法在数学解题中的一些技巧及其重要作用。
3.1 基本定理或者初始命题的证明基本定理或初始命题的证明，从正面证明往往没有头绪，不知从何证起。
但这类命题的假设非常好找而且有定理或初始命题的结论作为依据。
运用反证法，我们只要将结论给予否定即可，从而推出原结论正确。
定理：坐标都是整数的点叫作整点。
例1.求证：平面上任意三个整点都不能组成正三角形分析：这是一个初始命题证明的例子，从正面证明的话我们就应所有整点都不可以组成三角形，这就具有不可操作性，难度较大。
但其假设为：平面上任意三个整点都能组成三角形，我们只要找出一个例子推翻反设即可。
因为我们有“坐标是整数的点叫做整点”作为依据，反证法证明起来就比较容易。
证明：如图设平面上三个整点A,B,C 组成一个三角形，由于上下或左右平移整数个单位，整点仍变为整点，因此不妨设A 为原点，因 |AB|=R,BA 与x 轴正方向夹角为α，则AC 与x 轴正向夹角为（/3π+α）,B 的坐标为（a,b ），C 的坐标为（x,y ）于是：cos(/3)(cos /2/2)/22sin(/3)(sin /2/2)/2x R R a y R R b απαααπαα=+===+=+=因为a, b 均为整数，且至少一个不为零，所以x ，y 不可能为整数，它与已知条件矛盾。
故任意一整点三角形都不可能是正三角。
例2. 在同一平面内有四条直线a ，b ，c ，d ，a 与b 相交，c 垂直于d ，d 垂直于b 。
求证：c 与d 也相交证明 假设c 平行d ，因为c 垂直a ，所以d 垂直a 。
又因为d 垂直b ，所以a 平行b ，这与已知a 与b 相交矛盾。
故c 平行d 不成立，所以c 与d 也相交。
例3. （最小模原理）若区域D 内部恒为常数的解析函数)(z f ，在D 内的点z 0有)(z f ≠0，则|)(z f |不可能是|)(z f |在D 内的最小值，试证之。
提示 反证法，应用最大模原理。
注 最小模原理的推论：设（1）函数)(z f 在有界区域D 内解析，在有界闭区域D D D ∂+=上连续； （2）)(z f ≠0(D z ∈)；（3）存在m ＞0，使|)(z f |≥m （D z ∈）, 则除为常数外，|)(z f |＞m (D z ∈). 证明：假设|)(0z f |是)(z f 在D 内的最小值 因0)(0≠z f ，则)(10z f 是)(10z f 在D 内的最大值，)(z f 是解析函数、由最大模原理，)(1z f 在D 内恒为常数，与题设矛盾 故|)(0z f |不可能是|)(z f |在D 内的最小值。
3.2 存在性问题的证明在数学中，证明存在性问题时，因为这类命题牵涉到的情况分类比较多，以至于从正面论证的话，各种情况都必须讨论，其工程量非常浩大。
但存在性问题的反面情况分类比较少，只要给予一一否定即可，这样工作量就显然减少。
例1. 已知△ABC 的三边满足b=(a+c)/2，求证：△ABC 中至少有两个角不超过60°分析：从正面证明的话，结论可分为“两个角不超过60°”、“三个角不超过60°”论证起来要证明“两个”、“三个”角的度数，比较麻烦。
但其反面情况为“一个角不超过60°”、“0各角不超过60°”，论证起来只需证明“一个”、“0个”角的度数。
证明：因为 ∠A+∠B+∠C=180°，所以，假设△ABC 中至多有两个角超过60° 即 所设等价于“△ABC 中有两个角超过60°”，不妨设∠A>60°，∠C>60° 则：cos ∠A <1/2, cos ∠C<1/2 由余弦定理得：22222222222cos 2cos c a b ab C b a baa b a bc A b c bc =+->+-=+->+-以上两式相加得：22b ＜bc ba +即b ＜21(c a +) 与已知矛盾，故假设错误所以， △ABC 中，至少有两个角不超过60°。
例2. 已知a,b,c 是互不相等单位非零实数 求证：三个方程22220,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=至少有一个方程有两个相异的实根证明：假设三个方程中都没有两个相异的实根 则：得：2122231232222222224404404402220()()()0b a c c a b a b c a a b b b b c c c a c a a b b c c a ∆=-≤∆=-≤∆=-≤∆+∆+∆-++-++-+≤-+-+-≤即得 a=b=c 与已知矛盾 所以假设不成立，原命题成立。