反证法在数学中的应用

论文

反证法在数学中的应用

开封县八里湾镇第一初级中学

杨继敏

反证法在数学中的应用

摘要反证法是数学教学中所涉及的基本论证方法，它为一些从正面入手，无法使已知条件和结论找出联系的问题，提供了一条解题途径，它通过给出合理的反设，来增加演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而变的山穷水尽的局面，有了柳暗花明又一村的境地，使学生看到增加演绎推理前提的方便功效。在过去的数学学习中，许多人拘泥于传统的推理方法，常常使问题复杂化，尽管最后能达到目的，但往往费时费力，因为数学的研究往往体现一种思维转换，我们可以用一种“换位”思想来处理我们日常遇到的数学问题。

【关键词：逆向思维；假设；归谬；数学逻辑推理；矛盾；结论。】

1. 引言

反证法是数学中一种重要的解题方法，对数学解题有着重要作用。其基本思想是通过求证对立面的不成立从而推出正面的正确。因为这种方法推理严密，说服性强，所以除了在数学中应用反证法，在实际生活中的应用也比较广泛。

在不同的数学情境下，反证法的前提假设不同。因此，在数学中应用反证法，一定要具体问题提出相应具体正确的假设。这就需要熟练掌握反证法的反设词，除此，还应熟记反证法的证题步骤——假设，归谬，结论。有关这个课题的研究，以及涉及到各种文章说明其步骤，适用范围，并附以大量例题。但对反证法在数学中的应用，文字讲解与反证法适宜的数学题型的归纳总结还欠缺。本文就基于这方面的考虑，根据反证法在数学中适宜的命题应用进行了详细的文字讲解及归纳总结。

2. 反证法初探

2.1 反证法的含义及逻辑依据

含义：所谓反证法就是从反面证明命题的正确性，即欲证明“p则q”,则从反面推导出“若p非q”不能成立，从而证明“若p则q”成立。它从否定结论出发，经过正确的严格推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而验证产生矛盾的

原因，推出原命题的结论不容否定的正确结论。

逻辑依据：反证法的证明方法之所以可靠，其逻辑依据就是逻辑学中的排中律。人们在实践中得出这样的规律：“a是b”和“a不是b”两个相反的判断中，总有一个是真的，一个是假的，不存在第三个判断。这就是逻辑思维规律中的排中律。通过一个例子，可以很好的说明。

例如：三角形中至少有一个角大于或等于60°

证明假定三个内角都小于60°，那么它们的和小于180°，这与“三角形内角和等于180°”的性质相矛盾。故假设错误，原结论成立。

在同一论证过程中，两个相互反对或者互相矛盾的判断，其中至少有一个是假的，根据事物发展规律，及其利用辩证唯物主义的观点可以说明另外一个是正确的。

2.2 反证法的种类

种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称归谬法。根据命题的反面情况不同，反证法分为简单归谬法和穷举归谬法两种。

简单归谬法：论题结论的反面只有一种情况，只要把这种情况推翻就可以达到目的了。例如：若x,y,z均为实数，且a=2x-2y+π/3,b=2y-2z+π/3，c =2z-2x+π/3, 则a，b，c中至少有一个大于零？它的反面就是a,b,c都不大于0。

穷举归谬法：论题结论的反面不至一种情况，要一一反驳，最后才能肯定原命题结论的正确。例如：求证：一个多边形最多只能有三个内角是锐角。它的反面就是有四个，五个，六个……内角为锐角。

2.3反证法的模式及基本步骤

模式：设待证命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A，B本身也都是数学判断。

步骤：用反证法证明数学命题的基本步骤是

第一，假设：作出与求证结论相反的假定。

第二，归谬：由假设出发，推出与公理，定义，定理或题设相矛盾的结果。

第三，结论：由于“矛盾”证明了假设不成立，从而肯定了原求证结论的正确。

值得注意的是假设要十分准确，若命题结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不

太容易作出假设，现在将常用的互为否定形式的词语列表：

2.4 运用反证法解决数学问题应注意的问题

第一，必须正确否定结论

正确否定结论是运用反证法的首要问题，如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”。“至多有一个”是指：“只有一个”或者“一个也没有”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”即“至少两个角是直角”。

第二，必须明确推理特点

否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不可预测的，也没有一个固定的标准，有的甚至琢磨不定。一般情况下，我们总是在命题相关的领域里考虑。例如：平面几何问题往往联系到的公理，定义，定理等，这就是反证法的特点。因此在推理前不必要也不可能事先规定得出什么样的矛盾。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理。矛盾一经出现，证明即告结束。

第三，了解矛盾种类

反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或者部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义，公理，定理，性质等）相矛盾，也可能与临时假

设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等。

2.5在数学中，如何培养反证法的能力

反证法与直接证法的区别是，反证法是人们难以接受的一个困难。根据逻辑原理明白了为什么推出矛盾，就能说明假设错误，原结论正确。这其中如何推出矛盾，如何做一个假设又是一个困难，这就要根据前面反证法的步骤进行假设。而且应该善于发现矛盾，这就要使得我们平时注意以下两个问题。

第一，必须掌握这一结构式和这一结构规范化的表述，一定抓住重点，尽量分散难点，化难为易。

第二，学会正确引入假设，进行逻辑推理，在命题中找关键词语“任何”、“存在”、“至少”、“唯一”……

以上两种能力我们在平时做数学题时应善于发现，认真体会与掌握，从而让反证法为我们解题带来方便。我将在下一章反证法在数学中的应用中举例说明。

3.反证法在数学中的应用

关于反证法在数学中的应用最早是在平面几何教材中出现的，但作为一种基本的解题方法，它在数学其它各部分内容，如：代数，立体几何，三角，概率及解析几何中都有应用。那么究竟哪类数学命题用反证法证明起来更加简单快捷呢？

为了充分了解反证法这种数学思维方式，我对常能用反证法证明的题目给予总结并用具体例子来证明。这些应用充分体现了反证法在数学解题中的一些技巧及其重要作用。

3.1 基本定理或者初始命题的证明

基本定理或初始命题的证明，从正面证明往往没有头绪，不知从何证起。但这类命题的假设非常好找而且有定理或初始命题的结论作为依据。运用反证法，我们只要将结论给予否定即可，从而推出原结论正确。

定理：坐标都是整数的点叫作整点。

例1.求证：平面上任意三个整点都不能组成正三角形

分析：这是一个初始命题证明的例子，从正面证明的话我们就应所有整点都不可以组成三角形，这就具有不可操作性，难度较大。但其假设为：平面上任意三个整点都能组成