专题(一次函数与反比例函数综合)

初三数学专题打通课 出题人：刘争

专题打通课 一次函数和反比例函数综合

【考点一】一次函数与反比例函数的图象与性质 1、当k ＞0时,反比例函数k

y x

=

和一次函数2y kx =+的图象大致是( )

2、一次函数y ax b =+与反比例函数a b

y x

-=，其中0ab <，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）

3、点()11,x y 、()22,x y 、()33,x y 都在反比例函数3

2y x

=的图象上,并且1230x x x <<<,则下列正确的是( )

A. 123y y y <<

B. 213y y y << A

C. 321y y y <<

D. 312y y y << 4、已知两点(11,x y )、(22,x y )在函数5

y x

=-

的图象上,当120x x >>时，___________ 5、一次函数11y k x b =+和反比例函数2

2k y x

=（120k k ≠）的图象如图所示，若12y y >，则x 的取值范围是（ ）。 A. 或

B. C.

或

D.

或

第5题图 第6题图 第7题图 6、如图，反比例函数(0)k

y x x

=

<与一次函数4y x =+的图象交于A ，B 两点的横坐标分别为-3，-1。则关于x 的不等式

4(0)k

x x x

<+<的解集为（ ） A ． 3x <- B. 31x -<<- C. 10x -<< D. 3x <-或10x -<< 7、如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （3，0），连接AB ，将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A′处，折痕所在的直线交y 轴正半轴于点C ，则直线BC 的解析式为_______________________

【考点二】利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式

【例1】在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)的图形与反比例函数y ＝k

x (k ≠0)

的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与y 轴交于C 点，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ，

OH ＝3，tan ∠AOH ＝43

，点B 的坐标为(m ，－2)．

(1)求△AHO 的周长；

(2)求该反比例函数和一次函数的解析式．

【变式训练】如图，反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n . (1)求这两个函数解析式；

(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y ＝k

x

的图象有且只有一个交点，求m 的值．

【考点三】与面积有关的问题 【例2】如图，反比例函数m

y x

=

的图象与一次函数y kx b =+的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（2,6），点B 的坐标为（n ，1） （1）求反比例函数与一次函数的表达式。 （2）点E 为y 轴上的一个动点，若5AEB

S

=，求点E 的坐标

【变式训练】

1.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x (x >0)的图象交于A (2，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n 两点，直线y ＝2与y 轴交于点C . (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△ABC 的面积．

2. 在矩形AOBC 中，OB=6，OA=4，分別以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系。F

是边BC 上一点，过F 点的反比例函数y ＝k

x （k>0）的图象与AC 边交于点E 。

（1）请用k 表示点E ，F 的坐标。

（2）若△OEF 的面积为9，求反比例函数的解析式。

3、如图,分别位于反比例函数1y x =, k

y x

=在第一象限图象上的两点A 、B,与原点O 在同一直线上,且

1

3

OA OB = (1)求反比例函数k

y x

=

的表达式; (2)过点A 作x 轴的平行线交k

y x

=

的图象于点C,连接BC,求△ABC 的面积.

【考点四】与最小（大）值有关的问题

【例3】一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝k

x (k ≠0)在第一象限的图象交于A (1，n )

和B (4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M . (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAM 的面积S ； (3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．

.

【变式训练】

1．如图，直线y ＝2x ＋3与y 轴交于A 点，与反比例函数y ＝k

x (x >0)的图象交于点B ，过点B

作BC ⊥x 轴于点C ，且C 点的坐标为(1，0)． (1)求反比例函数的解析式；

(2)点D (a ，1)是反比例函数y ＝k

x (x >0)图象上的点，在x 轴上是否存在点P ，使得PB ＋PD 最

小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点五】与平移有关的问题

【例4】如图，已知函数y ＝43x 与反比例函数y ＝k x (x >0)的图象交于点A ，将y ＝4

3x 的图象

向下平移6个单位长度后与双曲线y ＝k

x

交于点B ，与x 轴交于点C .

(1)求点C 的坐标； (2)若OA

CB

＝2，求反比例函数的解析式．

【变式训练】

1. 如图，在直角坐标系中，直线12y x =-

与反比例函数k

y x

=的图象交于关于原点对称的的A ，B 两点，已知A 点的纵坐标是3。 （1）求反比例函数的表达式。 （2）将直线1

2

y x =-

向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C ，

如果△ABC 的面积为48，求平移后的直线的函数表达式。