几何体中的截面问题.

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常见几何体的截面

常见几何体的截面
常见几何体的截面通常指的是用一个平面截取几何体后与几何体相交得到的平面图形。

在立体几何中，截面问题是一个常见的题型，它要求我们理解和想象三维几何体被切割后的样子。

以下是一些常见几何体及其可能的截面形状：
1. 圆柱体：当用一个平面去截一个圆柱体时，如果截面平行于底面，那么截面形状是一个圆形；如果截面垂直于底面，那么截面形状是一个矩形。

2. 圆锥体：圆锥体的截面可能是圆形、椭圆形或者是抛物线形，这取决于截面的角度和位置。

如果截面平行于圆锥的底面，那么截面是一个小圆形；如果截面是斜截圆锥，那么截面可能是椭圆形或者抛物线形。

3. 球体：球体的截面总是圆形，不论截面的角度和位置如何，因为球体在任何方向上都是对称的。

4. 立方体：立方体的截面可能是正方形或长方形，这取决于截面的方向。

如果截面平行于立方体的一个面，那么截面是一个正方形；如果截面与立方体的一个面成一定角度，那么截面是一个长方形。

总的来说，了解这些常见几何体的截面形状对于解决立体几何问题非常有帮助，尤其是在处理高考或数学竞赛中的综合题目时。

立体几何中的截面(解析版)

立体几何中的截面(解析版)在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。

总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。

我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

圆柱体的基本截面也有其特殊性质。

我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。

此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。

建立函数模型也是求最值问题的一种方法。

在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。

其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。

水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。

因此，正确的命题序号为①③④。

一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。

若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。

进一步地，截面也不能为正五边形。

这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。

因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。

而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.故选：D二、完形填空在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。

这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。

我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。

但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。

立体几何中的截面(解析版)

专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。

其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。

最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。

例1 一个正方体接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的接正方体上截得的截面不可能是大圆的接正方形，故选D 。

例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1容器灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：① 水的部分始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④ 当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF 是定值；其中正确的命题序号是______________分析当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BC BF BE V ⋅⋅=21水是定值，又BC 是定值，所以BE·BF 是定值，即④正确。

立体几何中的截面(解析版)

其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。

最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。

例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状；②水面EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；其中正确的命题序号是______________分析当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG，但EH与FG的距离EF在变，所以水面EFGH的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BCBFBEV⋅⋅=21水是定值，又BC是定值，所以BE·BF是定值，即④正确。

强基专题--立体几何中的截面问题

强基专题3 立体几何中的截面问题
[跟进训练]
1．(2021·重庆模拟)在三棱锥 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，
PA＝3，PB＝4，PC＝5，点 E 为线段 PC 的中点，过点 E 作该三棱
锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为( )
A．6π
B．8π
C．10π
D．12π
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(2)当π2＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
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强基专题3 立体几何中的截面问题
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范围有关，
当0＜θ≤π2时，轴截面面积最大，最大值为S＝12l2sin θ. 当π2＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
同理 FG∥EH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又 AD⊥BC，所以四边形 EFGH 为矩形．
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强基专题3 立体几何中的截面问题
由相似三角形的性质得BECF＝AACF，FACC＝AFDG，所以BECF＋FAGD＝AACF＋FACC，BC＝AD＝2，所以 EF＋FG＝2，所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，S 四边形 EFGH ＝EF×FG≤EF＋2 FG2＝1，所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1.故选 B．]
1 2
l2sin θ.截面VCD的面积S′＝12l2sin α.在△V强基专题3 立体几何中的截面问题
(1)当0＜θ≤π2时，0＜α＜θ≤π2，sin α＜sin θ⇒S′＜S，此时过圆锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝12l2sin θ.
截面形状及相应面积的求法 (1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题； (2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； (3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型； ③求最值．

立体几何中截面问题重难考点归纳总结

高三二轮专题复习立体几何中截面问题重难考点归纳总结作空间几何体截面的常见方法：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.考点一：截面形状的判断1．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（） A ．等腰梯形B ．非矩形的平行四边形C ．正五边形D ．正六边形2．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱B 1B 、B 1C 中点，点G 是棱CC 1的中点，则过线段AG 且平行于平面A 1EF 的截面图形为（）A ．矩形B ．三角形C ．正方形D ．等腰梯形3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．4．（多选题）一个正方体内有一个内切球，用一个平面去截，所得截面图形可能是图中的（）A ．AB ．BC ．CD ．D5．在正方体中，M ，N ，Q 分别为棱AB ，的中点，过点M ，N ，Q 作该正方体的截面，则所得截面的形状是（） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形考点二：求截面面积6．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的表面积为（） A ． B ． C ． D ． 7．已知球O 的表面积为，则过球Q 一条半径的中点，且与该半径垂直的截面圆的面积为___________. 8．已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为___________. 9．已知正四棱柱中、的交点为，AC 、BD 的交点为，连接，点为的中点.过点且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1，则正四棱柱的体积为______________.111-ABCD A B CD 111,B B C D 1O 2O 12O O 24π20π8π29π11A C 11B D 1O 2O 12O O O 12O O O 1111ABCD A B C D -10．已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C ，E 的平面截得的截面面积为______. 11．已知圆锥的侧面积为20π，底面圆O 的直径为8，当过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面面积最大时，则点O 到截面的距离为______________.12．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为A ． B． C ． D13．已知棱长为的正四面体，，，分别是棱，，的中点，则正四面体的外接球被三角形所在的平面截得的截面面积是（）A ．B ．C ．D ． 14．已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（） ABC ．D ． 15．已知正方体的长为2，直线平面，下列有关平面截此正方体所得截面的结论中，说法正确的序号为______．①截面形状一定是等边三角形：②截面形状可能为五边形；③截面面积的最大值为④存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分．16．已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的1111ABCD A B C D -1124BE BB ==143AB AA =1A 1111ABCD A B C D -,E F 111,B B B C G 1CC AG 1A EF 198894ABCD E F N AB AC AD ABCD EFN 73π83π103π163πA BCD -O αAB AC AD αA BCD -O 1S 2S 12S S =38π364π1111ABCD A B C D -1AC ⊥αα120 2底面半径为（） ABC ．D ．17．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为___________.考点三：求截面周长18．如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.19．已知在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．20．正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）1111ABCD A B C D -122AA AB AD ===E F 1BB 11D C 11A BCD 1C CEF -1111ABCD A B C D -4AB =E BC F 11A D 1D ,,A E FA ．B ．C ．D ．21．在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（）A ．B ．C ．D ．无法确定考点四：截面最值问题22．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（） A ． B ． C ． D ． 23．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱AB 的中点，过E 作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的取值范围是（） A ． B ． C ． D ． 24．已知球O 是正三棱锥A -BCD （底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC =3，AB =E 在线段BD 上，且BD =3BE ．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（） A ． B． C ． D ．25．如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是___________.26．如图，设正三棱锥的侧棱长为，，分别是上的点，过作三棱锥的截面，则截面周长的最小值为________.+A BCD -AB CD a ==MNPQ AB CD MNPQ 2a 4a a P ABC -O PA PB PC ==ABC ∆P ABC -16Q BC Q O 13,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]46ππ，[]412ππ，[]4ππ，[]6ππ，2π3π4π5πEFGH ABCD EFGH 4AB =6CD =EFGH P ABC -240APB ∠=︒,E F ,BP CP ,,A E F AEF27．正三棱锥，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________.考点五：有关截面的综合问题28．如图，在正方体中，点P 为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（）A ．B ．三棱锥的体积为定值C ．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形D ．DP 与平面所成角的正弦值最大为 29．（多选题）在棱长为2的正方体中，以下结论正确的有（）A ．三棱锥外接球的体积是B ．当点在直线上运动时，的最小值是P ABC -AB ==E PA 3PE EA =P A B C 、、、O E O ααO 1111ABCD A B C D -11A C P 1A 1C BD CP ⊥C BPD -P C 1D 1111D C B A 131111ABCD A B C D -11B A DC -Q 1BC 1A Q QC +8+C ．若棱，，的中点分别是，，，过，，三点作正方体的截面，则所得截面面积为D ．若点是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线30．（多选题）如图，正方体的棱长为1，P 为的中点，Q 为线段上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面多边形记为S ，则下列命题正确的是（）A ．当时，S 为等腰梯形B ．当时，S 与的交点R 满足C ．当时，S 为六边形D ．当时，S31．（多选题）在正方体中，，点E ，F 分别为，中点，点P 满足，，则（）A ．当时，平面截正方体的截面面积为B ．三棱锥体积为定值 AB 1AA 11CDEFG E F G M 1111D C B A D 1C M 11A D 1111ABCD A B C D -BC 1CC 12CQ =34CQ =11C D 113C R =314CQ <<1CQ =1111ABCD A B C D -2AB =AB BC 1AP AA λ= [0,1]λ∈1λ=PEF 941P ECC -C ．当时，平面截正方体的截面形状为五边形D ．存在点P ，二面角为45°10,3λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦PEF P EF A --Word 版见：高考高中资料无水印无广告word 群559164877详细解析1．C 【详解】画出截面图形如图：可以画出等腰梯形，故A 正确；在正方体中，作截面（如图所示）交，，，分别于点，，，，根据平面平行的性质定理可得四边形中，，且，故四边形是平行四边形，此四边形不一定是矩形，故B 正确；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故C 错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D 正确．故选：C1111ABCD A B C D EFGH 11C D 11A B AB CD E F G H EFGH //EF HG //EH FGEFGH高中数学教研群 QQ 群号929518278 精品资料每天更新2．D 【详解】取的中点，如图连接、、、，由题意得：，，不在平面内，平面内，∴平面.不在平面内，平面内，∴平面.，平面，平面平面，过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形．故选：．3．①⑤【详解】由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件，综上可知截面的图形可能是①⑤.故答案为：①⑤4．AB 【详解】由组合体的结构特征可知：当截面过球与正方体切点时可知A 正确、C 错误；当截面过正方体的对角面时可知B 正确；此题是正方体的内切球，可知D 错误.故选：AB5．D 【详解】如图所示：分别为中点，M ，N ，Q 确定平面，且，故，，故，同理可得，，，故截面为六边形.故选：D. BC H AH GH 1D G 1AD //GH EF 1//AH A F GH 1A EF EF ⊆1A EF ||GH 1A EF AH 1A EF 1A F ⊆1A EF ||AH 1A EF GH AH H = ,GH AH ⊆1AHGD ∴1//AHGD 1A EF AG AEF 1AHGDD ,,EF H 111,,AD DD B C αNH MQ ∥N α∈NH α⊂,Q H αα∈∈QH α⊂FQ α⊂EF α⊂EM α⊂6．B 【详解】根据题意，所得截面是边长为4的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为的圆，且高为4，所以其表面积.故选：B. 7．【详解】设球的半径为，则，解得.设截面圆的半径为，由题知：，所以截面圆的面积.故答案为： 8．【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线为l ,又圆锥过轴的截面为正三角形，圆锥的侧面积为， ∴， ∴.故答案为：. 9．3【详解】设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，由题知当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大，2()22222424S =⨯+⨯⨯=πππ32ππR 248R ππ=R =r r ==232S ππ==32π2329π22,9l r rl ππ==23l =23ABCD 11A B CD因为过点且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1，所以，于是正四棱柱的体积为.故答案为：3.10．由题意，正四棱柱中，，，可得，在上取点，使得，连接，则有，所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得，所以所以，所以四边形是平行四边形的面积为，故答案为：O 21a ⎧=⎪⎨=⎪⎩13a h =⎧⎨=⎩1111ABCD A B C D -23a h =1111ABCD A B C D -1124BE BB ==143AB AA =1118,2AA BB CC BE ====1DD F 12D F =1,A F CF 11,//A F CE A F CE =1A ECF 11A E CE A C ====2221111cos 2A E CE A C A EC A E CE +-∠===⨯1sin A EC ∠=1A ECF 11sin A E EC A EC ⨯⨯∠==11设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ,母线长为l ,则，∴，h =3,由于h<r ,所以圆锥的轴截面为钝角三角形，所以过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面为直角三角形时面积最大，如图，△SAB 为截面三角形，SO 为圆锥的高，设点O 到截面的距离为d ，则∴，即， ∴，即点O. 12．B 【详解】取BC 的中点H ，连接，4,20r rl ππ==5l =25,2SAB AB S == 14,2AOB OA OB S ===⨯= 1133SAB AOB S d S h ⋅=⋅ 12513323d ⨯⋅=d =,AH GH因为面AHGD1，面AHGD1，面AHGD1，同理，面AHGD1，又，则平面AHGD1∥平面A1EF，等腰梯形AHGD1，，故选B．13．D【详解】过点作平面的垂线，垂足为，交平面于点，设该四面体外接球球心为，连接，作图如下所示：因为四面体为正四面体，且面，故点为△的外心，则该四面体的球心一定在上，不妨设外接球球心为；因为分别为的中点，则//，//，又，且面，面，故平面//平面，故面，又为中点，故也为中点.因为正四面体的所有棱长为，故1,EF BC GH EF⊄GH⊂EF∴∥1A E∥1A E EF E⋂=98A BCD H EFN'O O,OB BHABCD AH⊥BCDH BCD AH O,,E F N,,AB AC AD EF BC FN CD,EF FN F BC CD C⋂=⋂= ,EF FN⊂EFN,BC CD⊂BCD EFN BCDAO'⊥EFN E AB'O AHABCD4243BH==则设该四面体的外接球半径为，即，则，在△中，，即，解得即外接球球心到平面，设平面截外接球所得圆的半径为，则，解得，故截面圆的面积为.故选：D. 14．B 【详解】设平面截三棱锥所得正三角边长为a ，截面圆的半径为r ，则，由正弦定理可得，，故选：B15．④【详解】如图可知，截面形状可以是等边三角形、六边形、正六边形，∴①②明显错误；截面面积的最小值可以趋向于零，故③错误；当截面为正六边形时，截面过正方体的中心，此时正方体的体积被分成相等的两部分．故④正确.故答案为：④AH ===12O H AH ='=R OA OB R ==OH AH R R =-=Rt OHB 222OH BH OB +=222R R ⎫+=⎪⎪⎭R =OO R AO =-==''O EFN EFN r 222r +=2163r =163παA BCD -21S =sin 60a r ==︒22243πa S πr ∴==12S S =∴16．A 【详解】如图，由题可知，，又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，∴，即，在中，.故选：A. 17．【详解】以点为原点建立空间直角坐标系如图所示：120APB ∠= 30ABP ∠= 22122l =2l =Rt POB cos302r l === 98πD依题意得：，，，则，，所以，则；设为中点，因为则，所以点为三棱锥外接球的球心，则设球心到平面的距离为，又因为为中点，所以点到平面的距离为，由于，所以故截面圆的半径为，所以截面圆面积为. 故答案为：18如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，()0,2,0C ()1,2,1E ()0,1,2F ()1,0,1EC =-- ()111EF ,,=-- 1010EC EF ⋅=+-= EF EC ⊥O CF EF EC ⊥1EO OC FO C O ===O 1C CEF -12R CF ==O 11A BCD h O CF F 11A BCD 2h 111244h C D ==⨯=h =r ==98π98π11C D H 1CC 1C G连接，易证，则五边形为所求截面.因为，所以，则，故该截面的周长是.19．如图，延长EF ，A 1B 1，相交于点M ，连接AM ，交BB 1于点H ，延长FE ，A 1D1，相交于点N ，连接AN，交DD 1于点G ，连接FH，EG，可得截面为五边形AHFEG .因为ABCD-A 1B 1C 1D1是棱长为6的正方体，且E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，由中位线定理易得：EF ＝：AG ＝AH ＝EG ＝FH AH ＋HF ＋EF ＋EG ＋AG ＝故答案为：20．B 【详解】如图，在正三棱柱中，延长AF 与CC 1的延长线交于M ，连接EM 交B 1C 1于P ，连接FP ，则四边形AEPF 为所求截面.,,,,AE EG GH HF FA //,//AE HF AF EG AEGHF 4AB =111182,3,1,3BE CE C H D H A F D F CG =======143C G =103AE EG ==5,GH HF AF ===AE EG GH HF AF ++++=+111ABC A B C -过E 作EN 平行于BC 交CC 1于N ，则N 为线段CC 1的中点，由相似于可得MC 1=2，由相似于可得：，在中，，则，在中，，则在中，，则在中，，由余弦定理：，则故选：B.21．A 【详解】设，因为平面，平面平面，平面，所以，同理可得，，，故四边形为平行四边形，所以，. 因为，所以，， 1MFC MAC △1MPC △MEN 111242,2333PC PC B P =⇒==1Rt AA F 112,1AA A F ==AF ==Rt ABE △2,1AB BE ==AE ==1Rt B EP 1121,3B E B P ==PE ==1C FP 11141,,603C F C P FC P ==∠=︒2224413121cos 60339PF ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭PF ==AM k CM=//AB MNPQ ABC MNPQ MN =AB ÌABC //MN AB //PQ AB //MQ CD //NP CD MNPQ 11MN PQ AB AB k ==+1MQ NP k CD CD k==+AB CD a ==1a MN PQ k ==+1ak MQ NP k==+所以四边形的周长为. 故选：A.22．A 【详解】设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得在正中，可得.从而直角在中解得. 进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心. 记外接球半径为，则所以过的平面截球所得截面的面积最大为；又为中点，由正方体结构特征可得由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时， MNPQ 2211a ak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭P ABC M PA PB PC ==M ABC ∆ABC S ∆1136P ABC ABC V PM S -∆=⨯⨯=PM =ABC ∆AM =ABC 1PA =PA PB ⊥PB PC ⊥PC PA ⊥P ABC -P ABC -O R R Q O 2max 34S R ππ==Q BC 1122OQ PA ==OQ Q截面圆半径最小为. 因此，过的平面截球所得截面的面积范围为. 故选：A.23．A 【详解】如图，将正四面体补为边长是ABCD 的外接球为正方体的外接球，球心O在体对角线的中点，且球的半径；当OE 垂直于截面时，截面面积最小，截面圆的半径为面积为；当截面过球心O 时，截面面积最大，截面圆的半径为，面积为故选:A24．A【详解】解：如图，O 1是A 在底面的射影，由正弦定理得，△BCD 的外接圆半径r ==2min 12S r ππ==Q O 13,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦R =12r ==4π1r R =6π1031sin 602r =⨯=由勾股定理得棱锥的高AO 1；设球O 的半径为R ，则，解得，所以OO 1=1；在△BO 1E 中，由余弦定理得所以O 1E =1；所以在△OEO 1中，OE；当截面垂直于OE. 故选：A25．【详解】解：四边形为平行四边形，；平面，平面，平面；又平面，平面平面，，同理可得；设，，，，；又，，，，且；四边形的周长为，；四边形周长的取值范围是．故答案为：26．将正三棱锥的三个侧面展开如图，由图可知，为使的周长最小，只需让四点共线即可，则当为与交点时，的周长最小，由题意，，∴，得的周长3==()223R R =-2R =2113211,O E =+-⨯==2π(8,12) EFGH //EH FG ∴EH ⊂/ ABD FG ⊂ABD //EH ∴ABD EH ⊂ ABC ABC ABD AB =//EH AB ∴//EF CD EH x =EF y =∴EH CE AB CA =EF AE CD AC =∴1EH EF CE AE AC AB CD CA AC AC+=+==4AB =Q 6CD =∴146x y +=614x y ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭04x <<∴EFGH 2()2[6(1)]4xl x y x =+=+-12x =-81212x ∴<-<∴EFGH (8,12)(8,12)AEF 1,,,A E F A ,E F 1AA ,BP CP AEF 140BPC CPA APB ∠=∠=∠=︒1120APA ∠=︒1AA ===AEF的最小值为故答案为：27．【详解】，，，同理，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故，设的中点为，连接，则.所以，当平面时，平面截球O 的截面面积最小，，故截面的面积为.故答案为：28．D 【详解】由题可知平面，所以，故A 正确；由等体积法得为定值，故B 正确；设的中点为，当时，如下图所示：3π4PA PC PB === AB AC BC ===222PA PC AC ∴+=2CPA π∴∠=2CPB BPA π∠=∠=O 2R =PA F OF OF =OF PA ⊥3OE ==OE ⊥αα=3π3πBD ⊥11ACC A BD CP ⊥113C BPD P BCD BCD V V S AA --==⋅⋅ 11A C M 1P MC ∈此时截面是三角形，当时，如下图所示：此时截面是梯形，故C 正确；选项D ，在正方体中，连接，则为在平面上的射影，则为与平面所成的角，设正方体的棱长为1，，则当取得最小值时，的值最大，即时，，所以D 不正确. 故选：D.29．ACD 【详解】对于A ：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，因为正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，即所以外接球的体积是，故选项A 正确；1D QC 1PMA ∈1D QRC 1D P 1D P DP 1111D C B A 1D PD ∠DP 1111D C B A 1PD x =DP =1sin D PD ∠x 1sin D PD ∠111D P A C ⊥x 1sin D PD ∠11B A DC -1111ABCD A B C D -2R =R 34π3V =´=对于B ：把沿翻折到与在同一个平面（如图所示），连接，则是的最小值，其中是边长为的等边三角形，是直角边为的等腰直角三角形，所以，即故选项B 错误；对于C ：分别取棱，，的中点，，，连接，，，，，，则易知过，，三点的截面是正六边形，1BCC 1BC 11A C B △1A C 1A C 1A Q QC +11A C B △1BCC 211A C A Q QC =+==1A Q QC +11A D 1CC BC H M N EF FH HG GM MN NE E F G EFHGMN所以截面面积为故选项C 正确；对于D ：因为是平面上到点和距离相等的点，所以点的轨迹是平面与线段的垂直平分平面的交线，即点的轨迹是平面与平面的交线，所以点的轨迹是直线，即选项D 正确．故选：ACD.30．ABD 【详解】解：过点A ，P ，Q 的平面截正方体，当时，其截面形状为梯形如图1，特别地当时，截面形状为等腰梯形，当时，其截面形状为五边形如图2．若，则，所以．当时，与重合，其截面形状为四边形如图3，此时，因为P 为的中点，且，所以为的中点，所以，同理，所以四边形为平行四边形，所以四边形为菱形，其面积为ABD 正确．故选：ABD.31．BCD 【详解】A 选项中，当时，与重合，则截面为等腰梯形，其面积为，故A 选项错误； 1(62⨯=M 1111D C B A D 1C M 1111D C B A 1DC 11A BCD M 1111D C B A 11A BCD 11A D M 11A D 102CQ <≤12CQ =112CQ <<34CQ =1113C Q C R QC CM ==113C R =1CQ =Q 1C PQ AP =BC CP AD ∕∕Q MN PC AE ∕∕QE AP ∕∕APQE APQE 112AC PE ⋅==1λ=P 1A 92B 选项中，因为平面，故P 到平面的距离不变，故三棱锥体积为定值．故B 选项正确：C 选项中，当时，其截面刚好为五边形，时，截面为五边形；故C 选项正确；D 选项中，当点P 与重合时，其二面角正切值为，此时二面角大于45°，所以存在点P ，二面角为45°，D 选项正确；故选：BCD ．1//AA 1ECC 1ECC 1P ECC -13λ=103λ<<1A P EF A --。

空间几何体交线和截面问题

空间几何体交线和截面问题
在探讨空间几何体交线和截面问题时，我们需要掌握一些基本的知识。

首先，交线是指两个几何体相交所产生的一条或者多条线，它是二者所交之处的所有点的集合。

相对地，截面则是通过切割一个空间几何体而得到的二维平面。

当两个几何体相交时，交线通常表现为曲线或者直线。

为了求出交线，首先需要找出两个几何体的方程，然后联立解析来求解。

例如，在体积学中，一个平面和一个圆锥体相交，其交线是一个椭圆。

同样，如果两个圆柱体相交，那么它们的交线可能是一条或者两条直线，或者一个双曲线。

截面是容易理解的，就如同我们把一个水果切开一样，我们看到的剖面就是截面。

在数学中，一个空间几何体的截面就是通过该体的一个平面所得到的二维形状。

例如，一个圆柱体的截面可以是一个矩形（如果截面平行于底面）或一个椭圆（如果截面斜切）。

在实际的解决问题过程中，我们需要灵活应用这些知识，理解空间几何体交线和截面的形状和性质。

例如，如果我们知道一个截面，就可以判断其所属的空间几何体。

同样，如果我们了解了交线，我们也可以推断出两个相交的几何体。

总结来说，空间几何体交线和截面问题是空间几何学习的重要部分。

我们需要通过学习和实践，掌握判断和解决这类问题的基本方法和技巧。

立体几何中的截面问题及球的切接问题--备战2022年高考数学一轮复习配套(创新设计版)

(2)(2020·名校仿真训练五)棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 C1D1 与 C1B1 的中点，则经过点 B，E，F 的平面截正方体所得的封闭图
形的面积为( A )
A.92 B．3 10 C.32 D. 10 解析 (2)
如图，经过点 B，E，F 的平面 BEF 截正方体所得截面为四边形 BDEF，因为 E，F 分别是 C1D1，C1B1 的中点，正方体的棱长为 2，所以 EF∥BD，且 EF＝12BD，所以四边形 BDEF 是下底为 BD＝2 2，上底为 EF＝ 2的等腰梯形．
|OM|
23
解得|ON|＝ 3，
则圆 N 的半径 r＝ 42－（ 3）2＝ 13，圆 N 的面积为πr2＝13π，故选 D.
感悟升华
此类题主要考查空间想象能力及空间几何体的结构特征，解题时可寻找特殊情况使问题得到简化．
【训练 1】 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平
2．构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心 (1)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正方体或长方体． (2)相对的棱长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体．
【训练 2】(1)一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则此球的
表面积为( A )
感悟升华
求内切球的半径常用等积法 (1)正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离． (2)正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合．
【训练 3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆

【数学】立体几何中的截面问题(六大题型) 2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第二册

､ F 分别是棱 1 1 ､ 1 1 的中点，则正方体被截面 BEFC 分成两部分的体积之比 1 : 2 =
【答案】 3
【解析】设正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 2 ，体积为，
则 = 2 × 2 × 2 = 8 3 ，
因为 E 是棱 1 1 的中点，所以 1 = ，
（ 2 ）过 M ， N ， P 三点作正方体的截面为，如图所示：
则截面的周长为： + + + + = + + ，
因为正方体棱长为 1 ，则
= =
=
故选：ACD．
3
2
3
2
(2 − )2，ℎ2 =
( 2)2 − [
2 = − 3 2 + 2 3 + 2 3
2 ( 2 − ) − 2 2 2
]
2
=
3 2 ，
2
题型二：截面周长
【例 2 】（ 2024·高三 ·四川成都 ·开学考试）如图，正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 4 ， E 是侧棱 1 的中
A．1∶ 2
B．1∶4
C．1∶（ 2+1）
D．1∶（ 2﹣1）
【答案】 D
【解析】设截后棱锥的高为 h ，原棱锥的高为 H ，
由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截，
若截得的截面面积与底面面积的比为 1 ∶ 2 ， ℎ =

则此正棱锥的高被分成的两段之比：
故选：D
ℎ
−ℎ
=
1
.
2−1
设 1 = ，则 0 ≤ ≤ 1，

立体几何中的截面(解析版)

其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。

最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

立体几何中的截面问题

立体几何中的截面问题一．基本原理：过正方体（长方体）上三点做截面.1.三点中有两点共面例1.如图，在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，E，F，G 分别在AB，BC，DD 1上，求作过E，F，G 三点的截面．思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面.解析：作法：①.由于F E ,共面，在底面AC 内，过F E ,作直线EF ，与DA 于L ，显然，此时L 即在侧面D A 1内，又在欲求截面内，而该截面与侧面D A 1又交于点G ，根据公理1，截面与侧面D A 1交于L .同理，过F E ,作直线EF 与DC 的延长线交于M ，此时M 即在侧面1DC 内，又在欲求截面内，根据公理1，截面与侧面1DC 交于M .②在侧面D A 1内，连接LG 交1AA 于K .③在侧面1DC 内，连接GM 交1CC 于H .④连接FH KE ,.则五边形EFHGK EFHGK 即为所求的截面．练习1.（三点两两共面）P，Q，R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1，CC 1和DD 1上，试画出过P，Q，R 三点的截面作法．解析：作法：（1）连接QP，QR 并延长，分别交CB，CD 的延长线于E，F.（2）连接EF 交AB 于T，交AD 于S.（3）连接RS，TP.则五边形PQRST 即为所求截面．例2.（三点所在的棱两两异面）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，R Q P ,,分别为111,,CC AB D A 上三点，求过这三点的截面.分析：此题的难点在于R Q P ,,三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法通过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是需要先做出一个平面来，让上面三点RQ P ,,中有两点共面，这就转化成例1的情形，从而解决问题.解：如图，作1//BB QE 交11B A 与E ，则1,RC QE 确定一个平面，转化为例1的情形.连接QR EC ,1,交于点F ；连接PF 交1111,B A D C 延长线于H G ,；连接HQ 交11,BB AA 延长线于J I ,；连接JR 交BC 于K .则KRGPIQK 为所作截面.例3.利用平行关系确定截面在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（）A．2a B．4a C．a D．无法确定解析：设AM k CM=，因为//AB 平面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ MN =，AB Ì平面ABC ，所以//MN AB ，同理可得//PQ AB ，//MQ CD ，//NP CD ，故四边形MNPQ 为平行四边形，所以11MN PQ AB AB k ==+，1MQ NP k CD CD k ==+.因为AB CD a ==，所以1a MN PQ k==+，1ak MQ NP k ==+，所以四边形MNPQ 的周长为2211a ak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭.故选：A.二．截面的的画法小结1.确定截面的主要依据有（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．（3）两个平面平行的性质．2.作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。

立体几何截面问题的十种题型(解析版)

第21讲立体几何截面问题10类【题型一】做截面的基本功：补全截面方法【典例分析】在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2,AD=3,点E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，点E 、F 、C 1∈平面α，直线A 1D 1⋂平面α=P ，则直线BP 与直线CD 1所成角的余弦值是3378 A22 C B 3 D 3 99、、、、答案：B解析：如图，计算可得余弦值是3【变式演练】1.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面是一个（）A ．三角形B ．平面四边形C ．平面五边形D ．平面六边形【答案】D分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F H E ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11A C 、AC 、NE 、1A B ，先证明、、、H P M F 四点共面，再证明N ∈平面HPMF ，P ∈平面HPMF 可得答案.【详解】如图，分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F H E ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11A C 、AC 、NE 、1A B ，且M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，所以11//A C FM 、//HP AC ，且11//A C AC ，所以//HP FM ，即、、、H P M F 四点共面，因为11//=，F BP F BP A A ，所以四边形1A FPB 是平行四边形，所以1//A B FP ，又因为1//A B NH ，得//NH FP ，且FP ⊂平面HPMF ，H ∈平面HPMF ，所以NH ⊂平面HPMF ，得N ∈平面HPMF ，因为11//=，M H MC B C BH ，所以四边形1C MHB 是平行四边形，所以1//C B MH ，又因为1//C B EP ，得//MH EP ，又MH ⊂平面HPMF ，P ∈平面HPMF ，所以PE ⊂平面HPMF ，得E ∈平面HPMF ，所以、、、、、H P E M F N 六点共面，平面六边形HPEMFN 即为经过M 、N 、P 与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面，故选：D.2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，则过三点A 、D1、E 的截面过（）A ．AB 中点B ．BC 中点C ．CD 中点D ．BB1中点【答案】B根据截面特点结合正方形结构性质求解.【详解】取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，如图，则1EF AD ∥，所以F 在截面上,故选：B3.如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ､P ､Q 的平面截该正方体所得的截面记为Ω.若1CQ CC λ→→=，则下列结论错误的是（）A ．当102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,时，Ω为四边形B ．当12λ=时，Ω为等腰梯形C ．当3,14λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，Ω为六边形D ．当1λ=时，Ω的面积为2【答案】C 【分析】根据题意，依次讨论各选项，作出相应的截面，再判断即可.【详解】解：当102λ<<时，如下图1，Ω是四边形，故A 正确；当12λ=时，如下图2，Ω为等腰梯形，B 正确：当314λ<<时，如下图3，Ω是五边形，C 错误；当1λ=时，Q 与1C 重合，取11A D 的中点F ，连接AF ，如下图4，由正方体的性质易得1////BM PC AF ，且=1PC AF ，截面Ω为1APC F 为菱形，其面积为112AC PF ⋅，D 正确.故选：C【题型二】截面形状的判断【典例分析】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据题意可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项B 正确．【详解】如图所示：因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是．故选：B ．【变式演练】1.如图，正四棱锥P ABCD -的高为12，AB =E ，F 分别为PA ，PC 的中点，过点B ，E ，F 的截面交PD 于点M ，截面EBFM 将四棱锥分成上下两个部分，规定BD为主视图方向，则几何体CDAB FME -的俯视图为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据主视图所给方向即可知俯视图中底面正方形，计算可知M 点投影位置，即可得出答案.【详解】研究平面DPB ，设AC 与BD 的交点为O ，BM 与EF 交点为N,,E F 为,PA PC 的中点，N ∴为PO 的中点，12PO =，6ON OB ∴==，又因为12tan 26PO PDB OD ∠===,过点M 作MG DB ⊥，设GB x =，45NBO ∠=︒ ，GB MG x ∴==，又12DB = ，12DG x ∴=-，tan 212xPDB x∠==-,8x GB ∴==,DG ∴为4个格，GB 为8个格，故选：C 2.用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（）A ．直角三角形B ．直角梯形C ．正五边形D ．正六边形【答案】ABC 【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为五边形时，不可能出现正五边形；截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：ABC．3.在正方体1AC 中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段1CC 上一动点（不含C ）过M 、N 、P 与正方体的截面记为α，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______．①当P 为1CC 中点时，截面α为六边形；②当112CP CC <时，截面α为五边形；③当截面α为四边形时，它一定是等腰梯形；【答案】①③.【分析】①延长MN 交AD 于M '，交CD 于N '，延长N P '交11C D 于T ，取11A D 的中点S ，连接M S '交1AA 于P '，连接11,AC A C ，结合图形即可判断；②延长MN 交AD 于M '，交CD 于N '，连接1N D '交1CC 于P ，连接1M D '交1AA 于P '，此时截面α为五边形，求出1CPCC 即可判断；③当截面α为四边形时，点P 与点1C 重合，判断四边形11A MNC 的形状即可.【详解】解：如图①，延长MN 交AD 于M '，交CD 于N '，延长N P '交11C D 于T ，取11A D 的中点S ，连接M S '交1AA 于P '，连接11,AC A C ，因为M 为AB 中点，N 为BC 中点，所以MN AC ∕∕，同理11ST A C ∕∕，又因11AC A C ∕∕，所以ST MN ∕∕，同理,SP PN MP PT ''∕∕∕∕，所以,,,,,S T P N M P '共面，此时六边形STPNMP '为截面α，所以截面α为六边形；故①正确；如图②，延长MN 交AD 于M '，交CD 于N '，连接1N D '交1CC 于P ，连接1M D '交1AA 于P '，此时截面α为五边形因为11CD C D ∕∕，所以11CPN C PD ' ∽，所以11112CP CN C P C D '==，即113CP CC =，所以当113CP CC ≤时，截面α为五边形；故②错误；当截面α为四边形时，点P 与点1C 重合，如图，由①得，11MN A C ∕∕，所以四边形11A MNC 即为截面α，设正方体的棱长为1，则12NC =，12MA =，所以11NC MA =，所以四边形11A MNC 是等腰梯形；故③正确.故答案为：①③.【题型三】平行关系确定截面【典例分析】在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（）A ．2aB ．4aC ．aD ．无法确定【答案】A 【分析】由线面平行的性质定理确定截面MNPQ 的形状，再利用三角形相似的性质求截面MNPQ 的周长.【详解】设AMk CM=，因为//AB 平面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ MN =，AB Ì平面ABC ，所以//MN AB ，同理可得//PQ AB ，//MQ CD ，//NP CD ，故四边形MNPQ 为平行四边形，所以11MN PQ AB AB k ==+，1MQ NP k CD CD k==+.因为AB CD a ==，所以1aMN PQ k ==+，1ak MQ NP k==+，所以四边形MNPQ 的周长为2211aak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭.故选：A.【变式演练】1.在正方体1111ABCD A B C D -中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________.【答案】平面11AC D 平面11A C B【分析】根据题意，结合图形，得出与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是平面11AC D ，平面11A C B ．【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是平面11AC D ，平面11A C B ．11//AA CC ，11AA CC =，∴四边形11ACC A 是平行四边形；11//AC A C ∴，又AC ⊂/平面11AC D ，11AC ⊂平面11ACD ，//AC ∴平面11AC D ；同理//AC 平面11A C B ．故答案为：平面11AC D ，平面11A CB ．2.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．4条【答案】C 【分析】由平行四边形的性质有两对边平行且相等，再应用线面平行的判定可确定线面平行，由线面平行的性质、判定即可知有几条棱与平面α平行.【详解】如下图示，若平面α即为面HEGF 为平行四边形，即//HE FG 且HE FG =，//EG HF 且EG HF =，又HE ⊂面ACD ，FG ⊄面ACD ，则//FG 面ACD ，而FG ⊂面ABD ，面ABD ⋂面ACD AD =，∴//FG AD ，由线面平行判定易知：//AD 平面α；同理可得//EG BC ，易得//BC 平面α.∴该三棱锥与平面α平行的棱有AD 、BC ，共2条.故选：C3.如图是一个以 A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为 ABC ．已知AA 1=4，BB 1=2，CC 1=3.在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1.【答案】存在【分析】取AB 的中点O ，连接OC ，可证明11//,OD CC OD CC =，即四边形ODC 1C 是平行四边形，所以OC ∥C 1D ，由线线平行证明线面平行，即得证【详解】存在，取AB 的中点O ，连接OC ，作OD ∥AA 1交A 1B 1于点D ，连接C 1D ，则OD ∥BB 1∥CC 1.因为O 是AB 的中点，所以OD=12(AA 1+BB 1)=3=CC 1，则四边形ODC 1C 是平行四边形，所以OC ∥C 1D.又C 1D ⊂平面C B 1A 1，且OC ⊄平面C 1B 1A 1，所以OC ∥平面A 1B 1C 1.即在边AB 上存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1.【题型四】垂直关系确定的截面【典例分析】已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)111ABC A B C -的体积为AB =D 是11B C 的中点，点P 是线段1A D 上的动点，过BC 且与AP 垂直的截面α与AP 交于点E ，则三棱锥P BCE -的体积的最小值为A 2B ．32C ．2D ．52【答案】A 【分析】由正三棱柱111ABC A B C -的体积为AB =12AA =，由于P ABC P BCE A BCE V V V ---==+，所以要使三棱锥P BCE -的体积最小，则三棱锥E ABC -的体积最大，设BC 的中点为F ，作出截面如图所示，可得点E 在以AF 为直径的圆上，从而可求出点E 到底面ABC 距离的最大值，进而可求得三棱锥P BCE -的体积的最小值【详解】如图所示，因为正三棱柱111ABC A B C -的体积为AB =(214AA ⨯⨯=，即12AA =，因为(21234P ABC P BCE A BCE V V V ---=⨯⨯=+，所以要使三棱锥P BCE -的体积最小，则三棱锥E ABC -的体积最大，设BC 的中点为F ，作出截面如图所示，因为AP α⊥，所以AE EF ⊥，所以点E 在以AF 为直径的圆上，所以点E 到底面ABC 1322=，所以三棱锥P BCE -的体积的最小值为(21332-⨯⨯=.故选：A.【变式演练】1.如图，ABCD A B C D ''''-为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值【答案】B【分析】将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -与'''C D B C -后，得到一个以平行平面'A BD 与''D B C 为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱''A B 剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形''11A B B A ，考查'E 的位置，确定,S l【详解】解：将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -与'''C D B C -后，得到一个以平行平面'A BD 与''D B C 为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱''A B 剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形''11A B B A ，如图所示而多边形W 的周界展开后便成为一条与'1A A 平行的线段（如图中'1E E ），显然，''11E E A A =，所以l 为定值，当'E 位于''A B 中点时，多边形W 为正六边形，而当'E 称到'A 时，W 为正三角形，则当周长这定值l 的正六22，所以S 不是定值，故选：B 2.正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为4，已知1AC ⊥平面α，1AC β⊂，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（）A ．α截得的截面形状可能为正三角形B ．1AA 与截面αC ．α截得的截面形状可能为正六边形D ．β截得的截面形状可能为正方形【答案】ABC【分析】首先根据已知条件确定截面,αβ，然后根据选项依次判断正误即可.【详解】如图因为正方体1111ABCD A B C D -∴AC BD ⊥，1BD CC ⊥，又∵1AC CC C = ∴BD ⊥平面11ACC A 又∵1AC ⊂平面11ACC A ∴1AC BD ⊥同理：11AC A D ⊥又∵1A D BD D ⋂=∴1AC ⊥平面1A BD ∴平面α可以是平面1A BD ，又因为11A D BD A B ==∴1A BD 为等边三角形，故A 正确取111111,,,,,A D D D CD CB BB A B 的中点,,,,,E G P K H F 并依次连接易知11=2EG A D ∥，因为EG ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ∴=EG ∥平面1A BD 同理：GP 平面1A BD 又因为EG GP G = 且EG ⊂平面EGPKHF ，GP ⊂平面EGPKHF ∴平面EGPKHF ∥平面1A BD ∴平面α可以是平面EGPKHF ∵=EG GP PK KH HF FE ====∴六边形EGPKHF 是正六边形，故C 正确以平面α是平面1A BD 为例计算：设A 到平面1A BD 的距离为h等体积法求距离∵11A A BD A ABD V V --=，∴111133A BD ABD h S AA S ⋅⋅=⋅⋅又因为11=2A BD S ⨯ ，1=44=82ABD S ⨯⨯∴=3h 则1AA 与平面1A BD所成角的正弦值为1=3h AAB 正确对于D 选项：由于直线1AC β⊂，在正方体上任取点但异于1,A C ，与1,A C 可构成平面β，但是截面的形状都不是正方形，故D 错误故选：ABC3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1AA 的中点，平面α过点1D 且与CM 垂直，则（）A ．CM BD⊥B ．//BD 平面αC ．平面1//C BD 平面αD ．平面α截正方体所得的截面面积为92【答案】ABD【分析】分析出BD ⊥面ACM ，可判断选项A ；取AD 的中点E ，由平面几何知识可知，1DM D E ⊥，从而判断出CM ⊥面11B D EF ，即平面α截正方体所得的截面为梯形11B D EF ，从而可判断剩余的三个选项.【详解】连接AC ，则AC BD ⊥，又因为BD AM ⊥，AC AM A ⊥=,所以BD ⊥面ACM ，又因为CM ⊂面ACM ，所以BD ⊥CM ，故选项A 正确；取AD 的中点E ，AB 的中点F ，连接1D F ，EF ，1B F ，DM ，11B D ,在正方形11ADD A 中，由平面几何知识可知，1DM D E ⊥，又因为1CD D E ⊥，CD DM D ⋂=，所以1D E ⊥面CDM ，所以1D E CM ⊥,又因为BD ⊥CM ，所以11B D CM ⊥，又因为1111D E B D D ⋂=,所以CM ⊥面11B D EF ，即平面α截正方体所得的截面为梯形11B D EF ，所以显然//BD 平面α，选项B 正确；平面1C BD 与平面α不平行，选项C 错误；在梯形11B D EF 中，11B D =EF =11B F D E ==所以梯形的高为2，所以梯形11B D EF 的面积为92，即平面α截正方体所得的截面面积为92，故选项D 正确.故选：ABD.【题型五】求截面周长【典例分析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 的四等分点（靠近点1D ），过点,,A E F 作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点,,A E F 的正方体的截面，从而求截面的周长.【详解】如图，取11C D 的中点H ，取1CC 上靠近点1C 的三等分点G ，连接,,,,AE EG GH HF FA ，易证//,//AE HF AF EG ，则五边形AEGHF 为所求截面.因为4AB =，所以111182,3,1,3BE CE C H D H A F D F CG =======，143C G =则103AE EG ==，5,GH HF AF ===故该截面的周长是AE EG GH HF AF ++++【变式演练】1.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A ．B ．C ．D ．2【答案】B【分析】根据题意先作出截面，进而算出截面各边的长度，最后得到答案.【详解】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，延长AF 与CC 1的延长线交于M ，连接EM 交B 1C 1于P ，连接FP ，则四边形AEPF 为所求截面.过E 作EN 平行于BC 交CC 1于N ，则N 为线段CC 1的中点，由1MFC 相似于MAC △可得MC 1=2，由1MPC △相似于MEN 可得：111242,2333PC PC B P =⇒==，在1Rt AA F 中，112,1AA A F ==，则AF ==，在Rt ABE △中，2,1AB BE ==，则AE ==1Rt B EP 中，1121,3B E B P ==，则PE =在1C FP 中，11141,,603C F C P FC P ==∠=︒，由余弦定理：2224413121cos 60339PF ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭，则PF ==故选：B.2.已知在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．【答案】【分析】根据正方体的性质作出截面图形，进而算出周长.【详解】如图，延长EF ，A 1B 1，相交于点M ，连接AM ，交BB 1于点H ，延长FE ，A 1D 1，相交于点N ，连接AN ，交DD 1于点G ，连接FH ，EG ，可得截面为五边形AHFEG .因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，且E ，F 分别是棱C1D 1，B 1C 1的中点，由中位线定理易得：EF ＝AG ＝AH ＝EG＝FH AH ＋HF ＋EF ＋EG ＋AG ＝故答案为：＋3.已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，AB BC ⊥，2AB BC ==.过AB 、1BB 的中点E 、F 作平面α与平面11AA C C 垂直，则所得截面周长为（）A ．+B C ．D ．【答案】C【分析】确定平面α与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长.【详解】如下图所示，取AC 的中点J ，连接BJ ，取AJ 的D ，连接DE ，取11A C 的中点K ，连接KJ 、1B K ，AB BC = ，J 为AC 的中点，则BJ AC ⊥，1AA ⊥ 平面ABC ，BJ ⊂平面ABC ，1BJ AA ∴⊥，1AC AA A ⋂=，BJ ∴⊥平面11AA C C ，D Q 、E 分别为AJ 、AB 的中点，则//DE BJ 且12DE BJ =，DE ∴⊥平面11AA C C ，DE ⊂ 平面DEF ，所以，平面DEF ⊥平面11AA C C ，所以，平面α即为平面DEF ，设平面α交11B C 于点I ，在直棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，所以，四边形11AA C C 为平行四边形，11//AC A C ∴且11AC A C =，J 、K 分别为AC 、11A C 的中点，1//AJ A K 且1AJ A K =，所以，四边形1AA KJ 为平行四边形，1//KJ AA ∴且1KJ AA =，11//BB AA 且11BB AA =，1//KJ BB ∴且1KJ BB =，所以，四边形1BB KJ 为平行四边形，//DE BJ ，DE ⊄平面1BB KJ ，BJ ⊂平面1BB KJ ，//DE ∴平面1BB KJ ，设平面α 平面1BB KJ FG =，DE ⊂ 平面α，所以，//DE FG ，//FG BJ ∴，//BF GJ ，所以，四边形BFGJ 为平行四边形，可得11122GJ BF BB KJ ===，所以，G 为KJ 的中点，延长DG 交11A C 于点H ，//DJ KH ，所以，DJG HKG ∠=∠，JDG KHG ∠=∠，又JG KG = ，所以，DJG HKG ≅△△，11122HK DJ AJ KC ∴===，H ∴为1KC 的中点，因为平面//ABC 平面111A B C ，平面α 平面ABC DE =，平面α 平面111A B C IH =，//DE IH ∴，//DE BJ ，1//BJ B K ，//DE IH ，1//IH B K ∴，I ∴为11B C 的中点，AB BC ⊥，2AB BC ==，则AC ==J 为AC的中点，12BJ AC ∴==122DE BJ ==，同理2IH =，因为直棱柱111ABC A B C -的棱长为2，F 为1BB 的中点，1112BF BB ∴==，由勾股定理可得EF ==IF =，1//KJ BB 且12KJ BB ==，1BB ⊥平面ABC ，KJ ∴⊥平面ABC ，AC ⊂ 平面ABC ，KJ AC ∴⊥，G 、D 分别为KJ 、AJ 的中点，则112GJ KJ ==，122DJ AJ ==，由勾股定理可得DG，同理GH =因此，截面的周长为22DE IH EF IF DH ++++=++.故选：C.【题型六】求截面面积【典例分析】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1124BE BB ==，143AB AA =，则该四棱柱被过点1A ，C ，E 的平面截得的截面面积为______.【答案】【分析】在1DD 上取点F ，使得12D F =，连接1,A F CF ，则四边形1A ECF 是平行四边形，由勾股定理可得11,,A E CE A C ，再结合余弦定理与面积公式即可求解【详解】由题意，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1124BE BB ==，143AB AA =，可得1118,2AA BB CC BE ====，在1DD 上取点F ，使得12D F =，连接1,A F CF ，则有11,//A F CE A F CE =，所以四边形1A ECF是平行四边形，由勾股定理可得11A E CE A C ======所以2221111cos 210A E CE A C A EC A E CE +-∠==-⨯,所以1sin 10A EC ∠=，所以四边形1A ECF 是平行四边形的面积为11sin 1210A E EC A EC ⨯⨯∠==，故答案为：【变式演练】1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（）A ．5B ．C ．D ．【答案】D【分析】作出示意图，设F 为1BB 的中点，连接1,,AF FC EF ，易得平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E ，再计算其面积.【详解】如图所示，设F 为1BB 的中点，连接1,AF FC ，设G 为1CC 的中点，连接,EG GB ，由//EG AB 且EG AB =，得ABGE 是平行四边形，则//AE BG 且AE BG =，又1//BG C F 且1BG C F =，得1//AE C F 且1AE C F =，则1,,,A E C F 共面，故平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E .又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，11AF FC EC EA ===，1AC =EF =1EF AC ⊥，故1AFC E 的面积为12S =⨯=故选：D.2.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（）A 2B ．298aC ．24aD 2【答案】B【分析】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，证明出1//EF BC ，故四点B 、1C 、E 、F 共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ，根据已知，即可求解.【详解】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，因为11//AB C D 且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，E 、F 分别为1AA 、11A D 的中点，所以，1//EF AD 且112EF AD a =，所以，1//EF BC ，故B 、1C 、E 、F 四点共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ，其中2EF a =，1BC =，12BE C F a =，过点E 、F 在平面1BC FE 内分别作1BC 的垂线，垂足点分别为G 、H ，因为1BE C F =，1EBG FC H ∠=∠，12EGB FHC π∠=∠=，所以，1Rt EBG Rt FHC ≅△△，故1BG C H =，在平面1BC FE 内，因为1EG BC ⊥，1FH BC ⊥，1//EF BC ，所以，四边形EFHG 为矩形，则GH EF a =，所以，112BC EF BG C H a -==，所以，梯形1BC FE 的高4h a ==，梯形1B CFE 的面积2192428a S a a ⎫=⨯⨯=⎪⎪⎭.故选：B.3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面为___________，其面积为___________.【答案】四边形1AECQ 【分析】第一空，先画出1,,A P C 所在平面，由平面11//AA DD 平面11BB CC 得出1//AQ EC ，1//AQ EC ，1A E C Q ，，，四点共面，即为所求截面；第二空由已知条件可求出11AE EC AC ==1AEC 的面积，再乘以2可得截面的面积.【详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ EC ，同理1//AQ EC ，所以四边形1AEC Q 是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为12B P PC =，所以112C B CE =，即1EC EB ==所以11AE EC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25AE EC AC AEC AE EC +-∠==⨯，所以1sin AEC ∠，所以1AEC Q S四边形1112sin 22AE EC AEC =⨯⨯⨯∠=故答案为：四边形1AEC Q。

高三培优讲义18---立体几何体中的截面问题(1)

专题3-4 立体几何体中的截面问题（常考题型梳理）一、如何做截面？作出过EFG 三点的截面C 1DABB 1A GC 1DABB 1A G二、如何确定截面是否已经“搞定”？题型一作截面类型1：三个点在棱上 1．作出过EFG 三点的截面2．作出过EFG 三点的截面,EFG 为所在棱上中点（三条边都在正方体内部）ED 1C 1CGD FABA 1B 1EF D 1C 1CG D ABA 1B 1GF ED 1C 1CDABA 1B 1ED 1C 1CDFABA 1B 1G 重点题型·归类精讲3．如图①，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，P 为线段BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，若12CQ <<，请在图中作出截面S （保留尺规作图痕迹）；4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −，点E 为棱1CC 的中点，在图中作出平面1BED 截正方体所得的截面图形(如需用到其它点，需用字母标记并说明位置)，并说明理由.类型二：两个点在棱上，一个点在面上5．已知G 是底面ABCD 上一点，E,F 为棱上的点，作出过EFG 三点的截面1C DBA B 1GE F题型二补全截面再判断位置关系武汉调研&浙江杭州二模6．（多选）如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线MN //平面ABC 的是( )2023·温州模拟7．下列正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则能满足//AB 平面MNP的是（）A ．B ．C ．D ．题型三确定截面形状8．在正方体1111ABCD A B C D −中，1BB 和11C D 的中点分别为M ，N ．如图，若以A ，M ，N 所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为( )A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形AAMCBBCAB MC BNCMDCAB M9．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，2AB =，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 上的一动点，过点A ，E ，F 作该正方体的截面，则该截面不可能是( )A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．五边形D ．六边形2023·重庆巴蜀中学高三校考10．（多选）已知截面定义：用一个平面去截一个几何体，得到的平面图形（包含图形内部）称为这个几何体的一个截面.则下列关于正方体截面的说法，正确的是（） A ．截面图形可以是七边形B ．若正方体的截面为三角形，则只能为锐角三角形C ．当截面是五边形时，截面可以是正五边形D ．当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形2024届雅礼中学月考（二）11．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为______边形12．如图正方体1111ABCD A B C D −，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ､P ､Q 的平面截该正方体所得的截面记为Ω.若1CQ CC λ→→=，则下列结论错误的是（）A ．当102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,时，Ω为四边形B ．当12λ=时，Ω为等腰梯形 C ．当3,14λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，Ω为六边形D ．当1λ=时，Ω6题型四截面周长，面积相关计算13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点EF 分别是棱111,B B B C 的中点，点G 是棱1C C 中点，则过线段AG 且平行于平面1A EF 的截面的面积为________．14．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，则过三点A,D 1,E 的截面面积等于（）FED 11CDBA B 1A ．3 2B ．3 102C ．92D ．315．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别为棱AB ，11B C 的中点，过C ，M ，N 三点作正方体的截面，则以B 点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为( )A ．83B ．8C 83D 163162ABCD A B C D −''''中，点E 、F 、G 分别是棱A B ''、B C ''、CD 的中点，则由点E 、F 、G 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于．17．如图，在正方1111ABCD A B C D −中，2,,,,,AB E F P M N =分别是11,,,,AB CC DD AD CD 的中点，存在过点,E F 的平面α与平面P MN 平行，平面α截该正方体得到的截面面积为______D1C CDBB 1A题型五球的截面计算计算球截面基本规律 1.确定球心和半径2.寻找做出并计算截面与球心的距离3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质4.强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。

几何体中的截面问题

几何体中的的截面问题1 •定义及相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. 此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线•此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点.2 •作多面体的截面方法（交线法）：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面.题型一、截面的形状AG 的棱BB 、CC 和DD 上，试画出过P 、Q R三点的⑶连接QP RM 则四边形PQR 即为所求。

A1^X j___________1 R *丿AQB1. P 、Q R 三点分别在直四棱柱截面. 1解答:（1）连接QP QF 并延长,分别交CB CD 的延长线于E 、F .A 1C i 连接 EF 交AB 于T ，交AD 于S.连接RS TP 。

则多边形PQRS 即为所求截面。

P 、Q R 分别是四棱柱 ABC —A i BGD 的棱CD DD 和AA 上的点，且 QF 与 AD 不2解答：（1）连接QP 并延长交DA 延长线于点I⑵在平面ABC 呐连接PI 交AB 于点MQCED 1已知 2.注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。

② 若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。

③ 若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点3. —个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选 D 。

题型二、截面面积、长度等计算 4.过正方体 ABCD A B 1C 1D 1的对角线BD i 的截面面积为 S , Sax 和Sin 分别为S 的最大S值和最小值，则Smax 的值为()S m in4答案：C为1),其面积S(min)= ——.而截面BBDD 是矩形，其面积S(max)= .25.如图，已知球0是棱长为1的正方体 ABC B ABCD 的内切球，则平面ACD 截球0的截面面积为 5答案：—6解析：平面ACD 是边长为.「的正三角形,A.B. -6C. D.2、6解析：设M N 分别为AA 、CC 的中点.易证截面BM 1N 是边长为5的菱形(正方体棱长设2D、G的三个面的切点恰为三角形 ACD 三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ ACD i 内切圆的半径是 L2nX所以 |AC| 1, AC 0C |0C| OA |2 |AC |27.已知正四棱锥 P — ABC 啲棱长都等于a ,侧棱PB 底面ABC 斷成二面角大小的正切值为17答案：12解析：过A 在平面ABC 内作直线I BD ，连接AC,BD 交于0,1.当0 CQ -时，则0 DT 1.所以截面S 为四边形，且S 为梯形.所以为真.X tan30 ° = 「，则所求的截面圆的面积是66•已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆•若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于A. 1B. 2C. 3D. 26答案：C解析：0,与02的公共弦为 AB,球心为O, AB 中点为C,则四边形OQO Q C 为矩形,|0,02 | |0C|, J0A|2,PD 的中点分别为 M N,则截面AMNW 连接PO MN 记P0M 交于0'.因为PB PD 勺中点分别为M N ，所以MN BD I MN A II I0A0AOP0 -ia 200 -ia 4tan 0 A0 -ABCDA -B iC iD - CC - 0 CQ 1 CQ 1 CQ2 21 3CQ 1 CQ 1设截面与DQ 相交于T,则AT // PQ 且AT2PQDT 2CQ 对①,21对②，当CQ 时,DT = 1 ,丁与D1重合，截面S为四边形APQD1,所以AP DQ.截面2S为等腰梯形.所以为真.对③，当CQ3时 4 QC ii 3ii-,DT -,D i T-•利用三角形相似解得CiR所以为真•3对④，当- CQ代3 1时,-DT 2.截面S 与线段A i D i ,D i C i 相交，所以四边形S 为五边形.所以为假•对⑤，当 CQ 1时， Q 与C i 重合，截面S 与线段A i D i 相交于中点G i 即为菱形APC i G i AAC 垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 S,周长为l .则（）A. S 为定值，I 不为定值 B • S 不为定值，I 为定值对角线长度分别为[6、2和•-.；:3,S 的面积为 •所以为真.9•如图，ABCDA 1B 1C 1D 1为正方体。

指点迷津(八) 空间几何体的截面问题

3 3
因为 4
>
2 3
3
>
3 2
4
>
1
S=6·2
3
,选项
2
·
2
3 3
·sin 60° = 4 .
B,C,D 错误,故选 A.
(方法2)B1A1,B1B,B1C1与平面A1BC1所成的角都相等,如图所示,
在AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A上分别取点E,F,G,H,K,L.
设BE=BF=C1G=C1H=A1K=A1L=x,则CF=CG=D1H=D1K
α∥平面A1BC1或者α与平面A1BC1重合.根据图形的对称性选择恰当的截面
进行探索.分别设AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点为E,F,G,H,K,L,易证点
E,F,G,H,K,L共面.则正六边形EFGHKL平行于平面A1BC1.
由 KH
1
A1C1,得
2
KH=
2
,
2
正六边形 EFGHKL 的面积
面的条件;(2)三线共点的条件;(3)面面平行的性质定理.
对点训练(2021内蒙古呼和浩特一模)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1
中,E为B1C1的中点,则过B,D,E三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的
截面面积为(
)
3 10
A.
2
9
B.
2
C.3 2
D.2 10
答案:B
解析:取D1C1的中点F,连接DF,EF,BE,即等腰梯形BEFD为截面,
2
则 S=
2+ 2
2
2
·h2.点 E 到 LG 的距离 h1= [ 2(1-)] -

七年级截面的知识点

七年级截面的知识点截面是指在空间中某一平面内割过一个物体或几何体的形状。

在七年级数学中，我们学习到了许多关于截面的知识，接下来就让我们来一起回顾一下这些知识点。

一、常见几何体的截面形状1. 矩形截面矩形截面常出现在长方体的情况下，即将长方体沿着一条平行于底面的平面割开，得到的截面就是矩形。

我们可以用截面的长度和宽度来求得截面的面积。

2. 平行四边形截面平行四边形截面出现在棱柱和棱锥中。

我们可以通过将一个棱柱或棱锥沿着一个平行于底面的平面割开得到平行四边形，这个截面的面积可以用底边长和高来计算。

3. 圆形截面圆形截面出现在圆柱和圆锥中，我们可以将它们沿着垂直于底面的平面切开，从而得到一个圆形。

圆形截面的面积可以用面积公式S=πr²求出。

4. 三角形截面三角形截面出现在棱柱和棱锥中，我们可以将它们沿着一条沿着底面斜着切的平面得到三角形。

三角形截面的面积可以用三角形面积公式S=½bh求出。

二、计算截面的面积计算截面的面积要先确定截面的形状，然后根据相应的公式进行计算。

比如矩形截面的面积可以用公式S=lb求出，其中l和b 分别是矩形截面的长度和宽度。

对于其他截面形状，我们也可以根据公式来计算，如平行四边形的面积可以用公式S=bh求出，圆形的面积可以用公式S=πr²求出，三角形的面积可以用公式S=½bh求出。

三、应用在学习截面的知识点后，我们可以将它应用到现实生活中。

比如，我们可以利用长方体的矩形截面面积来计算一个包装盒所需要的纸张大小，或者利用圆柱形的截面来计算一个圆桶的容积。

在物理学中，截面的概念也很重要，比如光线通过物体时会产生某一形状的截面，而这个截面的大小和形状会影响光的传播。

总之，截面的知识点在数学、物理学等学科中有着广泛的应用，我们应该认真学习并加以应用。