含参的二次函数最值
二次函数求最值的方法
二次函数求最值的方法一提及函数就会让很多人望而生畏，不过也有很多人热衷于探索函数的本质。
函数的概念并不难，尤其是曲线函数。
在曲线函数中，二次函数是一种重要和实际的分析方法。
这篇文章将为你普及，如何利用二次函数来求取最大值和最小值。
首先，我们必须明白函数解析式。
在数学中，函数被定义为：给定一组输入值，每个输入值都有一个对应的输出值，而这种输入和输出定义关系就称为函数。
我们有一个函数 f (x)，其中每个值 x应一个值 f (x)。
函数 f (x)阶，决定了函数的特征，其中，二次函数的解析式为：f(x)=ax2+bx+c 。
参数 a、b c为实数，并且 a≠0 。
通常情况下，求函数 f (x)最大值和最小值，只需要分析函数的解析式，就可以计算出最大值与最小值的值。
接下来，我们就来分析一下求二次函数最值的方法：二次函数最大值及最小值解法：（1）首先，求二次函数的极值点，即满足：f′(x)=0则 x= -b/2a（2）其次，求出在 x= -b/2a的函数值，即：f (-b/2a)= (a(-b/2a)2+b(-b/2a)+c）=-b2/4a+c（3）最后，比较 -b2/4a+c f (x)其它 x 上的值，若 -b2/4a+c 于其它 x 上函数值，则 x = -b/2a，函数 f (x)值-b2/4a+c 为最大值；若 -b2/4a+c于其它 x 上函数值，则其它 x 上函数值取最大值。
以上就是求解二次函数最值的方法，总结起来，我们需要做以下几件事：（1）求函数 f′(x)=0解；（2）求函数 f (-b/2a)值；（3）求最大值或最小值时，取最大或最小值。
在实际应用中，我们可以利用上述步骤求解一个二次函数的最值，该方法简单实用，也可以用来解决复杂函数的求解。
从上面可以看出，求解和研究函数可以帮助我们更好地理解数学，进而可以更好地运用它们去求解实际应用的问题。
二次函数求最值的方法正是这种应用的一种实例，不仅可以让我们更好地理解曲线函数，也可以让我们更好地应用它们来求解实际的问题。
二次函数相关的定义域与最值问题
二次函数相关的定义域与最值问题一.定义域为R的含参不等式题型例1.函数y＝xkx2＋kx＋1的定义域为R，则实数k的取值范围为( )A．k<0或k>4 B．0≤k<4C．0<k<4 D．k≥4或k≤0变式：函数y＝√ax²+ax+2的定义域为R,则实数a的取值范围为练习：1.函数f(x)＝1ax2＋4ax＋3的定义域为R，求实数a的取值范围。
2.不等式ax²-2ax+3≥0的解集为R，求实数a的取值范围。
二．求二次函数在某一闭区间上的最值（定轴定区间型）例2．求函数y=x²-2x-3在x∈[-2,2]上的最大值与最小值。
练习：(1)求函数y=x²-6x+1在[0,4]的最值。
（2）求函数y=-2x²-4x+7在下列范围内的最值①x∈[-3,0]② x∈[0,4]三．含参二次函数在某一闭区间上的最值（动轴定区间型）二次函数随着参数的变化而变化，即其图像是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况为“动二次函数在定区间上的最值”例3.求函数f(x)＝x²-2a x+3在x∈[0,4]上的最值变式：已知函数f(x)＝-x²+2a x+1-a,在x∈[0,1]上的最大值为2，求实数a的值。
练习：求函数f(x)＝-2x²+2ax+1在x∈[-1,1]上的最大值四．二次函数在动闭区间上的最值（定轴动区间型）二次函数是确定的，但它的定义域区间是随着参数的变化而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”例4.求函数f(x)＝x²-2x-5在x∈[t,t+1]上的最小值（其中t为常数）练习：求函数f(x)＝x²-2x+3在x∈[a,a+3]上的最值课后练习1.函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )A.f32，f −32B.f(0)，f32C.f −32，f(0) D.f(0)，f(3)2.若函数f(x)=2x+6,x∈[1,2],x+7,x∈[−1,1),则f(x)的最大值为，最小值为.3.若不等式a≤x2-4x对任意x∈[0，4]恒成立，则a的取值范围为.4.设函数y=f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，并且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f13=1.(1)求f(1)的值.(2)若存在实数m，使得f(m)=2，求m的值.(3)若f(x-2)>2，求x的取值范围.。
二次函数含参问题
二次函数含参问题 (1)姓名________ 班级________ 学号____________1.“动轴定区间”型的二次函数最值例 函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。
例 函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值2“动区间定轴”型的二次函数最值例 求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。
3.“动轴动区间”型的二次函数最值已知函数22()96106f x x ax a a =-+--在1[,]3b -上恒大于或等于０，其中实数[3,)a ∈+∞,求实数b 的范围．巩固习题1．已知函数()222f x x x =++，若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。
2．已知函数2()3f x x =-+，若()26f x kx ≤-+在区间[]2,1-上恒成立，求实数k 的取值范围。
3．已知k 为非零实数，求二次函数,122++=kx kx y (,2]x ∈-∞的最小值。
4．已知3a ≤，若函数()221f x x ax =-+在[]3,1上的最大值为()a M ，最小值为()a m ，又已知函数()()()a m a M a g -=，求()a g 的表达式。
5. 已知函数()12-+=ax ax x f ，若()0<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
6. 当20≤≤x 时，函数()()3142-++=x a ax x f 在2=x 时，取得最大值，求实数a 的取值范围。
7. 已知函数322+-=x x y ，在m x ≤≤0时有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围。
8. 已知函数()122+-=px x x f ，当0≥x 时，有()0≥x f 恒成立，求实数p 的取值范围。
9. 方程0122=++x ax 至少的一个负数根，求实数a 的取值范围。
二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总
二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总含参的二次函数在高中阶段考试中经常出现，因为参数的存在使得函数形成一种动态，随着参数的变化，函数也会不同。
这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。
例如，考虑求解$f(x)=x-2ax$在$[2,4]$上的最大值和最小值。
由于参数的存在，这个函数是动态的。
为了解决这个问题，我们需要考虑动轴定区间问题，即对称轴随着参数的变化而变化，但是在给定区间上问最大值和最小值。
对于这个问题，需要分类讨论。
在$[2,4]$这个区间上，可能出现对称轴不在这个区间里面的情况，对称轴就在区间里面的情况，或者对称轴在区间右侧的情况。
因此，我们需要分别考虑这些情况。
具体来说，我们需要找到在整个函数的区间上，哪个数离对称轴最远。
这个分界线就应该在$2$和$4$中间的位置上，即$3$。
当对称轴在$x=3$这条线左边的时候，对称轴离$2$就比较近，离$4$就比较远；对称轴在右边的时候，离$2$就比较近，离$4$就比较远。
因此，这个函数的最大值可以表示为：f_{\max}(x)=\begin{cases}f(4)=16-8a& (a\leq 3)\\f(2)=4-4a&(a>3)\end{cases}$$当$a=3$时，放在哪边都可以。
代入上面的式子，得到$f_{\max}(x)=-8$。
因此，最大值为$-8$。
接下来，我们来讨论含参的二次函数的最大值和最小值问题。
这类问题的重点在于能否清晰地做分类讨论，得到一个分段函数的解析式。
我们可以按照对称轴的位置进行分类讨论。
首先，对于对称轴在区间左侧，且$a\leq 2$的情况，函数在$x=2$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(2)=4-4a$。
其次，对于对称轴在区间中间，即$24$的情况，函数在$x=4$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(4)=16-8a$。
另外，还有一类问题叫做定轴动区间的问题。
对于这类问题，我们同样需要进行分类讨论，只不过区间在变化。
含参二次函数的最值问题
5a x
(2)当1 a 5时
f (x)min =f(1)=-4 f (x)max =f(-3)=12
(3)当a 5时
f (x)min=f(1)=-4 f (x)max =f(a)= a2-2a-3
小结：
本节课讨论了两类含参数的二次函数最 值问题:
(1)轴动区间定 (2)轴定区间动 核心思想仍然是判断对称轴与区间的 相对位置，从中体会到数形结合思想、分类 讨论思想。
❖第2类:函数对称轴固定，动区间 例2：
求函数f (x) x2 2x 5在区间t,t 2上的最大值
对称轴：x=1
(1)t+2≤1时，即：t ≤ -1时， 函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递 增当x=t+2时，y有最大值， y max = f(t+2)= -t2-2t+5
(2)t<1<t+2,即-1<t<1时 当x=1时，y有最大值， y max = f(1)= 6
若0 a 2，则函数f(x)的最小值为f (a) a2 1
若 a 2 ，则函数f(x)的最小值为f(2)=3—4a.
所以，
1, (a 0) f (x)min a2 1, (0 a 2)
3 4a, (a 2)
变式作业上第9题
已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值 23：求二次函数f(x)=x2-2x-3 在[-3,a] (a>-3)上的最值
y
a -3 o 1
(1)当 3 a 1时
f (x)min=f(a)=a2-2a-3 x f (x)max =f(-3)=12
f(x)=x2-2x-3,x∈[-3,a] (a>-3)
《二次函数的最值问题》教案
二次函数的最值问题一、内容与内容解析1.内容含参二次函数在m x n ≤≤内的最值问题.２.内容解析本节课在讨论了影响0a ＞时二次函数在m x n ≤≤内最值的因素后对0a ＞时含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题进行探究.主要的研究方法是从函数图像入手，通过几何画板动态演示，确定分类标准，进行分类讨论,进而对分类标准进行优化，得到解决此类问题的一般方法，并运用此方法解决相关的最值问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从函数图像入手，运用分类讨论思想求含参二次函数在m x n ≤≤内最值.二、目标和目标解析1.目标(1)通过复习二次函数图像的特征和性质，能够借助二次函数的图像研究二次函数的最值.(2)通过对二次函数在m x n ≤≤内最值问题初探、对含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题的探究，经历直观感知、抽象概括、运算求解、反思与构建等思维过程，体会函数思想，分类讨论等数学思想方法，发展数学感知、数学表征、抽象概括、运算能力等.2.目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助二次函数的图像研究二次函数在m x n ≤≤内的最值，并能由此得到二次函数在m x n ≤≤内最值的影响因素，进一步体会函数思想.达成目标(2)的标志是：借助二次函数的图像求解含参二次函数在m x n ≤≤内最值，进一步体会函数思想和分类讨论的思想.三、教学问题诊断分析学生已学习了二次函数的概念、图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力、数学说理能力，这为本节课的学习奠定了基础.但对于含参二次函数在m x n ≤≤内的图像及最值问题，由于其抽象程度较高，学生可能会在为什么要进行分类讨论以及如何确定分类标准这两个问题上产生一定的困难.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何确定分类标准.四、教学过程设计引言:(展现生活实例，体现研究二次函数在m x n ≤≤内最值的必要性)本节课，我们将结合二次函数的相关知识深入研究二次函数的最值问题.1.复习导入，自主发现问题1如图，(5,),(8,),(1,),( 3.9,)A B C D A y B y C y D y --在二次函数2134y x x =--的图像上，请比较：(1)B y A y ；（2） D y C y ；（3）D y B y ；（4）C y A y .问题2根据问题1的结论填空：（1）二次函数2134y x x =--（58x ≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（2）二次函数2134y x x =-- ( 3.91x -≤≤-)，当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（3）二次函数2134y x x =--（ 3.98x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（4）二次函数2134y x x =--（15x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.师生活动: 教师提出问题，学生尝试用已有知识解决这些问题，并交流问题中蕴含的函数知识和对这些知识的理解.追问1：这些二次函数的图像是完整的抛物线吗？追问2：为什么有的（二次函数的）最值能在顶点处取到，有的却不能呢？追问3：通过对上面问题的研究，你认为二次函数在 内的最值的取得与什么有关？师生活动:通过对前面问题的研究，自主发现影响二次函数在 内的最值的因素：对称轴和m x n ≤≤的相对位置.若对称轴不在m x n ≤≤内时，最值在端点处取得；对称轴在m x n ≤≤内时，最值在顶点和端点处分别取得.遇到这类问题时，我们通常要结合函数图象进行分析.设计意图：引导学生通过观察函数图像，直观地发现对称轴和 的相对位置影响了二次函数的最值.为下一步解决0a ＞时含参二次函数在 内的最值问题做铺垫. 2.问题剖析，合作探究探究1：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值. 师生活动:教师引导学生先观察函数解析式，分析参数t 的变化对二次函数图像的影响，然后借助计算机软件，直观感受对称轴和m x n ≤≤的相对位置如何影响二次函数的最小值.最后全班交流，确定分类标准，学生独立补全解题过程.追问1：观察本题中的函数解析式与前面 有什么区别？ m x n ≤≤2134y x x =--m x n ≤≤m x n ≤≤m x n ≤≤追问2：随着参数t 的变化，二次函数2134y x tx =--图象的开口方向和开口大小会改变吗？对称轴呢？追问3：二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值是唯一确定的吗？ 师生活动:关注学生是否明确此处为什么要进行分类讨论，体会分类讨论的必要性. 追问4：如何确定分类标准？如何用数学符号表达这种关系呢？师生活动: 师生共同讨论写出分类标准.教师规范格式以后要求学生将过程补齐. 设计意图：探究0a ＞时含参二次函数在 内的最小值问题，让学生体会解决这一类问题的基本方法.培养学生直观感知、抽象概括、数学表征能力，激发自主学习的积极性和探究意识.引导观察，发现分类依据，培养探究意识.探究2：已知关于x 的二次函数y 1＝x 2+bx +c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x ＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b 2﹣c ＝0，当b ﹣3≤x ≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2＝2x 2+x +m ，若在（1）的条件下，当0≤x ≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．师生活动：要求学生独立解决，写出分析过程，小组内交流讨论，最后全班汇报交流.对于学生展示的分类方法，教师适当引导和纠正，让学生理解如何进行分类讨论（不重复，不遗漏），并对分类方法进行优化.最后共同归纳出求含参二次函数在m x n ≤≤内最值的一般方法：一般先确定对称轴与m x n ≤≤的相对位置关系，分别画出示意图，确定分类标准，再进行分类讨论.设计意图：在探究1的基础上进一步探究 时含参二次函数在 内的最大值问题，重点体会解题过程中分类标准的确定.师生活动：回顾探究1和探究2的过程，体会它们的相同与不同之处.追问1：为什么有时候分3类，有时候分2类就可以了？什么时候分2类，什么时候分3类呢？追问2：你能直接判断它们分别分几类进行讨论吗：师生活动：通过类比探究1和探究2归纳：求二次函数在m x n ≤≤上的最值不仅min 2min min 2min 10242,12,2211,2321111,1,2422(1)13()2111()42x t t t x y t t t x t y t t t x y t t t y t t t t =--=-=---==---==--⎧⎪--⎪⎪=---⎨⎪⎪--⎪⎩解：＞，对称轴：（1）当2＜即＜时：（2）当2≤2≤即1≤≤时：，（3）当2＞即＞-时：＜综上所述：1≤≤＞-m x n≤≤m x n ≤≤0a ＞要看对称轴与m x n ≤≤的相对位置，还要看开口方向.开口向下时，可类比开口向上的数学模型进行讨论.设计意图：讨论0a ＞时含参二次函数在 内最小值的分类问题，体会开口方向对函数最值的影响.3.归纳总结师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们研究了哪些问题？（2）我们是如何分析、解决这些问题的？（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？设计意图：通过小结，理清本节课的研究内容和研究方法.让学生体会提出问题、分析问题、解决问题的方法.4.课外作业(1) 必做题：①求二次函数223y x ax =--+（45x -≤≤）的最值.②已知二次函数221y ax ax =++（12x -≤≤）有最大值4，求实数a 的值.(2) 选做题：求二次函数223y x x =-+（2t x t ≤≤+）上的最值.（3）兴趣作业：通过本节课的学习，你能自己提出一个二次函数最值相关的问题并进行解答吗？试试看，和同伴交流你的想法.设计意图：巩固本节课所学内容，利用前面归纳的结论来解决二次函数最值的相关问题，加深对含参二次函数在 内的最值问题的认识.体会函数思想.提升学生分析问题，解决问题的能力.m x n ≤≤m x n≤≤。
二次函数方程不等式的含参问题
二次含参模块已知单调区间求参问题............................................................................................................. - 2 - 含参二次函数在闭区间内最值问题........................................................................................... - 3 - 解含参一元二次不等式........................................................................................................... - 12 - 一元二次不等式恒成立问题................................................................................................... - 17 - 二次方程根的分布..................................................................................................................... - 27 -已知单调区间求参问题【例1】,对称轴为,判断,,的大小?【答案】【例2】,在上单调递增，上单调递减，则下列说法正确的是不确定【答案】B.【例3】在上单调，求的范围?【答案】∞，，.含参二次函数在闭区间内最值问题一、含参求最值........................................................................................................................... - 4 -（一）轴定区间定............................................................................................................... - 4 - （二）轴动区间定............................................................................................................... - 5 - （三）轴定区间动............................................................................................................... - 6 - （四）相关练习................................................................................................................... - 6 - 二、已知最值求参....................................................................................................................... - 8 -（一）已知最值求参——先斩后奏................................................................................... - 8 - （二）已知值域求参......................................................................................................... - 10 -一、含参求最值设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-+≤-=22)(22)()(maxn m a b m f n m a b n f x f()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤-≤-<-=n a b n f n a b m a b f m abm f x f 2)(2)2(2)(min；（一）轴定区间定【例1】函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。
求解含参二次函数最值问题的步骤
解题宝典∴椭圆离心率：e =c a=,∴正确答案为选项C .该题是与弦中点有关的圆锥曲线离心率问题，需首先设出交点A 和B 的坐标，将其代入椭圆的方程中并作差，求得直线的斜率的表达式，便可根据中点的坐标建立关于a 、b 的等式，求得椭圆的离心率.运用点差法解答中点弦问题，关键是将两个交点的坐标代入圆锥曲线的方程中，并作差，据此建立关系式.三、弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题比较常见，通常要利用弦长公式求解.若斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线的交点为A ()x 1,y 1，B (x 2,y 2)，则弦AB 的长|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2，这就是弦长公式.运用弦长公式求弦长，通常要将直线与圆锥曲线的方程联立，构造一元二次方程，利用韦达定理来求得x 1+x 2和y 1+y 2.例3.已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为,焦距为22.一条斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于A 、B 两点.（1）求椭圆M 的方程；（2）若k =1，试求|AB |的最大值.解：(1)椭圆M 的方程为：x 23+y 2=1(过程略)；(2)设直线l 的方程为y =x +m ,A ()x 1,y 1，B (x 2,y 2),由ìíîïïy =x +m ，x 23+y 2=1，消去y 可得4x 2+6mx +3m 2-3=0,则x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=3m 2-34,可得||AB =()x 2-x 12+()y 2-y 122()x 2-x 12=2[]()x 2-x 12-4x 1x 2=.当m =0，即直线l 过原点时，||AB 最大，故||AB 的最大值为6.求直线l 被椭圆所截的弦长的最值，关键要求||AB 的表达式.联立直线与椭圆的方程，消去y 得到一元二次方程后，便可运用弦长公式求得||AB 的表达式，根据二次函数的性质即可求得|AB |的最大值.综上可见，无论是求直线的斜率、解答中点弦问题，还是解答弦长问题，都需重点研究直线与圆锥曲线的方程，可将两个方程联立，构造一元二次方程，也可将交点的坐标代入圆锥曲线的方程,并将两个方程作差.（作者单位：江苏省徐州市铜山区夹河中学）含参二次函数最值问题比较常见，通常要求求含参二次函数在给定区间或实数集R 上的最值.由于问题中涉及参数，所以解答此类问题通常需要利用分类讨论思想来对参数进行分类讨论，进而求得函数的最值.对于二次函数f ()x =ax 2+bx +c （x ∈R ，a ≠0），当a >0时，在对称轴x =-b2a左侧的函数单调递减，在对称轴x =-b2a 右侧的函数单调递增；当a <0时，在对称轴x =-b2a左侧的函数单调递增，在对称轴x =-b 2a右侧的函数单调递减.根据函数的定义域和单调性即可求得函数的最值.而对于含参二次函数在给定区间上的最值问题，需要讨论函数图象的对称轴与定义域的位置关系，以便利用二次函数的单调性求函数的最值.求二次函数f ()x =ax 2+bx +c （a ≠0）在区间[]m ,n 上的最值的步骤如下：1.根据函数的解析式求得函数图象的对称轴x =-b 2a，并判断a 的符号；2.判断-b2a 与m 、n 之间的大小关系，即确定函数的对称轴x =-b2a 在[]m ,n 内、在[]m ,n 左侧、在[]m ,n 右侧；3.画出相应的函数图象，结合图象寻找取得最值的点，并求得最值.（1）若a >0，则函数图象的开口向上，（ⅰ）当-b2a ∈[]m ,n 时，函数图象的对称轴在所给李令军41解题宝典区间内，由二次函数的性质可知f()x的最小值在对称轴处取得，其值是fæèöø-b2a=4ac-b24a，f()x的最大值在离对称轴较远的端点处取得，即f()m、f()n中的较大者,如上图；（ⅱ）当-b2a<m时，对称轴在给定区间的左侧，f()x在区间[]m,n上单调递增，此时f()x的最小值是f()m，最大值是f()n；（ⅲ）当n<-b2a时，对称轴在给定区间的右侧，f()x在区间[]m,n上单调递减，此时f()x的最小值是f()n，最大值是f()m.（1）若a<0，则函数图象的开口向下，（ⅰ）当-b2a∈[]m,n时，函数图象的对称轴在所给区间内，由二次函数的性质可知f()x的最大值在对称轴处取得，其值是fæèöø-b2a=4ac-b24a，f()x的最小值在离对称轴较远的端点处取得，即f()m、f()n中的较小者；（ⅱ）当-b2a<m时，对称轴在给定区间的左侧，f()x在区间[]m,n上单调递减，此时f()x的最大值是f()m，最小值是f()n；（ⅲ）当n<-b2a时，对称轴在给定区间的右侧，f()x在区间[]m,n上单调递增，此时f()x的最大值是f()n，最小值是f()m.下面举例说明.例1.求f()x=ax2-2x在0≤x≤1上的最小值.解：（1）当a=0时，f()x=-2x为一次函数，在[]0,1上单调递减，所以f()x min=f()1=-2，即函数的最小值为-2.（2）当a>0时，函数f()x=ax2-2x图象的开口向上，且对称轴为x=1a>0.①当1a≤1，即a≥1时，函数f()x=ax2-2x图象的对称轴x=1a在[]0,1内，由函数的图象可知f()x在éëùû0,1a上单调递减，在éëùû1a,1上单调递增，所以f()x min=fæèöø1a=-1a，即函数的最小值为-1a.②当1a>1，即0<a<1时，函数f()x=ax2-2x图象的对称轴在[]0,1的右侧，所以f()x在[]0,1上单调递减，所以f()x min=f()1=a-2，即函数的最小值为a-2.（3）当a<0时，f()x=ax2-2x图象的开口向下，且对称轴x=1a<0，在y轴的左侧，所以f()x=ax2-2x在[]0,1上单调递减，所以f()x min=f()1=a-2，即函数的最小值为a-2.综上所述，f()x min=ìíîïïa-2,a<1,-1a,a≥1.本题中a为参数，需利用分类讨论思想，分a=0、a>0、a<0三种情况进行讨论.尤其要注意a=0的情形，此时函数为一次函数，需利用一次函数的单调性来求最值.当a>0、a<0时，函数为二次函数，再利用分类讨论思想讨论对称轴与定义域[]0,1的位置关系，结合二次函数的图象，即可判断出函数的单调性，根据函数的单调性便能求得函数的最值.例2.已知函数f()x=ax2+2ax+1在区间[]-1,2上有最大值4，求实数a的值.解：f()x=ax2+2ax+1=a()x+12+1-a.可知其图象的对称轴为x=-1，在[]-1,2的左侧，（1）当a=0时，f()x=1，函数无最大值，所以a=0不符合题意，舍去；（2）当a>0时，函数f()x图象的开口向上，在区间[]-1,2上单调递增，所以函数的最大值为f()2=8a+1=4，解得a=38；（3）当a<0时，函数f()x图象的开口向下，在区间[]-1,2上单调递减，所以函数f()x最大值为f()-1=1-a=4，解得a=-3.综上可知，a的值为38或-3.本题中函数的对称轴和定义域固定，而函数的开口方向不确定，所以只需讨论a>0,a<0时函数的单调性，即可解题.若函数的定义域中含有参数，则需根据参数的取值确定定义域端点值的大小，进而将其与函数图象的对称轴进行比较，以确定定义域与函数图象的对称轴的位置关系，判断函数的单调性.可见，解答含参二次函数最值问题，往往要灵活运用分类讨论思想和数形结合思想，这样能有效地提升解题的效率.在运用分类讨论思想解题时，要注意两点：一是对二次项的系数进行讨论；二是要对对称轴与定义域的位置关系进行讨论.而结合二次函数的图象来分析函数的对称轴与所给区间之间的位置关系，往往能达到事半功倍的效果.（作者单位：扬州大学附属中学）42。
二次函数的最值与最值点
二次函数的最值与最值点二次函数是指具有形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0.在数学中，我们常常关注二次函数的最值与最值点，它们对于函数图像的形状与性质具有重要意义。
一、二次函数的最值最值是指函数在定义域内所能取得的最大值或最小值。
对于二次函数而言，其最值与函数的开口方向有关。
1. 当二次函数的抛物线开口向上时，函数的最值为最小值。
在这种情况下，最小值点是抛物线的顶点，也是二次函数的最值点。
2. 当二次函数的抛物线开口向下时，函数的最值为最大值。
同样地，最大值点也是抛物线的顶点，它也是二次函数的最值点。
二、如何求二次函数的最值要求二次函数的最值与最值点，需要进行一些计算与分析。
1. 首先，可以通过计算二次函数的导数，找出导数为零的点。
导数为零的点对应的x坐标就是二次函数的最值点的横坐标，也就是x值。
2. 其次，通过将x值代入二次函数中，可以求得相应的y值，即最值点的纵坐标。
这个y值就是二次函数的最值，它可以是最大值或最小值。
三、举例说明假设有二次函数f(x) = -3x² + 6x + 2，我们来求解它的最值与最值点。
1. 首先，计算导数f'(x) = -6x + 6，并令其为零，解得x = 1。
这说明x = 1是二次函数的最值点的横坐标。
2. 将x = 1代入原函数f(x)中，得到f(1) = -3(1)² + 6(1) + 2 = 5。
因此，最值点的纵坐标为y = 5，即最值为最小值。
综上所述，对于给定的二次函数，我们可以通过计算导数来求解最值点的横坐标，并通过代入求得相应的纵坐标，从而得到最值与最值点的具体数值。
最值与最值点对于理解二次函数的图像特征和函数性质具有重要作用，它们帮助我们分析和预测函数在不同区间内的变化趋势，为实际问题的求解提供了依据。
二次函数专题——含参二次函数
含参的二次函数二次函数在初中的时候就比较重要，那么在高中阶段二次函数的考点更加重要，难度也会加大。
高中阶段比较喜欢考含有参数的二次函数，参数就会让函数形成一种动态，随着参数不同，函数是不一样的，这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。
例1. 求2()2f x x ax =-在[2,4]上的最大值和最小值。
解析：这道题因为参数的存在使得函数的本身是动的，在动的情况下考虑这个函数最大值和最小值的问题，这就涉及到高中比较爱考的一类问题，动轴定区间问题。
这道题中对称轴正好是x a =，随着a 不同，这个对称轴在变化，但是在给定区间上问最大值和最小值，那么就会有下面几种情况，在[2,4]这个区间上，有可能（1）这个对称轴不在这个区间里面这个时候的最大值最小值；也有可能（2）这个对称轴就在区间里面，这个时候的最值，还可能（3）对称轴在区间右侧这几个图针对这个函数并不严谨，上面的是一般函数的示意图，这道题中的函数一定是过原点的。
可以感受，随着a 的不同，最大值和最小值是不一样的，所以这种含参的动态的问题往往需要我们做的一个工作就是分类讨论。
那么函数在什么时候取到最大值呢，比如说（1），就会在4的地方取得最大值，（2）在4的地方取得最大值，（3）就会在2的地方取得最大值。
那么在整个函数的区间上，什么时候能取得最大值呢，我们就要看在这个区间上，哪个数离对称轴最远。
那么就有两种情况了，有的时候是2离得比较远，有的时候是4离得比较远，是怎么分界的呢？这个分界线就应该在2和4中间的位置上是3，当对称轴在3x =这条线左边的时候，对称轴离2就比较近，离4就比较远，对称轴在右边的时候，离2就比较近，离4就比较远。
因此这个函数的最大值，经过分类讨论之后，就会得到一个分段函数：max (4)=168(3)()(2)44(3)f a a f x f a a -≤⎧=⎨=->⎩也就是如果这个对称轴在3的左侧，也就是3a ≤的时候，离4远，在4处取得最大值，如果在右侧的话，也就是3a >的时候，离2远，在2处取得最大值。
九年级上册数学二次函数求最值
九年级上册数学二次函数求最值
二次函数是初中数学中比较重要的一部分，其中求最值在应用中也十分常见。
下面我们来具体看一下二次函数求最值的方法和应用。
一、二次函数的基本概念
1.一般式：$y=ax^{2}+bx+c$
2.顶点式：$y=a(x-h)^{2}+k$
3.轴对称性：对称轴为直线$x=h$
4.单调性：当$a>0$时，图像开口向上，函数单调递增；当$a<0$时，图像开口向下，函数单调递减。
5.极值与最值：当$a>0$时，二次函数在顶点处取得最小值，叫做最小值；当$a<0$时，二次函数在顶点处取得最大值，叫做最大值。
二、二次函数求最值的方法
1.化简法：将二次函数化简成顶点式，直接读出最值。
2.公式法：应用二次函数最值的公式，即$y=\frac{-\Delta}{4a}$。
3.判别式法：应用二次函数的判别式，$\Delta=b^{2}-4ac$。
如果
$\Delta>0$，则函数有两个零点，此时最值在两个零点中较小的那一个取得；如果$\Delta=0$，则函数只有一个零点，此时最值就是该点的纵坐标；如果$\Delta<0$，则函数没有零点，最值在顶点处取得。
三、二次函数求最值的应用举例
1.确定二次函数的最大值或最小值；
2.确定二次函数含参方程的最大值或最小值；
3.求解物理问题中的极值；
4.用二次函数求解最大面积或最短路程问题；
5.用最大值或最小值求解最佳决策问题。
以上就是二次函数求最值的基本概念、方法和应用的介绍。
掌握了这些知识点，我们就能够在实际问题中运用二次函数求解最值的问题。
二次函数问题
二次函数问题二次函数最值对于二次函数y=a(x-m)2+n,x ∈[t,s]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。
为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。
①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。
然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。
含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值 １、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。
分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。
解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a③、当2≤a＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =32、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2-上取不到最大值为1,∴a ≠02)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+--的对称轴为0122ax a-=(Ⅰ)若3()12f -=，解得103a =-，此时0233[,2]202x =-∈-a<0, 0()f x 为最大值，但23()120f -≠(Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32x =-∈-0310,43a x =>=-距右端点2较远(2)f 最大值符合条件(Ⅲ) 若0()1f x =解得32a -±=当302a -+=<时034[,2]2x =-∉-当302a --=<时034[,2]2x =∈-综收所述34a =或32a --=评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。
二次函数的最值
二次函数的最值二次函数是一种非常常见和重要的数学函数形式，具有许多应用和特点。
其中一个重要的特点就是它的最值。
本文将介绍二次函数的最值问题，包括如何求解最值以及最值的应用。
一、最值的概念在数学中，最值是指一个函数在给定定义域上取得的最大值或最小值。
二次函数的最值是指二次函数在定义域内取得的最大值或最小值。
二、最值的求解求解二次函数的最值可以通过求导数或者求二次函数对称轴来实现。
1. 求导数法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过求导数来找到最值。
首先，对二次函数求一阶导数，然后令导数等于0，即求解方程ax^2 + bx + c = 0。
这样可以找到二次函数的驻点，将驻点代入二次函数，得到最值。
2. 对称轴法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过求其对称轴来找到最值。
二次函数的对称轴公式为x = -b / (2a)。
将对称轴的x值代入二次函数，即可得到最值。
三、最值的应用最值问题在实际应用中有着广泛的应用，尤其是二次函数的最值。
1. 经济学应用在经济学中，二次函数的最值问题常用于研究成本、利润或者效益等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助经济学家做出更合理的决策。
2. 物理学应用在物理学中，二次函数的最值问题常用于研究物体的运动轨迹、能量等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助物理学家预测和解释实验现象。
3. 工程学应用在工程学中，二次函数的最值问题常用于研究设计优化、材料选取等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助工程师在设计和实施工程项目时作出最佳决策。
四、例题演示假设有一个二次函数y = -x^2 + 2x + 3，我们来求解它的最值。
1. 求导数法首先，对二次函数求导数，得到y' = -2x + 2。
令导数等于0，即-2x + 2 = 0，解得x = 1。
将x = 1代入二次函数，得到y = 4。
所以，二次函数y = -x^2 + 2x + 3的最值为y = 4。
含参数二次函数最值问题
针对性练习
练习 3：求f ( x) x 2a 1x 2，x 1,3的最小值 .
2
1当a 1 1,即a 2时，f ( x) min f (3) 6a 13 2当a 1 1,即a 2时，f ( x) min f (1) 1 2a，
典型例题解析
解：对称轴 x 1,图像开口向上 , 1 、当 1 t 1, 即t 2时， f ( x ) max f (t 2) t 2 6t 4 2、当 1 t 1, 即t 2时， f ( x ) max f (t ) t 2 2t 4 所以：f ( x ) min
针对性练习
练习2：求f ( x) x 4ax 2，x 2,1 的最大值 .
2
1当 2a 2,即a 1时，f ( x)在 2,1单调递减，f ( x) max
2 在 2a,1单调递减，f ( x) max f (2a ) 4a 2 2 2
1当a 1时，f ( x)在 1,2单调递增，f ( x) min f (1) 2a 3 2当 1 a 2时，f ( x)在 1, a 单调递减， 在a,2 单调递增，f ( x) min f (a ) a 2 2 3当a 2时，f ( x)在 1,2单调递减，f ( x) min f (2) 2 4a
典型例题解析
例1 ：求f ( x) x 2 2 x 3在下列区间上的最小值 ； 1x 2,0， 2x 2,5， 3x 2,2
分析： .定轴定区间，通过对称 轴与区间的位置 关系的分析，确定函数 在区间上的单调性，进 而确定函数在区间上的 最值； b 解：对称轴x 1, a 1 0,图像开口向上 2a 1 f ( x)在 2,0单调递减，f ( x) min f (0) 3
初中含参二次函数的最值问题
初中含参二次函数的最值问题二次函数在数学中是一种比较常见的函数形式，也是我们初中阶段需要掌握的重要知识点之一。
其中，最值问题是二次函数题目中比较典型和常见的一类问题。
在这篇文章中，我将通过一些例题和解题思路的介绍，来帮助大家更好地理解含参二次函数的最值问题。
1. 带参数二次函数的最值问题下面是一个含参数的二次函数的例子：$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 。
我们来考虑这个函数的最值问题。
（1）当$a>0$时，这个二次函数的值域为$[q,\infty)$。
其中$q$为$a,b,c$的函数，满足$a>0$时，有如下的公式：$$q=f(\frac{-b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$$那么，这个二次函数的最小值就是$q$，也就是当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最小值。
（2）当$a<0$时，这个二次函数的值域为$(-\infty,q]$。
其最大值也是$q$，即当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最大值。
可以通过公式来求解含参二次函数的最值问题。
具体来说，找到函数的最小值或最大值所在的$x$坐标，然后代入函数中求出对应的函数值即可。
下面让我们通过一个例题来进一步了解含参二次函数的最值问题。
2. 例题分析【例题】已知函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$，并满足：$|x-2|+|x-4|+|x-6|=k(k>0)$求函数$y$的最小值和最大值并确定此时$x$的值。
【解题思路】该题要求我们求解带有约束条件的含参二次函数的最值问题。
实际上，约束条件中的绝对值形式会让我们比较难受，不过我们可以将其转化为分段描述，从而更好地理解这个问题。
具体来说，考虑以下的情况：（1）当$x\leq 2$时，有$|x-2|=2-x$。
（2）当$2<x\leq4$时，有$|x-2|=x-2$、$|x-4|=4-x$。
（3）当$4<x\leq 6$时，有$|x-4|=x-4$、$|x-6|=6-x$。
(完整版)含参数二次函数的值域习题
含有参数的闭区间上二次函数的最值与值域(分类讨论）（一)正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值.对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形：（1)定轴定区间；（2）定轴动区间;(3)动轴定区间;（4)动轴动区间。
题型一：“定轴定区间”型例1、函数y x x =-+-242在区间［0,3]上的最大值是_________，最小值是_______.练习:已知232xx ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
题型二：“动轴定区间”型例2、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值.解:222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ①当a ＜0时，==min (0)3f f ，==-max (4)198a f f②当0≤a＜2时，2min (a)3a f f ==-max (4)198f f a ==-③当2≤a＜4时，2min (a)3a f f ==-，==max (0)3f f④当4≤a 时,min (4)198f f a ==-,==max (0)3f f练习：已知函数=+--2()(21)3f x ax a x 在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值题型三：“动区间定轴”型的二次函数最值例3．求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。
解：=-+2(x)(1)2f x 开口向上，对称轴x=1①当a ＞1，2minf(a)3f a ==-+；2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ②212a a a ++≤<,即0＜a≤1,min f(1)2f ==;2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ③212a a a ++≤<即-1＜a≤0,min f(1)f =，max f(a)f = ④a+2≤1，即a≤-1时,,maxf(a)f =;min (a 2)f f =+练习:求函数=-+2()22f x x x 在x ∈［t,t+1］上的最值。
含参二次函数的最值问题
(2)t<1<t+2,即-1<t<1时 当x=1时，y有最大值， y max = f(1)= 6
y
x (2)
（3）t≥1时,函数f(x)在区间 [t,t+2]上单调递减， 当x=t时，y有最大值， y max = f(t)= -t2+2t+5
y
x
(1)
y
综上所述:
（1） t ≤ -1时， y max = -t2-2t+5 （2） -1<t<1时， y max = 6 （3） t ≥1时， y max = -t2+2t+5
变式作业上第9题 已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值 2，求a？
第2类:函数对称轴固定，动区间
例2：
t, t 2上的最大值 求函数f ( x) x2 2x 5在区间
对称轴：x=1
(1)t+2≤1时，即：t ≤ -1时， 函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递 增当x=t+2时，y有最大值， y max = f(t+2)= -t2-2t+5
x
(3)
例3：求二次函数f(x)=x2-2x-3 在[-3,a] (a>-3)上的最值
y
(1)当 3 a 1时
a -3 o
1
f ( x)min =f(a)=a2-2a-3
x
f ( x)max =f(-3)=12
f(x)=x2-2x-3,x∈[-3,a] (a>-3)
y
y
-3 o1Leabharlann a5x-3 o
1
5a
x
中考二次函数含参问题重点专题
“含参”二次函数问题1．最值问题例1 （2014·南通）已知实数m ，n 满足m −n 2=1，则代数式m 2＋2n 2＋4m −1的最小值等于 ．练习：（2019·海安一模）已知当2≤x ≤3时，关于x 的多项式221212x kx k k -+--（k 为大于2的常数）有最小值−2，则常数k 的值为 ．2．两线相交问题 （1）抛物线与x 轴例2 已知二次函数2114y x x m =-+-的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 ．练习（2016·南通）平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =x 2+bx +c 经过（−1，m 2+2m +1）、（0，m2+2m+2）两点，其中m为常数．（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；（2）若抛物线y=x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；例3（2015·南通）关于x的一元二次方程ax2−3x−1=0的两个不相等的实数根都在−1和0之间（不包括−1和0），则a的取值范围是．练习：（2019·海门一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a<0）交x轴于A，B两点，若此抛物线在A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a的取值范围．（2）抛物线与直线y=kx+b（k≠0）例4（2019·南通）已知二次函数y=x2−4x+3a+2（a为常数）．在同一平面直角坐标系中．（1）若二次函数的图象与一次函数y=2x−1的图象有两个交点，求a的取值范围．（2）若二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x−1的图象有两个交点，求a的取值范围．变式：若二次函数y=x2−4x+3a+2的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x−1的图象只有1个公共点呢？例5（2017•南通）已知直线y＝kx+b与抛物线y＝ax2（a>0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB＝90°，点A的横坐标为−4，AC=4BC，求点B的坐标；（2）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．【课后训练】A 组y=ax2 O xy1．（2017•南通）若关于x 的方程x 2−6x +c =0有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 2．已知抛物线y ＝x 2−2kx ＋k 2＋k −2的顶点在第四象限内，则k 的取值范围为 ． 3．（2018•如皋一模）若关于x 的方程x 2−2ax ＋a −2＝0的一个实数根为x 1≥1，另一个实数根 x 2≤−1，则抛物线y ＝−x 2＋2ax ＋2−a 的顶点到x 轴距离的最小值是 ．4．（2018•南通）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2252(1)2y x k x k k =--+-（k 为常数）． （1）若抛物线经过点（1，k 2），求k 的值；（2）若抛物线经过点（2k ，y 1）和点（2，y 2），且y 1>y 2，求k 的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x ≤2时，新抛物线对应的函数有最小值32-，求k 的值．B 组5．（2017•海门一模）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为等值点．例如点（1，1），(−2，−2)，)，…，都是等值点．若二次函数y =ax 2+4x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个等值点(34，34)，且当m≤x≤3时，函数21548y ax x c=++-(a≠0)的最小值为−9，最大值为−1，则m的取值范围是．6．（2019•海门一模）已知关于x的一元二次方程mx2−(2m+1)x+2=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2−(2m+1)x+2与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为负整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（n，y1），Q（n+1，y2）是此抛物线上的两点，且y1>y2，请结合数图象直接写出实数n的取值范围．yO x。
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学后反思：
1:本节课探讨了哪几种类型的问题？ 2:对你来说，本节课的难点是什么？ 如何去克服？ 3:你是否体会到“数学思想”在解题中 发 挥的巨大作用? 4:你掌握这类问题的答题格式了吗？
我们每天在忙碌中收获着知识， 享受着快乐，丰富着人生。 高中生活是紧张的，但也是美好 的，是值得一生回忆的。
ymin f (t 2) t 2t 5
2
x (2)
综上所述:
(1) t≤0时， ymin t 2t 5
2
(2)t>0时， ymin t 2t 5
2
变式：
求函数f ( x) x 2 x 5在区间t , t 2上的最大值
2
解：对称轴：x=1 (1)t≥1时,函数f(x)在区间 [t,t+2]上单调递减， 当x=t时，y有最大值， y mat;1<t+2,即-1<t<1时 当x=1时，y有最大值， y max = f(1)= 6
y
x
(1) y
x (2)
(3)t+2≤1时，即：t ≤ -1时， 函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递增 当x=t+2时，y有最大值， y max = f(t+2)= -t2-2t+5
y
x
(3)
综上所述:
（1） t ≤ -1时， y max = -t2-2t+5 （2） -1<t<1时， y max = 6 （3） t ≥1时， y max = -t2+2t+5
4、注重数学思想和方法 引导学生能够利用数学思想和方法解决实际问题，培 养学生善于总结规律、运用规律的能力 5、充分发挥学生的主体作用 调动学生的学习积极性，促进多边活动， 使学生成为课堂的主人。
6、养成思维严谨，运算准确，答题规范的好习惯。加强定
时训练。
含参的二次函数的最值
教师心语：人只要有一种信念，有所追求， 什么艰苦都能忍受，什么环境也能适应
(1) 当-a≤-2 即 a≥2时
f(x)在区间[-2,2]上单调递增 当x=-2时，y有最小值 ymin f (2) 1 4a
0 y
x
(2) 当-2＜-a＜ 2时，即-2＜a＜ 2 函数的最小值在顶点取得 ∴当x=-a时，y有最小值
y
即：ymin f (a) 3 a
求二次函数在闭区间上最值的 方法：一看开口方向；二看对称轴 与在区间相对位置。若区间端点或 解析式含有字母参数，应进行分类 讨论（按对称轴与区间（或区间的 中点）的位置分类）。
当堂达标
1.求函数y x (2a 1) x 1在 1，上的最小值。 2
2
2.求函数y 2 x 2 3x 5在k , k 2上的最小值
本节课设计指导思想：
含参的二次函数最值求法，对高一学生来讲无疑是一个巨大的挑战。 如何把握重点，突破难点，顺利完成本节课的教学任务，达到预期的 目的，在本节课设计中，我考虑到以下几个方面：
1、激发学生学习热情：
通过设置典型画面和教师心语激发激发学生学习热情，引导和帮助学 生树立远大的理想和为实现理想而艰苦奋斗的信念，为更好的完成本 节课的任务提供了强有力的精神支撑。 2、明确教学目标、重难点、教学方法： 让学生心中有数，有的放矢，从整体上把握本节课的任务以及学习过 程中所用的数学思想和方法。 3、从易到难，层层递进： 通过复习上节课所学内容，引出本节主题，和学生一起探讨参数的介 入对问题所产生的影响，但最终回归为原始问题：即以对称轴和区间 的位置关系进行讨论。同时通过动态图像展示，让学生直观感受分类 讨论的起因和最值产生的过程。
2
0
x
（3）当 -a ≥ 2 即a ≤ -2时, 函数f(x)在区间[-2,2]上单调递减 当x=2时，y有最小值
ymin f (2) 1 4a
y
0 x
综上所述：
(1)a ≤ -2时， y min=1+4a (2)-2＜a＜ 2时，y min =-3-a2 (3)a≥2时， ymin=1-4a
0
x x
(2)
例题二：
解：对称轴：x=1，
1.求函数f ( x) x 2 2 x 5在区间t , t 2上的最小值
y
区间的中点值：x=t+1 (1)t+1≤1,即 t≤0时， 当x=t时，y有最小值,
2
x (1) y
ymin f (t ) t 2t 5 (2) t+1>1,即 t>0时， 当x=t+2时，y有最小值,
由以上两个例子你能得出什么规律？ 规律总结：
1：首先求出对称轴 2:判断对称轴与区间的关系
若对称轴在区间的外面，函数在区间 上单调，最值在端点处取得；若对称轴 在区间的内部，函数在区间上不单调， 最值在端点和顶点分别取得。 3：利用好函数的图像
四：学习过程
例1:求函数y=x2+2ax-3在 x [-2,2]上的 的最小值 解：对称轴：x=-a
变式:求函数y=x2+2ax-3在 x[-2,2]
上的最大值
解：区间的中点值：x=0 (1)-a≤0 ，a≥0 时，当x=2时，
0 x (1) y y
y取得最大值，y max = f(2)=1+4a
(2) -a>0 ，a<0 时，当x=-2时， y取得最大值，y max = f(-2)=1-4a 综上所述： （1）a<0 时，y max = f(-2)=1-4a （2）a≥0 时 y max = f(2)=1+4a
一.教学目标：
1：知识目标：使学生掌握含参数的二 次函数的最值的求法。 2：能力目标：培养学生利用“数形结 合”、“分类讨论” 、“问题转化”这 些数学思想去解决实际问题的能力。 3：情感目标：通过展示优美的函数图 像来陶冶学生的情操；通过组织学生讨 论，培养学生主动交流的合作精神，形 成勇于探索的思维品质。
二.重难点： 重点：掌握二次函数最值的求法 难点：分类讨论
三：教学方法：合作探究，启发诱导，讲练 结合，分组讨论
三：知识链接
问题1:求函数y=x2+2x-3在区间[0,2]
上的最值。
解：因为由图易知:对称轴 X0= -1 [0，2] f(x)在区间[0，2]上 单调递增。 则：ymin= f(0)= -3 ymax= f(2)= 5
-10
1 2
y
x
答：函数的最小值为-3，最大值为5
问题2: 求函数y=x2 + 2x-3在区间[-2,2]
上的最值。
解：因为由图易知：对称轴 X0=-1 [-2，2]
所以 ymin= f(-1) = -4 ; 又因为：f(-2)= -3, f(2) = 5 所以：ymax= f(2) = 5 答：函数的最小值为-4 最大值为5