含参的二次函数最值

一.教学目标：
1：知识目标：使学生掌握含参数的二 次函数的最值的求法。 2：能力目标：培养学生利用“数形结 合”、“分类讨论” 、“问题转化”这 些数学思想去解决实际问题的能力。 3：情感目标：通过展示优美的函数图 像来陶冶学生的情操；通过组织学生讨 论，培养学生主动交流的合作精神，形 成勇于探索的思维品质。
本节课设计指导思想：
含参的二次函数最值求法，对高一学生来讲无疑是一个巨大的挑战。 如何把握重点，突破难点，顺利完成本节课的教学任务，达到预期的 目的，在本节课设计中，我考虑到以下几个方面：
1、激发学生学习热情：
通过设置典型画面和教师心语激发激发学生学习热情，引导和帮助学 生树立远大的理想和为实现理想而艰苦奋斗的信念，为更好的完成本 节课的任务提供了强有力的精神支撑。 2、明确教学目标、重难点、教学方法： 让学生心中有数，有的放矢，从整体上把握本节课的任务以及学习过 程中所用的数学思想和方法。 3、从易到难，层层递进： 通过复习上节课所学内容，引出本节主题，和学生一起探讨参数的介 入对问题所产生的影响，但最终回归为原始问题：即以对称轴和区间 的位置关系进行讨论。同时通过动态图像展示，让学生直观感受分类 讨论的起因和最值产生的过程。
0
x x
(2)
例题二：
wk.baidu.com
解：对称轴：x=1，
1.求函数f ( x) x 2 2 x 5在区间t , t 2上的最小值
y
区间的中点值：x=t+1 (1)t+1≤1,即 t≤0时， 当x=t时，y有最小值,
2
x (1) y
ymin f (t ) t 2t 5 (2) t+1>1,即 t>0时， 当x=t+2时，y有最小值,
-10
1 2
y
x
答：函数的最小值为-3，最大值为5
问题2: 求函数y=x2 + 2x-3在区间[-2,2]
上的最值。
解：因为由图易知：对称轴 X0=-1 [-2，2]
所以 ymin= f(-1) = -4 ; 又因为：f(-2)= -3, f(2) = 5 所以：ymax= f(2) = 5 答：函数的最小值为-4 最大值为5
二.重难点： 重点：掌握二次函数最值的求法 难点：分类讨论
三：教学方法：合作探究，启发诱导，讲练 结合，分组讨论
三：知识链接
问题1:求函数y=x2+2x-3在区间[0,2]
上的最值。
解：因为由图易知:对称轴 X0= -1 [0，2] f(x)在区间[0，2]上 单调递增。 则：ymin= f(0)= -3 ymax= f(2)= 5
2
0
x
（3）当 -a ≥ 2 即a ≤ -2时, 函数f(x)在区间[-2,2]上单调递减 当x=2时，y有最小值
ymin f (2) 1 4a
y
0 x
综上所述：
(1)a ≤ -2时， y min=1+4a (2)-2＜a＜ 2时，y min =-3-a2 (3)a≥2时， ymin=1-4a
学后反思：
1:本节课探讨了哪几种类型的问题？ 2:对你来说，本节课的难点是什么？ 如何去克服？ 3:你是否体会到“数学思想”在解题中 发 挥的巨大作用? 4:你掌握这类问题的答题格式了吗？
我们每天在忙碌中收获着知识， 享受着快乐，丰富着人生。 高中生活是紧张的，但也是美好 的，是值得一生回忆的。
由以上两个例子你能得出什么规律？ 规律总结：
1：首先求出对称轴 2:判断对称轴与区间的关系
若对称轴在区间的外面，函数在区间 上单调，最值在端点处取得；若对称轴 在区间的内部，函数在区间上不单调， 最值在端点和顶点分别取得。 3：利用好函数的图像
四：学习过程
例1:求函数y=x2+2ax-3在 x [-2,2]上的 的最小值 解：对称轴：x=-a
y
x
(1) y
x (2)
(3)t+2≤1时，即：t ≤ -1时， 函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递增 当x=t+2时，y有最大值， y max = f(t+2)= -t2-2t+5
y
x
(3)
综上所述:
（1） t ≤ -1时， y max = -t2-2t+5 （2） -1<t<1时， y max = 6 （3） t ≥1时， y max = -t2+2t+5
变式:求函数y=x2+2ax-3在 x[-2,2]
上的最大值
解：区间的中点值：x=0 (1)-a≤0 ，a≥0 时，当x=2时，
0 x (1) y y
y取得最大值，y max = f(2)=1+4a
(2) -a>0 ，a<0 时，当x=-2时， y取得最大值，y max = f(-2)=1-4a 综上所述： （1）a<0 时，y max = f(-2)=1-4a （2）a≥0 时 y max = f(2)=1+4a
ymin f (t 2) t 2t 5
2
x (2)
综上所述:
(1) t≤0时， ymin t 2t 5
2
(2)t>0时， ymin t 2t 5
2
变式：
求函数f ( x) x 2 x 5在区间t , t 2上的最大值
2
解：对称轴：x=1 (1)t≥1时,函数f(x)在区间 [t,t+2]上单调递减， 当x=t时，y有最大值， y max = f(t)= -t2+2t+5 (2)t<1<t+2,即-1<t<1时 当x=1时，y有最大值， y max = f(1)= 6
(1) 当-a≤-2 即 a≥2时
f(x)在区间[-2,2]上单调递增 当x=-2时，y有最小值 ymin f (2) 1 4a
0 y
x
(2) 当-2＜-a＜ 2时，即-2＜a＜ 2 函数的最小值在顶点取得 ∴当x=-a时，y有最小值
y
即：ymin f (a) 3 a

求二次函数在闭区间上最值的 方法：一看开口方向；二看对称轴 与在区间相对位置。若区间端点或 解析式含有字母参数，应进行分类 讨论（按对称轴与区间（或区间的 中点）的位置分类）。
当堂达标
1.求函数y x (2a 1) x 1在 1，上的最小值。 2
2
2.求函数y 2 x 2 3x 5在k , k 2上的最小值
4、注重数学思想和方法 引导学生能够利用数学思想和方法解决实际问题，培 养学生善于总结规律、运用规律的能力 5、充分发挥学生的主体作用 调动学生的学习积极性，促进多边活动， 使学生成为课堂的主人。
6、养成思维严谨，运算准确，答题规范的好习惯。加强定
时训练。
含参的二次函数的最值
教师心语：人只要有一种信念，有所追求， 什么艰苦都能忍受，什么环境也能适应