高中数学复习课件-含参二次函数的求解B
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(2)作 g(t)的图象并写出 g(t) 的最小值
是最值．若x只在某区间内取值，最值与极值便不可混 x1,x2，则x1+x2等于_________.
解：若m=0，则f(x)=-3x+1, 显然满足要求. ③零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
淆了. ,当a>0 时, 图象开口向上;当a<0 时,图象开口向下.
能力·思维·方法
例6.已知对于x的所有实数值，二次函数
fx x 2 4 a 2 x a 1 a 2 R
的值都非负，求关于x的方程 x a12的根的范围.
解解题：分解 由析已：得知由3得已，知a△方2≤程0,即a(x-42aa)2|-2a4(21a|+122将)≤0x,表示为 a 的
函(数1)当 ，这3样求a2方程1时 根的，问原题方就程转化化为成x求=-函a2数+a值+6域的问题。
③零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 【解题回顾】①在本题解题过程中，容易将f(x)=mx2+(m-3)x+1看成是二次函数，从而忽视对m=0的讨论
f(x)=x2-4x-4在闭区间[t，t+1] (t ∈R)上的最小值记为g(t).
②顶点式 f(x)=a(x-h)2+k (a≠0)；
f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m，n]上的最值问题． 一般情况下，需要分：-b/2a＜m，m≤-b/2a≤n和-b/2a＞n三 种情况讨论解决.
f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从三个 方面考虑：
①判别式；
②区间端点函数值的正负；
③对称轴 x=-b/2a 与区间端点的关系
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
高中数学复习课：二次函数的最值优质教学课件PPT
解：f (x) ax2 2x 1, x 1,2, a 0,
当2
2 时，即0 a 1，此时f a
(x)max
f
(0)
1;
当a 1时，f (x)max f 2 4a 3
所以f
(
x)max
1，0 4a
a 3,
a
1
1
变式5：f (x) x2 2ax 1, x 1,2，a ,1的最大值
第三章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高中数学复习课 §3.4 二次函数的最值问题探究
引题： 一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c
在同一坐标系中的图象大致是
（
）
√
思考：参数a,b,c对二次函数图象的影响？
例：f (x) x2 2x 1, x 1,2的最大值与最小值
轴动区间定
1 3
1 3
(－∞，－1)∪23，23
4.若(a＋1) <(3－2a) ，则实数a的取值范围是__________________.
自主演练
3.幂函数f(x)＝x a 2－10 a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
则a等于
A.3
√ B.4 C.5 D.6
解析 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝x(a－5)2－2 (a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6， 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
§3.4 幂函数
特殊探究：当 0时？
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析
y＝xα 的图象特征：
（1）第一象限 （2）第二、三象限
二十二-二次函数复习课PPT课件
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）
y=ax2+bx+c
由条件得：
y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
顶点式： y=a(x-h)2+k
得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
.
23
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
没有实数根
O
x
19
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是(D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x
轴交点情况是( C )
（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三
点。
yx2 x2
（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴
的一个交点的横坐标是8。
y1(x6 )221x26x 1 6
含参数的二次函数最值问题(自制)课件人教新课标
看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最 值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧 及包含定轴的变化，要注意开口方向及端 点情况。
典型例题讲授
，
例3、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. x∈[ t，t+1 ]，求函数f(x)的最小值；
解：f (x) x2 2x 3 的对称轴是 x 1
当 1[t,t 1] 即 0 t 1 时
所以：f
( x)min
6a 1
13, a 2 2a,a 2
变式练习一
1、求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最小值？
解：由题知， 函数f(x)的对称轴为x=a，开口向上
若 a 0 ，则函数f(x)的最小值为f(0)=—1
若 0 a 2 ，则函数f(x)的最小值为 f (a) a2 1
含参数的二次函数最值问题 高中数学教师欧阳文丰
二次函数图象及性质
解析式
f x a x2 bx c(a 0)
开口
a>0
a<0
图象
y
O
x
y
O
x
对称轴
x b 2a
顶点坐标 最值
b 2a
,
4ac 4a
b
2
最小值为 4ac-b2
4a
最大值为 4ac-b2
4a
闭区间上二次函数的最值解题方法
求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的
最值或值域的一般方法是：
（1）判断x0=
b 2a
是否属于
[
m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）
中的较大者是最大值,较小者是最小值；
（3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大
典型例题讲授
，
例3、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. x∈[ t，t+1 ]，求函数f(x)的最小值；
解：f (x) x2 2x 3 的对称轴是 x 1
当 1[t,t 1] 即 0 t 1 时
所以：f
( x)min
6a 1
13, a 2 2a,a 2
变式练习一
1、求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最小值？
解：由题知， 函数f(x)的对称轴为x=a，开口向上
若 a 0 ，则函数f(x)的最小值为f(0)=—1
若 0 a 2 ，则函数f(x)的最小值为 f (a) a2 1
含参数的二次函数最值问题 高中数学教师欧阳文丰
二次函数图象及性质
解析式
f x a x2 bx c(a 0)
开口
a>0
a<0
图象
y
O
x
y
O
x
对称轴
x b 2a
顶点坐标 最值
b 2a
,
4ac 4a
b
2
最小值为 4ac-b2
4a
最大值为 4ac-b2
4a
闭区间上二次函数的最值解题方法
求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的
最值或值域的一般方法是：
（1）判断x0=
b 2a
是否属于
[
m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）
中的较大者是最大值,较小者是最小值；
（3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大
二次函数的课件ppt课件ppt课件
二次函数的极坐标表示
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
翻折变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行翻转。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
高三数学一轮复习之二次函数 ppt课件
f (x)
x1
x2
0
x
(1 0 )方 程 有 一 正 根 一 负 根
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可 f(0)<0
( 6 ) x 1 ， x 2 有 且 只 有 一 个 根 在 （ k 1 , k 2 ） 内
0
k1
f(k1)f(k2)0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
称轴方(2)程顶为点_坐__x标_＝_是_－_____2－_b_a___2_b_a__，_____4___a__c4，_－a__b_2______；
向上 (3) 开口方向；当 a＞0 时，开口_____ ，当 a＜0 时，开
口__向___下___．
(4)值域：当a＞0时，值域为
，
当a＜0时，值域为
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可 f(0)<0
例1.m为何实数值时，关于x的方程 x2mx+(3+m)0
（1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负
解： 寻求等价条件
(1)m 24(3+m )0， m 24m 120 得 ： m 6或 m 2.
0
m6或 m2
(2) x1+x20得 m0
得 ： m6
n个a
（2）特殊：a0 1(a 0) ，
（3） an 1 (a 0, n N*)
an
新疆 王新敞
奎屯
（4）正分数指数幂：
m
a a n n m（ a>0,m,n N 且 n>1）
注意:在分数指数幂里,根指数作分母,幂指数作分子.
（5）正数的负分数指数幂:
高中数学必修1二次函数的讲解(学习复习参考)新课标人教B版 新课标人教B版 .ppt
0, 范围是_______________ .
3 已知二次函数f x 的二次项系数为1,且满足f 1 x 2 x 2x 1 f 1 x , f 2 1, 则f x _________ _. 2 4 若函 数 f x m 1 x 2mx 3是偶函数,则f x 的单调
, 3 . 数, 则实数a的取值范围是_____________
3 若定义在R上的奇函数f x 满足f x xf x 2 x， x0 则方程f x 0的根为_______________ .
二次函数
要点扫描
考点例析
方法指南
纠错笔记
所以f x 4x2 16x 48.
二次函数
要点扫描
考点例析
方法指南
纠错笔记
评注
二次函数的表示方法有三种： 一般式：y ax 2 bx c a 0 ； 顶点式：y a x b c a 0 ；
2
交点式：y a x x1 x x2 a 0 . 根据条件可任选一种来表示二次函数.本题采用了交点式. 根据题目条件, 也可以采用顶点式, 因为x 2或6是f x 0 的两个根, 所以x 2是其对称轴方程, 于是设f x a x 2 c.
考点1
二次函数的解析式
例1. 2008 嘉兴一中模拟 已知函数f x a x 2 a 2 x 2b a 3 , 当x 2, 6 时, f x 0, 当x , 2 且f 0 48, 求f x .
6, 时,f x 0,
,0 . 递增区间为_____________
3 已知二次函数f x 的二次项系数为1,且满足f 1 x 2 x 2x 1 f 1 x , f 2 1, 则f x _________ _. 2 4 若函 数 f x m 1 x 2mx 3是偶函数,则f x 的单调
, 3 . 数, 则实数a的取值范围是_____________
3 若定义在R上的奇函数f x 满足f x xf x 2 x， x0 则方程f x 0的根为_______________ .
二次函数
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考点例析
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所以f x 4x2 16x 48.
二次函数
要点扫描
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评注
二次函数的表示方法有三种： 一般式：y ax 2 bx c a 0 ； 顶点式：y a x b c a 0 ；
2
交点式：y a x x1 x x2 a 0 . 根据条件可任选一种来表示二次函数.本题采用了交点式. 根据题目条件, 也可以采用顶点式, 因为x 2或6是f x 0 的两个根, 所以x 2是其对称轴方程, 于是设f x a x 2 c.
考点1
二次函数的解析式
例1. 2008 嘉兴一中模拟 已知函数f x a x 2 a 2 x 2b a 3 , 当x 2, 6 时, f x 0, 当x , 2 且f 0 48, 求f x .
6, 时,f x 0,
,0 . 递增区间为_____________
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y
6
平行于 x 轴的直线有什么特点呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5 4
（3）记抛物线在 A，B 之间的部分为图象 G（包含 A，
3
B
2
1
B 两点），若对于图象 G 上任意一点 P（ xP ，yP ），
–6 –5 –4 –3 –2 –1O
–1
1 2 3 4 5 6x
–2
yP 2 ，求 m 的取值范围．
–3
–4
–5
纵坐标≤2，可以转化成什么？
–6
答案：答案
（1）m； （2）∵ 抛物线 y mx2 2m2 x 2 与 y 轴交于 A 点，
∴ A（0，2）．∵ AB∥x 轴，B 点在直线 x=4 上， ∴ B（4，2），抛物线的对称轴为直线 x=2. ∴ m=2．∴ 抛物线的表达式为 y 2x2 8x 2 .
（3）当 m 0 时，如图 1．
1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.利用待定系数法求二次函数解析式.
3.学会用数形结合、分类讨论的思想方法解决含参数的二次函数综合问题.
考点定位 在历年中考中，该专题一般以解答题中压轴题出现，分值12分. 主要考查的 知识有： 1、二次函数解析式中的变量系数的变化或图形中某些数学元素(点、线、形 等)的运动为出发点，酝酿与探究函数图象的变与不变或相关几何图形的形状、 位置、大小的变化； 2、对函数图象进行旋转、翻折与平移等，使数学背景(函数的解析式、最值 及相关几何图形的形状、位置及大小)发生变化，进而不断酝酿与生成新的数学 问题、探究点.
∵ A0，2 ，∴要使 0 xP 4 时，始终满足 yP 2 ，
只需使抛物线 y mx2 2m2 x 2 的对称轴与直线 x=2 重合或在
含参数的二次函数PPT教学课件
回味无穷
课后作业
从本节课件中选择四道题； 或者自选四道与“含参数的二次函数”有 关的题. 温馨提示：题目和解答一并写在数学作业 本上.
预习《优等生数学》九年级的第42、43节
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提高练习
练3. 方程x2+(2m-1)x+(m-6)=0有一个根不大于-1，另 一根不小于1. （1）求m的取值范围； （2）求两根平方和的最大值和最小值.
拓展练习——联赛真题
练4. （06年浙江）已知二次函数
y x 2 2 (m 1 )x m 1.
（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在 某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的表达式；如 果不是，请说明理由； （2）如果直线y=x+1经过该二次函数图象的顶点P，求 此时m的值.
yA
E
1 x2a5的图象与x轴只
4
有一个交点. (1)求a的值； (2)求a4－3a+2013的值．
提高练习
练2. 是否存在这样的实数k，使得二次方程 x 2 (2 k 1 )x ( 3 k 2 ) 0有两个实数根，且两 根都在2与4之间？如果有，试确定k的取值范围， 如果没有，试说明理由.
第二十六章 二次函数
26.10 含参数的二次函数
经典例题
例.（05年深圳中考）已知△ABC是边长为4的等
边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A
在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，
点B（－1，0），
（1）求点A、E的坐标；
高中数学二次函数的讲解(学习复习参考)课件
2
由题 kf (1) 0, k (2k 2 3k 2) 0, （ k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2) x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（ 1， 0）和（， 1 2）求 m 的取值范围.
f (-1)f (0) 0 (2m 1)(2m 1) 0 解：由题 f (1)f (2) 0 (4m 1)(8m 7) 0 1 1 m 1 1 2 2 m 4 2 1 m 7 8 4
m
h k
m
h k
例5： 已知函数y=x2+2x-3 且x [-2，2],
求函数的最值？
例6：已知函数y=-x2-2x+3且x[0，2],
求函数的最值？
二、含参变量的二次函数最值问题 1、轴动区间定 2、轴定区间动 例7：求函数y=x2+2ax+3在x[-2,2]时的 最值？
-a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
1 二次方程有两异号实数根的充要条件是x1 x2
c 0； a
0 b 2 有 两正 实数根的充要条件是 x x 0； 1 2 a c x1 x2 0 a 0 b 3 有 两负 实数根的 充要条件是 x x 0. 1 2 a c x1 x2 0 a
3.实根分布问题
★一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
(1)、当x为全体实数时的根
(1)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根 2 (3)当 b 4ac 0时， 方程没有实数根
由题 kf (1) 0, k (2k 2 3k 2) 0, （ k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2) x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（ 1， 0）和（， 1 2）求 m 的取值范围.
f (-1)f (0) 0 (2m 1)(2m 1) 0 解：由题 f (1)f (2) 0 (4m 1)(8m 7) 0 1 1 m 1 1 2 2 m 4 2 1 m 7 8 4
m
h k
m
h k
例5： 已知函数y=x2+2x-3 且x [-2，2],
求函数的最值？
例6：已知函数y=-x2-2x+3且x[0，2],
求函数的最值？
二、含参变量的二次函数最值问题 1、轴动区间定 2、轴定区间动 例7：求函数y=x2+2ax+3在x[-2,2]时的 最值？
-a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
1 二次方程有两异号实数根的充要条件是x1 x2
c 0； a
0 b 2 有 两正 实数根的充要条件是 x x 0； 1 2 a c x1 x2 0 a 0 b 3 有 两负 实数根的 充要条件是 x x 0. 1 2 a c x1 x2 0 a
3.实根分布问题
★一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
(1)、当x为全体实数时的根
(1)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根 2 (3)当 b 4ac 0时， 方程没有实数根
二次函数含参问题课件
拾级而上
变式2 已知二次函数y = ax2 +4ax+4a+（1 a为常数且a < 0) 的图像经过P （x1，y1）、Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1， 当x2≥3时，y1≥y2，要求出 实数n的取值范围．
拓展提升
已知函数 y = x2 - 2kx+k 2 - 1 k -（1 k为常数且k > 2）
二次函数含参问题
——函数值大小比较及最值问题
基础热身
例1 已知二次函数 y = ax2 +4ax+4a+（1 a为常数且 a ≠0) 中， 二次项、一次项、常数项中含有参量a，像这样的二次函数 叫作含参二次函数．
（1）由这个二次函数的关系式，你能得到哪些结论？ （2）若该二次函数的图像经过点P（-1，y1 ）、Q（2， y2 ），你能 比较y1 和 y2 的大小关系吗？
2
（1）当2≤x≤3时，该抛物线对应的函数有最小值-2，求k的值； （2）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线， 当3≤x≤4时， 新抛物线对应的函数有最小值-2，求k的值．
回顾反思
问题1：在本课3个题组求解过程中，你觉得它们之间有怎样的联系？ 问题2：你在解决含参二次函数问题时，有哪些经验值得积累，先在 小组内交流，再汇总后由组长在全班汇报你们小组最小值，越靠近对称轴越小
开口向下，有最大值，越靠近对称轴越大 代入法： 作差，解不等式 函数值大小比较题型 定轴动区间：移动点的位置，比较点到对称轴距离的大小 动轴定区间：移动对称轴，对称轴在区间内，则对称轴处取到最值
对称轴不在区间内，则根据函数的增减性确定最值
拾级而上
例2 已知二次函数 y = ax2 +4ax+4a+（1 a为常数且a <0) 的图像经 过点P（n，y1）、Q（n+1，y2）
2025届高中数学一轮复习课件《二次函数及其性质》ppt
第10页
高考一轮总复习•数学
第11页
2．若一次函数 y＝ax＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y＝ax2＋bx(a≠0) 的图象只可能是( )
解析：因为一次函数 y＝ax＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以 a＜0，b＜0，所 以二次函数的图象开口向下，对称轴方程 x＝－2ba＜0.只有选项 C 符合，故选 C．
高考一轮总复习•数学
第27页
二次函数的图象与对称性 (1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析．“三点”中有一个点是顶点， 另外两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点；“一线”是指对称轴 这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． (2)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依 据其图象的对称轴、开口方向进行分类讨论．
高考一轮总复习•数学
第13页
4．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数 f(x)的最小值为 f(－ 1)＝0，则 f(x)＝___x_2_＋__2_x_＋__1___.
解析：设函数 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)，又 f(x)＝ax2＋bx＋1， 所以 a＝1，故 f(x)＝x2＋2x＋1.
依据对称轴和区间的三种情形，讨论三次最小值 .21a＜1， ymin＝f1
或
1≤21a≤2， ymin＝f21a
或
21a＞2， ymin＝f2.
高考一轮总复习•数学
第31页
解：(1)配方，得 y＝(x＋2)2－6. 因为 x∈[－6，－3]， 所以当 x＝－3 时，ymin＝－5； 当 x＝－6 时，ymax＝10. 故函数的值域是[－5,10]． (2)①当 0＜21a＜1，即 a＞12时，f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时 g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当 1≤21a≤2，即14≤a≤12时，f(x)在区间1，21a上单调递减，在区间21a，2上单调递 增，此时 g(a)＝f21a＝2a－41a－1.
《二次函数》ppt课件
判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等 的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程 关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，从 而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转 化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后， 根据二次函数的性质，对称轴 为x = h，顶点坐标为(h, k)。最 后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x， 求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单 调性，在区间[-1, 1]上单调递减， 在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可 以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个 交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质 分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可 沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应 用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量 之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来 实现利润最大化。
22.1.1 二次函数 课件(共26张PPT)
22.1.1 二次函数
二次函数
22.1.1 二次函数
学习目标
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式；（重点） 2. 会利用二次函数的概念解决问题； 3. 能根据实际问题列二次函数关系式.（难点）
22.1.1 二次函数
知识回顾
1. 什么是函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且
22.1.1 二次函数
想一想 问题 1~3 中函数关系式有什么共同点?
y = 6x2 m 1 n2 1 n
22
y = 20x2 + 40x + 20
函数都是用 自变量的二次整
式表示的
22.1.1 二次函数
归纳总结 二次函数的定义：
一般地，形如 y = ax²+ bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的 函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式 的二次项系数、一次项系数和常数项.
(7) 次y=数x是²+1x³+25（否）
自变量的最高次数是3
(8) y =2²+2x （否） 自变量的最
高次数是1
22.1.1 二次函数
例2 y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
m2 7 1,
解：（1）由题可知,
m
3
0,
解得
温馨提示：
(1) a，b，c 为常数，且 a≠0； (2) 等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项.
22.1.1 二次函数
典例精析
二次函数
22.1.1 二次函数
学习目标
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式；（重点） 2. 会利用二次函数的概念解决问题； 3. 能根据实际问题列二次函数关系式.（难点）
22.1.1 二次函数
知识回顾
1. 什么是函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且
22.1.1 二次函数
想一想 问题 1~3 中函数关系式有什么共同点?
y = 6x2 m 1 n2 1 n
22
y = 20x2 + 40x + 20
函数都是用 自变量的二次整
式表示的
22.1.1 二次函数
归纳总结 二次函数的定义：
一般地，形如 y = ax²+ bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的 函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式 的二次项系数、一次项系数和常数项.
(7) 次y=数x是²+1x³+25（否）
自变量的最高次数是3
(8) y =2²+2x （否） 自变量的最
高次数是1
22.1.1 二次函数
例2 y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
m2 7 1,
解：（1）由题可知,
m
3
0,
解得
温馨提示：
(1) a，b，c 为常数，且 a≠0； (2) 等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项.
22.1.1 二次函数
典例精析
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含参二次函数的求解
【预习自测】
【新授知识】
（一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往 成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四 种情形：（1）定轴定区间；（2）定轴动区间； （3）动轴定区间；（4）动轴动区间。
后三种往往需要对参数进行分类讨论。求解 核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的 讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间， 右边三种情况
4、动轴动区间 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变
化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最 值”。
（二）、逆向型 题目已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间
中参数的取的，给出的义域区间也是固定的，
我们称这种情况是“二次函数在定区间上的最值”。
2、定轴动区间 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数
而变化的，我们称这种情况为“定函数在动区间上的 最值”。
3、动轴定区间 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运
动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动 二次函数在定区间上的最值”。
【预习自测】
【新授知识】
（一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往 成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四 种情形：（1）定轴定区间；（2）定轴动区间； （3）动轴定区间；（4）动轴动区间。
后三种往往需要对参数进行分类讨论。求解 核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的 讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间， 右边三种情况
4、动轴动区间 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变
化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最 值”。
（二）、逆向型 题目已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间
中参数的取的，给出的义域区间也是固定的，
我们称这种情况是“二次函数在定区间上的最值”。
2、定轴动区间 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数
而变化的，我们称这种情况为“定函数在动区间上的 最值”。
3、动轴定区间 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运
动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动 二次函数在定区间上的最值”。