高中数学复习课件-含参二次函数的求解B
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【完整】高中数学二次函数资料PPT
(2)作 g(t)的图象并写出 g(t) 的最小值
是最值．若x只在某区间内取值，最值与极值便不可混 x1,x2，则x1+x2等于_________.
解：若m=0，则f(x)=-3x+1, 显然满足要求. ③零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
淆了. ,当a>0 时, 图象开口向上;当a<0 时,图象开口向下.
能力·思维·方法
例6.已知对于x的所有实数值，二次函数
fx x 2 4 a 2 x a 1 a 2 R
的值都非负，求关于x的方程 x a12的根的范围.
解解题：分解 由析已：得知由3得已，知a△方2≤程0,即a(x-42aa)2|-2a4(21a|+122将)≤0x,表示为 a 的
函(数1)当 ，这3样求a2方程1时 根的，问原题方就程转化化为成x求=-函a2数+a值+6域的问题。
③零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 【解题回顾】①在本题解题过程中，容易将f(x)=mx2+(m-3)x+1看成是二次函数，从而忽视对m=0的讨论
f(x)=x2-4x-4在闭区间[t，t+1] (t ∈R)上的最小值记为g(t).
②顶点式 f(x)=a(x-h)2+k (a≠0)；
f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m，n]上的最值问题． 一般情况下，需要分：-b/2a＜m，m≤-b/2a≤n和-b/2a＞n三 种情况讨论解决.
f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从三个 方面考虑：
①判别式；
②区间端点函数值的正负；
③对称轴 x=-b/2a 与区间端点的关系
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
高中数学复习课：二次函数的最值优质教学课件PPT
解：f (x) ax2 2x 1, x 1,2, a 0,
当2
2 时，即0 a 1，此时f a
(x)max
f
(0)
1;
当a 1时，f (x)max f 2 4a 3
所以f
(
x)max
1，0 4a
a 3,
a
1
1
变式5：f (x) x2 2ax 1, x 1,2，a ,1的最大值
第三章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高中数学复习课 §3.4 二次函数的最值问题探究
引题： 一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c
在同一坐标系中的图象大致是
（
）
√
思考：参数a,b,c对二次函数图象的影响？
例：f (x) x2 2x 1, x 1,2的最大值与最小值
轴动区间定
1 3
1 3
(－∞，－1)∪23，23
4.若(a＋1) <(3－2a) ，则实数a的取值范围是__________________.
自主演练
3.幂函数f(x)＝x a 2－10 a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
则a等于
A.3
√ B.4 C.5 D.6
解析 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝x(a－5)2－2 (a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6， 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
§3.4 幂函数
特殊探究：当 0时？
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析
y＝xα 的图象特征：
（1）第一象限 （2）第二、三象限
二十二-二次函数复习课PPT课件
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）
y=ax2+bx+c
由条件得：
y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
顶点式： y=a(x-h)2+k
得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
.
23
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
没有实数根
O
x
19
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是(D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x
轴交点情况是( C )
（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三
点。
yx2 x2
（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴
的一个交点的横坐标是8。
y1(x6 )221x26x 1 6
含参数的二次函数最值问题(自制)课件人教新课标
看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最 值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧 及包含定轴的变化，要注意开口方向及端 点情况。
典型例题讲授
，
例3、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. x∈[ t，t+1 ]，求函数f(x)的最小值；
解：f (x) x2 2x 3 的对称轴是 x 1
当 1[t,t 1] 即 0 t 1 时
所以：f
( x)min
6a 1
13, a 2 2a,a 2
变式练习一
1、求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最小值？
解：由题知， 函数f(x)的对称轴为x=a，开口向上
若 a 0 ，则函数f(x)的最小值为f(0)=—1
若 0 a 2 ，则函数f(x)的最小值为 f (a) a2 1
含参数的二次函数最值问题 高中数学教师欧阳文丰
二次函数图象及性质
解析式
f x a x2 bx c(a 0)
开口
a>0
a<0
图象
y
O
x
y
O
x
对称轴
x b 2a
顶点坐标 最值
b 2a
,
4ac 4a
b
2
最小值为 4ac-b2
4a
最大值为 4ac-b2
4a
闭区间上二次函数的最值解题方法
求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的
最值或值域的一般方法是：
（1）判断x0=
b 2a
是否属于
[
m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）
中的较大者是最大值,较小者是最小值；
（3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大
典型例题讲授
，
例3、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. x∈[ t，t+1 ]，求函数f(x)的最小值；
解：f (x) x2 2x 3 的对称轴是 x 1
当 1[t,t 1] 即 0 t 1 时
所以：f
( x)min
6a 1
13, a 2 2a,a 2
变式练习一
1、求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最小值？
解：由题知， 函数f(x)的对称轴为x=a，开口向上
若 a 0 ，则函数f(x)的最小值为f(0)=—1
若 0 a 2 ，则函数f(x)的最小值为 f (a) a2 1
含参数的二次函数最值问题 高中数学教师欧阳文丰
二次函数图象及性质
解析式
f x a x2 bx c(a 0)
开口
a>0
a<0
图象
y
O
x
y
O
x
对称轴
x b 2a
顶点坐标 最值
b 2a
,
4ac 4a
b
2
最小值为 4ac-b2
4a
最大值为 4ac-b2
4a
闭区间上二次函数的最值解题方法
求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的
最值或值域的一般方法是：
（1）判断x0=
b 2a
是否属于
[
m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）
中的较大者是最大值,较小者是最小值；
（3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大
二次函数的课件ppt课件ppt课件
二次函数的极坐标表示
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
翻折变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行翻转。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
高三数学一轮复习之二次函数 ppt课件
f (x)
x1
x2
0
x
(1 0 )方 程 有 一 正 根 一 负 根
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可 f(0)<0
( 6 ) x 1 ， x 2 有 且 只 有 一 个 根 在 （ k 1 , k 2 ） 内
0
k1
f(k1)f(k2)0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
称轴方(2)程顶为点_坐__x标_＝_是_－_____2－_b_a___2_b_a__，_____4___a__c4，_－a__b_2______；
向上 (3) 开口方向；当 a＞0 时，开口_____ ，当 a＜0 时，开
口__向___下___．
(4)值域：当a＞0时，值域为
，
当a＜0时，值域为
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可 f(0)<0
例1.m为何实数值时，关于x的方程 x2mx+(3+m)0
（1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负
解： 寻求等价条件
(1)m 24(3+m )0， m 24m 120 得 ： m 6或 m 2.
0
m6或 m2
(2) x1+x20得 m0
得 ： m6
n个a
（2）特殊：a0 1(a 0) ，
（3） an 1 (a 0, n N*)
an
新疆 王新敞
奎屯
（4）正分数指数幂：
m
a a n n m（ a>0,m,n N 且 n>1）
注意:在分数指数幂里,根指数作分母,幂指数作分子.
（5）正数的负分数指数幂:
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含参二次函数的求解
【预习自测】
【新授知识】
（一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往 成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四 种情形：（1）定轴定区间；（2）定轴动区间； （3）动轴定区间；（4）动轴动区间。
后三种往往需要对参数进行分类讨论。求解 核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的 讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间， 右边三种情况
4、动轴动区间 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变
化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最 值”。
（二）、逆向型 题目已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间
中参数的取的，给出的义域区间也是固定的，
我们称这种情况是“二次函数在定区间上的最值”。
2、定轴动区间 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数
而变化的，我们称这种情况为“定函数在动区间上的 最值”。
3、动轴定区间 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运
动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动 二次函数在定区间上的最值”。
【预习自测】
【新授知识】
（一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往 成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四 种情形：（1）定轴定区间；（2）定轴动区间； （3）动轴定区间；（4）动轴动区间。
后三种往往需要对参数进行分类讨论。求解 核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的 讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间， 右边三种情况
4、动轴动区间 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变
化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最 值”。
（二）、逆向型 题目已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间
中参数的取的，给出的义域区间也是固定的，
我们称这种情况是“二次函数在定区间上的最值”。
2、定轴动区间 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数
而变化的，我们称这种情况为“定函数在动区间上的 最值”。
3、动轴定区间 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运
动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动 二次函数在定区间上的最值”。