含参二次函数中绝对值问题
二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总
二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总含参的二次函数在高中阶段考试中经常出现，因为参数的存在使得函数形成一种动态，随着参数的变化，函数也会不同。
这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。
例如，考虑求解$f(x)=x-2ax$在$[2,4]$上的最大值和最小值。
由于参数的存在，这个函数是动态的。
为了解决这个问题，我们需要考虑动轴定区间问题，即对称轴随着参数的变化而变化，但是在给定区间上问最大值和最小值。
对于这个问题，需要分类讨论。
在$[2,4]$这个区间上，可能出现对称轴不在这个区间里面的情况，对称轴就在区间里面的情况，或者对称轴在区间右侧的情况。
因此，我们需要分别考虑这些情况。
具体来说，我们需要找到在整个函数的区间上，哪个数离对称轴最远。
这个分界线就应该在$2$和$4$中间的位置上，即$3$。
当对称轴在$x=3$这条线左边的时候，对称轴离$2$就比较近，离$4$就比较远；对称轴在右边的时候，离$2$就比较近，离$4$就比较远。
因此，这个函数的最大值可以表示为：f_{\max}(x)=\begin{cases}f(4)=16-8a& (a\leq 3)\\f(2)=4-4a&(a>3)\end{cases}$$当$a=3$时，放在哪边都可以。
代入上面的式子，得到$f_{\max}(x)=-8$。
因此，最大值为$-8$。
接下来，我们来讨论含参的二次函数的最大值和最小值问题。
这类问题的重点在于能否清晰地做分类讨论，得到一个分段函数的解析式。
我们可以按照对称轴的位置进行分类讨论。
首先，对于对称轴在区间左侧，且$a\leq 2$的情况，函数在$x=2$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(2)=4-4a$。
其次，对于对称轴在区间中间，即$24$的情况，函数在$x=4$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(4)=16-8a$。
另外，还有一类问题叫做定轴动区间的问题。
对于这类问题，我们同样需要进行分类讨论，只不过区间在变化。
二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。
二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。
一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。
它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。
例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。
（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。
（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。
当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。
（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。
本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。
二、合理用公式，灵活换视角公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。
例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1.解 由韦达定理，得⎩⎨⎧=-=+b x x a x x 2121 ⎩⎨⎧==+∴.|||||,|||2121b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1，又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|.1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。
二次函数绝对值问题
常见绝对值类问题汇总——辽宁数学小丸子编辑【题1】已知32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当1x ≤时，'()f x M ≤恒成立，求a 的最大值【题2】设1()42(,)x x f x a b a b R +=+⋅+∈，若对于1[0,1],()2x f x ∀∈≤都成立，求b 【题3】2()f x x bx c =++在定区间[,]m n 上的最大值为M ，则M 有一个最小值2()8m n -，当且仅【题4】设,,a b c R ∈,对任意满足1x ≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___【题5】设函数(),,f x x ax b a b R =--∈，若对任意实数,a b ，总存在实数0[0,4]x ∈使得不等式0()f x m ≥成立，求实数m 的取值范围【题6】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()1f x ≤，求证：当2x ≤时，()7f x ≤【推广】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()f x k ≤，求证：当x n ≤时，2()(21)f x n k≤-【题7】已知二次函数22(),(),(1)1,(0)1,(1)1f x ax bx c g x cx bx a f f f =++=++-≤≤≤求证：当11x -≤≤时，（1）5()4f x ≤（2）()2g x ≤【题8】设函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有24ax b +≤【推广】设函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有2(*)nax b n n N +≤∈【题9】设,,a b c R ∈,对任意满足01x ≤≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___【题10】设函数1()(1,)f x x c b c R x b=++<-∈-，函数()()g x f x =在区间[1,1]-上的最大值为M ，若M k ≥对任意的,b c 成立，求k 最大。
教学夯实基础-解题水到渠成——例谈含绝对值的二次函数综合题解题策略
教学夯实基础-解题水到渠成——例谈含绝对值的二次函数综合题解题策略含有绝对值的二次函数是高中数学中一个重要的知识点，对于学生来说，掌握解题的策略和方法是解题成功的关键。
下面我将以1200字以上为您详细解答含有绝对值的二次函数综合题的解题策略。
首先，对于含有绝对值的二次函数，我们需要根据绝对值的特点来进行分类讨论。
绝对值函数的图像是以原点对称的V字形，因此可以将含有绝对值的二次函数分为以下几种情况：情况一：当绝对值中的表达式为非负数时，即，f(x)，=f(x)。
此时，我们只需要求解函数f(x)即可。
情况二：当绝对值中的表达式为负数时，即，f(x)，=-f(x)。
此时，我们需要将函数f(x)取相反数，并且根据取绝对值的性质，将绝对值符号去掉，再求解。
解题策略一：对于情况一的题目，我们可以先求解函数f(x)，然后判断函数f(x)的取值范围，并将其与绝对值中的表达式进行比较。
根据比较的结果，我们可以得到解的条件。
例如，求解方程，2x-1，+4=0，首先我们求解2x-1=0，得到x=1/2，然后可以发现在这个取值范围内，绝对值为非负数，因此方程的解为x=1/2解题策略二：对于情况二的题目，我们可以先求解函数f(x)，然后取其相反数，并求解相反数函数的解。
最后根据解的范围，将解取相反数。
例如，求解方程，2x-1，-4=0，首先我们求解2x-1=0，得到x=1/2，然后取相反数-1/2，并在这个取值范围内进行判断，发现绝对值为负数，则解为x=-1/2解题策略三：在一些复杂的题目中，我们需要对绝对值中的表达式进行分段讨论。
即先设定绝对值中的表达式为正，然后求解，再设定绝对值中的表达式为负，再次求解。
最后根据解的范围，得到最终的解。
例如，求解方程，2x-1，+，x+3，=0，我们可以设定2x-1为正，x+3为正的情况，然后分别求解。
再设定2x-1为负，x+3为正的情况，求解。
最后根据解的范围，得到最终的解。
综上所述，解题含有绝对值的二次函数综合题，首先需要根据绝对值的特点，对题目进行分类讨论。
2015年高考专用二次含参绝对值函数16个题及参考答案蔡军挺
[高考专用]二次含参绝对值函数16个题及参考答案诸暨里浦中学蔡军挺整理1、设函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．（2）设常数b＜﹣1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．（1）证明：充分性：若a2+b2=0，则a=b=0，∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0∴f（x）为奇函数，故充分性成立必要性：若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，∴f（0）=0，解得b=0，∴f（x）=x|x﹣a|，由f（1）+f（﹣1）=0，即|1﹣a|﹣|a+1|=0，|1﹣a|=|1+a|得：a=0．∴a2+b2=0．故f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0（2）解：由b＜﹣1＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x﹣恒成立令g（x）=x+在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g（x）max=g（1）=1+b令h（x）=x﹣，则h（x）在（0，]上单调递减，[，+∞）单调递增，当b＜﹣1时h（x）=x﹣在0＜x≤1上单调递减，∴a＜h（x）min=h（1）=1﹣b．∴1+b＜a＜1﹣b2、已知函数f(x)=∣x-a∣-9/x+a,x∈【1,6】，a∈R。
（1).a=1,试判断并证明函数f(x)的单调性；（2).当a∈（1,6）时，求函数f（x)的最大值的表达式M(a).(1)∵函数f(x)=|x-a|-9/x+a, x∈[1，6]，a∈R.令a=1，f(x)=|x-1|-9/x+1当x>=1时，f(x)=x-9/xF’(x)=1+9/x^2>0∴函数f(x)单调递增3、已知函数f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R） a是实数，（1）判断f(x)的奇偶性（2）求f（x）最小值。
解：（1）首先看函数定义域，函数定义域为R，因此根据函数奇偶性的定义，只要判断f(-x)与f(x)的关系即可：f(x)=x^2+|x-a|+1f(-x)=x^2+|x+a|+1显然，当a=0时，f(x)=f(-x），函数为偶函数；当a不等于0时，f(x)不等于f(-x）也不等于-f(-x），函数既不是奇函数，也不是偶函数综上：当a=0时，函数为偶函数；当a不等于0时，函数既不是奇函数也不是偶函数。
高考数学解题方法攻略二次绝对值不等式理
与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明。
1．设，当时，总有，求证当时，.证明：由于是二次函数，在上最大值只能是，或，故只要证明；当时，有，由题意有.由得...当时，.因此当时，.点评：从函数性质的角度分析，要证时，，只要证当时，的最大值满足. 而又是二次函数，不论、、怎么取值在上的最大值只能是，或，因而只要证明，，这里需要特别指出的是要将与建立联系，将二次函数中的系数用、、表示：，然后用含有绝对值不等式的性质，进行适当放缩。
2．已知是实数，函数，当时，，（1）证明：；（2）证明：当时，；（3）设，当时，的最大值为2，求. （1996年全国高考题）证明：（1）依题设得，而所以.（2）证法：当时，在上是增函数。
则时，有，又,，，因此得.当时，在上是减函数，则当时，. 又,，，因此得.当时，,综上可知，当 时，都有.（3）依题意 ，故 在上是增函数，又在上的最大值为2，故 ；，.。
当 时，，即函数在区间的内点上取得最小值为 ，所以，是二次函数且它的图像是对称轴是直线，由此得，即 .，故.点评：本题运用了赋值法，函数的单调性、二次函数的最小值，含有绝对值不等式的性质等，问题（1）的设置意在降低难度，容易上手，抓住这2分，问题（3）的意义是证明问题（2）中的结论不能改进，从而是精确的，这样（2）、（3）合在一起构成问题的完整解答。
本题的设计背景是：对于二次函数 和一次函数，给定条件“当时，”，则有结论“当时，”. 更一般地，对于多项式函数和，给定件“当时， ”，则有结论“当时，”.3、已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R )(1)求证两函数的图象交于不同的两点A 、B ；(2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围(1)证明由⎩⎨⎧-=++=bxy c bx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点 (2)解设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－a b 2,x 1x 2=ac|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 22222224444()4()b c b ac a c ac a a a a ----=--==22134[()1]4[()]24c c c a a a =++=++∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0∴a >－a －c >c ,解得a c ∈(－2,－21) ∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是21-=a ca c ∈(－2,－21)时，为减函数 ∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3)4、二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________解析由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0 答案－2＜x ＜05、设f(x)=ax 2+bx+c.若f(1)=27,问是否存在a,b,c ∈R,使得不等式x 2+21≤f(x)≤2x 2+2x+23对一切实数ｘ都成立？证明你的结论解：令)(x h ＝x 2+21，)(x g ＝2x 2+2x+23则)(x h ＝x 2+21与)(x g ＝2x 2+2x+23必相切于点23)因为x 2+21≤f(x)≤2x 2+2x+23所以f(x)=ax 2+bx+c 必过点A(-1, 23)，再由已知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++2327c b a c b a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+125b c a 从而有f(x)=ax 2+x+a -25再因为x 2+21≤f(x)≤2x 2+2x+23对一切实数ｘ都成立，即⎪⎩⎪⎨⎧++≤-++-++≤+23222525212222x x a x ax a x ax x 对一切实数ｘ都成立 即 ⎩⎨⎧≤-+--≥-++-01)2(02)1(22a x x a a x x a 对一切实数ｘ都成立 ⇔⎩⎨⎧≤---=∆<-≤---=∆>-0)1)(2(41020)2)(1(410121a a a a a a 且且 23=⇒a ，c=1 所以存在a=23,b=1,c=1,即存在f(x)=23x 2+x+1使得不等式x 2+21≤f(x)≤2x 2+2x+23对一切实数ｘ都成立 6、设二次函数ƒ(x)=ax 2+bx+c(a>0)，方程ƒ(x)－x=0的两个根x 1，x 2满足0<x 1<x 2<。
初中含参二次函数的最值问题
初中含参二次函数的最值问题二次函数在数学中是一种比较常见的函数形式，也是我们初中阶段需要掌握的重要知识点之一。
其中，最值问题是二次函数题目中比较典型和常见的一类问题。
在这篇文章中，我将通过一些例题和解题思路的介绍，来帮助大家更好地理解含参二次函数的最值问题。
1. 带参数二次函数的最值问题下面是一个含参数的二次函数的例子：$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 。
我们来考虑这个函数的最值问题。
（1）当$a>0$时，这个二次函数的值域为$[q,\infty)$。
其中$q$为$a,b,c$的函数，满足$a>0$时，有如下的公式：$$q=f(\frac{-b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$$那么，这个二次函数的最小值就是$q$，也就是当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最小值。
（2）当$a<0$时，这个二次函数的值域为$(-\infty,q]$。
其最大值也是$q$，即当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最大值。
可以通过公式来求解含参二次函数的最值问题。
具体来说，找到函数的最小值或最大值所在的$x$坐标，然后代入函数中求出对应的函数值即可。
下面让我们通过一个例题来进一步了解含参二次函数的最值问题。
2. 例题分析【例题】已知函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$，并满足：$|x-2|+|x-4|+|x-6|=k(k>0)$求函数$y$的最小值和最大值并确定此时$x$的值。
【解题思路】该题要求我们求解带有约束条件的含参二次函数的最值问题。
实际上，约束条件中的绝对值形式会让我们比较难受，不过我们可以将其转化为分段描述，从而更好地理解这个问题。
具体来说，考虑以下的情况：（1）当$x\leq 2$时，有$|x-2|=2-x$。
（2）当$2<x\leq4$时，有$|x-2|=x-2$、$|x-4|=4-x$。
（3）当$4<x\leq 6$时，有$|x-4|=x-4$、$|x-6|=6-x$。
高考专用二次含参绝对值函数16个题及参考答案蔡军挺
[高考专用]二次含参绝对值函数16个题及参考答案诸暨里浦中学蔡军挺整理1、设函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．（2）设常数b＜﹣1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．（1）证明：充分性：若a2+b2=0，则a=b=0，∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0∴f（x）为奇函数，故充分性成立必要性：若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，∴f（0）=0，解得b=0，∴f（x）=x|x﹣a|，由f（1）+f（﹣1）=0，即|1﹣a|﹣|a+1|=0，|1﹣a|=|1+a|得：a=0．∴a2+b2=0．故f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0（2）解：由b＜﹣1＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x﹣恒成立令g（x）=x+在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g（x）max=g（1）=1+b令h（x）=x﹣，则h（x）在（0，]上单调递减，[，+∞）单调递增，当b＜﹣1时h（x）=x﹣在0＜x≤1上单调递减，∴a＜h（x）min=h（1）=1﹣b．∴1+b＜a＜1﹣b2、已知函数f(x)=∣x-a∣-9/x+a,x∈【1,6】，a∈R。
（1).a=1,试判断并证明函数f(x)的单调性；（2).当a∈（1,6）时，求函数f（x)的最大值的表达式M(a).(1)∵函数f(x)=|x-a|-9/x+a, x∈[1，6]，a∈R.令a=1，f(x)=|x-1|-9/x+1当x>=1时，f(x)=x-9/xF’(x)=1+9/x^2>0∴函数f(x)单调递增3、已知函数f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R） a是实数，（1）判断f(x)的奇偶性（2）求f（x）最小值。
解：（1）首先看函数定义域，函数定义域为R，因此根据函数奇偶性的定义，只要判断f(-x)与f(x)的关系即可：f(x)=x^2+|x-a|+1f(-x)=x^2+|x+a|+1显然，当a=0时，f(x)=f(-x），函数为偶函数；当a不等于0时，f(x)不等于f(-x）也不等于-f(-x），函数既不是奇函数，也不是偶函数综上：当a=0时，函数为偶函数；当a不等于0时，函数既不是奇函数也不是偶函数。
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2016浙江高考数学含参二次函数中绝对值问题 1设函数R b a b a x x x f ∈+-=,,)(.
（1）当0>a 时，讨论函数)(x f 的零点个数；
（2）若对于给定的实数)01(<<-a a ，存在实数b ，使不等式2
1)(21+≤≤-x x f x 对于任意的[]12,12+-∈a a x 恒成立试将最大实数b 表示为关于a 的函数)(a m ，并求)(a m 的取值范围。
2已知函数.)(2b x x ax x f -+=
（1）当1-=b 时，若不等式12)(--≥x x f 恒成立，求实数a 的最小值；
（2）若0<a ，且对任意]2,1[∈b ，总存在实数m ，使得方程4
1)(=-m x f 在]3,3[-上有6个互不相同的解，求实数a 的取值范围。
（1）若方程x x f 2)(=恰有三个不同的实数根，求实数a 的值；
（2）当0>a 时，若对任意的],0[+∞∈x ，不等式)(2)1(x f x f ≤-恒成立，求实数a 的取值范围.
4已知0≥a ，函数a a x x x f 25)(2+--=.
(1)若函数)(x f 在]3,0[上单调，求实数a 的取值范围；
(2)若存在实数2,1x x ，满足)()(0))((2121x f x f a x a x =<--且，求当a 变化时
21x x +的取值范围.
（1）若函数)]([)(x f f x F =与)(x f 在R x ∈时有相同值域，求实数b 的取值范围；
（2）若方程21)(2=-+x x f 在)2,0(上有两个不同实数根2,1x x ， ①求实数b 的取值范围； ②求证：
41121<+x x
6已知函数),()(2R b R a b ax x x f ∈∈--=+.
(1) 若,2,2≥=b a 且函数)(x f 的定义域，值域均为],1[b ，求b 的值；
(2) 若函数)(x f 的图像与直线1=y 在)2,0(∈x 上有2个不同的交点，试求a
b 的范围.
（１）若0,1==a m ，讨论函数)(x f 的单调性； （２）若1=a ，试讨论函数)(x f 的零点的个数．
８已知函数)(4)(2R x a x x x f ∈-+= （１）存在实数]1,1[,21-∈x x 使得)()(21x f x f =成立，求实数a 的取值范围．
（２）对任意的]1,1[,21-∈x x ，都有k x f x f ≤-)()(21成立，求实数k 的最小值．
（１）当0,21==b a 时，求函数)(x f 在)4
10](1,[<<+∈m m m x 上的值域； （２）当]1,0[∈x 时，0)(<x f 恒成立，求b 的取值范围（用a 表示）．
１０已知函数R b a b x ax x f ∈>--=,0,2)(2． （１）若1=b 时函数)(x f 在],0[+∞上单调递增，求实数a 的最小值； （２）若对任意的实数]1,21[∈b ，总存在实数a ，使得函数)(x f 在]2,[m 上有４个不同的零点，求实数m 的取值范围．。