第14讲图形的初步认识与三角形2——三角形的基础知识
三角形的认识课件
三角形的认识课件一、引入在我们的日常生活中，三角形无处不在。
从建筑结构中的屋顶框架，到交通标志的形状，再到我们手中的三角尺，三角形以其独特的稳定性和多样的特性，在各个领域发挥着重要的作用。
今天，让我们一起来深入认识三角形这个神奇的几何图形。
二、三角形的定义和基本要素（一）定义三角形是由三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
这三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角。
（二）基本要素1、边：三角形有三条边，边的长度决定了三角形的大小和形状。
2、角：三角形有三个内角，内角的度数之和为 180 度。
3、顶点：三角形有三个顶点。
三、三角形的分类（一）按角分类1、锐角三角形：三个角都小于 90 度的三角形。
2、直角三角形：有一个角等于 90 度的三角形。
3、钝角三角形：有一个角大于 90 度小于 180 度的三角形。
（二）按边分类1、等边三角形：三条边长度都相等的三角形，其三个内角也相等，均为 60 度。
2、等腰三角形：有两条边长度相等的三角形。
相等的两条边称为腰，另一条边称为底边。
等腰三角形的两个底角相等。
3、不等边三角形：三条边长度都不相等的三角形。
四、三角形的性质（一）稳定性三角形具有稳定性，这是三角形一个非常重要的特性。
例如，在建筑中，我们经常使用三角形的结构来增强建筑物的稳定性。
（二）内角和三角形的内角和为180 度。
我们可以通过多种方法来证明这一性质，比如将三角形的三个角剪下来拼在一起，会形成一个平角，即180 度。
（三）三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这一关系在判断三条线段能否组成三角形时非常有用。
五、三角形的周长和面积（一）周长三角形的周长等于三条边的长度之和。
（二）面积三角形的面积公式为：面积＝底×高÷2 。
其中，底是三角形的任意一条边，高是这条底边对应的顶点到这条底边的垂线段的长度。
三角形的基本概念和性质
三角形的基本概念和性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段相连而成。
本文将介绍三角形的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用三角形。
一、基本概念1. 三角形定义：三角形是由三条线段组成的图形，三条线段分别称为三角形的边。
三个顶点将边相连，形成三个内角和三个外角。
2. 顶点：三角形的顶点是三个不共线的点，它们确定了三角形的形状和大小。
3. 边：三角形的边是连接顶点的线段，它们是三角形的基本构成元素。
4. 内角：三角形的内角是由两条边相交所形成的角，共有三个内角。
5. 外角：三角形的外角是由一条边和延长线所形成的角，共有三个外角。
二、性质1. 内角和：三角形的内角和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 外角和：三角形的外角和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
3. 两边之和大于第三边：三角形的任意两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
4. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度相等，则该三角形是等边三角形。
等边三角形的三个内角也相等，都是60度。
5. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边长度相等，则该三角形是等腰三角形。
等腰三角形的两个底角也相等。
6. 直角三角形：如果一个三角形拥有一个直角（90度），则该三角形是直角三角形。
直角三角形的两条边平方和等于斜边平方，即a² + b² = c²。
7. 锐角三角形：如果一个三角形的三个内角都小于90度，则该三角形是锐角三角形。
8. 钝角三角形：如果一个三角形中有一个内角大于90度，则该三角形是钝角三角形。
三、应用三角形的基本概念和性质在几何学和实际生活中有广泛的应用。
1. 测量：三角形的性质使得它成为测量地理距离、高度以及倾斜角度的重要工具。
2. 工程设计：在建筑和工程设计中，三角形的性质用于计算角度、边长和面积，保证结构的稳定和准确。
三角形的认知知识点
三角形的认知知识点三角形是我们数学中最基本的几何图形之一。
在学习和应用几何学时，对于三角形的认知十分重要。
本文将介绍三角形的定义、分类、性质以及相关定理和应用知识点，帮助读者更好地理解和应用三角形的概念。
一、三角形的定义和基本概念1. 定义：三角形是由三个线段组成的闭合图形，其中三个线段两两相交于一个端点。
这个端点称为三角形的顶点，而由顶点连成的线段称为三角形的边。
2. 元素：三角形有三个顶点和三条边。
顶点用大写字母表示，如A、B、C，边用小写字母表示，如a、b、c。
3. 命名方式：通常按照顶点的命名顺序来表示三角形，比如ABC表示以A、B、C为顶点的三角形。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的不同，三角形可以分为以下几类：1. 根据边长：- 等边三角形：三条边都相等的三角形。
- 等腰三角形：两条边相等的三角形。
- 普通三角形：三条边都不相等的三角形。
2. 根据角度：- 直角三角形：其中一个角为直角的三角形。
- 钝角三角形：其中一个角为钝角的三角形。
- 锐角三角形：三个角都为锐角的三角形。
三、三角形的性质1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 三角形外角定理：三角形的一个内角的补角等于其他两个外角的和。
即∠A' = ∠B + ∠C。
3. 三角形的外心：外心是三角形三条外交线的交点，记为O。
外心到三角形的每个顶点的距离相等，且外心是外接圆的圆心。
4. 三角形的重心：重心是三角形三条中线的交点，记为G。
重心到三角形的每个顶点的距离的比例为2:1。
5. 三角形的垂心：垂心是三角形三条高的交点，记为H。
垂心到三角形的每个顶点的距离相等，且垂心所在直线垂直于对应边。
四、三角形的重要定理和应用1. 余弦定理：对于任意三角形ABC，边长分别为a、b、c，∠A的对边为a，那么有 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·cosA，同理可得b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cosB，c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cosC。
简单介绍三角形的基本概念与性质
简单介绍三角形的基本概念与性质三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的概念和性质。
本文将简单介绍三角形的基本概念和性质。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每两条线段相交于一个顶点，并且不共线。
它是平面上最简单的多边形之一。
2. 三角形的分类根据边长的不同，三角形可以分为以下三种类型：(1) 等边三角形：三条边的长度相等。
(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。
(3) 普通三角形：三条边的长度各不相等。
根据角度的不同，三角形可以分为以下三种类型：(1) 直角三角形：其中一个角是直角（90度）。
(2) 钝角三角形：其中一个角大于90度。
(3) 锐角三角形：其中三个角都小于90度。
3. 三角形的性质(1) 三角形的内角和等于180度：三角形的三个内角相加等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
(2) 三角形的外角和等于360度：三角形的每个外角都等于其对应内角的补角。
即∠D = 180° - ∠A。
(3) 三角形的两边之和大于第三边：对于任意一个三角形ABC，有AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
(4) 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角均为60度，且三条边互相相等。
(5) 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等。
(6) 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角之和为90度。
(7) 锐角三角形的性质：锐角三角形的三个内角都小于90度。
4. 三角形的重要定理(1) 余弦定理：对于任意一个三角形ABC，设边长分别为a、b、c，对应的内角分别为∠A、∠B、∠C，则有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cos∠C。
(2) 正弦定理：对于任意一个三角形ABC，设边长分别为a、b、c，对应的内角分别为∠A、∠B、∠C，则有a/sin∠A = b/sin∠B =c/sin∠C = 2R（其中R为三角形外接圆半径）。
三角形的基本概念与性质
三角形的基本概念与性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
本文将介绍三角形的基本概念和性质，包括三角形的定义、分类、元素、角度关系以及三角形的定理等。
一、三角形的定义三角形是由三条线段连接起来的图形，其中每个线段都被称为一个边，而连接两个边的点则被称为顶点。
三角形的三个顶点围成一个封闭的区域。
二、三角形的分类根据三角形的边长以及角度大小，可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长分类(1) 等边三角形：三条边的长度均相等。
(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。
(3) 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2. 根据角度大小分类(1) 钝角三角形：一个角大于90°。
(2) 直角三角形：唯一一个角等于90°。
(3) 锐角三角形：三个角均小于90°。
3. 根据边长和角度大小综合分类(1) 正三角形：既是等边三角形，又是等腰三角形。
(2) 等腰直角三角形：既是等腰三角形，又是直角三角形。
三、三角形的元素三角形除了边和角之外，还有一些重要的元素：1. 顶点角：三角形的三个顶点所对应的角。
2. 底边：连接两个顶点的边。
3. 高：从底边到顶点所做的垂直线段。
四、三角形的角度关系1. 内角和定理：三角形内角的和等于180°。
2. 外角和定理：三角形的外角的和等于360°。
五、三角形的性质与定理1. 等腰三角形的性质：(1) 等腰三角形的两底角相等。
(2) 等腰三角形的高、中线、角平分线和垂心都是重合的。
2. 直角三角形的性质（勾股定理）：(1) 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(2) 根据勾股定理可以判断一个三角形是否为直角三角形。
3. 三角形的面积公式（海伦公式）：三角形的面积可以用海伦公式进行计算，公式如下：面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s为三角形的半周长，a、b、c为三角形的三条边的长度。
通过了解三角形的基本概念与性质，我们可以更好地理解和分析三角形相关的问题。
三角形的基本概念与性质
三角形的基本概念与性质三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，有许多重要的概念和性质，本文将详细介绍这些内容。
一、概念1. 边：三角形有三条边，分别连接三个顶点。
2. 顶点：三角形有三个顶点，每个顶点是两条边的交点。
3. 角：三角形有三个角，分别由两条边组成，角的大小可以通过度数或弧度来表示。
4. 顶角：三角形的顶点所对应的角叫做顶角。
5. 底边：底边是三角形的一个边，另外两边的起点和终点都在底边上。
二、性质1. 内角和：三角形的内角和等于180度。
即三个内角的度数之和等于180度。
2. 外角和：三角形的外角和等于360度。
即三个外角的度数之和等于360度。
3. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度相等，则这个三角形是等边三角形。
等边三角形的三个内角都是60度。
4. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边的长度相等，则这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的两个底角相等。
5. 直角三角形：如果一个三角形的一个角是90度，则这个三角形是直角三角形。
直角三角形中一边的长度可以通过勾股定理计算。
6. 锐角三角形：如果一个三角形的三个内角都小于90度，则这个三角形是锐角三角形。
7. 钝角三角形：如果一个三角形的一个内角大于90度，则这个三角形是钝角三角形。
8. 等腰直角三角形：如果一个三角形的一个角是90度，并且另外两条边的长度相等，则这个三角形是等腰直角三角形。
9. 角平分线：三角形的内角平分线将一个角分为两个相等的角。
每个内角都有一个对应的内角平分线。
10. 中线：三角形的三条中线将三角形分为三个相等的小三角形。
每条中线都通过三角形的一个顶点和对边的中点。
11. 高线：三角形的三条高线分别从一个顶点垂直向对边，与对边相交于一个点。
三角形的三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
12. 外心：外接圆是一个三角形的三条边的延长线所确定的唯一圆。
这个圆的圆心叫做三角形的外心。
13. 内心：内切圆是一个三角形的三条边的内部所确定的唯一圆。
三角形的认识课件
三角形的认识课件一、引言三角形是几何学中最基本的多边形之一，由三条线段首尾相连所围成的封闭图形。
三角形作为一种基础的几何形状，广泛应用于日常生活和各个学科领域。
本课件旨在帮助大家深入了解三角形的性质、分类和判定方法，以及在实际问题中的应用。
二、三角形的性质1.三角形的内角和三角形的内角和是指三个内角的角度之和。
根据欧几里得几何的基本原理，三角形的内角和恒等于180度。
这一性质是解决与三角形相关问题的关键。
2.三角形的边角关系（1）大边对大角：在一个三角形中，较长的边对应较大的角。
（2）大角对大边：在一个三角形中，较大的角对应较长的边。
（3）等边对等角：在一个三角形中，相等的边对应相等的角。
3.三角形的重心、外心和内心（1）重心：三角形的重心是三条中线的交点，每条中线都是连接顶点与对边中点的线段。
重心将中线分为两段，其中靠近顶点的线段长度是另一段的2倍。
（2）外心：三角形的外心是三条垂直平分线的交点，每条垂直平分线都是连接顶点与对边中点的线段，并且垂直于对边。
外心到三个顶点的距离相等。
（3）内心：三角形的内心是三条角平分线的交点，每条角平分线都是从一个顶点出发，将相邻两边的角平分。
内心到三边的距离相等。
三、三角形的分类1.按边长分类（1）不等边三角形：三边长度都不相等的三角形。
（2）等腰三角形：有两条边长度相等的三角形。
（3）等边三角形：三边长度都相等的三角形。
2.按角度分类（1）锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形。
（2）直角三角形：一个内角等于90度的三角形。
（3）钝角三角形：一个内角大于90度的三角形。
四、三角形的判定方法1.边长判定法（1）两边之和大于第三边：任意两边之和大于第三边。
（2）两边之差小于第三边：任意两边之差小于第三边。
2.角度判定法（1）锐角三角形：三个内角都小于90度。
（2）直角三角形：一个内角等于90度。
（3）钝角三角形：一个内角大于90度。
五、三角形在实际问题中的应用1.土木工程在土木工程中，三角形常用于桁架结构的分析。
三角形的初步认识
三角形的初步认识三角形是初中数学中的基础概念之一。
它是由三条线段连接在一起形成的，并且围成了一个封闭的区域。
在这篇文章中，我们将探讨三角形的性质和应用。
一、三角形的定义三角形是由三个顶点和它们之间的三条线段组成的图形。
每个顶点都由两条线段相交而成，并且这些线段称为三角形的边。
三角形中的任何两个边都会在它们的端点处相交，并且它们形成的角度称为三角形的角。
每个三角形都有三个角和三个边。
二、三角形的分类按照三边的长度，三角形可分为三类。
等边三角形是指三边的长度相等。
等腰三角形是指有两条边的长度相等。
其它三边不等的三角形被称为普通三角形。
按照角度的大小，三角形也可以被分类为三类。
直角三角形是指一个角为90度，且其他两个角之和为90度。
锐角三角形是指每个角的大小都小于90度。
钝角三角形是指至少有一个角的大小大于90度。
三、三角形的性质一个三角形的内角之和总是等于180度。
这个定理被称为“三角形内角和定理”。
三边形中，任意两边之和都大于第三边。
这个定理被称为“三角形两边之和大于第三边定理”。
对于等边三角形，其内部的每个角都是60度。
对于等腰三角形，其底部的两个角是相等的。
四、三角形的应用三角形有许多应用，包括三角函数、三角测量和三角形面积的计算。
三角函数是指依据三角形中的角度来计算三角形中各个边的长度比例的函数。
在三角函数中，包括三角正弦、三角余弦和三角切线等。
三角测量是指利用三角形的性质来测量距离或高度的过程。
在实际生活中，三角测量被广泛应用于建筑、测量和地理领域等。
三角形的面积可以通过使用海龙公式来计算。
海龙公式是指通过三角形的三个边长来计算其面积的公式。
总之，在数学中，三角形是一个基础概念，并且它有着广泛的应用。
学习三角形的性质和应用是数学学习的关键，而本文所提供的信息提供了三角形的初步认识，是学生们所需掌握的知识。
三角形的基本性质与分类知识点总结
三角形的基本性质与分类知识点总结三角形是几何学中的重要概念，具有广泛的应用。
本文将总结三角形的基本性质和分类知识点，让读者全面了解三角形的特点和特性。
一、基本性质1. 三角形是由三条线段组成的闭合图形，它的内角和为180度。
2. 三角形的边界线段称为边，相交的两条边称为角。
3. 三角形的三个内角分别为锐角、直角和钝角，其中锐角小于90度，直角等于90度，钝角大于90度。
4. 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两角的度数之和大于第三角的度数。
5. 三角形的高是从一个顶点到对边的垂直距离，三角形的重心是三条中线的交点，三角形的外心是三条垂直平分线的交点，三角形的内心是三条角平分线的交点。
二、分类知识点1. 根据边的长度可以将三角形分类为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
a) 等边三角形的三条边长度相等，三个内角都是60度。
b) 等腰三角形的两条边长度相等，两个角度相等。
c) 一般三角形没有边长相等的情况。
2. 根据角的大小可以将三角形分类为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
a) 锐角三角形的三个角都小于90度。
b) 直角三角形的一个角等于90度。
c) 钝角三角形的一个角大于90度。
3. 根据角的位置可以将三角形分类为顶角三角形、基角三角形和底角三角形。
a) 顶角三角形的一个角位于三角形的顶点。
b) 基角三角形的一个角位于三角形的底边的端点。
c) 底角三角形的一个角位于三角形的底边的另一端点。
4. 正三角形是既是等边三角形又是等腰三角形的三角形。
5. 根据边的关系可以将三角形分类为相似三角形和全等三角形。
a) 相似三角形的对应角度相等，对应边的比值相等。
b) 全等三角形的对应边和对应角都相等。
6. 根据面积可以将三角形分类为直角三角形、等腰三角形和一般三角形。
a) 直角三角形的面积为底边乘以高的一半。
b) 等腰三角形的面积为底边乘以高的一半。
c) 一般三角形的面积通过海伦公式计算：面积 = 开方(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))，其中s为半周长，a、b、c为三角形的三条边。
三角形的概念与性质
三角形的概念与性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，它由三条线段组成，这三条线段相互相交于端点，形成三个顶点。
本文将介绍三角形的概念和一些重要性质。
概念三角形是由三条线段组成的简单几何图形，每条线段被称为三角形的边，相邻两边的端点被称为三角形的顶点。
根据边的长度，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，而普通三角形的三条边长度都不相等。
性质一：内角和定理一个三角形有三个内角，它的内角和等于180度。
这是三角形的一个基本性质，也被称为内角和定理。
例如，在一个普通三角形中，三个内角的和是180度。
如果一个三角形中的一个内角是90度，那么我们称这个三角形为直角三角形。
性质二：外角和定理三角形的每个内角都有一个对应的外角。
对于任意一个三角形，它的外角和等于360度。
这是三角形的另一个重要性质，也被称为外角和定理。
在一个普通三角形中，三个外角的和是360度。
性质三：等腰三角形的性质等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一些独特的性质。
首先，等腰三角形的两个底角（顶点所对的角）是相等的。
其次，等腰三角形的两条边是相等的。
这些性质使得等腰三角形在解决一些几何问题中非常有用。
性质四：直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角是90度。
直角三角形有一些独特的性质。
首先，直角三角形的两个直角边（与直角相邻的两条边）满足勾股定理。
即直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
其次，直角三角形可以由一个45度的等腰直角三角形与一个角是30度的等腰直角三角形组成。
性质五：三角形的三边关系三角形的三边之间有一些关系。
其中之一是三角不等式定理，它表明任意两边之和大于第三边。
另一个是海伦公式，它用于计算三角形的面积。
根据海伦公式，已知三角形的三边长度时，可以计算出三角形的面积。
总结三角形是平面几何中基本的图形之一，它的概念和性质对于理解和解决几何问题非常重要。
三角形的初步认识知识点总结
三角形的初步认识【概念】不在同一条直线．．．．．．．上的三条线段首尾．．．．．．顺次．．相接．．所组成的图形。
用符号“△”表示。
三边：AB 、AC 、BC 。
有时也用a 、b 、c 表示，顶点A 所对应的边BC 用a 表示，顶点B 所对应的边AC 用b 表示，顶点C 所对应的边AB 用c 表示。
三个内角：∠A 、∠B 、∠C 。
【分类】三角形{三边都不相等等腰三角形{底边和腰不相等等边三角形 三角形{直角三角形斜三角形{锐角三角形钝角三角形【基本性质】1、三角形内角和为180°。
2、三边关系 文字语言数学语言理论依据应用两边之和大于第三边在△ABC 中，a+b>c ；b+c>a ；a+c>b 。
两点之间，线段最短。
1、判断是否能组成三角形。
2、已知两边，求第三边取值范围。
两边之差小于第三边在△ABC 中，|a −b |<c ；|b −c |<a ；|a −c |<b 。
3、三角形的稳定性：当三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定。
4、三角形外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
【重要的线段】定义角平分线 一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
中线 连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段。
高线从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。
ABabcC“三线”交点中垂线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”。
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
角平分线：性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
【全等三角形】1、定义：能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
符号：≌（全等于）2、性质：对应边相等，对应角相等。
3、判定：（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
三角形的初步认识重要知识点总结
三角形的初步认识重要知识点总结一、三角形的基本概念三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。
二、三角形的分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三、三角形的基本性质1.三角形的内角和是180°（总结发现）。
2.三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段最短得到）。
3.三角形任何两边的差都小于第三边。
4.三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
5.三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和。
四、几条重要的直线1.三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边中点（角平分线上的点到角两边的距离相等）；2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段(平分线段、平分面积)；3.三角形的高；从三角形的一个顶点向它对边所在的直线做垂线。
锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。
直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。
而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。
4.中垂线：结合了高和中线的性质在一起。
中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
（结合三角形周长考）5.线段的垂直平分线：垂直平分线到线段两端的距离相等。
说明：三角形中重要线段：角平分线、中线，它们的主要特征是：①都是线段，②这些线段一个端点是三角形的顶点，另一端点在这个顶点的对边上。
五、全等三角形1.全等图形：能够完全重合的两个图形。
2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形。
3.对应边：能够相互重合的顶点；对应顶点：相互重合的边；对应角：相互重合的角。
记作：全等的符号为“≌”。
全等三角形的对应角相等，对应边相等。
注意“对应”二字。
4.全等三角形性质1：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
三边对应相等SSS；一个角和夹这个角的两边对应相等SAS；两个角和这两个角的夹边对应相等ASA；两个角和其中一个角的对边对应相等AAS。
三角形的基本概念
三角形的基本概念三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条边和三个顶点组成。
它是平面上的一个闭合图形，具有许多独特的性质和特征。
在本文中，我们将讨论三角形的基本概念，包括三角形的定义、分类、性质以及相关定理。
一、三角形的定义三角形是由三条线段所组成的图形，这三条线段相互连接并形成一个封闭的图形。
其中，每个线段被称为三角形的边，而线段之间的交点被称为三角形的顶点。
二、三角形的分类根据三角形的边的长短和角的大小，三角形可以分为以下几类：1.等边三角形：三条边的长度相等。
2.等腰三角形：两条边的长度相等。
3.直角三角形：其中一个角度为直角（90度）。
4.锐角三角形：三个角度都小于90度。
5.钝角三角形：其中一个角度大于90度。
三、三角形的性质三角形具有以下基本性质：1.三角形的内角和等于180度。
2.任意两边之和大于第三边，即边长满足三角不等式。
3.等边三角形的三个角度均为60度，等腰直角三角形的两个角度为45度。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这是著名的勾股定理。
四、三角形的相关定理三角形有许多重要的定理与之相关，这些定理帮助我们理解三角形的性质和关系：1.角平分线定理：如果一条线段从一个角的顶点出发并平分该角，那么该线段将把对边分成两个相等的线段部分。
2.三角形中位线定理：三角形中位线的长度等于一半的底边的长度。
3.角邻接定理：在一个三角形中，两个角邻接对边的边长之比等于这两个角的正弦值或余弦值之比。
综上所述，三角形是一个基本的几何图形，具有丰富的性质和特点。
我们可以通过对三角形的定义、分类、性质以及相关定理的学习来更好地理解和应用几何学中的概念。
通过深入掌握三角形的基本概念，我们可以进一步探索三角形形成的原理，并应用到实际生活和其他几何学问题中。
三角形的初步认识
三角形的初步认识在我们的日常生活和数学世界中，三角形是一种极其常见且重要的几何图形。
从建筑物的结构到简单的图案设计，三角形都扮演着不可或缺的角色。
那么，让我们一起来初步认识一下三角形吧。
三角形，顾名思义，是由三条线段首尾相连组成的封闭图形。
这三条线段就是三角形的边，而相邻两条边的交点则称为三角形的顶点。
三角形一共有三个顶点。
三角形的边有不同的长度，根据边的长度关系，我们可以将三角形分为三类：等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。
等边三角形，三条边的长度都相等。
想象一下，正因为三条边长度一样，所以它看起来非常的规整、对称，给人一种稳定和平衡的美感。
等腰三角形，有两条边的长度相等。
这两条相等的边被称为腰，而另一条边则被称为底边。
等腰三角形也有着独特的对称性质。
不等边三角形，就是三条边的长度都不相同。
它的形状更加多样化，没有明显的对称特征。
除了边的长度，三角形的角也有其特点。
三角形的三个内角之和总是 180 度。
这是一个非常重要的性质，无论三角形的形状和大小如何变化，这个性质始终不变。
如果三角形的三个角都小于 90 度，我们称其为锐角三角形。
这种三角形的三个角都比较小，形状比较尖锐。
当三角形有一个角等于 90 度时，它就是直角三角形。
直角三角形在生活中的应用非常广泛，比如我们常见的直角三角尺。
而如果三角形有一个角大于 90 度，那么它就是钝角三角形。
钝角三角形的那个钝角会让整个形状看起来比较“钝”。
三角形在实际生活中的应用数不胜数。
比如在建筑领域，许多结构都采用了三角形的稳定性原理。
桥梁的支撑结构、屋顶的桁架等等，利用三角形的稳固性能够承受更大的重量和压力，确保建筑物的安全。
在艺术设计中，三角形也常常被运用来创造出各种独特的视觉效果。
通过不同大小和形状的三角形组合，可以营造出丰富多样的图案和风格。
在数学学习中，三角形更是许多定理和公式的基础。
例如勾股定理，它描述了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
认识三角形(基础)知识讲解
认识三角形(基础)知识讲解高、中线、角平分线要点诠释：1）高：从三角形顶点所在的顶角向对边所在的边引一条垂线，垂足到对边的线段就是三角形的高；2）中线：连接三角形的两个顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线；3）角平分线：从三角形顶点所在的顶角向对边所在的边引一条线段，使得这条线段把顶角分成两个相等的角，这条线段就是三角形的角平分线；4）应用：高可以用来求三角形面积，中线可以用来求三角形重心，角平分线可以用来求三角形内心．三角形的高是连接一个顶点和它对边中点的线段，角平分线是一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段。
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段称为高。
作图过点A作AD⊥BC于点D，其中AD是△ABC的高，也是△ABC中BC边上的高，同时AD⊥BC于点D，且∠ADC＝90°，∠ADB＝90°。
因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC。
三角形的中线是连接一个顶点和对边中点的线段，且三角形的三条中线交于三角形内角度相等的点。
三角形的角平分线是一个内角的平分线，交于对边上的一点。
证明三角形的内角和为180°的两种方法：一是通过平行线和内错角、同位角的性质，二是通过在三角形内部任取一点，连接直线并利用平行线和内错角、同位角的性质。
答案与解析】选D。
解：三角形成立的条件是任意两边之和大于第三边，即a+b>c，b+c>a，a+c>b。
A。
2cm。
4cm。
7cm 不成立，因为2+4<7不满足条件。
B。
3cm。
5cm。
9cm 不成立，因为3+5<9不满足条件。
C。
4cm。
6cm。
10cm 不成立，因为4+6<10不满足条件。
D。
5cm。
7cm。
9cm 成立，因为5+7>9，7+9>5，5+9>7都满足条件。
总结升华】判断三角形是否成立，可以利用三角形成立的条件：任意两边之和大于第三边.运用三角形中线的定义，我们可以得到线段AD＝BD，这是解答本题的关键。
三角形的认知知识点
三角形的认知知识点三角形是几何学中一种常见的图形，通过三条线段连接起来构成。
了解和掌握三角形的基本概念、性质和分类，对于学习几何学和解决实际问题都是必要的。
本文将介绍三角形的认知知识点，包括基本概念、性质和分类，帮助读者全面了解和掌握三角形的相关知识。
一、基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段连接在一起构成的图形。
三角形的边是线段，边两两连接的端点称为顶点。
2. 三角形的要素：三角形有三个顶点和三条边。
三个顶点分别用大写字母A、B、C表示，三条边分别用小写字母a、b、c表示。
每条边都由两个顶点确定，如边a由顶点B和顶点C确定。
3. 三角形的符号表示：常用的表示方法是以三个顶点的大写字母按顺序排列，如△ABC表示以A、B、C为顶点的三角形。
二、性质1. 内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度（即180°）。
设三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则有∠A+∠B+∠C=180°。
2. 外角和定理：三角形的一个内角的补角是另外两个外角的和。
设三角形的一个内角为∠A，则它的补角为180°-∠A，而另外两个外角分别为180°-∠B和180°-∠C，所以有(180°-∠A)+(180°-∠B)+(180°-∠C)=360°。
3. 等边三角形性质：等边三角形的三条边相等，三个内角也相等，每个内角都是60度（即60°）。
4. 等腰三角形性质：等腰三角形的两个底边相等，两个底角也相等。
5. 直角三角形性质：直角三角形的一个内角是90度（即90°），称为直角。
直角三角形的两条腿相互垂直，并且满足勾股定理：c^2=a^2+b^2，其中c表示斜边，a和b分别表示两条腿的长度。
三、分类1. 按边的关系分类：a. 等边三角形：三条边相等，每个内角都是60度（即60°）。
b. 等腰三角形：两个底边相等，两个底角也相等。
三角形的知识
三角形的知识三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有许多重要的性质和定理。
本文将介绍三角形的基本定义、分类、性质以及一些重要的定理，以帮助读者更好地理解和掌握三角形的知识。
一、三角形的定义和分类三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每条线段称为三角形的边，而连接边的端点称为三角形的顶点。
根据三角形的边长关系，可以将三角形分为三类：1. 等边三角形：三条边的长度相等。
2. 等腰三角形：两条边的长度相等。
3. 普通三角形：三条边的长度各不相等。
二、三角形的性质三角形具有许多重要的性质，包括角度性质和边长性质。
1. 角度性质：（1）三角形的内角和等于180度。
即三个内角的度数之和为180度。
（2）等腰三角形的两个底角（两边相等的角）相等。
（3）直角三角形的两个锐角（小于90度的角）互补，即它们的和等于90度。
2. 边长性质：（1）任意两边之和大于第三边。
即对于三角形的任意两边，其长度之和大于第三边的长度。
（2）等边三角形的三条边长相等。
（3）等腰三角形的两条腰长相等。
三、三角形的重要定理三角形的知识中涉及一些重要的定理，它们对于解决与三角形相关的问题非常有用。
下面介绍其中几个常见的定理：1. 角平分线定理：三角形内一条角的平分线将对边分成两个比例相等的线段。
2. 直角三角形定理：（1）勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方和。
（2）正弦定理：三角形中，任意一条边的长度与它对应的角的正弦比例相等。
（3）余弦定理：三角形中，任意一条边的平方等于另外两条边的平方和减去这两条边之间夹角的正弦的两倍乘积。
以上只是三角形知识中的一部分，还有许多其他定理和性质，它们在不同的几何问题中起到重要的作用。
掌握三角形的知识，可以帮助我们解决很多与三角形相关的几何问题，例如计算三角形的面积、判断三角形的形状等。
总结：三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有许多重要的性质和定理。
本文介绍了三角形的基本定义、分类、性质以及一些重要的定理。
三角形所有知识点总结
三角形所有知识点总结三角形是几何学中的一个基本概念，它是由三条线段连接而成的图形。
本文将从不同的角度介绍三角形的知识点，包括定义、分类、性质、应用等。
一、三角形的定义三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段都是另外两条线段的端点之间的直线段。
三角形的三个顶点可以用大写字母A、B、C表示，而三条边可以用小写字母a、b、c表示。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度大小，三角形可以分为以下几种类型：1. 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形、普通三角形。
2. 根据角度大小分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
三、三角形的性质1. 三角形的内角和定理：任意三角形的内角和等于180°。
2. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角均为60°。
3. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两条底边相等，两个底角相等。
4. 直角三角形的性质：直角三角形的一个内角为90°。
5. 锐角三角形的性质：锐角三角形的三个内角均小于90°。
6. 钝角三角形的性质：钝角三角形的一个内角大于90°。
四、三角形的应用三角形在实际生活中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的测量：三角形的边长和角度可以通过测量来确定，例如在建筑设计和土木工程中常用于测量地形和角度。
2. 三角函数的应用：三角函数是三角学的重要分支，它在物理、工程、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
3. 三角形的相似性：相似三角形是几何学中的一个重要概念，它在计算几何和图形变换中有着重要的应用。
4. 三角形的几何关系：三角形的几何关系包括垂直、平行、相交等，它们在几何证明和几何推理中起着重要的作用。
三角形是几何学中的一个基本概念，它具有丰富的性质和广泛的应用。
通过学习和研究三角形的知识，我们可以更好地理解和应用几何学的原理和方法。
无论是在学术研究还是实际应用中，三角形都扮演着重要的角色，它不仅是数学学科的基础，也是其他科学领域的重要工具和方法。
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那么下列式子中正确的是( A )
A．γ＝2α＋β
B．γ＝α＋2β
C．γ＝α＋β
D．γ＝180°－α－β
3．如图，D，E，F 分别是△ABC 三边延长线上的点，则∠D＋∠E＋ ∠F＋∠1＋∠2＋∠3＝ 180．°
B．点 E
C．点 F
D．点 G
③．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，BC，CA 上的中 点，且 AB＝6 cm，AC＝8 cm，则四边形 ADEF 的周长等于14 cm.
三角形的有关性质
三角形的有关性质
1.三角形的稳定性：三角形具有稳定性，四边形 不具有 稳定性．
2．三角形的三边关系：三角形的两边之和 大于 第三边，三角形的两边之差
三角形中 的重要线段
三角形及其性质
考点解读
三角形的分类
锐角三角形
按角分类① 直角 三角形
钝角三角形
三角形
三边都不相等的三角形
ຫໍສະໝຸດ 底和腰不相等的等腰
按边分类等腰三角形三角形
② 等边 三角形
判断正误： (1)所有的等腰三角形都是锐角三角形；(× ) (2)等边三角形属于等腰三角形；(√ ) (3)不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形；(× ) (4)一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形．(× )
图示
性质
BD＝ ⑦ CD
1 ＝⑧ 2 BC
相关结论 三角形的三条中线相交于一 点，这个交点叫做三角形的 ⑨ 重心 ；每一条中线都将 三角形分成面积⑩ 相等 的 两部分.
四线 定义 三角形一 个内角的 平分线与
角平 这个角对 分线 边相交，
顶点与交 点连接的
线段.
图示
性质
相关结论
三角形的三条角平分线
∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C 的度数是( C )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
⑤．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 E，延长 BE，与△ABC 的外角∠ACD 的平分线相交于点 P.
(1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BEC＝ 120° ，∠P＝ 30° ； (2)若∠A＝60°，则∠BEC＝ 120° ，∠P＝ 30° ．
小于 第三边．
3．三角形的内角和定理及其推论：
(1)三角形三个内角的和等于
180° ；
(2)直角三角形的两个锐角 互余 ；
(3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和 ， 大于 与它不相
邻的任意一个内角.
如图，在△ ABC 中，∠C＝90°.
图形示例
(1)AC＋BC ＞ AB，AB－AC ＜ BC；
【方法指导】 1．如图 1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P，
则∠BPC＝90°＋12∠A； 2．如图 2，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点 P，
则∠BPC＝12∠A； 3．如图 3，在△ABC 中，∠CAE 与∠ACD 的平分线相交于点 P，
则∠AP C＝90°－12∠ABC .
数学
第14讲 图形的初步认识与三角形2 ——三角形的基础知识
点对点“过”考点
【对接教材】北师：七下第四章P81－P91， 八上第七章P178－P183， 八下第六章P150－P152；
按边分 按角分
三角形 的分类
三边关系 内角和定理
边角关系 内外角关系
三角形的 基本性质
中线 高线 角平分线 中位线
与三角形有关的线段
四线 定义
图示
性质
相关结论
过三角 形一个 顶点作 高线 它对边 所在直 线的垂 线段.
锐角三角形的三条高相交
AD⊥BC ， 即 于三角形的⑤内 部；直角
∠ADB＝
三角形的三条高相交于
∠③ ADC ⑥ 直角顶点 ；钝角三
＝④ 90 ° 角形的三条高相交于三角
形的外部.
四线
定义
连接三角形 一个顶点与 中线 它对边中点 的线段.
∠1＝∠ 2
12∠
BAC
＝ 相交于一点，这个交点叫 做三角形的 内心 ，这
个点到三角形三边的距
离 相等 .
四线 定义 连接三 角形两
中位线 边中点 的线段
图示
性质
相关结论
DE BC 且 DE＝
1 2 BC
S△ ADE＝
1 4
S△ ABC
①．如图，已知 AD 是△ABC 的中线，点 E 为 AB 的中点，连接 DE，
谈一谈：你这节课的收获是什么？
1．(2019·扬州)已知 n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是 n＋2，
n＋8，3n，则满足条件的 n 的值有( D )
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
2．(2018·聊城)如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落
在△ABC 外的 A′处，折痕为 DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，
②．(2019·自贡)已知三角形的两边长分别为 1 和 4，第三边长为整数，
则该三角形的周长为( C )
A．7
B．8
C．9
D．10
③．(2019·荆门)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们
的直角边互相垂直，则∠1 的度数是C( )
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
④．(2019·眉山)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，
(2)∠A＋∠C＋∠ABC＝
180° ，∠A＋∠ABC＝ 90° ；
(3)∠ABD＝∠A＋∠ C ，∠ABD ＞ ∠A，∠ABD ＞∠C.
①．(2019·淮安)下列长度的 3 根小木棒不能搭成三角形的是( B )
A．2 cm，3 cm，4 cm B．1 cm，2 cm，3 cm
C．3 cm，4 cm，5 cm D．4 cm，5 cm，6 cm
下
列
结
论：
①BD
＝
C
D
；
②AB
＝
AC
；
③S△ABD
＝
1 2
S△ABC
；
④DE
＝
1 2
AC
；
⑤DE∥AC.其中一定成立的有 ①③④⑤
．(填正确结论的序号)
②．(2019·泰州)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A，B，
C，D，E，F，G 在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是( A )
A．点 D