人教课标版高中数学选修1-2《推理与证明》复习课件
(人教)高中数学选修1-2课件：第2章 推理与证明2.2.1
• 又因为a，b，c不全相等， • 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0. • 所以原不等式a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca成立． • 证法二：(综合法) • 因为a，b，c∈R， • 所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0. • 又因为a、b、c不全相等， • 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0.
P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→
证法 或执 果索
__定_义___、__公_理___等)为止，这 得到一个明显成立的条件 因法
种证明方法叫作分析法
• 2．分析法的特点 • (1)思维特点：从“未知”看“需知”，逐步
靠拢“已知”，其推理过程实际上是逐步寻 求结论成立的充分条件的过程． • (2)思维过程：由结果追溯原因，即寻求结果 成立的充分条件． • (3)优点：容易探路且探路与表述合一；缺点
• [问题] 歇后语表明了一种什么样的思维过 程？
• [提示] 顺着藤，摸到瓜，类比顺着已知条 件，推出要证的结论
综合法
定义
推证过程
特点
利用__已_知__条_件____和某 P⇒Q1 →
些数学_定__义__、_定_理___、 __公__理_____等，经过一
Q1⇒Q2
→
系列的___推_理__论_证_____， Q2⇒Q3 →…→
顺推 证法 或由
最后推导出所要证明 Qn⇒Q (P 表示_已_知__条_件____、已 因导
的结论成立，这种证明 有的_定_义___、_公_理___、_定_理___等，果法
最新人教版高中数学选修第二章：推理与证明复习ppt课件
小前提
所以f ( x ) x 2 2 x在( ,1)满足增函数定义， 于是，根据增函数的定 义可知，
结论
函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。
第二章：推理与证明复习
基础知识梳理
基础知识梳理
不完全归纳 部分到整体 个别到一般
另一类对象 也具有这些特征
特殊到特殊
基础知识梳理
一般原理 特殊情况 特殊情况
一般到特殊
课堂互动讲练
例1.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ 2an * N n ， ∈ ，猜想这个数列的通项公式 2＋ an
并说明理由
上是增函数.
大前提：增函数的定义；
证明：任取
x1 , x2 (,1),且x1 x2 ,
2 1 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ) ( x 2 x1 ) ( x 2 x2 )
( x2 x1 )(x2 x1 2). 因为x1 x2 , 所以x2 x1 0;
5.（2004广东）
由图(1)有面积关系:
SPAB PA PB SPAB PA PB VP ABC PA PB PC PA PB PC VP ABC
B
A B
则由图(2)有体积关系:
B B
C
P
C
P A 图(2) A
A
图(1)
则四面体的内切球半径 R ________________ . 3V
S1 S2 S3 S4
B
《反证法》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第2.2.2课时)
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
高中数学 第二章 推理与证明章末复习课课件 新人教B版选修1-2.pptx
章末复习课
1
学习目标
1.理解合情推理和演绎推理. 2.会用直接证明和间接证明方法证明问题.
2
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
3
知识梳理
4
1.合情推理 (1)归纳推理：由 部分 到整体 、由 个别 到 一般 的推理. (2)类比推理：由 特殊 到 特殊的推理. (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分 析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们 统称为合情推理.
12345
解析 34 答案
4.如图，这是一个正六边形的序列：
则第n个图形的边数为__5_n_＋__1__. 解析 图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为 首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.
12345
解析 35 答案
|a|＋|b| 5.已知非零向量 a，b，满足 a⊥b，求证： |a－b| ≤ 2. 证明 因为a⊥b，所以a·b＝0，
27
跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d). 求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根. 证明 假设两方程都没有实数根， 则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0， 有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac， 从而有4(b＋d)>2ac， 即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.
5
2.演绎推理 (1)演绎推理：由 一般 到 特殊 的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ① 大前提 ——已知的一般原理； ② 小前提 ——所研究的特殊情况； ③ 结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
高中数学人教版选修1-2_模块复习课 第二课 推理与证明 (共50张PPT)精选ppt课件
=2ab(p-q)2. 因为a,b同号,所以2ab(p-q)2≥0. 所以原不等式成立.
【方法技巧】转化与化归思想的内涵与应用 (1)内涵:转化与化归的思想就是在处理问题时,通过某 种转化过程,化归为一类已经解决或比较容易解决的问 题,最终使问题化繁为简、化难为易.
(2)应用:本章内容中转化与化归思想主要应用于以下 几个方面:归纳推理中特殊到一般的转化;演绎推理中 一般到特殊的转化;分析法中结论与条件的转化;反证 法中正难则反的转化;数学归纳法中无限与有限的转化 等.
【方法技巧】 1.归纳推理的特点及一般步骤
2.类比推理的特点及一般步骤
【变式训练】对命题“正三角形的内切圆切于三边的 中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面各 正三角形的位置是 ( ) A.各正三角形内的任一点 B.各正三角形的中心 C.各正三角形边上的任一点 D.各正三角形的某中线的中点
2.反证法的证题思想 否定结论,提出假设 ↓ 逻辑推理,导出矛盾 ↓ 否定假设,肯定结论
【变式训练】已知直线a与b不共面,c∩a=M,b∩c=N,a∩ 面α=A,b∩面α=B,c∩面α=C. 求证:A,B,C三点不共线. 【证明】假设A,B,C三点共线于直线l,
因为A,B,C∈α,所以l⊂α. 因为c∩l=C,所以c与l确定一平面β. 因为c∩a=M,所以M∈β.又A∈l, 所以a⊂β,同理b⊂β, 所以a,b共面,与已知a,b不共面矛盾, 故A,B,C三点不共线.
课 推理与证明
【网络体系】
【核心速填】 1.合情推理 (1)归纳推理:由_____到_____、由_____到_____的推理.
部分 整体 个别 一般 (2)类比推理:由_____到_____的推理. (3)合情推理:归纳特推殊理和特类殊比推理都是根据已有的事 实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比, 然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.
高中数学选修1-2课件第二章 推理与证明 2.1.1
2. 正 方 形 的 面 积 为 边 长 的 平 方 ， 则 在 立 体 几 何 中 ， 与 之 类 比 的 图 形 是 ________，结论是________.
【导学号：97220012】
【答案】 正方体 正方体的体积为棱长的立方
3.在公比为 4 的等比数列{bn}中，若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积，则有TT1200，TT3200， TT4300也成等比数列，且公比为 4100；类比上述结论，相应地，在公差为 3 的等差数 列{an}中，若 Sn 是{an}的前 n 项和.可类比得到的结论是________.
数列中的类比推理
[小组合作型]
在等差数列{an}中，若 a10＝0，则有等式 a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2 ＋…＋a19-n(n<19，n∈N*)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若 b9＝1，则有什么样的等式成立？
【精彩点拨】 在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等 比数列中的积，差类比商，积类比幂.
【答案】 n c1·c2·c3·…·cn
类比推理在几何中的应用 如图 2-1-10 所示，在平面上，设 ha，hb，hc 分别是△ABC 三条边
上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为 pa，pb，pc，可以 得到结论phaa＋phbb＋phcc＝1.
图 2-1-10 证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.
1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征. 2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然 后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.
[再练一题] 3.三角形的面积为 S＝12(a＋b＋c)r，a、b、c 为三角形的边长，r 为三角形内 切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为________.
高中数学(人教A选修1-2)课件：2章 推理与证明 阶段复习课
【解析】设等比数列{bn}中,公比为q,前n项和为Tn, (1)通项bn=bm·qn-m,m,n∈N*,m<n. (2)若m+n=p+q,其中m,n,p,q∈N*,则bm·bn=bp·bq. (3)若m+n=2p,其中m,n,p∈N*,则 =bm·bn. (4)Tn,T2n-Tn,T3n-T2n构成等比数列.
即a≥-x2在[1,e]上恒成立,所以a≥-1. x
(2)当a=1时,f(x)= xa2+lnx,x∈[1,e].
令F(x)=f(x)- x3= x2+lnx- x3,
又F′(x)=x+ -2x2= x
≤0,
所以F(x)在[1,e]上是减函数,
所以F(x)≤F(1)= - <0,
所以x∈[1,e]时,f(x)< x31.
2n 1 n
D.1
1 22
1 32
1 n2
2n 2n 1
(2)(2014·宁波高二检测)两点等分单位圆时，有相应正确
关系为sin α+sin(π+α)=0;三点等分单位圆时，有相应正
确关系为
由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关
系为_______.
sin sin( 2) sin( 4) 0，
2
21
2
3 1
2
1
x
1
3 x
2x
2
x
x
12
23 2
3
【方法技巧】 1.演绎推理的特点 演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理.换言之, 演绎推理是由一般到特殊的推理,它的主要形式是三段论.
合情推理
演绎推理
定义
高中数学新课标人教A版选修1-2课件
类比推理的结论不一定成立.
第二十五页，编辑于星期一：点 十三分。
.
.
第二十六页，编辑于星期一：点 十三分。
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直于 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
第一页，编辑于星期一：点 十三分。
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程就叫推理.
第二页，编辑于星期一：点 十三分。
第三页，编辑于星期一：点 十三分。
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
第三十五页，编辑于星期一：点 十三分。
再 见
第三十六页，编辑于星期一：点 十三分。
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
第十页，编辑于星期一：点 十三分。
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
第十一页，编辑于星期一：点 十三分。
四棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
第十二页，编辑于星期一：点 十三分。
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
3
第三十三页，编辑于星期一：点 十三分。
高二数学推理与证明复习PPT教学课件
作业：
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
第三节 鸟类的生态类群
喙
脚
思考题： 1、哪种喙和脚适于捕食小动物？
猛禽类：鴞、鸢、雕
2、哪种喙和脚适于在树枝上捕虫？
鸣禽类：家燕、画眉、黄鹂
3、哪种喙和脚适于在树干上捕虫？
证求
：a +
b+
c < 1+1+1. abc
证法2:∵a、b、c为不相等正数 ，且abc = 1，
∴ a+ b+ c= 1 + 1 + 1 bc ca ab
1+1 1+1 1+1 <b c+c a+a b
= 1+1+1.
2
2
2 abc
∴
a+
b+
c
<
1 a
+
1 b
+
1 c
成立.
二.分析法
例：已知a > 5，求证 ：
和sn满足sn
=
1(a 2
n
+
1 an
)
（1）求a1、a2、a3；
（2）由（1）猜想到数列{an}的通项公式，
并用数学归纳法证明你的猜想。
例：有下列各式： 1> 1,
2 1+ 1 + 1 > 1,
23 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 > 3 ,
234567 2 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 >2
人教课标版高中数学选修1-2：《推理与证明》章末回顾-新版
第二章推理与证明章末小结一、知识梳理1．思维导图2．知识梳理1.归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论其正确性有待于去证明．2．演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确．3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据．4．综合法、分析法、反证法都是数学证明的基本方法．综合法常用于由已知出发进行推理较易找到思路的问题；分析法常用于条件复杂，思考方向不明确的问题，但单纯用分析法证明的情形较少，通常是“分析找思路，综合写过程”；分析法的证明过程充分体现了转化的思想，而反证法则是正难则反思想的体现．另外用反证法证题时，原命题的反面不止一种情形时，要注意分类讨论．二、重难点突破1.进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想．3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步．4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，后者结论可能为真！合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据．5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式．6．分析法的过程仅需要寻求某结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性．一般地，用分析法书写解题步骤的基本格式是：要证：……，只需证……，只需证……，……，……显然成立，所以……成立．三、题型探究（一）合情推理与演绎推理运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最后用演绎推理的方法进行验证．例1观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是S n.••••，• • •• •• • •，• • • •• •• •• • • •，…，n＝2，S2＝4；n＝3，S3＝8；n＝4，S4＝12；…，按此规律，推出S n与n的关系式为________．【知识点：归纳推理】详解：依图的构造规律可以看出：S2＝2×4－4，S3＝3×4－4，S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．…猜想：S n＝4n－4(n≥2，n∈N*)．答案：S n＝4n－4(n≥2，n∈N*)例2 若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则有数列n b =b (n ∈N *)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列{}n c 是等差数列，则有数列n d =________也是等差数列． 【知识点：类比推理】 详解 ：12n c c c n +++L 类比猜想可得12nn c c c d n+++=L 也成等差数列，若设等差数列{}n c 的公差为x ，则12nn c c c d n+++=L 11(1)2(1)2n n xnc x c n n -+==+-g可见{d n }是一个以c 1为首项，x 2为公差的等差数列，故猜想是正确的．答案：12nc c c n +++L ．例3 已知函数1133()5x x f x --=，1133()5x x g x -+=(1)证明f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算(4)5(2)(2)f f g -g 和(9)5(3)(3)f f g -g 的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．【知识点：函数的奇偶性，函数的单调性，指数的运算，不等式的性质】 详解：(1)证明：函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又11113333()()()()55x x x x f x f x -------==-=-，∴f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2，1111113333112233121211331211()()()1555x x x x f x f x x x x x --⎛⎫-- ⎪-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭g ， ∵1133120x x -<，113312110x x +>g ，∴12()()0f x f x -<∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)解析：计算得(4)5(2)(2)0f f g -=g ，(9)5(3)(3)0f f g -=g ． 由此概括出对所有不等于零的实数x 有2()5()()0f x f x g x -=g ． ∵221111222233333333332()5()()5055555x x x x x x x x x x f x f x g x -------+---=-=-=g g g∴该等式成立．点评：问题(1)的大前提为函数奇偶性和单调性的定义．问题(2)实际上是合情推理在高考中的体现，有一定的创新性． （二）直接证明与间接证明 1．综合法和分析法综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用． 例4 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.【知识点：不等式的证明，综合法与分析法】 详解：证法一(综合法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4. 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.证法二(分析法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b ≥4，即证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4，即证b a ＋a b ≥2.由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab ≥2成立，∴原不等式成立． 2．反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑的角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则¬q ”由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则¬q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．例5 求证：两条相交直线有且只有一个交点．【知识点：反证法，两条直线的位置关系；数学思想：分类的思想】 详解：假设结论不成立，即有两种可能：①无交点；②不只有一个交点．(1)若直线a 、b 无交点，那么a ∥b 或a 与b 异面，与已知矛盾；(2)若直线a 、b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A 、B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾． 综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．点拔：结论本身是否定形式或关于唯一性的命题、存在性的命题时，常用反证法． 例6 已知0<a ≤3，函数3()f x x ax =-在区间[1，＋∞)上是增函数，设当x 0≥1，f (x 0)≥1时，有00(())f f x x =.求证：f (x 0)＝x 0.【知识点：反证法，函数的单调性；数学思想：分类的思想】 证明：假设f (x 0)≠x 0，则必有f (x 0)>x 0或f (x 0)<x 0.若f (x 0)>x 0≥1，由于f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则00(())f f x x >． 又00(())f f x x =，∴00()x f x >，与假设矛盾． 若00()1x f x >≥，则00()(())f x f f x >． 又00(())f f x x =，∴f (x 0)>x 0，也与假设矛盾．综上所述，当x 0≥1，f (x 0)≥1且00(())f f x x =时有f (x 0)＝x 0.点拔： (1)对于f (f (x 0))的性质知之甚少，直接证明有困难，因而用反证法来证明，增加了反设这一条件，为我们利用函数的单调性创造了可能． (2)反设中有两种情况，必须逐一否定． 四．课后作业（一）选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( )A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一致D ．“两个整数”概念不一致 【知识点：演绎推理】解：A 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( ) A ．假设2是有理数 B ．假设3是有理数 C ．假设2或3是有理数D ．假设2＋3是有理数【知识点：反证法】解析：D假设应为“2＋3不是无理数”，即“2＋3是有理数”．3．下列推理过程属于演绎推理的为()A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32…得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列【知识点：归纳推理，类比推理，演绎推理】解析：D A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．4．用反证法证明命题“已知x，y∈N*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内容是()A．x，y都不能被7整除B．x，y都能被7整除C．x，y只有一个能被7整除D．只有x不能被7整除【知识点：反证法】解析：A用反证法证明命题时，先假设命题的否定成立，再进行推证．“x，y至少有一个能被7整除”的否定是“x，y都不能被7整除”．5．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．试求第n个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2【知识点：归纳推理】解：C观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.6. 函数f(x)在[－1,1]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式正确的是( )A ．f (cos α)>f (sin β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (cos α)<f (cos β)D ．f (sin α)<f (sin β)【知识点： 函数的单调性，三角函数的单调性，演绎推理】解：A α，β是锐角三角形的两个内角，这就意味着α，β为锐角，另外第三个角π－(α＋β)为锐角．所以0<α<π2，0<β<π2，π2<α＋β<π，所以π2>β>π2－α>0.，所以0<cos β<cos(π2－α)＝sin α<1， 1>sin β>sin(π2－α)＝cos α>0，又因为f (x )在[－1,1]上为减函数，所以f (sin β)<f (cos α)．故选A.7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0【知识点：不等式的性质，不等式的证明，演绎推理】解：D 法一：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， 所以ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ca ＝0，否则a 、b 异号，所以ab ＋bc ＋ca ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选项D 正确．8．已知对正数a 和b ，有下列命题：①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤( )A ．2 B.92 C ．4D ．5【知识点：归纳推理】解：B 从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为12，32，62，所以，若a ＋b ＝9，则ab ≤92.9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为m ＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0【知识点：归纳推理】解：A 所求的平面方程为－1×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0.化简得x ＋2y －z －2＝0.10．下列不等式中一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【知识点：不等式的性质，不等式的证明，演绎推理】 解：C A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；B 项中sin x ＋1sin x ≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.11．已知f (x )＝sin x ＋cos x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′(n ∈N *)，经计算，f 1(x )＝cos x －sin x ，f 2(x )＝－sin x －cos x ，f 3(x )＝－cos x ＋sin x ，…，照此规律，则f 100(x )＝( )A ．－cos x ＋sin xB ．cos x －sin xC ．sin x ＋cos xD ．－sin x －cos x【知识点：归纳推理】解：C 根据题意， f 4(x )＝[f 3(x )]′＝sin x ＋cos x ，f 5(x )＝[f 4(x )]′＝cos x －sin x ，f 6(x )＝[f 5(x )]′＝－sin x －cos x ，…，观察知f n (x )的值呈周期性变化，周期为4，所以f 100(x )＝f 96＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ＋cos x .12．请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，求证：a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数a1，a2，…，a n满足a21＋a22＋…＋a2n＝n时，你能得到的结论是()A．a1＋a2＋…＋a n≤2n B．a1＋a2＋…＋a n≤n2C．a1＋a2＋…＋a n≤n D．a1＋a2＋…＋a n≤n【知识点：归纳推理】解：C构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋n，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0；即4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n2≤0，所以a1＋a2＋…＋a n≤n.（二）填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是________．【知识点：演绎推理】解：菱形的对角线互相垂直且平分大前提是“菱形的对角线互相垂直且平分”．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时：甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可以判断乙去过的城市为________．【知识点：反证法；数学思想：分类思想】解：A易知三人同去的城市为A，又甲去过城市比乙去过的城市多，且甲没去过B城，∴甲去过A城，C城，乙只去过A城．15．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为________．【知识点：类比推理】解：半径为R的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为839R3. “圆中正方形的面积“类比为“球中正方体的体积”，可得结论．16.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．【知识点：归纳推理】解：14 根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1，∴{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. （三）解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x >0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式．【知识点：归纳推理，函数的解析式】 解：依题意得，f 1(x )＝xx ＋2，f 2(x )＝x x ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x（22－1）x ＋22f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x（23－1）x ＋23，…，由此归纳可得f n (x )＝x（2n －1）x ＋2n(x >0)．18．(本小题满分12分)已知A ＋B ＝π3，且A ，B ≠k π＋π2(k ∈Z )．求证：(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝4.【知识点：演绎推理，诱导公式，两角和的正切】证明：由A ＋B ＝π3得tan(A ＋B )＝tan π3，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，所以tan A ＋tan B ＝3－3tan A tan B.所以(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝1＋3(tan A ＋tan B )＋3tan A tan B ＝1＋3(3－3tanA tanB )＋3tan A tan B ＝4.故原等式成立．19．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．【知识点：类比推理，反证法，直线与平面平行的性质】解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的，证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β.又α∥β，所以α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，所以必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．20．(本小题满分12分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．【知识点：演绎推理，等差数列的前n 项和，等比 中项】证明：由题意得，S n ＝na ＋n （n －1）2d . 由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b 为正实数．(1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23； (2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.【知识点：不等式的证明，分析法，反证法】证明：(1)欲证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，即证b a ＋2b ＋a b ＋2a ≤23，只要证a 2＋b 2＋4ab 2a 2＋2b 2＋5ab ≤23. 因为a ，b 为正实数，只要证3(a 2＋b 2＋4ab )≤2(2a 2＋2b 2＋5ab )，即a 2＋b 2≥2ab ， 因为a 2＋b 2≥2ab 显然成立，故原不等式成立．(2)假设af (b )＝a b ＋2≤12，bf (a )＝b a ＋2≤12， 由于a ，b 为正实数，所以2＋b ≥2a ，2＋a ≥2b ，两式相加得：4＋a ＋b ≥2a ＋2b ，即a ＋b ≤4，与条件a ＋b >4矛盾，故af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.22．(本小题满分12分)如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值．【知识点：演绎推理，线面垂直的判定，面面垂直的性质，锥体的体积】(1)证明：在图①中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点， ∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1O C.又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1O C.(2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)知，A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE ， 则A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高．由图①知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2.从而四棱锥A 1-BCDE 的体积V ＝13×S ·A 1O ＝13a 2·22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6.。
2016-2017学年高中数学选修1-2课件：第2章 推理与证明2.1.1
高效测评•知能提升
由平面内的圆，我们联想到空间里的球，让它们来类比．你 能找到它们有哪些类似的特征？
[提示3] 鲁班类比草叶的边缘发明了锯，平面中的圆与空 间中的球有类似的特征．
第八页，编辑于星期五：十七点 六分。
数学 选修1-2
第二章 推理与证明
自主学习•新知突破
合作探究•课堂互动
高效测评•知能提升
第二十四页，编辑于星期五：十七点 六分。
数学 选修1-2
第二章 推理与证明
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由此猜想 g(n)＝g(n－1)＋n 将上述各式两边分别相加得 g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(n) ＝g(1)＋g(2)＋…＋g(n－1)＋2＋2＋3＋4＋…＋n. ∴g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n ＝2＋n－12n＋2＝n2＋2n＋2(n≥2)． 由此猜想 g(n)＝n2＋2n＋2(n≥2)．
第二十六页，编辑于星期五：十七点 六分。
数学 选修1-2
第二章 推理与证明
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合作探究•课堂互动
高效测评•知能提升
1．有两种颜色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干 个图案，则第六个图案中有花纹的正六边形的个数是( )
A．26 B．31 C．32 D．36
第二十七页，编辑于星期五：十七点 六分。
解析： 由题意知，在平面上，两个正三角形的面积比是边 长比的平方．
由类比推理知：体积比是棱长比的立方． 即可得它们的体积比为1∶8. 答案： 1∶8
第十八页，编辑于星期五：十七点 六分。
数学 选修1-2
第二章 推理与证明
自主学习•新知突破
合作探究•课堂互动
【数学课件】高二数学选修1-2推理与证明(人教版)
根据一个或几个已知的判断来确定一个
新的判断的思维过程就叫推理.
你有这样的思维体验吗？
由已知的判断
确定
新的判断
归纳推理 合情推理
类比推理
推理类比演是绎怎推样理的思维过程？
鱼 潜水艇
小光和小明是一对孪生兄弟，刚上小学一年级。 有一天，他们的爸爸带他们去水库游玩，看到野鸭子。 小光说：“野鸭子吃小鱼。”小明说：“野鸭子吃小
1.习题2.1A组第5题；
2.类比等差数列和等比数列，列出它们相似的 性质；
3.阅读与思
O1
B
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
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试通过类比,写出在空间中的类似结论.
1.类比推理的含义是什么？ 2.几何中有哪些常见的类比对象？ 3.在以前的学习过程中还经历了哪些类比活动？
1.类比推理是从特殊到特殊的推理。 2. 数学中，处处有类比。如数列与函数、等差 数列与等比数列、平面几何与立体几何等等。 3.类比后进行归纳，那是一种知识的升华！
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
圆心与弦(不是直径)的 中点的连线垂直于弦
球的体积
4 R3
3
人教课标版高中数学选修1-2《归纳推理》名师课件2
新课讲解
归纳推理的一般步骤
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
（2）剔除不带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想。
新课讲解
归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还需证明 例如，法国数学家费马观察到
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537
例题讲解 例3、如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条 边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数 记为an，则a6＝___1_5____，an＝__3_n_－__3__(n>1，n∈N*)．
[解析] 依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此 a6＝3×6－3＝15.由n＝2，3，4，5，6的图形特点归纳得an＝3n－3(n>1， n∈N*)．
(3)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么 得到的一般性结论也就越可靠． (4)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重 要手段，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的 起点，帮助人们发现问题和提出问题．
归纳小结
1、什么是归纳推理？ 由部分到整体、个别到一般的推理
2、归纳推理的一般步骤 （1）对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； （2）剔除带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想。
归纳推理
复习引入
1、什么是推理
推理是人们思维活动的过程，是根据一个
或几个已知的判断来确定一个新的判断的思
维过程。
在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。
例如:
医生诊断病人的病症，
警察侦破案件，
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专题讲解
问题拓展
拓展1：在△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c. (1)若a，b，c成等比数列，求B的范围； (2)若a，b，c成等差数列，求B的范围．
专题讲解
问题拓展
拓展2：△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C 与a，b，c都成等差数列，求证△ABC为正三角形．
专题讲解
专题讲解
问题拓展
只需证 a2＋3a＋2＞a2＋3a 成立． 即证 2＞0 成立， 2＞0 显然成立． 所以 a＋1＋ a＋2＞ a＋ a＋3成立．
专题讲解
问题拓展
拓展 2：由正数组成的等差数列{an}中，若 m＋n＝k＋t，且 m·n＞k·t(m、n、k、t∈N*)．求证： am＋ an≥ ak＋ at.
专题讲解
问题拓展
设等差数列{an}的公差为 d， 所以 aman－akat ＝[a1＋(m－1)d][a1＋(n－1)d]－[a1＋(k－1)d][a1＋(t－1)d] ＝[(m－1)(n－1)－(k－1)(t－1)]d2 ＝(mn－kt)d2. 又因为 mn＞kt， 所以(mn－kt)d2≥0，当且仅当 d＝0 时等号成立． 所以 anam≥akat 成立， 所以 am＋ an≥ ak＋ at成立．
4、三角形面积向量公式与应用
例4、在ABC中,设CB a,CA b,
求证 : S ABC
1 2
| a |2| b |2 (a b)2
[证明] 因为 S△ABC＝12|a||b|sin C，cos C＝|aa|·|bb|， 所以 S2△ABC＝14|a|2|b|2sin2C ＝14|a|2|b|2(1－cos2C)
专题讲解
拓展 2：在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋2a2nan. (1)猜想数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的通项公式．
专题讲解
拓展 2：在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋2a2nan. (1)猜想数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的通项公式．
专题讲解
[证明] 因为 an＞0，且 m＋n＝k＋t， 所以要证 am＋ an≥ ak＋ at成立， 只需证明( am＋ an)2≥( ak＋ at)2 成立， 展开得 am＋an＋2 aman≥ak＋at＋2 akat. 又 m＋n＝k＋t. 所以只需证明 aman ≥ akat成立． 即证 aman≥akat 成立．
推理与证明
知识体系
专题讲解
1、递推关系猜想数列通项公式
a3＝22＋a2a2＝22× ＋2323＝24， a4＝22＋a3a3＝25，所以猜想数列{an}的通项公式为 an＝1：直接推出原问题中数列{an}的通项公式． [解] 由 a1＝1，an＋1＝22＋anan得 an1＋1＝a1n＋12， 即an1＋1－a1n＝12. 即数列a1n是以首项为a11＝1，公差为12的等差数列， 所以a1n＝1＋(n－1)×12＝n＋2 1.所以 an＝n＋2 1.
专题讲解
问题拓展
[证明] 因为 a≥0，所以要证 a＋1＋ a＋2＞ a＋ a＋3成 立， 只需证明( a＋1＋ a＋2)2＞( a＋ a＋3)2 成立． 展开得 2a＋3＋2 a2＋3a＋2＞2a＋3＋2 a2＋3a. 即证 a2＋3a＋2＞ a2＋3a成立， 只需证( a2＋3a＋2)2＞( a2＋3a)2 成立．
专题讲解
应用 2：已知 A(acos α，bsin α)，B(acos β，bsin β)均
为椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>0，b>0)上的两点，O 为坐标原点， 求△OAB 面积的最大值．
[解] S△OAB＝12|acos α·bsin β－acos β·bsin α|
＝a2b|sin(α－β)|≤a2b. 当且仅当 sin(α－β)＝±1 时，取等号． 即当 OA⊥OB 时，S△OAB 面积的最大值为a2b.
2、分析法与综合法的应用
专题讲解
逆向拓展
2 、若2 2＋ m＜5 恒成立，比较 m 与5 的大小．
[解] 由 2 2＋ m＜5 得 m＜5－2 2. 即 m＜(5－2 2)2＝33－20 2， 所以 m－5＜28－20 2＝4(7－5 2)． 因为 72－(5 2)2＝49－50＝－1＜0， 所以 7＜5 2，即 7－5 2＜0， 即 m－5＜4(7－5 2)＜0，所以 m＜5.
＝14|a|2|b|21－|aa|·|bb|2
＝14[|a|2|b|2－(a·b)2]． 于是 S△ABC＝12 |a|2|b|2－（a·b）2.
专题讲解
4、
逆向拓展
专题讲解
4、
逆向拓展
专题讲解
4、
逆向拓展
专题讲解
问题拓展
专题讲解
应用 1：已知△ABC 三个顶点 A、B、C 的坐标分别为 A(－1， 2)，B(3，4)，C(5，－3)，求△ABC 的面积． [解] 因为A→B＝(3，4)－(－1，2)＝(4，2)， A→C＝(5，－3)－(－1，2)＝(6，－5)， 所以 S△ABC＝12|4×(－5)－6×2|＝16.
专题讲解
3、演绎推理的应用
例3、在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边 三角形．
[证明] 由 A，B，C 成等差数列，有 2B＝A＋C.① 因为 A，B，C 为△ABC 的内角，所以 A＋B＋C＝π.②
π 由①②，得 B＝ 3 .③ 由 a，b，c 成等比数列，有 b2＝ac.④
专题讲解
3、演绎推理的应用
例3、在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边 三角形．
专题讲解
逆向拓展
(2)(2b)2－(a＋c)2 ＝4b2－a2－2ac－c2 ＝4(a2＋c2－ac)－a2－2ac－c2 ＝3a2－6ac＋3c2＝3(a－c)2≥0， 所以(2b)2≥(a＋c)2，即2b≥a＋c.