人教课标版高中数学选修1-2《推理与证明》复习课件

专题讲解
问题拓展
拓展1：在△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c. (1)若a，b，c成等比数列，求B的范围； (2)若a，b，c成等差数列，求B的范围．
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问题拓展
拓展2：△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C 与a，b，c都成等差数列，求证△ABC为正三角形．
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[证明] 因为 an＞0，且 m＋n＝k＋t， 所以要证 am＋ an≥ ak＋ at成立， 只需证明( am＋ an)2≥( ak＋ at)2 成立， 展开得 am＋an＋2 aman≥ak＋at＋2 akat. 又 m＋n＝k＋t. 所以只需证明 aman ≥ akat成立． 即证 aman≥akat 成立．
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问题拓展
[证明] 因为 a≥0，所以要证 a＋1＋ a＋2＞ a＋ a＋3成 立， 只需证明( a＋1＋ a＋2)2＞( a＋ a＋3)2 成立． 展开得 2a＋3＋2 a2＋3a＋2＞2a＋3＋2 a2＋3a. 即证 a2＋3a＋2＞ a2＋3a成立， 只需证( a2＋3a＋2)2＞( a2＋3a)2 成立．
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拓展 2：在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋2a2nan. (1)猜想数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的通项公式．
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拓展 2：在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋2a2nan. (1)猜想数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的通项公式．
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3、演绎推理的应用
例3、在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边 三角形．
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逆向拓展
(2)(2b)2－(a＋c)2 ＝4b2－a2－2ac－c2 ＝4(a2＋c2－ac)－a2－2ac－c2 ＝3a2－6ac＋3c2＝3(a－c)2≥0， 所以(2b)2≥(a＋c)2，即2b≥a＋c.
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应用 2：已知 A(acos α，bsin α)，B(acos β，bsin β)均
为椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>0，b>0)上的两点，O 为坐标原点， 求△OAB 面积的最大值．
[解] S△OAB＝12|acos α·bsin β－acos β·bsin α|
＝a2b|sin(α－β)|≤a2b. 当且仅当 sin(α－β)＝±1 时，取等号． 即当 OA⊥OB 时，S△OAB 面积的最大值为a2b.
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问题拓展
只需证 a2＋3a＋2＞a2＋3a 成立． 即证 2＞0 成立， 2＞0 显然成立． 所以 a＋1＋ a＋2＞ a＋ a＋3成立．
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问题拓展
拓展 2：由正数组成的等差数列{an}中，若 m＋n＝k＋t，且 m·n＞k·t(m、n、k、t∈N*)．求证： am＋ an≥ ak＋ at.
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问题拓展
设等差数列{an}的公差为 d， 所以 aman－akat ＝[a1＋(m－1)d][a1＋(n－1)d]－[a1＋(k－1)d][a1＋(t－1)d] ＝[(m－1)(n－1)－(k－1)(t－1)]d2 ＝(mn－kt)d2. 又因为 mn＞kt， 所以(mn－kt)d2≥0，当且仅当 d＝0 时等号成立． 所以 anam≥akat 成立， 所以 am＋ an≥ ak＋ at成立．
＝14|a|2|b|21－|aa|·|bb|2
＝14[|a|2|b|2－(a·b)2]． 于是 S△ABC＝12 |a|2|b|2－（a·b）2.
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4、
逆向拓展
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4、
逆向拓展
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4、
逆向拓展
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问题拓展
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应用 1：已知△ABC 三个顶点 A、B、C 的坐标分别为 A(－1， 2)，B(3，4)，C(5，－3)，求△ABC 的面积． [解] 因为A→B＝(3，4)－(－1，2)＝(4，2)， A→C＝(5，－3)－(－1，2)＝(6，－5)， 所以 S△ABC＝12|4×(－5)－6×2|＝16.
2、分析法与综合法的应用
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2 、若2 2＋ m＜5 恒成立，比较 m 与5 的大小．
[解] 由 2 2＋ m＜5 得 m＜5－2 2. 即 m＜(5－2 2)2＝33－20 2， 所以 m－5＜28－20 2＝4(7－5 2)． 因为 72－(5 2)2＝49－50＝－1＜0， 所以 7＜5 2，即 7－5 2＜0， 即 m－5＜4(7－5 2)＜0，所以 m＜5.
4、三角形面积向量公式与应用
例4、在ABC中,设CB a,CA b,
求证 : S ABC
1 2
| a |2| b |2 (a b)2
[证明] 因为 S△ABC＝12|a||b|sin C，cos C＝|aa|·|bb|， 所以 S2△ABC＝14|a|2|b|2sin2C ＝14|a|2|b|2(1－cos2C)
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3、演绎推理的应用
例3、在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边 三角形．
[证明] 由 A，B，C 成等差数列，有 2B＝A＋C.① 因为 A，B，C 为△ABC 的内角，所以 A＋B＋C＝π.②
π 由①②，得 B＝ 3 .③ 由 a，b，c 成等比数列，有 b2＝ac.④
推理与证明
知识体系
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1、递推关系猜想数列通项公式
a3＝22＋a2a2＝22× ＋2323＝24， a4＝22＋a3a3＝25，所以猜想数列{an}的通项公式为 an＝n＋2 1.
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逆向拓展
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拓展1：直接推出原问题中数列{an}的通项公式． [解] 由 a1＝1，an＋1＝22＋anan得 an1＋1＝a1n＋12， 即an1＋1－a1n＝12. 即数列a1n是以首项为a11＝1，公差为12的பைடு நூலகம்差数列， 所以a1n＝1＋(n－1)×12＝n＋2 1.所以 an＝n＋2 1.