《数学分析》-微积分篇
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 4 第四章微积分基本公式 (4.1.1) 导数和高阶导数
速度和曲率
问题 1 我们坐高铁的时候车厢前的屏幕上会显示速度. 在数学上如何定义速度, 如何计算速 度?
问题 2 如何从数学上刻画曲线的弯曲程度? 质点做匀速直线运动和曲线运动的差别是由什 么因素引起的?
注1 我们用导数来刻画这些量. 速度是位移的导数, 加速度是速度的导数, 因此是二阶导 数; 曲率也用二阶导数来刻画. Einstein: 时空的弯曲等价于引力!
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
存在且有限,
则称 f
在 x0
处
可导, 此极限称为 f 在 x0 处的导数, 记为 f (x0).
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
三角函数的导数
例1 (sin x) = cos x, (cos x) = − sin x.
证明.
设 x0
∈ R, 利用 lim
x →0
sin x x
=1
可得
lim
x →x0
sin x x
− sin x0 − x0
=
lim
x →x0
sin[(x
− x0)/2] cos[(x (x − x0)/2
+ x0)/2]
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
存在且有限,
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.7.1) 常见函数的Taylor展开
一元微积分与数学分析—常见函数的T aylor展开梅加强南京大学数学系如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.注意:f光滑并不意味着其T aylor展开收敛到自身.例如,考虑函数f(x)=e−1 x2(x=0),f(0)=0,则f在0处的各阶导数均为零,其Maclaurin展开恒为零.问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?定理1(T aylor公式系数的唯一性)设f在x0处n阶可导,且f(x)=nk=0a k(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0),则a k=1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n.证明.根据带Peano余项的T aylor公式,f(x)又可写为f(x)=nk=01k!f(k)(x0)(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0).如果令b k=a k−1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n,则两式相减可得nk=0b k(x−x0)k=o(x−x0)n(x→x0).首先,在上式中令x→x0即得b0=0.其次,上式两边除以x−x0,再令x→x0可得b1=0.这个过程可以继续,当等式两边除以(x−x0)k并令x→x0时就得到b k=0(0≤k≤n).T aylor展开的运算性质设f,g在x0=0处的Taylor展开分别为∞n=0a n x n,∞n=0b n x n,则(1)λf(x)+µg(x)的Taylor展开为∞n=0(λa n+µb n)x n,其中λ,µ∈R.(2)f(−x)的Taylor展开为∞n=0(−1)n a n x n;(3)f(x k)的Taylor展开为∞n=0a n x kn,其中k为正整数;(4)x k f(x)的Taylor展开为∞n=0a n x k+n,其中k为正整数;(5)f (x)的Taylor展开为∞n=1na n x n−1=∞n=0(n+1)a n+1x n;(6)x0f(t)d t的Taylor展开为∞n=0a nn+1x n+1;例子例11=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).1−x例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例2ln(1−x)=−∞n=1x nn=−x−x22−···−x nn−···,∀x∈[−1,1).(1)对数函数的展开证明.利用积分可得ln(1−x)=−xd t1−t=−x1+t+···+t n−1+t n1−td t=−x−x22−···−x nn−xt n1−td t.如果−1≤x<0,则xt n1−td t≤xt n d t=|x|n+1n+1→0;(n→∞)如果0≤x<1,则xt n1−td t≤11−xxt n d t=x n+1(1−x)(n+1)→0.(n→∞)由此即得(1).将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.例3arctan x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33+x55−x77+···,∀x∈[−1,1].(3)证明.利用积分可得arctan x=xd t1+t2=x−x33+x55+···+(−1)n−1x2n−12n−1+R n(x),其中余项R n(x)=(−1)nxt2n1+t2d t.当x∈[−1,1]时|R n(x)|≤|x|0t2n d t=|x|2n+12n+1→0(n→∞),这说明(3)式成立.特别地，取x=1,我们就重新得到了Leibniz公式π4=1−13+15−17+···.(Leibniz-Gregory)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)证明.e x的各阶导数仍为它自己,由Lagrange余项可得e x=n−1n=0x kk!+R n(x),R n(x)=eθxn!x n,其中θ∈(0,1).此时有如下估计|R n(x)|≤e|x||x|nn!→0(n→∞).这说明(4)式成立.例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)证明.利用sin x=cos x,cos x=−sin x可得sin(2k+1)(0)=(−1)k,sin(2k)(0)=0.由带Lagrange余项的T aylor公式可得sin x=x−x33!+x55!+···+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+(−1)n x2n+1cosθx(2n+1)!,(θ∈(0,1))当n→∞时余项趋于零.cos x的展开类似可得.。
09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性
§5 微积分基本定理.定积分计算（续）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 引入当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一个以前多次提到过的问题—在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一. 变限积分与原函数的存在性设f(x)在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x ∈[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是由()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分，类似地又可定义变下限的定积分，()()bxx f t dt ψ=⎰，x ∈[a,b],统称为变限积分。
注意在变限积分中不可再把积分变量写成x ，以免与积分上下限的x 相混淆。
变限积分所定义的函数有着重要性质，由于()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰，因此只讨论变上限积分的情形。
定理9.9 若f(x)在[a,b]上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]是连续函数。
证明 对[a,b]上任一确定的点x ，只要x+∆x ∈[a,b]，则()()()x xx x xaaxf t dt f t dt f t dt +∆+∆∆Φ=-=⎰⎰⎰，因f(x)在[a,b]上有界，可设|f(t)|≤M ，t ∈[a,b],于是当∆x>0时有|||()||()|x xx xxxM f t dt f t dt x +∆+∆∆Φ=∆⎰⎰≤≤,当∆x<0时有||||M x ∆Φ∆≤,由此得到lim 0x ∆→∆Φ=，即证得在点x 处连续。
由x 得任意性，Φ(x)在[a,b]上处处连续。
定理9.10原函数存在定理 若f(x)在[a,b]上连续，则Φ(x)在[a,b]上处处可导，且Φ'(x)=f(x),即()()(),[,]xad x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈⎰ 证明 对[a,b]上任一确定的x ，当∆x ≠0且x+∆x ∈[a,b]时,根据积分第一中值定理得，1()(),01x xx f t dt f x x x xθθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰≤≤，由于f(x)在点x 处连续，故有00()lim lim ()()x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆，由于x 在[a,b]上的任意性，证得Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
数学分析 第八讲 微分积分中值定理和极值
第八讲 微分与积分中值定理和函数极值§8.1 微分与积分中值定理一、知识结构 1、微分中值定理(1) 罗尔（Rolle ）中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导;(iii))()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得0=')(ξf .(2)拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=')()()(ξ.(3)柯西中值(Cauchy)定理 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件:(i) )(x f 和)(x g 在闭区间[]b a ,上连续; (ii) )(x f 和)(x g 在开区间()b a ,内可导,(iii))(x f '和)(x g '不同时为零; (iv))()(b g a g ≠,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ.2、积分中值定理 (1)积分第一中值定理若函数)(x f 在[]b a ,上连续,则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得()⎰-=baa b f dx x f )()(ξ.(2)推广的积分第一中值定理若函数)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,且)(x g 在[]b a ,上不变号，则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ.3、积分第二中值定理 若函数)(x f 在[]b a ,上连续,(i)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递减, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=baadx x f a g dx x g x f ξ)()()()(.(ii)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递增, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈η,使得⎰⎰=ba bdx x f b g dx x g x f η)()()()(.3、泰劳公式（微分中值定理的推广）麦克劳林公式 (1) 一元函数)(x f y =泰劳公式泰劳公式产生的背景: 将函数)(x f ()(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数) 近似的表示为关于)(0x x -的一个n 次多项式,由于多项式的算法是好算法,我们可以用关于)(0x x -的一个n 次多项式来求函数)(x f 在某点(()b a x ,∈)的近似值.定理1 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:(x)R )x (x n!)(x f)x )(x (x f )f(x f(x)n n(n)+-++-'+=00000!11 ,其中()()()()101!1)(++-+=n n n x x n fx R ξ(拉格朗日型余项)，这里ξ是属于x 与0x 之间的某个值.或, 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一个当0x x →时的n)x (x 0-的高阶无穷小之和:()()nn(n)x x o )x (x n!)(x f)x )(x (x f )f(x f(x)000000!11-+-++-'+=其中()n )x (x o 0-为当0x x →时n)x (x 0-的高阶无穷小.（2）麦克劳林公式定理2 如果函数)(x f 在含有0的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶地导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为x 的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:(x)R x n!)(x fx !)(f )x (f )f(f(x)n n(n)+++''+'+=022000 ,其中()()()11!1)(+++=n n n x n x fx R θ，(10<<θ).2、二元函数),(y x f z =的泰劳公式和麦克劳林公式 （1）泰劳公式定理3 如果函数),(y x f 在含有()00,y x 的某一领域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数,()k y h x ++00,为此邻域内任一点，则有()200000000100001,,,,2!11,,,1nn f(x h y k)f(x y )h k f(x y )h k f(x y )x y x y h k f(x y )h k f(x h y k)n!x y n !xy θθ+⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂++=++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+++++++ ⎪ ⎪∂∂+∂∂⎝⎭⎝⎭ 其中10<<θ，记号()()000000,,,y x kf y x hf )y f(x y k xh y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂， ()()()00200002002,,2,,y x f k y x hkf y x f h )y f(x y k x h yy xy xx ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂， ……)y f(x yx kh C)y f(x y k x h pm pm pm p mp pmm00000,,--=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∑,()k)y h f(x y k x h !n x R n n θθ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=+001,11)(, 10<<θ 称为拉格朗日型余项.（2）麦克劳林公式定理4 如果函数),(y x f 在含有()0,0的某一领域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数,()k h ,为此邻域内任一点，则有+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=)f y y x x )f(y y x x )f(y)f(x 0,0!210,00,0,2()y)x f(y y x x !n )f(y y x x n!n n θθ,110,011+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+，其中10<<θ.二、解证题方法 1、微分中值定理例1 (山东师范大学2006年)设)(x P 为多项式函数,试证明:若方程0=')(x P 没有实根,则0=)(x P 至多有一个实根.证明 用反证法.因为)(x P 为多项式函数, 所以)(x P 在()+∞∞-,上连续并且可导. 如果0=)(x P 至少有两个实根, 不妨设为21ξξ<,则021==)()(ξξP P .在闭区间上用罗尔定理得,存在()21ξξη,∈,使得0=')(ηP . 这与方程0=')(x P 没有实根发生矛盾, 所以0=)(x P 至多有一个实根.例2 (河北大学2005年)设)(x f 可导,λ为常数,则)(x f 的任意两个零点之间必有0='+)()(x f x f λ的根.证明 不妨设)(x f 的任意两个零点为ηξ<. 令xex f x F λ)()(=,则0==)()(ηξF F . 因为)(x F 在[]ηξ,上连续, 在()ηξ,内可导,且0==)()(ηξF F , 所以, 由罗尔定理得:存在()ηξ,∈x ,使得0=')(x F ,即0='+='xxe xf ex f x F λλλ)()()(,进而有0='+)()(x f x f λ, 所以()ηξ,∈x 是0='+)()(x f x f λ的根.例3(电子科技大学2002年))(x f 在[]10,上二次可导,010==)()(f f ,试证明：存在()10,∈ξ，使得()())(ξξξf f '-=''211.证明 因为)(x f 在[]10,上连续, )(x f 在()10,内可导, 且010==)()(f f ,所以由罗尔定理得:存在()10,∈ξ,使得0=')(ξf .令⎪⎩⎪⎨⎧=∈'=-101011x x ex f x g x ,),[,)()(. 因为)(x g 在[]10,上连续,在()10,内可导, 且()()01==g g ξ, 所以由罗尔定理知, 存在()1,ξξ∈', 使得()0='ξg ,即()())(ξξξf f '-=''211.例4(山东科技大学2005年)设()x f 在整个数轴上有二阶导数,且00=→xx f x )(lim,01=)(f ,试证明: 在()10,内至少存在一点β,使得()0=''βf .证明 因为()x f 在整个数轴上有二阶导数，所以()x f 在整个数轴上连续. 进而0lim )(lim )(lim )(lim )0(0000=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==→→→→x x x f x x x f x f f x x x x . 又因为01=)(f , 所以函数在()10,内满足罗尔定理的条件, 进而存在()10,∈α,使得0=')(αf . 又因00000=-=-='→→xx f xf x f f x x )(l i m)()(l i m)(, 并且()x f '在[]α,0上连续, 在()α,0内可导, 所以()x f '在[]α,0上满足罗尔定理的条件, 进而存在()αβ,0∈,使得()0=''βf .例5(汕头大学2005年) 设()x f 在闭区间[]b a ,上有二阶导数,且)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值, 试证明: 存在()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .证明 由于)(x f 在[]b a ,上连续, 所以)(x f 在[]b a ,上取得最大值和最小值. 又因为)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值, 所以存在()b a ,,∈21ξξ, 不妨设21ξξ<,使得()21ξξf f ),(是)(x f 在[]b a ,上的最大值和最小值. 进而()021='='ξξf f )(.由()x f 在闭区间[]21ξξ,上有二阶导数, 所以()x f '在闭区间[]21ξξ,上连续, 在开区间()21ξξ,内可导. 由罗尔定理知, 存在()21ξξξ,∈,使得0='')(ξf . 进而存在()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .例6(北京工业大学2005年)设)(x f 在()+∞∞-,上可导, 试证明:0=')(x f 当且仅当)(x f 为一常数.证明 (1)充分性 因为)(x f 为一常数C , 所以()0000==∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆x x x xC C xx f x x f x f lim lim)(lim)(.(2)必要性对任意的()+∞∞-∈,,21x x , 不妨设21x x <. 显然()x f 在闭区间[]21x x ,上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以存在()21x x ,∈ξ, 使得()()()()2121x f x f x x f -=-'ξ.因为()0='ξf , 所以()()21x f x f =. 进而)(x f 为一常数.例7(南京大学2001年)设)(x f 在()10,内可导, 且1<')(x f , ()10,∈x .令⎪⎭⎫⎝⎛=n f x n 1(2≥n ), 试证明n n x ∞→lim 存在且有限.分析 ()1111n m n m x x x x f f f n m n m εξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-<⇐-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111n f nmnmnmmξε'=-<-<=<.证明 对0>∀ε, 存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11,εN ,当N m n >>时, 有ε<=<-=-=-mnmn nmm n mn x x m n 111, 所以()()εξξ<=<-<-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-m nm n m n m n f m n f m f n f x x m n 111111111,进而由柯西收敛准则知, n n x ∞→lim 存在且有限.例8(华东师范大学2001年)证明: 若函数)(x f 在有限区域()b a ,内可导, 但无界,则其导函数)(x f '在()b a ,内必无界. 证明 用反证法 若函数)(x f '在()b a ,内有界, 则存在正数M ,使得M x f ≤')(,()b a x ,∈. 由拉格朗日中值定理得:⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22)(22)()(b a f b a f x f b a f b a f x f x f ()()⎪⎭⎫⎝⎛+++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=2222b a f b a M b a f b a x f ξ,所以函数)(x f 在有限区域()b a ,内有界. 与已知矛盾.例9(天津工业大学2005年)设R x n ∈, ()1arctan -=n n ky y (10<<k ), 证明: (1)11-+-≤-n n n n y y k y y ; (2)n n y ∞→lim 收敛.证明 (1)令kx x f arctan )(=, ()+∞∞-∈,x ,则221xk k x f +=')(,于是kx f ≤')(,从而由拉格朗日中值定理得:()()1111---+-≤-'=-=-n n n n n n n n y y k y y f y f y f y y ξ)()(, 其中ξ介于1-n y ,n y 之间.(2)由(1)的递推关系知,011y y ky y nn n -≤-+,又因为级数∑∞=-101n ny y k收敛,所以由比较判别法知, 级数()∑∞=+-11n n n y y 绝对收敛,所以n n S ∞→lim 收敛, 其中()1111y y y yS k nk k k n -=-=+=+∑, 进而n n y ∞→lim 收敛.例10(湖南师范大学2004年)设)(x f 在),[+∞0上连续, 在()+∞,0内可导且00=)(f , )(x f '在()+∞,0内严格单调递增, 证明:xx f )(在()+∞,0内内严格单调递增.分析 关键是证明02>-'='⎪⎭⎫⎝⎛x x f x f x x x f )()()(. 证明 因为()[]000>'-'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'ξf x f x x f x f x f x x x f x f x x f x f x )()()()()()()()(, 其中()+∞∈,0x , ()x ,0∈ξ, 所以xx f )(在()+∞,0内内严格单调递增.练习[1](辽宁大学2005年)设)(x f 在],[b a 上可导，且b x f a <<)(，1)(≠'x f . 证明: 方程x x f =)(在()b a ,内存在惟一的实根.[2] (南京农业大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上可微, 0)0(=f , 当10<<x 时, 0)(>x f , 证明: 存在()1,0∈ξ,使得)1()1()()(2ξξξξ--'='f f f f .[3] (陕西师范大学2002年,武汉大学2004年) 设)(x f ,)(x g 是[]b a ,上的可导函数, 且0)(≠'x g . 证明: 存在()b a c ,∈使得)()()()()()(c g c f b g c g c f a f ''=--.[4] (西南师范大学2005年)设函数)(x f 在()+∞∞-,内可导,)(2)(x f x x f -=', 0)0(=f .证明: 42)(xex f -=,()+∞∞-∈,x .[5] (北京工业大学2004年)设函数)(x f 在0x 的某邻域)(0x N 内连续, 除0x 外可导，若l x f x x ='→)(lim 0，则)(x f 在0x 可导且l x f =')(0.[6] (辽宁大学2004年) 设函数)(x f 在()+∞∞-,内可导, 且0)0(>f ,1)(<≤'k x f ,证明: 方程x x f =)(有实根.[7] (厦门大学2004年) 设函数)(x f 在),[+∞a 上二阶可微, 且0)(>a f ,0)(<'a f , 当a x >时, 0)(<''x f . 证明: 方程0)(=x f 在),[+∞a 上有惟一的实根.[8] (北京化工大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在()1,0内可导,0)0(=f , 1)1(=f . 证明: 对于∀的正数a 和b , 存在()1,0,21∈ξξ, 使得()()b a f b f a +='+'21ξξ.[9] (中科院武汉物理与数学研究所2003年) 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续, 在开区间()b a ,内可微, 并且)()(b f a f =. 证明: 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上不等于一个常数, 则必有两点()b a ,,∈ηξ, 使得()0>'ξf , ()0<'ηf .[10] (中山大学2006年) 证明: 当0≥x 时, 存在()1,0)(∈x θ, 使得)(211x x x x θ+=-+, 并且)(lim 0x x θ+→和)(lim x x θ+∞→（答案：41)(lim 0=+→x x θ，21)(lim =+∞→x x θ ）.2、积分中值定理例1(上海大学2005年)已知)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,0>)(x f ,)(x g 不变号,求⎰∞→bann dx x g x f )()(lim.解 因为)(),(x g x f 在[]b a ,上连续, )(x g 在[]b a ,上不变号,所以由积分第一中值定理得⎰⎰=banb andx x g f dx x g x f )()()()(ξ,其中[]b a ,∈ξ. 又因为()0>ξf , 所以1=∞→nn f )(li m ξ,进而⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→∞→baba n n bann dx x g dx x g f dx x g x f )()()(lim )()(limξ.例2(河北大学2005年)证明:dx xx dx xx ⎰⎰+≤+222211ππcos sin .分析0111222222≤+-⇐+≤+⎰⎰⎰dx xx x dx xx dx xx πππcos sin cos sin .证明 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时, 0≤-x x cos sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上不变号,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 时, 0≥-x x cos sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上不变号. 由推广的积分第一中值定理得：dx xx x dx xx x dx x x x ⎰⎰⎰+-++-=+-24242221cos sin 1cos sin 1cos sin ππππ()()dx x x dx x x ⎰⎰-++-+=242402cos sin11cos sin11πππηξ01121121121212222≤+--+-=+-++-=ξηηξ,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈40πξ,, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈24ππη,, 进而dx xx dx x x ⎰⎰+≤+2220211ππcos sin .例3(电子科技大学2005年)设)(x f 在[]10,上可导,且⎰-=211221dx ex f f x)()(,证明: 存在()10,∈ξ,使得())(ξξξf f 2='.证明 令2)()(x e x f x F -=, []10,∈x . 由积分中值定理知, 存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,η,使得()⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-211122021dx ex f ef x)(ηη即()⎰--=211122)(2dx ex f ef xηη. 因为⎰-=2101221dx ex f f x)()(, 所以())(121f ef =-ηη, 进而()112--=ef ef )(ηη. 又因为112--==e f e f F )()()(ηηη, 111-=ef F )()(, 所以, 在区间[]1,η上由微分中值定理(罗尔)得:()0='ξF , 其中()1,ηξ∈. 因为222ξξξξξξ---'='ef ef F )()()(,所以())(ξξξf f 2='.例4(山东科技大学2004年)设()x f 在[]π,0上连续, 在()π,0内可导, 且()⎰-=ππππ1dx x f ef x)(,证明: 至少存在一点()πξ,0∈, 使得()()ξξf f ='.证明:令)()(x f e x F x -=,由()⎰-=ππππ1)(dx x f ef x和)()(πππf eF -=，得:()()⎰⎰⎰====----πππππππππππ111)()()(dx x F dx x f edx x f eef eF xx.由积分中值定理: ()()11()0()F F x dx F F ππππηηπ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πξ10,.在()πη,内应用微分中值定理(罗尔)得: 0=')(ξF ,其中()πηξ,∈.由)()(x f e x F x -=得: )()()(ξξξξξf e f e F '+-='--,所以()()ξξf f ='.例5(西安电子科技大学2003年)设()x f 在[]b a ,上二阶连续可导, 证明:存在()b a ,∈ξ使得()()()32412a b f b a f a b dx x f ba -''+⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰ξ)(. 证明: 由分部积分公式得⎰⎰⎰+++=baba ab b a dx x f dx x f dx x f 22)()()(()()⎰⎰++-+-=22)()(ba ab b a b x d x f a x d x f()[]()()[]()⎰⎰++++'---+'---=bb a b ba ba ab a adxx f b x x f b x dx x f a x x f a x 2222)()()()(()()()⎰⎰++-'--'-⎪⎭⎫⎝⎛+-=b b a ba ab x d x f a x d x f b a f a b 22222)(2)(2()()()⎰++''-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222)(22)(2ba aba adx x f a x x f a x b a f a b()()⎰++''-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--bba bb a dx x f b x x f b x 2222)(22)(()()()⎰⎰++''-+''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b a ba adx x f b x dx x f a x b a f a b 2222)(2)(22()()())(2)(2)(2222221积分中值定理⎰⎰++-''+-''+⎪⎭⎫⎝⎛+-=bba b a a dx b x c f dx a x c f ba f a b()()[]312()()()248b a a bb a f fc f c -+⎛⎫''''=-++⎪⎝⎭介值性定理()()3()224b a a bb a f fc -+⎛⎫''=-+⎪⎝⎭,其中c 介于21c c ,之间. 即()b a c ,∈. 3、泰劳公式（微分中值定理的推广）例1（西安电子科技大学2004年） 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，且满足条件a x f ≤)(，b x f ≤'')(，a 和b 为非负常数，证明不等式22)(b a x f +≤'， )1,0(∈x .分析：要熟练运用Taylor 展开. 证明：在)1,0(∈x 处做Taylor 展开有21)1(2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，222)()()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=上面两式相减有 22212)()1(2)()0()1()(x f x f f f x f ξξ''+-''--='，所以[]22)1(22)(22b a xx b a x f +≤+-+≤'.例2（陕西师范大学2003年，中国地质大学2004年）设函数f 在区间[]b a ,上有二阶导数且,0)()(='='-+b f a f 则必存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(4)(2a fb f a b f --≥''ξ.分析：关键是做Taylor 展开. 证明：应用Taylor 公式，将)2(b a f +分别在b a 、点展开，注意0)()(='='-+b f a f ，故存在1ξ和2ξ，b b a a <<+<<212ξξ，使得212)(21)(2⎪⎭⎫⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f a f b a f ξ,222)(21)(2⎪⎭⎫⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f b f b a f ξ.两式相减得: []0)()()(81)()(221=-''-''+-a b f f a f b f ξξ, 故[])()()(21)()()(4212ξξξf f f a f b f a b ''≤''+''≤--.其中 ⎩⎨⎧''<''''≥''=)()(,)()(,212211ξξξξξξξf f f f .例3(北京交通大学2005年)设函数)(x f 在区间),0(+∞内有二阶函数，0)(lim =+∞→x f x ，并当),0(+∞∈x 时，有1)(≤''x f . 证明：0)(lim ='+∞→x f x .分析：关键是做Taylor 展开.证明：要证明0)(lim ='+∞→x f x ，即要证明对任意的0>ε，存在0>A ，当A x >时有ε<')(x f . 利用Taylor 公式，对任意的0>h ，有2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+, ()h ,0∈ξ,即[]h f x f h x f hx f )(21)()(1)(ξ''--+='. 从而[]hx f h x f hhf x f h x f hh f x f h x f hx f 21)()(1)(21)()(1)(21)()(1)(+-+≤''+-+≤''--+='ξξ, 取ε<h , 因为0)(li m =+∞→x f x , 所以021)()(1lim )(lim0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤'≤+∞→+∞→h x f h x f hx f x x , 其中2)()(ε<-+x f h x f . 即0)(lim ='+∞→x f x .例4（上海大学2005年、中国科学院2007年）设函数)(x f 在[]20，上有1)(≤x f ，1)(≤''x f . 证明：2)(≤'x f .分析：关键是做Taylor 展开. 证明：在)2,0(∈x 处做Taylor 展开有212)()()()0(xf x x f x f f ξ''+'-=,22)2(2)()2)(()()2(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，将上面两式相减有[]21224)()2(4)()0()2(21)(x f x f f f x f ξξ''+-''--='，所以[][][].21)1(211)2(411)(4)2()(4)0()2(21)(22222212≤+-+≤+-+≤''-+''++≤'x xx f x f x f f x f ξξ.例5（江苏大学2004年）已知函数)(x f 在区间()1,1-内有二阶导数，且0)0()0(='=f f , )()()(x f x f x f '+≤'', 证明：存在0>δ，使得在()δδ,-内0)(≡x f .分析：关键是做Taylor 展开.证明：将)()()(x f x f x f '+≤''右端的)(x f ,)(x f '在0=x 处按Taylor 公式展开. 注意到0)0()0(='=f f ，有222)(2)()0()0()(x f x f x f f x f ξξ''=''+'+=, x f f x f )()0()(η''+'=',其中ηξ,是属于0与x 之间的某个值.从而x f x f x f x f )(2)()()(2ηξ''+''='+.现令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈41,41x ，则由)()(x f x f '+在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41上连续知，存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈41,410x ，使得{}M x f x f x f x f xx ='+='+≤≤-)()(max )()(14100.下面只要证明0=M 即可. 事实上⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''≤''+''='+=)(2)(41)(2)()()(000020000ηξηξf f x f x f x f x f M ()()()()[]000041ηηξξf f f f +'++'≤（由()()x f x f x f x f ηξ''+''='+22)()(）11242M M ≤⋅=，即M M 20≤≤, 所以0=M . 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41上0)(≡x f . 例6（辽宁大学2005年）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x 1sin1lim 2. 分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解： 将x1sin展开成带Peano 余项的二阶Taylor 公式⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3316111s i n x o x x x ，则 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→→∞→332216111lim 1sin 1lim x o x x x x x x x x x x ()61161lim 16111lim 322=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-=∞→∞→o x o x x x x x . 例7（山东师范大学2006年）求422cos limxex xx -→-.分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解 进行带Peano 余项的Taylor 展开()5422421cos xo xxx ++-=, )(82154222x o xxex++-=-,所以)(12cos 5422x o xex x+-=--, 进而121cos lim422-=--→xex xx .例8（浙江大学2005年、华南理工大学2005年）设)(x f 在),[+∞a 上有连续的二阶导数，且已知(){}+∞∈=,0)(sup 0x x f M 和(){}+∞∈''=,0)(sup 2x x f M 均为有限数. 证明：(1)2022)(M t tM t f +≤' ，对任意的0>t ，),0(+∞∈x 成立；(2){}),0()(sup 1+∞∈'=x x f M 也是有限数，且满足不等式2012M M M ≤ .分析：Taylor 展开式.证明(1)考虑)(t x f + 在t 处的Taylor 展开式，,2)()()()(2>''+'+=+t t f t t t t f t t f ξ，则t f tt f t f t f 2)()()2()(ξ''--='，所以++≤'tt f t f t f )()2()(2)(ξf ''t ，有题设条件可得t M tM t f 22)(2+≤' .(2)同理由Taylor 展开式知，t M tM t f 22)(2+≤'成立，从而t M tM M 2221+≤，取202M M t = 即得证.例9（哈尔滨工业大学2006年）设)(x f 在[)+∞,0内二阶可微，0)(lim =+∞→x f x ，但)(lim x f x '+∞→不存在.证明：存在00>x ，使1)(0>''x f .分析 Taylor 展开式.证明 反证法，设对任意的),0(+∞∈x ，均有1)(≤''x f .利用Taylor 展开式，对任意的0>h ，有2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+，因此有2)()(1)(h x f h x f hx f +-+≤' ，取ε=h ，由0)(lim =+∞→x f x 知，存在0>A ，当A x > 时，有4)(2ε≤'x f ，于是ε<')(x f ，A x > ，即0)(lim ='+∞→x f x ，矛盾.例10 （华中科技大学2007年）设 )(x f 在（0,1） 上二阶可导且满足1)(≤''x f ，10(≤≤x ，又设)(x f 在()1.0 内取到极值41 .证明：1)1()0(≤+f f .分析 极值点，Taylor 展开式.证明 因为)(x f 在)1,0(上二阶可导，假设ξ在极值点，则41)(=ξf 、0)(='ξf .对)(x f 关于0=x 、1=x 在ξ点Taylor 展开有21)(2)())(()()0(ξηξξξ-''+-'+=f f f f ，)1,(2ξη∈.又有2)1(2)()1)(()()1(ξηξξξ-''+-'+=f f f f ，)1,(2ξη∈.所以有2221)1(2)(0)(2)(0)()1()0(ξηξξηξ-''+++''++=+f f f f f f[]2221)1()()(21)(2ξηξηξ-''+''+≤f f f[]22)1(121ξξ-++≤12121=+≤.这里另22)1()(x x x g -=，)1,0(∈x ，则最大值1)1(=g . 练习[1]（华中科技大学2005年）设)(x f 在[]1,0上有二阶连续导数，0)1()0(==f f ，58)(≤''x f ，58)(≤'x f ，给出)10()(≤≤x x f 的一个估计.[2]（华中科技大学2004年）设)10(,2)(,0)1()0(≤≤≤''==x x f f f ，证明：1)(≤'x f .[3]（北京航空航天大学2005年）证明：对任意的n ，有)!1(1!)1(!31211+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+---n n en. [4]（华南理工大学2004年）设)(x f 在[]1,1-上三次可微，1)1(,0)0()0()1(=='==-f f f f .证明：存在)1,1(-∈x ，使得3)()3(≥x f.[5]（大连理工大学2006年） 将2)1(1)(x x f += 在0=x 展开成Taylor 级数.[6]（同济大学1999年）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→)11ln(lim 20x x x x (答案：21).[7]（大连理工大学2004年）设)(x f 在[]1,0上二阶可导，且有,0)1()0(==f f []21)(m i n 1,0-=∈x f x ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得4)(≥''ξf .[8] （东南大学2004年）（1）设)(x f 在[]2.0上二阶可导，0)2()0(='='f f .证明：存在)2,0(∈ξ使得[])(4)2()0(3)(320ξf f f dx x f ''++=⎰.（2）若在（1）中只假定)(x f 在[]2,0上存在二阶导数而不要求二阶导数连续，那么（1）的结论是否成立？[9]（东南大学2003年） 求42cos lim2xx exx --→(答案：81-).[10]（同济大学1999年）求xx x x x x x arcsin )1ln(cos sin lim2220+-→(答案：61).§8.2 函数的极值和最值 函数的凸性与拐点一、知识结构 1、函数的极值和最值函数)(x f y =的极值是一个局部概念，而函数)(x f y =的最值是一个整体概念. 如函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义, 如果[]b a x ,0∈的某个邻域),(0δx U 内有)()(0x f x f ≤()()(0x f x f ≥), 则我们称函数)(x f y =在点0x 取得极大值(极小值). 函数)(x f y =在区间[]b a ,上的最大值)(0x f 满足)()(0x f x f ≥, 其中[]b a x ,∈.函数)(x f y =在区间[]b a ,上的最小值)(0x f 满足)()(0x f x f ≤, 其中[]b a x ,∈.(1) 一元函数)(x f y =的极值和最值定理1（必要条件） 设函数)(x f 在点0x 处可导，且在0x 处取得极值，那未这函数在0x 处的导数为零，即0)(0='x f .定理2（第一种充分条件） 设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)(0='x f .（1）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，)(x f '恒为正；当x 取0x 右侧邻近的值时，)(x f '恒为负，那未函数)(x f 在0x 处取极大值；（2）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，)(x f '恒为负；当x 取0x 右侧邻近的值时，)(x f '恒为正，那未函数)(x f 在0x 处取极小值；（3）如果当x 取0x 左右两侧邻近的值时，)(x f '恒为正或恒为负；那未函数)(x f 在0x 处没有极值.定理3 （第二种充分条件）设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数且0)(0='x f 0)(0≠''x f ，那么（1）当0)(0<''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取极大值； （2）当0)(0>''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取极小值. 一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值：（1）一元函数)(x f y =在()b a ,内的极大值与)(),(b f a f 中最大的为一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最大值;（2）一元函数)(x f y =在()b a ,内的极小值与)(),(b f a f 中最小的为一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最小值.(2) 二元函数()y x f z ,=的极值和最值定理1(必要条件) 设函数),(y x f 在点()00,y x 处可导，且在()00,y x 处取得极值，那未这函数在()00,y x 处的偏导数为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y .定理2 (充分条件)设函数),(y x f 在点()00,y x 某邻域内连续且有一阶、二阶连续偏导数，又0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，令A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00，则函数),(y x f 在点()00,y x 是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值， 且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论. 利用拉格朗日函数求极值和最值(条件极值)求函数),(y x f z =的极值，其中()y x ,满足条件0),(=y x F . 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x F y x f y x L λλ+=, 解方程⎪⎩⎪⎨⎧===0),,(0),,(0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 得⎪⎩⎪⎨⎧===000λλy y x x ，则()00,y x 为函数),(y x f z =的极值点(根据实际问题确定)，进而求得函数),(y x f z =的极值),(00y x f z =.2、函数的凸性与拐点定义1 若曲线)(x f y =在某区间内位于其切线的上方, 则称该曲线在此区间内是凸的, 此区间称为凸区间. 若曲线位于其切线的下方, 则称该曲线在此区间内是凹的, 此区间称为凹区间.定义 2 设函数)(x f y =在区间I 上连续，如果对区间I 上任意两点21,x x ，恒有2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f y =在区间I 的图形是（向上）凹（或凹弧）；如果恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f y =在区间I 的图形是（向上）凸（或凸弧）.定理1 设函数)(x f y =在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在()b a ,内0)(>''x f ，则)(x f y =在区间[]b a ,的图形是凹的； (2) 若在()b a ,内0)(<''x f ，则)(x f y =在区间[]b a ,的图形是凸的. 3、函数)(x f y =图像的描绘主要用函数)(x f y =的一阶导数)(x f y '='和二阶导数)(x f y ''=''的性质和曲线)(x f y =的渐进线描绘函数)(x f y =图像.如果0)(>''x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =图像在区间()b a ,内向下凸. 如果0)(<''x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =图像在区间()b a ,内向上凸. 如果0)(0=''x f , 且)(x f ''在()0,x a ,()b x ,0上异号, 则0x 为函数)(x f y =图像的拐点.如果0)(>'x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =在区间()b a ,内单调递增. 如果0)(<'x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =在区间()b a ,内单调递减.二、解证题方法 1、函数的极值和最值例1（南京大学2003年）对任意00>y , 求)1()(00x x y x y -=ϕ在()1,0中的最大值, 并证明该最大值对任意00>y , 均小于1-e .解 由于000120)1()(y y xy x xy x --='-ϕ ，令0)1()(000120=--='-y y xy x xy x ϕ得函数)(x ϕ的稳定点100+=y y x , 所以函数)(x ϕ的最大值为10000111)1(+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+y y y y ϕ.因为()x x -<-1ln , 10<<x , 所以()11111000000111)1(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++<=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+eey y y y y y ϕ .例2（复旦大学2000年, 北京理工大学2003年）在下列数,,,4,3,2,143n n 中，求出最大的一个数.解 构造辅助函数xx x f =)(, 1≥x , 则222ln 1ln 1ln 1ln 1)(xxx x x x x e e x f xxx x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=', 令0)(='x f 得函数xx x f =)(, 1≥x 的稳定点e x =. 当e x <≤1, 0)(>x f ,当e x ≥,0)(<x f , 所以函数)(x f 在点e x =取得最大值ee . 从而下列数,,,4,3,2,143n n 中最大的一个数只可能是33,2中的一个, 又因332<, 所以下列数 ,,,4,3,2,143n n 中最大的一个数是33.例3（北京化工大学2004年）在下列数,2004,,4,3,2,12004242322中，求出最大的一个数.解 构造辅助函数xxx f 2)(=, 1≥x , 则22222ln 2ln 1ln 222ln 2)(x x x x x x x e e x f x x x x x x ⋅-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=', 令0)(='x f 得函数xxx f 2)(=, 1≥x 的稳定点e x =. 当e x <≤1,0)(>x f ,当e x ≥, 0)(<x f , 所以函数)(x f 在点e x =取得最大值ee 2.从而下列数 ,2004,,4,3,2,12004242322中最大的一个数只可能是3223,2中的一个,又因32232<,所以下列数,2004,,4,3,2,12004242322中最大的一个数是323.例4（中山大学2006年）设S 为由两条抛物线12-=x y 与12+-=x y 所围成的闭区域,椭圆12222=+by ax 在S 内, 确定b a ,(0>b a 、), 使椭圆的面积最大.解 两条抛物线12-=x y 与12+-=x y 的交点为()0,1-，()0,1，()1,0-，()1,0.S 为1122+-≤≤-x y x ，因为椭圆12222=+by ax 在S 内, 所以1,0≤<b a . 椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==t b y ta x s i n c o s ，π20≤≤t ，由椭圆12222=+by ax 和区域S 的对称性知，椭圆12222=+by ax 的面积最大时， 必须有ta tb 22cos 1sin -= ，20π≤≤t 有惟一解. 即0cos 1sin 22=+-t a t b ,20π≤≤t 有惟一解.令01sin sin cos 1sin )(22222=-++-=+-=a t b t a t a t b t f ,20π≤≤t .则01)0(2≤-=a f , 012≤-=⎪⎭⎫⎝⎛b f π ，0)1(4222=-+=∆a a b ，()122sin 22≤=--=ab ab t . 于是212a a b -=，122≤≤a . 椭圆12222=+by ax 的面积2221212)(aaa a a ab a f -=-==πππ,122≤≤a . 即01214)(232=---='aaa a a f ππ, 得36=a , 322=b , 故最大面积为934π.例5（湖南师范大学2005年）设q p b a ,,,都是正数，（1）求()q px xx f -=1)(在区间[]1,0上最大值；（2）证明：qp qpq p b a q b p a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.解(1)因为()qpx xx f -=1)(, 所以()()1111)(-----='q pq p x qxx pxx f ,令()()011)(11=---='--q pqp x qxx pxx f 得稳定点qp p x +=. 又0)1()0(==f f , ()qp q p q p qp q p p f ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+, 进而函数()qp x x x f -=1)(在区间[]1,0上最大值为()qp qp q p qp q p p f ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.(2)因为()1,qppqp q p qa a a ab p p qf f a b a b a b a b a b p q p q +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭⎝⎭所以qp q p q p b a q b p a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.例6（南京农业大学2004年）试问方程033=+-q px x 在实数域内有几个实根.解 由于()+∞=+-+∞→q px x x 3lim 3, ()-∞=+--∞→q px x x 3lim 3, 所以方程033=+-q px x 在实数域内至少有一个实根. 令q px x x f +-=3)(3, 则()p x p x x f -=-='22333)(.(1)当0<p 时, 有0)(>'x f , 进而)(x f 单调递增, 方程033=+-q px x 在实数域内只有一个实根.(2) 当0>p 时, 得q px x x f +-=3)(3的稳定点p x =, p x -=. 上述稳定点将()+∞∞-,分成三个区间()p -∞-,, ()p p ,-, ()+∞,p . 当()p x -∞-∈,时, )(x f 严格单调递增, 当()pp x ,-∈时, )(x f 严格单调递减, 当()+∞∈,p x 时, )(x f 严格单调递增. 进而,在p x -=时, )(x f 取得极大值q p p +2.在p x =时, )(x f 取得极小值q p p +-2. 所以, 当()()042232>-=+-+p q q p pq p p时,方程33=+-q px x 只有一个实根, 当()()042232=-=+-+p q q p pq p p时, 方程033=+-q px x 有两个实根, 当()()042232<-=+-+p q q p pq p p时, 方程033=+-q px x 有三个实根.综上所述, 当0<p 时, 方程033=+-q px x 在实数域内有一个实根, 当0>p , 且0432>-p q 时, 方程033=+-q px x 只有一个实根, 当0>p , 且0432=-p q 时, 方程033=+-q px x 有两个实根, 当0>p ,且0432<-p q 时, 方程033=+-q px x 有三个实根.例7（上海交通大学2005年）求函数444),,(z y x z y x f ++=在条件1=xyz 下的极值.分析 用Lagrange 乘数法求函数444),,(z y x z y x f ++=在条件1=x y z 下的极值.解 构造Lagrange 函数()1),,,(444-+++=xyz z y x z y x L λλ, 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+=01),,,(04),,,(04),,,(04),,,(333xyz z y x L xy z z y x L zx y z y x L yz x z y x L zy x λλλλλλλλ得1===z y x , 所以极值为3)1,1,1(=f .。
微积分第一章
高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下：1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。
2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内（上）连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大,粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程;有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产,也就有了现代的社会。
微积分(数学分析)习题及答案.doc
统计专业和数学专业数学分析（3）练习题一 填空题1. 函数 xy xyz +=arcsin 的定义域是 . 2. 函数y x z -=的定义域是 .3. 设 )ln(),(22y x x y x f --=，其中 0>>y x ，则),(=-+y x y x f .4. 设 yx xy y x y x f tan ),(22-+=，则 =),(ty tx f .5. 设2R E ⊂为 点集，则E 在2R 中至少有一个聚点.6. 32),,(yz xy z y x f +=，则 =-)1,1,2(gradf 。
7. xyz z xy u -+=32在点)2,1,1(0P 处沿方向→l （其中方向角分别为00060,45,60）的方向导数为=→)(0P u l.8. ,y x z =其中,0>x ,0≠x 则=dz 。
9. 函数),(y x f 在),(00y x 处可微，则 =-∆df f 。
10. 若函数 ),(y x f 在区域D 上存在偏导数，且,0==y x f f ，则),(y x f 在区域上为 函数。
11. 由方程1(,)sin 02F x y y x y =--=确定的隐函数)(x f y =的导数'()f x = . 12. 设243340x y x y +-=, 则dy dx= . 13. 平面上点P 的直角坐标),(y x 与极坐标),(θr 之间的坐标变换公式为 .其雅可比行列式(,)(,)x y r θ∂=∂ .14. 直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(θϕr 之间的变换公式为 . 其雅可比行列式(,,)(,,)x y z r ϕθ∂=∂ .15. 设平面曲线由方程0),(=y x F 给出, 它在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则该曲线在点0P 处存在切线和法线，其方程分别为切线： , 法线： .16. 设空间曲线由参数方程βα≤≤===t t z z t y y t x x L ),(),(),(:给出, 它在点0000000(,,)((),(),())P x y z x t y t z t =处的切线和法平面方程为 切线： ,法平面： . 17. 设空间曲线L 由方程组(,,)0,(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ 给出, 若它在点0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则该曲线在点0P 处存在切线和法平面，其方程分别为切线： , 法平面： .18. 设曲面由方程0),,(F =z y x 给出，它在点),,(0000z y x P 的某邻域内满足隐函数定理条件，则该曲面在0P 处有切平面与法线，它们的方程分别是切平面： , 法线： . 19. 条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ的限制下，求目标函数 ),,,(21n x x x f y = 的极值.其拉格朗日函数是 , 其中m λλλ,,,21 为拉格朗日乘数.20. 若(,)f x y 在矩形区域R 上连续, 则对任何[]0,x a b ∈, 都有0lim (,)dcx x f x y dy →=⎰.21. （可微性）若函数),(y x f 与其偏导数),(y x f x∂∂都在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则⎰=dcdy y x f x I ),()(在[]b a ,上可微，且(,)dcd f x y dy dx =⎰ .22. （可微性） 设),(),,(y x f y x f x 在[][]q p b a R ,,⨯=上连续，()()x d x c ,为定义在[]b a ,上其值含于[]q p ,内的可微函数，则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在[]b a ,上可微，且'()F x = .23. (两个累次积分的关系)若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则(,)bdacdx f x y dy =⎰⎰ .24. 含参量反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A (其中c A =1)，函数项级数 在[]b a ,上一致收敛. 25. 设有函数)(y g ，使得.,),(),(+∞<≤≤≤≤y c b x a y g y x f 若⎰+∞cdy y g )(收敛，则⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上 .26. （连续性）设),(y x f 在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若含参量反常积分⎰+∞=cdyy x f x I ),()(在[]b a ,上 ，则)(x I 在[]b a ,上 .27. （可微性）设),(y x f 与),(y x f x 在区域[][)+∞⨯,,c b a 上连续。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.6.1) 广义积分的收敛判别法
定理 1 (Dirichlet)
α
设 F (α) = f (x) dx 关于 α ∈ [a, ∞) 为有界函数, 函数 g(x) 在 [a, ∞) 中单调, 且
a
∞
lim g(x) = 0, 则积分 f (x)g(x) dx 收敛.
a
通过求极限来判断收敛性
α
α
证明. 当 α ≥ a 时, 记 F (α) = f (x) dx, G(α) = g(x) dx. 由已知条件可得
a
a
0 ≤ F (α) ≤ MG(α), ∀ α ∈ [a, ∞).
因此, 如果 G(α) 有界, 则 F (α) 也有界; F (α) 无界时, G(α) 也无界.
a
对于瑕积分, 与函数 x−p 进行比较可以得到完全类似的 Cauchy 判别法.
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
解. 当 x ≥ 1 时 0 ≤ √ 1 ≤ x−2, 故积分是收敛的.
如果 p > 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时 0 ≤ f (x) ≤ Cx−p, 则
∞
f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时
a
∞
f (x) ≥ Cx−p, 则 f (x) dx 发散;
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 4 第四章微积分基本公式 (4.6.1) 简单的微分方程
一元微积分与数学分析—简单的微分方程梅加强南京大学数学系给定函数f,求f的原函数相当于解以g为未知量的方程g =f.给定函数f,求f的原函数相当于解以g为未知量的方程g =f.我们用记号f(x)d x表示f的原函数的一般表达式,也称为f的不定积分.给定函数f,求f的原函数相当于解以g为未知量的方程g =f.我们用记号f(x)d x表示f的原函数的一般表达式,也称为f的不定积分.例1解方程f =0.给定函数f,求f的原函数相当于解以g为未知量的方程g =f.我们用记号f(x)d x表示f的原函数的一般表达式,也称为f的不定积分.例1解方程f =0.解.f =0意味着f =C1(常数).因此f(x)=C1d x=C1x+C2.例2在资源无限的情况下,设某一物种繁殖的速度与种群数量成正比,求种群数量随时间演化的规律.例2在资源无限的情况下,设某一物种繁殖的速度与种群数量成正比,求种群数量随时间演化的规律.解.设在t时刻种群的数量为f(t),则f (t)=λf(t),其中λ>0为常数.此时[e−λt f(t)] =e−λt[−λf(t)+f (t)]=0,因此f(t)=C eλt.代入t=0可得C=f(0).例2在资源无限的情况下,设某一物种繁殖的速度与种群数量成正比,求种群数量随时间演化的规律.解.设在t时刻种群的数量为f(t),则f (t)=λf(t),其中λ>0为常数.此时[e−λt f(t)] =e−λt[−λf(t)+f (t)]=0,因此f(t)=C eλt.代入t=0可得C=f(0).注1可见,在初始条件f(0)=1下方程f =f的唯一解就是指数函数e x.例3跳伞时,设降落伞所受空气阻力与下落速度成正比,求降落速度.例3跳伞时,设降落伞所受空气阻力与下落速度成正比,求降落速度.解.设t时刻速度为v(t),v(0)=0,则mg−λv(t)=mv (t),其中m为物体质量,g为重力加速度,λ为比例常数.模仿前例的解法可得[eλm t v(t)] =eλm t g,v(t)=e−λm tt0eλm s g d s=mgλ(1−e−λm t).阻尼运动例3跳伞时,设降落伞所受空气阻力与下落速度成正比,求降落速度.解.设t时刻速度为v(t),v(0)=0,则mg−λv(t)=mv (t),其中m为物体质量,g为重力加速度,λ为比例常数.模仿前例的解法可得[eλm t v(t)] =eλm t g,v(t)=e−λm tt0eλm s g d s=mgλ(1−e−λm t).注2当t→∞时v(t)→mgλ,即下降速度有上限.例4d x√1+x2=ln(x+1+x2)+C.例4d x√1+x2=ln(x+1+x2)+C.证明.作变量替换x=sinh t,则d x√1+x2=d t=t+C,其中t=ln(x+√1+x2)是双曲正弦的反函数,常记为arcsinh x.例4d x√1+x2=ln(x+1+x2)+C.证明.作变量替换x=sinh t,则d x√1+x2=d t=t+C,其中t=ln(x+√1+x2)是双曲正弦的反函数,常记为arcsinh x.注3x=sinh t⇒e t−e−t=2x⇒(e t)2−2x e t−1=0⇒e t=x+√1+x2.例5一条均质的软线挂在等高的两点,求其形状.HTθxy=y(x)O图1:悬链线受力分析例5一条均质的软线挂在等高的两点,求其形状.解.以线的最低位置为坐标原点建立直角坐标,其中X轴与等高两点的连线平行.HTθxy=y(x)O图1:悬链线受力分析解(续).线所满足的方程记为y=y(x).考察从0到x这一段线的受力情况.在原点处,它受到向左的水平力,记为H.在(x,y(x))处,它沿线的切向受拉力T.由力的平衡可得T cosθ=H,T sinθ=ρ (x)g,其中tanθ=y (x)是切线的斜率,ρ是线密度, (x)是线的长度.解(续).线所满足的方程记为y=y(x).考察从0到x这一段线的受力情况.在原点处,它受到向左的水平力,记为H.在(x,y(x))处,它沿线的切向受拉力T.由力的平衡可得T cosθ=H,T sinθ=ρ (x)g,其中tanθ=y (x)是切线的斜率,ρ是线密度, (x)是线的长度.注4以后我们将知道, (x)=x1+(y )2d t.解(续).记λ=ρg/H,则有y (x)=λx1+(y )2d t.记f(x)=y (x),则f (x)=λ1+f2(x),d f√1+f2=λd x=λx+C,由前例和f(0)=y (0)=0(Fermat定理)可得arcsinh f(x)=λx,即f(x)=sinh(λx).这说明y(x)=sinh(λx)d x=1λcosh(λx)+C,由y(0)=0可得y(x)=1λ[cosh(λx)−1].用方程刻画双曲三角函数例6解方程f =λ2f,其中λ=0为常数.例6解方程f =λ2f,其中λ=0为常数.证明.显然,sinh(λx)和cosh(λx)都满足方程.记F(x)=f(x)−[f(0)cosh(λx)+f (0)sinh(λx)/λ],则F =λ2F,F(0)=0,F (0).根据我们在微积分基本公式那一单元例5中的讨论可知F≡0.例6解方程f =λ2f,其中λ=0为常数.证明.显然,sinh(λx)和cosh(λx)都满足方程.记F(x)=f(x)−[f(0)cosh(λx)+f (0)sinh(λx)/λ],则F =λ2F,F(0)=0,F (0).根据我们在微积分基本公式那一单元例5中的讨论可知F≡0.注5也可以令g=f +λf,则g =λg,可以由此解出g,进而解出f.例7解方程f =−ω2f,其中ω=0为常数.例7解方程f =−ω2f,其中ω=0为常数.解.显然,sin(ωx)和cos(ωx)都满足方程.记F(x)=f(x)−[f(0)cos(ωx)+f (0)sin(ωx)/ω],则F =−ω2F,F(0)=0,F (0).与前例完全类似,此时F≡0.例7解方程f =−ω2f,其中ω=0为常数.解.显然,sin(ωx)和cos(ωx)都满足方程.记F(x)=f(x)−[f(0)cos(ωx)+f (0)sin(ωx)/ω],则F =−ω2F,F(0)=0,F (0).与前例完全类似,此时F≡0.注6也可以令g=ω2F2+(F )2,则g =2ω2FF +2F (−ω2F)=0,这说明g为常数(能量守恒),从而恒为零.任何一个物理量(如位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动.m F图2:弹簧振子任何一个物理量(如位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动.简谐运动是最基本、最简单的振动,比如理想单摆运动、理想弹簧振子运动等.m F图2:弹簧振子任何一个物理量(如位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动.简谐运动是最基本、最简单的振动,比如理想单摆运动、理想弹簧振子运动等. 当某物体进行简谐运动,物体所受的力跟位移成正比,并且总是指向平衡位置.m F图2:弹簧振子任何一个物理量(如位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动.简谐运动是最基本、最简单的振动,比如理想单摆运动、理想弹簧振子运动等. 当某物体进行简谐运动,物体所受的力跟位移成正比,并且总是指向平衡位置.例8设轻质弹簧一端固定,另一端系有质量为m的质点,求质点的运动规律.m F图2:弹簧振子弹簧受力分析解.以质点平衡位置为原点建立坐标系,质点所受的力记为F.根据胡克定律,F=−kx,其中k是弹簧的劲度系数.质点的运动方程为−kx(t)=mx (t).记ω2=k/m,根据前例的讨论可得x(t)=x(0)cos(ωt)+v(0)ωsin(ωt)=A sin(ωt+θ),其中A称为振幅,θ为初始相位,ω为频率,2π/ω是运动周期.。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 7 第七章拾遗 (7.3.1) Lebesgue定理
零测集
Riemann 定理告诉我们, 可积函数波动剧烈(振幅较大)的地方并不是很多.
或者说, 间断点(振幅不为零的点)并不是很多. 为了准确地刻画这些现象, 我们 引入如下概念.
零测集: 设 A ⊂ R, 如果任给ε > 0, 均可找到至多可数个开区间 {Ii }, 使得 A 包 含于这些区间之并, 且
Df = {x ∈ [a, b] | ωf (x) > 0}.
当 δ > 0 时, 记
Df (δ) = {x ∈ [a, b] | ωf (x) ≥ δ}.
间断点集
设 f 为 [a, b] 中的有界函数. f 的间断点全体记为 Df , 根据命题 1,
Df = {x ∈ [a, b] | ωf (x) > 0}.
包含于右边.
间断点集
设 f 为 [a, b] 中的有界函数. f 的间断点全体记为 Df , 根据命题 1,
Df = {x ∈ [a, b] | ωf (x) > 0}.
当 δ > 0 时, 记
Df (δ) = {x ∈ [a, b] | ωf (x) ≥ δ}.
断言: Df =
∞ n=1
Df (1/n).
π : a = x0 < x1 < · · · < xn = b, 使得每一个小区间 [xi−1, xi ] 要么包含于某个 (αj , βj ), 要么包含于某个 Ix 之中.
Lebesgue 定理
证明(续).
记 I1 = {i | [xi−1, xi ] 包含于某个 (αj , βj )}, I2 = {1, 2, · · · , n} \ I1,
零测集
Riemann 定理告诉我们, 可积函数波动剧烈(振幅较大)的地方并不是很多.
数学分析(上) 9-5微积分学基本定理
F ( x0 ) F (a) 0
g( x0 )[F ( x1 ) F ( x0 )]
g( xn1 )[F ( xn ) F ( xn1 )]
F ( xn ) F (b)
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F ( x1)[g( x0 ) g( x1)]
F ( xn1 )[ g( xn2 ) g( xn1 )] F ( xn )g( xn1 )
x0 f (t)dt 0 tf (t)dt
故 d
x
( x t ) f (t )dt
d
(x
x
f (t)dt
x
tf (t)dt)
dx 0
dx 0
0
d (x
x
f (t )dt)
d
x
tf (t )dt
dx 0
dx 0
x
x
0 f (t)dt xf ( x) xf ( x) 0 f (t)dt.
mg(a) I1 I2 Mg(a) . 令 0, 便得 mg(a) I Mg(a).
即：m 1
b
f (x)g(x)dx M
g(a) a
由介值定理， 得到：存在 [a, b], 使
F( )
a
f (t)dt
1 g(a)
b
f (x)g(x) dx.
a
即：
b
f ( x)g( x)dx g(a) f ( x)dx.
y
y f (x)
与 统称为变限积分.
( xx)
Oa
注 变上限定积分不能写为
x
bx
( x) f ( x)dx a
变下限积分类似. 一定要分清函数自变量 x 与
积分变量 t.
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 3 第三章连续函数 (3.3.1) 连续函数
一元微积分与数学分析—连续函数梅加强南京大学数学系f(x)=f(x0),则称f在x0处连续; 设f在区间I中有定义,x0∈I.如果limx→x0f(x)=f(x0),则称f在x0处连续; 设f在区间I中有定义,x0∈I.如果limx→x0f(x)=f(x0),则称f在x0处左连续;如果limx→x−f(x)=f(x0),则称f在x0处连续; 设f在区间I中有定义,x0∈I.如果limx→x0f(x)=f(x0),则称f在x0处左连续;如果limx→x−f(x)=f(x0),则称f在x0处右连续.如果limx→x+f(x)=f(x0),则称f在x0处连续;设f在区间I中有定义,x0∈I.如果limx→x0f(x)=f(x0),则称f在x0处左连续;如果limx→x−f(x)=f(x0),则称f在x0处右连续.如果limx→x+如果f在I的内部的每一点处都连续,且在可能的左端点处右连续以及右端点处左连续,则称f为I中的连续函数,记为f∈C0(I).保序性质:设函数f在x0处连续,如果f(x0)=0,则在x0附近f(x)介于12f(x0) f(x0)之间.特别地,f在x0附近处处不为零且保持符号不变.和32保序性质:设函数f在x0处连续,如果f(x0)=0,则在x0附近f(x)介于12f(x0) f(x0)之间.特别地,f在x0附近处处不为零且保持符号不变.和32四则运算:设f(x),g(x)都在x0处连续,则(1)λf(x)+µg(x)在x0处连续,其中λ,µ为常数;(2)f(x)g(x)在x0处连续;(3)当g(x0)=0时,f(x)/g(x)在x0处连续.绝对值性质:设函数f在x0处连续,则|f|在x0处也连续.绝对值性质:设函数f在x0处连续,则|f|在x0处也连续.复合性质:设函数f(y)在y0处连续,函数g(x)在x0处的极限为y0,则f(g(x))在x0处的极限为f(y0).特别地,当g在x0处连续时,复合函数f(g(x))在x0处也连续.绝对值性质:设函数f在x0处连续,则|f|在x0处也连续.复合性质:设函数f(y)在y0处连续,函数g(x)在x0处的极限为y0,则f(g(x))在x0处的极限为f(y0).特别地,当g在x0处连续时,复合函数f(g(x))在x0处也连续.局部有界性质:设函数f在x0处连续,则f在x0附近局部有界.例1设a>0,则指数函数a x处处连续.例1设a>0,则指数函数a x处处连续.证明.以a>1为例.(1)先说明limx→0a x=1,以右极限为例.当0<x<1时,a x>1.记ε=a x−1,由Bernoulli不等式可得a=(1+ε)1x≥(1+ε)[1/x]≥1+[1/x]ε,这说明1<a x≤1+(a−1)/[1/x],因此limx→0+a x=1.(2)一般地,设x0∈R,则limx→x0a x=limx→x0a x−x0a x0=a x0.例2设a>0,则指数函数log a x在(0,∞)中连续.例2设a>0,则指数函数log a x在(0,∞)中连续.证明.因为log a x=ln x/ln a,只要说明ln x连续即可.根据上一单元的讨论,我们已经知道limx→1ln x=0.一般地,设x0>0,则limx→x0ln x=limx→x0[ln(x/x0)+ln x0]=ln x0.例2设a>0,则指数函数log a x在(0,∞)中连续.证明.因为log a x=ln x/ln a,只要说明ln x连续即可.根据上一单元的讨论,我们已经知道limx→1ln x=0.一般地,设x0>0,则limx→x0ln x=limx→x0[ln(x/x0)+ln x0]=ln x0.例3(重要的极限)lim x→0ln(1+x)x=1,即ln(1+x)∼x(x→0).例2设a >0,则指数函数log a x 在(0,∞)中连续.证明.因为log a x =ln x /ln a ,只要说明ln x 连续即可.根据上一单元的讨论,我们已经知道lim x →1ln x =0.一般地,设x 0>0,则lim x →x 0ln x =lim x →x 0[ln(x /x 0)+ln x 0]=ln x 0.例3(重要的极限)lim x →0ln(1+x )x =1,即ln(1+x )∼x (x →0).证明.我们已经知道lim x →0(1+x )1x =e .因此lim x →0ln(1+x )x =lim x →0ln (1+x )1x =ln e =1.例4(重要的极限)设a>0,则limx→0a x−1x=ln a,特别地,e x−1∼x(x→0).例4(重要的极限)设a>0,则limx→0a x−1x=ln a,特别地,e x−1∼x(x→0).证明.记y=a x−1,则x→0时y→0.由x=log a(1+y)=ln(1+y)/ln a和前例可得lim x→0a x−1x=limy→0yln(1+y)ln a=ln a.例4(重要的极限)设a>0,则limx→0a x−1x=ln a,特别地,e x−1∼x(x→0).证明.记y=a x−1,则x→0时y→0.由x=log a(1+y)=ln(1+y)/ln a和前例可得lim x→0a x−1x=limy→0yln(1+y)ln a=ln a.例5幂函数x a的连续性.例4(重要的极限)设a>0,则limx→0a x−1x=ln a,特别地,e x−1∼x(x→0).证明.记y=a x−1,则x→0时y→0.由x=log a(1+y)=ln(1+y)/ln a和前例可得lim x→0a x−1x=limy→0yln(1+y)ln a=ln a.例5幂函数x a的连续性.证明.当x>0时,x a=e a ln x,根据复合性质,此时x a连续;当a>0时,x a在x=0处右连续;当x<0,a=p/q为既约分数(有理数)时,x a=(−1)a(−x)a连续,其中当p,q 均为奇数时(−1)a=−1,当p为偶数时(−1)a=1.例6(重要的极限)设a∈R,则limx→0(1+x)a−1x=a.例6(重要的极限)设a∈R,则limx→0(1+x)a−1x=a.证明.由等价替换和前面的例子可得lim x→0(1+x)a−1x=limx→0e a ln(1+x)−1x=limx→0a ln(1+x)x=a.例7sin x,cos x的连续性.例7sin x,cos x的连续性.证明.当x,y∈R时,sin x−sin y=2sin x−y2cosx+y2,利用不等式|sinθ|≤|θ|可得|sin x−sin y|≤2|(x−y)/2|=|x−y|.同理可得|cos x−cos y|≤|x−y|.这说明sin x和cos x处处连续.例7sin x,cos x的连续性.证明.当x,y∈R时,sin x−sin y=2sin x−y2cosx+y2,利用不等式|sinθ|≤|θ|可得|sin x−sin y|≤2|(x−y)/2|=|x−y|.同理可得|cos x−cos y|≤|x−y|.这说明sin x和cos x处处连续.注1根据四则运算性质,tan x=sin xcos x ,cot x=cos xsin x等三角函数在其定义域中都是连续的.。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.9.1) Taylor展开和近似计算
一元微积分与数学分析—T aylor展开和近似计算梅加强南京大学数学系在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”利用割圆术,刘徽算出圆周率的近似值3.14.阿基米德和刘徽图1:阿基米德图2:刘徽达到精确的程度.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.祖冲之还采用了两个分数值的圆周率,一个是355/113≈3.1415927,这一个数比较精密,所以祖冲之称它为“密率”.另一个是22/7≈3.14,这一个数比较粗疏,所以祖冲之称它祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.注意到当|x|比较小的时候,右边收敛速度就比较快了.基本的想法就是用若干个注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,这就得到等式π4=4arctan15−arctan1239.(1)它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.1706年,Machin用这个公式将π计算到了小数点后100位.类似地,我们可以得到等式2arctan110=arctan15+arctan1515,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,其中3213×10−13−3215×10−15<δ1<3213×10−13,因此0.24×10−12<δ1<0.25×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.另一方面,π≈32 110−131103+151105−171107+191109−11111011−4 1239−1312393 −16 1515−1315153=3.14159265359066...总之得到3.14159265358978<π<3.14159265358982,近似值精确到了小数点后第12位.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字. 1989年,Chudnovsky兄弟发表了公式1π=12∞k=0(−1)k(6k)!(3k!)(k!)313591409+545140134k6403203k+3/2,(4)这个公式的每一项可提供π的大约15位有效数字.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.人们利用已经发现的这些算法可以在计算机上进行π的快速高精度计算,这也成为了检验计算机运行速度的初步手段.。
数学分析9.5微积分学基本定理定积分计算
数学分析9.5微积分学基本定理定积分计算(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第九章 定积分5 微积分学基本定理·定积分计算(续)一、变限积分与原函数的存在性定义：设f 在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x ∈[a,b], f 在[a,x]上也可积. 于是由φ(x)=⎰xa f(t)dt, x ∈[a,b]，定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分. 类似的又可定义变下限的定积分ψ(x)=⎰bx f(t)dt, x ∈[a,b]. φ与ψ统称为变限积分.注：∵⎰bx f(t)dt=-⎰xb f(t)dt ，所以变上限的定积分和变下限的定积分可以互相转换.定理：若f 在[a,b]上可积，则φ(x)=⎰xa f(t)dt 在[a,b]上连续. 证：对[a,b]上任一确定的点x ，只要x+△x ∈[a,b]，就有 △φ=⎰∆+xx af(t)dt-⎰x af(t)dt=⎰∆+xx af(t)dt+⎰a xf(t)dt=⎰∆+xx xf(t)dt.又f 在[a,b]上有界，可设|f(t)|≤M, t ∈[a,b]，则当△x >0时，有 |△φ|=|⎰∆+xx xf(t)dt |≤⎰∆+xx x|f(t)|dt ≤M △x ；当△x <0时，有|△φ|≤M|△x|，∴0x lim →∆△φ=0，即φ在点x 连续. 又由x 的任意性知，φ在[a,b]上连续.定理：(原函数存在定理)若f 在[a,b]上连续，则φ(x)=⎰xa f(t)dt 在[a,b]上处处可导，且. φ’(x)=⎰xaf (t)dxd dt=f(x), x ∈[a,b].证：对[a,b]上任一确定的点x ，当△x ≠0且x+△x ∈[a,b]时，根据积分第一中值定理，有x △φ△=⎰∆+xx xf (t)x △1dt=f(x+θ△x), 0≤θ≤1.∵f 在点x 连续，∴φ’(x)=x △φ△lim 0x →∆=0x lim →∆f(x+θ△x)=f(x). 由x 在[a,b]上的任意性，证得φ是f 在[a,b]上的一个原函数.注：定理沟通了导数和定积分之间的内在联系，同时证明了“连续函数必有原数学”，又以积分形式给出了f 的一个原函数，因此被誉为微积分学基本定理.例：利用定理证明牛顿——莱布尼茨公式.证：可设函数f 的原函数为F(x)=⎰xa f(t)dt+C. 令x=a ，得F(a)=C. ∴⎰xa f(t)dt=F(x)-F(a). 再令x=b ，又得⎰ba f(t)dt=F(b)-F(a)，得证.定理：(积分第二中值定理)设f 在[a,b]上可积，(1)若函数g 在[a,b]上减，且g(x)≥0，则存在ξ∈[a,b]，使得⎰baf(x)g(x)dx=g(a)⎰ξaf(x)dx ；(2)若函数g 在[a,b]上增，且g(x)≥0，则存在η∈[a,b]，使得⎰b af(x)g(x)dx=g(b)⎰bηf(x)dx.证：(1)设F(x)=⎰xa f(t)dt+C, x ∈[a,b]. ∵f 在[a,b]上可积，∴F 在[a,b]上连续，从而有最大值M 和最小值m.若g(a)=0，∵g 在[a,b]上减，且g(x)≥0，∴g(x)≡0, x ∈[a,b]，成立.当g(a)>0时，由f 有界可设|f(x)|≤L, x ∈[a,b]. 由g 可积，任给ε>0，有∑Ti g i x △ω<Lε. 又I=⎰ba f(x)g(x)dx=∑⎰=n1i x x )x (g )x (f i1-i dx=∑⎰=n1i x x 1-i i1-i )x ()]f g(x -[g(x)dx+∑⎰=n1i x x 1-i i1-i )x (f )g(x dx =I 1+I 2.∵|I 1|≤∑⎰=⋅n1i x x 1-i i1-i |)x (f ||)g(x -g(x)|dx ≤L ∑Ti g i x △ω< L ·Lε=ε.I 2=∑=n1i 1-i )g(x [F(x i )-F(x i-1)]=g(x 0)[F(x 1)-F(x 0)]+…+g(x n-1)[F(x n )-F(x n-1)]=F(x 1)[g(x 0)-g(x 1)]+…+ F(x n-1)[g(x n-2)-g(x n-1)]+F(x n )g(x n-1) =∑=1-n 1i i )F(x [g(x n-1)-g(x i )]+F(x n )g(x n-1).由g(x)≥0且减，使g(x n-1)≥0，g(x n-1)-g(x i )≥0，F(x i )≤M ，i=1,2,…,n-1，得I 2≤M ∑=1-n 1i i 1-i )]g(x -)[g(x +Mg(x n-1)=Mg(a). 同理可得I 2≥mg(a).∴mg(a)-ε<I<Mg(a)+ε. 由ε的任意性可得：mg(a)≤I ≤Mg(a). 即mg(a)≤⎰ba f(x)g(x)dx ≤Mg(a)，∴m ≤g(a)1⎰baf(x)g(x)dx ≤M ；根据连续函数的介值性，可得F(ξ)=⎰ξa f(t)dt=g(a)1⎰baf(x)g(x)dx ，即有⎰bf(x)g(x)dx=g(a)⎰ξa f(x)dx.a(2)与(1)类似可证. 或令p,q分别与f,g关于y轴对称，则p,q在[-b,-a]上符合(1)的条件，∴⎰-ap(-x)q(-x)d(-x)=q(-b)⎰-ηb-p(-x)d(-x), x∈[a,b].b-又p(-x)=f(x)，q(-x)=g(x)，且分别存在关于y轴对称的原函数；∴-⎰af(x)g(x)dx=-g(b)⎰ηb f(x)dx，∴⎰b a f(x)g(x)dx=g(b)⎰bηf(x)dx.b推论：设f在[a,b]上可积，若g为单调函数，则存在ξ∈[a,b]，使得⎰b a f(x)g(x)dx=g(a)⎰ξa f(x)dx+g(b)⎰bf(x)dx.ξ证：若g单调减，则令h(x)=g(x)-g(b)≥0，∴存在ξ∈[a,b]，使得⎰b a f(x)h(x)d x=h(a)⎰ξa f(x)dx=[g(a)-g(b)]⎰ξa f(x)dx.又⎰bf(x)h(x)d x=⎰b a f(x)g(x)dx-g(b)⎰b a f(x)dx ，a∴⎰bf(x)g(x)dx=[g(a)-g(b)]⎰ξa f(x)dx+ g(b)⎰ξa f(x)dx+ g(b)⎰bξf(x)dxa= g(a)⎰ξf(x)dx+g(b)⎰bξf(x)dx，得证.a同理，若g单调增，则令h(x)=g(x)-g(a)≥0，可证.二、换元积分法与分部积分法定理：(定积分换元积分法)若f 在[a,b]上连续，φ在[α,β]上连续可微，且满足φ(α)=a, φ(β)=b ，a ≤φ(t)≤b, t ∈[α,β]，则有：⎰baf(x)dx=⎰βα(t)) f(φφ’(t)dt. (定积分换元公式)证：∵f 在[a,b]上连续，可设F 是f 在[a,b]上的一个原函数，则dtdF(φ(t))=F ’(φ(t))φ’(t)=f(φ(t))φ’(t)，∴F(φ(t))是f(φ(t))φ’(t)的一原函数， 根据牛顿—莱布尼茨公式，证得：⎰βα(t)) f(φφ’(t)dt=F(φ(β))-F(φ(α))=F(b)-F(a)=⎰ba f(x)dx.例1：求⎰102x -1dx.解：令x=sint, 则t ∈[0,2π]， 原式=⎰2π02t sin -1dsint=⎰2π02t cos dt=21⎰+2π01)(cos2x dt=21(t+21sin2t)|2π0 =21(2π+21sin π)=4π.例2：求⎰2π02t sintcos dt.解：⎰2π2t sintcos dt=-⎰2π02t cos dcost=-⎰012x dx=⎰102x dx=3x 3|10=31.例3：求⎰++12x 1x)ln(1dx. 解：令x=tant ，则t ∈[0,4π]. 原式=⎰++4π02t tan 1tant)ln(1dtant=t sec tsec tant)ln(124π02⋅+⎰dt=⎰+4π0tant)ln(1dt=⎰+4π0costsintcost lndt=⎰4π0costt)-4πcos(2lndt=⎰4π02ln dt+⎰4π0t)-4πlncos(dt-⎰4πlncost dt令u=4π-t ，则u ∈[0,4π]且随t 的增大而减小.⎰4π0t)-4πlncos(dt=⎰04πlncosu d(4π-u)=⎰4π0lncosu du. ∴原式=⎰4π2ln dt+⎰4π0lncosu du-⎰4π0lncost dt=⎰4π02ln dt=8πln2.定理：(定积分分部积分法)若u(x),v(x)为[a,b]上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：⎰ba u(x)v ’(x)dx =u(x)v(x)|ba -⎰bav(x)u ’(x)dx.证：∵uv 是uv ’+u ’v 在[a,b]上的一个原函数， ∴⎰bau(x)v ’(x)dx+⎰b av(x)u ’(x)dx=(x)v(x)u (x)u [v(x)ba'+'⎰dx=u(x)v(x)|ba ，移项得：⎰ba u(x)v ’(x)dx =u(x)v(x)|b a-⎰ba v(x)u ’(x)dx.例4：求⎰e12lnx x dx.解：⎰e12lnx x dx=⎰e 1lnx 31dx 3=31(x 3lnx|e1-⎰e 13x dlnx)=31(e 3-⎰e 12x dx) =31(e 3-31x 3|e 1)=92e 3+91.例5：求⎰2πnx sin dx 和⎰2π0n x cos dx, n=1,2,….解：记I n =⎰2π0n x sin dx ，则I n =-⎰2π01-n x sin dcosx=-sin n-1xcosx|2π0+⎰2π0cosx dsin n-1x=(n-1)⎰2π022-n x xcos sin dx=(n-1)⎰2π0n 2-n x)sin -x (sin dx=(n-1)(I n-2-I n )，∴I n =n1-n I n-2. ∴I 0=⎰2π0dx =2π；I 1=⎰2π0sinx dx=-cosx|2π=1. 重复递推可得： I 2m =!2m!!1)!-(2m ·2π；I 2m+1=!1)!(2m !2m!+, m=1,2,…. 令x=2π-t, ⎰2π0n x cos dx=⎰02πn )t -2π(cos d(2π-t)=-⎰02πn t sin dt=⎰2π0n x sin dx.沃利斯公式：2π=12m 1!1)!-(2m !(2m)!lim 2m +⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→. 证明：由⎰+2π12m x sindx<⎰2π02mx sin dx<⎰2π01-2m x sin dx ，得：!1)!(2m !2m!+<!2m!!1)!-(2m ·2π<!1)!-(2m !2)!-(2m . 又得： A m =12m 1!1)!-(2m !(2m)!2+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡<2π<2m 1!1)!-(2m !(2m)!2⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B m . ∵0<2π-A m <B m -A m =1)2m(2m 1!1)!-(2m !(2m)!2+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡<2π2m 1⋅→0(m →∞)， ∴∞→mlim (2π-A m )=0，即∞→m lim A m =2π，得证.三、泰勒公式的积分型余项若在[a,b]上u,v 有n+1阶连续导函数，则有推广的分部积分公式：⎰bau(x)v(n+1)(x)dx=[u(x)v (n)(x)-u ’(x)v (n-1)(x)+…+(-1)n u (n)(x)v(x)]|ba+(-1)n+1⎰+ba 1)(n (x)u v(x)dx, (n=1,2,…).设函数f 在点x 0的某邻域U(x 0)内有n+1阶连续导函数，令x ∈U(x 0), u(t)=(x-t)n , v(t)=f(t), t ∈[x 0,x](或[x,x 0])，利用推广的分部积分公式，有：⎰xx n 0t)-(x f(n+1)(t)dt=[(x-t)n f (n)(t)+n(x-t)n-1f (n-1)(t)+…+n!f(t)]|x x 0+⎰⋅xx 00f(t)dt=n!f(x)-n![f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+…+n!)(x f 0(n)(x-x 0)n ]=n!R n (x).其中R n (x)=⎰+x x n 1)(n 0t)-(t)(x f n!1dt 即为泰勒公式的n 阶余项，即泰勒公式的积分型余项.∵f (n+1)(t)连续，(x-t)n 在[x 0,x](或[x,x 0])上同号，由推广的积分第一中值定理，可得：R n (x)=n!1f (n+1)(ξ)⎰x x n 0t)-(x dt=1)!(n 1+f (n+1)(ξ)(x-x 0)n+1.其中ξ=x 0+θ(x-x 0), 0≤θ≤1.直接运用积分第一中值定理则得：R n (x)=n!1f (n+1)(ξ)(x-ξ)n (x-x 0).由(x-ξ)n (x-x 0)=[x-x 0-θ(x-x 0)]n (x-x 0)=(1-θ)n (x-x 0)n+1, 得泰勒公式的柯西型余项：R n (x)=n!1f (n+1)(x 0+θ(x-x 0))(1-θ)n (x-x 0)n+1. 特别当x 0=0时，有R n (x)=n!1f (n+1)(θx))(1-θ)n x n+1, 0≤θ≤1.习题1、设f 为连续函数，u,v 均为可导函数，且可实行复合f ◦u 与f ◦v.证明：⎰v(x)u(x)f (t)dxd dt=f(v(x))v ’(x)-f(u(x))u ’(x).证：在f 的定义域内取一点a, 则⎰v(x)u(x)f(t)dt=⎰v(x)a f(t)dt-⎰u(x)a f(t)dt. 令φ(x)=⎰xa f(t)dt, 则⎰v(x)u(x)f(t)dt=φ(v(x))-φ(u(x)).⎰v(x)u(x)f (t)dxd dt=dx d φ(v(x))-dxdφ(u(x))=f(v(x))v ’(x)-f(u(x))u ’(x).2、设f 在[a,b]上连续，F(x)=⎰xa f(t)(x-t)dt. 证明：F ”(x)=f(x), x ∈[a,b].证：∵⎰xa f(t)(x-t)dt=⎰xa xf(t)dt-⎰xa tf(t)dt =x ⎰xa f(t)dt-⎰xa tf(t)dt ， ∴F ’(x)=⎰xa f(t)dt+xf(x)-xf(x)=⎰xa f(t)dt ；∴F ”(x)=f(x) , x ∈[a,b].3、求下列极限：(1)⎰→x020x cost x 1lim dt ；(2)⎰⎰∞→x 02t x2t x dte dt)e (lim 22.解：根据洛比达法则：(1)⎰→x020x cost x 1lim dt=20x cosx lim →=1. (2)⎰⎰∞→x 02t x02t xdte dt)e (lim 22= 2222xxt x x e dte e2lim⎰∞→=22xxt x e dte 2lim⎰∞→=22xxx 2xe e 2lim∞→=x1lim x ∞→=0.4、求下列定积分.(1)⎰2π05xsin2x cos dx ；(2)⎰102x -4dx ；(3)⎰a0222x -a x dx, (a>0)； (4)⎰+-10321)x (x dx；(5)⎰-+10x x e e dx ；(6)⎰+2π02x sin 1cosxdx ； (7)⎰10x arcsin dx ；(8)⎰2πx sinx e dx ；(9)⎰ee1|lnx |dx ；(10)⎰10xedx ；(11)⎰+a02xa x-a xdx (a>0)；(12)⎰+2π0x cos sinx cosx dx.解：(1)⎰2π05xsin2x cos dx=2⎰2π6xsinx cos dx=-2⎰2π06x cos dcosx=-72cox 7x|2π0=72. (2)∵⎰102x -4dx=x 2x -4|1-⎰10x d 2x -4= x 2x -4|10+⎰122x-4x dx = x 2x -4|10-⎰-122x -44x -4dx= x 2x -4|10-⎰102x -4dx+4⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛122x -11d 2x= x 2x -4|10-⎰102x -4dx+4arcsin 2x |10.∴⎰102x -4dx=21x 2x -4|10+2arcsin 2x |10=23+3π. (3)令x=asint ，则dx=acostdt, t ∈[0,2π].⎰a222x -a x dx=⎰2π02222(asint)-a t sin a ·acostdt=a4⎰2π022t tcos sin dt=a 4(⎰2π02t sin dt -⎰2π04t sin dt)=a 4(21·2π -!4!!3!·2π)=16πa 4.(4)解法一：令t-x=1x x 2+-, 则x=12t 1-t 2-, dx=221)(2t 22t -2t -+, t ∈[1,2].⎰+-1321)x (x dx =⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2123221)(2t 12t 1-t -t 22t -2t dt=2⎰+-21221)t -(t 12t dt=-1t -t 22+|21=34. 解法二：⎰+-1321)x (x dx =⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛1324321-x dx =⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132131-2x dx 338.令31-2x =tant ，则dx=23sec 2tdt, t ∈[-6π,6π]，原式=⎰-6π6π322t)(sec 2tdtsec 3338=34⎰-6π6πsect dt =34⎰-6π6πcost dt=34sint|6π6π-=34. (5)⎰-+10x x e e dx =⎰+102x x 1e dx e =⎰+102x x1e de =arctane x |10=arctane-4π.(6)⎰+2π2xsin 1cosx dx=⎰+2π02x sin 1dsinx =arctansinx|2π0=arctan1-arctan0=4π. (7)⎰10x arcsin dx=xarcsinx|1-⎰10x darcsinx=2π-⎰12x -1x dx=2π+2x -1|10=2π-1.(8)∵⎰2π0xsinx e dx=⎰2π0sinx de x =e xsinx|2π0-⎰2π0xe dsinx=e 2π-⎰2π0cosx de x=e 2π- e xcosx|2π0+⎰2π0xe dcosx=e 2π+1-⎰2π0x sinx e dx.∴⎰2π0xsinx e dx=21(e 2π+1).(9)⎰e e1|lnx |dx=-⎰1e1lnx dx+⎰e1lnx dx =-xlnx|1e1+⎰1e1x dlnx +xlnx|e 1-⎰e1x dlnx=-e1+⎰1e1dx +e-⎰e1dx =-e 1+1-e1+e-e+1=2(1-e -1).(10)⎰10xedx=⎰10t e dt 2=2⎰10t de t =2te t |10-2⎰10t e dt=2e-2e t |10=2.(11)令x=asint ，则dx=acostdt, t ∈[0,2π].⎰+a2x a x -a xdx=⎰+2π022sint 1sint -1t sin a ·acostdt =a 3⎰2π022t sin -1sint -1tcost sin dt= a3⎰2π2sint)-t(1sin dt= a 3(⎰2π02t sin dt-⎰2π03t sin dt)=(4π-32)a 3. (12)令t=tan 2x ，则x=2arctant ，dx=2t12+，t ∈[0,1]. ⎰+2π0x cos sinx cosx dx=⎰+++++10222222t 1t -1t 12t t 12·t 1t -1dt=2⎰--+-10222)1t 2t )(1t (1t dt=⎰+-121t t 1dt+⎰---1021t 2t 1t dt=arctant|10-21ln(t 2+1)|10+21ln|t 2-2t-1||10 =4π-21ln2+21ln2=2π.5、设f 在[-a,a]上可积. 证明：(1)若f 为奇函数，则⎰aa -f(x)dx=0；(2)若f 为偶函数，则⎰aa-f(x)dx=2⎰af(x)dx.证：⎰aa -f(x)dx=⎰a0f(x)dx+⎰0a -f(x)dx=⎰a0f(x)dx+⎰0a f(-t)d(-t)=⎰+a0f(-x)][f(x)dx. (1)若f 为奇函数，则f(-x)=-f(x)，⎰aa -f(x)dx=0. (2)若f 为偶函数，则f(-x)=f(x)，⎰aa -f(x)dx=2⎰a0f(x)dx.6、设f 为R 上以p 为周期的连续周期函数. 证明： 对任何实数a ，恒有⎰+pa a f(x)dx=⎰p0f(x)dx. 证：⎰+pa a f(x)dx=⎰0a f(x)dx+⎰p 0f(x)dx+⎰+pa p f(x)dx=⎰0a f(x)dx+⎰p 0f(x)dx+⎰+a 0p)f(t d(t+p)=⎰0a f(x)dx+⎰p 0f(x)dx+⎰a0f(x)d(x) =⎰0a f(x)dx+⎰p 0f(x)dx-⎰0a f(x)d(x)=⎰p0f(x)dx.7、设f 为连续函数. 证明： (1)⎰2π0f (sinx)dx=⎰2π0f (cosx)dx ；(2)⎰πxf(sinx)dx=2π⎰πf(sinx)dx.证：(1)令x=2π-t ，则⎰2π0f (sinx)dx=⎰02πt)]-2πf[sin(d(2π-t )=⎰2π0f (cosx)dx.(2)令x=π-t ，则⎰π0xf(sinx)dx=⎰0πt)]-t)f[sin(π-(πd(π-t)=⎰π0x)f(sinx)-(πdx=⎰π0f(sinx)πdx-⎰π0xf(sinx)dx. ∴⎰π0xf(sinx)dx=2π⎰πf(sinx)dx.8、设J(m,n)=⎰2πn m x xcos sin dx (m,n 为正整数). 证明： J(m,n)=n m 1-n +J(m,n-2)=nm 1-m +J(m-2,n)，并求J(2m,2n). 证：J(m,n)=⎰+2π1-n n 1-n m xsin x xcos sin dx =⎰+2π01-n 1-n x sin x cos n m 1dsin m+n x =x sin x cos n m 11-n 1-n ⋅+·sin m+n x|2π0-⎰+2π0n +m x sin n m 1d x sin x cos 1-n 1-n =-xsin x xcos 1)sin -(n -x xsin 1)cos -(n -x sin n m 12-2n n2-n n 2-n 2π0n +m ⋅+⎰dx =x cos x sin n m 1-n 2-n 2πm ⋅+⎰dx=n m 1-n +J(m,n-2).J(m,n)=⎰+2π1-m 1-n m m xcos x xcos sin dx =-⎰+2π01-m 1-m x cos x sin n m 1dcos m+n x =-x cos x sin n m 11-m 1-m ⋅+·cos m+n x|2π0+⎰+2π0n +m x cos n m 1d xcos x sin 1-m 1-m=xcos x xsin 1)cos -(m x xcos 1)sin -(m x cos n m 12-2m m2-m m 2-m 2π0n +m +⋅+⎰dx =x cos x sin n m 1-m n2π2-m ⋅+⎰dx=n m 1-m +J(m-2,n).J(2m,2n)=n 22m 1-2n +J(2m,2n-2)=2)-2n n)(2m 2(2m 3)-1)(2n -(2n ++J(2m,2n-4)=…=!n)!2(2m !1)!-(2n +J(2m,0)=!n)!22m(2m !1)!-1)(2n -(2m +J(2m-2,0)=…=!n)!2(2m !2m!!1)!-(2n !1)!-(2m +J(0,0)=!n)!2(2m !2m!!1)!-(2n !1)!-(2m +·2π.9、证明：若在R +上f 为连续函数，且对任何a>0有： g(x)=⎰axx )t (f dt ≡常数, x ∈R +，则f(x)=xc , x ∈R +，c 为常数. 证：∵g(x)=⎰axx )t (f dt=⎰axa )t (f dt+⎰a x )t (f dt=⎰ax a )t (f dt-⎰xa )t (f dt ≡常数, ∴g ’(x)=af(ax)-f(x)=0. 即f(ax)=af (x). 记f(1)=c ，则f(a)=ac ，即f(x)=xc , x ∈R +.10、若f 为连续可微函数，试求：(1)⎰'-xa )t (f )t x (dxd dt ；(2)⎰-xt sin )t x (dx d dt. 解：(1)⎰'-x a )t (f )t x (dx d dt=⎰-xa)t x (dxddf(x)=dxd[(x-t)f(x)|x a -⎰xa)x (f d(x-t)]=dxd[af(a)-xf(a)+⎰x a )t (f dt]=f(x)-f(a). (2)⎰-x 0t sin )t x (dx d dt=-⎰-x0)t x (dxd dcost=- cosx+cos0=1-cosx.11、设y=f(x)为[a,b]上严格增的连续曲线(如图). 试证：存在ξ∈(a,b)，使图中两阴影部分面积相等.证法一：只需⎰ξa )x (f dx-f(a)(ξ-a)=f(b)(b-ξ)-⎰bξ)x (f dx ， 移项得⎰ξa )x (f dx+⎰bξ)x (f dx=f(b)(b-ξ)+f(a)(ξ-a)， 即⎰ba )x (f dx=f(b)(b-ξ)+f(a)(ξ-a).记g(x)=f(b)(b-x)+f(a)(x-a), x ∈[a,b]，则g(x)在[a,b]上连续. ∵g(b)=f(b)(b-b)+f(a)(b-a)<⎰ba )x (f dx <f(b)(b-a)+f(a)(a-a)=g(a)，根据连续函数的介值性知，存在ξ∈(a,b)，使g(ξ)=⎰ba )x (f dx ， 即⎰ba )x (f dx=f(b)(b-ξ)+f(a)(ξ-a)，得证. 证法二：只需))a (f )x ((f ξa ⎰-dx=-))b (f )x ((f bξ⎰-dx ，即⎰b a )x (f dx=f(a)⎰ξa dx +f(b)⎰bξdx . 对函数g(x)=1，f 单调增， 根据第二积分中值定理的推论，存在ξ∈[a,b]，使上式成立. 又当ξ=a 或ξ=b 时，显然结论不成立，∴ξ∈(a,b)，得证.12、设f 为[0,2π]上的单调递减函数. 证明： 对任何正整数n ，恒有⎰2π0f(x)sinnx dx ≥0.证：∵g(x)=sinnx 在[0,2π]上可积，f 在[0,2π]上单调递减， 根据第二积分中值定理的推论，存在ξ∈[0,2π]，使⎰2πf(x)sinnx dx=f(0)⎰ξ0sinnx dx+ f(2π)⎰2πξsinnx dx=-n 1f(0)cosnx|ξ0-n 1f(2π)cosnx|2πξ =-n 1f(0)cosn ξ+n 1f(0)-n 1f(2π) +n 1f(2π)cosn ξ=n1(f(0)-f(2π))(1-cosn ξ).又f(0)-f(2π)≥0，1-cosn ξ≥0，∴⎰2π0f(x)sinnx dx ≥0.13、证明：当x>0时，有不等式|⎰+cx x 2sint dt|<x1 (c>0). 证：令t 2=y ，则t=y ，dt=y21，y ∈[x 2,(x+c)2]，|⎰+cx x 2sint dt|=|⎰+22c)(x xy2siny dy|. ∵y21>0，且在[x 2,(x+c)2]上单调减，根据第二积分中值定理，存在ξ∈[x 2,(x+c)2]，使 |⎰+22c)(x x y2siny dy|=|⎰ξx2siny 2x1dy|=2x 1|cos ξ-cosx 2|<2x 1·2=x1.14、证明：若f 在[a,b]上可积，φ在[α,β]上单调且连续可微，φ(α)=a, φ(β)=b ，则有：⎰b a )x (f dx=(t)φ)φ(t)(f βα'⎰dt.证：∵φ在[α,β]上单调且连续可微，且φ(α)=a, φ(β)=b ， ∴(t)φ)φ(t)(f βα'⎰dt=⎰βα)φ(t)(f d φ(t)=⎰ba )t (f dt=⎰ba )x (f dx.。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.1.1) Riemann积分
一元微积分与数学分析—Riemann积分梅加强南京大学数学系问题1:不连续的函数能定义积分吗?问题1:不连续的函数能定义积分吗?问题1:不连续的函数能定义积分吗?问题1:不连续的函数能定义积分吗?例如,考虑函数f(x)=1/2,x∈[0,1/2), 1,x∈[1/2,1].f在区间[0,1]中有一个间断点.问题1:不连续的函数能定义积分吗?例如,考虑函数f(x)=1/2,x∈[0,1/2), 1,x∈[1/2,1].f在区间[0,1]中有一个间断点.1/211/21f(x)O x y它的图像和直线x=0,x=1以及y=0所围成的区域的面积还是存在的,f在[0,1]中的积分值自然应该定义为1/2·1/2+1·1/2=3/4,这是从面积的观点来看积分.它的图像和直线x=0,x=1以及y=0所围成的区域的面积还是存在的,f在[0,1]中的积分值自然应该定义为1/2·1/2+1·1/2=3/4,这是从面积的观点来看积分.我们也可以从函数的平均值出发考察积分.f在一半的区间上值为1/2,另一半的区间上值为1,它在整个区间中的平均值就应该等于(1/2+1)/2=3/4.它的图像和直线x=0,x=1以及y=0所围成的区域的面积还是存在的,f在[0,1]中的积分值自然应该定义为1/2·1/2+1·1/2=3/4,这是从面积的观点来看积分.我们也可以从函数的平均值出发考察积分.f在一半的区间上值为1/2,另一半的区间上值为1,它在整个区间中的平均值就应该等于(1/2+1)/2=3/4.从直觉上来看,当一个函数连续变化时,平均值应该是有意义的;如果函数变化太过剧烈,取平均值可能就没有什么意义.Riemann和设f是定义在闭区间[a,b]中的函数(不一定连续),考虑由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)围成的曲边梯形.我们想要计算它的面积,或者说定义f在[a,b]中的积分.受连续函数积分定义的启发,我们用小矩形的面积之和去逼近曲边梯形的面积.设f 是定义在闭区间[a ,b ]中的函数(不一定连续),考虑由直线x =a ,x =b ,y =0及曲线y =f (x )围成的曲边梯形.我们想要计算它的面积,或者说定义f 在[a ,b ]中的积分.受连续函数积分定义的启发,我们用小矩形的面积之和去逼近曲边梯形的面积.a b y =f (x )f (ξi )ξi O xy设f 是定义在闭区间[a ,b ]中的函数(不一定连续),考虑由直线x =a ,x =b ,y =0及曲线y =f (x )围成的曲边梯形.我们想要计算它的面积,或者说定义f 在[a ,b ]中的积分.受连续函数积分定义的启发,我们用小矩形的面积之和去逼近曲边梯形的面积.a b y =f (x )f (ξi )ξi O x y为此,设π:a =x 0<x 1<···<x n =b 为区间[a ,b ]的一个分割,当1≤i ≤n 时,任取ξi ∈[x i −1,x i ].记∆x i =x i −x i −1,称n i =1f (ξi )∆x i 为f 在[a ,b ]中的一个Riemann 和(积分和).Riemann积分的定义定义1(Riemann积分)设f如上.如果存在实数I,使得任给ε>0,均存在δ>0,当分割π的模满足 π <δ时,均有ni=1f(ξi)∆x i−I<ε,∀ξi∈[x i−1,x i],i=1,···,n,则称f在[a,b]中Riemann可积(简称可积),记为f∈R[a,b].I称为f在[a,b]中的Riemann积分(简称积分),记为b a f(x)d x=I=limπ →0ni=1f(ξi)∆x i,其中f称为被积函数,[a,b]称为积分区间,a,b分别称为积分下限与积分上限.命题1如果f∈R[a,b],则f必为[a,b]中的有界函数.命题1如果f∈R[a,b],则f必为[a,b]中的有界函数.证明.假设f在[a,b]中可积,沿用上面的记号,记I为其积分.在积分的定义中,取ε=1,此时存在相应的δ>0.取定正整数n>(b−a)/δ,对区间[a,b]作n等分,则b−anni=1f(ξi)−I<1,∀ξi∈[x i−1,x i],i=1,···,n.特别地,当1≤i≤n时,有|f(ξi)|<j=i |f(x j)|+nb−a(1+|I|),∀ξi∈[x i−1,x i].这说明f在每一小区间[x i−1,x i]中均为有界函数,从而是[a,b]中的有界函数.注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.以下我们只考虑有界函数.除了连续函数之外,还有哪些有界函数是可积的呢?注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.以下我们只考虑有界函数.除了连续函数之外,还有哪些有界函数是可积的呢? 按照定义,积分是Riemann和的某种极限.在研究一个变化量的极限时,我们可以考察变化量中的“最大”值和“最小”值.注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.以下我们只考虑有界函数.除了连续函数之外,还有哪些有界函数是可积的呢? 按照定义,积分是Riemann和的某种极限.在研究一个变化量的极限时,我们可以考察变化量中的“最大”值和“最小”值.“最大”值和“最小”值之间的差异叫做振幅.注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.以下我们只考虑有界函数.除了连续函数之外,还有哪些有界函数是可积的呢? 按照定义,积分是Riemann和的某种极限.在研究一个变化量的极限时,我们可以考察变化量中的“最大”值和“最小”值.“最大”值和“最小”值之间的差异叫做振幅.基本想法:一个变化的量趋于某个极限时,其振幅趋于零;反之亦然.Darboux 上和与Darboux 下和给定分割π,f 在[x i −1,x i ]中的上确界和下确界分别记为M i ,和m i ,令S π(f )=ni =1M i ∆x i ,s π(f )=n i =1m i ∆x i ,我们称S π(f )为f 关于π的Darboux 上和(简称上和),而s π(f )称为Darboux 下和.O y x O yx引理1设分割π 是从π添加k个分点得到的,则有Sπ(f)≥Sπ (f)≥Sπ(f)−(M−m)k π ,sπ(f)≤sπ (f)≤sπ(f)+(M−m)k π ,其中M,m分别是f的上确界和下确界.特别地,往给定的分割增加新的分点时,下和不减,上和不增.引理1设分割π 是从π添加k个分点得到的,则有Sπ(f)≥Sπ (f)≥Sπ(f)−(M−m)k π ,sπ(f)≤sπ (f)≤sπ(f)+(M−m)k π ,其中M,m分别是f的上确界和下确界.特别地,往给定的分割增加新的分点时,下和不减,上和不增.证明.以k=1例.设新添加的分点¯x∈(x j−1,x j).则Sπ (f)−Sπ(f)=M j(¯x−x j−1)+M j(x j−¯x)−M j∆x j这里Mj 和Mj分别是f在区间[x j−1,¯x]和[¯x,x j]中的上确界.证明(续).由m≤Mj ,Mj≤M j≤M可得0≤Sπ(f)−Sπ (f)=(M j−M j)(¯x−x j−1)+(M j−M j)(x j−¯x)≤(M−m)(¯x−x j−1)+(M−m)(x j−¯x)=(M−m)∆x j≤(M−m) π .下和的情形可类似地证明.证明(续).由m≤Mj ,Mj≤M j≤M可得0≤Sπ(f)−Sπ (f)=(M j−M j)(¯x−x j−1)+(M j−M j)(x j−¯x)≤(M−m)(¯x−x j−1)+(M−m)(x j−¯x)=(M−m)∆x j≤(M−m) π .下和的情形可类似地证明.推论1对于任意两个分割π1及π2,均有sπ1(f)≤Sπ2(f).证明(续).由m≤Mj ,Mj≤M j≤M可得0≤Sπ(f)−Sπ (f)=(M j−M j)(¯x−x j−1)+(M j−M j)(x j−¯x)≤(M−m)(¯x−x j−1)+(M−m)(x j−¯x)=(M−m)∆x j≤(M−m) π .下和的情形可类似地证明.推论1对于任意两个分割π1及π2,均有sπ1(f)≤Sπ2(f).证明.用π1∪π2表示将π1和π2的所有分点合并后得到的分割,则由刚才的引理即得sπ1(f)≤sπ1∪π2(f)≤Sπ1∪π2(f)≤Sπ2(f).定理1(Darboux)lim π →0Sπ(f)=infπSπ(f),limπ →0sπ(f)=supπsπ(f).定理1(Darboux)lim π →0Sπ(f)=infπSπ(f),limπ →0sπ(f)=supπsπ(f).证明.任给ε>0,存在分割π ,使得Sπ (f)<infπSπ(f)+ε/2.设π 有k个分点.任给另一分割π,π∪π 至多比π多k个分点.由引理1可得Sπ(f)−(M−m)k π ≤Sπ∪π (f)≤Sπ (f)<infπSπ(f)+ε/2.于是,当 π <ε2(M−m+1)k时,infπSπ(f)≤Sπ(f)<infπSπ(f)+ε,这就证明了上和的极限等式.下和的极限同理可证.上积分和下积分定理1(Darboux)lim π →0Sπ(f)=infπSπ(f),limπ →0sπ(f)=supπsπ(f).证明.任给ε>0,存在分割π ,使得Sπ (f)<infπSπ(f)+ε/2.设π 有k个分点.任给另一分割π,π∪π 至多比π多k个分点.由引理1可得Sπ(f)−(M−m)k π ≤Sπ∪π (f)≤Sπ (f)<infπSπ(f)+ε/2.于是,当 π <ε2(M−m+1)k时,infπSπ(f)≤Sπ(f)<infπSπ(f)+ε,这就证明了上和的极限等式.下和的极限同理可证.我们称infπSπ(f)为f在[a,b]中的上积分,supπsπ(f)为f在[a,b]中的下积分.。
数学分析与微积分基础
数学分析与微积分基础数学分析和微积分是数学的两个重要分支，其应用广泛，在科学、工程、经济学等领域有着重要的地位。
本文将从基础概念、定义、定理、证明以及应用等方面对数学分析和微积分进行简要介绍。
一、数学分析的基础概念1.函数的概念：在数学中，函数是对两个数集之间的一种特殊关系的描述，它一般表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量，自变量和因变量之间有着一一对应的关系。
2.极限的概念：极限是一种函数趋于某个特定值的数学概念，其定义为当自变量x在趋近于某个数时，函数f(x)的取值在趋近于一个确定的值L。
3.连续的概念：在数学中，连续是一个函数在某一点处的取值和它在这个点的极限相等的概念。
换句话说，如果一个函数在某个点的限制是连续的，那么这个函数在这个点就连续。
二、微积分的基础概念1.导数的概念：在微积分中，导数是描述函数变化率的一种指标，它可以用来描述一个函数在某一点的变化情况。
导数的定义为f'(x) = lim x→0 (f(x+h)-f(x))\/h。
2.积分的概念：在微积分中，积分是一种数学运算，用于求函数之间的面积、体积、平均值等。
可以将积分看作是导数的反运算。
3.微分方程的概念：微分方程是一种描述自变量和因变量之间变化关系的数学表达式。
微分方程的求解常常要用到微积分和数学分析的知识。
三、数学分析和微积分的定理与证明1.拉格朗日中值定理：说的是两个点之间函数在这两个点之间某个点上的导数等于这两点的函数值的差除以它们之间的距离。
2.柯西中值定理：柯西中值定理主要用于证明拉格朗日中值定理。
它说的是如果一个函数在两点之间连续并且可导，那么它在这两点之间有一个点，函数在这个点的导数等于这两点之间的斜率。
3.泰勒定理：泰勒公式是指函数在某一点的展开式，通过泰勒公式可以将一个函数在某一点的高阶导数用0阶导数表示出来。
泰勒定理在微积分中有着广泛应用，在求解微分方程、逼近函数、分析函数曲线等方面具有重要作用。
高三数学数学分析与微积分知识点详细讲解
高三数学数学分析与微积分知识点详细讲解高三数学分析与微积分知识点详细讲解高三数学是高中数学学习的重要阶段，其中数学分析与微积分是高三数学的重点和难点。
本文将对高三数学中的数学分析与微积分知识点进行详细讲解，帮助大家更好地理解和掌握这些概念和方法。
数学分析概述数学分析是研究函数、极限、微分、积分等数学基础概念和性质的学科。
它包括微分学、积分学、级数理论和常微分方程等内容。
数学分析不仅是数学专业的基础课程，也是其他学科的重要工具。
极限与连续性极限是数学分析的基础概念之一。
它描述了当自变量趋近于某一值时，函数值的变化趋势。
极限的定义是：如果函数f(x)在x趋近于a时，其值趋近于L，那么称f(x)在x=a处极限为L。
连续性是极限的一个重要应用。
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，那么称该函数在这一点连续。
连续性是函数重要的性质之一，它保证了函数在某一点的函数值与极限值相等。
微分学是数学分析的核心内容之一。
它研究了函数在某一点的切线斜率，即导数。
导数的定义是：函数f(x)在x=a处的导数等于函数在这一点的切线斜率。
微分学的应用非常广泛，它可以用来求解函数的极值、拐点、单调性等问题。
此外，微分学还可以用来求解微分方程，这是物理学和工程学中常见的问题。
积分学是微分学的逆运算。
它研究了求解函数图像与坐标轴之间区域的面积。
积分可以分为不定积分和定积分两种。
不定积分是函数的原函数，它包含了所有可能的定积分。
定积分则表示函数在某一区间上的累积面积，它可以用来求解物理中的位移、速度等问题。
级数理论级数是数学分析中的重要内容之一。
它是由无穷多个数项按照一定规律排列而成的序列。
级数的研究主要包括收敛性和发散性。
收敛级数有界，发散级数无界。
级数的重要性质是收敛性与函数的连续性有关。
如果一个函数在某一点的极限为零，那么以该函数为项数的级数在该点收敛。
常微分方程常微分方程是描述自然界和工程技术中未知函数及其导数之间关系的方程。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.3.1) Riemann积分的基本
b
f (x)g(x) dx
a
b
= [fn(x) − f (x)]g(x) dx
a
b
≤ M |fn(x) − f (x)| dx ≤ M/n,
a
这说明 (2) 式成立.
分段线形逼近
命题 4 (分段线性逼近) 设 f ∈ R[a, b], 则存在一列连续的分段线性函数 fn, 使得 fn(a) = f (a), fn(b) = f (b),
一元微积分与数学分析
— Riemann 积分的基本性质
梅加强
南京大学数学系
积分的基本性质
推论 1
(1) 设 [α, β] ⊂ [a, b], 如果 f 在 [a, b] 中可积, 则 f 在 [α, β] 中也可积. (2) 设 c ∈ (a, b), 如果 f 在 [a, c] 及 [c, b] 中都可积, 则 f 在 [a, b] 中也可积, 且
b
lim
n→∞
a
|fn(x) − f (x)| dx = 0,
(1)
且每一个 fn 均介于 f 的上下确界之间. 此时, 任给 g ∈ R[a, b], 还有
b
b
lim
n→∞
a
fn(x)g(x) dx =
a
f (x)g(x) dx.
(2)
阶梯逼近
命题 3 (阶梯逼近) 设 f ∈ R[a, b], 则存在一列阶梯函数 fn, 使得
当 |g| 有正下界时, 不妨设 |g| ≥ m > 0. 此时, 由 1/g(x) − 1/g(y )
=
|g (x )−g (y )| |g (x )g (y )|
可
得 ωi (1/g) ≤ m−2ωi (g), 由此可知 1/g 可积, 于是 f /g = f · (1/g) 可积.
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 7 第七章拾遗 (7.4.1) 上极限和下极限
比如
nl→im∞(an
+
bn)
≤
lim
n→∞
an
+
lim
n→∞
bn.
这可由
an + bn ≤ an + bn 以及下一条性质得出. 下极限类似.
如果当
n
>
N0
时
an
≥
bn,
则
lim
n→∞
an
≥
lim
n→∞
bn,
lim
n→∞
an
≥
lim
n→∞
bn.
以上极限
为例, 这可由 an ≥ bn 以及极限的保序性得出.
不过保序性仍然成立,
比如
nl→im∞(an
+
bn)
≤
lim
n→∞
an
+
lim
n→∞
bn.
这可由
an + bn ≤ an + bn 以及下一条性质得出. 下极限类似.
如果当
n
>
N0
时
an
≥
bn,
则
lim
n→∞
an
≥
lim
n→∞
bn,
lim
n→∞
an
≥
lim
n→∞
bn.
以上极限
为例, 这可由 an ≥ bn 以及极限的保序性得出.
上下极限
易见 {an} 和 {an} 分别是单调递增和单调递减的数列, 且 an ≤ an ≤ an.
上下极限
易见 {an} 和 {an} 分别是单调递增和单调递减的数列, 且 an ≤ an ≤ an.
微积分数学分析范文
微积分数学分析范文微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
数学分析又称高级微积分，分析学中最古老、最基本的分支。
一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础的一个较为完整的数学学科。
它也是大学数学专业的一门基础课程。
数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。
它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。
这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。
延伸阅读学生学习分数加减法有什么意义分数加减法的含义：分数加减法，只是分子进行加减，分母不变。
分数减法同整数的减法意义一样，分数减法是分数加法的逆运算，即：已知两个分数的和与其中一个分数，求另一个分数的运算，叫做分数的减法。
如果存在一个分数某/y，使某/y与c/d的和等于a/b，那么，某/y 叫做分数a/b与c/d的差，记作：a/b-c/d=某/y。
异分母分数相加，先通分，即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数，改变其分数单位而大小不变，再按同分母分数相加去计算，最后能约分的要约分。
大学英语四级怎么计算分数的计分规则:1、写作，作文分数占总分的15%，即106.5分，要达到63.9分为及格；2、听力理解，听力部分占总分的35%，即248.5分，在这部分的及格分为149.1分。
听力题客观25%占177.5分，每个7.1分，要做对15个，达到106.5分为及格；：10%占71分，每空7.1分，达到42.6分为及格；3、阅读理解，选词填空占5%，即35.5分，每空3.55分，要做对6个，达到21.3分为及格；长篇阅读占10%，即71分，要做对6个，达到42.6分为及格；仔细阅读理解占20%，即142分，每个14.2分，做对6个，达到85.2分为及格；总分数为248.5分，在这部分要达到149.1分为及格分；4、翻译，占总分的15%，即106.5分，在这部分要达到63.9分为及格。