高级中学圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)规律技巧窍门情况总结

八、圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122

2

21=+PF PF （答：

C ）；

（2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离

间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q 及抛物线4

2

x y =上一动点

P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时122

22=+b y a x （0a b >>）⇔{

cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），

焦点在y 轴上时22

22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠

0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。如（1）已知方程1232

2=-++k

y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____

（答：11

(3,)(,2)22

---U ）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最

小值是___2）

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22

22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程

22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。如（1）双曲线的离心率5

22y x 2

x

在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时

22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x 2

,y 2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程1

2122=-+-m

y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2

3

,1()1,(Y --∞）

（2）双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦

点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中

长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c

e a =，椭圆⇔01e <<，e

越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆1522=+m

y x 的离心率510

=

e ，则m 的值是__（答：3或

3

25

）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）

（2）双曲线（以22

221x y a b

-=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两

个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实

2

2

,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c

e a

=，双曲线⇔1e >，等轴双曲线

⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b

y x a

=±。如（1）双曲线的渐

近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______2或3

）；（2）双曲线221ax by -=

，则:a b =

（答：4或1

4）；（3）设双曲线12222=-b

y a x （a>0,b>0）中，离心

率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：[,]32

ππ

）；

（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2

p

，其中p

的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2

p x =-

； ⑤离心率：c

e a =，抛物线⇔1e =。如设R a a ∈≠,0，则抛物线2

4ax y =的焦点坐标为________（答：)161,0(a

）；

5、点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔22

00221x y a b +>；

（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b

y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔22

00

221x y a b +<

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个

不同的交点，则k 的取值范围是_______（答：(-315,-1)）；（2）直线y ―kx ―1=0与椭圆22

15x y m

+

=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）过双曲线12

12

2=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；

（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；

（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。

特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。