第七章 法的要素 A
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第七章 复数 知识点汇总及解题规律方法提炼
第七章 复数7．1.1 数系的扩充和复数的概念1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1． (2)复数集全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }叫做复数集． (3)复数的表示方法复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ.(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．典型应用1 复数的概念下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集． 其中正确的命题是( ) A ．① B ．② C ．③D ．④【解析】 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒] 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i 的性质． 典型应用2 复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i ：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】 (1)当⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. 典型应用3 复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________． 【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，所以⎩⎨⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎨⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2. 【答案】 (1)A (2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．7．1.2 复数的几何意义1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →. ■名师点拨(1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.(2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数．(3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写．3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|■名师点拨如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．(3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i ． ■名师点拨复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z －＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称．典型应用1复数与复平面内的点已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．(1)在实轴上； (2)在第三象限．【解】 (1)若z 对应的点在实轴上，则有 2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎨⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12. 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.[变条件]本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值． 解：若z 对应的点(a 2－1，2a －1)在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．典型应用2复数与复平面内的向量在复平面内，复数i ，1，4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C .求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．【解】 法一：由复数的几何意义得A (0，1)，B (1，0)，C (4，2)，则AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知该点也是BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，所以⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，即点D 的坐标为(3，3)，所以点D 对应的复数为3＋3i. 法二：由已知得OA→＝(0，1)，OB →＝(1，0)，OC →＝(4，2)， 所以BA→＝(－1，1)，BC →＝(3，2)， 所以BD→＝BA →＋BC →＝(2，3)，所以OD →＝OB →＋BD →＝(3，3)， 即点D 对应的复数为3＋3i.复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．典型应用3 复数的模(1)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i 且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．a <－1或a >1C ．a >1D ．a >0(2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 在复平面内对应点的集合是( )A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆【解析】 (1)由题意得a 2＋22<（－2）2＋12，即a 2＋4<5(a ∈R )，所以－1<a <1.(2)由题意知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1， 因为|z |≥0，所以|z |＝3，所以复数z 在复平面内对应点的集合是1个圆． 【答案】 (1)A (2)A求解复数的模的思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．7．2 复数的四则运算7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义1．复数加、减法的运算法则及加法运算律 (1)加、减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ．(2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． ■名师点拨两个复数相加就是这两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加．对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形．2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→.典型应用1复数的加、减法运算(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2. 【解】 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i ＝－1＋10i.解决复数加、减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．典型应用2复数加、减法的几何意义已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i.(1)求AO→表示的复数； (2)求CA→表示的复数． 【解】 (1)因为AO→＝－OA →，所以AO→表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)因为CA→＝OA →－OC →，所以CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.1．[变问法]若本例条件不变，试求点B 所对应的复数．解：因为OB→＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B 所对应的复数为1＋6i.2．[变问法]若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数． 解：由题意知，点M 为OB 的中点，则OM →＝12OB →，由互动探究1中知点B 的坐标为(1，6)，得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以点M 对应的复数为12＋3i.复数加、减法几何意义的应用技巧(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．7．2.2 复数的乘、除运算1．复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数乘法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有对复数乘法的两点说明(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i 2换成－1)．(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用． 2．复数除法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．■名师点拨对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 典型应用1 复数的乘法运算(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝( )A ．1＋3iB ．－1＋3i C.3＋iD ．－3＋i(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i(3)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选B.(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由已知得，(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知， 解得a ＝2，b ＝1，所以z＝2＋i.复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋b i)2＝a2＋2ab i＋b2i2＝a2－b2＋2ab i，(a＋b i)3＝a3＋3a2b i＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i.典型应用2复数的除法运算计算：(1)（1＋2i）2＋3（1－i）2＋i；(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i3＋4i.【解】(1)（1＋2i）2＋3（1－i）2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i（2－i）5＝15＋25i.(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i3＋4i＝5－3i＋2＋4i3＋4i＝7＋i3＋4i＝（7＋i）（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝21－28i＋3i＋425＝25－25i25＝1－i.复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．典型应用3i的运算性质(1)复数z＝1－i1＋i，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为()A．1 B．－1C ．iD ．－i(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019等于________． 【解析】 (1)z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 019＝i 2 019＝(i 4)504·i 3＝1504·(－i)＝－i.【答案】 (1)B (2)－i(1)i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度．①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i. ③1i ＝－i.典型应用4在复数范围内解方程在复数范围内解下列方程．(1)x 2＋5＝0；(2)x 2＋4x ＋6＝0.【解】 (1)因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5，又因为(5i)2＝(－5i)2＝－5，所以x ＝±5i ，所以方程x 2＋5＝0的根为±5i.(2)法一：因为x 2＋4x ＋6＝0，所以(x ＋2)2＝－2，因为(2i)2＝(－2i)2＝－2，所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ，即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， 则(a ＋b i)2＋4(a ＋b i)＋6＝0，所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，整理得(a 2－b 2＋4a ＋6)＋(2ab ＋4b )i ＝0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0，又因为b ≠0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0，解得a ＝－2，b ＝± 2.所以x ＝－2±2i ，即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求解方法(1)求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac 2a. ②当Δ<0时，x ＝－b ±－（b 2－4ac ）i 2a. (2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x ＝m ＋n i(m ，n ∈R )，将此代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．7．3* 复数的三角表示1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线(射线OZ →)为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z .r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．■名师点拨(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则(1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)z 1z 2＝r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．典型应用1复数的代数形式与三角形式的互化角度一 代数形式化为三角形式把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ； (2)2－2i.【解】 (1)r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限，所以cos θ＝32，即θ＝π6，所以3＋i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.(2)r ＝2＋2＝2，cos θ＝22，又因为2－2i 对应的点位于第四象限，所以θ＝7π4.所以2－2i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.复数的代数形式化三角形式的步骤(1)先求复数的模．(2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角．(4)求出复数的三角形式．[提醒] 一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．角度二 三角形式化为代数形式分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．(1)4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6； (2)32(cos 60°＋isin 60°)；(3)2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3. 【解】 (1)复数4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6的模r ＝4，辐角的主值为θ＝π6. 4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6 ＝4×32＋4×12i ＝23＋2i. (2)32(cos 60°＋isin 60°)的模r ＝32，辐角的主值为θ＝60°.32(cos 60°＋isin 60°)＝32×12＋32×32i＝34＋34i.(3)2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π. 所以复数的模r ＝2，辐角的主值为53π.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π ＝2×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32i ＝1－3i.复数的三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．典型应用2复数三角形式的乘、除运算计算：(1)8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π； (2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；(3)4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4. 【解】 (1)8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝163＋16i.(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°)＝62⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i＝3－34＋3＋34i.(3)4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝22－22i.(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．(2)除法法则：模相除，辐角相减．(3)复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角的n 倍．典型应用3复数三角形式乘、除运算的几何意义在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．【解】 因为3－3i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π所以23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝23⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 ＝3＋3i ， 23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π＋isin 32π ＝－23i.故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ→，OZ →表示的复数就是积z 1z 2.。
法的基本要素
法的基本要素
“法的基本要素”
法律是社会秩序的基石，是保障人们权益的重要工具。
了解法律的基本要素对于每个公民来说都是至关重要的。
在法律的世界里，有几个基本要素是必不可少的。
首先，法律的基本要素包括立法、执法和司法。
立法是指国家机关通过制定法律来规范社会行为的过程。
执法是指政府机构通过执行法律来维护社会秩序和保护公民权益。
司法是指通过法院审判来解决法律纠纷和制裁违法行为。
这三个要素相互作用，共同构成了法治社会的基础。
其次，法律的基本要素还包括公正、公平和公开。
公正是指法律的适用应当不偏不倚，对所有人都一视同仁。
公平是指法律的适用应当基于客观事实和平等原则，不偏袒任何一方。
公开是指法律的适用应当对社会公众透明公开，让人们了解法律的适用和执行情况。
此外，法律的基本要素还包括权利、义务和责任。
权利是指法律赋予人们的享有自由和利益的权力。
义务是指人们在社会中应当履行的责任和义务。
责任是指人们在违反法律时应当承担的责任和后果。
总的来说，法律的基本要素是社会秩序的基础，是人们权益的保障。
了解并遵守法律的基本要素对于每个公民来说都是非常重要的。
只有通过了解法律的基本要素，我们才能更好地维护自己的权益，遵纪守法，建设一个和谐、稳定和公正的社会。
第七章 教会法
五、刑法与刑罚 基督教教义认为，每个人自降生时就有原始
的罪孽，因此人们必须通过虔诚的忏悔洗刷罪孽。 因此，教会法对于“罪”的理解与世俗法并不相
同。 公元11世纪，教会法厘清了宗教罪孽与世俗犯罪 的区别，规定唯有教会法庭才可以对宗教罪孽行 使管辖权，世俗法庭则无权干涉此类案件。教会 法将宗教罪孽区分为一般罪孽和刑事罪孽，后者 即教会法意义上的犯罪。
二、土地制度 中世纪的罗马天主教会拥有大量地产，鼎盛时
期甚至占据西欧接近1/3的土地，是超过任何世俗 国家的最大的封建主。教会地产主要来源于世俗有 产者的赠与。由于教会在政治领域占有特殊的权威 地位，因此封建王国的君主和贵族为了获得教会对 自己的承认和庇佑，甘愿将大量地产无偿赠与教 会，并且免征赋税。
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第四节 教会法的历史地位和影响
一、教会法是封建性质的宗教法 二、教会法是通行西欧的统一法 三、教会法是西方法律文化的承启者
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六、诉讼制度 教会法庭是基督教教会设立的独立于世俗法
院之外的专门处理宗教纠纷以及涉宗教事务的司 法机构。教会法规定，仅教会法庭有权对基督教 教徒加以审判，而教会法庭除了基督教教徒之 外，也可以对异教徒加以审判，这就使得教会法 庭几乎可以对当时欧洲的所有人行使司法管辖权。 实际上，教会法庭还垄断着对案件性质的解释 权，凡是对教会有利可图的案件，教会法庭都尽 可能将其解释为涉教案件，以争取对该案件加以 管辖。
四、婚姻、家庭与继承制度 婚姻、家庭和继承制度涉及人类生活的基本需
求，因而这些制度易于演变为人们在日常生活中自 然因循的习惯。教会法对婚姻、家庭和继承有着较 为严格的规定，由于这些规定在中世纪西欧各地长 期通行，甚至已经以习惯的形式融入了西方文明的 血液，因而中世纪教会法对近代西方国家的婚姻家 庭法和继承法发生了深远的影响。
定性研究方法 第七章 内容分析法
一、什么是内容分析
❖ 解释性。内容分析的目的在于分析和解释定性资料中所包含和隐含的主题、规则、观念及 意义。作为一种定性资料分析方法，内容分析的对象既可以是定性访谈的记录材料，也可 以是观察记录，还可以是通过田野工作获得的音像资料、文件材料和档案资料等。内容分 析就是通过对这些记录资料的系统检查，揭示关于研究对象的系统认识。
❖ 内容分析包括显性内容分析和潜性内容分析。显性内容分析就是再现或重新组织资料自身 所呈现的内容。潜性内容分析则是分析资料所隐含的潜在意义、规律和意识，也即分析显 性内容的深层结构及意义。内容分析的分析单位主要包括：语词或术语；主题；人物；段 落；项目；概念；语义。范畴分析是一种对民族志调查资料进行内容分析的综合性方法。 范畴一般包括三种类型：民间范畴；混合范畴；分析范畴。
本章要点
❖ 叙述分析是通过对叙述材料基本内容的分析，揭示叙述者是如何在所叙述的经历中建构意义的， 以及这种个人的意义建构过程又是如何与社会世界联系起来的。叙述分析有两条基本脉络：故事 和情节。故事分析要抓住三个要素：人物、情景和关系。口述史方法已发展成为社会科学的一种 重要研究方法，口述史分析的侧重点应置于时间性、主体性、建构性以及象征与解释性上。现象 学分析是一种以现象学认识论和方法论为基础而创立的分析方法，主要有 “存而不论”“现象学 递减”和 “结构综合”三个步骤。图式是指一种由解释的文化编码、动机词汇、逻辑和价值系统 构成的思想基础工具，社会行动或互动正是通过在一定场景中对这些图式的创造和运用而产生的。 图式分析是通过揭示社会行动中人们所创造和运用的图式来理解它们的意义。事件-过程分析的主 要内容包括：（1）事件结构分析； （2）动态过程分析；（3）事件-过程相互性分析。
第七章 内容分析法
目录
第七章 化归、反演、模型方法
4 而 sin x cos x 1 sin x cos x 2 1 1 (t 2 1), 2 2
a 2 at 于是, y=f(t)
1 1 2 1 2 (t a ) a . 2 2 2
1 2 1 1 (t 1) t 2 at a 2 2 2 2
四、等与不等的转化与化归 例4 若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都 有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2，且f(1)=1，则 f(2010)= . 思维启迪 通过两个不等关系,转化为f(x+1)= f (x)+1这个等量关系. 解 ∵f(x+1)≤f(x+3)-2≤f(x)+3-2=f(x)+1,
ax4+bx2+c=0(a≠0)
通过换元，化归为一元二次方程就是将该问 题模式化，规范化。
化归方法包括三个要素： 化归对象------即把什么东西进行化归；
化归目标-------即化归到何处去；
化归途径-------如何进行化归。
上面所举的例子中，
化归的对象----双二次方程； 化归的目标----一元二次方程；
1 或x 8, 2
∴x的取值范围是 (0, 1 ) (8, ).
2
二、正难则反的转化与化归
例2 已知三条抛物线：y=x2+4ax-4a+3, y=x2+(a1)x+a2, y=x2+2ax-2a 中至少有一条与x轴相交，求
实数a的取值范围.
思维启迪 三条抛物线中至少有一条与 x 轴相交 的情况比较多，反面为三条抛物线与x轴都不相 交，只有一种情况. 解 令y=0，由
现代汉语语法学第七章关于层次分析法及有关问题
一、现代汉语句法结构的基本类型 二、句法结构的扩展和替换 三、句法结构的层次性和层次分析法
（一）句法结构的层次性 一个句法结构是由若干个词组成 的一个序列，这个序列表面上呈线性 状态。其实，它的内部组织是有层次 性的。它是由小到大，有密到疏，有 层次地进行组合的。句法结构的这种 一层一层地组合起来的特点，就是句 法结构的层次性。
（一）句法组合的层次性 （二）层次分析法 （三）对汉语一些特殊结构的处理 多数短语可以一分为二，采用二分 法分析，但有些短语要用多分法。例 如联合结构、连谓结构、兼语结构、 双宾语结构等。
（一）句法组合的层次性 （二）层次分析法 （三）对汉语一些特殊结构的处 理 （四）广义同构和狭义同构
1、狭义同构 两个或两个以上的句法结构，如果满足 一下条件：（1）语法形式的长度相同；（2） 包含的词的词类都相同；（3）词的排列顺 序都相同；（4）层次构造相同，或者说同 模；（5）相对应的成分的语法功能相同。 那么，我们说这两个句法结构是狭义同构。
（2）局限性： ①层次分析法无法揭示句法结 构内部的深层语义关系。例如： 鸡不吃了 |_||_____| 主谓关系 |_||_| 状中关系 ②不易于归纳句型，对长句较 难检查出毛病。
一、现代汉语句法结构的基本类型 二、句法结构的扩展和替换 替换——在既定的语境里，一个语法形 式可用另一个较复杂或较简单的语法形式替换， 替换后整个组合的结构和功能不变。 替换形式的长度等于或超过被替换形式的 长度又叫扩展。 替换形式的长度短于被替换形式的长度又 叫紧缩。 实际上，扩展和紧缩可以统一在替换的基 础上。期间的关系如图所示：（P123页）
2、分析过程主要包括两个内容 （1）切分：是解决一个结构的直接组成成分 有哪些； （2）定性：解决切分所得的直接组成成分之 间在句法上是什么关系。 具体步骤： （1）找出两个最大的直接组成成分，确定这 两部分是什么关系； （2）用同样的方法分析这两大部分，找出它 们各由哪两个部分组成，又分别是什么关系； （3）逐层切分下去，直至分析出每个实词； （4）一般采用从左到右、从上到下、逐块切 分的分析步骤。
第7章 配位平衡和配位滴定法
本章主要内容： 第一节 配位化合物的基本概念 第二节 配位平衡 第三节 配位滴定法
配位化合物的生物医药应用
实验
CuSO4溶液 适量氨水
(浅蓝色)
乙醇
[Cu(NH3)4]SO4晶体
(深蓝色)
Cu2(OH)2SO4
↓
过量氨水
(蓝色)
[Cu(NH3)4]2+
(深蓝色)
N
N
N
N
名称 草酸根
乙二胺
邻菲罗啉
联吡啶 乙二胺 四乙酸
缩写符号 (OX) (en)
(o-phen) (bpy)
(H4edta)
CH2 H2N
CH2 NH2
NN
乙二胺(en）
联吡啶(bpy)
O O 2–
N
N
1,10-二氮菲（邻菲咯啉）
CC
O• •
O• •
C2O42-
3.配体数和配位数
配体数：配合物中配体的总数 配位数：与中心原子结合成键的配位原子的数目 单基配体形成的配合物：
配体命名顺序
同类配体中配位原子相同，较少原子数的配体在前， 较多原子数的配体列后
例：[Pt(NH3)2 (NH2OH)NO2]Cl 氯化一硝基 ·二氨·一羟胺合铂(Ⅱ)
配离子为阴离子，则在配离子与外界阳离子之间用
“酸”字连接；若外界为氢离子，则在配离子之后缀以
“酸”字，即“某酸”。
K[Al(OH)4]
1、配合物的命名顺序 内外界顺序与一般无机化合物的命名原则相同。 阴离子名称在前，阳离子名称在后。
2、内界（配离子）的命名顺序
配体数
配体名称
合
（汉字数字） （不同配体间用圆点·分开）
现代汉语语法学第七章关于层次分析法及有关问题
（一）句法组合的层次性 （二）层次分析法 （三）对汉语一些特殊结构的处 理 （四）广义同构和狭义同构 （五） 对两种分析法的评论 1、中心词分析法
（1）基本原则
①句子分析就是分析一个句子（单句） 的句子成分。句子成分有六种——主语、 谓语、宾语、定语、状语、补语。 ②词与句子成分发生直接关系，短语 中只有联合短语和主谓短语可以直接充当 句子成分。
（2）局限性： ①层次分析法无法揭示句法结 构内部的深层语义关系。例如： 鸡不吃了 |_||_____| 主谓关系 |_||_| 状中关系 ②不易于归纳句型，对长句较 难检查出毛病。
（4）中心词分析法的局限性： ①应用范围有限。 ②忽视句法构造的层次性。 ③语义理解容易偏差 。 ④ 短语在句中的位置没有了。
一、句法组合的层次性 二、层次分析法 三、对汉语一些特殊结构的处理 四、对两种分析法的评论 1、中心词分析法 2、层次分析法
（1）优越性： ①注意到了句子构造的层次 性； ②有效地分化了歧义句； ③有一贯性。
一、现代汉语句法结构的基本类型 二、句法结构的扩展和替换 三、句法结构的层次性和层次分析法
（一）句法结构的层次性 一个句法结构是由若干个词组成 的一个序列，这个序列表面上呈线性 状态。其实，它的内部组织是有层次 性的。它是由小到大，有密到疏，有 层次地进行组合的。句法结构的这种 一层一层地组合起来的特点，就是句 法结构的层次性。
（一）句法组合的层次性 （二）层次分析法 1、什么是层次分析法 层次分析法就是逐层顺次找出某一语言 片断（包括短语和句子）的直接组成成分的 一种方法。又叫直接组成成分分析） 我们利用层次分析法把一个语言片段分 出许许多多的大小不同的片段，如果把一个 大片断包含的小片断叫做“成分”；小片断合 成的大片断叫做“组合”。
第七章 观察法
从研究者在观察中扮演的角色来说，又可分为参与观察和非参与观察。参与观察是指研究者参加到被研究对象的活动之中进行观察。这类观察可采取两种形式：一种是隐蔽观察，及参加到各种活动中却不暴露自己的身份。目的是不影响被观察者的行为和语言；另一种是非隐蔽性的参与观察，这种观察是对被研究对象不隐匿自己研究调查者的身份，并通过对方的支持，尽可能地为研究者提供方便，是研究者较充分地掌握资料。非参与观察是指研究者不介入被研究对象的活动，而是作为局外人，通过观察，来收集所需要的资料。这种观察完全不影响被观察者的行为和语言。
三、观察法的基本原则和要求
原则：全方位原则，在运用观察法进行社会调查时，应尽量以多方面、多角度、不同层次进行观察，搜集资料；求实原则，观察者必须注意，密切注意各种细节，详细做好观察记录，确定范围，不遗漏偶然事件，积极开动脑筋，加强与理论的联系。
2. 有结构观察和无结构观察
从研究者的观察方式来划分，可分为结构性观察和无结构性观察。结构性观察在于预先设计出观察指标；无结构性观察指研究者不预先设计出观察题目，也不专门谈就某一行为，而是观察和记录在研究对象本身及其周围所发生的一切事件。
二、有结构观察的程序
有结构观察对于记录的要求比较严格，因此一般来说它不采用参与观察法。
有结构观察的程序包括三个阶段：
1. 准备阶段：拟定调查提纲；确定观察总体范围；确定要观察的社会现象和具体项目；确定观察对象；制定科学的观察表格。
2. 实施阶段。
此阶段主要的任务是完成观察记录。记录有两种：一种是文字记录，它要求简洁、清除、准确。
3. 检验阶段。
此阶段是对观察结果信度和效度的检验。许多研究这常常采用多种观察方式来检验效度和信度。
《社会研究方法》讲义教案第7章实验法
配方法至少有两个优点：①在匹配方法中我们很难就哪些变量是“重要变量”达到认同；②大多数统计技术都是用来分析随机化实验的结果的。如果不这样做，实验结果就很难用这些统计方法来加以分析。
7.3 常用实验设计
在社会研究中使用实验法，实验者所面临的问题是错综复杂的，这样一来，就有了对实验的不同设计。设计不同，能够排除的非实验刺激的影响也有所不同。下面我们来讨论几个常见的实验设计，从中我们可以具体体会到控制组是如何起到排除非实验刺激影响的作用的。
如果一个实验，除了研究者所操纵的实验变量外，还有如下干扰因素对因变量起作用，使实验结果无法得到正确解释，则该项实验的内在效度就比较差。在社会研究中使用实验法，由于实验者和实验对象都是有意识的人，所以影响内在效度的因素主要是：①社会现象和社会行为的因果关系很复杂，影响因素很多，对这些变量很难实施控制。②对社会因素很难明确界定和测量。前述经典设计和索罗门三组实验设计提供了解决内在无效度的思路。
7.1实验法及其特点
一、社会现象研究中的实验
讲到实验法，我们首先想到的是实验室实验。在社会现象的研究中，实验室实验也不鲜见，特别是在心理学和社会心理学中。然而，并不是所有实验都需要实验室。实验固然也是我们认识社会的重要手段，而且是一种比较高级的方式，不过社会调查研究更多采用的是所谓实地实验，即在日常社会事件中进行的实验。
一、单一实验组实验
单一实验组实验是只有实验组而没有控制组的一种简单实验方法，它直接出于因果联系的基本分析逻辑Y（X）。因为仅有一组对象，在自变量出现前可视为实验中的“控制组”，在自变量出现与起作用后它便成了“实验组”。因此，单一实验组实验的逻辑是把实验对象前后测之间的差异（可称为差分）全部归因于实验刺激，显然，这种方法只能在因变量Y很少受到实验刺激以外的其他影响时才能考虑使用。
第七章 时间数列分析
二、时间序列的种类
㈠总量指标时间序列 ㈡相对指标时间序列 ㈢平均指标时间序列
（三）平均数时间序列：把一系列同类平均数按时间顺序排列 而成的数列，反映现象一般水平的发展变化过程．
A、种类：静态、动态两种。 B、各期指标数值不可直接相加。
某地积累率及职工年平均工资资料 时间 2002 2003 2004 2005 积累率% 23.76 26.39 24.21 27.81 平均工资（元） 2200 2450 3010 3280
法也有所不同。
（1）时期序列的序时平均数。时期序列中的各观察值可以相 加，形成一段时期内的累计总量，所以时期序列的序时平均 数可直接用各时期的指标值之和除以时期项数来计算。
a1 a 2
an -1 a n
a
a1 a2 L an a n
a
i 1
n
i
n
根据表中的国内生产总值序列，计算2002—2006年的年平 均国内生产总值。
总规模和总水平及其发展变化的情况 。
A、种类：时期指标时期数列；时点指标时点数列。 B、时点：“某一瞬间”日、 月（季、年）初、末。 C、间隔：相邻两个时点之间的时间跨度 f；
我国国内生产总值等时间数列 2004 2005 2006 2007 136515 182321 210871 257306 129988 130756 131448 132129
年份 GDP （亿元） 年末人口数 （万人） 人均GDP （元/人） 职工平均工资 (元)
2002 102398 128045 7997 12422 9371 2003a 116694 129227 14040 a 简单算术平均法, ai:各期发展水平；n:时期项数 n 10502 2004 136515 129988 16024 102398 116694 136515 182321 210871 2005 13926 149759 .8(亿元） 182321 130756 18405 5 16084 2006 210871 131448 21001
物流成本管理(第二版)第七章题库及答案
第七章习题一、单选题1．下列哪项不是平衡记分法的要素（ D ）A、纬度B、目标C、绩效D、效率2．下列哪项不是顾客服务绩效评价指标( B )A、顾客保有率B、顾客流动率C、新顾客吸引率D、顾客满意度3．下列哪项不是物流活动的业务绩效指标( C )A、物流准时率B、物流准确率C、物流经济率D、物流安全率4．对( C )的正确理解，是企业信息化条件下有效管理采购的关键A、供应商B、财务指标C、信息流D、市场价格5．物流责任中心是指企业物流在一定期间内经营活动的“总预算”的落实及其具体化过程，为整个企业及其经营活动的各个方面规定了总的目标和任务。
不包括下列哪项（ D ）。
A、物流核算中心B、物流成本中心C、物流利润中心D、物流投资中心6．下列哪项不是平衡记分法的内容（ A ）A、从财务绩效评估指标分析企业生存能力B、从客户子模块指标分析企业竞争能力C、从内部经营分析企业综合提升力D、从学习创新设计分析企业持续发展的后劲7．被称为“无纸贸易”的EDI是计算机与( C )之间结构化的商务数据交换， A、企业 B、供应商 C、计算机 D、买方8．对( C )的正确理解，是企业信息化条件下有效管理采购的关键A、供应商B、财务指标C、信息流D、市场价格9．下列关于CPM的说法，不正确的是( D )A、它是最被全球认可的采购和供应管理专业的国际职业荣衔B、它是为资深供应管理经理设计的C、它专注于采购管理和专业领导才能的培养D、它的英文全称是Certified Purchasing Management10．在采购质量管理流程中，企业和供应商双方确认验收标准的工作属于( A ) A、事前规则 B、事中执行 C、事后考评 D、事后保证11．编制商品分类体系的重要依据和基准是( B )A、商品代码B、商品分类标志C、商品条码D、商品目录12．商品的入库管理不包括( C )A、商品验收B、分区分类管理C、环境卫生管理D、商品堆垛13．认为消费者最喜欢高质量、多功能和具有某些特色的产品的观念是( B)A、生产观念B、产品观念C、推销观念D、市场营销观念14．相同产业的企业为提高物流效率而通过配送中心集中配送货物的模式是( D )A、第三方物流B、产业配送C、共同集配D、同产业间共同配送15．进行公司诚信评估的主体通常是( D )A、商业行会B、国内银行C、政府主管部门D、第三方专门信用评级机构16．分模块采购管理数据库的设计过程中最困难且最重要的一步是(A )A、需求分析和数据分析B、概念设计C、逻辑设计D、物理设计17．在选择采购纠纷的处理方法时，最后选择的方法往往是( C )A、谈判协商B、仲裁C、诉讼D、调解18．在编制零部件订单计划时，下单数量的确定方法是( D )A、生产需求量减去计划入库量B、生产需求量减去现有库存量C、生产需求量减去计划入库量加上安全库存量D、生产需求量减去计划入库量减去现有库存量加上安全库存量19．供应商根据买方提供的样品复制的类似样品是( D )A、一般样品B、凭实物买卖C、凭标准买卖D、回样20．自利追求与道德操守协调契合的基本点主要是( A )A、交易双方坚持诚实守信的原则B、放弃自利追求，将经济活动交给道德规范来调整C、寻求自身利益最大化D、以上都不正确21．物流管理的首要任务是（ B ）A、提高物流效率B、降低物流成本C、满足顾客需求D、服务的可靠性22．配货时，大多是按照入库日期的“（ A ）”原则进行。
法理学：第七章1
法理学：第七章1第七章法律要素第一节法律规则一、法律规则的含义法律规则是采取一定的结构形式具体规定人们的法律权利、法律义务以及相应的法律后果的行为规范。
法律规则具有微观指导性和可操作性强、确定性程度较高的特点。
同时，法律规则也应具有可诉性、合逻辑性、合体系性、可预测性等特性。
二、法律规则的种类1.授权性规则和义务性规则按照规则的内容规定不同，法律规则可以分为授权性规则和义务性规则。
授权性规则，是指规定人们有权做一定行为或不做一定行为的规则，即规定人们的“可为模式”的规则。
它又可分为权利性规则和职权性规则。
权利性规则是规定一般的主体(如公民和法人)行使权利之规则。
职权性规则，是指规定国家机关及其工作人员行使职权之规则。
义务性规则，是指在内容上规定人们的法律义务，即有关人们应当做出或不做出某种行为的规则。
它也分为两种1)命令性规则，是指规定人们的积极义务，即人们必须或应当作出某种行为的规则。
(2)禁止性规则，是指规定人们的消极义务(不作为义务)，即禁止人们作出一定行为的规则。
2.确定性规则、委任性规则和准用性规则按照规则内容的确定性程度不同，可以把法律规则分为确定性规则、委任性规则和准用性规则。
确定性规则，是指内容本已明确肯定，无须再援引或参照其他规则来确定其内容的法律规则。
委任性规则，是指权利、义务的具体内容尚未确定，而只规定由相应国家机关通过相应途径或程序加以确定的法律规则。
准用性规则，是指本身没有规定人们具体的行为模式，而是规定在此问题上应援引或参照其他相应规定的规则。
3.强行性规则和任意性规则按照规则对人们行为规定和限定的范围或程度不同，可以把法律规则分为强行性规则和任意性规则。
强行性规则，是指其规定的内容具有强制性质，不允许人们随便加以更改的法律规则。
任意性规则在规定主体权利义务的同时，又允许当事人在法律许可的范围内通过协商自行设定彼此的权利和义务，只有在当事人没有协议的情况下，才适用法律规定的权利和义务。
07★结构力学A上★第七章★位移法
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
第七章 平面直角坐标系 七年级数学下册单元复习(人教版)
7－20－7
【典例讲解】
例10. 将顶点坐标为（－4，－1），（1， 1），（－1，4）的三角形向右平移2个单 位长度，再向上平移3个单位长度，则平移 后的三角形三个顶点的坐标分别是（ C ） A.（2，2），（3，4），（1，7） B.（－2，2），（4，3），（1，7） C.（－2，2），（3，4），（1，7） D.（2，－2），（3，3），（1，7）
①由两个数组成;
②两数有顺序性;（a,b）与（b,a）表示的是两个不同的位置（a≠b）.
③成对出现.
（二）平面直角坐标系
1、平面直角坐标系的定义
平面直角坐标系：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直
角坐标系。水平方向的数轴称为x轴或横轴，习惯取向右的方向为正方向；
知识点一 平面直角坐标系
竖直方向上的数轴称为y轴或纵轴，习惯取向上的方向为正方向； 两坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点 .
辨识平面直角坐标系的“三要素”： 1. 两条数轴；2. 共原点；3. 互相垂直. 注意：一般取向上、向右为正方向.
知识点一 平面直角坐标系
2、点的坐标表示方法
平面内任意一点P,过P点分别向x、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b 分别叫做点p的横坐标、纵坐标， 则有序数对（a，b）叫做点P的坐标,记为P（a，b） 注意：在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标， 中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来； 点的坐标是有序实数对，(a，b) 和(b，a)(a ≠ b) 虽然数字相同，但由于顺 序不同，表示的位置就不同. 3. 平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系： (1)坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(点的坐标)与它对应. (2)任意一个有序实数对(点的坐标)在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应.
国际贸易学习资料
《国际贸易》学习资料第一章导论1、某国进口商品以后再向第三国出口而赚取利润，这对第三国而言是（）贸易。
A、过境贸易B、转口贸易C、直接贸易D、间接贸易2、（）往往反映出一国商品在国外缺乏竞争力。
A、净出口B、净进口C、复出口D、复进口3、以货物通过国境作为统计进出口标准的是（）A、总贸易体系B、专门贸易体系C、有形贸易D、无形贸易4、以金额表示的一国对外贸易，称为（）A、对外贸易量B、对外贸易额C、贸易差额D、无形贸易5、一定时期内一国出口总额与进口总额间的差额称为（）A、对外贸易额B、贸易差额C、对外贸易量D、对外贸易值6、实物商品的进出口称为（）A、有形贸易B、无形贸易C、直接贸易D、转口贸易7、各国在编制进出口统计时采取不同的方法，美国采取的是（）体系。
A、总贸易B、专门贸易C、对外贸易D、国际贸易8、一国的进出口贸易收支状况用（）来表明。
A、对外贸易B、贸易顺差C、有形贸易D、贸易差额二、多项选择1、从历史的角度看，对外贸易产生的基本条件是A、国家的形成B、市场的形成C、剩余产品的出现D、商人的出现D、部落的出现三、本章教材上的复习思考题。
第二章国际贸易基本理论一、选择题1.世界市场上以（）为基础的国际价格。
A国际价值B各国国内价值C进口国价格D出口国价格2.国际分工中起决定性作用的是（）A自然条件B社会经济条件C国家文化基础D生产力水平3.以生产要素投入的相对密度而言，国际分工可分为（）A劳动密集型B资本密集型C土地密集型D资源密集型E技术密集型4.以各国在参加国际分工时所处的地位来划分，可将国际分工分为（）A垂直型B水平型C混合型D无序型5.（）是推进国际分工发展的决定性因素A经济基础B科技水平C社会生产力D文化基础6.当代国际分工以（）为核心而展开A国家地位B价值链C产品品种D自然资源二、课后习题第三章自由贸易理论及其新发展一、填空题1.根据要素禀赋理论，劳动相对丰裕的国家应当出口密集型产品。
第七章 §7.7 向量法求空间角-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§7.7向量法求空间角课标要求 1.能用向量法解决异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.2.弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题．知识梳理1．异面直线所成的角若异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别是u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u·v ||u||v |.2．直线与平面所成的角如图，直线AB 与平面α相交于点B ，设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝|u ·n |u ||n ||＝|u·n||u||n|.3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n 1和n 2，则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|.常用结论1．异面直线所成角的范围是，π2；直线与平面所成角的范围是0，π2；二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0，π2.2．若平面α与平面β的夹角为θ1，平面α内的直线l 与平面β所成角为θ2，则θ1≥θ2，当l 与α和β的交线垂直时，取等号．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(×)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(×)(3)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.(×)(4)二面角α－l －β的平面角与平面α，β的夹角相等．(×)2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则直线l 与平面α所成的角为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案A 解析设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12，所以直线l 与平面α所成的角为30°.3．已知直线l 1的方向向量s 1＝(1,0,1)与直线l 2的方向向量s 2＝(－1,2，－2)，则直线l 1和l 2所成角的余弦值为()A.24 B.12 C.22 D.32答案C解析设直线l 1与l 2所成的角为θ，因为s 1＝(1,0,1)，s 2＝(－1,2，－2)，所以cos θ＝|cos 〈s 1，s 2〉|＝|s 1·s 2||s 1||s 2|＝|－1－2|2×3＝22.所以直线l 1和l 2所成角的余弦值为22.4．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A.π4B.3π4C.π4或3π4D.π2或3π4答案C 解析∵m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，∴m ·n ＝1，|m |＝1，|n |＝2，若两平面所成的二面角为θ，则|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝22，∴两平面所成的二面角为π4或3π4.题型一异面直线所成的角例1(1)(2023·武汉模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝BC ，E 为CD 的中点，F 为PC 的中点，则异面直线BF 与PE 所成角的余弦值为()A ．－39 B.39C ．－539 D.539答案B 解析如图，以点A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝2，异面直线BF 与PE 所成的角为θ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，则E (1,2,0)，F (1,1,1)，所以BF →＝(－1,1,1)，PE →＝(1,2，－2)，所以cos θ＝|cos 〈BF →，PE →〉|＝|BF →·PE →||BF →||PE →|＝|－1＋2－2|3×3＝39，所以异面直线BF 与PE 所成角的余弦值为39.(2)(2023·开封模拟)在如图所示的圆台中，四边形ABCD 为其轴截面，AB ＝2CD ＝4，母线长为3，P 为下底面圆周上一点，异面直线AD 与OP (O 为下底面圆心)所成的角为π3，则CP 2的大小为()A ．7－23B ．7－23或7＋23C ．19－43D ．19－43或19＋43答案B 解析以O 为原点，OB 所在直线为y 轴，过点O 作x 轴⊥OB ，圆台的轴为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，作DE ⊥AB 于点E ，AE ＝12AB －12CD ＝1，在Rt △ADE 中，AD ＝3，DE ＝AD 2－AE 2＝2，则D (0，－1，2)，A (0，－2,0)，C (0,1，2)，AD →＝(0,1，2)，设P (2cos θ，2sin θ，0)，0≤θ<2π，OP →＝(2cos θ，2sin θ，0)，由于异面直线AD 与OP (O 为下底面圆心)所成的角为π3，∴cos π3＝|OP →·AD →||OP →||AD →|＝|2sin θ|2×3＝|sin θ|3＝12，∴sin θ＝±32，CP →＝(2cos θ，2sin θ－1，－2)，CP 2＝|CP →|2＝4cos 2θ＋4sin 2θ－4sin θ＋1＋2＝7－4sin θ＝7±23.思维升华用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)用坐标表示异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)，π2，即异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．跟踪训练1(1)(2023·台州统考)如图，已知菱形ABCD 的边长为3，对角线BD 长为5，将△ABD 沿着对角线BD 翻折至△A ′BD ，使得线段A ′C 长为3，则异面直线A ′B 与CD 所成角的余弦值为()A.34B.54C.49D.89答案D 解析因为A ′C ＝A ′D ＝CD ＝3.所以2A ′C ——→·CD →＝(A ′C ——→＋CD →)2－A ′C ——→2－CD →2＝A ′D ——→2－A ′C ——→2－CD →2＝9－9－9＝－9.因为CB ＝CD ＝3，BD ＝5.所以2CB →·CD →＝CB →2＋CD →2－(CB →－CD →)2＝CB →2＋CD →2－DB →2＝9＋9－25＝－7.所以A ′B ——→·CD →＝(A ′C ——→＋CB →)·CD →＝A ′C ——→·CD →＋CB →·CD →＝－92－72＝－8.若异面直线A ′B 与CD 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈A ′B ——→，CD →〉|＝|A ′B ——→·CD →||A ′B ——→||CD →|＝|－8|3×3＝89.所以异面直线A ′B 与CD 所成角的余弦值为89.(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，AF →＝λAD →(0<λ<1)，若异面直线D 1E 和A 1F 所成角的余弦值为3210，则λ的值为______．答案13解析以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，则A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)，E (0,2,1)，A (2,0,0)，∴D 1E —→＝(0,2，－1)，A 1A ＝(0,0，－2)，AD →＝(－2,0,0)，A 1F —→＝A 1A —→＋AF →＝A 1A —→＋λAD →＝(－2λ，0，－2)．∴|cos 〈A 1F —→，D 1E —→〉|＝|A 1F —→·D 1E —→||A 1F —→||D 1E —→|＝22λ2＋1×5＝3210，解得λ＝－13舍去题型二直线与平面所成的角例2(2022·全国甲卷)在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，AD ＝DC ＝CB ＝1，AB ＝2，DP ＝3.(1)证明：BD ⊥PA ；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．(1)证明在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图．因为CD ∥AB ，AD ＝CD ＝CB ＝1，AB ＝2，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以AE ＝BF ＝12，故DE ＝AD 2－AE 2＝32，BD ＝DE 2＋BE 2＝3，所以AD 2＋BD 2＝AB 2，所以AD ⊥BD .因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BD ，又PD ∩AD ＝D ，PD ，AD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD .又因为PA ⊂平面PAD ，所以BD ⊥PA .(2)解由(1)知，DA ，DB ，DP 两两垂直，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，P (0,0，3)，则AP →＝(－1,0，3)，BP →＝(0，－3，3)，DP →＝(0,0，3)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AP →＝0，·BP →＝0，x ＋3z ＝0，－3y ＋3z ＝0，可取n ＝(3，1,1)，则cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝35×3＝55，所以PD 与平面PAB 所成角的正弦值为55.思维升华利用空间向量求线面角的解题步骤跟踪训练2(2023·开封模拟)如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，圆柱OQ 的侧面积为63π，点P 在圆柱OQ 的下底面圆周上，且△OPB 是边长为3的等边三角形．(1)若G 是DP 的中点，求证：AG ⊥BD ；(2)若DG →＝2GP →，求GB 与平面ABCD 所成角的正弦值．(1)证明设圆柱OQ 的底面半径为r ，高为h .因为△OPB 是边长为3的等边三角形，所以∠ABP ＝60°，r ＝ 3.因为圆柱OQ 的侧面积为63π，所以2πrh ＝63π，解得h ＝3.在下底面圆O 中，∠APB ＝90°，∠ABP ＝60°，所以AP ＝BP ·tan 60°＝3.因为DA ⊥平面APB ，所以DA ⊥BP ，DA ⊥AP .因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，又AP ∩AD ＝A ，AP ，AD ⊂平面APD ，所以BP ⊥平面APD .因为AG ⊂平面APD ，所以BP ⊥AG .在△DAP 中，AD ＝AP ＝3，G 是DP 的中点，所以DP ⊥AG .又BP ∩DP ＝P ，BP ，DP ⊂平面BPD ，所以AG ⊥平面BPD .因为BD ⊂平面BPD ，所以AG ⊥BD .(2)解在下底面圆O 内过O 作Ox ⊥AB ，连接OQ .以O 为原点，Ox →，OB →，OQ →分别为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则B (0，3，0)，D (0，－3，3)，P 32，32，0因为DG →＝2GP →，设G 点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则(x 0，y 0＋3，z 0－3)＝x 0，32－y 0，－z0＝0＋3＝y 0－3＝－2z 0，0＝1，0＝0，0＝1，所以G (1,0,1)，所以GB →＝(－1，3，－1)．显然，向量n ＝(1,0,0)是平面ABCD 的一个法向量．设GB 与平面ABCD 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈GB →，n 〉|＝|GB →·n ||GB →||n |＝55.所以GB 与平面ABCD 所成角的正弦值为55.题型三平面与平面的夹角例3(12分)(2023·全国乙卷)如图，三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝22，PB ＝PC ＝6，BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD ＝5DO ，点F 在AC 上，BF ⊥AO .(1)证明：EF ∥平面ADO ；[切入点：由BF ⊥AO 找F 位置](2)证明：平面ADO ⊥平面BEF ；[切入点：证明AO ⊥平面BEF ](3)求二面角D －AO －C 的正弦值．[关键点：由AO ⊥BE 及PB 长求点P 坐标][思路分析](1)利用向量及BF →⊥AO →→F 为AC 中点→EF ∥OD(2)利用勾股定理→AO ⊥OD →AO ⊥平面BEF(3)建系设点P 坐标→由AO ⊥BE 及PB 长求点P 坐标→求法向量→求角(1)证明设AF ＝tAC ，则BF →＝BA →＋AF →＝(1－t )BA →＋tBC →，AO →＝－BA →＋12BC →，(1分)①处用BA →，BC →表示BF →，AO→因为BF ⊥AO ，(3分)②处利用⊥找点F 位置BF →⊥AO →找点F 位置又D ，E ，O 分别为PB ，PA ，BC 的中点，于是EF ∥PC ，DO ∥PC ，所以EF ∥DO ，又EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO .(4分)(2)证明由(1)可知EF ∥DO ，由题意可得AO ＝AB 2＋OB 2＝6，DO ＝12PC ＝62，所以AD ＝5DO ＝302，因此DO 2＋AO 2＝AD 2＝152，则DO⊥AO ，(6分)③处利用勾股定理证明AO ⊥OD所以EF ⊥AO ，又AO ⊥BF ，BF ∩EF ＝F ，BF ，EF ⊂平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，(7分)又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .(8分)(3)解如图，以B 为坐标原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，O (0，2，0)，AO →＝(－2，2，0)．因为PB ＝PC ，BC ＝22，所以设P (x ，2，z )，z >0，(9分)则BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋12AP →＝(2,0,0)＋12(x －2，2，z )④处求BE →坐标由(2)得AO ⊥BE ，分)⑤处利用AO ⊥BE 及PB 长求点P 坐标由D 为PB 的中点，得－12，22，AD →－52，22，设平面DAO 的法向量为n 1＝(a ，b ，c )，1·AD →＝0，1·AO →＝0，－52a ＋22b ＋32c ＝0，2a ＋2b ＝0，得b ＝2a ，c ＝3a ，取a ＝1，则n 1＝(1，2，3)．易知平面CAO 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，(11分)设二面角D －AO －C 的大小为θ，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝36＝22，所以sin θ＝1－12＝22，⑥处利用向量法求两法向量夹角故二面角D －AO －C 的正弦值为22.(12分)利用法向量的方向判断二面角二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m ，n “一进一出”时，m ，n 的夹角就是二面角的大小；当法向量m ，n “同进同出”时，m ，n 的夹角就是二面角的补角．典例在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 为棱AB 的中点，则二面角D 1－EC －D 的余弦值为________．答案63解析建立如图所示的空间直角坐标系，由AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，得E (1,1,1)，C (0,2,1)，D 1(0,0,0)，则D 1E —→＝(1,1,1)，D 1C —→＝(0,2,1)，设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，1E →·n ＝0，1C →·n ＝0，＋y ＋z ＝0，y ＋z ＝0，令z ＝－2，得n ＝(1,1，－2)，易知平面DEC 的法向量为m ＝(0,0,1)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－26＝－63，由法向量的方向为同出，得二面角D 1－EC －D 的余弦值为63.思维升华利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．跟踪训练3(2023·新高考全国Ⅱ改编)如图，三棱锥A －BCD 中，DA ＝DB ＝DC ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠ADC ＝60°，E 为BC 的中点．(1)证明：BC ⊥DA ；(2)点F 满足EF →＝DA →，求平面DAB 与平面ABF 夹角的正弦值．(1)证明如图，连接AE ，DE ，因为E 为BC 的中点，DB ＝DC ，所以DE ⊥BC ，因为DA ＝DB ＝DC ，∠ADB ＝∠ADC ＝60°，所以△ACD 与△ABD 均为等边三角形，所以AC ＝AB ，从而AE ⊥BC ，又AE ∩DE ＝E ，AE ，DE ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ，而DA ⊂平面ADE ，所以BC ⊥DA .(2)解不妨设DA ＝DB ＝DC ＝2，因为BD ⊥CD ，所以BC ＝22，DE ＝AE ＝ 2.所以AE 2＋DE 2＝4＝AD 2，所以AE ⊥DE ，又AE ⊥BC ，DE ∩BC ＝E ，DE ，BC ⊂平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD .以E 为原点，ED ，EB ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D (2，0,0)，A (0,0，2)，B (0，2，0)，E (0,0,0)，设平面DAB 与平面ABF 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面DAB 与平面ABF 的夹角为θ，而AB →＝(0，2，－2)，因为EF →＝DA →＝(－2，0，2)，所以F (－2，0，2)，则AF →＝(－2，0,0)．1·DA →＝0，1·AB →＝0，1＋2z 1＝0，－2z 1＝0，取x 1＝1，所以n 1＝(1,1,1)．2·AB →＝0，2·AF →＝0，－2z 2＝0，2＝0，取y 2＝1，所以n 2＝(0,1,1)，所以|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23×2＝63，从而sin θ＝1－69＝33.所以平面DAB 与平面ABF 夹角的正弦值为33.课时精练一、单项选择题1.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π6答案B 解析由题意可知，AB ，AC ，AA 1两两互相垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0，2)，C (0，2，0)，，22，∴AD →，22，A 1C —→＝(0，2，－2)，∴|cos 〈AD →，A 1C —→〉|＝|AD →·A 1C —→||AD →||A 1C —→|＝12，∴异面直线AD 与A 1C 所成的角为π3.2．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为()A.22 B.155 C.64 D.63答案C 解析建立如图所示的坐标系，设AB ＝2，则C 1(3，1,0)，A (0,0,2)，AC 1—→＝(3，1，－2)，易知平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(1,0,0)．设AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AC 1—→，n 〉|＝|AC 1—→·n ||AC 1—→||n |＝322＝64.所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为64.3.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1和DD 1的中点，则平面ECF 与平面ABCD 夹角的余弦值为()A.33B.63C.13D.23答案B 解析以点A 为坐标原点，AB →，AD →，AA 1—→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则A (0,0,0)，E (2,0,1)，F (0,2,1)，C (2,2,0)，∴CE →＝(0，－2,1)，CF →＝(－2,0,1)．设平面ECF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·n ＝0，·n ＝0，2y ＋z ＝0，2x ＋z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,1,2)．易知m ＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量，设平面ECF 与平面ABCD 的夹角为θ.∴cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝21×6＝63.∴平面ECF 与平面ABCD 夹角的余弦值为63.4．(2023·沧州模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是C 1D 1的中点，则异面直线AP 与BA 1所成角的余弦值为()A.26 B.36 C.13 D.23答案A解析方法一设正方体的棱长为2，取CC 1的中点Q ，连接PQ ，AD 1，AC ，AQ ，∵P 是C 1D 1的中点，∴PQ ∥CD 1∥A 1B ，故∠APQ 就是AP 与BA 1所成的角(或其补角)，由勾股定理得AP ＝AQ ＝8＋1＝3，PQ ＝2，由余弦定理得cos ∠APQ ＝AP 2＋PQ 2－AQ 22AP ·PQ ＝9＋2－92×3×2＝26，故异面直线AP 与BA 1所成角的余弦值为26.方法二设正方体的棱长为2，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A (2,0,0)，P (0,1,2)，A 1(2,0,2)，B (2,2,0)，AP →＝(－2,1,2)，BA 1—→＝(0，－2,2)，|cos 〈AP →，BA 1—→〉|＝|AP →·BA 1—→||AP →||BA 1—→|＝23×22＝26，故异面直线AP 与BA 1所成角的余弦值为26.5．(2024·郑州模拟)如图，已知AB 是圆柱底面圆的一条直径，OP 是圆柱的一条母线，C 为底面圆上一点，且AC ∥OB ，OP ＝AB ＝2OA ，则直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为()A.1010B.55C.110D.14答案A 解析∵AB 是圆柱底面圆的一条直径，∴∠AOB ＝90°，∠ACB ＝90°，∵OP ＝AB ＝2OA ，∴∠BAO ＝45°，∴OA ＝OB ，∵AC ∥OB ，∴∠OAC ＝90°，∴四边形OACB 为正方形，设AB ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0,0)，B (0，2，0)，P (0,0,2)，C (2，2，0)，AB →＝(－2，2，0)，AP →＝(－2，0,2)，设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AB →＝0，·AP →＝0，－2x ＋2y ＝0，－2x ＋2z ＝0，取x ＝2，则n ＝(2，2，1)，又PC →＝(2，2，－2)，设直线PC 与平面PAB 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos 〈n ，PC →〉|＝|n ·PC →||n ||PC →|＝25×22＝1010，∴直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为1010.6．(2023·杭州模拟)若正方形ABCD 的边长为a ，E ，F 分别为CD ，CB 的中点(如图1)，沿AE ，AF 将△ADE ，△ABF 折起，使得点B ，D 恰好重合于点P (如图2)，则直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为()A.22B.34 C.36 D.32答案A 解析由E ，F 分别是为CD ，CB 的中点，可得EF 2＝CE 2＋CF 2＝DE 2＋BF 2＝PE 2＋PF 2，则PE ⊥PF .由AD ⊥DE ，AB ⊥BF ，可得PA ⊥PE ，PA ⊥PF ，所以PA ，PF ，PE 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE ，PF ，PA 分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得P (0,0,0)，0，，a 2，A (0,0，a )，设C (x ，y ，z )，由AC ＝2a ，CE ＝CF ＝a 2，＋y 2＋(z －a )2＝2a 2，＋z 2＝a 24，＋y 2＋z 2＝a 24，＝a 3，＝a 3，＝－a 3，即得，a 3，－所以可得PE →0，PC →，a 3，－设平面PCE 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，·PC →＝ax ′3＋ay ′3－az ′3＝0，·PE →＝ax ′2＝0，令y ′＝1，则x ′＝0，z ′＝1，所以平面PCE 的一个法向量为n ＝(0,1,1)，又PA →＝(0,0，a )，设PA 与平面PCE 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝a 2a ＝22.二、多项选择题7．三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若n 1＝(1,0,0)，n 2＝(－3，0,1)，则二面角A －BD －C 的大小可能为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案AD 解析由已知可得|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝32，因此二面角A －BD －C 的大小为π6或5π6.8．(2023·深圳模拟)如图，在矩形AEFC 中，AE ＝23，EF ＝4，B 为EF 中点，现分别沿AB ，BC 将△ABE ，△BCF 翻折，使点E ，F 重合，记为点P ，翻折后得到三棱锥P －ABC ，则()A ．三棱锥P －ABC 的体积为423B ．直线PA 与直线BC 所成角的余弦值为36C ．直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为13D ．三棱锥P －ABC 外接球的半径为222答案BD 解析由题意可得BP ⊥AP ，BP ⊥CP ，又AP ∩CP ＝P ，AP ，CP ⊂平面PAC ，所以BP ⊥平面PAC ，在△PAC 中，PA ＝PC ＝23，AC 边上的高为(23)2－22＝22，所以V 三棱锥P －ABC ＝V 三棱锥B －P AC ＝13×12×4×22×2＝823，故A 错误；在△PAC 中，cos ∠APC ＝12＋12－162×23×23＝13，BC ＝12＋4＝4，|cos 〈PA →，BC →〉|＝|PA →·BC →||PA →||BC →|＝|PA →·(PC →－PB →)|23×4＝|PA →·PC →－PA →·PB →|83＝||PA →||PC →|cos ∠APC －0|83＝23×23×1383＝36，所以直线PA 与直线BC 所成角的余弦值为36，故B 正确；S △PBC ＝12PB ·PC ＝12×2×23＝23，设点A 到平面PBC 的距离为d ，由V 三棱锥B －P AC ＝V 三棱锥A －PBC ，得13×23d ＝823，解得d ＝463，所以直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为d PA ＝46323＝223，故C 错误；由B 知，cos ∠APC ＝13，则sin ∠APC ＝223，所以△PAC 的外接圆的半径r ＝12·AC sin ∠APC ＝322，设三棱锥P －ABC 外接球的半径为R ，又因为BP ⊥平面PAC ，则R 2＝r 2＝92＋1＝112，所以R ＝222，即三棱锥P －ABC 外接球的半径为222，故D 正确．三、填空题9．(2023·天津统考)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，则异面直线A 1C 1与AD 1所成角的余弦值为________．答案210解析如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，D 1(0,0,3)，A 1(1,0,3)，C 1(0,2,3)，则AD 1—→＝(－1,0,3)，A 1C 1—→＝(－1,2,0)，|cos 〈AD 1—→，A 1C 1—→〉|＝|AD 1—→·A 1C 1—→||AD 1—→||A 1C 1—→|＝110×5＝210因此，异面直线A 1C 1与AD 1所成角的余弦值为210.10．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，AC ＝1，AA 1＝2，∠BAC ＝90°，若直线AB 1与直线A 1C 所成角的余弦值是45，则棱AB 的长度是________．答案1解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝a (a >0)，则A (0,0,0)，B 1(a ,0,2)，A 1(0,0,2)，C (0,1,0)，所以AB 1—→＝(a ,0,2)，A 1C —→＝(0,1，－2)，所以|cos 〈AB 1—→，A 1C —→〉|＝|AB 1—→·A 1C —→||AB 1—→||A 1C —→|＝4a 2＋4×5＝45，解得a ＝1，所以棱AB 的长度是1.11．(2023·洛阳模拟)二面角α－l －β的棱上有两个点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个半平面内，并且垂直于棱l ，若AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则平面α与平面β的夹角为________．答案60°解析设二面角α－l －β的大小为θ，因为AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，所以CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，由题意得CD →＝CA →＋AB →＋BD →，所以|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD→＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD→＝36＋16＋64＋2×6×8×cos(180°－θ)＝(217)2，所以cos(180°－θ)＝－12，即cos θ＝12，所以θ＝60°，则平面α与平面β的夹角为60°.12.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别是棱AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点，则直线A 1C 与平面EFGHKL 所成角的大小为________；若P ，Q 是六边形EFGHKL 边上两个不同的动点，设直线D 1B 与直线PQ 所成的最小角为θ，则sin θ的值为________．答案90°13解析如图，以点D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1—→的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A 1(2,0,2)，E (2,1,0)，C (0,2,0)，F (2,2,1)，G (1,2,2)，∴A 1C —→＝(－2,2，－2)，EF →＝(0,1,1)，EG →＝(－1,1,2)，∴A 1C —→·EF →＝0＋2－2＝0，A 1C —→·EG →＝2＋2－4＝0，∴A 1C ⊥EF ，A 1C ⊥EG ，∵EG ∩EF ＝E ，EG ，EF ⊂平面EFGHKL ，∴A 1C ⊥平面EFGHKL ，∴直线A 1C 与平面EFGHKL 所成角的大小为90°.又D 1(0,0,2)，B (2,2,0)，D 1B —→＝(2,2，－2)，由题意知A 1C —→＝(－2,2，－2)为平面EFGHKL 的一个法向量，设直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈D 1B —→，A 1C —→〉|＝|D 1B —→·A 1C —→||D 1B —→||A 1C —→|＝412×12＝13，∵直线PQ ⊂平面EFGHKL ，∴直线D 1B 与直线PQ 所成的角最小时即为直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角，∴sin θ＝13.四、解答题13.如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2CF ＝2.(1)求证：BF ∥平面ADE ；(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值．(1)证明由CF ∥AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，得CF ∥平面ADE ，由AD ∥BC ，BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，得BC ∥平面ADE ，又CF ∩BC ＝C ，CF ，BC ⊂平面BCF ，所以平面BCF ∥平面ADE ，又BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE .(2)解因为AE ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥AB ，AE ⊥AD ，又AD ⊥AB ，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，因为AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2CF ＝2，所以B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,1,0)，E (0,0,2)，则CE →＝(－1，－2,2)，BE →＝(－1,0,2)，DE →＝(0，－1,2)，设平面BDE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，·BE →＝－x ＋2z ＝0，·DE →＝－y ＋2z ＝0，令z ＝1，则x ＝2，y ＝2，即m ＝(2,2,1)，所以|cos 〈m ，CE →〉|＝|m ·CE →||m ||CE →|＝43×3＝49，即直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49.14．(2024·南昌模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝12AB ，现将△ADC 沿AC 翻至△APC ，使二面角P －AC －B 为直二面角．(1)证明：CB ⊥PA ；(2)若AB ＝4，二面角B －PA －C 的余弦值为217，求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．(1)证明取AB 的中点E ，连接CE (图略)，∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝12AB ，AE ∥DC ，AE ＝DC ，∴四边形ADCE 是平行四边形，CE ＝AD ，CE ＝AE ＝EB ，∴∠ACB ＝90°，即CB ⊥CA ，∵二面角P －AC －B 为直二面角，∴平面PAC ⊥平面ACB ，又平面PAC ∩平面ACB ＝AC ，CB ⊂平面ABC ，∴CB ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，∴CB ⊥PA .(2)解由AB ＝4知PA ＝PC ＝2，取AC 的中点O ，则OE ∥CB .∴OE ⊥AC ，且OP ⊥AC ，OC ，OE ，OP 两两互相垂直．以O 为原点，OC →，OE →，OP →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设OC ＝a (a >0)，则C (a ,0,0)，P (0,0，4－a 2)，A (－a ,0,0),B (a ,24－a 2，0)，AB →＝(2a ,24－a 2，0)，AP →＝(a ,0，4－a 2)，易得平面PAC 的一个法向量为n 1＝(0,1,0)，设平面PAB 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，2·AB →＝2ax ＋24－a 2y ＝0，2·AP →＝ax ＋4－a 2z ＝0，取x ＝4－a 2，得y ＝－a ，z ＝－a ，故n 2＝(4－a 2，－a ，－a )，由|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝a 4＋a 2＝217，得a ＝3，则PC →＝(3，0，－1)，AB →＝(23，2,0)，设异面直线PC 与AB 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈PC →，AB →〉|＝|PC →·AB →||PC →||AB →|＝62×4＝34，所以异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为34.。
第七章 消退法
三、消退的有效运用
选择好目标行为 做好消退的准备 科学地实施消退 合理地结束消退
案例处理
对3、4岁小孩说脏话，骂人等行为的处理
第三部分
基本技术
行为矫正的基本技术 强化、惩罚、消退
可以识别消退过程中的当事人和他人的安全 在识别和控制问题行为的强化物的前提 西啊，在决定实施消退前，还必须确定消 退的渐进过程不给问题行为的但当事人或 周围的其他人造成伤害。 例子：伤害自己。伤害周围人。伤害实 施者
可以容忍消退爆发时问题行为的升级
消退爆发期间，问题行为的平率、持续时 间和强度都会增加，并会出现新的异常行 为和不良情绪。 在解决实施消退之前，行为矫正者的执行 者必须预见消退爆发的出现并确定能容忍 问题行为的升级，否则就不能使用消退
渐渐同学们不再叫他花猪了。
小结：
1、对行为的不予理睬、对不再给予额外的 帮助、舒适感的从此消失和难受感的必须 承受等，都是一种强化物的完全缺失，无 形中降低了当事人以后继续从事类似行为 的概率。
2、消退在日常生活中的典型表现是忽视目
标行为、不再关注目标行为。
二、消退的基本类型
正强化行为的消退 负强化行为的消退 自动强化行为的消退
消退的选择
必须明确行为是怎样获得的 行为是由正强化而形成的（如关注），行为消 退就是取消正强化，不再关注个体的问题行为 。 行为是由负强化而形成的，行为消退就是使个 体不能逃避或回避（如逃避任务），必须完成 要求的任务。 行为是自动强化（如感觉刺激）而形成的，行 为消退就是使个体的感觉发生变化和转移。
负强化例子：抓挠头发可以导致难受感的 降低（负强化），而理发后无头发可抓， 则难受感只能承受（无法逃避）了。 打扫房间的例子 自伤行为（自伤行为可以不完成任务）的 消退 在建筑工地上塞耳塞以减少噪音干扰（负 强化）。如果耳塞消退比较困难
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第七章法的要素
一. 名词解释
1.法的要素
2.法律概念 3．法律规则 4．授权性规则 5.义务性规则 6．权益复合规则
7．规范性规则 8．标准性规则 9．调整性规则 10．构成性规则 11．强行性规则
12．指导性规则 13．法律原则 14．政策性原则 15．公理性原则
二. 单项选择
1．《中华人民共和国宪法》第56条规定：“中华人民共和国公民有依照法律纳税的义务。
”这一规则是（）。
A．规范性规则 B．标准性规则 C．强行性规则 D．构成性规则
2．“在住宅区内机动车车速应限制在每小时20公里以内”这一规则是（）。
A．规范性规则 B．标准性规则 C．强行性规则 D．构成性规则
3．根据内容的不同，法律规则可以划分为（）。
A．授权性规则、义务性规则和权义复合规则 B．调整性规则与构成性规则
C．强行性规则与指导性规则 D．规范性规则和标准性规则
4．《中华人民共和国婚姻法》第21条第3款规定：“无劳动能力或生活困难的父母，有要求子女付给赡养费的权利”该规定属于（）。
A．规范性规则 B．标准性规则 C．授权性规则 D．构成性规则
5．将法律规则分为主要规则和次要规则，主要规则是设定义务的规则，次要规则是授予权利的规则，这是新分析法学派的代表人物英国法学家（）的观点
A．庞德 B．边沁 C．哈特 D．奥斯丁
6．《中华人民共和国宪法》第41条规定：“中华人民共和国公民对于任何国家机关和国家工作人员，有提出批评和建议的权利，”这是一个（）规则。
A．授权性规则 B．义务性规则
C．权义复合规则 D．禁止性规则
7．《中华人民共和国全国人民代表大会和地方各级人民代表大会选举法》第17条规定：“全国少数民族应选全国人民代表大会代表，由全国人民代表大会常务委员会参照各少数民族的人口数和分布等情况，分配给各省、自治区、直辖市的人民代表大会选出。
人口特少的民族，至少应有代表一人。
”这是一个（）规则。
A．授权性规则 B．义务性规则
C．标准性规则 D．规范性规则
8．《中华人民共和国公司法》第22条规定：“股东应当按期足额缴纳公司章程中规定的各自所认缴的出资额。
股东以货币出资的，应当将货币出资足额存入有限责任公司在银行开设的账户；以非货币财产出资的，应当依法办理其财产权的转移手续”，这样的规则属于（）。
A．强行性规则 B．义务性规则
C．指导性规则 D．禁止性规则
9．联合国1948年《世界人权宣言》的规则课以联合国成员国以保护人权的义务，这样的规则属于（）。
A．强行性规则 B．义务性规则 C．指导性规则 D．禁止性规则
10．根据原则产生的基础不同，可将法律原则分为（）。
A．政策性原则和公理性原则 B．基本法律原则和具体法律原则
C．实体性原则和程序原则 D．公法原则和私法原则
11．我国刑法规定：“为了使国家公共利益、本人或者他人的人身、财产和其他权利免受正在进行的不法侵害，而采取的制止不法侵害的行为，对不法侵害人造成损害的，属于正当防卫，不负刑事责任”。
该条款的内容属于哪种规则？（）
A．授权性规则 B．义务性规则
C．命令性规则 D．禁止性规则
12．下列选项中关于《中华人民共和国合同法》的表述正确的是（）。
A．既有强行性规则又有指导性规则 B．有强行性规则而无指导性规则
C．无强行性规则而有指导性规则 D．既无强行性规则又无指导性规则
三．多项选择
1．综合各家关于法律要素的学术，法律要素包括（）。
A．法律规则 B．法律原则 C．法律概念 D．法律解释
2．下列关于法律要素的表述，正确的是（）。
A．法律规则的改变要比法律原则容易
B．法律要素包括法律规则、法律原则、法律概念、法律意识
C．法律规则是构成法律的主要要素
D．法律原则可以指引人们正确地适用规则
3．判断一个社会的法律要素质量高低的标准通常有（）。
A．法律要素涵义的明确性与确定性程度 B．法律要素间联系的紧密性及协调性程度
C．法律要素的专门化、技术化程度 D．法律要素的分类的科学程度
4．新自然法学派的德沃金认为法是由（）组成的。
A．概念 B．原则 C．规则 D．政策
5．社会法学派泰斗庞德将法律归结为（）要素。
A．律令 B．技术 C．规则 D．理想模式
6．以下关于法律要素的观点正确的是（）。
A．法律要素质量的优劣通常是衡量法律合理化、科学化程度的重要标志
B．法律进化的过程本身就是法律要素的质和量提高的过程
C．法律要素质量越高，法律的可预测性程度就越高
D．法律要素的确定性程度越高，所包含的正义和理性就越多
7．法的要素具有（）的特征。
A．个别性和局部性 B．多样性和差别性
C．整体性和不可分割性 D．稳定性和灵活性
8．依法律概念涉及的内容来分，法律概念有（）。
A．涉人概念 B．涉事概念 C．涉物概念 D．涉时概念
9．在美国的黑格斯诉帕尔默案中，16周岁的男孩毒死了他的祖父，为的是更快地继承祖父的财产，而那时没有法律规则规定在这种情况下继承人不能继承遗产，我们可以如何处理（）。
A．按照严格法定原则，没有法律规则规定的这种情况，必须按照一般法律规则让继承人继承遗产
B．一般的法律原则在这里与社会伦理不符
C．可以适用“一个人不能从他的不当行为中得利”的法律原则
D．剥夺继承人的继承权
10．就适用行政诉讼法法律原则来说，以下（）原则属于基本法律原则。
A．法律面前人人平等 B．以事实为依据，以法律为准绳
C．原告、被告恒定原则 D．辩论原则
11．下列何种表述不属于法律规则？（）
A．公民的权利能力一律平等
B．民事活动应当自愿、公平、等价有偿、诚实信用
C．合同的当事人应当按照合同的约定，全部履行自己的义务
D．党必须在宪法和法律范围内活动
12．我国《商标法》规定：“商标使用人应当对其使用商标的商品质量负责。
”该规范属于（）。
A．授权性规则 B．义务性规则 C．强行性规则 D．确定性规则
四．判断
1．《中华人民共和国刑法》第94条规定：“本法所称司法工作人员，是指有侦查、检察、审判、监管职责的工作人员。
”这里的司法工作人员概念和日常生活用语中的司法工作人员概念是不一致的。
（）
2．法的要素是制定法不可或缺的基本质料，习惯法、判例法中没有要素。
（）
3．将法归结为单一的“命令”要素的理论，始于法国人博丹，经英国法学家霍布斯，到分析法学派创始人奥斯丁手中，成为主宰西方法学一个多世纪的强势理论。
（）
4．在法的要素模式——道德原则和法律规则模式中，道德原则确定法律原则。
（）
5．我国法学界长期以来关于法的要素通行的是“法律规范”说，将法律归结为法律规范单一模式。
（）
6．法律概念是与法律规则和法律原则相并列的法的要素。
（）
7．按概念的确定性程度不同可以将法律概念分为确定性概念和不确定性概念，这样的划分概念就是说有的概念绝对确定，有的概念绝对不确定。
（）
8．法律规则即法律规范。
（）
五．简答题
1.简述德沃金的法的要素的分类模式。
2．如何正确理解确定性概念和不确定性概念。
3．简述法律规则的特点。
4．简述法律规则分类的意义。
5．简述法律原则的功能。
六．论述题——1．论述法律概念的功能。
——
2．论述法律规则的逻辑结构。
六．案例分析
四川泸州的黄永彬与妻子蒋伦芳结婚30多年，有一养子。
1994年起黄开始与张学英来往，1996年起二人公开同居，依靠黄的工资（退休金）及奖金生活，并曾经共同经营。
但黄永彬与蒋伦芳并未离婚。
2001年2月起，黄病重住院，蒋伦芳一直在医院照顾，法院认为其尽到了抚养义务。
4月18日黄永彬立下遗嘱：“我决定，将依法所得的住房补贴金、公积金、抚恤金和泸州市江阳区一套住房售价的一半（即4万元），以及手机一部留给我的朋友张学英一人所有。
我去世后骨灰盒由张学英负责安葬。
”4月20日，该遗嘱在纳溪区公证处得到公证。
黄去世后，张根据遗嘱向蒋索要财产和骨灰盒，遭到蒋拒绝。
张遂向纳溪区人民法院起诉，请求根据《继承法》的有关规定，判令被告蒋伦芳按照遗嘱履行，同时对遗产申请诉前保全。
从5月17日起，法院经过4次开庭之后（其间曾一度中止，2001年7月13日，纳溪区司法局对该公证遗嘱的“遗赠抚恤金”部分予以撤销，依然维持了住房补贴和公积金中属于黄永彬部分的公证。
此后审理恢复），于10月11日判决驳回原告张学英的诉讼请求。
法院判决依据《民法通则》第7条“民事活动应当遵守社会公德，不得损害社会公共利益”的基本原则，认为黄某的遗嘱虽然是其真实意义的表示，形式上也合法，但遗嘱内容存在违法之处，且黄某与原告的非法同居关系违反了《婚姻法》的有关规定，黄某的遗赠遗嘱是一种违反公序良俗和法律的行为，因此是无效的。
本案的判决一方面获得了当地民众和一些学者的支持；另一方面，很多法律界人士却认为这是道德与法和情与法的一次冲突，甚至认为这是在舆论的压力下所作出的一起错案；认为在有具体的实体法规则——《继承法》可依的情况下再依据法律原则，这样的判决是错误的。
问题：你如何看待本案的判决？法律规则和法律原则之间的关系是怎样的？其各自的功能是什么？。