深圳实验学校2021年高二上册期末数学试题与答案

时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．“0<ab ”是“方程c by ax =+22表示双曲线”的（）A ．必要但不充分条件；B ．充分但不必要条件；C ．充要条件；D ．既不充分又不必要条件．2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若420S =，510a =，则16a =（）A ．32-B ．12C ．16D ．323．函数()2ln 2f x x x =-+的递增区间是（）A ．1, 02⎛⎫- ⎪⎝⎭和1, 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；B ．11, 0, 22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；C ．1, 02⎛⎫- ⎪⎝⎭；D ．1, 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.4．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）AB．C ．312+D ．512+5．已知函数()2sin ,,22f x x x x x ππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，则下列式子成立的是（）A ．f (−1)＜f (12)＜f (32)B ．f (12)＜f (−1)＜f (32)C ．f (12)＜f (32)＜f (−1)D ．f (32)＜f (−1)＜f (12)6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线)0(22>=p px y 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3深圳实验学校2021年高二上册期末数学试题7．已知函数()2af x x x=+，若曲线()y f x =存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是（）A ．()()12-∞⋃+∞，，B ．()()12-∞-⋃+∞，，C ．()()02-∞⋃+∞，，D ．()()2-∞-⋃+∞，0，8．已知函数()()ln xe f x k x x x=+-，若x=1是函数f (x )的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A ．(－∞，e]B ．(－∞，e)C ．(－e ，+∞)D ．[－e ，+∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．与直线0x y +=仅有一个公共点的曲线是（）A ．221x y +=；B ．2212x y +=；C ．221x y -=；D ．2y x =．10．对于函数()ln xf x x=，下列说法正确的有（）A ．()f x 在x e =处取得极大值1e；B ．()f x 有两个不同的零点；C ．()()()23f f f π<<；D ．若()1f x k x<-在()0,+∞上恒成立，则1k >．11．已知抛物线C:24y x =，焦点为F ，过焦点的直线l 抛物线C 相交于()11A x y ，，()22B x y ，，则下列说法一定正确的是（）A ．若||AB 的最小值为2；B ．线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切；C ．12x x 为定值；D ．若()1,0M -，则AMF BMF ∠=∠．12．已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T ．且满足12n n a a n ++=，()12nn n b b n N +⋅=∈，则下列说法正确的是（）A ．101a <<；B ．11b <<；C ．22n n S T <；D ．22n n S T ≥．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e '=．xAy1B OM114．数列}{n a 满足：211=a ，n n a n a a a ⋅=+++221 ，则数列}{n a的通项公式=n a .15．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒若，则与的离心率之比为.16．设a 为实数，函数()()3221f x x ax a x =-+-在(),0-∞和()1,+∞都是增函数，则a 的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知函数()32122f x x x x =+-．(1)求函数()y f x =的图象在1x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =在[]2, 1-上的最大值与最小值．18．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足20a =，6810a a +=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列⎭⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．19．（本题满分12分）如图，已知抛物线C ：212y x =，直线2y kx =+交抛物线C 于A B ，两点，O 为坐标原点．(1)证明：OA OB ⊥；(2)设抛物线C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，证明：1l 与2l 的交点M 在一定直线上．20．（本题满分12分）如图所示，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD ，AB=120米，AD=80米，以AD ，BC 为直径的半圆O 1和半圆O 2(半圆在矩形ABCD 内部)为两个半圆形水上主题乐园，BC ，CD ，DA 都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着»AE ，»FB修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中E ，F 分别为»AE ，»BC上的动点，EF //AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心O 1和O 2连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米．(1)若EF=80米，则检票等候区域(阴影部分)的面积为多少平方米?(2)试确定点E 的位置，使得修建费用最低．21．（本题满分12分）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为()0F ，右顶点为D （2，0），设点A 的坐标是11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求该椭圆的标准方程；(2)过原点O 的直线交椭圆于点B 、C ，求△ABC 面积的最大值．22．（本题满分12分）已知函数()()21ln 12f x x ax a x =+-+.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程；(2)若函数()()212g x f x ax =-有两个不同的零点1x ,2x ，①求实数a 的取值范围；②证明：212x x e >g ．xyO FD一、选择题1．A ．2．D ．3．D．4．D ．5．B ．6．C ．7．D ．8．A ．二、多项选择题：9．AC 10．ACD11．BCD12．ABC三、填空题：13．－1e ．14．21n n +.15．1：2.16．[)6, 1, 2⎛-∞-⋃+∞ ⎝⎦．四、解答题：17．解：(1)∵()32122f x x x x =+-，∴()232f x x x '=+-，∴()112f =-，()12f '=．∴函数()y f x =的图象在1x =处的切线方程为：()1212y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即4250x y --=．………………………4分(2)令()2320f x x x '=+-=，得11x =-与223x =，当x 变化时，()f x '、()f x 的变化如下表：所以，11x =-与23x =是函数在()2, 1-上的两个极值点，深圳实验学校2021年高二上册期末数学试题参考答案而(2)2f -=-，3(1)2f -=，222327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()112f =-．∴函数()y f x =在[]2, 1-上的最大值是3(1)2f -=，最小值是(2)2f -=-．………………………10分18．解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-………………………4分(2)设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和为n S ，即21122n n n a a S a -=+++ ，故11S =．1212242n n na a a S =+++ ．所以，当1n >时，1211112222n n n n n na a a a a S a ----=+++- 11111212 1(11242222n n n nn n ----⎛⎫⎛⎫=-+++-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以12n n nS -=．………………………12分19．解：(1)设2211221122A x xB x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，把2y kx =+代入212y x =，得2240x kx --=．由韦达定理得121224x x k x x +==-，．∴()22211221212111,,0224OA OB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………6分(2)212y x =，y x '∴=，故经过点21112A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，的切线1l 的方程为：()211112y x x x x -=-，即21112y x x x =-，①同理，经过点22212A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，的切线2l 的方程为：22212y x x x =-，②①×x 2－②×x 1，得12122y x x ==-．即点M 在直线l ：2y =-上．………………………12分20．解：(1)如图所示，设直线EF 与矩形ABCD 交于M ，N 两点，连接O 1E ，O 2F ，O 1O 2，则ME ＝20米，O 1M ＝米．梯形O 1O 2FE 的面积为12×(120+80)×(平方米),矩形AO 1O 2B 的面积为120×40＝4800(平方米),易得∠AO 1E ＝6π，则扇形O 1AE 和扇形O 2FB 的面积均为12×6π×1600=4003π(平方米),故阴影部分的面积为4800－20003－8003π平方米.………………………6分(2)设∠AO 1E ＝θ，θ∈0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则»AE ，»BC的长都是40θ，EF ＝120-2×40sin θ＝120－80sin θ,所以修建费用f (θ)＝200×80θ+400×(120－80sin θ)＝16000(θ+3－2sin θ),所以f'(θ)＝16000(1－2cos θ).令f'(θ)＝0，得θ＝3π,当θ变化时，f'(θ)，f (θ)的变化情况如下表:θ03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，f'(θ)-0+f (θ)↘极小值↗由上表可得，当θ＝3π，即∠AO 1E ＝3π时，f (θ)有极小值，也为最小值．故当∠AO 1E 为3π时，修建费用最低．………………………12分22．解：（1）设椭圆方程为()2222 1 0x y a b a b+=>>.由题意得2a =，c =21b =，∴椭圆方程为1422=+y x .………………………4分（2）当BC x ⊥轴时，易得1ABC S ∆=.当直线BC 不垂直于x 轴时，设直线BC 所在方程为y kx =，且设B（x 1，y 1），C （x 2，y 2），由2244y kx x y =⎧⎨+=⎩，联立得22441x k =+，∴12 x x ==∴12||||AB x x =-=.又A 到直线y kx =的距离1||2k d -=，于是1||2ABCS BC d ∆=⋅1||2k -=222244141.4141ABCk k kSk k ∆-+==-++①当0k =时，21S =；②当0k >时，21S <；③当0k <时，2411214()()S k k=+≤+=-+-．当且仅当211)(4-=-=-k k k 即时，取“＝”，综上所述△ABC 面积的最大值为2．…………12分22．解：(1)当1a =时,()()21ln 20,2f x x x x x =+-∈+∞，,()12f x x x '=+-,所以()10f '=，()312f =-，所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是32y =-．…………4分(2)函数()()212g x f x ax =-有两个不同的零点1x ,2x ，等价于方程ln 1xa x +=有两个不同实根1x ,2x ．①令()ln x x x ϕ=，则()21ln xx x ϕ-'=,所以()ln xx xϕ=在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，所以当x e =时,()ln x x x ϕ=取得最大值1e,由于()10ϕ=，当()01x ∈，时，()0x ϕ<;当()1,x ∈+∞,()0x ϕ>,()x ϕ的大致图象如图所示．所以，当110,a e ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,即111a e -<<-时,函数()()212g x f x ax =-有两个不同的零点1x ,2x .…………8分②证明:不妨设120x x <<,()11ln 1x a x =+,()22ln 1x a x =+,两式相加得()()()1212ln 1x x a x x =++,两式相减得()()2211ln 1x a x x x =+-,所以()12122211ln ln x x x x x x x x +=-.要证212x x e >g ,只需证()12212211ln ln 2x x x x x x x x +=>-.即证212212121121ln 21x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++.设()211x t t x =>,令()4ln 21F t t t =+-+,则()()()22101t F t t t -'=>+,所以函数()F t 在(1,+∞)上单调递增,且()10F =,所以()0F t >,即212x x e >g .…………12分。