同济大学组合数学期末试卷

1．证明： 在任意 给出的1(2)n n +≥ 个正整数中必有两个数，它们的差能被n 整除。

2． 计算多项式()7

234x y z +-的展开式中63x yz 的系数。 3． 求解递推关系式：120

1441,3n n n a a a a a --=-⎧⎨==⎩．

4.用组合分析或非降路径方法证明组合恒等式:

0110n m n m n m m n r r r r +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

L ,

6.证明组合恒等公式: 222

201n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . .

四、设A 、B 为有限集，若映射f 满足：对任意b B ∈，存在a A ∈，使()f a b =，则称f 为满射． ⑴若A 为n 元集，B 为k 元集，(n k ≥),求A 到B 的满射个数；

⑵当⑴中，6n =，3k =时，求A 到B 的满射个数．

五、一个1n ⨯的方格图形，用红、蓝、绿、橙四种颜色涂色，如果有奇数个方格被涂成红色，奇数

个方格被涂成蓝色，共有多少种方案．

六、从4种水果中挑选出n 个, 使得木瓜数为0个或1个,橘子数为偶数(包括0个),香蕉数为6的倍数(包括0个),哈密瓜数最多5个,问选法数.

七、某儿童乐园中有一个由7匹木马构成的旋转木马供儿童游玩。现欲用蓝、红、黄三种颜色涂这7匹木马，使成为3蓝、2红、2黄，求方案数．