最小二乘法
最小2乘法公式
最小2乘法公式
最小二乘法是一种数学方法，可以用来解决线性回归问题。
线性回归问题是指在给定一堆数据的情况下，寻找一个函数，使得这个函数能够最好地拟合这堆数据。
最小二乘法的目标是使得这个函数的预测值与实际值之间的误差平方和最小。
最小二乘法最早由法国数学家勒让德在19世纪提出，被广泛应用于科学、工程和金融等领域。
通常，最小二乘法的公式可以用矩阵与向量的乘积来表示。
在这个公式中，我们需要用到一些符号：Y：实际值的向量（n行1列）
X：预测值的矩阵（n行p列）
b：回归系数的向量（p行1列）
e：误差的向量（n行1列）
其中，n表示数据的数量，p表示回归系数的数量。
最小二乘法的公式是：
b = (X^TX)^(-1)X^TY
在这个公式中，^T表示转置，^(-1)表示矩阵求逆。
这个公式的核心是矩阵求逆。
如果矩阵没有逆矩阵，我们就无法使用最小二乘法来解决线性回归问题。
此外，如果数据量很大，矩阵
的求逆操作也会变得非常耗时。
因此，在实际应用中，我们需要采用一些基于最小二乘法的变种算法来加速计算。
总体而言，最小二乘法是一个非常有用的数学工具，可以帮助我们解决许多实际问题。
当然，在使用最小二乘法的时候，我们需要注意数据的质量和数量，以及算法的适用范围和参数调整等问题，才能取得最好的效果。
最小二乘法知识
最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。
它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。
最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。
对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。
那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。
最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。
对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。
我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。
然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。
在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。
一种常用的迭代方法是梯度下降法。
梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。
具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。
迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。
学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。
最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。
在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。
同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。
除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。
必修三中的最小二乘法
必修三中的最小二乘法必修三中的最小二乘法这种使用均方误差作为损失，并求得损失最小值的方法就叫做最小二乘法线性模型相信很多人遇到最小二乘法是在高中数学必修三里，那么让店铺来为大家介绍一下什么最小二乘法以及二乘法的运用和案例。
什么是最小二乘法最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法原理最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
示例：数据点(红色)、使用最小二乘法求得的最佳解(蓝色)、误差(绿色)。
某次实验得到了四个数据点：...(右图中红色的点)。
我们希望找出一条和这四个点最匹配的直线，即找出在某种“最佳情况”下能够大致符合如下超定线性方程组的和：最小二乘法采用的手段是尽量使得等号两边的方差最小，也就是找出这个函数的最小值：最小值可以通过对分别求和的偏导数，然后使它们等于零得到。
如此就得到了一个只有两个未知数的方程组，很容易就可以解出：也就是说直线是最佳的。
人们对由某一变量或多个变量……构成的相关变量感兴趣。
如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。
为了得到这些变量同之间的关系，便用不相关变量去构建，使用如下函数模型，个独立变量或个系数去拟合。
通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型称作函数模型(如抛物线函数或指数函数)。
参数b是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。
最小二乘法的原理及其应用
最小二乘法的原理及其应用1. 最小二乘法的原理最小二乘法是一种常用的数学优化方法，其原理是通过最小化残差平方和来寻找数据的最佳拟合线或曲线。
当数据存在随机误差时，最小二乘法可以有效地估计模型参数。
最小二乘法的基本原理可以概括为以下几个步骤：1.首先，假设模型的形式，如线性模型：y=mx+b。
2.然后，定义一个衡量模型拟合程度的误差函数，通常采用残差的平方和：$E(m, b) = \\sum_{i=1}^{n} (y_i - (mx_i + b))^2$。
3.接下来，根据最小二乘法的原理，我们需要通过对误差函数求偏导数，得出使误差函数最小化的模型参数。
4.最后，通过优化算法，如梯度下降法等，迭代地调整模型参数，使误差函数达到最小值，从而获得最佳拟合模型。
最小二乘法的原理非常简单和直观，因此被广泛应用于各个领域，如统计学、经济学、工程学等。
2. 最小二乘法的应用最小二乘法在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍其中的几个应用场景。
2.1 线性回归线性回归是最小二乘法最常见的应用之一。
在线性回归中，最小二乘法用于估计自变量与因变量之间的线性关系。
通过最小化残差平方和，我们可以找到一条最佳拟合直线，从而对未知的因变量进行预测。
线性回归广泛应用于经济学、社会学等领域，帮助研究者探索变量之间的相互关系。
2.2 曲线拟合最小二乘法还可以用于曲线拟合。
当我们需要拟合一个非线性模型时，可以通过最小二乘法来估计参数。
通过选择适当的模型形式和误差函数，可以得到最佳拟合曲线，从而准确地描述数据的变化趋势。
曲线拟合在信号处理、图像处理等领域具有重要的应用。
2.3 数据降维数据降维是指将高维度的数据转化为低维度表示，以便于可视化和分析。
最小二乘法可以用于主成分分析（PCA）等降维方法中。
通过寻找投影方向，使得在低维度空间中的数据点到其投影点的平均距离最小化，可以实现数据的有效降维。
2.4 系统辨识在控制工程中，最小二乘法经常被用于系统辨识。
最小二乘方法
最小二乘方法：原理、应用与实现一、引言最小二乘方法是数学优化中的一种重要技术，广泛应用于各种实际问题中。
它的基本原理是通过最小化误差的平方和来估计未知参数，从而实现数据拟合、线性回归等目标。
本文将对最小二乘方法的原理、应用与实现进行详细介绍，并探讨其在实际问题中的应用。
二、最小二乘方法的原理最小二乘方法的基本原理可以概括为：对于一组观测数据，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。
具体而言，设我们有一组观测数据{(xi, yi)}，其中xi是自变量，yi是因变量。
我们希望找到一个函数f(x)，使得f(xi)与yi之间的差距尽可能小。
为了量化这种差距，我们采用误差的平方和作为目标函数，即：J = Σ(f(xi) - yi)²我们的目标是找到一组参数，使得J达到最小值。
这样的问题称为最小二乘问题。
在实际应用中，我们通常采用线性函数作为拟合函数，即：f(x) = a + bx其中a和b是待估计的参数。
此时，最小二乘问题转化为求解a 和b的问题。
通过求解目标函数J关于a和b的偏导数，并令其为零，我们可以得到a和b的最优解。
这种方法称为最小二乘法。
三、最小二乘方法的应用数据拟合：最小二乘方法在数据拟合中有广泛应用。
例如，在物理实验中，我们经常需要通过一组观测数据来估计某个物理量的值。
通过采用最小二乘方法，我们可以找到一条最佳拟合曲线，从而得到物理量的估计值。
这种方法在化学、生物学、医学等领域也有广泛应用。
线性回归：线性回归是一种用于预测因变量与自变量之间关系的统计方法。
在回归分析中，我们经常需要估计回归系数，即因变量与自变量之间的相关程度。
通过采用最小二乘方法，我们可以得到回归系数的最优估计值，从而建立回归方程。
这种方法在经济学、金融学、社会科学等领域有广泛应用。
图像处理：在图像处理中，最小二乘方法常用于图像恢复、图像去噪等问题。
例如，对于一幅受到噪声污染的图像，我们可以采用最小二乘方法对图像进行恢复，从而得到更清晰、更真实的图像。
最小二乘法(least sqaure method)
最小二乘法（least sqauremethod）专栏文章汇总文章结构如下：1：最小二乘法的原理与要解决的问题2 ：最小二乘法的矩阵法解法3：最小二乘法的几何解释4：最小二乘法的局限性和适用场景5：案例python实现6：参考文献1：最小二乘法的原理与要解决的问题最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：标函数 = \sum（观测值-理论值）^2\\观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。
目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。
举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有 m 个只有一个特征的样本： (x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m)样本采用一般的 h_{\theta}(x) 为 n 次的多项式拟合，h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2+...\theta_nx^n,\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 为参数最小二乘法就是要找到一组\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 使得\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^2 (残差平方和) 最小，即，求 min\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^22 ：最小二乘法的矩阵法解法最小二乘法的代数法解法就是对 \theta_i 求偏导数，令偏导数为0，再解方程组，得到 \theta_i 。
矩阵法比代数法要简洁，下面主要讲解下矩阵法解法，这里用多元线性回归例子来描：假设函数h_{\theta}(x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\t heta_nx_n 的矩阵表达方式为：h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta\\其中，假设函数 h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta 为 m\times1 的向量, \theta 为 n\times1 的向量，里面有 n 个代数法的模型参数。
最小二乘法的原理和应用
最小二乘法的原理和应用最小二乘法是一种常见的数学统计方法，常用于数据分析、回归分析和预测模型的建立。
听起来有些抽象，但如果您掌握了最小二乘法，您将能够更好地理解许多现代技术的工作原理。
一、最小二乘法的原理所谓“最小二乘法”，是指根据离散点的数据，以一条最佳直线来逼近这些点，这条直线被称为“回归线”，这个过程也叫做“回归分析”。
当然，如果数据呈非线性关系，类似的曲线模型也可以使用最小二乘法来拟合。
那么，最小二乘法到底是如何工作的呢？它的基本思路是，根据实际数据的偏差，通过数学方法，找到一条最佳的回归线，这条线距离所有数据点的距离之和最小。
也就是说，最小二乘法的目标是尽可能地减少偏差，使回归线的拟合效果越来越好。
那么，如何计算这个距离之和呢？具体来说，我们可以使用误差平方和这个指标。
误差平方和是指所有数据点与回归线之间的距离平方和，也就是所有偏差的平方之和。
这可以通过计算最小二乘法函数来实现。
二、最小二乘法的应用最小二乘法是一种非常广泛应用的数学方法，尤其是在数据分析、回归分析和预测建模方面。
无论是商业分析，还是学术研究，都可以使用最小二乘法来处理真实的数据，并获得更准确的结果。
其中，最常见的应用之一就是从数据中预测未来趋势。
我们可以使用最小二乘法模型来分析可预测的变化趋势、发现趋势异常，甚至拟合出完善的预测模型，为未来的计划和决策提供直观的信息支持。
在市场营销和销售方面尤为突出。
此外，最小二乘法还可以用于估计相应变量的效应。
例如，在经济学上，我们可以使用最小二乘法来分析支出、收入和利率之间的关系，进而预测未来的经济走势。
另外，最小二乘法还可以给强大的机器学习算法提供支持。
例如，在图像识别和自然语言处理领域，我们可以使用最小二乘法来训练神经网络，或优化线性回归模型，进而实现更准确、更稳定的机器学习算法。
总之，最小二乘法是一种非常重要的数学方法，适用于许多领域，其原理和应用仅仅是数学的一小部分。
如果您能掌握它的高级应用，比如说自动建模和自动预测等，您将能够在数据分析和决策中站得更高，走得更远。
最小二乘法的基本公式
最小二乘法的基本公式最小二乘法，这玩意儿听起来是不是有点高大上？但别怕，其实它并没有那么复杂，就像咱们学骑自行车，一开始觉得难，掌握窍门后就变得轻松自如啦！先来说说最小二乘法到底是啥。
简单来讲，它就是一种找数据最佳拟合直线或者曲线的方法。
比如说，你记录了一堆气温和日期的数据，想找出它们之间的规律，这时候最小二乘法就派上用场了。
那它的基本公式是啥呢？咱们来瞧瞧。
假设咱们有一堆数据点（x₁, y₁）, （x₂, y₂）,..., （xₙ, yₙ），然后要找一条直线 y = ax + b 来拟合这些点。
那最小二乘法就是要让每个点到这条直线的垂直距离的平方和最小。
这个垂直距离，咱们叫它残差。
具体的公式就是：Q = Σ(yi - (axi + b))²，这里的Σ是求和符号，就是把所有的残差平方加起来。
然后通过求 Q 对 a 和 b 的偏导数，令它们等于 0 ，就能解出 a 和 b 的值，从而得到最佳拟合直线的方程。
我给您讲个我亲身经历的事儿吧。
有一次我带着学生们去做一个关于植物生长和光照时间关系的实验。
我们每天记录植物的高度和对应的光照时长，最后想用最小二乘法来找出它们之间的关系。
一开始，学生们都被这些数据弄得晕头转向的。
有的说：“老师，这也太乱了，怎么找规律啊？”我就告诉他们，别着急，咱们有最小二乘法这个法宝呢！然后我一步一步地给他们讲解公式的原理和计算方法。
有个叫小明的同学特别认真，眼睛紧紧盯着黑板，手里的笔不停地记着。
可算到中间的时候，他突然举手说：“老师，我这一步算错了，得重新来。
”我鼓励他说：“没关系，重新算，多算几遍就熟练啦。
”最后，经过大家的努力，我们终于算出了最佳拟合直线的方程。
当我们把这个方程画在图上，看到那些数据点都很接近这条直线的时候，孩子们都兴奋得欢呼起来。
从那以后，学生们对最小二乘法的理解可深刻多了。
他们知道了，数学不仅仅是书本上的公式，还能真真切切地帮助我们解决生活中的问题。
最小二乘法
数值分析作业最小二乘法最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一,它依据对某事件的大量观测而获得最佳”结果或最可能”表现形式。
如已知两变量为线性关系y= a+ bx,对其进行n(n> 2)次观测而获得n对数据。
若将这n对数据代入方程求解a，b之值则无确定解。
最小二乘法提供了一个求解方法，其基本思想就是寻找最接近”这n 个观测点的直线。
最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。
相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。
作为其进一步发展或纠正其不足而采取的对策,不少近现代的数理统计学分支也是在最小二乘法基础上衍生出来的。
正如美国统计学家斯蒂格勒(S.M. Stigler)所说,最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”最小二乘法创立的历史过程充满着丰富的科学思想,这些对今日的数学创造仍有着重要的启示意义。
本文旨在全面认识最小二乘法的历史系统发育过程以及创立者的思路。
一先驱者的相关研究天文学和测地学的发展促进了数理统计学及其他相关科学的发展。
丹麦统计史家哈尔德曾指出天文学在数理统计学发展中所起的作用。
“天文学自古代至18 世纪是应用数学中最发达的领域。
观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子,在此种意义下,天文学家就是最初的数理统计学家。
天文学的问题逐渐引导到算术平均,以及参数模型中的种种估计方法,以最小二乘法为顶峰。
” 这也说明了最小二乘法的显著地位。
有关统计计算思想记载的著作要首推天文学家罗杰柯茨的遗作,即1715年其所发论文中所蕴含的统计方法,亦即对各种观测值赋予加权后求其加权平均。
尽管当时得到认可,然而事实证明如此计算的结果不太精确。
1749年,欧拉(L. Euler,1707—1783)在研究木星和土星之间相互吸引力作用对各自轨道影响时,最后得到一个含8个未知量75个方程的线性方程组。
欧拉的求解方法繁杂而奇特,只能看作是一次尝试。
最小二乘法原理
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
考虑超定方程组（超定指未知数小于方程个数）：其中m代表有m个等式，n代表有n 个未知数，m>n ；将其进行向量化后为：，，显然该方程组一般而言没有解，所以为了选取最合适的让该等式"尽量成立"，引入残差平方和函数S（在统计学中，残差平方和函数可以看成n倍的均方误差MSE）当时，取最小值，记作：通过对进行微分求最值，可以得到：如果矩阵非奇异则有唯一解[2]：在我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1,y1.x2,y2... xm,ym）；将这些数据描绘在x -y 直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）。
（式1-1）其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用计算值Yj（Yj=a0+a1Xi）（式1-1）的离差（Yi-Yj）的平方和最小为“优化判据”。
令：φ=（式1-2)把（式1-1）代入（式1-2）中得：φ=（式1-3)当最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
∑2(a0 + a1*Xi - Yi）=0（式1-4)∑2Xi（a0 +a1*Xi - Yi）=0（式1-5)亦即：na0 + （∑Xi ) a1 = ∑Yi （式1-6)（∑Xi ) a0 + （∑Xi^2 ) a1 = ∑（Xi*Yi) （式1-7)得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = （∑Yi) / n - a1（∑Xi) / n （式1-8)a1 = [n∑(Xi Yi) - （∑Xi ∑Yi)] / (n∑Xi^2 -∑Xi∑Xi)（式1-9) 这时把a0、a1代入（式1-1）中，此时的(式1-1）就是我们回归的一元线性方程即：数学模型。
使用最小二乘法的条件
使用最小二乘法的条件
最小二乘法是一种常用的预测和估计方法，也被称为最小平方法、最优二乘估计或简称最小二乘估计。
在有关统计建模和机器学习领域中，最小二乘法用于拟合数据，估计模型参数，拟合最佳函数曲线。
最小二乘法受到优化问题的思想指导，其基本原理是有误差，或者说有给定数据。
要在给定数据的情况下找出能最好拟合数据的函数关系，使得拟合曲线与给定数据之间的差别最小，这就是最小二乘法。
最小二乘法有几种使用条件：
一是存在可被测量的随机误差，即给定的m个数据点之间存在某种形式的随机误差，其对对应的点有随机的扰动；
二是用于拟合的模型的所有参数都是需要估算的，是未知参数；
三是满足第一范式条件，即：差异函数完全一致且扰动项（如误差）的期望值未知；
四是满足最大不相关条件，即：扰动项不相关，同时具有常数平方和分布。
五是满足独立性，即：每个观测点都是独立的，不存在任何联系。
通过最小二乘法拟合数据，可以更好地估计参数，从而获得更准确、有效的预测结果。
最小二乘法原理
最小二乘法原理最小二乘法（也称为最小二乘法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差平方和来找到数据的最佳函数匹配。
最小二乘法可用于轻松获取未知数据，并使获取的数据与实际数据之间的误差平方和最小。
最小二乘法也可以用于曲线拟合。
通过最小化能量或最大化熵，也可以通过最小二乘法来表达一些其他优化问题。
当我们研究两个变量（x，y）之间的关系时，通常可以得到一系列配对数据（x1，y1。
x2，y2 ... xm，ym）;将这些数据绘制在x处。
在y直角坐标系中，如果在直线附近找到这些点，则该直线的方程式可以为（方程1-1）。
Yj = a0 + a1 X（公式1-1）其中：a0，a1是任何实数要建立此线性方程，必须确定a0和a1，应用“最小二乘原理”，并将测量值Yi 与计算值（Yj = a0 + a1X）（Yi-Yj）进行比较。
平方[∑（Yi-Yj）2]是“优化标准”。
令：φ= ∑（Yi-Yj）2（式1-2）将（公式1-1）代入（公式1-2），我们得到：φ= ∑（Yi-a0-a1 * Xi）2（等式1-3）当∑（Yi-Yj）的平方最小时，函数φ可用于获得a0和a1的偏导数，因此这两个偏导数等于零。
那是：m a0 +（∑Xi）a1 = ∑Yi（式1-6）（∑Xi）a0 +（∑Xi2）a1 = ∑（Xi，Yi）（公式1-7）关于a0和a1的两个方程是未知数。
求解这两个方程，得到：a0 =（∑Yi）/ m-a1（∑Xi）/ m（公式1-8）a1 = [m∑Xi Yi-（∑Xi ∑Yi）] / [m∑Xi2-（∑Xi）2）]（等式1-9）此时，将a0和a1代入（方程式1-1），这时（方程式1-1）是我们返回的基本线性方程：数学模型。
在回归过程中，回归相关公式不可能传递每个回归数据点（x1，y1。
x2，y2 ... xm，ym）。
为了判断相关公式，可以使用相关系数“R”，统计“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越接近1，越好；“F”的绝对值越大，越好；“S”越接近0越好。
最小二乘法讲解
历史简介
• 1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。 经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失 去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始 寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。 时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里 希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
5
例题
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习题
假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（1）求回归直线方程；
（2）估计使用10年 时，维修费用约是
多少？
16
习题
解：根据散点图知 x 与 y 成线性相关关系
（1）列表
xi
yi
xi 2
xi yi
2
2.2
4
4.4
3
3.8
9
11.4
4
5.5
16
22
5
6.5
25
32.5
6
7.0
36
42
合计 20
25
90 112.3
x4
y5
17
习题
112.3 5 4 5 b 90 5 42 1.23 a 5 1.23 4 0.08
2
历史简介
• 高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》 中。
最小二乘法的基本原理公式
最小二乘法的基本原理公式
最小二乘法是一种数学方法，通过最小化预测值与实际观测值之间的残差平方和，来估计最佳参数值。
其基本原理公式如下：
对于给定的观测数据集{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们希望找到一条直线y=ax+b，使得所有数据点到这条直线的垂直距离（即残差）的平方和最小。
其中，a和b是待求解的参数。
通过最小化残差平方和，我们可以得到以下线性方程组：
1. ∑(yi - ax - b)^2 = 最小值
2. ∑(xiyi - nx平均值y平均值 - axi - byi + nx平均值b + ny平均值a) = 0
3. ∑(xi^2 - nx平均值^2 - 2xia - b) = 0
通过求解这个方程组，我们可以得到最佳参数a和b的值。
最小二乘法的应用非常广泛，包括线性回归分析、曲线拟合、数据平滑、预测分析等。
它是一种非常有效的数学工具，可以帮助我们更好地理解和分析数据。
最小二乘法的原理及证明
最小二乘法的原理及证明最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它的本质是通过寻找最小化残差平方和的参数组合进行数据拟合。
在现实生活中，很多实际问题都可以通过最小二乘法来求解，如线性回归、曲线拟合、方程求解等。
本文将介绍最小二乘法的原理及证明。
一、最小二乘法的原理最小二乘法是一种基于误差最小化的思想进行模型参数求解的方法。
对于含有n个数据点的模型，其最小二乘法的表示形式为：$min[\sum_{i=1}^n(y_i-f(x_i))^2]$其中，$y_i$为第i个数据点的观测值，$f(x_i)$为模型在$x_i$处的预测值。
最小二乘法的目的是寻找一个最优的模型参数集合，使得预测值与观测值之间的误差平方和最小。
以线性回归为例，线性回归模型的基本形式为：$y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon$其中，$\beta_0$和$\beta_1$为线性回归的系数，$\epsilon$为误差项。
通过最小二乘法，我们需要求解$\beta_0$和$\beta_1$，使得预测值与真实值之间的残差平方和最小。
在实际应用中，最小二乘法可以通过求解模型参数的偏导数，进而得到参数的估计值。
同时，最小二乘法还可以通过矩阵运算的形式进行求解，这种方法称为矩阵最小二乘法。
二、最小二乘法的证明最小二乘法的原理可以通过数学证明来得到。
在数学推导中，我们需要利用概率论和统计学的相关知识。
1、最小二乘法的基本假设首先，我们需要对最小二乘法做出一些假设。
最小二乘法的假设包括：(1)数据点满足线性关系；(2)误差项满足高斯分布；(3)误差项具有同方差性；(4)误差项之间相互独立。
在这些假设的基础上，我们可以得出以$X$为自变量，$Y$为因变量的线性模型：$Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon$其中，$\beta_0$和$\beta_1$为线性模型的系数，$\epsilon$为误差项。
我们需要利用概率论和统计学的方法，通过参数的似然函数来求解模型的系数。
最小二乘法的原理和应用
最小二乘法的原理和应用1. 原理最小二乘法是一种最常用的参数估计方法，用于拟合数据点与理论模型之间的误差。
它通过最小化误差的平方和来确定模型参数的最佳估计值。
在最小二乘法中，我们假设数据点服从一个线性模型，即y = mx + b其中，y是因变量，x是自变量，m和b是待求的参数。
我们希望找到最优的m和b，使得模型的预测值与实际观测值之间的误差最小。
最小二乘法的核心思想是将误差平方化，即将每个数据点的误差差值平方，并将所有的差值平方求和。
通过最小化这个平方差和，我们可以得到最优的参数估计值。
2. 应用最小二乘法在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：2.1 线性回归最小二乘法在线性回归中被广泛使用。
线性回归是一种统计分析方法，用于确定两个变量之间的线性关系。
通过最小二乘法，我们可以估计线性回归模型中的斜率和截距，从而预测因变量的值。
2.2 数据拟合最小二乘法还可以用于数据拟合。
通过选择适当的模型和参数，最小二乘法可以拟合数据点，并生成一个描述数据行为的数学模型。
这对于预测未来的数据点或分析数据的趋势非常有价值。
2.3 图像处理最小二乘法在图像处理中也有应用。
例如，在图像平滑和去噪方面，最小二乘法可以用于拟合图像上的像素值，并通过消除噪声来提高图像的质量。
2.4 物理建模在物理建模中，最小二乘法可以用于确定物理系统的参数。
通过测量物理系统的输入和输出，并使用最小二乘法，我们可以估计出系统的参数，以便更好地理解和预测系统的行为。
3. 实现步骤最小二乘法的实现步骤如下：1.收集数据：首先，需要收集一组包含自变量和因变量的数据。
2.建立模型：根据问题的要求，选择适当的模型。
例如，在线性回归中，我们选择了y = mx + b的线性模型。
3.计算预测值：通过代入自变量的值，并使用模型中的参数，计算预测值。
4.计算误差：将预测值与实际观测值进行比较，并计算误差。
误差可以通过求差值的平方来计算。
5.求解参数：通过最小化误差的平方和，可以得到最优的参数估计值。
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最小二乘法设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。
根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。
最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法。
如果以不同精度多次观测一个或多个未知量，为了求定各未知量的最可靠值，各观测量必须加改正数，使其各改正数的平方乘以观测值的权数的总和为最小。
因此称最小二乘法。
所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值。
法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。
事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但迟至1809年才正式发表。
此后他又提出平差三角网的理论，拟定了解法方程式的方法等。
为利用最小二乘法测量平差奠定了基础。
最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计= a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和｀〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)(式1-5) (见附图)亦即：m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0 越好。
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。
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我再看的时候根本就有一点看不懂。
把东西改明朗一下应该会好一点。
飞尔一万年10-18 00:03·好复杂如果我要用最小二乘法来算直流电机的调速时候的那个速度怎么用啊，使他实际的与给定的误差很小呢！是不是之前就要吧那个直线的方程参数选好啊79073234208-22 17:29·原来是这样~ dengll2312-14 12:53最小二乘法直线拟合减小字体增大字体作者：佚名来源：本站整理发布时间：2006-3-27 16:47:03//最小二乘法直线拟合BOOL CalculateLineKB(CFoldPointList *m_FoldList,double &k,double &b){//最小二乘法直线拟合//m_FoldList为关键点(x,y)的链表//拟合直线方程(Y=kX+b)if(m_FoldList==NULL)return FALSE;long lCount=m_FoldList->GetCount();if(lCount<2)return FALSE;CFoldPoint *pFold;double mX,mY,mXX,mXY,n;mX=mY=mXX=mXY=0;n=lCount;POSITION pos=m_FoldList->GetHeadPosition(); while(pos != NULL){pFold=m_FoldList->GetNext(pos);mX+=pFold->X;mY+=pFold->Y;mXX+=pFold->X*pFold->X;mXY+=pFold->X*pFold->Y;}if(mX*mX-mXX*n==0)return FALSE;k=(mY*mX-mXY*n)/(mX*mX-mXX*n);b=(mY-mX*k)/n;return TRUE;}用最小二乘法拟合直线的问题回答清楚追加分！悬赏分：0 - 解决时间：2006-12-27 13:40我用最小二乘法拟合直线y=ax+b ,但是在计算a的时候，我用偏差为最小，然后求偏导，得出来的公式进行计算。
可是运算结果没法得到垂直于x轴的直线。
（当所有的点都在y轴的时候可以得到a的分母为0，可以判断）但是如果点分布在y轴两侧就不行了。
会得到a = 0的结果。
但是这个结果肯定定不对。
怎么办啊？谢谢大家了！问题补充：请看清我的问题好吗？我是说用最小二乘法拟合直线时垂直于x轴的直线怎么处理？请不要随便帖无关的代码。
请提供判断方法。
谢谢！提问者：summonerx - 见习魔法师二级最佳答案原理中有一类题目，对测量数据进行处理，然后使用最小二乘法对数据进行处理并且拟合一条曲线，以方便对数据结果进行进一步的处理。
这个程序拟合的是直线，用于处理近似线性的数据。
下面是源程序，至少可以运行，会不会有问题就不知道了噻。
程序是用C语言写的，但是注释的风格是C++的，在某些编译器下，如TC可能会有问题，把// 换成/* */就可以了。
#include <stdio.h>#include <conio.h>#define N 20 //定义最多能够处理的数据组数//变量X，Y 线性方程系数k 线性方程矩阵m0 m1 m2double x[N],y[N],k[2][3],m1,m2,m0;int i=0,j=0;//求(A1*B1~Ac*Bc)的和double fsum(double a[],double b[],int c){double sum=0;for(i=0;i < c;i++)sum+=a[i]*b[i];return sum;}//求矩阵double fmatrix(int m,int n){double matrix;matrix=k[0][m]*k[1][n]-k[0][n]*k[1][m];return matrix;}void main(){int limit=0; //数据组数double mi[N]; //大小为1的数列，矩阵求和时匹配使用char ch;//声明printf("This program will calculate Y=aX+b, with maximum of data group of %d",N);for(i=0;i < N;i++)mi[i]=1;//输入数据begin:printf("\n\nPlease input the number of data group:");scanf("%d",&limit);if(limit>N){printf("Out of range! Should no more than %d",N);goto begin;}//按X1~Xi Y1~Yi的顺序输入printf("Please input the data one by one:");input:printf("\n");for(i=0;i < limit ;i++){printf("X[%d]:",i+1);scanf("%lf",&x[i]);}for(i=0;i < limit ;i++){printf("Y[%d]:",i+1);scanf("%lf",&y[i]);}//显示输入数据以供检查printf("Please check the data:\n");for(i=0;i < limit ;i++)printf("X%2d: %-11f ",i+1,x[i]);printf("\n");for(i=0;i < limit ;i++)printf("Y%2d: %-11f ",i+1,y[i]);printf("\nAre the data ok?(Y/N)\n");ch=getch();if(ch=='n')goto input;//求线性方程系数k[0][0]=fsum(x,x,limit);k[0][1]=fsum(x,mi,limit);k[0][2]=-fsum(x,y,limit);k[1][0]=fsum(x,mi,limit);k[1][1]=limit;k[1][2]=-fsum(mi,y,limit);//输出线性方程系数printf("\nThe modulus is:\n");for(i=0; i < 2;i++){for(j=0;j < 3 ;j++)printf("%15lf",k[i][j]);printf("\n");}m0=fmatrix(0,1);m1=fmatrix(1,2);m2=fmatrix(2,0);printf("\n%lf %lf %lf\n",m0,m1,m2);if(m0==0)printf("An error has occured! Matrix0 is zero!");//分母上的线性方程矩阵为零elseprintf("The function should be:\nY= %lf X %+lf\n",m1/m0,m2/m0);}回答者：hwsnet - 举人 四级 12-22 15:00提问者对于答案的评价：程序没什么用，但还是谢谢你。