2016年专项练习题集-定义法求轨迹方程
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
求动点的轨迹方程方法例题习题答案
求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。
求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。
求动点轨迹的常用方法动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标（x, y ）满足的关系式。
1. 直接法（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
例题 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长等与MQ ，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(x,y)，直线MN 切圆C 于N 。
依题意：MN MQ =，即22MN MQ = 而222NO MO MN-=,所以(x-2)2+y 2=x 2+y 2-1 化简得：x=45。
动点M 的轨迹是一条直线。
2. 定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。
依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。
例题：动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：0822=-+x y x 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r 。
若圆M 与圆C 相外切，则有 ∣M C ∣=r ＋4 若圆M 与圆C 相内切，则有 ∣M C ∣=r-4 而∣M P ∣=r, 所以∣M C ∣-∣M P ∣=±4动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。
其中a=2, c=4。
动点的轨迹方程为： 3. 相关点法若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y 0)的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程。
高考动点轨迹方程的常用求法含练习题及答案
轨迹方程的经典求法一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，那么有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 二、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，那么点P 的轨迹是〔 〕 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =---，，(3)PB x y =--，，由2PA PB x =·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+，P ∴点轨迹为抛物线．应选D ．三、代入法：此方法适用于动点随曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、待定系数法：当曲线的形状时，一般可用待定系数法解决.例5：A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =，1()2AE AB AD =+．〔1〕求E 点轨迹方程；〔2〕过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：〔1〕设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =，那么22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； 〔2〕设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，2211k k =+∴，解得33k =±． 将33y =±(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量〔参数〕，把x ，y 联系起来 例4：线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OPOP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，， 那么由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--，．两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.配套训练一、选择题1.椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，那么直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y xD.14922=-x y 二、填空题3.△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,那么动点A 的轨迹方程为_________.4.高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.双曲线2222by a x =1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y 〕,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y 〕，依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)6.解：设P (x 0,y 0〕(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，那么Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),那么A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++① A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y --② ①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0〕,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,那么(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
高中数学求轨迹方法及例题
高中数学求轨迹方法及例题1高中数学求轨迹方法及例题轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合。
求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
2常用方法在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程)，该法经常与参数法并用。
将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
3解题步骤建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;写出点M的集合;列出方程=0;化简方程为最简形式;检验。
①建系——建立适当的坐标系;②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围.由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的"完备性"和"纯粹性"，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明的取值范围，或同时注明的取值范围。
轨迹方程的求法
解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐标
原点，建立如图所示的直角坐标系，则B
（一a/2，0），C（a/2，0），设A（x，y）
则
由sinC－ sinB=
∴c-b=
1 2
a
1 2
sinA
A
B
C
即|AB|-|AC|=
1 2
a（定值）
些密如发丝的暗青色珠粒被烟一晃，立刻变成皎洁辉映的珠光，不一会儿这些珠光就闪烁着飞向罕见异绳的上空，很快在四金砂地之上 变成了隐隐约约的凸凹飘动的摇钱树……这时，宝石状的物体，也快速变成了树皮模样的湖青色胶状物开始缓缓下降……只见女政客
4、参数法 例题4、已知线段AB的长为a，P分AB为
AP∶PB= 2∶l两部分，当A点在y轴上运动时， B点在x轴上运动，求动点P的轨迹方程。
解 ： 设 动 点 P （ x ， y ） ， AB 和 x 轴 的 夹 角 为 θ ，
|θ|≤
2
，作PM⊥x于M,
PN⊥y轴于N
∵|AB|= a, | AP | 2
皮肤时浓时淡渗出水睡朦胧般的晃动！接着玩了一个，飞蟒吊灯翻一千零八十度外加狐嚎排骨旋七周半的招数，接着又来了一出，怪体 牛蹦海飞翻七百二十度外加笨转四百周的尊贵招式……紧接着异常的如同原木一样的脚立刻蠕动变形起来……鲜红色酒罐耳朵闪出水绿 色的团团明烟……深灰色麦穗样的嘴唇闪出中灰色的点点神响。最后摆起多变的深黄色土堆模样的卷发一嚎，飘然从里面涌出一道佛光， 她抓住佛光冷峻地一颤，一件银晃晃、黄澄澄的咒符『蓝鸟骨怪火腿宝典』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边转化，一边发出“咝 咝”的神响。骤然间女政客Ｔ．克坦琳叶女士急速地弄了一个侧卧扭曲炸蛤蟆的怪异把戏，，只见她修长的淡灰色怪石一样的脑袋中，威
轨迹方程问题专题-求轨迹方程
轨迹方程问题专题常见的有六种求轨迹方程的方法：①待定系数法：由几何量确定轨迹方程；②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程；③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程；④“代入法”求轨迹方程；⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程．⑤“交轨法”求轨迹方程；一．直接法求轨迹方程．给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等．求解程序：①设动点P 的坐标为P(x ，y)；②按题目的条件写出关系式；③整合关系式；④注明范围．例1．设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥，动点(,)M x y 的轨迹为E ．求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；二．根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程例2．已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
三．参数法求轨迹方程：例3．动圆P 过点A (0,1)且与直线y=-1相切，O 是坐标原点，动圆P 的圆心轨迹是曲线C.（1）求曲线C 的方程；（2）过A 作直线l 交曲线C 于,D E 两点，求弦DE 的中点M 的轨迹方程；（3）在（2）中求ODE ∆的重心G 的轨迹方程。
四．“代入法”求轨迹方程：设点M 是已知曲线F （x ，y ）＝0上的动点，点P 因点M 的运动而运动（即点P 是点M 的相关点），求点P 的轨迹方程．①设点M 的坐标为M （0x ，0y ），则F （0x ，0y ）＝0；②设点P 的坐标为P （x ，y ）；③因为“点P 随点M 的运动而运动”，可以求得：0x ＝f （x ，y ），0y ＝g （x ，y ）；④把0x ＝f （x ，y ），0y ＝g （x ，y ）代入F （0x ，0y ）＝0，即得所求点P 的轨迹方程．例 4.已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.求线段的中点的轨迹的方程.100(,)P x y 222218x y b b-=b 2F 1P A 2F A y 2P 1P 2P P E 2F 1F O y xA 2P 1P P五．“交轨法”求轨迹方程：设动曲线F(x,y ）＝0和动曲线G(x ，y)＝0相交于点P ，求点P 的轨迹方程．从理论上，其求解程序为：①设动点P 的坐标为：),(P P y x ；②解方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F ，求交点即得到． 其中一般会含有参数，有一个消除参数的难点．例5．已知椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为33．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．（1）求a 与b 的值；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为1F 和2F ，直线1L 过2F 且与x 轴垂直，动直线2L 与y 轴垂直，2L 交1L 于点P.求线段1PF 的垂直平分线与直线2L 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型.例7．已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，=λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．例8．已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． 练习：1.分别过12(1,0),(1,0)A A -作两条互相垂直的直线，则它们的交点M 的轨迹方程是_______.2.已知点F 为抛物线22y x =的焦点，P 在抛物线上运动，则线段PF 的中点轨迹方程是 .3.已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点．如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是 （ ），如果M 是线段1F P 的中点，则动点M 的轨迹是( ).（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线 4.设A ，B 分别是直线255y x =和255y x =-上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程. 5.已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为F(0,3)，过点F 且垂直长轴的弦长为，(1) 求椭圆的方程;(2) 过椭圆上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.OP OM1C 11C 1C。
第4节 求轨迹方程的专题训练
2 kt
t
(t为参数),直线l2的参数方程为
x y
2 m k
m
(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
写出C的普通方程.
【解析】 直线l1的普通方程为y k(x 2), 直线l2的普通方程为x 2 ky, 消去k得, x2 y2 4 即C的普通方程为x2 y2 4.
【例11】 (新课标卷)已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x, 设长为 2 的线段AB在直线l上移动,求直线PA和QB交点M的轨 迹方程.
【解析】 PA和QB的交点M (x, y)随A、B的移动而变化, 故可设A(t,t), B(t 1,t 1),则直线PA的方程 : y 2 t 2 (x 2)(t 2),
(4)多参问题中,根据方程的观点,引入n个参数,需建立n+1个 方程,才能消参(特殊情况下,能整体处理时,方程个数可减少).
【例9】 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A 点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
【解析】设M (x, y),连接MP,则A(2x, 0), B(0, 2 y), l1 l2 ,△PAB为直角三角形.
(2)用参数法求解时,选用什么变量为参数,要看动点随什么量 的变化而变化,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量, 如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横、 纵坐标等.也可以没有具体的意义.常见的参数有:斜率、截距、 定比、角、点的坐标等.
(3)选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值 范围的影响,要特别注意消参前后保持范围的等价性.
轨迹方程的求法及典型例题(含答案)
轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。
例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。
依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。
高考数学(理)专题练习——定义法(共三套)(含答案与解析)
高考数学（理）专题练习——定义法（一）一、在集合与常用逻辑用语应用例1．设集合{|(2)(3)0}S x x x =--≥，{|0}T x x =>，则S T I =（ ） （A ）[2,3] （B ）(,2][3,)-∞+∞U （C ）[3,)+∞（D ）(0,2][3,)+∞U 例2．设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件二、在函数中的应用例3．设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、g()()x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、 g()()x h x +均是以为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）（A ）①和②均为真命题（B ）①和②均为假命题 （C ）①为真命题，②为假命题（D ）①为假命题，②为真命题例4．在平面直角坐标系中，当()P x y ，不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222y xP x y x y ⎛⎫-' ⎪++⎝⎭，；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）． 三、在数列中的应用例例5．设数列{}n a 的前n 项和为n S 。
求动点的轨迹方程方法例题习题答案
求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。
求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。
求动点轨迹的常用方法动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标（x, y ）满足的关系式。
1. 直接法（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
例题 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长等与MQ ，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(x,y)，直线MN 切圆C 于N 。
依题意：MN MQ =，即22MN MQ = 而222NO MO MN-=,所以122-=MO MQ(x-2)2+y 2=x 2+y 2-1化简得：x=45。
动点M 的轨迹是一条直线。
2. 定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。
依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。
例题：动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：0822=-+x y x 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r 。
若圆M 与圆C 相外切，则有 ∣MC ∣=r ＋4 若圆M 与圆C 相内切，则有 ∣MC ∣=r-4 而∣MP ∣=r, 所以∣MC ∣-∣MP ∣=±4动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。
其中a=2, c=4。
动点的轨迹方程为：112422=-y x 3. 相关点法若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y 0)的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程。
轨迹方程求法及经典例题汇总
轨迹方程求法及经典例题汇总一、轨迹为圆的例题：1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程：必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为21，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论）2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。
（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。
（1）求圆心的P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线x y =的距离为22，求圆P 的方程。
如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x－4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载轨迹方程的几种求法整理(例题+答案)地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t 的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x，y）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
高三数学轨迹方程50题及答案
求轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程. (6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A 、22(2)(3)149x y +++= B 、22(2)(3)194x y --+= C 、22(2)(3)194x y +++= D 、22(2)(3)149x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y222214、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2 二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。
专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程及答案
专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程 【微点综述】在解析几何教学中，求动点的轨迹方程历来是教学重要专题之一，而曲线的定义反映了曲线的本质属性，它是相应标准方程和几何性质的“源”，也是解题的重要工具，如果能在求动点的轨迹方程中充分利用曲线的定义，常常会达到言简意明、异曲同工的效果．下面就其应用作一些举例介绍． 一、求轨迹方程——定义法若某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆、圆锥曲线的定义，则可以利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义等直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 二、常见情形1．到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线． 2．到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．3．平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径． 4．平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122,PF PF a F F a +=>为常数）的动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点，2a 为长轴长的椭圆． 5．平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（12122,PF PF a F F a -=<为常数）的动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点，2a 为实轴长的双曲线．6．平面内与一定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离之比对于常数()0e e >的动点的轨迹是圆锥曲线．当01e <<时为椭圆；当1e >时为双曲线；当1e =时为抛物线．其中，定点F 叫做圆锥曲线的焦点，定直线l 叫做圆锥曲线的准线． 三、应用举例1．利用圆的定义求轨迹方程 例11．一条定长为2a 的线段AB ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上滑动．求线段AB 的中点P的轨迹方程．2．利用椭圆的定义求轨迹方程 例2（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模）2．已知圆1C ：22(3)1x y ++=，2C ：22(3)81x y -+=，动圆C 与圆1C ，2C 都相切，则动圆C 的圆心轨迹E 的方程为________________l 与曲线E 仅有三个公共点，依次为P ，Q ，R ，则||PR 的值为________. 例3（2019年高考江苏卷17（1））3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．3．利用双曲线的定义求轨迹方程 例4（2021年新高考I 卷21（1））4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M的轨迹为C . （1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.例55．如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)y x C a b a b +=>>均过点P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．4．利用抛物线的定义求轨迹方程 例6（2014年高考福建文21）6．已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线=3y -的距离小2. （1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论. 例7（2013年高考全国II 理11）7．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为 F ，点M 在 C 上，5MF =，若以 MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为 A ．24y x =或 28y x = B ．22y x =或 28y x = C ．24y x =或 216y x = D ．22y x =或 216y x =5．解析几何与立体几何交汇轨迹问题例8（2022·全国·模拟预测）8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为点Q 为棱1AA 上一点，点P 在底面ABCD上，且PQ =M 为线段PQ 的中点，则线段1C M 长度的最小值是（ ）A ．2B ．6C ．2D ．6例9（2022·新疆·二模）9．在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足+=PA PB PD 的最大值为____________． 小结：定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线的几乎每个性质和问题都是由定义派生出来．对于这些常见的圆锥曲线问题，领悟定义优先的思想，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，往往能准确判断、简化运算，灵活解题．我们解决问题，总是希望寻找到最简单又不失本质的原理与方法，从以上案例中，不难发现解决圆锥曲线问题的首选策略是回归定义，优先考虑定义是求解圆锥曲线有关问题的第一思路，运用定义往往能使问题快捷求解． 【强化训练】（2022·四川凉山·三模）10．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 是抛物线C 上的动点，过点F 作直线()1210a x y a -+-+=的垂线，垂足为P ，则MFMP +的最小值为（ ）A B C ．5D ．3（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）11．在直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别是定直线y kx =和(0)=->y kx k 上的动点，若AOB 的面积为定值S ，则线段AB 的中点的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线（2022·上海青浦·三模）12．如图，ABC ⊥平面,D α为AB 中点，2AB =，60CDB ∠=，点P 为平面α内动点，且P 到直线CD APB ∠的最大值为__________.（2022·山西晋城·三模）13．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 是棱AB 的中点，点P 是底面ABCD 内的动点，且P 到平面11ADD A 的距离等于线段PM 的长度，则线段1B P 长度的最小值为______．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）14．已知平面上一动点P 到定点()1,0F 的距离与它到定直线=1x -的距离相等，设动点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的轨迹方程(2)已知点(B ，过点B 引圆()()222:402M x y r r -+=<<的两条切线BP ；BQ ，切线BP 、BQ 与曲线C 的另一交点分别为P 、Q ，线段PQ 中点N 的纵坐标记为λ，求λ的取值范围．（2022·广东·模拟预测）15．平面直角坐标系内有一定点(1,0)F -，定直线:5l x =-，设动点P 到定直线的距离为d ，且满足||PF d =(1)求动点P 的轨迹方程；(2)直线:3m y kx =-过定点Q ，与动点P 的轨迹交于不同的两点M ，N ，动点P 的轨迹与y 的负半轴交于A 点，直线,AM AN 分别交直线=3y -于点H 、K ，若||||35QH QK +≤，求k 的取值范围．（2022·云南师大附中高三月考）16．已知定圆()221:11F x y ++=，圆()222:125F x y -+=，动圆M 与定圆1F 外切，与定圆2F 内切．（1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）直线l 的方向向量()1,2a =-，直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，若AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 纵截距m 的取值范围．17．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. （2018年高考江苏卷18（1））18．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；①直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB ，求直线l 的方程． 19．已知点()0,2F ，过点()02P ,-且与y 轴垂直的直线为1l ，2l x ⊥轴，交1l 于点N ，直线l 垂直平分FN ，交2l 于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且2211x x m =-+ (m 为常数)，直线l '与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问ABC的面积是否为定值.若为定值，求出ABC 的面积；若不是定值，说明理由.参考答案：1．222x y a +=【分析】设AB 的中点坐标为(,)x y ，当A 、B 均不与原点重合时，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AB 中点轨迹，验证A 、B 有一点与原点重合时成立得答案． 【详解】当OA OB ⊥时，12OP AB =，即,OP a P =∴的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆，∴方程是222x y a +=（0x ≠且0y ≠）．当A 点为原点时，()0,B a 或()0,B a -，当B 点在原点时，()0A a ,或(),0A a -，P ∴点的轨迹方程是222x y a +=．2． 2212516x y +=，221167x y += 6011 【分析】根据动圆C 与圆1C ，2C 的位置关系，分情况讨论可知动圆C 的圆心轨迹为椭圆，然后计算,,a b c 即可，然后假设直线方程，根据直线于曲线E 的位置关系以及弦长公式，可得结果.【详解】设动圆C 的半径为R 由题可知：当动圆C 与圆1C 外切，与圆2C 内切时 则112122=+11069CC R CC CC C C CC R ⎧⎪⇒+=>=⎨=-⎪⎩所以可知动圆C 圆心轨迹为椭圆所以210=5,3=⇒=a a c ，故22216b a c =-=所以动圆C 的圆心轨迹E 的方程为2212516x y +=当动圆C 与圆1C 内切，与圆2C 内切时 则112122=1869CC R CC CC C C CC R ⎧-⎪⇒+=>=⎨=-⎪⎩所以可知动圆C 圆心轨迹为椭圆所以28=4,3=⇒=a a c ，故2227b a c =-= 所以动圆C 的圆心轨迹E 的方程为221167x y +=所以动圆C的圆心轨迹E的方程为2212516x y+=，221167x y+=设直线l方程为y m=+，()()1122,,,P x y R x y由直线l与曲线E仅有三个公共点则直线l与221167x y+=相切于点Q，与2212516x y+=相交于点P,R所以2222139161120167x yx by m⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩则()()22243916112039∆=-⨯⨯-=⇒=b b22221662540002516x yx by m⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩212122540066-+==bx x x x则PR则PR239=b代入可得6011=PR故答案为：2212516x y+=，221167x y+=；6011【点睛】本题考查椭圆的定义，以及弦长公式，考验分析问题能力以及计算能力，属中档题. 3．（1）22143x y+=；（2）3(1,)2E--.【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2①x轴，所以DF232=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2， 因为AF 2①x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2. 由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得=1x -或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以=1x -.将=1x -代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而①BF 1E =①B .因为F 2A =F 2B ，所以①A =①B ， 所以①A =①BF 1E ，从而EF 1①F 2A . 因为AF 2①x 轴，所以EF 1①x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,)2E --.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 4．（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值. 【详解】(1)因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b =，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB x -=-．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21()2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-． 因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=． [方法二] ：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩， 联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==， 同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅ 由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=， 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆． 设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=． 又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得： []2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=， 其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦．由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.5．(1)1C 的方程为：2213y x -=；2C 的方程为22132y x+= (2)不存在，证明见解析【分析】（1）根据以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形得 121,1a c ==，分别将P 的坐标代入双曲线和椭圆方程，可求出双曲线和椭圆方程；（2）当直线l 垂直于x 轴时，求出,A B 的坐标，可以验证OA OB AB +≠；当直线l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m =+，代入双曲线方程，由韦达定理得到,A B 两个点的横坐标、纵坐标之间的关系，代入椭圆方程，根据判别式得到2223k m =-，利用韦达定理推出0OA OB ⋅≠，从而可推出OA OB AB +≠.（1）设2C 的焦距为22c ，因为1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．所以2122,22c a ==，从而121,1a c ==，因为点P ⎫⎪⎝⎭在双曲线22211y x b -=上，所以22121113b b -=⇒=⎝⎭， 所以1C 的方程为：2213y x -=.因为点P ⎫⎪⎝⎭在222222222:1(0)y x C a b a b +=>>上，所以22221314a b +=， 因为222222221b a c a =-=-，所以22221413(1)a a +=-，解得223a =，所以222b =， 所以2C 的方程为22132y x+=. （2）不存在符合题设条件的直线，证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，因为l 与2C只有一个公共点，所以直线的方程为x =或x =当x,,AB所以22,23OA OB AB +==此时OA OB AB +≠，当x =OA OB AB +≠.当直线l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m =+，由 2213y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()2223230k x kmx m ----=，当l 与1C 相交于,A B 两点时，230k -≠,222(2)4(3)(3)0km k m ∆=-+-+>,即2230m k +->，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122223,33km m x x x x k k ++==--， 于是()22222221212121222(3)2()()33k m k m y y kx m kx m k x x km x x m m k k+=++=+++=++-- 222333k m k -=-， 由22132y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222234260k x kmx m +++-=， 因为直线l 与2C 只有一个公共点，所以()()2222016423260k m k m ∆=⇒-+-=，化简可得2223k m =-，因此22222212122222333332303333m k m k m k OA OB x x y y k k k k +-+---⋅=+=+==≠----， 于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++⋅≠+-⋅， 即22OA OB OA OB +≠-，所以OA OB AB +≠， 综上所述：OA OB AB +≠，所以不存在符合题目条件的直线l ．6．（1）24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明见解析. 【详解】试题分析：（1）思路一：设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点， 依题意可知曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 得到曲线Γ的方程为24x y =.思路二：设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，由(3)2y --==，化简即得.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，得20014y x =， 应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线l 的方程为2001124y x x x =-. 由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得01(,0)2A x . 由20011243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得0016(,3)2M x x +. 根据(0,3)N ，得圆心0013(,3)4C x x +，半径0011324r MN x x ==+，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定AB 试题解析：解法一：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点， 依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，则20014y x =， 由12y x '=，得切线l 的斜率001|2x x k y x =='=， 所以切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2001124y x x x =-. 由20011{240y x x x y =-=，得01(,0)2A x .由20011{243y x x x y =-=，得016(,3)2M x x +. 又(0,3)N ，所以圆心0013(,3)4C x x +，半径0011324r MN x x ==+，AB ===所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.解法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，则(3)2y --==，依题意，点(,)S x y 只能在直线=3y -的上方，所以3y >-，1y =+，化简得，曲线Γ的方程为24x y =.（2）同解法一.考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系. 7．C【详解】①抛物线C 方程为22(0)y px p =>,①焦点(,0)2pF ，设(,)M x y ,由抛物线性质52p MF x =+=,可得52p x =-，因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52，由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4， 即(5,4)2pM -,代入抛物线方程得210160p p -+=，所以p=2或p=8. 所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ,以MF 为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p 的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键. 8．B【分析】根据给定条件，确定点M 所在的轨形迹图，再利用该图形的性质即可求解作答.【详解】依题意，正方体1111ABCD A B C D -，当点P 与A 不重合时，AQ AP ⊥，如图，因点M 为线段PQ 的中点，则12AM PQ ==P 与A 重合时，12AM PQ ==即无论点P ，Q 如何运动，总有AM M 在以点A 18球面上，而16AC ==，所以线段1C M 长度的最小值是16AC = 故选：B【点睛】结论点睛：球面一点与球面上的点间距离最小值等于这一点与球心距离减球半径；球面一点与球面上的点间距离最大值等于这一点与球心距离加球半径，9．【分析】先由+=PA PB P 的轨迹是椭圆，由点D 在底面ABC 上的射影恰为短轴端点E ，得到PD =)P θθ，求出PE 最大值，进而得到PD 的最大值.【详解】取AB 的中点O ，连接OC ，以AB 为x 轴，OC 为y 轴，建立直角坐标系，则点P 在以A ，B 为焦点的椭圆上，且3==a c ，①23b =，即椭圆方程为221123x y +=，易知点D 在底面ABC 上的射影恰为短轴端点E ，DE ==①==PD设)P θθ，由E ，则2222112cos 3sin 6sin 39sin 163⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭PE θθθθ，①()2max16=PE，当1sin 3θ=-取得，①max ||==PD故答案为：【点睛】本题关键点在于确定点P 的轨迹是椭圆，由点D 在底面ABC 上的射影恰为短轴端点E ，将PD 的最大值转化为PE 最大值，再借助椭圆的参数方程求出PE 最大值即可. 10．A【分析】由条件确定点P 的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求MF MP +的最小值. 【详解】① 抛物线C 的方程为24y x =， ① (1,0)F ，抛物线C 的准线方程为=1x -，① 方程()1210a x y a -+-+=可化为()1(1)2y a x -=--， ①()1210a x y a -+-+=过定点(2,1)B ，设(,)P x y ，设,F B 的中点为A ，则31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，因为FP BP ⊥，P 为垂足，①122PA FB ==，所以22311222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点P 的轨迹为以A 过点M 作准线=1x -的垂线，垂足为1M ，则1MM MF =,① 1=MF MP MM MP ++,，又MP MA ≥，当且仅当,,M P A 三点共线且P 在,M A 之间时等号成立，① 1MF MP MM MA +≥+， 过点A 作准线=1x -的垂线，垂足为1A ，则115=2MM MA AA +≥,当且仅当1,,A M A 三点共线时等号成立，① MF MP +≥1,,,A M P A 四点共线且P 在,M A 之间时等号成立，所以MF MP +故选：A.11．C【分析】设()()1122,,,-A x kx B x kx ，由于AOB 的面积为定值，可得出12x x 为定值，设12=x x T ，设线段AB 的中点为M，因为()22224M M y x T k ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，即可得出线段AB 的中点的轨迹为双曲线.【详解】设()()1122,,,-A x kx B x kx ，则12||,||==OA OB .由于AOB 的面积为定值且sin AOB ∠为定值，从而12x x 为定值，设12=x x T . 设线段AB 的中点为M ，则122M x x x +=，()122-=M k x x y ， 故()()()22221212122244⎛⎫-=+--==± ⎪⎝⎭M M y x x x x x x x T k 为定值， 从而线段AB 的中点的轨迹为双曲线. 故选：C. 12．3π 【分析】由题意，可知P 的椭圆轨迹，即可知当PA PB =，即P 在椭圆短轴的顶点上时APB ∠最大，即可求最大值.【详解】由题设，ABC ⊥平面,D α为AB 中点，2AB =，60CDB ∠=，点P 为平面α内动点，且P 到直线CD①P 是以CD 为轴，α相交的椭圆轨迹上，即以D 为中心,A B 为焦点，2b =24a ==为长轴长的椭圆上，如下图示，①由椭圆的性质知：当且仅当PA PB =，即P 在椭圆短轴的端点上时，APB ∠最大有3APB π∠=.故答案为：3π. 【点睛】关键点点睛：根据题设，确定P 在圆柱体在平面α的交线上，以D 为中心,A B 为焦点， 4为长轴长的椭圆.13．【分析】根据抛物线的定义，可知点P 是以M 为焦点，以AD 为准线的抛物线，然后根据空间中两点的距离来求解.【详解】由P 到平面11ADD A 的距离等于线段PM 的长度，可知点P 是以M 为焦点，以AD 为准线的抛物线.以AM 中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.()1,0,0M ()13,0,4B ，设(),0P x y ，点P 的方程为：()24,03y x x =≤≤1B P 当1x =时，1B P 长度最小为故答案为： 14．(1)24y x ＝；(2)λ的取值范围为(--．【分析】(1)根据曲线轨迹方程的定义求解；(2)设切线BP 的方程为12y k x +＝（﹣）BQ 的方程为22y k x +＝（﹣）12k k += 212284r k k r =--，再求出122y y t +==-，即得解.（1） 设(,)P x y ，|1|x =+， 化简得()222(1)1x y x -+=+， 所以24y x =，所以曲线C 的方程为24y x ＝， （2）由已知2B（，所以切线,BP BQ 的斜率存在，设切线BP 的方程为12y k x -+＝（） 则圆心40M （，）到切线AP的距离d r ==，所以22211480r k r -++（）﹣＝， 设切线BQ 的方程为22y k x -+＝（）同理可得22222480r k r -++（）﹣＝， 所以12kk ，是方程222480r k r -++（）﹣＝的两根，所以12k k += 212284r k k r =--，设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立12(2)4y k x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩211048k y y k +﹣﹣，所以11=所以114y k =-，同理224y k =-，所以121244(=22y y k k λ-+-++=12112k k ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=12122k k k k +⋅=﹣224284r r r -=-⋅--=- 因为02r ＜＜，所以2111884r <<-所以--<- 所以λ的取值范围为(--．【点睛】求取值范围常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）基本不等式法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 15．(1)动点P 的轨迹方程为椭圆22154x y +=(2)[7,1)(1,7]--【分析】（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，根据题意列式再化简方程求解即可；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，再根据,AM AN 的直线方程得出,K H x x ，联立直线MN 与椭圆的方程，得出韦达定理与判别式中k 的范围，进而将韦达定理代入||||QH QK +化简可得||7k ≤，结合判别式中k 的范围即可得（1）设动点P 的坐标为(,)x y，因为||PF d ==2225(1)|5|x y x ⎡⎤++=+⎣⎦，整理得22154x y +=．所以动点P 的轨迹方程为椭圆22154x y +=． （2）设()()1122,,,M x y N x y ，由（1）可得A 的坐标为(0,2)-， 故直线112:2y AM y x x +=-，令=3y -，则112H xx y =-+，同理222K x x y =-+．直线:3MN y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得()224530250k x kx +-+=， 故()22Δ900100450k k =-+>，解得1k <-或1k >．又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >， 又1212||||22H K x xQH QK x x y y +=+=+++ ()()22121212222121212225030245455||253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --+++=+===---++-+++， ①||||35QH QK +≤， 故5||35k ≤，即||7k ≤， 综上，71k -≤<-或17k <≤． 所以k 的取值范围是[7,1)(1,7]--．16．（1）22198x y ；（2）⎛-⋃ ⎝⎭⎝． 【分析】（1）设动圆M 的半径为r ，分析得出1262MF MF +=>，利用椭圆的定义可知点M的轨迹为椭圆，确定该椭圆的焦点，求出a 、b 、c 的值，即可得出轨迹E 的方程； （2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为2y x m =-+，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得出0OA OB ⋅>，结合0∆>可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）设动圆M 的半径为r ，由图可知，圆1F 内含于圆2F ，圆1F 的半径为1，圆2F 的半径为5.动圆M 与定圆1F 外切，则11MF r =+，动圆M 与定圆2F 内切，则25MF r =-， 由题意知：()()121562MF MF r r +=++-=>，根据椭圆定义，圆心M 的轨迹是以原点为中心，1F 、2F 为焦点，长半轴长3a =，半焦距1c =的椭圆，2228b a c ∴=-=，E ∴的方程为22198x y ；（2）直线l 的方向向量为()1,2a =-，所以直线l 的斜率为2-． 设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为2y x m =-+，由222198y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2244369720x mx m -+-=．直线l 与椭圆E 有两个交点，所以，()()22223644498288440m m m ∆=-⨯⨯-=->，解得m -<<由韦达定理可得12911m x x +=，21297244m x x -=，AOB ∠为锐角，()()1212121222OA OB x x y y x x x m x m ∴⋅=+=+-+-+()()22212122597223652401444736044m m m x x m x x m m m -==-⨯⋅-++-+=>，m ∴>m <综上，直线l 的纵截距m 的取值范围为⎛-⋃ ⎝⎭⎝． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．17．(①)答案见解析；(①)⎡⎣.【详解】试题分析：（①）利用椭圆定义求方程；（①）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值．试题解析：（①）因为，，故，所以，故. 又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（①）当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为()12,83.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.【考点】圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.18．（1）2214x y +=，223x y +=；（2）①；①y =+【分析】（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a ,b ，即得椭圆方程；（2）方法一：①先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标；①先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程. 【详解】（1）因为椭圆C 的焦点为()12,F F ，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=． （2）［方法一］：【通性通法】代数法硬算①设直线l 与圆O 相切于()0000,(0,0)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640x y x x x y +-+-=（*），因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y =，因此，点P的坐标为． ①因为三角形OAB，所以12AB OP ⋅=，从而AB = 设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,20024x x y =+所以()()2221212AB x x y y =-+-()()222000222200048214y x x y x y -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭+． 因为22003x y +=，所以()()2202216232491x AB x-==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为⎝⎭． 综上，直线l的方程为y =+［方法二］： 圆的参数方程的应用设P点坐标为π),0,2ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为原点到直线cos sin x y αα+=d r ==，所以与圆O 切于点P 的直线l的方程为cos sin x y αα+=由22cos sin 1,4x y x y αα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()22213cos )124sin 0x x ααα+-+-=． ①因为直线l 与椭圆相切，所以()()22Δ16cos 23cos 20αα=-⋅--=．因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos (0,1)α∈，故cos α=，sin α=．所以，P点坐标为．①因为直线:cos sin l x y αα+=O 相切，所以OAB 中边ABr =，因为OAB，所以||AB = 设()()1122,,,A x y B x y ，由①知22121222124sin 84cos 13cos 13cos x x x x αααα-++===++||AB ==， 即64218cos 153cos 235cos 1000ααα-+-=，即()()()2226cos 5cos 13cos 200ααα---=．因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos (0,1)α∈，故25cos 6α=，所以cos αα==所以直线l的方程为y =+．［方法三］：直线参数方程与圆的参数方程的应用设P点坐标为π),0,2ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则与圆O 切于点P 的直线l 的参数方程为：πcos2πsin2x ty tαααα⎧⎛⎫=++⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=++⎪⎪⎝⎭⎩（t为参数），即sincosx ty tαααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t为参数）．代入2214xy+=，得关于t的一元二次方程()()22213cos cos)89cos0t tαααα+++-=．①因为直线l与椭圆相切，所以，()()222Δcos)413cos89cos0αααα=-+-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos(0,1)α∈，故cosα=，sinα=．所以，P点坐标为．①同方法二，略．【整体点评】（2）方法一：①直接利用直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系代数法硬算，即可解出点P的坐标；①根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点P的坐标，是该题的通性通法；方法二：①利用圆的参数方程设出点)αα，进而表示出直线方程，根据直线与椭圆的位置关系解出点P的坐标；①根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点P的坐标；方法三：①利用圆的参数方程设出点)αα，将直线的参数方程表示出来，根据直线与椭圆的位置关系解出点P的坐标；①根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点P的坐标．19．(1)28x y=(2)是定值，23(1)64m+【分析】（1）由题意得FM MN=，结合抛物线的定义即可求得点M的轨迹方程；（2）设出直线AB的方程，联立抛物线求得AB的中点Q坐标，再联立切线与抛物线求出切点坐标，得到CQ x⊥轴，结合2211x x m=-+以及1212ABCCS Q x x=⋅-求得23(1)64ABCmS+=即可求解.（1）。
高三数学轨迹方程50题及答案
求轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程. （5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程.(6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=2(x+y) B 、x 2+y 2=2|x+y| C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|) D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)yB 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)yC 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A 、22(2)(3)149x y B 、22(2)(3)194x yC 、22(2)(3)194x y D 、22(2)(3)149x y13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x 15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。
动点轨迹问题
练习 2 如图，圆 O 的半径为定长 r ， A 是圆 O 外一定点，P 是圆 上任意一点。线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q ，当
点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是什么？为什么？
练习 43 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 是平
面 AC 内一动点，若 P 到直线 AB 与直线 CA 1CD 11 的距离相
练习1 已知定圆x2+y2-6x-55=0,动圆M 和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心 M的轨迹及其方程.
新疆 王新敞
奎屯
例 2 如图，圆 O 的半径为定长 r ， A 是圆 O 内一定点， P 是圆上任意一点。线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q ，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是什
转移法:如果所求轨迹上的点P(x,y)是随 另一个在已知曲线C上的动点M(x0,y0)的 变化而变化，且x0,y0能用x,y表示，即 代入已知曲线，化简后即为所求的轨迹 方程．
例3.长度为2的线段AB的两个端点A、B 分别在x轴、y轴上滑动，点M分AB的比
为 ，求点M的轨迹方程.
3 2
动点轨迹问题
----定义法
P’
例1.已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6， 且∆ABC的周长等于16，求顶点A的轨 迹方程.
例1.已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6， 且∆ABC的周长等于16，求顶点A的轨 迹方程.
解解：以BC所在直线为x轴，BC中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点A(x,y)，
f(x,y)0
新疆 王新敞
学案
（4）化方程为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标 的点都是曲线上的点（略）;
高考数学复习---轨迹方程规律方法及典型例题
高考数学复习---轨迹方程规律方法及典型例题【规律方法】求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线为y =，(1)求双曲线方程；(2)过点()0,1的直线l 与双曲线交于异支两点,,P Q OM OP OQ =+，求点M 的轨迹方程. 【解析】（1）由渐近线为y知，ba=(),0c 到直线y ==2c =，224a b +=②，联立①②，解得21a =，23b =，则双曲线方程为2213y x −=.（2）因为直线l 与双曲线交于异支两点,P Q ，所以直线l 的斜率必存在，且经过()01，点，可设直线:1l y kx =+，与双曲线联立得：()223240kxkx −−−=，设()()()1122,,,,,M x y P x y Q x y ，则有122122Δ023403k x x k x x k ⎧⎪>⎪⎪+=⎨−⎪−⎪⋅=<⎪−⎩解得k <由OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r 知，()1221212223623k x x x k y y y k x x k ⎧=+=⎪⎪−⎨⎪=+=++=⎪−⎩两式相除得3x k y =，即3x k y =代入263y k=−得22230y y x −−=，又k <2y …， 所以点M 的轨迹方程为()222302y y x y −−=…. 例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点()01P ，的直线l 交曲线2214y x −=于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为45︒，求AB ；(2)若线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．【解析】（1）由题得l 方程为：1y x =+，将其与2214yx −=联立有22114y x y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得：23250x x −−=，解得=1x −或53x =. 则令A ()1,0−，B 5833⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则AB=. （2）由题，直线l 存在，故设l 方程为：1y kx =+.将其与2214y x −=联立有：22114y kx y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得：()224250k x kx −−−= 因l 与双曲线有两个交点，则2240Δ80160k k ⎧−≠⎨=−>⎩， 得205k ≤<且24k ≠.设()()1122,,A x y B x y ，. 又设M 坐标为()00x y ，，则12120022，x x y y x y ++==. 因A ，B 在双曲线上，则有()221112012212120222144414y x x x x y y k y y x x y y x ⎧−=⎪+−⎪⇒=⇒=⎨+−⎪−=⎪⎩. 又M ，()01P ，在直线l 上，则001y k x −=.故000014y x x y −=2200040x y y ⇒−+= 由韦达定理有，12224k x x k +=−，12284y y k +=−. 则M 坐标为22444,k k k ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭.又0244y k=−，205k ≤<且24k ≠，则01y ≥或04y <−. 综上点M 的轨迹方程为：2240x y y −+=，其中()[)41y ⋃∞∈−∞−+，，. 例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．(1)已知动点P 为圆222:O x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；(2)若动点Q 为椭圆22:194x y M +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，求出动点Q 的轨迹方程；(3)在（2）问中若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．【解析】（1）由切线的性质及0PA PB ⋅=可知，四边形OAPB 为正方形， 所以点P 在以O 为圆心，||OP长为半径的圆上，且|||OP OA ， 进而动点P 的轨迹方程为2222x y r += （2）设两切线为1l ，2l ，①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则03x ≠±， 设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k−，1l 的方程为00()y y k x x −=−，联立22194x y +=， 得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++−+−−=，因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，得22222000018()4(49)9[()4]0k y kx k y kx −−+⋅−−=， 化简，2222200009()(49)()(49)40k y kx k y kx k −−+−++=，进而2200()(49)0y kx k −−+=，所以2220000(9)240−−+−=x k x y k y 所以k 是方程222000(9)240−−+−=x k x y k y 的一个根， 同理1k−是方程222000(9)240−−+−=x k x y k y 的另一个根， 202041()9y k k x −∴⋅−=−，得220013x y +=，其中03x ≠±，②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直， 可知：P 点坐标为：(3,2)±±，P 点坐标也满足220013x y +=，综上所述，点P 的轨迹方程为：220013x y +=．（3）动点Q 的轨迹方程是222200x y a b +=+以下是证明： 设两切线为1l ，2l ，①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则0x a ≠±， 设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k−，1l 的方程为00()y y k x x −=−，联立22221x y a b+=， 得2222222220000()2()()0b a k x a k y kx x a y kx a b ++−+−−=，因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，得()222222220000222()4()[()]0a k y kx k y kx b a a b −−+⋅−−=，化简，222220002222202()()()()0a b a b a k y kx k y kx b k −−+−++=， 进而220220()()0y x b k a k −−+=，所以222000022()20x k x y k y a b −−+−= 所以k 是方程22200022()20x k x y k y a b −−+−=的一个根， 同理1k−是方程222000022()20x k x y k y a b −−+−=的另一个根，2020221()y k ax b k −∴⋅−=−，得222200x y a b +=+，其中0x a ≠±， ②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直， 可知：P 点坐标为：(,)a b ±±，P 点坐标也满足222200x y a b +=+，综上所述，点P 的轨迹方程为：222200x y a b +=+．。
轨迹方程的求法及典型例题(含答案)
轨迹方程的求法一.常识温习轨迹方程的求法罕有的有（1）直接法;（2）界说法;（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法;（6）相干点法 留意：求轨迹方程时留意去杂点,找漏点. 一.常识温习例1：点P （－3,0）是圆x2+y2－6x －55=0内的定点,动圆M 与已知圆相切,且过点P,求圆心M 的轨迹方程.例 2.如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A.B 是圆上两动点,且知足∠APB=90°,求矩形APBQ 的极点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R,坐标为(x,y),则在Rt△ABP 中,|AR|=|PR|.又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理：在Rt△OAR 中,|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x －10=0是以点R 在一个圆上,而当R 在此圆上活动时,Q 点即在所求的轨迹上活动. 设Q(x,y),R(x1,y1),因为R 是PQ 的中点,所以x1=2,241+=+y y x , 代入方程x2+y2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0整顿得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.例3.如图, 直线L1和L2订交于点M, L1L2, 点N L1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L2的距离与到点N 的距离相等. 若AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 树立恰当的坐标系,求曲线段C 的方程.解法一：如图树立坐标系,以l1为x 轴,MN 的垂直等分线为y 轴,点O 为坐标原点. 依题意知：曲线段C 是以点N 为核心,以l2为准线的抛物线的一段,个中A,B 分离为C 的端点.设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ,个中xA,xB 分离为A,B 的横坐标,P=|MN|. 由①,②两式联立解得px A 4=.再将其代入①式并由p>0解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====2214A Ax p x p 或 因为△AMN是锐角三角形,所以Ax p >2,故舍去⎩⎨⎧==22A x p∴p=4,xA=1由点B 在曲线段C 上,得42||=-=p BN x B .综上得曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y解法二：如图树立坐标系,分离以l1.l2为 轴,M 为坐标原点.作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2垂足分离为E.D.F 设A(xA, yA).B(xB, yB).N(xN, 0) 依题意有例4.已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y=x,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解：PA 和QB 的交点M （x,y ）随A.B 的移动而变更,故可设)1,1(),,(++t t B t t A , 则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t,得.082222=+-+-y x y x当t=－2,或t=－1时,PA 与QB 的交点坐标也知足上式,所以点M 的轨迹方程是 例5.设点A 和B 为抛物线 y2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M 的轨迹方程,并解释它暗示什么曲线. 解法一：设M(x,y),直线AB 的方程为y=kx+b 由OM⊥AB,得k=－yx由y2=4px 及y=kx+b,消去y,得k2x2+(2kb －4p)x+b2=0 所以x1x2=22kb , y1y2=kpb 4,由OA⊥OB,得y1y2=－x1x2 所以kpk4=－22kb , b=－4kp故y=kx+b=k(x －4p), 得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点.解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意,有⎧①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2) 若x1≠x2,则有2121214y y px x y y +=--⑥①×②,得y12·y22=16p2x1x2 ③代入上式有y1y2=－16p2⑦⑥代入④,得yxy y p -=+214⑧⑥代入⑤,得py x y y x x y y y y p442111121--=--=+所以211214)(44y px y y p y y p --=+即4px －y12=y(y1+y2)－y12－y1y2 ⑦.⑧代入上式,得x2+y2－4px=0(x≠0) 当x1=x2时,AB⊥x 轴,易得M(4p,0)仍知足方程.故点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点.轨 迹 方 程(演习1)1．(08.山东文22)已知曲线1C ：||||1(0)x y a b a b+=>>所围成的关闭图形的面积为 45,曲线1C 的内切圆半径为253,记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为极点的椭圆．(1)求椭圆2C 的尺度方程; (2)设AB 是过椭圆2C 中间的随意率性弦,L 是线段AB 的垂直等分线,M 是L 上异于椭圆中间的点．①若||MO ＝λ||OA (O 为坐标原点),当点A 在椭圆2C 上活动时,求点M 的轨迹方程; ②若M 是L 与椭圆2C 的交点,求AMB ∆的面积的最小值．解：(1)由题意得22245253ab ab a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩⇒4522==b a ，⇒椭圆方程：2254x y +＝1．(2)若AB 地点的斜率消失且不为零,设 AB 地点直线方程为y ＝kx(k≠0),A(A A y x ，)．①由22154,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩⇒2222220204545A A k x y k k ==++， ⇒2222220(1)||45AAk OA x y k+=+=+． 设M(x,y),由|MO|＝λ|OA|(λ≠0)⇒|MO|2＝λ2|OA|2⇒2222220(1)45k x y k λ++=+．因为L 是AB 的垂直等分线,所以直线L 的方程为y ＝1x k -⇒k ＝x y-,代入上式有：22222222222220(1)20()4545x x y y x y x y x yλλ+++==++⨯,由022≠+y x ⇒2225420x y λ+=, 当k ＝0或不存时,上式仍然成立.,综上所述,M 的轨迹方程为22245x y λ+=,（λ≠0）．②当k 消失且k ≠0时,2222220204545AA k x y k k ==++，⇒|OA|2＝222220(1)45A A k x y k ++=+． 由221541x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⇒2222220205454M M k x y k k ==++，⇒22220(1)||54k OM k +=+． ⇒222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++＝209．222119||||20OA OB OA OM ≤+=⨯⇒||||OB OA ⨯≥940． ||||221OB OA S AMB ⨯⨯⨯=∆＝||||OB OA ⨯≥940, 当且仅当4＋5k2＝5＋4k2时,即k ＝±1时等号成立． 当14002522529AMB k S ∆==⨯⨯=>，; 当k 不消失时,140542529AMB S ∆=⨯⨯=>． 综上所述,AMB ∆的面积的最小值为409．2．（07.江西理21）设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分离为1d 和2d ,2APB θ∠=,且消失常数(01)λλ<<,使得212sin d d θλ=．(1)证实：动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程;(2)过点B 作直线与双曲线C 的右支于M N ，两点,试肯定λ的规模,使OM ·ON ＝0,个中点O 为坐标原点．解：(1)在PAB △中,2AB =,即222121222cos2d d d d θ=+-,2212124()4sin d d d d θ=-+,即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<（常数）,点P 的轨迹C 是认为A B ，核心,实轴长221a λ=-的双曲线,方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11()M x y ，,22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(11)M ，,(11)N -，在双曲线上． 即2111511012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-, 因为01λ<<,所以512λ-=． ②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得： 2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦,由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦ ⇒21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--,2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=-- ⇒22212122(1)(1)(1)k y y k x x kλλλ=--=--． 由OM ·ON ＝0,且M N ，在双曲线右支上,所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>-⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩． 由①②知32215<≤-λ． 3．（09.海南）已知椭圆C 的中间为直角坐标系xOy 的原点,核心在x 轴上,它的一个极点到两个核心的距离分离是7和1．（1）求椭圆C 的方程;（2）若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,2OP e OM=（e 为椭圆C 的离心率）,求点M 的轨迹方程,并解释轨迹是什么曲线．解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分离为a,c ．由已知得⎩⎨⎧=+=-71c a c a ⇒a ＝4,c ＝3⇒椭圆C 的方程为221167x y +=．（2）设M （x,y ）,P （0x ,0y ）．个中0x ∈[－4,4],0x ＝x ．有22001167x y +=……①由OPe OM=得：2240022x y e x y +=+＝169． 故22220016()9()x y x y +=+【下面是查找关系式0x ＝f （x,y ）,0y ＝g （x,y ）的进程】又⎪⎩⎪⎨⎧-==167112220220x y x x ……………………………………②②式代入①：22001167x y +=并整顿得：47(44)3y x =±-≤≤,所以点M 的轨迹是两条平行于x轴的线段．轨 迹 方 程(演习2)4．（09.重庆理）已知以原点O 为中间的椭圆的一条准线方程为433y =,离心率32e =,M 是椭圆上的动点．(1)若C.D 的坐标分离是(0,√3).(0,－√3),求||MC ·||MD 的最大值;(2)如图,点A 的坐标为(1,0),点B 是圆221x y +=上的点,点N 是点M(椭圆上的点)在x 轴上的射影,点Q 知足前提：OQ ＝OM ＋ON ,QA ·BA ＝0．求线段QB 的中点P 的轨迹方程．解：(1)设椭圆方程为：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）．准线方程433y =＝ca 2,32e =＝a c ⇒2=a ,32=c 1=⇒b ⇒椭圆方程为：2214y x +=．所以：C.D 是椭圆2214y x +=的两个核心⇒||MC ＋||MD ＝4．||MC ·||MD ≤4)2||||(2=+MD MC ,当且仅当||MC ＝||MD ,即点M的坐标为(1,0)±时上式取等号⇒||MC ·||MD 的最大值为4． (2)设M(,),(,)m m B B x y B x y ,(,)Q Q Q x y ,N(0，m x )⇒4422=+m my x ,122=+B B y x ． 由OQ ＝OM ＋ON⇒m Q x x 2=,m Q y y =⇒4)2(2222=+=+m m Q Qy x y x ………① 由QA ·BA ＝0⇒(Q Q y x --，1)·(B B y x --，1)＝(Q x -1)(B x -1)＋B Q y y ＝0 ⇒=+B Q B Q y y x x 1-+B Q x x …………②记P 点的坐标为(P x ,P y ),因为P 是BQ 的中点⇒B Q P x x x +=2,B Q P y y y +=2 ⇒2222)2()2(BQ BQ PPy y x x y x +++=+＝)22(412222B Q B Q B Q B Qy y x x y y x x +++++ ＝)]1(25[41-++B Q x x ＝)245(41-+P x ⇒P P Px y x +=+4322 ⇒动点P 的方程为：1)21(22=+-y x ．5．（09.安徽）已知椭圆22ax ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为33．以原点为圆心,以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切． （1）求a 与b 的值;（2）设该椭圆的左,右核心分离为1F 和2F ,直线1L 过2F 且与x 轴垂直,动直线2L 与y 轴垂直,2L 交1L 1PF 的垂直等分线与直线2L 的交点M 的轨迹方程,并指明曲线类型 解：（1）e ＝33⇒22ab ＝32．又圆心（0,0）到直线y ＝x ＋2的距离d ＝半径b ＝22112+,∴2b ＝2,2a ＝3．12322=+y x（2）1F （－1,0）.2F （1,0）,由题意可设P （1,t ）（t≠0）.那么线段1PF 的中点为N （0,2t）．2L 的方程为：y ＝t,设M(M M y x ,)是所求轨迹上的随意率性点.【下面求直线MN 的方程,然后与直线2L 的方程联立,求交点M 的轨迹方程】 直线1PF 的斜率k ＝2t,∴线段1PF 的中垂线MN 的斜率＝－t2．所以：直线MN 的方程为：y －2t ＝－t 2x ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==22t x t y t y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=t y t x MM 42, 消去参数t 得：M M x y 42-=,即：x y 42-=,其轨迹为抛物线（除原点）．又解：因为MN ＝（－x,2t－y ）,1PF ＝（－x,2t －y ）．∵MN ·1PF ＝0,∴⎪⎩⎪⎨⎧==---ty y t x t x 0)2(·)2,(，,消参数t 得：x y 42-=（x≠0）,其轨迹为抛物线（除原点）．6．(07湖南理20）已知双曲线222x y -=的左.右核心分离为1F ,2F ,过点2F 的动直线与双曲线订交于A B ，两点．【直接法求轨迹】（1）若动点M 知足1111FM F A F B FO =++（个中O 为坐标原点）,求点M 的轨迹方程; (2)在x 轴上是否消失定点C ,使CA ·CB 为常数？若消失,求出点C 的坐标;若不消失,请解释来由．解：(1)由前提知1(20)F -，,2(20)F ，,设11()A x y ，,22()B x y ，．设()M x y ，,则1(2)FM x y =+，,111(2)F A x y =+，,1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，, 由1111FM F A F B FO =++⇒121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩⇒12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩⇒AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时,1212024822y y y y x x x x --==----, 即1212()8yy y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上,所以22112x y -=,22222x y -=,两式相减得 12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8yy y x x x -=--代入上式,化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ，,也知足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（2）假设在x 轴上消失定点(0)C m ，,使CA ·CB 为常数． 当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-,于是CA ·CB 22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA ·CB 是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时CA ·CB ＝－1．当AB 与x 轴垂直时,点A B ，的坐标可分离设为(2,(2,此时CA ·CB ＝(1,√2)·(1,－√2)＝－1．故在x 轴上消失定点(10)C ，,使CA ·CB 为常数．。
专题：轨迹方程的求法
专题 轨迹方程的求法例1、 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.例2、已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线例3、【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
M(x,y)B(a,0)A(-a,0)oyx例4、已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．例5、【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=。
证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
例6、过抛物线px y 22=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.122=+y x MQ ()0>λλ例7、设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线例8、[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.例9、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程例10、如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
2016年专项练习题集-定义法求轨迹方程
A.B.2y_ 25 9=1C. 2 29 25二12 y25 =12016年专项练习题集-定义法求轨迹方程选择题1、点p (x, y)是平面中的一个动点，满足：J(x _4)2+ y2+ J(x + 4)2+ y2=10,则点p的轨迹方程是( )2 2WX=125 9分值：5 答案：A 【考查方向】本题考查椭圆的定义，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键。
【易错点】不能将J(x—4)2+y2看做点(x,y)和点(4,0)之间的距离。
【解题思路】利用椭圆的定义即可得出.【解析】..•点p (x, y)在运动过程中满足关系式：J(x—4)2+ y2+J(x+4)2= y2=10 , .••点p到两定点F (4 , 0), F ' -4 , 0)的距离之和满足：|PF|+|P F' = > 8.故点P的轨迹是以点F, F'为焦点,10为长轴长的椭圆.2 2x y 』易知，c=4,a=5, ■ , b=3,一椭圆的方程为一+——=1 ,故选A.25 92、已知圆C :(x+3 ) 2+y 2=4，圆C2(x - 3) 2+y 2=100，动圆c与圆C1、圆勺都内切，则动圆圆心的轨迹是(A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【分值】5【答案】A【考查方向】本题主要考查椭圆的定义、轨迹方程、圆与圆的位置关系及其判定。
菁优网版权所有【易错点】找不出cc1+ cq为定值这一关系。
【解题思路】设动圆的半径为r,由相切关系建立圆心距与r的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合椭圆的定义即可解决问题.【解析】设动圆的半径为r,动圆圆心为c (x, y),因为动圆与圆c1 : (x+3 ) 2+y2=4及圆c2(x - 3) 2+y 2=100都内切，则cc,=r - 2 , cc2=10 - r.• •cci+ cc2 =8 > Gc2=6因此动圆圆心为c的轨迹是焦点为G、c2,中心在(0, 0)的椭圆.故选A.3、设动圆M与y轴相切且与圆C: x2+y2-4x=0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A.y2=8xB.y2= - 8xC.y2=8x 或y=0 (xv 0)D . y2=8x 或y=0【分值】5【答案】C 【考查方向】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题.【易错点】忽视讨论x.【解题思路】设出动圆圆心M的坐标，利用动圆M与y轴相切且与圆C: x2+y 2 - 4x=0相外切，建立方程，化简可得动圆圆心M的轨迹方程.【解析】设动圆圆心M的坐标为(x, y),贝U•.•动圆M与y轴相切且与圆C: x2+y2 - 4x=0相外切••• J(x—2)2十y2 =|x +2当xv 0 时，y=0 ;当x AO 时，y2=8x 故选C.4、若动圆过定点A (- 2 , 0)且和定圆(x - 2 ) 2+y2=4外切，则动圆圆心P的轨迹方程为( )22 yA . x ———=132B. x2-、=1(x>0)332D . x2-；=1(x<0)【分值】5 【答案】D【分值】5A.y 2=6x C.【考查方向】考查了双曲线的定义、两圆外切的性质和动点轨迹求法等知识，属于中档题. 【易错点】容易错误的把轨迹看成整支双曲线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016年专项练习题集-定义法求轨迹方程选择题1、点p （x ，y 10=，则点p 的轨迹方程是（ ）A ．221259x y += B ．221259x y -= C ．221925x y += D ．221925x y -= 分值：5答案：A【考查方向】本题考查椭圆的定义，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键。
x,y ）和点（4,0）之间的距离。
【解题思路】利用椭圆的定义即可得出．【解析】∵点p （x ，y 10=，∴点p 到两定点F （4，0），F′（-4，0）的距离之和满足：|PF|+|P F′|=1o ＞8．故点P 的轨迹是以点F ，F′为焦点，10为长轴长的椭圆．易知，c=4,a=5,∴b=3,∴椭圆的方程为221259x y +=，故选A ． 2、已知圆1c ：（x+3）2+y 2=4，圆2c （x ﹣3）2+y 2=100，动圆c 与圆1c 、圆2c 都内切，则动圆圆心的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【分值】5【答案】A 【考查方向】本题主要考查椭圆的定义、轨迹方程、圆与圆的位置关系及其判定。
菁优网版权所有【易错点】找不出1cc +2cc 为定值这一关系。
【解题思路】设动圆的半径为r ，由相切关系建立圆心距与r 的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合椭圆的定义即可解决问题．【解析】设动圆的半径为r ，动圆圆心为c （x ，y ），因为动圆与圆1c ：（x+3）2+y 2=4及圆2c （x ﹣3）2+y 2=100都内切，则1cc =r ﹣2，2cc =10﹣r ．∴1cc +2cc =8＞12c c =6因此动圆圆心为c 的轨迹是焦点为1c 、2c ，中心在（ 0，0）的椭圆．故选A ．3、设动圆M 与y 轴相切且与圆C ：x 2+y 2﹣4x=0相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．y 2=8xB ．y 2=﹣8xC ．y 2=8x 或y=0（x ＜0）D ．y 2=8x 或y=0【分值】5【答案】C【考查方向】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．【易错点】忽视讨论x.【解题思路】设出动圆圆心M的坐标，利用动圆M与y轴相切且与圆C：x2+y2﹣4x=0相外切，建立方程，化简可得动圆圆心M的轨迹方程．【解析】设动圆圆心M的坐标为（x，y），则∵动圆M与y轴相切且与圆C：x2+y2﹣4x=0相外切2x=+当x＜0时，y=0；当x≥0时，y2=8x故选C．4、若动圆过定点A（﹣2，0）且和定圆（x﹣2）2+y2=4外切，则动圆圆心P的轨迹方程为（）A．2213yx-=B．221(0)3yx x-=>C．2213yx+=D．221(0)3yx x-=<【分值】5 【答案】D【考查方向】考查了双曲线的定义、两圆外切的性质和动点轨迹求法等知识，属于中档题．【易错点】容易错误的把轨迹看成整支双曲线。
【解题思路】设定圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为B，根据外切两圆的性质得点P到B、A两点的距离之差等于2，由此可得点P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，可得本题的答案．【解析】设动圆的半径为R，∵动圆圆心为P，点A在动圆上，∴|PA|=R又∵定圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为B（2，0），半径为2，定圆与动圆P相外切∴圆心距|PB|=R+2由此可得|PB|﹣|PA|=（R+2）﹣R=2（常数），∴点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支。
易知：双曲线焦点在x轴，1,2a c==，所以方程为221(0)3yx x-=<故选：D5、已知圆C：（x+2）2+y2=36和点B（2，0），P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是（）A．y2=6xB．221 95x y+=C．221 95x y-=D．x2+y2=9 【分值】5【答案】B【考查方向】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MC|+|MB|=6＞|BC|，是解题的关键和难点．【易错点】不能得出|MC|+|MB|=6。
【解题思路】根据线段中垂线的性质可得，|MB|=|MP|，又|MP|+|MC|=半径6，故有|MC|+|MB|=6＞|BC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．解析：由圆的方程可知，圆心C（﹣2，0），半径等于6，设点M的坐标为（x，y ），∵BP的垂直平分线交CQ于点M，∴|MB|=|MP|．又|MP|+|MC|=半径6，∴|MC|+|MB|=6＞|BC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以B、C 为焦点的椭圆，且2a=6，c=2，∴b=故椭圆方程为221 95x y+=，故选B．填空题6、△ABC的三边|BC|＞|AC|＞|BA|成等差数列，A、C两点的坐标分别为（0,1），（0，-1），则点B的轨迹方程是．【分值】3【答案】22134x y+=．（0＜y＜2）【考查方向】本题主要考查椭圆的定义，熟练掌握等差数列的定义、椭圆的定义是解题的关键。
【易错点】忽视|BC|＞|AC|＞|BA|，而导致曲线为整条椭圆。
【解题思路】利用等差数列的定义可得，|BC|+|BA|=2|AC|=4＞|AC|．利用椭圆的定义即可得出．解：∵△ABC 的三边|BC|＞|AC|＞|BA|成等差数列，∴|BC|+|BA|=2|AC|=4＞|AC|．由题意的定义可知：点B 的轨迹方程是以点A ，C 为焦点（c=1），a=2为半长轴长的椭圆的一部分，∴b 2=a 2﹣c 2=4﹣1=3．∴点B 的轨迹方程是22134x y +=． ∵△ABC 的三边|BC|＞|AC|＞|BA|，∴0＜y ＜2． 故答案为22134x y +=．（0＜y ＜2）． 7、、如图，αβ⊥，AB αβ⋂=，,P C D αβ∈∈、，且AD⊥α，AD BC ，AD=2，BC=4，AB=6，若tan∠ADP+2tan∠BCP=5，则点P 在平面α内的轨迹是。
【分值】3【答案】椭圆的一部分【考查方向】本题考查椭圆的定义，注意定义中动点到两定点距离之和与定点间距离的大小比较．【易错点】忽视定义中动点到两定点距离之和与定点间距离的大小比较．【解题思路】根据题意，易得tan∠ADP=，tan∠BCP=，又由tan∠ADP+2tan∠BCP=5，且AD=2，BC=4，可得AP+BP=10，比较可得AP+BP＞AB，由椭圆的定义分析可得答案．解析：由AD⊥α，可得AD⊥AP，tan∠ADP=，四边形ABCD是梯形，则AD∥BC，可得BC⊥α，BC⊥BP，则tan∠BCP=，又由tan∠ADP+2tan∠BCP=5，且AD=2，BC=4，可得AP+BP=10，又由AB=6，则AP+BP＞AB，故P在平面α内的轨迹是椭圆的一部分，8、点M到点F（0，﹣3）的距离比它到直线l：y﹣4=0的距离小1，则点M的轨迹方程是．【分值】3【答案】x2=﹣12y【考查方向】考查了两点间的距离公式、轨迹方程的求法、抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．【易错点】在去|x-3|的绝对值时，不能根据平面几何原理，得y＜3。
解题思路：设M（x，y），由两点间的距离公式建立关于x、y的方程，结合平面几何原理将方程化简整理，即可得到点M的轨迹方程．【解析】设M（x，y），依题意得∵点M到点F（0，﹣3）的距离比它到直线l：y﹣43=0的距离小1，=--，41y根据平面几何原理，得y＜43y=-两边平方，得x2+（y+3）2=（3﹣y）2，整理得x2=﹣12y即点M的轨迹方程是x2=﹣12y．故答案为：x2=﹣12y．综合题9、已知F（﹣2，0），以F为圆心的圆，半径为r，点A（2，0）是一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线FP相交于点Q．在下列条件下，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．（1）r=2时，点P在圆上运动；【分值】6【答案】2213yx-=，是双曲线；【考查方向】本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．熟练掌握双曲线、椭圆的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．属于中档题．【易错点】不能找出QA=QP及|QA﹣QF|=|QP﹣QF|=FP这两个关系式。
【解题思路】由题意得QA=QP，则|QA﹣QF|=|QP﹣QF|=FP=r=2，即动点Q到两定点F、A的距离差的绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：以F，A为焦点，FA 为焦距长的双曲线．【解析】（1）当r=2时，∵A为⊙F外一定点，P为⊙F上一动点线段AP的垂直平分线交直线FP于点Q，则QA=QP，则|QA﹣QF|=|QP﹣QF|=FP=r=2，即动点Q到两定点F、A的距离差的绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：以F，A为焦点，FA为焦距长的双曲线，故2a=2，2c=4，⇒a=1，c=2，b=故方程为：2213yx-=，是双曲线；（2）r=8时，点P在圆上运动．【分值】6【答案】2211612x y+=，是椭圆【考查方向】本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．熟练掌握双曲线、椭圆的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．属于中档题．【易错点】不能找出QA=QP，FP=FQ+QP这两个关系式。
【解题思路】由题意QA=QP，FP=FQ+QP=r=8，所以FQ+QA=8．故曲线是以A、F为焦点，长轴长为8的椭圆，由此能求出曲线的方程．【解析】（2）当r=8时，由题意：QA=QP，FP=FQ+QP=r=8，所以FQ+QA=9．故曲线是以A、F为焦点，长轴长为8的椭圆，其2a=8，2c=4，⇒a=4，c=2，b=方程为：2211612x y+=，是椭圆．10、已知圆221:2=15F x y x ++，点2F （1，0），P 是圆1F 上任意一点，线段2PF 的垂直平分线和半径1PF 相交于Q（1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；【分值】5【答案】【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及点满足直线方程，属于中档题．【易错点】找不出和为定值这一条件。
【解题思路】连结2QF ，运用垂直平分线定理可得，2QP QF =，可得12112+42QF QF QF QP F F +==>=，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程； 解析：（1）将化为：（x+1）2+y2=16，连结2QF ，运用垂直平分线定理可得，2QP QF =，可得12112+42QF QF QF QP F F +==>=，故动点Q 的轨迹Γ是以12F F 、为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为：22221(0)x y a b a b +=>>可知a=2，c=1，∴所以点Q 的轨迹Γ的方程为；（2）若直线y=k （x ﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R ，S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．【分值】7【答案】存在T （4，0）【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及点满足直线方程，属于中档题．【易错点】不能将条件∠OTS=∠OTR转化为k TS+k TR=0。