第8章高等数学教学案例

（1）an≤bn≤cn，（n =1，2，3，……）；
（2）{an}，{cn}的极限都存在，且 liamn= limcn=A；
n
n
则数列{bn}的极限也存在，且 lim bn=A 。 n
准则Ⅰ又称夹比定理、夹挤定理或两边夹法则。
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限。
四、数列极限的运算
定理1 如果数列{an}和{bn}的极限都存在，
（3）如果
lim
x x0
1 ，那么称当x →x0（或x → ∞）时，
α与β是等价无穷小。
（四）无穷小量的运算 定理3 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。 定理4 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 定理5 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
四、函数极限的运算
定理6 设在当x →x0（或x → ∞）时，函数f (x)的极
y
y=2
O
x
2、幂函数 y = x α（α为实数且α为常数）
y y=x
x O
y y=x2
x O
y y=x-1
x O
3、指数函数 y = a x（a＞0且a1，a是常数）
y=ax y a＞1
y=ax y 0＜a＜1
x O
x O
4、对数函数 y = log a x（a＞0且a1，a是常数）
y=logax y a＞1
个数列的乘积）。
定理3 如果C是一个确定的常数，则
limC = C
n
定理4 如果数列{an}和{bn}的极限都存在，
a{n=a nA}的lni，m极 限bn也=B存(在Blnim， 0且) bn
则数列
lim ( an ) A
n bn
B
第二节 函数的极限
一、初等函数
（一）基本初等函数
1、常函数y = C（C为任意常数）
6、反三角函数 反三角函数包括下列4个函数： 反正弦函数y = arcsin x；反余弦函数y = arccos x； 反正切函数y = arctan x；反余切函数y = arccot x
（二）复合函数
定义1 假设有两个函数y = f (u)，u = φ (x)，如果对于 每一个函数值u = φ (x)，f (u)都有意义，则称y是x复合 函数，记作y = f [φ (x)]，其中u称为中间变量。 例 写出下列复合函数
（2） lim f (x)存在； x x0
（3）
lim
x x0
f
(x)
数A，则称A是函数y = f (x)当x →x0时的
左极限，记为 →x0－)。
lim
x x
0
f (x) = A或f (x) → A (x
定理1 函数极限 lim f (x)存在的充分必要 x x0 条件是函数y = f (x)在x0点的左右极限都
存在且相等，即 lim f (x) = lim f (x)。
（1）y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义；
（2） lim f (x)存在； x x0
（3）
lim
x x0
f
(x)
=fຫໍສະໝຸດ (x0)。则称函数y = f (x)在点x0处是连续的。
定义4 如果函数y = f (x)在开区间(a, b)内每点处都 连续，则称函数在开区间(a, b)内连续；如果函 数y = f (x)在开区间(a, b)内连续，并且在区间的
x x0
lim [f(x)]K AK（K为常数，且A K有意义）
xx0
五、两个重要极限及其应用
重要极限1 重要极限2
lim sin x 1 x0 x
lim(11)x e x x
六、渐近线
定义12 设y = f (x)是一个函数，当x → ∞ 时，f (x) → C， 则直线y = C就是函数y = f (x)的一条水平渐近线（平行 于x轴）。当x → C＋（或x → C－）时，f (x) → ∞，则 直线x = C就是函数y = f (x)的一条垂直渐近线（平行于y 轴）。
下面给出数列极限的性质：
性质1 （极限的惟一性）数列{an}不能收敛于两个
不同的极限。
性质2 （收敛数列的有界性）如果数列{an}收敛， 那么数列{an}一定有界。
性质3 （收敛数列与其子数列间的关系）如果数列 {an}收敛于A，那么它的任一子数列也收敛，并且 极限也是A。
三、极限存在准则
准则Ⅰ 如果数列{an}，{bn}，{cn}满足：
连续，会求函数的间断点，会用初等函数的连续 性求极限，了解闭区间上连续函数的性质；
第一节 数列的极限
一、数列极限的定义
定义1 给定一个数列a1 ，a2 ，a3 ，…，an ，…， 如果当n无限地增大时，an无限地趋近于某一个确 定的常数A，则称数列{an} 当n → ∞时以A为极限， 记为 lim an = A或 an → A(n → ∞) ，如果数列
无穷小的阶
定义11 设在当x →x0（或x → ∞）时，α和β都是无
穷小量，且α0，则有
(1)
如果
lim
xx0
0，那么称当x
→x0（或x
→
∞）
时，β是比α高阶的无穷小（也可以说α是比β低阶
的无穷小）；
(2) 如果 lim C（C是不等于0的常数），那么称当x
xx0
→x0（或x → ∞）时，α与β是同阶无穷小；
lim f (x) = A或 f (x) → A (x → +∞)。
x
定义4 对于函数y = f (x)，如果当x无限地变 小（x的绝对值无限地增大）时，函数值f (x) 无限趋近于一个确定的常数A，则称函数y = f (x)当x → －∞时以A为极限，记作 lim f (x) = A或f (x) → A (x → －∞)。 x
是奇函数，是周期函数，最小正周期是π
正割函数y = sec x的性质：
定义域是{xxR,且 xk,kZ} ，值域是
2
{xxR,且x ≥1}，是偶函数，是周期函数，最小 正周期是2 π
余割函数y = csc x的性质：
定义域是 {xxR,且 xk,k Z}，值域是{xxR,且x
≥1}，是奇函数，是周期函数，最小正周期是2π
第8章 极限与连续
1. 说出基本初等函数、复合函数、初等函数的概念， 能将初等函数分解成基本初等函数；
2. 掌握数列极限的概念，会计算数列极限； 3. 解释函数极限的概念，会计算函数极限；能熟练
运用两个重要极限进行计算； 4. 说出无穷小量的概念，能运用无穷小量的性质计
算极限； 5. 说出函数连续的概念，会判断函数在所给点是否
左端点a处右连续
（ lim x a
f (x) = f (a)），在区间的右端点b处左连续
（ lim f (x) = f (b)），则称函数y = f (x)在闭区间 x b [a, b]上连续。
二、函数的间断点
(一) 间断点的概念
根据定义，函数y = f (x)在x0处连续必须
满足三个条件：
（1）y = f (x)在x0处有定义；
x x0
x x0
三、无穷小量与无穷大量
（一）无穷小量的概念
定义9 在某一极限过程中，以零为极限的变量，称为无 穷小量，简称无穷小。
定理2 在某一极限过程中，函数f (x)以常数A为极限的充 分必要条件是f (x) = A＋α，α是同一极限过程中的无穷 小量。
（二）无穷大量的概念
定义10 在某一变化过程中，绝对值无限增大的变量， 称为无穷大量，简称无穷大，记作∞。
定义2 设函数y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义， 如果当自变量的增量Δx趋向于零时，函数值的 增量
Δy = f (x0＋Δx)－f (x0) 也趋向于零，即
lim Δy =
x 0
lim
x
[
0
f
(x0＋Δx)－f
(x0)]
=
0，
那么称函数y = f (x)在点x0处是连续的。
定义3 如果函数y = f (x)满足以下三个条件：
n
二、数列极限的性质
定义2 （数列的有界性）设{an}是一个数列，如果存在 一个常数M，使得对于数列{an}中的任何一项an 都有 an≤M，则称数列{an}有上界，称M是数列{an}的一个上 界。如果这样的M不存在，则称数列{an}无上界；如果 存在一个常数m，使得对于数列{an}中的任何一项an 都有an≥m，则称数列{an}有下界，称m是数列{an}的一 个下界。如果这样的m不存在，则称数列{an}无下界； 如果存在一个正数K，使得对于数列{an}中的任何一项 an都有 |an|≤K，则称数列{an}有界，如果这样的K不 存在，则称数列{an}无界。
有极限n， 则称数列是收敛的，如果数列没有极限， 则称数列是发散的。
数列极限的ε - N定义：
设{an}是一个数列，A是一个确定的常数， 如果对于任意给定的正数ε，总存在正整数N， 使得当n ＞N时，总有|an－A|＜ε，则称数列 {an}当n → ∞时以A为极限，记为an = A 或 lim an → A (n → ∞)。
第三节 函数的连续性
一、连续函数的概念
定义1 如果自变量x由初值x0变到终值x1，则x1－x0称 为自变量在点x0的增量，记为Δx = x1－x0，当Δx＞0时， 表示自变量x是增加的，当Δx＜0时，表示自变量x是减 少的。自变量的终值x1也可表示为x0＋Δx，当自变量x 由初值x0变到终值x0＋Δx时，对应的函数值也从f (x0) 变到f (x0＋Δx)，用Δy表示函数值的改变量，即Δy = f (x0＋Δx)－f (x0)，Δy也称之为函数值的增量。当Δy＞0 时，表示函数值是增加的，当Δy＜0时，表示函数值是 减少的。
y=logax y 0＜a＜1