高等数学讲义长期班(汪诚义)第八章138162

心之所向，所向披靡

第八章 无穷级数（数学一和数学三）

引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：

ΛΛ+-++-+-+1)1(1111n

历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1=-------ΛΛ 第三种 设S n =+-++-+-+ΛΛ1

)1(1111

则[]S =+-+--Λ11111

,1S S =- ,12=S 2

1=

S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？

3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概

念和性质需要作详细的讨论。

§ 8.1 常数项级数

（甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念

无穷多个数ΛΛ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞

=n n n

u u u u u

3211

称

为数项级数（简称级数）。

∑===n

k k n u S 1

123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，

{}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。

S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞

=∞

=∞

→1

1

)(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若

n n S ∞

→lim 若不存在，则称级数∑∞

=1

n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。

（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）

2． 基本性质 （1） 如果

∑∑∑∑∑∞=∞

=∞=∞

=∞=++1

1

1

1

1

)(,n n n n n n n n

n

n n

v b u a ，bv au

，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和

（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。

（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不

变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数

∑∞

=1

n n u 收敛的必要条件是

0lim =∞

→n n u

（注：引言中提到的级数

∑∞

=+-1

1

,)

1(n n 具有∞→n lim ()不存在1

1+-n ，因此收敛级数的必要条件不满

足，

∑∞

=1

n ()

1

1+-n 发散。调和级数

∑

∞

=1

n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞

=1n n 1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞

→n lim 0=n u ，而

∑

∞

=1

n n u 收敛性尚不能确定。）

3．两类重要的级数

（1）等比级数（几何级数）

∑∞

=0

n n

ar ()0≠a

当1

∑∞

=0

n n ar r

a

-=

1收敛

当1≥r 时，

∑∞

=0

n n

ar

发散

（2）p 一级数

∑∞

=1

1n p n 当p>1时，∑∞

=11n p n 收敛， 当p ≤1时∑∞

=11

n p n

发散

（注：p>1时，∑∞=11

n p n 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知∑∞

=1n 6122

π=n

）

二、正项级数敛散性的判别法

()Λ,3,2,10=≥n u n 若则∑∞

=1

n n u 称为正项级数，这时(){}n n n S n S S 所以Λ,3,2,11=≥+是单调增

加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界，因此

∑

∞

=1

n n n S u ⇔收敛有上界，这是正项级数

比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。

1. 比较判别法

如果皆成立时当设，u ，cv N n c n n 0,0>≥≥>∑∞=1

n n v 收敛，则∑∞=1

n n u 收敛；如果∑∞

=1

n n u 发散，

则

∑∞

=1

n n

v

发散。

2. 比较判别法的极限形式

设),3,2,1(,0,0Λ=≥≥n v u n n 若∞

→n lim

A v u n

n

= 1) 当0

∑∞

=1n n

u

与

∑∞

=1

n n

v

同时收敛或同时发散。

2) 当A=0时，若

∑∞

=1

n n

v

收敛，则

∑∞

=1

n n

u

收敛。