旅行商问题

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六、旅行商问题的问题分析
枚举法思想
回溯法
分支限界法
贪心法思想
枚举法思想

枚举算法的特点是算法简单，但运算量大，当问题的规模变大，循环的阶数越大，执行的速度越慢。 如果枚举范围太大（一般以不超过两百万次为限），在时间上就难以承受。在解决旅行商问题时， 以顶点1为起点和终点，然后求{2…N}的一个全排列，使路程1→{2…N}的一个全排列→1上所有边的 权（代价）之和最小。所有可能解由（2，3，4，…，N）的不同排列决定。 为便于讨论，介绍一些关于解空间树结构的术语。在下面分析回溯法和分支限界法时都直接或间接 用到解空间树。在解空间树中的每一个结点确定所求问题的一个问题状态（problem state）。由根 结点到其它结点的所有路径则确定了这个问题的状态空间（state space）。解状态（solution states） 表示一些问题状态S，对于这些问题状态，由根到S的那条路径确定了这解空间中的一个元组。答案 状态（answer states）表示一些解状态S，对于这些解状态而言，由根到S的这条路径确定了这问题 的一个解（即，它满足隐式约束条件）。解空间的树结构称为状态空间树（state space tree）。 对于旅行商问题，一旦设想出一种状态空间树，那么就可以先系统地生成问题状态，接着确定这些 问题状态中的哪些状态是解状态，最后确定哪些解状态是答案状态，从而将问题解出。为了生成问 题状态，采用两种根本不同的方法。如果已生成一个结点而它的所有儿子结点还没有全部生成，则 这个结点叫做活结点。当前正在生成其儿子结点的活结点叫E-结点。不再进一步扩展或者其儿子结 点已全部生成的生成结点就是死结点。在生成问题状态的两种方法中，都要用一张活结点表。在第 一种方法中，当前的E-结点R一旦生成一个新的儿子C，这个儿子结点就变成一个新的E-结点，当完 全检测了子树C之后，R结点就再次成为E-结点。这相当与问题状态的深度优先生成。在第二种状态 生成方法中，一个E-结点一直保持到死结点为止。这两种方法中，将用限界函数去杀死还没有全部 生成其儿子结点的那些活结点。如果旅行商问题要求找出全部解，则要生成所有的答案结点。使用 限界函数的深度优先结点生成方法称为回溯法。E-结点一直保持到死为止的状态生成方法称为分支 限界法。

2）节省法（Clark and Wright Saving）：以服务每一个节点为起始解，根据三角不等 式两边之和大于第三边之性质，其起始状况为每服务一个顾客后便回场站，而后计算路 线间合并节省量，将节省量以降序排序而依次合并路线，直到最后。

3）插入法（Insertion procedures）：如最近插入法、最省插入法、随意插入法、最远 插入法、最大角度插入法等。

1）起始解求解+2-Opt：以途程建构法建立一个起始的解，再用2-Opt 的方式改善途程，直到不能改善为止。

2）起始解求解+3-Opt：以途程建构法建立一个起始的解，再用3-Opt 的方式改善途程，直到不能改善为止。
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四、旅行商问题的解法思路
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途程建构法

从距离矩阵中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法：

1、如近邻点法（Nearest Neighbor Procedure）：一开始以寻找离场 站最近的需求点为起始路线的第一个顾客，此后寻找离最后加入路线 的顾客最近的需求点，直到最后。

2、节省法（Clark and Wright Saving）：以服务每一个节点为起始解， 根据三角不等式两边之和大于第三边之性质，其起始状况为每服务一 个顾客后便回场站，而后计算路线间合并节省量，将节省量以降序排 序而依次合并路线，直到最后。

3、插入法（Insertion procedures）：如今插入法、最省插入法、随 意插入法、最远插入法、最大角度插入法等。
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途程改善法

先给定一个可行途程，然后进行改善，一直到不能改善为止。有以下几种解法：

1、K-Opt(2/3 Opt)：把尚未加入路径的K条节线暂时取代如今路径中K条节线，并计算 其成本（或距离），如果成本降低（距离减少），则取代之，直到无法改善为止，K通 常为2或3。

2、Or-Opt：在相同路径上相邻的需求点，将之和本身或其它路径交换且仍保持路径方 向性，合成启发法
先由途程建构法产生起始途程，然后再使用途程改善法去寻求最佳解，又称为两段解法 （two phase method）。有以下几种解法： 1、起始解求解+2-Opt：以途程建构法建立一个起始的解，再用 2-Opt的方式改善途程， 直到不能改善为止。 2、起始解求解+3-Opt：以途程建构法建立一个起始的解，再用 3-Opt的方式改善途程， 直到不能改善为

2 ）Or-Opt：在相同路径上相邻的需求点，将之和本身或其它路径交 换且仍保持路径方向性，并计算其成本（或距离），如果成本降低 （距离减少），则取代之，直到无法改善为止。
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旅行商问题的问题解法（3）——合成启发法

先由途程建构法产生起始途程，然后再使用途程改善法去寻求最佳解， 又称为两段解法（two phase method）。有以下几种解法：


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二、旅行商问题的研究历史

旅行商问题字面上的理解是：有一个推销员，要到n 个城市推销商品， 他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。

TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即 对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且 最终返回到起始了应用回溯法，所要求的解必须能表示成一个 n- 元组(x1,…,Xn)， 其中x1是取自某个有穷集Si。通常，所求解的问题需要求取一个使某 一规范函数P(x1,…,Xn)取极大值（或取极小值或满足该规范函数条件） 的向量。

假定集合Si的大小是mi，于是就有m=m1m2…Mn个n-元组可能满足函 数P。所谓硬性处理是构造这m个n-元组并逐一测试它们是否满足P， 从而找出该问题的所有最优解。而回溯法的基本思想是，不断地用修 改过的函数Pi(x1,…Xi)（即限界函数）去测试正在构造中的n-元组的 部分向量(x1,…,Xi)，看其是否可能导致最优解。如果判定(x1,…,Xi)不 可能导致最优解，那么就可能要测试的后n-i个元素组成的向量一概略 去。因此回溯法作的次数比硬性处理作的测试次数（m次）要少得多。 用回溯法求解的旅行商问题，即在枚举法的基础上多了一个约束条件， 约束条件可以分为两种类型：显示约束和隐式约束。
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旅行商问题的问题解法（2）——途程改善法

先给定一个可行途程，然后进行改善，一直到不能改善为止。有以下 几种解法：

1）K-Opt(2/3 Opt)：把尚未加入路径的K条节线暂时取代目前路径中K 条节线，并计算其成本（或距离），如果成本降低（距离减少），则 取代之，直到无法改善为止，K通常为2或3。
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分支限界法思想

采用FIFO分支限界法。

如前所述，分支限界法是在生成当前 E-结点全部儿子之后再生成其它 活结点的儿子，且用限界函数帮助避免生成不包含答案结点子树的状 态空间的检索方法。在总的原则下，根据对状态空间树中结点检索的 次序的不同又将分支限界设计策路分为数种不同的检索方法。在求解 旅行商问题时，程序中采用FIFO检索（First In First Out），它的活结 点表采用一张先进先出表（即队列）。可以看出，分支限界法在两个 方面加速了算法的搜索速度，一是选择要扩展的节点时，总是选择选 择一个最小成本的结点，尽可能早的进入最有可能成为最优解的分支； 二是扩展节点的过程中，舍弃导致不可行解或导致非最优解的子结点。

获得最优路径的贪心法应一条边一条边地构造这棵树。根据某种量度 来选择将要计入的下一条边。最简单的量度标准是选择使得迄今为止 计入的那些边的成本的和有最小增量的那条边。
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贪心法思想

贪心法是一种改进了的分级处理方法。它首先旅行商问题描述，选取 一种度量标准。然后按这种度量标准对 n 个输入城市排序，并按序一 次输入一个城市。如果这个输入和当前已构成在这种量度意义下的部 分最优解加在一起不能产生一个可行解，则不把这个城市加入到这部 分解中。这种能够得到某种量度意义下的最优解的分级处理方法成为 贪心方法。
旅行商问题
目录
01
旅行商问题的简介
02
旅行商问题的研究历史
03
旅行商问题的问题解法
05
04 旅行商问题的解法思路
旅行商问题的研究进展
06
旅行商问题的问题分 析
一、旅行商问题的简介

“旅行商问题”常被称为“旅行推销员问 题”，是指一名推销员要拜访多个地点时， 如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点 的最短路径。规则虽然简单，但在地点数目 增多后求解却极为复杂。以 42 个地点为例， 如果要列举所有路径后再确定最佳行程，那 么总路径数量之大，几乎难以计算出来。多 年来全球数学家绞尽脑汁，试图找到一个高 效的算法 TSP 问题在物流中的描述是对应一 个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短 路线全部送到。如何确定最短路线。 TSP 问题最简单的求解方法是枚举法。它的 解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的 复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列 的集合，大小为（n-1）！。可以形象地把解 空间看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰 或山谷的高度即是问题的极值。求解 TSP ， 则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到 山顶或谷底的过程。



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五、旅行商问题的研究进展

2010年10月25日，英国一项最新研究说，在 花丛中飞来飞去的小蜜蜂显示出了轻易破解 “旅行商问题”的能力，而这是一个吸引全 世界数学家研究多年的大问题，如能理解蜜 蜂的解决方式，将有助于人们改善交通规划 和物流等领域的工作。 英国伦敦大学皇家霍 洛韦学院等机构研究人员报告说，小蜜蜂显 示出了轻而易举破解这个问题的能力。他们 利用人工控制的假花进行了实验，结果显示， 不管怎样改变花的位置，蜜蜂在稍加探索后， 很快就可以找到在不同花朵间飞行的最短路 径。这是首次发现能解决这个问题的动物， 研究报告即将发表在《美国博物学家》杂志 上。 进行研究的奈杰尔· 雷恩博士说，蜜蜂每天都 要在蜂巢和花朵间飞来飞去，为了采蜜而在 不同花朵间飞行是一件很耗精力的事情，因 此实际上蜜蜂每天都在解决“旅行商问题”。 尽管蜜蜂的大脑只有草籽那么大，也没有电 脑的帮助，但它已经进化出了一套很好的解 决方案，如果能理解蜜蜂怎样做到这一点， 对人类的生产、生活将有很大帮助。