《实验校》八上第九讲—等腰直角三角形辅助线方法
等腰三角形中的常见辅助线
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”中的一线或平行线证线段相等，利用截长补短证线段和差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系等，将不在同一个三角形的线段转移到同一个三角形（或两个全等三角形）中，然后运用等腰（或全等三角形）的性质来解决问题.方法1 等腰三角形中有底边上的中点时常作底边上的中线1.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF方法2 等腰三角形中没有底边上的中点时常作底边上的高2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.方法3 等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的平行线或垂线3.如图，在△ABC中，AB=AC ，点P从点B出发沿线段BA移动（点P与A，B不重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.（1）试说明：PD=QD（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.方法4 等腰三角形证与底有关的线段时常作底的平行线4.如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD，DG⊥BE于G，求证：BG=EG.方法5补形法构造等腰三角形5.如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD，求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；（3）AE平分∠BAD.方法6 倍长中线法构造等腰三角形6.如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点,AD，CE交于点F，且CE=EF，求证:AB=CF方法7 延长（或截长）法构造等腰三角形7.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD=BC.方法8 截长补短法构造等腰三角形8.如图,在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，求∠C的度数.。
初中数学三角形辅助线技巧
初中数学三角形辅助线技巧
在解决初中数学中的三角形问题时，添加辅助线是一种常见的策略。
以下是一些常见的三角形辅助线添加技巧：
1. 中点连线：如果已知三角形的一个中点，可以通过连接这个中点到其他顶点来找到新的等腰三角形或平行四边形，从而简化问题。
2. 平行线：通过作平行线，可以构造新的平行四边形或相似三角形，从而利用这些图形的性质来解决问题。
3. 延长线：在某些情况下，延长线可以帮助我们找到新的角或线段，从而利用这些信息解决问题。
4. 作高：在直角三角形中，可以通过作高来找到新的线段或角，从而找到解决问题的线索。
5. 作角平分线：角平分线可以将一个角分为两个相等的角，从而帮助我们找到新的等腰三角形或平行线。
6. 构造全等三角形：通过添加辅助线，可以构造两个或多个全等的三角形，从而利用全等三角形的性质解决问题。
7. 倍长中线：在已知中点的情况下，可以通过倍长中线来找到新的等腰三角形或平行四边形。
8. 构造相似三角形：通过添加辅助线，可以构造两个相似的三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题。
以上技巧并非一成不变，需要根据具体的问题和条件灵活运用。
在解决三角形问题时，多思考、多实践是提高解题能力的关键。
等腰三角形时常用的辅助线作法
等腰三角形时常用的辅助线作法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF2⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，F在AC上，E在BA延长线上，且AE = AF，连结DE求证：EF⊥BC⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o，∠PCB = 30o求∠PAB的度数.有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2= 12∠BAC又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC21EDCBA34∴∠BAC = 2∠DBC（方法二）过A 作AE ⊥BC 于E （过程略） （方法三）取BC 中点E ，连结AE （过程略）⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE = DF证明：连结AD.∵D 为BC 中点， ∴BD = CD又∵AB =AC∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE =AF ， 求证：EF ⊥BC证明：延长BE 到N ，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC∵∠B ＋∠ACB ＋∠ACN ＋∠ANC = 180o∴2∠BCA ＋2∠ACN = 180o∴∠BCA ＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o∴NC ⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE 又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF ∥NC ∴EF ⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD = CE ，连结DE 交BC 于F 求证：DF = EF证明：（证法一）过D 作DN ∥AE ，交BC 于N ，则∠DNB = ∠ACB ，∠NDE = ∠E ， ∵AB = AC ， ∴∠B = ∠ACB∴∠B =∠DNB∴BD = DN又∵BD = CE ∴DN = ECF E DC B AN F EC B A21N F ED C B A在△DNF和△ECF中∠1 = ∠2∠NDF =∠EDN = EC∴△DNF≌△ECF∴DF = EF（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略）⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE求证：DE⊥BC证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则∠AFE =∠B∠AEF =∠C∵AB = AC∴∠B =∠C∴∠AFE =∠AEF∵AD = AE∴∠AED =∠ADE又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o∴2∠AEF＋2∠AED = 90o即∠FED = 90o∴DE⊥FE又∵EF∥BC∴DE⊥BC（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略）（证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略）⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o∠PCB = 30o求∠PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE则∠BAE =∠ABE = 60oAE = AB = BE∵AB = AC∴AE = AC ∠ABC =∠ACB∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC－∠BAE= 80o－60o = 20o∴∠ACE = 12(180o－∠EAC)=80o∵∠ACB= 12(180o－∠BAC)=21MFEDCBANMF EDCBAPECBA550o∴∠BCE =∠ACE－∠ACB= 80o－50o = 30o∵∠PCB = 30o∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o∴∠PBC = ∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBCBC = BC∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o∴∠PAB = 12(180o－∠ABP)= 70o解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。
八年级数学上册【等腰三角形】4种常用辅助线添加方法,巩固加强!
八年级数学上册【等腰三角形】4种常用辅助线添加方法，巩固加强！等腰三角形，是初中数学里的一个重点，和等腰三角形有关的考试题型，各种变式题也特别多。
如何快速解决好等腰三角形问题，做到孰能生巧？今天老师总结了以下四种和等腰三角形题型有关的常见辅助线添加方法，共5道例题，有详细讲解。
方法一：做三线合一中的一线三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
例题1，是三线合一的最基础的题型，D是BC的中点，那么连接AD，通过三线合一的性质，得出AD⊥BC.方法二：做平行线法这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等例题2中，这个题是非常常见的考试经典题型。
第①小题，得出三角形全等，得出PD=QD。
第②小题，过点P做PF∥AC，因为△PBF是等腰三角形，PE⊥BF，三线合一得出BE=EF。
又因为三角形全等，得出FD=CD。
所以，得出ED=BC的一半，即为定值。
方法三：截长补短法，或者叫截长取短法简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。
或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。
此解题方法常用，请大家细心钻研，平时多探索，勤学苦练。
例题3，就是一道延长某一线段，使之等于某已知线段，经典考试题型。
例题4，这就是一道在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等，通过等量转换，得出结论的经典考试题型。
方法四：加倍折半法，倍长中线法例题5，解析说过点B做BF∥AC，最后得出的还是线段相等。
其实，这个题还有一个更好的解题思路，就是倍长中线法先提示一下辅助线的添加方法。
因为CE是△ABC的中线，倍长中线CE。
延长CE至F，使EF=CE，连接BF。
倍长中线，必出三角形全等，最后得出，△DBC≌△FBC，所以DC=CF，所以CD=2CE。
看完这经典例题之后，不要认为自己就完全掌握了，这个时候要干什么？当然是在自己的练习题中找几道相似的题，加以运用强化一下！。
技巧专题技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法
技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法方法1.三线合一法例1.如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A点的直线EF//BC,且AE=AF.求证: DE=DF.方法2.作一腰的平行线构造等腰三角形法例2.如图，AB=AC,F 为DE的中点，求证BD=CE.例3.如图，AABC中，AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P, Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1).如图①，当点P为AB的中点时，求证: PD=QD;(2).如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P，Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.方法3.截长补短构造等腰三角形法例4.如图，在△ABC中，AB=AC, D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°求证:BD+DC=AB例5.如图，在AABC中，∠BAC=120°, AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C.方法4.证与底有关的线段时，通常作底的平行线例6.如图，等边△ABC中，D是边AB延长线上一点，延长BC至E点，使CE=AD, DG⊥BE 于G,求证BG=EG.方法5.加倍折半法，倍长中线法例7.如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE.方法6.以底或腰为边作等边三角形,出三角形全等例8.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，点P为三角形内一点，且∠PCA=∠PAB=20°.求∠PBC的度数方法7、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例9.如图，△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC. 求证:PC> PB.课后培优练习题1.如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=90°，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF.求证:△DEF 是等腰直角三角形.2.如图，等边△ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于点E,判断△ADE的形状，并证明你的结论.3.如图，△ABC中，AB=AC, D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别为E, F.(1)求证: DE=DF;(2)若∠A=90°，图中与DE相等的有哪些线段? (不需说明理由)4.如图，△ABC中，AC=2AB, AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点，且EA=EC,求证: EB⊥AB.5.如图，△ABC的面积为1cm2, AP垂直∠ABC的平分线BP于P，求△PBC的面积.6.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF,点E、F分别在AC、BC 上，求证: DE=DF.7.如图，已知AB=AC, ∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D.求证: BC=AB+CD.8.如图，在△ABC中，AB=AC, AE⊥BE于点E,且BC=2BE,若∠EAB=20°，求∠BAC的度数.9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D, CE ⊥BD. 求证: BD=2CE.10.如图，等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一一点，且PA=CQ,连PQ交AC边于D.(1).求证: PD=DQ;(2).若△ABC的边长为1，求DE的长.。
《实验校》八上第九讲—等腰直角三角形辅助线方法
第九讲辅助线方法一辅助线方法（一）已知等腰直角三角形：(1)若有一条直线过直角顶点，过两个锐角顶点向这条直线作垂线，形成三垂直证全等；(2)构造共直角顶点的等腰直角三角形证全等．一、基本图形研究1．直线l经过等腰直角三角形ABC的直角顶点，你能在图中构造全等吗？并据此提出数学问题．2．直线l经过等腰直角三角形ABC的锐角顶点B，过A或C作直线l的垂线，你能在图中构造全等吗？你能对这个题提出相关的数学问题吗？二、变式训练1．如图1，OA=2，OB=4，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角三角形ABC．(1)C点的坐标；(2)如图2，P为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰直角三角形APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值．2．如图，已知坐标系中，A (4，0)，B (O ，4)，P 为第四象限的一动点，且∠APO =135°，求证：AP ⊥BP ．3．如图，点B 在x 轴正半轴，以OB 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形AOB ．若C 为BO 上一点，以AC 为直角边作等腰直角三角形ACD ，∠ACD =90°，连OD ，求∠AOD 的度数．4．如图，A (O ，2)，B （－2，0），C 为点B 左侧一动点，以AC 为一腰作等腰直角三角形ACD ，∠ACD =90°，DB 的延长线交y 轴于E 点，在C 点移动的过程中，点E 的位置是否发生变化？证明你的结论．5．已知△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为线段BC 上一动点，AE =AD ，AE ⊥AD ，连接BE 与AC 交于P 点，其中BCBD =n ． (1)如图1，若n =1时，则PE BP = ，PC AP = ． (2)如图2，若n =21时，则PE BP = ，PCAP = ，并证明你的结论，6．已知，如图，在△ABC 中，AB <BC ，过点A 作线段AD ∥BC ，AD +BD =BC ，作BD ⊥BC 于B ，线段BC 上有一动点M ，连接DM ，并作线段DN 上DM 且DN =DM ，作NP ⊥BC 于点P ，若AD =1，BD =2，求线段CP 的长度．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （－4，0），点B 为y 轴正半轴上一动点，以AB 为直角边作等腰直角三角形ABC ，点C 落在y 轴的右侧，过B 点作BD 垂直于y 轴，且BD =OB ，点D 落在y 轴的左侧，连接CD 交y 轴于E ，问当B 点运动时，线段BE 的长度是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．8．已知△ABC 中，AC =AB ，∠BAC =90°，AC 与x 轴交于E 点，BC 与y 轴交于D 点，如图1，连接ED ，E 为AC 的中点，求并证明(1)线段BE ，AD ，DE 之间的关系；(2)∠AEB 与∠DEC 之间的关系；(3)如图2，过C 作CF ⊥x 轴于F 点，求AOCF BF 的值．9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E是直线AC上的两动点，且AD =CE，AM⊥BD 于点M，延长AM交BC于点N，直线BD交直线NE于点F．(1)若DE运动到如图1所示位置，求证：①FE=DF；②BF=AN+ NF．(2)当DE运动到如图2所示位置，上述结论还成立吗？10．在平面直角坐标系中，A(O，3)，B(4，1)，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，求C点坐标．11．如图，点C为线段AB上的一点，E为直线AB上方的一点，且满足AC =CE，连接AE，以AE为腰，A 为直角顶点作等腰直角三角形ADE，连接CD，求当CD最大时，∠DEC的值，。
最新人教版初中八年级上册数学《等腰三角形中辅助线的作法》精品教案
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学生：同伴之间相互交流学习心得。
2 师生：共同归纳本课学习知识。
变式题
作业
1
2
教科书本课课后习题。 课时达标册本课练习习题。
下课啦！
变式题
谢谢 指导
2022
变式题
图1 B
∴△MAC≌△OBA(AAS),
∴CM=OA=2，MA=OB=4， ∴OM=OA+AM=2+4=6,
∴点C的坐标为(-6，-2).
(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，PA为腰作等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值.
解:(2)如图2，过点D作DQ⊥OP于Q点， 则DE=OQ,∴OP-DE=OP-OQ=PQ, ∵∠APO+∠QPD=90°， ∠APO+∠OAP=90°， ∴∠QPD=∠OAP, 又∠AOP=∠PQD=90°，AP=PD， ∴△AOP≌△PQD(AAS), ∴PQ=OA=2.即OP-DE=2.
等腰三角形中辅助线的作法⑴
等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线互相重合 ，我们将等腰三角形这一性质称之为“三线合一”，“三线合一”适 用于等腰三角形问题，用其可以解决同一三角形内部的边角问题.
类型一：利用“三线合一”作辅助线
一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 如图，已知△ABC 中，AB＝AC，CD⊥AD 于 D，CD＝ 1 BC，D 2
同理∠ACD＝90°
∵∠4＝60°，∠BDC＝120° ∴∠5＋∠3＝60° ∴∠MDE＝∠5＋∠6＝60° ∴∠MDE＝∠4⑤ DM＝DM⑥
∴∠DBE＝∠DCN＝90°③
由④⑤⑥得△MED≌△MND
由①②③得△DCN≌△DBE
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是咼频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目, 不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：证明:延长BA, CE交于点Xl、倍长中线法遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点•延长AD至点E,使得DE = AD，并连接BE,贝UAADC 也zEDB (SAS)我们来看一个例题:三、遇角平分线作双垂线法在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧!例 3；已知，如SLAC 平分ZBAD, CD=CB, AB>AD, 求证畫ZB+ZADC=18O0・AC证明：作CE丄AB于E,CF丄AD于F. TAC 平分 ZBADr ACE=CF.在 RtACBE 和RtACDF 中,％心RtACBE^RtACDF (HL),二ZB二ZCDF,VZCDF+ZADC=180° , A ZB+ZATC=180°四、作平行线法在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
例4如ffl, A ABC中,是朋上一点,F是AC延长线上一点，连EF交BC于D,若EB=CF.求证當DE=DF.五、截长补短法题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系例6；如图甲.AD/BC.点E 在线段AB 上.ZADE 二ZCDE, ZDCE=ZECB,求证：CRAMBU证明：在CD 上截取CF-BC.如图乙(T - < Ji在厶 FCE^ABCE 中 - netCE CLAAFCE^ABCE(SAS), .\Z2=Z1- 又VAD/7BC,AZADC+ZBCD^180° , :.ZXE+ZCDE=90<>, /- Z2+Z3=90* , •\ ZUZ4=90° . :. Z3=Z14 LH 3)1加十 z5 = Z4A AFDE^AADli (ASA) , ADF-DAr 又 VCD=DF+CF, <\CD=AD+BC O D D{。
等腰三角形常见的辅助线的做法
等腰三角形常见的辅助线的做法
如何快速解决好等腰三角形问题，做到孰能生巧？今天总结了以下四种和等腰三角形题型有关的常见辅助线添加方法
方法一：做三线合一中的一线
三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
方法二：做平行线法
这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等
方法三：截长补短法，或者叫截长取短法
简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。
或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。
此解题方法常用，请大家细心钻研
方法四：加倍折半法，倍长中线法。
八年级数学 构造等腰三角形解题的辅助线常用做法(含答案)
构造等腰三角形解题的辅助线常用做法等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。
在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。
那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；（2）依据倍角关系构造等腰三角形；（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。
1、依据平行线构造等腰三角形例1：如图。
△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.[点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。
证明：过E作EG∥AC交BC于G∴∠1=∠ACB，∠2=∠F∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠1=∠B∴BE=GE∵BE=CF∴GE=CF在△EDG和△FDC中∠3=∠4∠2=∠FGE=CF∴△EDG≌△FDC∴DE=DF[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。
2、依据倍角关系构造等腰三角形例2：如图。
△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证：AB+BD=AB[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。
证明：延长CB至E，使BE=BA，连接AE∵BE=BA∴∠BAE=∠E∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E∴∠C=∠EAC=AE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA∴EA=ED∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE∴AC=AB+BD[评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。
3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形例3，如图。
初二数学-三角形问题中常见的辅助线作法总结
三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
等腰直角三角形常用辅助线构造方法
等腰直角三角形常用辅助线构造方法【方法归纳】等腰直角三角形“三线合一”．如图等腰直角△ABC，D为斜边（底边）BC的中点，连接AD．AD是中线、角平分线，也是高线．结论：①∠BDA＝∠CDA＝90°；②BD＝AD＝CD＝1/2BC；③∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°．【典型例题】1．（11黑河）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB 交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG ＝CG且EG⊥CG．图（1）图（2）图（3）（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．【解题过程】解：（1）EG＝CG，EG⊥CG．（2）EG＝CG，EG⊥CG．理由如下：延长FE交DC延长线于M，连MG．∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE＝CM，∠EMC＝90°，由图（3）可知，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°，∴∠EBF＝45°，又∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，∴BE＝EF，∠F＝45°．∴EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴MG＝1/2FD＝FG．∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD．∵EF＝CM，∴FM＝DM，又∵FG＝DG，∠CMG＝1/2∠EMC＝45°，∴∠F＝∠GMC．∵在△GFE与△GMC中，FG＝MG,∠F＝∠GMC,EF＝CM，∴△GFE≌△GMC（SAS）．∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC．∵∠FMC＝90°，MF＝MD，FG＝DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°，即∠EGC＝90°，∴EG⊥CG．。
等腰三角形辅助线的做法
专题：等腰三角形辅助线的作法类型一：利用三线合一作辅助线（1）等腰三角形中有底边中点时，常连底边上的中线1、如图ΔABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点且AE= AF，求证：DE=DF2、如图，在ΔABC中，D是BC的中点，过A作EF‖BC且AE= AF，求证：DE=DF（2）没有底边中点时作底边上的高3、如图，在ΔABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC=2∠DBC类型二：做平行线构造等腰三角形（1）作腰的平行线构造等腰三角形4、如图，ΔABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF（2）作底边的平行线构造等腰三角形5、如图，AB=AC，点D是BA的延长线上一点，E在AC上，且AD=AE，求证：DE⊥BC（3）利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形6、如图，BD平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于Ｄ，点Ｅ为ＣＤ上一点，且ＡＤ＝ＤＥ，ＥＦ‖ＢＣ交BD于F，求证：AB=EF类型三:用“截长补短法”构造等腰三角形7、如图，ΔABC中，∠BAC=120，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠C 的度数。
8、如图，ΔABC中，∠BAC=108，AB=AC，BD平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于Ｄ，求证：BC=CD+AB类型四：运用角平分线作垂线9、如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180，CD⊥OA于D。
（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA =6,求OB的长。
10、如图，已知等腰RTΔABC中，∠ACB=90，AC=BC=4，D为ΔABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，且∠ADC=45，ＣＤ交ＡＢ于Ｅ，（1）求证：ＡＤ＝ＣＤ（２）求ＡＥ的长。
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八年级数学上册【等腰三角形】辅助线的作法,3大类型复习必看!
八年级数学上册【等腰三角形】辅助线的作法，3大类型复习必看！一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1、如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC ＝4.2、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD中，AE=AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.3、如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.证明：过点E作EF⊥AC于点F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝1/2AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.二、构造等腰三角形4、如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为(B)A．3B．4C．5D．5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE ⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.∴EM＝EC＝1/2MC.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE.类型二：6、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F 分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.证明：连接CD.∵AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF.类型三：7、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC ＝AB＋CD.证明：如图，在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠CED＝180°－∠BED ＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝1/2×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝180°－∠ACB－∠CED＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.8、如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；证明：过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD ＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形，∴PF＝PA＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ.(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．解：由(1)知△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴DF＝CD，∴DE＝EF＋DF＝1/2AF＋1/2CF＝1/2AC.又∵AC＝1，∴DE＝1/2.。
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第九讲辅助线方法一
辅助线方法（一）已知等腰直角三角形：(1)若有一条直线过直角顶点，过两个锐角顶点向这条直线作垂线，形成三垂直证全等；(2)构造共直角顶点的等腰直角三角形证全等．
一、基本图形研究
1．直线l经过等腰直角三角形ABC的直角顶点，你能在图中构造全等吗？并据此提出数学问题．
2．直线l经过等腰直角三角形ABC的锐角顶点B，过A或C作直线l的垂线，你能在图中构造全等吗？你能对这个题提出相关的数学问题吗？
二、变式训练
1．如图1，OA=2，OB=4，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角三角形ABC．
(1)C点的坐标；(2)如图2，P为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶
点，P A为腰作等腰直角三角形APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值．
2．如图，已知坐标系中，A (4，0)，B (O ，4)，P 为第四象限的一动点，且∠APO =135°，求证：AP ⊥BP ．
3．如图，点B 在x 轴正半轴，以OB 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形AOB ．若C 为BO 上一点，以AC 为直角边作等腰直角三角形ACD ，∠ACD =90°，连OD ，求∠AOD 的度数．
4．如图，A (O ，2)，B （－2，0），C 为点B 左侧一动点，以AC 为一腰作等腰直角三角形ACD ，∠ACD =90°，DB 的延长线交y 轴于E 点，在C 点移动的过程中，点E 的位置是否发生变化？证明你的结论．
5．已知△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为线段BC 上一动点，AE =AD ，AE ⊥AD ，连接BE 与AC 交于P 点，其中BC
BD =n ． (1)如图1，若n =1时，则
PE BP = ，PC AP = ． (2)如图2，若n =
21时，则PE BP = ，PC
AP = ，并证明你的结论，
6．已知，如图，在△ABC 中，AB <BC ，过点A 作线段AD ∥BC ，AD +BD =BC ，作BD ⊥BC 于B ，线段BC 上有一动点M ，连接DM ，并作线段DN 上DM 且DN =DM ，作NP ⊥BC 于点P ，若AD =1，BD =2，求线段CP 的长度．
7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （－4，0），点B 为y 轴正半轴上一动点，以AB 为直角边作等腰直角三角形ABC ，点C 落在y 轴的右侧，过B 点作BD 垂直于y 轴，且BD =OB ，点D 落在y 轴的左侧，连接CD 交y 轴于E ，问当B 点运动时，线段BE 的长度是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
8．已知△ABC 中，AC =AB ，∠BAC =90°，AC 与x 轴交于E 点，BC 与y 轴交于D 点，如图1，连接ED ，E 为AC 的中点，求并证明(1)线段BE ，AD ，DE 之间的关系；(2)∠AEB 与∠DEC 之间的关系；
(3)如图2，过C 作CF ⊥x 轴于F 点，求
AO
CF BF 的值．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E是直线AC上的两动点，且AD =CE，AM⊥BD 于点M，延长AM交BC于点N，直线BD交直线NE于点F．
(1)若DE运动到如图1所示位置，求证：①FE=DF；②BF=AN+ NF．
(2)当DE运动到如图2所示位置，上述结论还成立吗？
10．在平面直角坐标系中，A(O，3)，B(4，1)，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，求C点坐标．
11．如图，点C为线段AB上的一点，E为直线AB上方的一点，且满足AC =CE，连接AE，以AE为腰，A 为直角顶点作等腰直角三角形ADE，连接CD，求当CD最大时，∠DEC的值，。