《实验校》八上第九讲—等腰直角三角形辅助线方法

第九讲辅助线方法一

辅助线方法（一）已知等腰直角三角形：(1)若有一条直线过直角顶点，过两个锐角顶点向这条直线作垂线，形成三垂直证全等；(2)构造共直角顶点的等腰直角三角形证全等．

一、基本图形研究

1．直线l经过等腰直角三角形ABC的直角顶点，你能在图中构造全等吗？并据此提出数学问题．

2．直线l经过等腰直角三角形ABC的锐角顶点B，过A或C作直线l的垂线，你能在图中构造全等吗？你能对这个题提出相关的数学问题吗？

二、变式训练

1．如图1，OA=2，OB=4，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角三角形ABC．

(1)C点的坐标；(2)如图2，P为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶

点，P A为腰作等腰直角三角形APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值．

2．如图，已知坐标系中，A (4，0)，B (O ，4)，P 为第四象限的一动点，且∠APO =135°，求证：AP ⊥BP ．

3．如图，点B 在x 轴正半轴，以OB 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形AOB ．若C 为BO 上一点，以AC 为直角边作等腰直角三角形ACD ，∠ACD =90°，连OD ，求∠AOD 的度数．

4．如图，A (O ，2)，B （－2，0），C 为点B 左侧一动点，以AC 为一腰作等腰直角三角形ACD ，∠ACD =90°，DB 的延长线交y 轴于E 点，在C 点移动的过程中，点E 的位置是否发生变化？证明你的结论．

5．已知△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为线段BC 上一动点，AE =AD ，AE ⊥AD ，连接BE 与AC 交于P 点，其中BC

BD =n ． (1)如图1，若n =1时，则

PE BP = ，PC AP = ． (2)如图2，若n =

21时，则PE BP = ，PC

AP = ，并证明你的结论，

6．已知，如图，在△ABC 中，AB

7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （－4，0），点B 为y 轴正半轴上一动点，以AB 为直角边作等腰直角三角形ABC ，点C 落在y 轴的右侧，过B 点作BD 垂直于y 轴，且BD =OB ，点D 落在y 轴的左侧，连接CD 交y 轴于E ，问当B 点运动时，线段BE 的长度是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

8．已知△ABC 中，AC =AB ，∠BAC =90°，AC 与x 轴交于E 点，BC 与y 轴交于D 点，如图1，连接ED ，E 为AC 的中点，求并证明(1)线段BE ，AD ，DE 之间的关系；(2)∠AEB 与∠DEC 之间的关系；

(3)如图2，过C 作CF ⊥x 轴于F 点，求

AO

CF BF 的值．

9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E是直线AC上的两动点，且AD =CE，AM⊥BD 于点M，延长AM交BC于点N，直线BD交直线NE于点F．

(1)若DE运动到如图1所示位置，求证：①FE=DF；②BF=AN+ NF．

(2)当DE运动到如图2所示位置，上述结论还成立吗？

10．在平面直角坐标系中，A(O，3)，B(4，1)，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，求C点坐标．

11．如图，点C为线段AB上的一点，E为直线AB上方的一点，且满足AC =CE，连接AE，以AE为腰，A 为直角顶点作等腰直角三角形ADE，连接CD，求当CD最大时，∠DEC的值，